matematica

1. RACIOCÍNIO LÓGICO
E MATEMÁTICO

2. MATEMÁTICA BÁSICA - REVISÃO
O atual sistema de numeração tem o nome de
Sistema de Numeração Decimal. A origem do
nosso sistema de numeração vem da numeração
indo-arábico, que tem este nome por ter sido
criado pelos hindus sendo transmitido para os
outros povos da Europa Ocidental pelos árabes.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO

3. ALGARISMOS ROMANOS
Fora o decimal de numeração, vemos também em nosso dia-a-
dia os Algarismos Romanos, que são usados principalmente em
capítulos de obras literárias, cenas de teatro, nomes de papas,
imperadores e na designação de congressos, olimpíadas e
assembleias.

4. ALGARISMOS ROMANOS
O Sistema de Numeração Romano utiliza sete letras maiúsculas
que correspondem aos valores abaixo listados:
LETRAS VALORES
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

5. Exemplos
XVI = 16; LXVI = 66
Se à direita de um algarismo romano escrevemos outro igual ou
menor, o valor deste algarismo se soma ao valor do anterior.
VI = 6
XXI = 21
LXVII = 67
ALGARISMOS ROMANOS

6. Se colocarmos a letra “I” diante da “V” ou de “X” subtrai uma
unidade, a letra “X”, antes da letra”L” ou a “C”, subtrai dez
unidades e a letra “C”, diante da “D” ou da “M”, subtrai cem
unidades.
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
ALGARISMOS ROMANOS

7. Em nenhum número se pode por uma mesma letra mais de três
vezes seguidas.
XIII = 13
XIV = 14
XXXIII = 33
XXXIV = 34
ALGARISMOS ROMANOS

8. A letra “V”, “L”, e a “D” não podem se duplicar porque outras
letras (“X”, “C”, “M”) representam seu valor duplicado.
X = 10
C = 100
M = 1000
O valor dos números romanos quando multiplicado por mil,
colocam-se barras horizontais em cima deles.
M= 1.000.000
ALGARISMOS ROMANOS

9. Segundo Gimenes 2006, as definições dos números, seguem
uma sequência de informações da qual o aluno devem prestar
muita atenção nesses detalhes, que os mesmos farão toda
diferença na hora de resolver um problema de matemática, ou
de interpretação de dados matemáticos.
DEFINIÇÃO DOS NÚMEROS

10. • Números naturais, onde são representado por (N): 0, 1, 2, 3…
• Números inteiros, onde são representado por (Z): - 3, - 2, - 1,
0, 1, 2, 3…
• Números racionais é o resultado da divisão de dois números
inteiros:
3
4
• Números irracionais são os que não podem ser conseguido
por meio da divisão de dois números inteiros, veja: ⎷ 2, ⎷ 3 ...
• Números reais é a união dos conjuntos de números racionais
e irracionais.
DEFINIÇÃO DOS NÚMEROS

11. TEORIA DOS CONJUNTOS
Segundo Barros 2018, Relação de Pertinência Observe o conjunto: A =
{2, 4, 6, 8, 10}. O mesmo conjunto A contém 5 elementos, quais os
mesmos são: 2, 4, 6, 8 e 10. Entendemos que estes elementos são
pertencentes ao conjunto A. Para compreendermos que um elemento
é pertencente a um certo conjunto, é utilizado o símbolo ∈ (que se lê:
“é elemento de” ou “pertence a”). Desta forma:
• 2 ∈ A (que se lê: “dois é elemento de A” ou “dois pertence a A”).
• O contrário de ∈ é ∉ (que se lê: “não é elemento de” ou “não
pertence a”).
• Desta forma: 5 ∉ A (que se lê: “cinco não é elemento de A” ou
“cinco não pertence a A”).
• Os símbolos ∈ e ∉ são usados somente para indicar uma relação de
elemento com um conjunto (relação de pertinência).

12. TEORIA DOS CONJUNTOS
CONJUNTO UNITÁRIO - É aquele que apresenta um único
elemento.
Exemplo
A = {5}
CONJUNTO VAZIO - O nome de conjunto vazio é determinado a
aquele que não tem qualquer elemento.
O conjunto vazio é representado pelo símbolo Ø ou {}.

13. TEORIA DOS CONJUNTOS
CONJUNTO IGUAIS - Os conjuntos iguais são idênticos quando
contêm os mesmos elementos.
Exemplo: {3, 5, 7} = {5, 7, 3}.
CONJUNTOS DISJUNTOS - Dois conjuntos são disjuntos quando
não nenhum elemento em comum.
Exemplo: {10, 18, 20} e {25, 27, 31}.
SUBCONJUNTO - Entendemos que o conjunto A é o subconjunto
de B se, e exclusivamente se, todos os elementos de A forem ao
mesmo tempo elementos de B

14. AS QUATRO OPERAÇÕES
A expressão numérica que envolve números
reais e operações que é definida para os
mesmos, tem que ser resolvida respeitando uma
sequência nas operações e sinais (parênteses,
colchetes e chaves) utilizados para as ordens nas
operações.

15. AS QUATRO OPERAÇÕES
Quanto aos sinais gráficos, eliminam-se na
seguinte ordem:
• Parênteses ( )
• Colchetes [ ]
• Chaves { }

16. AS QUATRO OPERAÇÕES
Quanto às operações, resolvem-se na seguinte
ordem:
• Potenciação ou radiciação (x²) ou (√ )
• Multiplicação ou divisão ( . ) ou ( / )
• Adição ou subtração ( + ) ou ( - )

17. JOGO DE SINAIS - Jogos de sinais é uma regra matemática
utilizada para chegar ao final de um resultado com um
determinado sinal, veja algumas dicas a seguir.
Na multiplicação - Sinais iguais, resultado positivo;
Sinais diferentes, resultado negativo
Na adição - Na adição de números positivo fecha com
positivo; Na adição de números negativos fecha com
negativo.
AS QUATRO OPERAÇÕES

18. TABUADA FÁCIL
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

19. FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Fração é um quociente indicado onde o
dividendo é o numerador e o divisor é o
denominador
3
4
NUMERADOR
DENOMINADOR
5
8

20. FRAÇÕES ORDINÁRIAS
A fração com termos iguais representa a
unidade;
4
4
= 1 inteiro
= 1 inteiro
8
8

21. FRAÇÕES ORDINÁRIAS
A fração é própria quando o numerador é menor
que o denominador;
1
2
3
5
, ,
8
10
110
120
, ,
A fração é imprópria quando o numerador é
maior que o denominador, sendo possível
representá-la por um número misto e
reciprocamente. 8
5
150
110
, ,

22. FRAÇÕES ORDINÁRIAS
PROPRIEDADES - Multiplicando ou dividindo os termos de uma
fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração
equivalente à inicial.
1
2
x 2 =
2
4
=
1 x 2
2 x 2
3
4
x 5 =
15
20
=
3 x 5
4 x 5
20
30
÷ 10 =
2
3
=
20 ÷ 10
30 ÷ 10
a)
b)
c)
4
8
÷ 4 =
1
2
=
4 ÷ 4
8 ÷ 4
d)

23. FRAÇÕES ORDINÁRIAS
SOMA ALGÉBRICA DAS FRAÇÕES - Reduzem-se ao menor
denominador comum e somam-se algebricamente os
numeradores. O menor denominador comum é o m.m.c dos
denominadores.
1
2
=
3 + 2
+
5
6
a)
b)
1
3 6
=
1
2
=
3 + 5 - 2
+
2
3
5
6 6
=
-
2
3

24. PERCENTAGEM
Segundo Gimenes 2006, podemos dizer,
(porcentagem ou percentagem), onde esse
cálculo se dá de um determinado valor dividido
por cem, ou seja, quando dizemos 10 por cento
de X valor estamos dizendo que essa décima
parte pertence ao 100 por cento da outra parte,
pense em uma pizza cortada em 10 pedaços,
ficou fácil agora? Isso mesmo, esse pedaço
retirado dos 10, representa a décima parte da
pizza.

25. PERCENTAGEM
PROPRIEDADES - Multiplicando ou dividindo os termos de uma
fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração
equivalente à inicial.
1% =
1
100
=
a)
b)
c)
0,01
10% =
10
100
= 0,10
0,1% =
0,1
100
= 0,001
2,5% =
2,5
100
=
d)
e)
f)
0,025
150% =
150
100
= 1,50
7,5% =
7,5
100
= 0,075
g) 100% =
100
100
= 1,0

26. PERCENTAGEM
Porcentagem é definida como o número de centésimos do valor uma
grandeza, ou seja, onde qualquer grandeza, poderá ser referenciada
n/100 de X quantidade, ela é simbolizada por % (por cento), pode-se
resolver porcentagens de mais de uma forma, regra de três, fórmula
etc.
Segundo Dilma Monteiro 2014, à taxa percentual e fracionária,
normalmente ouvimos expressões: uma pessoa ganha X % (por cento)
de comissão com vendas. Exemplo, um vendedor que tenha vendido
em um determinando período R$1.000,00, qual seria a comissão desse
vendedor, com um percentual de 10%?
R$1.000,00 x (10 / 100) = R$100,00
Comissão = R$100,00

27. PERCENTAGEM
GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Grandezas Diretamente proporcionais – são chamadas assim
pois ao se aumentar a quantidade, aumentará
proporcionalmente o preço a ser cobrado.

28. PERCENTAGEM
Monta-se a proporção
10
25
a) =
𝑅$ 100,00
𝑋
Aplicando a propriedade fundamental das proporções
10 X = 25 . R$100,00
X =
𝑅$ 2.500,00
10
X = R$ 250,00

29. PERCENTAGEM
Grandezas inversamente proporcionais – são chamadas assim pois ao
se aumentar a área de cada azulejo, diminuirá proporcionais a
quantidade necessária para revestir a parede.
Ao se montar a proporção, toma-se o cuidado de inverter a razão que
contém X, por tratar-se de grandezas inversamente proporcionais:
𝑋
200
b) =
256
400
Aplicando a propriedade fundamental das proporções
400 X = 200 . 256
X =
51.200
400
X = 128
Então:

30. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Exemplo
a) Foram premiadas 8% de 400 pessoas. Calcule quantas pessoas
foram premiadas.
8 X
100 400
X = 32 pessoas
Então:

31. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Exemplo
b) Descontaram 7.3% de um salário que é R$12.418,00. Quanto
foi descontado e quanto sobrou?
Resposta: Foi descontado R$906,51 e sobrou R$11.511,49
Observação
• Note que no exemplo “b” para calcular quanto sobrou foi feita
apenas uma subtração.
• Regra de três é uma proporção em que são conhecidos três de
seus termos, restando calcular o termo desconhecido.
• Uma regra de três simples poderá ser direta ou inversa

32. REGRA DE TRÊS SIMPLES
DIRETA
• A regra de três simples é direta quando as grandezas que a
compõem são diretamente proporcionais, isto é, quando
variam no mesmo sentido: aumentando ou diminuindo o
valor de uma das grandezas, o valor de outra grandeza
aumenta ou diminui na mesma proporção.
• Para se montar a regra de três simples direta, colocam-se em
colunas os valores correspondentes a uma mesma grandeza,
representando-se por X o valor desconhecido. Em seguida,
monta-se a proporção e aplica-se a propriedade fundamental
das proporções para o cálculo do termo desconhecido

33. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Exemplo: REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Se 10 metros de arame custam R$ 100,00, quanto custarão 25 metros
desse mesmo arame?
10 R$ 100,00
25 X
Quantidade Preço

34. REGRA DE TRÊS SIMPLES
INVERSA
• A regra de três simples é inversa quando as grandezas que a
compõem são inversamente proporcionais, isto é, quando
aumentando uma das grandezas a outra diminui na mesma
proporção, ou quando diminuindo uma delas a outra aumenta
na mesma proporção.
• Para se montar a regra de três simples inversa, colocam-se em
colunas os valores correspondentes a uma mesma grandeza,
representando-se por X o valor desconhecido.

35. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Exemplo: REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Se para revestir uma parede são necessários 200 azulejos com
256 cm² cada um, quantos azulejos com 400 cm² de área, cada,
serão necessários para revestir essa mesma parede?
200 256
X 400
Quantidade área / unidade em cm²

36. JUROS SIMPLES
Segundo André (2012), O termo juro representa
o valor que se recebe como compensação pelo
empréstimo ou pelo depósito de uma certa
quantia em dinheiro num banco ou qualquer
instituição financeira e até de pessoa física. O
nome taxa refere-se a juro relativo a 100
unidades monetárias por unidade de tempo.

37. JUROS SIMPLES
As operações financeiras sejam elas de empréstimos ou de dívida
contraída em cartão crédito, ela tem quatro itens que faz parte dessa
operação:
• Primeiro: valor presente (início da operação);
• Segundo: tempo, afinal toda operação estará dentro de um período
de tempo específico, seja em: ao dia (a.d), ao mês (a.m), ao
semestre (a.s), ao ano (a.a). Esse tempo nos livros de matemática
financeira nos orienta a ser representado pela letra (n);
• Terceiro: juros, ou seja, o valor pago por estar utilizando aquele
recurso, para melhor entendimento (“aluguel do dinheiro”), para
determinar o juro precisamo da taxa (porcentagem) representada
pela letra (i).
• Quarto: valor futuro, onde teremos o montante desta operação,
que é a soma: valor presente + juros = montante.

38. JUROS SIMPLES
EXPRESSÃO DE JUROS SMPLES
É CHAMADO juro simples, porque o capital não se altera
durante o período de negócio, isto é, não se somam juros.
Para calcularmos os juros basta utilizar a fórmula seguinte:
J = C.i.t
• j = Juro é o resultado pela aplicação de capital;
• c = Capital, é a quantia aplicada para a renda de juro;
• i = é a porcentagem do capital que se deseja cobrar juro
por mês, dia, ano, etc.;

39. JUROS SIMPLES
Obs.
• A taxa sempre deve ser dividida por 100,
representação decimal, ou seja, uma taxa de 2%. (2 /
100 = 0,02, (na calculadora, usar 3 casa após a
vírgula é interessante).
• Chama-se de montante ao valor do capital acrescido
do juro, ou seja, “aluguel, do dinheiro”: M = C + J.
• Os juros simples são calculados, sempre pelo valor
inicial da transação, isso quer dizer, sobre o capital.

40. JUROS SIMPLES
EXEMPLOS
Calcular o juro produzido por um capital de R$100,00
durante 3 meses a taxa de 1,5% ao mês.
J = ?
C = 100,00
i = 1,5% ao mês
t = 3 meses
J = 100 . 0,015 . 3
J = R$4,50

41. JUROS SIMPLES
EXEMPLOS
Qual é o juro produzido pelo capital de R$200,00
durante 1 ano a 2% ao mês?
J= C.i.t
J = ?
C = 200,00
i = 2% a.m.
t = 1 ano
J = 200 . (2:100) . 12
J = R$48

42. JUROS SIMPLES
EXEMPLOS
Atrasou-se 8 dias do pagamento de uma mensalidade
que é R$97,60. A escola cobra 2% a.d. (ao dia) nas
mensalidades atrasadas. Qual é o juro e quanto foi
pago no total (montante)?
J = R$97,60 x (2 : 100) x 8
J = 15,62
Montante M = C+J
M = 97,60 + 15,62
M = R$ 113,22

43. Segundo André 2012, consideramos os
descontos como sendo comercial ou bancário, e
os cálculos se baseiam em três primícias:
• Primeiro: valor nominal, (valor real);
• Segundo: taxa de desconto;
• Terceiro: tempo.
DESCONTO SIMPLES

44. *Observações importantes:
• A taxa deve ser representada na forma decimal.
• Simplificando a fórmula: D = N . i . n
Exemplo
Você quer descontar um título de R$ 10.000,00 2 meses antes do
vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro simples
de 1% a.m. Qual o valor atual do título?
D = N . i . n
D = 10.000 . 1/100 . 2
D = 200
DESCONTO SIMPLES

45. Costa (2011) explica de forma simples os detalhes,
da estatística, com relação a: fenômeno, ciência,
população, amostra, censo.
FENÔMENO
É tudo que se pode ser percebido e entender por
meio dos sentidos ou pela consciência.
Exemplo
O cair de uma fruta da árvore.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

46. CIÊNCIA
É um conjunto orgânico de determinados conhecimentos
sobre seus fenômenos e suas relações mútuas.
CIÊNCIA ESTATÍSTICA
A Estatística é uma ciência que estuda um certo tipo de
fenômeno: os fenômenos coletivos ou de massa. Então o
conjunto de procedimentos e técnicas quantitativos que
serve para estudar e estimar os fenômenos coletivos ou
de massa.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

47. FENÔMENOS COLETIVOS OU DE MASSA
São aqueles que não têm harmonia na observação de casos separados,
mas na massa de observações.
Exemplo
No geral, quando estudamos uma ou mais características de um
conjunto de elementos, denominado população, estamos em frente de
um fenômeno coletivo ou de massa: as notas em matemática dos
alunos de uma determinada turma, o nível socioeconômico dos
consumidores de um produto, receita dos brasileiros, faturamento das
empresas cariocas, gênero dos torcedores de um clube de esportes
(futebol, basquete, entre outros), oferta de um produto específico por
parte das empresas fornecedoras e o nível de demanda de
empréstimos consignados por servidores públicos.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

48. POPULAÇÃO
É o conjunto com elementos portadores de pelo menos uma
característica que é de interesse a ser estudada estatisticamente.
Exemplo
Em um estudo sobre contentamento de um serviço, à população
estatística é constituída por todos as pessoas que usufruem desse
serviço;
Num estudo sobre hábitos de fumar de uma cidade definida, a
população será formada por todos os habitantes dessa cidade;
Num estudo sobre venda de um produto, a população pode ser o alvo
de compra do produto;
Num estudo sobre a oferta de certo produto, o alvo pode os
estabelecimentos de comércio que constituem a população-alvo;
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

49. AMOSTRA
• É o subconjunto finito da população, escolhido adequadamente para
poder representá-la.
• Para que a população receba as conclusões adequadamente pelas
amostras, é preciso que elas sejam representativas da população.
• As chamadas Amostras Representativas são amostras que são chamadas
de miniaturas da população, o que significa, ela contém toda as
características da população, mas em escala diminuída.
• Para se ter as Amostras Representativas são necessários métodos de
extração, e para isso existem vários deles, mas os que fazem mais efeito e
são eficazes são aqueles em que as amostras são compostas por
elementos sorteados, sendo eles aleatoriamente.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

50. CENSO
O censo é onde se estuda uma população com
base em todos seus elementos.
AMOSTRAGEM
É onde se faz o estudo de uma população com
base na sua parte representativa da mesma,
sendo assim, com base numa amostra.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

51. A estatística tem como objetivo representar os
fenômenos, de forma visual, para que isso
aconteça ela usa números e gráficos.
Requisitos fundamentais de um gráfico
• Simples.
• Claro.
• Exato.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

52. Finalidades de um gráfico
• Apresenta os dados de modo agradável e
claro.
• Poupa tempo e esforço nas suas análises.
• Dispõe os dados querendo de modo a
focalizar as comparações num relance.
• Quer tornar claros os fatos que podem ser
objetivos de desordem.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

53. Tipos de gráficos
• Gráficos de Reclame.
• Gráficos de Análise.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

54. Tipos de gráficos de reclame
• Linear.
• Colunas.
• Barras.
• Pizza.
GRÁFICOS DE RECLAME

55. GRÁFICO LINEAR OU DE LINHA
• É um modo de representação de informações por meio
de uma linha.
• É usado para representar séries temporais, e também
uma ideia de tendência de mercado ou da situação,
muito utilizada para análise de ações de uma
determinada empresa.
• Observa-se que o vendedor 1014, teve um leve
aumento nas vendas de fevereiro em relação ao
resultado de janeiro e voltou a cair em março, nesse
caso a tendência dele é de baixa.
CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

56. CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

57. GRÁFICO DE COLUNAS
• É representado por retângulos organizados
verticalmente.
• É utilizado quando ocorre da variável tem
múltiplos resultados e cada um com poucas
letras.
CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

58. CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

59. GRÁFICOS DE BARRAS
• É representado por retângulos colocados na
horizontal.
• É usado quando a variável tem resultados e
cada um com muitas letras
CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

60. CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

61. GRÁFICOS DE SETORES OU DE PIZZA
• A variável é exposta em um círculo, onde os
resultados da mesma é uma fatia da pizza;
cada fatia da pizza tem seu tamanho
proporcional ao valor relativo, que o seu
resultado apresenta em relação ao total.
• Ela deve ter poucos resultados, até no máximo
cinco categorias.
CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

62. CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS

63. Objetivo:
• Descreve o nível geral dos dados adquiridos,
ou seja, informam toda a tendência dos
dados, e dos valores da série.
• Por descrever o padrão dos dados, elas podem
ser utilizadas para simplificar e representar os
dados que foram calculados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

64. MÉDIA ARITMÉTICA
• É a razão entre o somatório dos valores notados e
o número deles.
• Portanto, se tivermos:
• X;X²;X³;....Xn, a média será:
∑X
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
n
X=
• Onde n é o número total
de dados observados.
• Média – somar todos os
X, e dividir pela
quantidade deles.

65. Exemplo
1) 6, 5, 5, 6, 8
_
X = (6 + 5 + 5 + 6 + 8) / 5 = 6, o nível geral desses
números é 6.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

66. MEDIANA
É o valor do rol que ocupa o centro da
distribuição, ou seja, é o valor que divide no
meio a distribuição.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

67. MEDIANA
É o valor do rol que ocupa o centro da distribuição, ou
seja, é o valor que divide no meio a distribuição.
ROL
São dados colocados em ordem crescente ou
decrescente, o mais utilizado é em ordem crescente.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

68. Exemplo
A) 3, 7, 4, 12, 14, 10, 15
Rol: 3, 4, 7, 10, 12, 14, 15
É a mediana Me o nível geral destes números.
Me = 10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

69. MODA
É o valor que possui a maior frequência em um conjunto
de dados ou distribuição.
Exemplo
B) 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, e 15
Mo = 10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL