Este documento discute três tópicos principais sobre sistemas lineares: 1) Métodos para resolver sistemas lineares como eliminação gaussiana e eliminação de Gauss-Jordan. 2) Classificação de sistemas lineares em sistemas possíveis e determinados, possíveis e indeterminados, e impossíveis. 3) Exemplos ilustrando cada um desses tipos de sistema linear.

1. • Eliminação Gaussiana
• Eliminação de Gauss-Jordan.
• Naiara de Souza Moreira – 542233
• Engenharia Ambiental e Sanitária
Sistemas Lineares

2. a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome
de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo
independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear
homogênea).
Equação Linear

3. 3/8/2023
Conjunto de duas ou mais equações lineares.
Sistema Linear

4. Sistema Linear em forma matricial
Todo sistema linear pode ser escrito na forma
matricial, em que:
a primeira matriz é a dos coeficientes
numéricos,
a segunda dos coeficientes algébricos e
a terceira dos termos independentes.

5. Solução de um sistema
Em um sistema, cada incógnita deverá ter, pelo menos, uma equação
associada a ela.
Assim, só se resolve um sistema se o número de equações for maior ou
igual ao número de incógnitas, isto é, se existir 100 incógnitas, deverá
existir, pelo menos 100 equações.

6. SPD – Sistema Possível e Determinado
Quando cada uma das incógnitas assume um único valor, isto é, o
sistema tem uma ÚNICA SOLUÇÃO.
Discussão de um sistema
x + y = 10
2x + y = 13
x = 10 - y
20 - 2y + y = 13 => y = 7
=> x = 10 – 7 => x = 3

7. SPI – Sistema Possível e Indeterminado
Quando cada uma das incógnitas pode assumir mais de um valor, isto
é, o sistema é possível, mas não se pode determinar, pois tem
INFINITAS SOLUÇÕES.
Discussão de um sistema
x + y = 2
2x + 2y = 4
Quando as outras equações são combinações
lineares de outra, tem-se um SPI !
S = {(1, 1); ( ½ , 3/2); (3/2, ½); ...}

8. SI – Sistema Impossível
Quando as incógnitas assumem valores absurdos, isto é, o sistema
NÃO TEM SOLUÇÃO.
Discussão de um sistema
x + y = 2
x + y = 5

9. Sistemas Lineares
 Eliminacao Gaussiana:
 Matriz na forma escalonada reduzida por linhas:
 Propriedades:
 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro
número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de
líder ou pivô;
 2) Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão
agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz;
 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só
de zeros, o líder da linha inferior ocorre mais à direita que o
líder da linha superior;
 4) Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais
entradas.

10. Sistemas Lineares
 Forma escalonada reduzida por linhas :
 Exemplos:
1 1 3
2 2 3
3
3
2
1 0 3 8 1 0 0 4
0 1 3/ 2 3 0 1 0 3
0 0 1 4 0 0 1 4
L L L
L L L
→ −
→ −
−
   
   
− →
   
   
− −
   
Matriz Escalonada
Matriz Escalonada
Reduzida por linhas
Eliminação Gaussiana Eliminação de Gauss-Jordan

11. Sistemas Lineares
 Eliminação de Gauss-Jordan:
 Exemplos:
 1)
 Neste caso o sistema tem uma única solução.





=
−
−
−
=
−
−
=
+
26
5
2
3
4
4
2
8
3
z
y
x
y
x
z
x










−
−
−
−
→










−
−
−
−
−
→










−
−
−
−
−
−
→
−
→
−
→
50
14
2
0
3
2
/
3
1
0
8
3
0
1
50
14
2
0
12
6
4
0
8
3
0
1
26
5
2
3
4
0
4
2
8
3
0
1 2
2
1
2
2
1
3
3
4
1
2
3
L
L
L
L
L
L
L
L










−
−
−
→
+
→
44
11
0
0
3
3
/
3
1
0
8
3
0
1
2
3
3 2L
L
L










−
→










−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
4
1
0
0
3
0
1
0
4
0
0
1
4
1
0
0
3
2
/
3
1
0
8
3
0
1
3
1
1
3
2
2
3
3 3
2
3
11
1
L
L
L
L
L
L
L
L





−
=
=
=
4
3
4
z
y
x

12. Sistemas Lineares
 Eliminação de Gauss-Jordan:
 Exemplos:
 2)
 Neste caso o sistema tem infinitas soluções e é dito
indeterminado.





=
−
+
−
=
+
+
=
−
+
−
0
4
2
0
4
2
0
2
t
z
y
x
z
y
x
t
z
y
x










−
−
−
−
0
4
2
1
1
0
0
4
1
2
0
1
2
1
1










→









 −
→










−
−
→










−
−
−
→










−
−
−
→










−
−
−
−
+
→
−
→
−
→
+
→
→
−
→
−
→
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
1
0
1
0
0
0
0
3
/
2
0
1
0
0
3
/
1
2
0
1
0
3
0
0
0
0
3
/
2
0
1
0
0
3
/
1
2
0
1
0
3
0
0
0
0
3
/
2
0
1
0
0
1
2
1
1
0
3
0
0
0
0
2
0
3
0
0
1
2
1
1
0
4
2
1
1
0
0
4
1
2
0
1
2
1
1
3
3
1
1
1
3
3
2
2
2
3
3
1
3
2
1
1
2
3
1
2
1
2
2
2
1
3
3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L





=
=
=
+
0
0
0
2
t
y
z
x

13. Sistemas Lineares
 Eliminação de Gauss-Jordan:
 Exemplos:
 3)
 Neste caso dizemos que o sistema não tem solução, ou
que é impossível.





=
+
+
=
−
+
=
+
+
1
2
2
2
3
1
3
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x










−
1
2
2
2
3
1
3
2
4
1
1
1










−
→










−
−
→










−
−
→










−
−
−
→










−
−
→
+
→
−
→
−
→
−
→
−
→
1
0
0
0
0
3
1
0
0
4
0
1
1
0
0
0
5
3
1
0
9
4
0
1
1
0
0
0
5
3
1
0
4
1
1
1
7
0
0
0
5
3
1
0
4
1
1
1
1
2
2
2
3
1
3
2
4
1
1
1
3
9
1
1
3
5
2
2
2
1
1
3
7
1
3
1
2
2
2
1
2
3
3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L

14. Estudo Complementar:
• ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com
Aplicações. Bookman, 2001.
• Páginas: 28 a 39