Este documento apresenta um programa sobre Teoria dos Grafos e Aplicações, abordando conceitos básicos, problemas clássicos e suas soluções algorítmicas, como Árvore Geradora Mínima e Caminho mais Curto. O documento também discute breve histórico, representações de grafos no computador e aplicações em diferentes áreas como matemática, indústria eletrônica e confecções.
ColoraçãO De Mapas E O Problema Das Quatro Cores Desenvolvendo Um PuzzleJuliana Lilian de Souza
O Problema das Pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736, foi o primeiro a envolver os conceitos do que viria a ser a Teoria dos Grafos. No segundo capítulo deste trabalho podemos verificar como Euler, através de seus teoremas, demonstrou a solução para o enigma das pontes.
A partir de então muitos problemas foram resolvidos utilizando a Teoria dos Grafos. Como, por exemplo, o Problema das Quatro Cores suscitado por Francis Guthrie em 1852.
Os jogos tiveram grande importância na solução de vários problemas matemáticos nos últimos tempos. O que nos mostra que os jogos podem ter desempenhado um papel evolutivo relevante. Por ser agradável a atividade intelectual, talvez o jogo facilite a aprendizagem das regras e do pensamento lógico.
O Problema das Pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736, foi o primeiro a envolver os conceitos do que viria a ser a Teoria dos Grafos. No segundo capítulo deste trabalho podemos verificar como Euler, através de seus teoremas, demonstrou a solução para o enigma das pontes.
A partir de então muitos problemas foram resolvidos utilizando a Teoria dos Grafos. Como, por exemplo, o Problema das Quatro Cores suscitado por Francis Guthrie em 1852.
Os jogos tiveram grande importância na solução de vários problemas matemáticos nos últimos tempos. O que nos mostra que os jogos podem ter desempenhado um papel evolutivo relevante. Por ser agradável a atividade intelectual, talvez o jogo facilite a aprendizagem das regras e do pensamento lógico.
Observatório da Cultura Digital - Conexões Científicas 2009: Análise de padr...AcessaSP
A abordagem de problemas reais utilizando a teoria dos Grafos a muito vem ganhando importância, unido a esta, as possibilidades da informática e atualmente o crescimento da Internet e sua crescente importância para disseminação de informações em proporções nunca antes imaginadas, estabelece um novo paradigma científico. O presente trabalho possui como propósito a construção de um software (de código aberto) para extração e análise de informações das redes sociais estabelecidas na infovia, proporcionando gerar arquivos de imagem que representem a rede social e sua representação na forma de grafos.
Os avanços tecnológicos, em particular a revolução que a informática proporcionou para a ciência é indiscutível e irreversível, não obstante a matemática pode se valer dessa tecnologia para provar alguns fatos sem as metodologias clássicas. Na base estrutural da informática encontram-se aninhadas diversas idéias matemáticas e um dos produtos da informática que mais ganhou importância em todos os ramos da sociedade, a Internet, pode ser entendida segundo a visão matemática como um grafo, que se estende por todo o globo terrestre, se expandindo a cada dia.
O estudo do comportamento e da topologia deste tipo de grafo, não apresenta ainda material conclusivo, principalmente em português, existindo poucos estudos na área.
Por isso, durante esse texto eu traduzi vários termos da literatura estrangeira para os seus equivalentes em português, alguns, porém eu não consegui achar tradução razoável, optando então por utilizar os termos técnicos em inglês. Isso aconteceu, por exemplo, com o termo principal desse documento, Scale-free Networks, o qual a tradução aproximada para português seria “Redes livres de Escala” ou “Redes de escala invariante” mas optar por elas dificultaria ao leitor interessado na hora de buscar por mais literatura na Internet.
1. Centro de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Informática e Matemática Aplicada
Teoria dos Grafos e Aplicações
Prof. Dario José Aloise
Prof. João Soriano da Cruz
2001
2. Tória dos Grafos e Aplicações 2
Teoria dos Grafos e Aplicações
Programa
Objetivos: Estudar alguns problemas e algoritmos fundamentais à teoria dos grafos.
Conteúdo:
1. Breve histórico e exemplos de aplicações
2. Conceitos Básicos e Terminologia
3. Complexidade Computacional de Problemas e Algoritmos
4. Representações de Grafos no Computador
5. Estudo de Problemas Clássicos: Árvore Geradora Mínima, Caminho mais Curto,
Matching, Coloração, Caixeiro Viajante, Roteamento de Veículos, etc.
6. Fluxo em Redes
7. Sistema de Informações Geográfica
8. Metaheurísticas (opcional)
Bibliografia
[01] Brassard, G. e P. Bratley., Algorithmics”, Prentice Hall, New Jersey, (1988)
[02] Campello, R. E., e N. F. Maculan., “Algoritmos e Heurísticas: Desenvolvimento e Avaliação
de Performace”, Furnas Editora, (1994)
[03] Chartrand, G. e O. R. Oellermann, “Applied and Algoritmic Graph Theory”, McGraw-Hill,
International Editions, (1993)
[04] Christofides, N., “Graph Theory, an Algorithmic Approach”, Academic Press, London,
(1975)
[05] Even, S., “Graph Algorithms”, Computer Science Press, Rockville,(1980).
[06] Lawler, E. L., Lenstra, J. K., Rinnooy Kan, e D. B. Shmoys., “The Travelling Salesman
Problem”, John Wiley & Sons, New York, (1985).
[07] Boaventura Netto, P. O., “Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos”, São Paulo:. Edgard
Blücher, (1996).
[08] Peterson J. L., “Petri Net Theory and The Modeling of System”, Prentice-Hall Inc, (1981).
[09] Syslo, M. M. e DEO, N., “Discrete Optimization Algorithms with Pascal Programs”, Prentice-
Hall, 1983.
[10] Szwarcfiter, J. L., “Grafos e Algoritmos Computacionais “, Campus, Rio de Janeiro, (1984)
[11] Wai-Kai Chen., “Theory of Nets Flows in Networks”, John Wiley e Sons, (1990)
[12] Notas de Aula
Horários: Aulas ! 24T56 Atendimento a alunos ! 6T345
Sistema de Avaliação: - Resolução de listas de exercícios;
- Apresentação de Trabalhos em grupo;
- Provas ( ± a cada 20 horas/aula ).
3. Tória dos Grafos e Aplicações 3
Cap 1. Apresentação e História
1.1 – Grafos
! 1736 - “O Problema das Pontes de Königsberg”
Grafo – Solução / Euler
Ref.: J. Newman, “Leonhard Euler and the Königsberg Bridges." Scientific American. 189 (1953), pp. 66-
70.
O PRIMEIRO TEOREMA DE TEORIA DOS GRAFOS (Euler, 1736)
Dado um grafo G determinar uma rota que:
(1) retorna ou ponto inicial, e
(2) atravessa cada linha (rua, estrada) exatamente 1 vez.
A
B D
Ilhas - B,D
C Margens - A,C
Resposta - G tem uma ROTA EULERIANA precisamente quando todos os nós de G
têm grau par .
Idéia:
A
4. Tória dos Grafos e Aplicações 4
! Século XIX - Problemas isolados.
1852 - “O Problema das 4-Cores” (Francis Guthris / De Morgan)
“As regiões de todo mapa podem ser coloridas
usando não mais que 4 cores de forma que
A regiões adjacentes tenham cores distintas”,
Problema em aberto por mais de 100 anos.
Prova usando o computador em 1977
C D (Appel/Haken), e mais recentemente, em 1997,
B também usando o computador com uma prova
mais simples (Robertson / Sanders/ Seymour/
Thomas).
http://www.imada.ou.dk/Research/graphcol.html
1856 -“O Problema dos Ciclo Hamiltoniano” (William R. Hamilton)
Enigma: É possível um cavalo fazer uma rota pelo tabuleiro de xadrez, isto é,
visitar cada quadrado exatamente uma vez e retornar para o seu quadrado inicial?
- “Teoria das Árvores”(Kirchoff / Cayley)
5. Tória dos Grafos e Aplicações 5
! Século XX - Grande interesse pela Teoria dos Grafos
1930 - Resultados teóricos fundamentais (Kuratiwski, König, Minger)
1971 - PROBLEMA DE STEINER EM GRAFOS (Hakimi et. al.)
1.2 – Algoritmos
! Século XX - Formalização da Noção de Computação → Algoritmo
- associado ao desenvolvimento de técnicas para resolver problemas.
- Computador → Influenciou o desenvolvimento e o estudo dos algoritmos:
Eficiência de tempo e espaço.
Exemplo: Problema do Caminho Hamiltoniano
n ≥ 20 ⇒ inadmissível !
(sob o ponto de vista da aplicação é como se não existisse).
6. Tória dos Grafos e Aplicações 6
Algoritmo: “Função da Entrada de Dados do Problema”
Dados do problema = Dados do algoritmo
Solução do problema - Saída do algoritmo
“Algoritmo computa a função f “
E Algoritmo f S = f(E)
Entradas – Variáveis independentes – produzem as saídas do algoritmo,
permitindo a análise de tempo e espaço.
1.3 – Alguns exemplos de aplicações de Grafos
Matemática
7. Tória dos Grafos e Aplicações 7
Na Indústria eletrônica
Na Indústria de Confecções
Grafo Associado