1. O documento descreve os conceitos fundamentais de cinemática do ponto material, incluindo posição, deslocamento, velocidade média e instantânea, aceleração média e instantânea. 2. É analisado um movimento retilíneo uniformemente variado com a função da posição sendo x = - 5 + 32/27 t3. A velocidade e aceleração são derivadas dessa função. 3. São apresentadas definições e classificações de movimentos como progressivo, regressivo, acelerado e retardado com base nas grandezas

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MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari
Cinemática do Ponto Material
A análise cinemática desconsidera as
causas dos movimentos: descreve
geometricamente posições, deslocamentos,
velocidades e acelerações ao longo do
tempo. No caso do movimento retilíneo (a
trajetória é um segmento de reta), pode-se
fazer uma análise escalar (não-vetorial).
MOVIMENTO RETILÍNEO
1 – POSIÇÃO (x , xo)
Considere-se um ponto material (ou
partícula, isto é, um corpo com
dimensões desprezíveis) movendo-se em
uma trajetória retilínea.
À trajetória será associado um segmento
de reta orientado: eixo das posições X.
Aos pontos do eixo (orientado para a
direita) serão associados números reais:
- a posição zero é a origem O;
- as posições à direita da origem são
positivas;
O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2 -1
-as posições à esquerda da origem são
negativas.
No instante inicial to (=0s, neste caso), a
partícula está na posição inicial xo (= - 5 m,
neste caso)
No instante final t (=2s, neste caso), a
partícula está na posição final x (= 4,48 m,
neste caso)
(2s)(0s)
4,48
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2 – DESLOCAMENTO (∆x)
Considere o movimento analisado.
O deslocamento (∆x) da partícula é dado
por
∆x = x – xo
No caso exemplificado, tem-se:
∆x = 4,48 – (-5) → ∆x = 9,48 m
O deslocamento no sentido de orientação
do eixo de posições é positivo.
Considere agora o seguinte exemplo:
O deslocamento (∆x) da partícula é dado
por
∆x = (-2) – 4 → ∆x = -6 m
O deslocamento contrário à orientação do
eixo de posições é negativo.
O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2 -1
(1s)(4s)
A posição inicial é xo = 4 m
A posição final é x = -2 m
O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2 -1
(2s)(0s)
4,48

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3 – VELOCIDADE MÉDIA (vm)
Considere o movimento analisado.
O intervalo de tempo (∆t) durante o qual
ocorre o movimento observado é dado por
∆t = t – to
No caso exemplificado, tem-se:
∆t = 2 – 0 → ∆t = 2 s
Determine a velocidade média no seguinte
exemplo:
A velocidade média contrária à orientação
do eixo de posições é negativa.
O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2 -1
(1s)(4s)
O deslocamento no caso exemplificado é:
∆x = 4,48 – (-5) → ∆x = 9,48 m
A velocidade média vm é a velocidade
constante fictícia que a partícula deveria
ter para fazer o mesmo deslocamento, no
mesmo intervalo de tempo.
No exemplo analisado, seria
vm =
2 s
9,48 m
→ vm = 4,74 m/s
Então:
∆t
∆x
vm =
∆t
∆x
vm = → vm =
t - to
x - xo
vm =
4 - 1
(-2) - 4
→ vm =
3
-6
→ vm = - 2 m/s
(1 m/s = 3,6 km/h)O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2 -1
(2s)(0s)
4,48
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4 – VELOCIDADE INSTANTÂNEA (v)
Considere o movimento analisado.
Quer-se determinar a velocidade no
instante t = 1,5 s.
∆t
∆x
v =
Pode-se fazer um cálculo aproximado,
determinando-se a velocidade média
entre os instantes antes e depois do
instante de interesse t.
Calcular-se-ia a velocidade média entre os
instantes 0 s e 2 s, entre 1 s e 1,8 s , entre
1,4 s e 1,6 s e assim por diante,
aproximando-se gradativamente do
instante de interesse t = 1,5 s .
Observe que o intervalo de tempo vai
se reduzindo: 2 s , 0,8 s , 0,2 s etc.
No limite, quando o intervalo de tempo tende
a zero, tem-se a velocidade instantânea:
Então:
lim
∆t→0
ou v = x’ , isto é, primeira derivada da
posição em relação ao tempo.
dt
dx
v =
No movimento analisado, a partícula tem
sua posição variando com o tempo de
acordo com x = - 5 + 32/27 t3 (unidades do
SI). Quer-se determinar a posição e a
velocidade no instante t = 1,5 s .
A posição no instante dado é:
→ x = - 1 mx = - 5 + 32/27 . 1,53
-1 O 1 2 3 4 5
X(m)
-5 -4 -3 -2
(2s)(0s) (1,5 s)
O 1 2 3-5 -4 -3 -2
4,48

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e x = - 5 + 32/27 t3 .
A velocidade no instante de interesse é:
v = 8 m/s (ou 8 · 3,6 km/h = 28,8 km/h)
v = 32/9 · 1,52
Tem-se
dt
dx
v =
v = 3 · 32/27 t2
dt
d (- 5 + 32/27 t3 )
Então v =
→ v = 32/9 t2
Qual é a velocidade inicial do movimento?
Para t = 0 s , tem-se
v = 0 m/s, isto é, o
movimento se inicia
do repouso.
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5 – ACELERAÇÃO MÉDIA (am)
Considere o mesmo movimento
analisado anteriormente, observado
agora entre os instantes 0 s e 3 s :
O intervalo de tempo (∆t) durante o qual
ocorre o movimento observado é dado
por
X
(3s)(0s)
∆t = t – to = 3 – 0 = 3 s
Então, a velocidade inicial (em t = 0 s) é
A variação da velocidade (∆v) é :
∆v = v - vo → ∆v = 32 – 0
A aceleração média am é a aceleração
constante fictícia que a partícula deveria
ter para sofrer a mesma variação de
velocidade no mesmo intervalo de tempo.
No exemplo analisado, seria
am =
3 s
32 m/s
→ am = 10,667 m/s2
Então:
∆t
∆v
am =
vo=0m/s v=32m/s
→ ∆v = 32 m/s
e a velocidade final (em t = 3 s) é
Já se obteve a função horária da
velocidade deste movimento: v = 32/9 t2
vo = 0 m/s
v = 32 m/s .

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6 – ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA (a)
Considere o movimento sob análise:
Quer-se determinar a aceleração em um
instante t (no caso, no instante t = 1,5 s).
∆t
∆v
a =
Pode-se fazer um cálculo aproximado,
determinando-se a aceleração média
entre instantes antes e depois do instante
de interesse t.
Calcular-se-ia a aceleração média entre
os instantes 0 s e 3 s, entre os instantes
1 s e 2 s, entre os instantes 1,4 s e 1,6 s e
assim por diante, aproximando-se
gradativamente do instante t = 1,5 s .
Observe que o intervalo de tempo vai
se reduzindo: 3 s, 1 s, 0,2 s etc.
No limite, quando o intervalo de tempo tende
a zero, tem-se a aceleração instantânea:
ou
lim
∆t→0
ou a = v’ , isto é, primeira derivada da
velocidade em relação ao tempo (ou a = x”)
dt
dv
a =
No movimento analisado, a posição varia
segundo com x = - 5 + 32/27 t3 . Foi obtida a
equação horária da velocidade: v = 32/9 t2 .
Quer-se a aceleração no instante t = 1,5 s .
X
(3s)(0s)
vo=0m/s
v=32m/s(t)
e v = 32/9 t2 .
dt
dv
Tem-se a =
a = 2 · 32/9 t
dt
d (32/9 t2 )
a =
→ a = 64/9 t
Então
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A aceleração no instante de interesse é:
a = 10,667 m/s2
a = 64/9 · 1,5
Qual é a aceleração inicial deste
movimento?
Para t = 0 s , tem-se
a = 0 m/s2 (força resultante
nula)
Uma partícula qualquer pode ter, em um
determinado instante, velocidade nula e
aceleração diferente de zero? Cite um
exemplo.
Sim. Se uma força é aplicada a uma
partícula com velocidade nula, apesar de
estar em repouso ela já está submetida a
uma aceleração diferente de zero.
O movimento analisado é uniforme ou
uniformemente variado?
Não é uniforme porque a velocidade não é
constante (é função quadrática do tempo).
Não é uniformemente variado porque a
aceleração não é constante (é função linear
do tempo).
Exemplo: uma partícula arremessada
verticalmente para cima pára no ponto
mais alto da trajetória, mas está
constantemente submetida à aceleração
gravitacional (durante a subida, na
posição da parada instantânea e durante a
descida).
Por que a aceleração no instante 1,5 s
resultou igual à aceleração média entre
0s e 3s?
Porque a aceleração tem variação linear
com o tempo e t = 1,5 s é o instante
médio do intervalo 0s a 3s .

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7 – DEFINIÇÃO ALTERNATIVA DA
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA (a)
Sabe-se que a aceleração instantânea é
definida por
dt
dv
a =
dt
dx
v =
Multiplicando e dividindo a expressão
anterior por dx tem-se
dt
dv
a =
dx
dx
·
dt
dv
a =
dx
dx
·
Sabe-se que a velocidade instantânea é
definida por
[1]
ou
[2]
Substituindo-se [2] em [1], tem-se uma
definição alternativa para a aceleração
instantânea:
dv
dx
·a = v
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8 – CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
a) Movimento Progressivo: tem velocidade
positiva, isto é, se desenvolve no sentido do
eixo das posições.
b) Movimento Regressivo ou Retrógrado:
tem velocidade negativa, isto é, se
desenvolve em sentido contrário ao do eixo
das posições.
c) Movimento Acelerado: o módulo da
velocidade aumenta (velocidade e
aceleração são ambas positivas ou ambas
negativas).
d) Movimento Retardado: o módulo da
velocidade diminui (velocidade e
aceleração possuem sinais opostos, isto é,
uma é positiva e a outra é negativa).

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9 - ATIVIDADES
9.1 – EM AULA
9.1.1 - Leia os itens teóricos 11.1 (p.1) e 11.2.
9.1.2 - Leia o Problema Resolvido 11.1 (p. 11).
9.1.3 - Resolva o Problema Resolvido 11.1
novamente, mas com a função horária da
posição x = 2 t3 - 3 t2 - 10 t + 20 . Pede-se:
a) instante em que a partícula para;
b) posição neste instante e distância percorrida
até este instante;
c) aceleração neste instante;
d) instante em que se anula a força atuante na
partícula;
e) instante em que a função da velocidade tem
seu ponto de mínimo;
f) instante em que a função da posição tem seu
ponto de inflexão;
g) gráficos horários da posição, da velocidade
e da aceleração;
h) deslocamento entre os instantes 0,2s e 3s;
i) distância percorrida entre os instantes
0,2 s e 3s.
j) Classificação do movimento nos
intervalos 0 s a 0,5 s , 0,5 s a 1,8844 s e de
1,8844 s em diante.
9.2 – DOMICILIARES
9.2.1 – Resolva, do livro, os Problemas
Propostos 11.2 (p.18) e 11.6.
9.2.2 - Problema Proposto Extra 01
Uma partícula move-se ao longo do eixo X
com posição dada pela função horária
x = 6 t2 – t3 (unidades do SI: x em m; t em
s). Pede-se:
a) função da velocidade da partícula;
b) função horária da aceleração da
partícula; o movimento é uniformemente
variado (aceleração constante)?
c) instantes em que a partícula para;
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d) instantes em que a partícula passa pela
origem;
e) instante em que se anula a força resultante
aplicada na partícula;
f) diagramas horários da posição, da
velocidade e da aceleração (faça tabelas
auxiliares com valores das três grandezas nos
instantes ti = 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s e 6 s);
g) instante em que a velocidade é máxima;
h) instante em que a posição é máxima;
i) instante correspondente ao ponto de
inflexão da função horária da posição; este
instante corresponde à velocidade máxima e
à aceleração nula? Isto era previsível, à luz
do cálculo diferencial? Por quê?
j) distância percorrida entre os instantes 0s e
6s;
k) deslocamento entre os instantes 0 s e 6 s;
l) velocidades médias entre os instantes 0 s e
4 s, 4 s e 6 s, 0 s e 6 s;
m) área entre o eixo dos tempos e a curva
da função da velocidade entre os instantes
0 s e 4 s; o valor desta área equivale ao
valor de que grandeza?
n) acelerações médias entre os instantes 0 s
e 2 s, 2 s e 4 s, 0 s e 4 s, 0 s e 6 s;
o) classificação do movimentos nos
instantes 1 s, 3 s e 5 s.
(respostas nas próximas páginas)

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RESPOSTAS
Da atividade em aula 9.1.3 :
a) A equação da velocidade é
v = 6 t² - 6 t – 10 ; a partícula para (v = 0)
no instante t = 1,8844 s (a outra raiz da
equação do segundo grau é desprezada por
ser negativa; não se considera tempo
negativo)
b) A posição no instante 1,8844 s é 3,886 m.
Como a partícula inicia o movimento no
instante 0 s da posição 20 m, a distância
percorrida (em módulo) é de 16,114 m;
c) A equação da aceleração é a = 12 t – 6 . A
aceleração inicial (0 s) é – 6 m/s² . No
instante 1,8844 s tem-se a = 16,613 m/s² .
d) Quando a força é nula a aceleração vale
0, isto é, no instante 0,5 s.
e) O ponto de mínimo da função da
velocidade ocorre quando sua primeira
derivada é nula, isto é, quando a
aceleração é nula, no instante 0,5 s.
f) O ponto de inflexão da função da
posição ocorre quando sua segunda
derivada é nula, isto é, quando a
aceleração é nula, no instante 0,5 s.
g)
- Gráfico da aceleração: resulta uma reta,
já que a função horária da aceleração
(a = 12 t – 6 ) é do primeiro grau. A reta
inicia no ponto (0 s; - 6 m/s²), passa pelo
ponto (0,5 s; 0 m/s²) e pelo ponto
(1,8844 s; 16,613 m/s²)
- Gráfico da velocidade: resulta uma
parábola pois a função horária da
velocidade (v = 6 t² - 6 t – 10 ) é do segundo
grau. A parábola tem concavidade voltada
para cima porque o termo de segundo grau
(6 t²) tem coeficiente positivo. A parábola
inicia no ponto (0 s; - 10 m/s), tem ponto de
mínimo em (0,5 s; - 11,5 m/s) e passa pelo
ponto (1,8844 s; 0 m/s)
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- Gráfico da posição: resulta uma curva do
terceiro grau. A curva inicia no ponto
(0 s; 20 m) e se desenvolve com
concavidade para baixo até o ponto de
inflexão (0,5 s; 14,5 m); desse ponto em
diante, a curva passa a ter concavidade
para cima, com ponto de mínimo em
(1,844 s; 3,886 m).
h) A posição no instante 0,2 s é 17,896 m; a
posição no instante 3 s é 17 m. O
deslocamento entre os instantes 0,2s e 3s
vale – 0,896 m;
i) Entre os instantes 0,2 s e 1,8844 s a
partícula percorre uma distância de
14,01 m para a esquerda. Entre os
instantes 1,8844 s e 3 s a partícula percorre
uma distância de 13,114 m para a direita.
A distância total percorrida entre os
instantes 0,2 s e 3 s vale 27,124 m
(distâncias em módulo).
j) Classificação do movimento:
- entre 0 s e 0,5 s : regressivo ou retrógrado
(velocidade negativa), acelerado
(velocidade e aceleração com mesmo sinal,
ambas negativas).
- entre 0,5 s e 1,8844 s : regressivo ou
retrógrado (velocidade negativa),
retardado (velocidade e aceleração com
sinais contrários, velocidade negativa e
aceleração positiva).
- de 1,8844 s em diante: progressivo
(velocidade positiva), acelerado
(velocidade e aceleração com mesmo sinal,
ambas positivas).

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RESPOSTAS
Do problema Proposto Extra 01 (item
9.2.2)
a) v = 12 t - 3 t2 ;
b) a = 12 – 6 t; não, já que a aceleração
varia com o tempo;
c) 0 s e 4 s;
d) 0 s e 6 s;
e) 2 s;
f)
g) 2 s;
h) 4 s;
i) 2 s; sim; sim; Porque v = dx/dt e
a = d2x/dt2
j) 64 m;
k) 0 m;
l) 8 m/s, - 16 m/s, 0 m/s;
m) 32 m; deslocamento
n) 6 m/s2 , - 6 m/s2 , 0 m/s2 , - 6 m/s2;
o)
1 s : progressivo acelerado;
3 s : progressivo retardado;
5 s : retrógrado (ou regressivo) acelerado.