O documento discute grafos aleatórios e redes de pequenos mundos. Descreve como grafos aleatórios podem ser usados para modelar e estudar a propagação de informações em redes sociais complexas, como boatos em uma festa. Também resume o famoso experimento de Stanley Milgram que mostrou que qualquer duas pessoas no mundo podem ser conectadas através de uma cadeia de conhecidos de no máximo seis pessoas.

1. BC-0506: Comunicação e Redes
BC-
Grafos Aleatórios
e Redes de Mundos Pequenos
1

2. Índice de Assuntos
Grafos Aleatórios: Erdös e Rényi
Grafos Aleatórios: Conceitos
Exemplos: propagação de boatos
Seis graus de Separação
Experimento de Milgran
Outros exemplos
Redes de Mundos Pequenos
Conexões Fortes e Fracas
Clusterização
2

3. Parte 1: Grafos Aleatórios

4. Conceitos
Dado um Grafo não-orientado de n vértices,
quantas arestas poderão existir no máximo?
2 5
3 4
5 Vértices
6 Arestas
1
Mais arestas: mais caminhos, distâncias menores,
menor diametro, maiores graus
4

5. Exemplo de Grafo com 5 vértices:
número máximo de arestas: contamos 10
5
1 4
2 3
5

6. Dedução do caso geral
Cada vértice conectando-se com todos os demais
diretamente: número de conexões do vértice = n-1
5 Número total de
conexões = n x (n-1)
Cada par de vértices
1 4
compartilha uma
conexão. Logo:
n. Arestas máx =
n x (n-1)/2
2 3
6

7. Dedução do caso geral
Do exemplo de Grafo com n = 5 vértices:
número máximo de arestas = 5 x (5-1)/2 = 10
5
1 4
2 3
7

8. Dedução do caso geral
Da mesma forma, se o Grafo tem apenas um
componente conexo com n = 5 vértices:
5
número mínimo de arestas = n-1
1 4
Atenção: 2 3
Se está dito ou subentendido que todos os vértices
estão no mesmo componente conexo.
Não é necessário existirem arestas em um grafo 8

9. Grafos aleatórios:
O que são?
Para que servem?
9

10. Grafos aleatórios:
Conceito: dado um Grafo de n vértices, iniciar a
colocação de arestas entre pares de vértices de
forma aletória, sem repetição.
Formam-se sub-Grafos
5
1 4
2 3
10

11. Grafos aleatórios:
Conceito: dado um Grafo de n vértices, cada
aresta pode existir ou não com probabilidade p.
Quando a maioria dos vértices serão conectados
em componente conexo?
5
Surgem propriedades interessantes
1 4
minimo
(n-1)
< num. arestas <
n x (n-1)/2 p
máximo
2 3
11

12. Grafos aleatórios:
À medida que inserimos arestas, se formam vários
sub-Grafos disconexos.
• Quando o número de conexões aumenta, estes
sub-Grafos se conectam, formando componentes
conexos cada vez maiores.
Se o grau médio supera 1, um único super-
componente conexo contém a maioria dos vértices.
• A maioria dos vértices do Grafo poderá ser
alcançado a partir de qualquer outro vértice,
bastando seguir um conjunto de arestas [01].
12

13. Grafos aleatórios:
Comportamento de transição de fase.
Se <k> < 1: componentes desconectados com
tamanho médio 1/(1-np)
Se <k> > 1 : só pode haver um super-
componente contendo a maioria dos vértices
<k> = 1 : Transição de fase !!
Comportamento muda rapidamente
Nome vem da física estatística
Analogia: transição de estados da
matéria
13

14. Grafos aleatórios:
Intuição da prova:
Suponha um subconjunto de vértices S.
Considere as arestas que “saem” de S
(conectam vértice em S a vértice fora de S)
Tome uma delas, e inclua em S o vértice fora
de S.
Há menos uma aresta saindo de S. (aquela
que foi explorada)
Há mais arestas saindo de S (todas as outras
incidindo no novo vértice)
Quantas são? Na média, <k>
14

15. Grafos aleatórios:
Intuição da prova:
Ou seja, para cada nova aresta explorada,
incluimos um vértice em S, e o conjunto de
arestas na fronteira aumenta em <k> e diminui
em 1
Ou seja, muda em <k> - 1
Se <k> < 1, na média a mudanca é negativa: o
numero de arestas a explorar vai cair
Se <k> > 1, na média a mudança é positiva:
haverão arestas a explorar até acabarem os
vértices (ou pelo menos explorar a maioria
dos vértices) 15

16. Grafos aleatórios:
Demo: transição de fase ao aumentar p
Gif animada
http://www.stanford.edu/~dgleich/demos/matlab/random_graphs/erdosreyni.html
16

17. Grafos aleatórios:
Podem existir 2 componentes gigantes?
Se existirem 2 componentes gigantes, com N1 e
N2 vértices, qual a probabilidade de uma aresta
conectar os 2?
A aresta tem que conectar um vertice em N1 (prob
N/n) a um vértice em N2 (N2/n), ou vice-versa
(conta 2x)
Prob = 2N1N2/n2
Probabilidade de uma aresta NÂO conectar N1 e
N2, então é 1 - 2N1N2/n2
17

18. Grafos aleatórios:
Podem existir 2 componentes gigantes?
Probabilidade de uma aresta NÂO conectar N1 e
N2, então é 1 - 2N1N2/n2
Existem no máximo (½)n(n-1) ~= ½ n2p arestas
Portanto a probabilidade que nenhuma das arestas
junte os 2 componentes é (pela definição da exponencial)
Que tende a zero quando N1 e N2 aumentam ou
crescem mais rápido do que n. (p=<k>/n)
18

19. Grafos aleatórios: para que
servem?
Apesar dos Grafos serem uma simplificação
elegante para facilitar o entendimento e
desenvolver soluções para problemas, na prática,
apresentam grandes desafios
Apesar do Grafo poder representar as relações
sociais, a Internet, e o metabolismo celular, as leis
que regem a sua formação e inter-relacionamento são
claramente diferentes
Como desenvolver um modelo de Grafo para
descrever sistemas tão diferentes e, ao mesmo
tempo, descobrir propriedades compartilhadas?
19

20. Grafos aleatórios
Paul Erdös e Alfred Rényi (húngaros) propuseram
então os Grafos aleatórios, sugerindo que, muitas
redes complexas na Natureza poderiam seguir um
padrão aleatório de formação
A partir dos Grafos aleatórios, muitos fenômenos
naturais e sociais passaram a ser estudados e
analisados a partir deste modelo de referência
Antes, eram estudados somente redes regulares
Erdös escreveu mais de 1500 artigos em matemática
até a sua morte em 1996, a maioria em co-autoria
Sua produção só é superada por Euler
Com Rényi, foram 8 artigos clássicos sobre Grafos
20

21. Frases de Erdös
Paul Erdös foi um itinerante a sua vida toda, não
tendo nenhuma posse a não ser uma pequena mala
Batia na porta de conhecidos do mundo inteiro e dizia:
“A minha mente está aberta”
Tinha um gosto especial pela probabilidade
Dizia: “Deus se diverte jogando dados com o mundo”
Seu colega Albert Einstein não concordava: “Deus não
joga dados com o Universo”
Afirmava também que não criamos a matemática,
apenas a descobrimos
Considerava que as verdades matemáticas eram as
mais absolutas e eternas
21

22. Exemplos:
Propagação de boatos:
Festa com 100 convidados
Nem todos conhecem os outros convidados
Grupos de 2 a 3 pessoas que se conhecem
Todos conhecem pelo menos UMA pessoa de outros
grupos. E sempre saem do grupo para contar novidades
para seus amigos
Se a cada 10 minutos eles contam as novidades para os
amigos, quanto tempo leva em média para que uma nova
informação chegue a todos os 99 convidados?
22

23. Exemplos:
Pior caso é a pessoa ter que transmitir a
informação pessoalmente uma a uma:
teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horas
Ou, se pensarmos nos grupos como vértices,
supondo 50 grupos, transmitindo para os grupos
um por um, 50 x 10 min = 500 min = 8,33 h
Quanto tempo demora considerando que eles tem
amigos fora do grupo? Como modelamos os amigos?
23

24. Exemplos:
aresta entre os grupos: alguem do grupo conhece
alguem do outro grupo
1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informação
percorre cada aresta.
Como sabemos quando a informação chegará a
maioria dos vértices na média?
24

25. Exemplos:
aresta entre os grupos: alguem do grupo conhece
alguem do outro grupo
1 troca em 10 min: a cada 10 min, a informação
percorre cada aresta.
Como sabemos quando a informação chegará a
maioria dos vértices na média?
Calculando a distância média no super componente
do grafo aleatório. Que é pequena.
25

26. Exemplos:
Pior caso é a pessoa ter que transmitir a
informação pessoalmente uma a uma:
teríamos: 99 x 10 minutos: 16,5 horas
Erdös e Rényi provam pelos Grafos aleatórios que
bastam 30 minutos em média para que todos os 99
convidados fiquem sabendo da informação
Diamêtro médio neste super componente é 3
26

27. Uso de grafos aleatórios
Estes mesmos modelos podem ser utilizados para
estudar e modelar propagação de doenças, reações
químicas, propagação de vírus na Internet, etc.
Em redes com grande quantidade de vértices, um Grafo
aleatório terá vértices com aproximadamente o mesmo
número de arestas
Medindo o grau de cada vértice do Grafo aleatório, e o
resultado desenhado em um histograma, a distribuição
de graus irá seguir a distribuição de Poisson
Esse tipo de Grafo é conhecido também como Grafo
aleatório de Poisson
27

28. Uso de grafos aleatórios
Distribuição de Poisson
28

29. Geração de Grafos Aleatórios
Um grafo aleatório é um grafo (rede) gerado por
um processo aleatório
Formação
Iniciar com N vértices e nenhuma aresta
Com probabilidade p, conectar 2 vértices
selecionados aleatoriamente com uma aresta
com p=0.2
29

30. Parte 2: Seis Graus de
Separação
Imagem: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Six_degrees_of_separation.svg

31. Experimento de Milgram:
Origens: escritor húngaro Karinthy escreve o
conto “Cadeia” em 1929, onde o personagem tenta
demonstrar que as pessoas estão muito mais
próximas que se supõem
A partir de no máximo cinco conhecidos, se
poderia chegar a qualquer um dos meio Bilhão de
pessoas da Terra (números da época)
Em 1967, o professor de Harvard, Stanley
Milgram realiza um experimento para determinar a
“distância” entre duas pessoas quaisquer dos EUA
Ele escolheu duas pessoas comuns como “alvo” e dois locais
distintos e distantes como pontos de partida
31

32. Experimento de Milgram:
Nos pontos de partida, ele enviou a residentes
aleatoriamente escolhidos, cartas para
participarem de um estudo sociológico
A carta continha informações sobre as pessoas
“alvo” como nome, endereço e fotos, e as seguintes
instruções:
Acrescente o seu nome no fim da lista desta folha,
para que o receptor saiba quem mandou
Retire um dos cartões postais pré-pagos, preencha-o e
envie para a Universidade de Harvard para podermos
acompanhar o progresso do experimento
32

33. Experimento de Milgram:
Das 160 cartas preparadas, 42 retornaram
Menor caminho = 2 conexões; Mais longo = 12
Valor médio = 5,5 surpreendentemente baixo
Arredondando-se o 5,5 temos a famosa frase
“6 graus de separação”
33

34. Experimento de Milgram:
A frase “6 Graus de Separação” não é de Milgram
Criada pelo autor John Guare que escreveu uma peça
teatral com este título para a Broadway em 1990,
(filme em 1993)
O experimento de Milgram sugere que qualquer
pessoa do planeta, conectada com pelo menos UMA
outra pessoa, faz parte de uma enorme rede de 6
bilhões de vértices, e que qualquer pessoa poderá
ser alcançada a partir de poucas conexões
Dessa concepção da sociedade humana deriva o
conceito de Small World, ou Mundo Pequeno
• Expressão “It's a small world” em inglês, e.g.
quando encontramos conhecidos em comum 34

35. Experimento de Milgram:
Milgram restringiu a sua experiência aos EUA, sem
considerar pessoas de outros países
Experimentos posteriores mais amplos
apresentaram um valor médio bem menor, de 3,
para quaisquer pessoas dos EUA
Em 2001, o professor Duncan Watts recria o
experimento de Milgram utilizando e-mails: 48 mil
remetentes de 157 países e 19 “Alvos”
O valor médio de intermediários foi 6
E as redes não sociais? Teriam o mesmo grau de
separação?
35

36. Outros exemplos - Web
Analisando-se o padrão de links das páginas da
Web (www), para a quantidades de páginas da Web
em 1998 (800 milhões de nós), foi estimado que
qualquer documento da Web seria atingido com 19
cliques, sem utilizar nenhum site de busca
Essa diferença de grau (de 6 para 19) surpreende
principalmente se considerarmos que a maioria das
redes naturais tem poucos graus de separação:
redes de cadeia alimentar (2 graus), moléculas
dentro de uma célula (3 reações químicas), redes
de colaboração de cientistas (de 4 a 6 graus)
Porque esta diferença tão grande?
36

37. Outros exemplos
A resposta a esta questão tem duas partes
Redes de hiperlinks da Web são em grande parte
redes circulares: se auto-referenciam, o que dificulta
achar um link de “saída” do grupo de páginas
• Sub-redes dedicadas a assuntos específicos
Diferença no número de conexões por vértice
Uma página da Web tem em média 10 links,
enquanto que um ser humano tem em média de 200 a
5.000 pessoas conhecidas, segundo estimativa dos
sociólogos
Conhecido é diferente de amigo (Dunbar Number)
37

38. Parte 3: Mundo Pequeno
38

39. Efeito Mundo Pequeno
O experimento de Milgram despertou a consciência
de um mundo pequeno pois todas as pessoas do
mundo estavam conectadas através de poucos links
Ao mesmo tempo, os estudos teóricos dos Grafos
Aleatórios criadas por Erdös e Rényi,
proporcionavam ferramentas para analisar novas
redes, principalmente as complexas e dinâmicas
Uma das principais propriedades gerais das redes
aleatórias, onde as informações (ou qualquer outra
coisa) se propaga rapidamente por toda rede, é
conhecida como “Efeito Mundo Pequeno” [01]
39

40. Efeito Mundo Pequeno
O efeito Mundo Pequeno foi estudado e verificado
em numerosas e diferentes redes
Seja dij a distância (menor caminho) entre os
vértices i e j, e [n x (n-1)/2] o número total de
arestas (máximo de todas combinações) do Grafo
Definindo l como a distância média entre todos os
pares de vértices de um Grafo não-direcionado,
temos [02]:
40

41. Efeito Mundo Pequeno
Se o número de vértices a uma distância <= r de um
vértice central cresce exponencialmente com r,
então o valor de l crescerá de acordo com log n
Ocorre com várias redes, inclusive grafos aleatórios
Rede é considerada como tendo o “efeito mundo
pequeno” (small world effect) se:
(1) l escala O(log n) com o tamanho da rede
O(log n) – logaritmo ou menor
Fácil de medir (distância média)
(2) alto índice de clusterização
41

42. Efeito Mundo Pequeno
Já foi demonstrado que em redes que seguem uma
lei de potência o valor de l cresce no máximo a
log n / log log n
Algumas redes com lei de potência também
são small-world
Sabemos medir a condição (1)
Vocês já implementaram o algoritmo
Não considere vértices não conectados
O que é índice de clusterização?
Problema:área nova -> várias definições
similares mas diferentes
42

43. Clusterização
Como observamos, muitas redes reais não
seguem o modelo dos Grafos Aleatórios criadas
por Erdös e Rényi, pois ele pressupõe uma
distribuição uniforme de vértices e arestas
Nos anos 90, Duncan Watts e Steven Strogatz
propõem um aprimoramento no modelo “Mundo
Pequeno” com a introdução do conceito de
“clusterização” e um “coeficiente de
clusterização” para medir o seu efeito
clusterização = clustering = agrupamento
43

44. Coeficiente de Clusterização
Global
O Coeficiente de clusterização global é:
3 x número de triângulos na rede
C=
número de triplas de vértices conectados
C pode ser entendido como a probabilidade
média de que dois vértices que são vizinhos de
um mesmo outro vértice, também serão vizinhos
Tripla: um nó com 2 arestas para 2 outros nós
Não é combinação(n,3)
Fator 3: em um triângulo há 3 triplas
44

45. Coeficiente de Clusterização
Global
Clusterização é frequentemente também
chamada de transitividade
Se A conhece B e B conhece C então A conhece C
Nesse caso, um triângulo entre eles é formado
C varia de 0 a 1
C = 0 quando não há nenhuma transitividade
C = 1 quando todos estão conectados a todos,
indicando que existem triângulos entre todos os
conjuntos de 3 vértices
45

46. Coeficiente de Clusterização
O grafo abaixo possui C = 3/8 = 0.375 (global)
1 triangulo
8 triplas: 6 centradas no nó central
1 centrada em cada um dos outros nós do triangulo
46

47. Coeficiente de Clusterização
Local Médio
Média do coeficiente de clusterização local Ci
para cada vértice i.
Ci = # arestas entre os vizinhos de vi /
# possível de arestas entre os vizinhos de vi.
Com k vizinhos, são possíveis k(k-1)/2 arestas
Quantas arestas existem entre vizinhos: conte.
Ou...
47

48. Coeficiente de Clusterização
Local Médio
Média do coeficiente de clusterização local Ci
para cada vértice i.
Ci = # arestas entre os vizinhos de vi /
# possível de arestas entre os vizinhos de vi.
Quantas arestas existem entre vizinhos:
Calcule o num. de caminhos de comprimento 3 que
começam e terminam no vértice i.
A diagonal de A3 é 2x esse número!
A3=AAA (A é a matriz de adjacências)
(fácil no MATLAB/Scilab)
48

49. Coeficiente de Clusterização
Local Médio
Coef. de clusterização local
2 vértices à esq do triang: 1
Vértice central
(4 vizinhos, 1 aresta):
1/(4(4-1)/2) = 1/6
2 vértices isolados
Alguns consideram 0, outros indefinido
Não acontece em alguns problemas
Média: (1+1+1/6)/3=0.72 ou (1+1+1/6+0+0)/5=0.43
Depende da definição
49

50. Coeficiente de Clusterização
Local Médio
Foi proposto primeiro, mas tem um problema:
Suponha:
um nó com 2 vizinhos, conectados → C = 1
um nó com 100 vizinhos, desconectados → C=0
Média dos dois nós: 0.5
Mas não temos metade dos vizinhos conectados!
Problema com a fórmula: k(k-1) no denominador
Mais peso para nós de grau pequeno
Útil para estimar conectividade local
Coef. Clust. Global melhor para descrever o grafo
todo
50

51. Efeito da Clusterização
A figura a mostra um esquema de conexões
uniformes, com todos os vértices conectados
com os vizinhos mais próximos
A figura b mostra uma situação onde algumas
conexões aleatórias que atravessam o Grafo [02]
51

52. Clusterização
Estas conexões possuem um grande efeito na
distância média do Grafo
Suponha, por exemplo, uma única conexão que
atravesse o Grafo pelo meio
Qualquer propagação teria a sua distância a
percorrer reduzida pela metade
52

53. Clusterização
Quão grande precisa ser o índice de
clusterização para a rede ser mundo pequeno?
Strogatz: “mundo pequeno” se C >> Crg
Crg: coef. de clusterização para grafo
aleatório com mesmo n e #arestas
Qual é o coeficiente de clusterização para um
grafo aleatorio Gn,p ?
É fácil...
53

54. Clusterização
Grafo aleatório (random graph):
p é a probabilidade de 2 vértices estarem
conectados p/ qualquer par de vértices.
Portanto para qualquer par de vértices
conectados a um 3º vertice, a probabilidade
deste par estar conectado é p.
Portanto Crg = p = <k>/n
54

55. Efeito Mundo Pequeno
Tabela: l p/ diversos tipos de rede
α : expoente se a distribuição segue lei de potência
[02]
Repare como distâncias médias são pequenas
Tipo rede Rede Tipo Vértices Arestas l α
Social Atores de filmes não direcional 449.913 25.516.482 3,48 2,3
Social Co-autoria de artigos Física não direcional 52.909 245.300 6,19 -
Social Ligações telefônicas não direcional 47.000.000 80.000.000 2,1
Social Mensagens e-mail direcional 59.915 86.300 4,95 1,5 a 2,0
Informação Páginas www direcional 203.549.046 2.130.000.000 16,18 2,1 a 2,7
Informação Redes de citações direcional 783.339 6.716.198 3,0
Tecnológico Distribuição elétrica não direcional 4.941 6.594 18,99 -
Tecnológico Rotas de trens não direcional 587 19.603 2,16 -
Biológico Rede metabólica não direcional 765 3.686 2,56 2,2
Biológico Cadeia alimentar marinha direcional 135 598 2,05 -
Biológico Redes Neurais direcional 307 2.359 3,95 -
55

56. Efeito Mundo Pequeno
Repare no coeficiente de clusterização (z=<k>)
56

57. Geração de Redes Small World
Uma rede small-world é um tipo de grafo onde a
maioria dos vértices não é vizinho dos outros
vértices, mas onde a maioria dos vértices pode
ser alcançada de qualquer outro vértice através
de um número pequeno de arestas
Formação
Iniciar com um anel (lattice) de N vértices com
arestas entre os seus n mais próximos vizinhos
Cada aresta deve ser religada a outro vértice com
probabilidade p
57

58. Geração de Redes Small World
58

59. Geração de Rede Small World
Parte de rede regular
– cada nó se conecta com alguns vizinhos
Cada aresta é reconectada a um vértice distance
com probabilidade p
Se p=1, temos um grafo aleatório
59

60. Modelo de Rede Small World
Se p aumenta, o coef. de clusterização (C) e o
diâmetro (L) diminuem.
60

61. Modelo de Rede Small World
Mas L diminui muito antes de C
Região com C grande e L pequeno = Small World
Conectado só a vizinhos
Mas perto de todos
Sem ser aleatório
E com C alto
Vizinhos conectados
entre si
61

62. Modelo de Rede Small World
Este modelo simples não é realista para todos os
problemas small world
Mas foi importante para demonstrar as
propriedades básicas e a importância das
ferramentas estatísticas
Particularmente bom para estudo de epidemias
em plantas:
– Plantas doentes infectam as plantas vizinhas
– Às vezes pássaros levam polen infectado
62

63. Conexões fortes e fracas
Em 1973, Mark Granovetter de Harvard publica o
artigo The Strength of Weak Ties, no American
Journal of Sociology
Trata-se de um estudo que o autor realizou durante a
graduação sobre a busca de emprego
Ao pesquisar sobre os fatores que influenciavam na
busca de um emprego, principalmente nas redes de
contato, ele realizou dezenas de entrevistas com
gerentes e profissionais sobre quem tinha indicado
ou ajudado a encontrar o emprego
As repostas que mais encontrou não foi “um amigo”, mas
“um conhecido”
63

64. Conexões fortes e fracas
No artigo, ele propõe que, na procura de emprego,
abrir um restaurante, ou espalhar uma notícia
relevante, as nossas conexões sociais mais fracas
(conhecidos) são mais importantes que as nossas
ligações com os nossos estimados amigos
As ligações fortes (amigos) fecham sobre si
mesmas, reduzindo as oportunidades
São as ligações fracas (ou de conhecidos) que
possibilitam que a rede de contatos se expanda e
amplie as oportunidades
64

65. Conexões fortes e fracas
O artigo original de Mark Granovetter foi rejeitado
na sua primeira tentativa de publicação, e só foi
publicado 4 anos depois
Hoje, este artigo é reconhecido como um dos
artigos mais influentes da sociologia de todos os
tempos, e um dos mais citados também
65

66. Colaboração e Número de Erdös
Paul Erdös não colaborou somente como teórico
na área de Grafos
Como um dos matemáticos mais produtivos de
todos os tempos, produziu mais de 1500 artigos
com 507 co-autores
Esta produção bem documentada, possibilitou um
outro estudo sobre redes de colaboração
66

67. Colaboração e Número de Erdös
O número de Erdös é um número que foi criado
para medir a distância entre Erdös e uma pessoa
• O próprio Erdös tem o número de Erdös Zero
Aqueles que escreveram um artigo em co-autoria
com Erdös receberam o número Erdös de 1
Aqueles que escreveram um artigo em co-autoria
com alguém com o número Erdös 1, receberam o
número Erdös 2, e assim por diante
67

68. Colaboração e Número de Erdös
O estudo da rede de colaboração criada em
torno de Erdös mostrou que, em 1998, existia
uma rede fortemente entrelaçada de 70.975
matemáticos, conectados através de mais de
200 mil artigos em co-autoria [02]
Se os matemáticos escolhessem os
colaboradores de forma aleatória, o
coeficiente de clusterização desta rede de
colaboração, seria extremamente pequena,
cerca de 10-5
68

69. Colaboração e Número de Erdös
Entretanto, as medidas reais mostraram um
coeficiente de clusterização 10.000 vezes
maior, indicando que os matemáticos não
escolhem as suas colaborações de forma
aleatória, e mais que tudo, formam uma rede
altamente clusterizada
69

70. Coeficiente de Clusterização
Rede Coeficiente de
Clusterização
Web 0.081
Flickr 0.313
LiveJournal 0.330
Orkut 0.171
YouTube 0.136
Fonte: Measurement and analysis of online social networks, IMC 2007.
70

71. Referências
[01] Barabasi, A.L., Linked: How Everything Is
Connected to Everything Else and What It Means for
Business, Science and Everyday Life, Plume, 2003.
[02] Newman, M., The Structure and Function of
Complex Networks, Siam Review, Vol. 45, No 2,
pp.167–256, 2003.
Aulas Bruno Gonçalves
http://www.bgoncalves.com/teaching/spring-2011-
i690.html
72