Ficha de exemplos e exercícios II Trimestre.pdf

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 12ª Classe II Trimestre
“O que sabemos é uma
gota; o que ignoramos é
um oceano.”
(Isaac Newton)
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA
UNIDADE TEMÁTICA: Funções reais de variável real e natural
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 12ª Classe II Trimestre
NOME DO ALUNO:
TURMA:
Nº:
SALA:
Elaboração: O grupo de disciplina de Matemática

Funções reais de variável real e natural |O grupo de disciplina Página 2
I. RELAÇÕES: Noção de função e classificação
1. Verifique quais relações abaixo representam funções.

2. Assinale os diagramas que representam funções:
a) b)
c) d)
3. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B,
onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
4. Qual das seguintes relaçoões abaixo não é uma função:
1 1
-1
2
2
1
-1
5
1 
2
A A
B
B
C

5. Quais dos diagramas melhor se encaixa na definição de uma função de A em B,
onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
6. Quais dos diagramas NÃO representa uma função de M em N, onde M = {1;2;3} e
N = {a;b;c}?
7. Qual das correspondências NÃO representa uma função?
8. Considere as correspondências:
f : (1,3);(2,4);(2,6); g : (6,3);(2,3);(5,11);m : (1,7);(5,4);(5,6); n :(0,3);(1,4);(2,6)
Qual é o par que representa duas funções?
A. g e n B. g e m C. f e g D. f e m
9. Considere as aplicações:
Q : 2x2
 2y  4,T : 2x  2y2
 4,P : 2x  2y  4 e M : 2x  2y2
 2xy  4
Quais destas aplicações correspodem a funções?
A.Q e P B.Q e T C.T e M D.P e M

10. Qual das seguintes relaçoes é uma função?
A. x  4 B. x  y2
1 C. y  4 D. x2
 y2
16
11. Qual é o contradomínio da relação R = {( x; y) : 2x + y = 8}, com x e y pertencentes
ao conjunto IN?
A. { } B.IN C. {0;1;2;3;4} D. {0;2;4;6;8}
12. Dados os conjuntos M = {1;2;3} e N = {1;3;4;5} e a relação
R = {(x; y)  M×N : y = 2x -1}. Qual dos gráficos representa a relação R?
13. Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu
gráfico cartesiano.
Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).
A. (2,1) Pertence à relação R. B. (3,2) Pertence à relação R
C. (4,3) Pertence à relação R. D.(5,6) Pertence à relação R.
E. (8,7) Pertence à relação R.
14. Dados os conjuntos A={16,81} e B={-2,2,3},seja a relação de A em B expressa
pela formula y4
 x
função.
,com x A e y  B .Verifique se a relação de A em B é uma

15. Dados os conjuntos A={-3,-1,1,3} e B={1,3,6,9},seja a relação de A em B expressa
pela formula y  x2
função.
,com x A e y  B .Verifique se a relação de A em B é uma
16. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em
A×B que está apresentada no gráfico.
Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?
A. R= {(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)} B. R= {(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
C. R= {(a,1),(b,3),(c,2)} D. R= {(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}
17. Dados os conjuntos M = {a;b;c} e N = {1;2;3;4} considere a relação R: M → N
representada na figura.
Qual das opções é relação inversa de R?
A. R–1= {(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)} B. R–1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}
C. R–1= {(4,a),(2,c),(3,b)} D. R–1={(1,a),(2,c)}
18. Sejam m e n o número de elementos de M  {3;2;4;6}e N  {2;3},
respectivamente. Considere a relacão dada pela lei
(m;n) que constituem a relação são:
m  n . os pares ordenados
A. (3;2), (2;3), (4;2), (6;3)
D. (3;3), (2;2), (6;2), (6;3)
B. (3;2), (4;3), (6;2), (6;3)
E. (4;2),(4;3),(3;2),(6;3)
C. (4;2), (4;3), (6;2), (6;3)

19. Uma funcão que ao traçarmos linhas paralelas ao eixo das abcissas,estas
intersectarem o gráfico num único ponto chama-se funcão:
A.Injectiva B.Sobrejectiva C.Bijectiva D. Iversa
20. Sendo y  f (x) uma funçao tal que f (x)   f (x),x  ,qual é a afirmacao
correcta? f (x) é…
A.Bijectiva B.Impar C.Par D.Sobrejectiva
21. Qual é a classificação da função f (x)  x3
 x  2 quanto à paridade?
A. Par B. ímpar· C.Não par nem ímpar· D. Par e ímpar
 2 quanto à paridade?
A. Par B. ímpar· C.Não par nem ímpar· D. Não Par
quanto à paridade?
A. Par B. ímpar C. Não par nem ímpar D. Par e ímpar
24. Sabendo que os pontos A(3;2), B(1;5),C(3;2) e D(1;5) pertencem ao gráfico de
uma função, então esta função é:
A. Par B. ímpar C. Não par nem ímpar D. Par e ímpar
25. Um ponto dado V (3;2) pertence a uma funcao impar y  g(x)
Com base nesta informação é correcto afirmar ,dos pontos representados na figura ao lado,
também pertence a y  g(x)
A. P B. S C.Q D. R

2
26. Qual das funções é sobrejetiva em R
A. f (x)  x2
 4 B. f (x)  2x
C. f (x) 
2x
x 1
D. f (x)  log2 x
27. Das as funções :
bijectiva?
f (x)  2x1
; g(x)  log x;h(x)  senx;m(x)  x2
.Qual delas é
A .f B. g C. h D. m
28. Determine se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras;
justificando:
a) b)
C) d)
29. Qual dos gráficos representa uma função injectiva?

30. Quais das funções representadas abaixo é sobrejetiva?
31. Classifique as funções abaixo em par ou impar

0
II. REVISÃO DO ESTUDO DE FUNÇÕES
1. Se x  3 e y  2 , do gráfico abaixo:
O ponto que representa localização (x;y) é:
A. P B. Q C. R D. S E. Origem do sistema cartesiano
2. Qual é o domínio da função representada na figura?
A. [3;4] B.];04[ C. 
 D.  
/{2}
3. Qual destas afirmações está correcta?
A. O gráfico de uma função quadrática e uma linha recta.
B. Qualquer função do primeiro grau e ímpar.
C. Qualquer função logaritmica tem assimptota horizontal.
D. As funções trigonométricas são periódicas.

4. Observe a figura. Qual é o dominio da funçaõ?
A. R /{1;0} B. R /{1}] C.  /{0} D. 

5. Observe a figura. Qual é o domínio da função?
A.  B./{0} C. /{1} D. ];1[]0;[
6. Qual é o gráfico que representa a função y = x + 2 com x; y 𝜖 IR ?
7. Se x1;x2
é ?
Df com x1  x2 tivermos f (x1)  f (x2 ) diz-se que a função y  f (x)
A. Bijectiva B. Crescente C. Decrescente D.Sobrejectiva


3
 
 
8. Na função f (x) = ax + b sabe-se que f (2) = 8 e f (1) = 2. Quais são os valores de a e
b?
A. a  4;b  6 B. a  6;b  4 C. a  6;b  4 D. a  4;b  6
9. Dada a função f: IR IR definida por
f(-4), f(2) e f(10).
f (x) 
2x  7 se x  2
, determine f(0),
3 se x  2
10.Qual é o contradomínio da função f (x) = (x -1)( x - 5) definida sobre o domínioD
= {1,2,3 : 4;5} ?
A.CD {4;3;0} B.CD {4;0;3} C.CD  {0;3;4} D.CD  {4;3;0}
11. O gráfico da função f (x) 
k
passa pelo ponto

1;
2
.Qual é o valor de k?
x 1
A.
2
B.
3
3
C.
4
3
D.
4
2 3
12. Abaixo esta representado o gráfico de uma função quadrática
13. Quais são as desigualdades dos seus parâmetros?
y  ax2
 bx  c
A. a  0,b  0,c  0
D. a  0,b  0,c  0
B. a  0,b  0,c  0
E. a  0,b  0,c  0
C. a  0,b  0,c  0
14. Se as raízes de ax2
 bx  c  0 são números reais e iguais, é correcto afirmar que o
gráfico da função y  ax2
 bx  c :
A. Intersecta o eixo OX em 2 pontos diferentes
B. Situa-se completamente acima do eixo OX
C. Situa-se completamente do eixo OX
D. É tangente ao eixo OX

2 4
15. Qual é a expressão analítica da função cujo gráfico está representado na figura?
A.  x2
 2x 1 B.  x2
 2x 1 C.  x2
 2x 1 D.  x2
 2x 1
16. Em quantos pontos se intersectam os gráficos das funções
g(x)  3 ?
f (x)  x2
 4x e
A. 1 B.2 C.3 D. 4
17. Qual é a expressão analítica de uma função do segundo grau, cujo gráfico passa
pelo ponto P (0;-2) e tem como coordenadas de vértice V
 3
;
1 
?
A. f (x)  x2
 3x  2
B. f (x)  x2
 3x  2
 
 
C. f (x)  x2
 3x  2
D. f (x)  x2
 3x  2
18. O gráfico de uma função do primeiro grau passa pelo ponto (4;0) e pelo vértice da
parábola dada pela expressão
função do primeiro grau?
f (x)  x2
 2x. Qual é a expressão analítica dessa
A. y 
1
x 
4
B. y  
1
x 
4
C. y  
1
x 
4
D. y 
1
x 
4
3 3 3 3 3 3 3 3
19. Os gráficos das f (x)  ax
e g(x)  x2
1 interceptam – se num ponto de abcissa
3. Qual é o valor de a?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
20. Qual é a abcissa do vértice do gráfico da função g(x)  x2
 2x?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
21. Qual dos seguintes conjuntos é igual a Q  {x  R : x2
 5x  6  0}?
A. [3;2] B. [3;2] C. ]  ;3][2;[ D. ] ;3[] 2;[
22. Qual destas funções tem apenas como domínio 
?
A. f (x)  x2
B. f (x)  2x C. f (x) 
1
x
D. f (x)  log2 x

23.Na figura abaixo está representa o gráfico da função f (x) = log b x:A
área da região sombreada é:
A. 2 B.2,2 C.2,8 D. 2,5 E. 3
24. O valor de sen12000
é:
A.
1
B. 
3
C.
3
D. 
1
2 2 2 2
25. Sabendo que  é um ângulo do 1º quadrante. A que quadrante pertence o ângulo
  ?
A. IQ B. IIQ C. IIIQ D. IVQ
26. A expressão 1 senx* cos x *tgx é equivalente á?
A. sen2
x B. 1 senx C. cos2
x D. 1  tgx
27. Se Cos  
1
2
e Sen  0 , qual é o valor de  [0o
;360o
]?
A.60° B. 120° C. 240° D.300°
28. Qual é o valor do ângulo , para o qual Sen  Cos , Sendo 180o
   360o
?
A.270° B. 225° C. 210° D.180°
29. Qual é o contradomínio da função f (x) = 2+ cosx?
A. [3;1] B. [2;2] C. [1;1] D. [1;3]
30. Considere a função f (x) = senx com
h(x)  f

x 
 
?
x; . Qual é o domínio da função


A.


3
;
 


B.



;
3 

C.



;
 

D.;
 2 2  2 2   2 2

31. Seja

o perido da funcao
4
f (x)  cos(2mx), com m 
. Qual é o valor de m?
A.
1
B.
8

C. 4 D. 8
8
2

3
3
2
3 2
4 2
2
4 4
32. O conjunto imagem (o contradomínio) da função f (x)  (senx cosx)2
é:
A. [0;[ B. [1;1] C.[0;4] D.[0;2] E. ]  ;[
33. O período da função f (x)  5sen

4x 
 
é:
 
 
A.

B.

C.

D.
1
5 2 3 2
34. O período da função f (x)  cos
 2x 
é:
A. 6
 
 
B. 4

C.3

D. 2
35. O período da função f (x)  tgs

3x 
 
é:
 
 
A.

B.
2
C.
2
D.
3 3 5
36. O período da função f (x)  ctg
1
x 
 
é:
 
 
A.

B.
3

C.2
2
D.3
37. Seja g(x)  tgx .Qual é o conjunto que representa o domínio de g?
A. /

k

 B. /

k

 C. 
 D. 
   
   

38. Determine o domínio das funções:
A. f (x)  tgx  600
 B. f (x)  tg

x 
 

 
 
C. f (x)  ctg

x 
 
D. f (x)  ctg

2x 
 

   
   
39. As declarações abaixo foram deduzidas por um estudante para a expressão:
g(x)  3 5sen2x  4

1.O domínio de g é ]  ;[ 2.O domínio de g é [2;8]
3.O período de g é

4.
2
g(2)  3
Quais das afirmaçoes são correctas ?
A.1, 2 e 3 B.1,2 e 4 C.1, 3 e 4 D. 2,3 e 4

III. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
1. Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) =
1
x - 2, então :
3
A. g(x) = 9x – 15 B. g(x) = 9x + 15 C. g(x) = 15x - 9
D.g(x) = 15x + 9 E. g(x) =9x - 5
2. Sejam f (x)  2x
e g(x)  log3 (x  9) .Qual é o valor de fog(0)?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. Seja f uma funçao rela que tem as seguintes propriedades : para todos x, y reais,
f(x+y)=x+f(y); f(0)=2. Quanto vale o valor de f(2000)?
A.2002 B.2 C.1998 D.2000
4. Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação
f(g(x))=0 são :
A.inteiras B.negativas C. racionais D. inversas E. opostas
5. Sejam f(x) = x² + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais. Definimos a função composta
de f e g como sendo gof(x)=g(f(x)). Então gof(y-1) é igual a :
A. y²-2y+1 B.(y-1)²+1 C.y²+2y-2 D.y²-2y+3 E.y²-1
6. A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então
f(f(18)) é igual:
A. -2 B. -1 C.1 D. 4 E.5
7. As funções f e g , de R em R, são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se
f(g(x))=g(f(x)),então f(m) é um número :
A. primo B. negativo C. cubo perfeito D. menor que 18 E. múltiplo de 12
8. Seja f : R  R uma função definida por y = f(x). Sabendo-se que f(0)=3, f(1) = 2 e
f(3) = 0, o valor de x tal que f(f(x+2)) = 3 é :
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

9. Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale :
A.-2 B.0 C.1 D.3 E.5
10. Se f(g(x)) = 2x²-4x+4 e f(x-2) = x + 2, então o valor de g(2) é :
A.-2 B.2 C.0 D.3 E.5
11. Sendo f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x))=0
é :
A.{1,3} B.{-1,-3} C.{1,-3} D.{-1,3} E.{ }
12. Sendo f e g funções de R em R , tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x², o valor de
f(g(f(1))) é :
A.10 B.11 C.12 D.13 E.14
13. Os gráficos das funções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = k x
, 1  k > 0, se
interceptam num ponto de abscissa 3. Então o valor de f ( g ( k)) é :
A.3 B.9 C. 12 D. 15 E. 18
14. Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k
tal que g(f(k))= 4 é :
A. 1/4 B. 4/5 C. 2 D. 3 E. 7/6
15. Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é:
A. 6 B. –12 C. –6 D.–18 E. 12
16. Se x >1 e f (x) =
x
, então f (f (x + 1)) é igual a:
x 1
A. x+1 B.
1
x 1
C. x – 1 D.
x
E.
x 1
x 1
x 1
17. Se f e g são funções definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m 0 e n
 0, então a soma das raízes de fog(x) é
A. m B. – m C. n D. – n E. m.n
18. Se f e g são funções reais tais que f(x)=2x-2 e f(g(x))=x+2, para todo xR, então
g(f(2)) é igual a:
A 4 B. 1 C. 0 D. 2 E. 3

19. Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = a x
.
O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é:
A.1 B. 2 C. 3 D. 3/2 E. 5/2
20. Seja y=f(x) uma função definida no intervalo [-3;6] conforme indicado no gráfico.
Deste modo, o valor de f(f(2)) é:
A. 3 B. 0 C.-3 D. -1/2 E. 1
21. Com respeito à função f:RR, cujo gráfico está representado abaixo:
É correcto afirmar:
A. (f o f) (-2) = 1 B. (f o f) (-1) = 2 C. (f o f) (-2) = -1
D. (f o f) (-1) = 0 E. f(-2) = 1
22. Duas funções, f e g , são tais que f(x)=3x-1 e f[g(x)]=2-6x. Nessas condições, o
valor de g(-1) é:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

23. Se f e g são funções de R em R tais que f(x)=2x-1 e f(g(x))=x²-1, então g(x) é igual
a
A. 2x²+1 B.
x
1 C.
x
2 2
D. x+1 E. x 
1
2
24. Para função f(x)=5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b é:
A. -1 B. -4/5 C. -17/25 D. -1/5
25. Para um número real fixo  , a função f(x) = x - 2 é tal que f(f(1))= -3. O valor de
 é:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
26. No esquema , f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C.
Então:
A. g(x) = 6x + 5 B. f(x) = 6x + 5 C. g(x) = 3x + 2
D. f(x) = 8x + 6 E. g(x) = (x - 1)/2
27. Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g.
A soma f(g(1)) + g (f (–1)) é igual a:
A. –1 B. 2 C. 0 D. 3 E. 1
28. Sejam as funções f e g reais definidas por f (x)  2x  a e g(x)  3x  2 com
a  R. Determine a a fim de que, para todo x real, f (g(x)) = g( f (x)) .
2

29. Sendo g(x) = 3x + 1 e g(f(x)) =
3x
11, determine f(x). Sendo g(x) = 2x - 1 e
2
f(g(x)) = 2x – 5, determine f(x).
30. Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por:
f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
A. -5 B. -4 C. 0 D. 4 E. 5
31. Considere a função f definida pela tabela seguinte:
Qual é o valor de f [f (4)]?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
32. Na função
g[g(x)]  1 é:
g(x) representada no gráfico abaixo, o valor de x tal que
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1

x
IV. FUNÇÃO INVERSA
1. Determine a função inversa das funções:
a) f (x)  2x  5 b) f (x) 
1 x
5
c) f (x)  x3
 3 d) f (x)  2  x2
e) f (x)  f) f (x)  g) f (x)  g) f (x) 
2
h) f (x) 
x  2
3 x
i) f (x) 
2x
3x 1
j) f (x) 
4
x
k) f (x) 
1 x
2x  5
l) f (x)  2 x1
 3 m) f (x)  1 3x
n) f (x)  e x2
o) f (x) 
2x
1
3
p) f (x)  log(x  2) q) f (x)  ln(3x  2) r) f (x)  log1 (1 2x)  2
2
s) f (x)  log3
t) f (x)  sen(x 1)  5 v) f (x)  tg(3x) x) f (x)  3 cosx w) f (x)  ctg(2x)
y) f (x)  tg(4x 1)  3 z) f (x)  cos(2  x)
2. Determine a função inversa de f(x) =
x 1
x
A.
1
1 x
B. 1
 x
C. 1 x
1 x
D. 1 x
1 x E. x +
1
3. Sendo f1 a função inversa de f(x) =
x
+ 1 , então f 1 (4) é igual a :
2
A. -4 B.1/4 C. 4 D. -3 E. 6
4. A função inversa da função f (x) 
2x 1
é:
x  3
A. f 1
(x) 
x  3
2x 1
B. f 1
(x) 
2x 1
x  3
C. f 1
(x) 
1 2x
3  x
D. f 1
(x) 
3x 1
2  x
x 3 x2
1 3
x
x

5. Qual é função inversa da função f (x) 
x  5
é:
x  2
x  2
A.
x  5
x  2
B.
x  5
2x  5
C.
x 1
2x  5
D.
x  2
6. Qual é a expressão analitica da função inversa de f (x)  2  lg(x 1)? é:
A. ex2
1 B. ex2
10 C. 10x2
1 D. ex2
1
7. Se f 1 é a função inversa da função f ,com R em R, definida por f(x) = 3x - 2, então
f 1 (-1) é igual a :
A. -1 B. -1/3 C. -1/5 D.1/5 E.1/3
8. Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x + 1. Se
de f, então f(f(1/2)) - f 1
(5) é igual a :
f 1
é a função inversa
A. f(1) B. f(-2) C.2.f(1/2) D.3.f(-1/2) 1/2.f(-1)
9. O gráfico de uma função f ( x ) ax  b é uma reta que corta os eixos coordenados
nos pontos (2,0) e (0,-3). O valor de f (f -1
(0)) é
A.
15
B. 0 C. 
10
D.
10
E. 
5
2 3 3 2
10. Dada f(x) = ax + 3, com a ≠ 0, determine o valor de a sabendo que f-1
(6) = 3.
11. Seja f :   uma função definida por f (x)  mx  p .Se o gráfico de f passa
pelos pontos P (0,4)e P (3,0) , então o gráfico de f 1
passa pelo ponto:
A. (8,3)
1 2
B. (8,2) C. (8,2) D. (8,3)
12. Observe as figuras. Qual é o gráfico da inversa da função f (x)  log2 x ?

13. Qual é o contradomínio da inversa da função, representada na figura?
14. Qual das figuras pode representar o gráfico de uma função invertível?

V. FUNÇÃO HOMÓGRAFA
1. Diga qual das funções abaixo é homografa:
a) f (x) 
2x 1
x  3
b) f (x) 
2x 1
3
c) f (x) 
1
x  3
d) f (x) 
x2
x  3
e) f (x) 
x
x2
 3
f) f (x) 
x
x  3
g) f (x) 
2  x
x 1
e) f (x)  
1
2x  5
2. Das funções homógrafas encontradas no exercício anterior, esboce o gráfico de cada
uma delas.
3. As assimptotas da função f (x) 
x 1
são respectivamente:
x  3
A. x 1; y  3 B. x  3; y 1 C. x  1; y  3 D. x  3; y  1
4. As assimptotas da função f (x) 
2x 1
x 1
A. x  2; y  1 B. x 1; y  2 C. x 1; y 1 D. x  1; y  1
5. As assimptotas da função f (x)  2 
1
2x 1
A. x  
1
; y  2
2
B. x 
1
; y  2
2
C. x 
1
; y  2
2
D. x  2; y 
1
2
6. O contradominio da função f (x) 
1
1 x
 2 é:
A. R B. R/{1} C. R /{2} D.[3;[ E. ]  ;2]
7. O gráfico que representa a função f (x) 
x  1
é:
x 1

8. O gráfico que representa a função f (x) 
x  3
x  2
é:
9. O gráfico que representa a função abaixo :
Qual das funções é a expressão analitica da função acima?
A. y 
x  2
x 1
B. y 
x  2
x 1
C. y 
x
x 1
D. y 
x
x 1
E. y 
x  2
x  1

10. Dado o gráfico da função homógrafa
Determine a partir do grafico:
a) As equações das assimptotas
b) O (s) zeros da função
c) Se a ordena na origem é 
1
3
,determine a expressão analitica da função.

n
n
VI. SUCESSÃO NÚMERICA
1. Dada a sucessão de termo geral u 
1 3n
n
2n
a) Calcule os quatro primeiros termos
b) Qual é a ordem dos termos 34/22 e 61/40?
c) Verifique se
31
é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indica a sua ordem.
20
d) Estude a monotonia da sucessão un
2. Numa sucessão de termo geral an  an1 5 com nIN, o termo de ordem três é
igual a 17. Qual é o termo de ordem 2?
A. 5 B. 10 C.12 D.22
3. Qual é a ordem do termo 3 na sucessão dada por an  2n  5?
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
4. Qual é a ordem do termo 4 na sucessão dada por an  2n  6 ?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
5. Considere a sucessão de termo geral an  3n  7 . Qual é a ordem do termo 52?
A. 13 B. 14 C.15 D.16
6. Considere a sucessão an 1 3n. . Qual é a ordem do termo -59?
A. 30 B. 20 C. −176 D. −177
7. Qual é a ordem do termo 3 na sucessão dada por an  2n 1?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. Na sucessão an

5n 1
,qual é o termo de ordem 7 ?
n  2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. Considere a sucessão de termo geral un
n 1?

n 1
, n N . Qual é o termo de ordem
2n
n
A.
2n  2
n 1
B.
2n  2
n  2
C.
2n 1
n  2
D.
2n  2
10. Para que valores de k IR, a sucessão u  kn
com nIN é infinitamente grande?
A. k 1 B. k 1 C. k 1 D. k 1
11. Qual é a classificação da sucessão cujo termo geral é a  (n)n
?
A. Convergente e infinitamente pequena. C. Divergente e infinitamente grande.
B. Convergente e infinitamente grande. D. Divirgente e infinitamente pequena.

1;
2
;
2n n n 1
n

12. Qual é a sucessão infinitamente pequena?
A. 0;
1
;
2
2
;...
3
B. 1;
1
;
1
2 3
;... C. 2;
3
;
2
4
;...
3
D.
1
;
2
;
2 3
3
;...
4
13. Qual das sucessões é divergente?
n2
A. n  5
 2 n
B. 
5

3n2
 5n
C.
n5
1 D.
2n 1
n
 


14. Qual é a classificação da sucessão un

n 1
quanto à monotonia?
n
A. Alternada B. Constante C. Crescente D. Decrescente
15. Qual é a característica correcta que corresponde a sucessão
A. Constante C. Crescente
B. Decrescente D. Oscilante
16. Qual é o termo geral da sucessão:
1
a  5 23n
?
4 9
A.
n2
; ;... ?
8
B.
n2
n2
C.
n2 D.
17. Qual destas sucessões é infinitamente grande negativa?
A. 3n 1000 B. 13 n C. n2
 8000 D. n9
18. Qual das sucessões é divergente?
n2
 4 n2
1 2000  5 n
A.
n 1
B.
n2
 4
C.
n  8 D. 1 
n
19. Se f (n), n   é uma sequência definida por  f (0) 1
 

, então f(200) é:

f (n 1)  f (n)  3
A. 597 B.600 C. 601 D. 604 E. 607
20. A sucessão an  n2
 6n  5  n é:
A. Convergente B. Divergente C. Oscilante D. Infinitamente grande
21. A partir de que ordem, os termos da sucessão de termo geral
mais perto do limite a menos de uma décima?
an  5 
2
n 1
ficam
A. 5 B. 6 C. 19 D. 20
3
n


 
 9n2
 2n 14n 5
 5  2n3
n2
3


LIMITES DE SUCESSÃO
3  2n2
 n3
1. lim 2
2n5
 5n2
 3n 1
2. lim 2
3
3. lim 2
6n2
 n  5
4. lim 2
n 5n  2n  5 n 3n  7n  2 n n  6 n 2n  3n  5
5. lim
n
n n
6. lim
n

7. lim
n
3
64n6
14n2
 7
1 2n 16n2
8. lim
n
 9. lim

2n3


10.1
0
.
limn  1 2n  n2
 11. lim2n 1  n  2
n 4n2
 5 

n



n1
n
12. limn 1  n 3 13. lim 
 
14. lim
n

(4  n)(n  2)(2n  5)
n n3
 3 
1 n 8n3
n 3n2
 2n1
(2  3n)3
(4n  2)2
15. lim
n (5  2n)(3  n)(4n  5)
16. lim3
n n3
 2n  5
17. lim
n (5  2n)3
(n2
 5)
(2  3n)(4n  2)(1 2n) 5n1
 2n
3n2
 2n1
18. lim
n 5  2n  6n3
n3
19. lim
n 3n  25n
20. lim
n
 
3n
 2n
16n2
1 3n5 1 3 5  7 ...  (2n 1) 2n 1
21. lim 
2n2
1 22. lim n 1 
2 
n
  n 

23. lim
1 2  3 4...  n 
24. lim
2  3 4  5... (n 1)


n
3n2
1


n

n3
 2n 1 
12
 22
 32
 ...  n2



 1 1 1 1 
25.lim 
n
 n3
 26.lim 
n
 2
 ... 
4 8 2n

1

1

1
... 
1
27.lim 2 4 8 2n
n 9  3
1

1
...
1
3 9 3n3
8n2
 5n  7
4n4
 2n  6
2n
n 1
3 2n2
 2n

2 2 2
VII. PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
PROGRESSÕES ARITMÉTICA
1. Encontre o termo geral das seguintes progressões:
a)
1
;
5
;
9
;... b)
2
;
4
;
8
;... c)
2
;
5
;
7
;...
3 6 9 3 9 27 5 25 125
d)
1
;
1
;
3 5
1
;...
7
e)
2
;
4
2
;
2
8 16
;... e) 
1
;
2
;
2 4
3
;...
8
2. Ache o quinto termo da PA (a+b, 3a-2b,...).
3. Quantos números pares, menores que 124 existem ?
A.59 B.61 C.62 D.65
4. Qual é o 105º número ímpar?
A. 105 B. 109 C. 205 D. 209
5. Numa PA de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?
6. Quantos termos tem uma PA finita de razão 3, sabendo-se que a1 é -5 e o ultimo
termo é 16?
7. Numa P.A., cujo 20
termo é igual a 5 e o 60
termo é igual a 13 o 200
termo é igual a:
A.13 B.40 C. 41 D. 42 E. nda.
8. Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101?
A. 250 B. 2050 C. 2555 D. 2550 E.zero
9. Os números
10
, x 3 e
x
x  3 são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos
positivos, sendo x0. O décimo termo desta P.A. é igual a:
A.50 B. 53 C. 54 D.57 E. 55
10. As medidas do lado, da diagonal e da área de um quadrado estão em P.A., nessa
ordem. O lado do quadrado mede:
A. B.2 1 C. 1 D. 4 E. 2
11. Sejam 3p-4; 4p-3; 7p-6, três primeiros termos de uma progressão aritmética. Qual é
o valor de p?
A. - 2 B. 1 C. 2 D .4
12. Quantos números pares de 3 algarismos, menores do que 200, existem?
A. 150 B. 100 C. 50 D. 25
13. Calcule o número de termos da PA (5, 10,..., 785).
2

n
14. Os dois primeiros termos de uma PA é 2 e 1/2, . Calcule a soma dos 20 primeiros
termos supondo que se trata de uma progressão aritmética.
15. A soma dos seis termos consecutivos de uma PA é 12, e o ultimo é 7.Determinar os
termos da PA.
16. O termo médio de uma progressão aritmética de 5 termos é 11. Qual é a soma destes
termos?
A. 11 B. 17 C. 55 D. 110
17. De uma progressão aritmética de 13 termos sabe-se que o primeiro termo é 4 e o
último é 40. Qual é a soma dos termos da progressão?
A. 44 B. 144. C. 286 D. 572
18. Numa progressão aritmética finita, em que a soma dos seus termos é 110, o primeiro
e o último termos são respectivamente 2 e 20. Quantos termos tem a sucessão?
A.21 B. 20 C. 11 D. 10
19. De uma progressão aritmética de 8 termos sabe-se que o primeiro termo é 1 e a
soma de todos os termos é 148. Qual é a diferença entre os termos da progressão?
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
20. A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética é 27 e o produto
dos dois primeiros termos é 36. Qual é o primeiro termo da sucessão?
A. 4 B. 5 C. 9 D. 27
21. Calcule o valor da seguinte soma: 2 + 3 + 4 + ....+ 99 + 100 + 101
A. 5050 B.5051 C. 5049 D.5055 E. nda
22. Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos termos de
uma P.A:
a) 258...x  77 (sol. x=20) b) 1 7 ...x  280 (sol. x=55)
23. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética (a1 ,a2 ,...,an ,...) é 176.
Se a11 a1  30 então, para qualquer n  
 temos:
A. an  3n  2
D. an  2n  3
B. an  2n  3
E. an  3n  2
C. an  n  3
24. A soma dos termos de uma P.A. é dada por
Então o 10o
termo da P.A. vale:
S  n2
 n, n = 1, 2, 3, ...
A. 18 B. 90 C. 8 D. 100 E. 9
25. Um automóvel percorreu no primeiro dia de viagem x km, no segundo dia percorreu
o dobro de x e no terceiro dia percorreu o triplo de x, assim sucessivamente. Até ao
fim de 10 dias, percorreu uma distância total de 1650km.
Quantos quilómetros o automóvel percorreu no primeiro dia de viagem?
A. 165 km B. 60 km C. 30 km D. 15 km

n n n n
4 4 4 4
2 2 2 2
PROGRESSÕES GEOMÉTRICA
26. Encontre o termo geral da PG
a)
2
;
4
;
3 9
8
;....
27
b) (1, 5,...) c) (2, 1,...).
d)
2
;
3
6
;
18
5 7
;.... e)
1
;
1
;
3 9
1
;....
27
27. Qual é o termo geral da sucessão 2; 6; 18;...?
A. a  2.3n1
B. a  3.2n1
C. a  2.3n1
D. a  3.2n1
28. A sequência ( 1, a, ...) é uma progressão geométrica. O nono termo desta progressão
é 256. Encontre um possível valor para a.
29. Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale
1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
30. Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
31. Determine o valor de x, de modo que os números x+1, x+4 e x+10 formem, nesta
ordem, uma PG.
32. Qual é o 6º termo da PG (512, 256,...).
33. Qual é o 7º termo da PG (1/2, -1,...).
34. Determine o numero de termo da PG (1, 2,..., 256).
35. Sabe-se que numa PG a razão é 9, o primeiro termo é 1/9 e o ultimo termo é 729.
Qual o numero de termos dessa PG.
36. Qual é o primeiro termo de uma PG, na qual o 11º termo é 3072 e a razão é 2?
37. Uma PG tem 6 termos, sendo 2 o ultimo termo e 1/4 a razão. Qual é o primeiro
termo dessa PG?
38. Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma PG, em que a1 = 1 e q = 2?
39. Numa PG, a soma dos termos é 728. Sabendo-se que an = 486 e q = 3, calcule o
primeiro termo dessa PG.
40. Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes PG:
a) (5,1,1/5,...) b) (20, 10, 5,...) c) (-30, -10, -10/3,...) d) (2-2
, 2-4
, 2-6
,...)
41. Calcule o valor de :
log 21
 log 23
 log 25
...  log 2999
sol. 125 000
42. Resolva a equação : log x  log x2
 log x3
...  log x100
15150 sol. 8

 
43. Obtenha a fracção geratriz das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,999... sol. 1 b) 0,25151... sol.
83
330
c) 0,42333... sol.
127
d) 2,666... sol.
300
8
e) 1,3555 sol.
61
3 45
44. Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos termos de
uma P.G infinita:
a) 80x  40x  20x ...  320 (sol. x=2) b) x 
x

x
 ... 12 (sol.x=8)
c) x2

x  x2

x2
...  6 (sol. x= -3; x=3) d)
3 9
x 
x

x
...  60 (sol. x=40)
2 4 8
x 1
1

1
...
3 27
45. Qual é o valor da expressão x x2
1

1

1

1
?
...
(sol. x(x+1)
x x3
x5
x5
46. Determine o valor de x,x  0, que satisfaça a igualdade:
1 x  x2

x
2

x2
4

x2
8
...
x2
2n1 ...  56 (sol. x=5)
47. Numa sucessão de 4 termos, os três primeiros termos estão em P.G de razão 2 e os
três últimos estão em P.A de razão 6. Quais são esses termos?
48. Numa progressão geométrica de quantidade ímpar de termos, qual é o termo médio,
sabendo que 4 e 324 são respectivamente o primeiro e o último termos?
A.36 B. 164 C. 200 D. 202
49. Quais são os três primeiros termos de uma progressão geométrica em que o sétimo
termo é 192 e o segundo é 6?
A. 1;6;36 B. 3;6;9 C. 3;6;12 D. 2;6;10
50. Qual é a soma dos primeiros seis termos de uma progressão geométrica cujo
primeiro termo é 3 e a razão é 2?
A. 32 B. 64 C. 144 D. 189
51. Qual é a soma de todos os termos da sucessão:

9;3;1;
1
;
1
;
1
;
1
;...

?
 3 9 27 81 
A.
3
B.
5
C.
9 D.
27
2 2 2 2
52. Sabendo que x;x 9;x  45;...formam uma progressão geométrica, qual é o valor
de x?
A. - 3 B. 3 C. 9 D. 27
2
2

2

,
53. Os pares dos termos equidistantes de uma progressão aritmética finita são
respectivamente 1 e 37; k e 31. Qual é o valor de k?
A. 6 B. 7 C. 13 D. 25
54. Numa progressão geométrica, o quinto termo é 40% do quarto termo. Qual é o
terceiro termo, sabendo que o primeiro termo é 100?
A.4 B.8 C. 16 D. 32
55. Qual é o valor da soma de todos os termos da sucessão
1;
1
;
2
1
;...?
4
A.
1
B.2 C.3 D. 
2
56. Considere uma progressão geométrica de razão igual a 2, cujo primeiro termo é 3.
Qual é a posição do termo 192?
A. 6
57. Na P.G.
B. 7
2log x
,2log y
,2log z
, y vale:
C. 8 D. 9
A. xz B. x  z C.  xz D.| xz | E. xz
58. Numa PG a1 + a2 = 3 e
A.2 B.3
a4 + a5 = 24, a razão da PG é :
C.4 D. 5 E. 6
59. A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é
igual a:
A. 2 B.6 C.18 D. 5 E.nda.
60. Qual é a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cujo o termo geral é
an
A. 
33
 2n2
?
B.
33
C. 
31
D.
31
2
61. Calcule x, sendo:
2
5x 
x

2
x

x
4 8
2 2
 ...  60
A.45 B.50 C.10 D. 9 E.4
62. A soma dos 9 primeiros termos da seqüência(1,2,4,8,...) é igual a:
A. 63 B. 127 C.128 D.255 E.511
63. A soma dos infinitos termos da P.G.
 1 1


,
1
,...


12 

é igual a:
A. 2 B.1/3 C. 2/3 D. 1/6 E. 1
64. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a . Se o
produto dos termos dessa progressão é 239
, então o número de termos é igual a:
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 16
3 6

x2
1
x  1 x
4 3

2

lim  lim  39. lim
x 3
2x2
 6
VIII. LIMITES DE FUNÇÕES
Limites quando a variável tende para infinito
1. lim (3x4
 5x2
 8)
x

 2
2. lim (2x5
 x4
 2x2
1)
x
3. lim (5x3
 3x  2)
x

2x3
 3x2
 x 1
4. lim (x
x
 3x  2) 5. lim (
x
 x) 6. lim
x


x2
 x  3
2x2
1 3x 3x3
 5x2
 2x 1
7. lim 2
8. lim 2
9. lim 3 2
x x 1 x x  3 x 9x

5x  x  3
2x3
 5x2
 8
10. lim 5
11. lim 5x3
 2x2
 1 5x2
 x 1
12. lim 2
x 4x  8x  7 x x  7 x 2x  x  3
2x2
 x  5
13. lim 3
14. lim 15. lim
x 4x 1 x 4x  3 x x 1
16. lim x2
 x 1
3 3
17. lim 18. lim (3x  2)3
x (x 1)  x
x2
x

7x6
x 2x(3x 1)(4x 1)
3
19. lim 20. lim 7
21. lim 120x
x
x4
1 x 8x x


9x4
 7x2
 2
22. lim(
x

x2
 36
 x) 23. lim
x
 
x 1
5x4
24. lim
x 5x  3x 1
25. lim
x


28. lim
x


x  6
x2
 x  3
3x2
 4
26. lim
x 10x3
29. lim  x
x
27. lim
x


30. lim
x
2x  4
31. lim
x

32. lim
3x  2
x 5x2
 3
33. lim
x
x2
 5x  6  x


34. lim 5x3
 6x2
 x 1
x4
 x2
 x  6 35.
 2  x 
x
lim
3 x


36.
 x2
 
x2
lim 2x2
1
x
x
  x
 
 x x
x
 x 1
 x 1 
x2
x
 x  3



x
 3 3

x2
 5x  3
9x2
 2 x2
 x 1
2x2
 3x  5
x4
1
x2
 2x  3
x2
 x 1
x2
 5
4x  3
2  x

37. 38.

x  h  x x2
 2x  6  x2
 2x  6
 3 
3
x  h  3
x
lim
Limites quando a variável tende para um número real
(x  3)3
 27 9 x x2
1. lim 2.lim 3.lim 4.lim
x25 25 x
x2
 7x10
x0 x
x2
 x 2
x 9
x2
 2x 35
x0
x2
12  12
x2
 6x7
5.lim 2 6. lim 2 7.lim 2 8.lim
x2 x  4 x1 x 1 x5 x 10x  25 x1 x1
9.lim
x1
x2
 x 2
x1
x2
 2x 3
10. lim
x1
x2
 5x  4
x1
x3
 4x2
12x
11. lim
x 4
x2
 3x 4
x 4
3x2
 x 1
12.lim
x5
x2
 4x5
x5
3x5
 x2
13.lim 14. lim 3
15. lim 3
16. lim 2
x2 x2 x 2x  2x 4 x x  4x  3 x x  3x  2
17.1
7
.
lim 18.1
8
.
lim x2
 49 19. lim 4x  5 20.2
0
.
x3
1
lim 2
x 0 x x 7 x  7 x 3 5x 1 x1 x 1
x2
 (a 1)x  a x2
 2x x2
1 x3
3x  2
21. lim
xa x3
 a3
22. lim
x1 x  4x  4
23. lim
x1 x  3x  2
24. lim
x1 x  4x  3
(x  h)3
 x3
 1 3  x 1
25. lim h 26. lim 
1 x 1 x 27. lim x 1 28. lim (x 1)2
h0
29. 29.
x1

30.lim
2  x3
 x1
31. lim x 8
x1
32.l
3 5 x
x7 x2
 49
lim
x8
33. lim 34.
35.
x4 1 5 x x0 x h0 h
2x 2
12x 16
36.lim 37. lim 2
38. lim 2
h0 h
x2
 2x 1
x3 x  4x  3
x  4 2x  4
x2 3x  3x 18
x  2
39. limlog 2
40. lim 41. lim 2 42. lim
x 1 x  2x  2 x 2 x2 x  5x  6 x 2
4x 1  3
x2
 2x 1
43. lim 2
44.lim
x2
 9
45.lim 46. lim x3
 x2
x 1 x  3x  2 x3 x  3 x3 1 4 x x1 x 1
47. lim x3
 x2
 8x 12 48.lim x2
 25 3x4
 x3
 5x2
 2x
49. lim 2
x2 x5 x  5 x0 x  x
x4
 8x3
18x2
 27
50. lim
x0 x
51.lim
x4
52.lim
x3 x4 10x3
 36x2
 54x  27
x3
 4x  3
53. lim 5 54. lim x2
 2x  3 x2
1
55.lim 3 .
x1 x  2x 1 x3 x  3 x1 x 1
56. lim 2
x2
1 57. lim x5
 32 58. lim
x
x 1
5  x
x  3
x  2  2
3
x2
 23
x 1
x64 3
x  4
lim
x 8
3
x  2 x1 3
x 1
im
x 1
1 x  1 x
x  2
x  3
x2
 4x  4
4  x  4  x x2
16
x  2
2 2 4

x  3x  2 x 2 x  2 x0
2  2  x


5

x2
59.lim 60.6
0
.
61.lim 62. lim
2  3 x
x4 x2
 3 x2
 9
x1 x 1
x3
 9x2
 x  9
63. lim 64.lim 65.lim 66. lim 2
x0
67. lim
x1 x 1
x4
68.6
8
.
2
lim(1 x)x
x 0
x3 1 4  x x9 x  81
Limites trigonométricos
1.lim
senx
sen3  x 

2. lim
 




3.lim sen πx
x0 15x x0 x3 x0 x
4.lim
tg4x
5.lim
tg5x 6.
lim
sen5x
x0 2x x0 tg3x x0 10x
7.
lim
sen 4x 8.
lim
sen 4x 9.
lim
sen3x
x0 sen3x x0 sen 3x x0 2x
10.lim
sen πx 11.
lim
1  cosx 12.
lim
1 cosx
x0 x x0 x x 0 x 2
13.
lim
tgx  sen x 14.
lim
x  senx 15.
lim
1  cosx
x0 x x0 x  senx x0 x.senx
16.
lim
1  cos2x 17.
lim
sen5x  sen 4x 18.
lim
tgx  sen x
x0 3x 2 x0 sen8x x0 2x
19.
lim
tgx  sen x 20.
lim
tgx  sen x 21.
lim
tgx  senx
x0 sen2
x x0 sen2
x x0 x
1 sen
x
22. lim 1 senx  1 senx
24. lim
tgx  2x
25.
lim 2
x0 x x0 3x xπ π  x
26.lim
x  sen2x
27. lim
tgx  senx
28.lim
cos5x  cos3x
x0 x  sen3x x0 sen2
x x 0 sen 4x
29.
limcosx
1
x0
1
30.
limcosxx
x0
cos(x  a)  cosa
31.
lim
x0
sen3x  sen 2x
senx
sen(x  a)  sena
32.
lim1 senxx
x0 33.
lim
x0 x 34.
lim
x0 x
x  3  2
x  4
x  2
lim
x0 2 
x
4  x x  2
2x  4
x
x 1 1
1 2x
x  2
1

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