1) A lista de exercícios apresenta 20 questões sobre séries numéricas e suas propriedades de convergência e soma. 2) Os exercícios abordam técnicas como séries geométricas, razão, critério de Leibniz e expansões em séries de Taylor e MacLaurin. 3) São solicitadas análises de convergência, cálculos de somas, aproximações de funções e representações em séries de funções.

1. 1
UNIFACS – Universidade Salvador
Curso: Engenharias
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries 2010
1a Lista de Exercícios
1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:
1 1 1
a) ∑ ( Escreva a n = − )
1 (n + 1)(n + 2) n +1 n + 2
(1 + n)n
b) ∑ n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = é a soma dos n primeiros termos de uma P.A);
1 2
 n 
c) ∑ ln  ( Escreva an = ln n − ln ( n+1 ) )
1  n +1
n n +1  1 1 
d) ∑ ( − ) e) ∑ 
 − 

n -1
1 3 3n 1  n +1 n
2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma
fração:
a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159...
3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente,
verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total
percorrida pela bola até parar.
4)
A figura ao lado mostra uma “escada infinita”.
Ache o volume total da escada sabendo que o
maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem
sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade
do lado do cubo precedente.
5)
A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de
uma seqüência infinita formada da seguinte maneira:
O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos
outros quadrados é obtido ligando-se os pontos
médios dos lados do quadrado anterior. Calcule:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da
seqüência.
b) a soma das áreas de todos os quadrados da
seqüência.

2. 2
6) Encontre o valor de b para o qual 1 + e b + e 2 b + e 3b + ... = 9
( x − 1) n
7) Encontre os valores de x para os quais a série ∑ converge e a soma da série para esses
0 2n
valores.
8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas:
(−1) n 4  5n 1 
n
2 2n + 3 2n
a) ∑ ; b) ∑ ; c) ∑  − 4   ; d) ∑
1 9  3 
n −1
1 3n 2 3n   2 36 n
n
(−1) n 1 1 1 1 1 1 1
e) ∑ ( +  ) f) 1 + + + + + + + ...
0 2n 5 2 3 5 25 125 625
9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o
erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn.
∞ (−1) n +1 (−1) n −1
∞
a) ∑ ; s4: b) ∑ ; s3
1 n3 1 (2n)!
10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão
indicada
(−1) n −1 (−1) n +1
a) ∑ ( erro < 0,01); b) ∑ ( erro < 0,001 )
1 n2 1 n4
(−1) n −1
11) Mostre que a série alternada ∑ converge por Leibniz e calcule a soma da série com
1 10 n .n!
precisão de 3 casas decimais.
12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries
quanto à convergência
 3
n
b) ∑ 2 2−n n2 (−1) n n
a) ∑   c) ∑ d) ∑
 5 n2 +1 n +1
1 1 1 1
e) ∑ f) ∑3 g) ∑3 h) ∑
n3 n2 n4 n!
n
i) ∑
1  3n + 1  (−1) n nn
(2n )! j) ∑   k) ∑ l) ∑ (−1) n
1 n  (ln n ) n n!
 n
m) ∑ 

+ n −4  (
n) ∑ n −3 + 3 − n )  2n 
o) ∑  n −1 + 2 n  p) ∑
( −1) n n 5
 n +1   3  5n
 

3. 3
13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.
xn (−1) n x 2n (−1) n x 2n +1
a) ∑ ; b) ∑ ; c) ∑
0 n! 0 (2n)! 0 (2n + 1)!
Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx
14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries
x n +1  1
n
( x − 3) n xn ( x − 2) n
a) ∑ b) ∑  3 −  ( x + 1) n c) ∑ d) ∑ e) ∑
n +1  n 2n (2n )! n3 n
1
15) A partir da série geométrica ∑x
0
n
=
1− x
; se x < 1 ; dê a representação em série das
seguintes funções, indicando a região de convergência.
x 1 1 x2
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) =
1+ x 1+ x2 4 − x2 8 + x3
1
16) A partir da série ∑ x n = , x < 1 , e usando derivação ou integração, mostre que
0 1− x
1
a) f(x) = = ∑ ( −1) n +1 nx n −1 ; x ∈] − 1,1[
(1 + x) 2 1
(−1) n x n +1
b) f(x) = ln(1 + x) = ∑ ; x ∈ ] − 1, 1 ]
0 n +1
(−1) n x 2n +1
c) f(x) = arctgx = ∑ ; x ∈ [−1, 1 ]
0 2n + 1
xn (−1) n x 2n
17) A partir das séries ∑ = ex ; ∀ x∈R , cosx = ∑ ∀∈ R e
0 n! 0 (2n)!
(−1) n x 2n +1
senx = ∑ ∀∈ R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a
0 (2n + 1)!
região de convergência.
2 2 /2 c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x2 cosx
a) f(x) = e − x b) f(x) = xe − x
f ( n ) (0 ) n
18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren f ( x ) = ∑ x para as
0 n!
seguintes funções:
1
a) f ( x ) = 1 + x ; b) f ( x ) =
( x + 1) 3

4. 4
19) Usando a série de MacLauren encontre
1
a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função f ( x ) =
1− x2
b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função f ( x ) = 5 1 + x
20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função
1
2 −x 2
f(x) = e − x . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral ∫e dx e
0
calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que
portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro.
21) “Se ε é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se
ε < 0,5x10 − k .” .Usando este resultado, calcule:
1 2
a) ∫ x 2 e − x dx , com precisão de três casas decimais.
0
1 sen x 2
b) ∫ dx , com precisão de cinco casas decimais.
0 x2
0, 2
c) ∫ cos(x 2 )dx , com precisão de quatro casas decimais.
0
22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais
23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler e ix = cos x + i sen x
Respostas:
1
1) a) Converge a ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a −1
2
4 2543 159 8 16
2) a) ; b) ; c) 3) 45m; 4) ; 5) a) m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9)
9 495 999 7 2− 2
2
7) A série converge para x ∈] − 1,3[ e sua soma é S =
3−x
1 2 37 7 23 25
8 a) − ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)
4 3 4 72 12 12

5. 5
1549
9) a) s 4 = ≅ 0,896 . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008
1728
331
b) s 3 = ≅ 0,459 . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248
720
1 1 1
10) a) 9; b) 5 ; 11) S = − +
10 10 2.2 10 3.6
12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem.
14) a) Dc = ]1, −1[; r = 1; b) Dc = ]−4/3, −2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = ∞
e) Dc= ]−1, 5[, r = 3
x 2n
15) a) ∑ (−1) n x n +1 ; x ∈] − 1,1[ ; b) ∑ (−1) n x 2n ; x ∈] − 1,1[ ; c) ∑ ; x ∈] − 2,2[
0 0 0 2 2n + 2
(−1) n x 3n + 2
d) ∑ ; x ∈] − 2,2[
0 2 3n +3
(−1) n x 2n (−1) n x 2n +1 (−1) n 2 2n +1 x 2n + 2
17) a) ∑ n! ; ∀x ∈ R ; b) ∑ ; ∀x ∈ R ; c) ∑ ; ∀x ∈ R ;
0 0 2 n n! 0 (2n + 1)!
(−1) n x 2n + 2
d) ∑ (2n)!
; ∀x ∈ R
0
x x2 x3 1
18) a) 1+ x = 1+ − + + ... ; b) 3
= 1 − 3x + 6 x 2 − 10x 3
2 8 16 (1 + x )
1 x2 x 4 2 36 3
19) a) =1+ ; b) 5 1 + x = 1 + − x + x
1− x2 2 5 50 750
1 2 (−1) n 1 1 1 1 1
20) ∫ e − x dx = ∑ ; s5 = 1 − + − + − . O erro é menor que
0 0 (2n + 1)n! 3 5.2! 7.3! 9.4! 11.5!
1
a6 =
13.6!
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21) a) s 5 = − + − + + ; b) s 3 = 1 − + − ; c) s 0 =
3 5 14 54 264 1560 5.3! 9.5! 13.7! 5
1 1
22) s1 = − = 0,095
10 200