Polinómios: Exercícios Resolvidos

1. numerosnamente 1
Polinómios
-Exercícios Resolvidos-
1- Sabendo que o grau do polinómio:
. é igual a 5;
. é igual a 3;
Indique o grau do polinómio:
a)
b)
c)
d)
Resolução:
a)  o polinómio de grau 5, pois na adição de polinómios o grau não altera.
b)  o polinómio de grau 5, pois na subtração de polinómios o grau não
altera.
c)  o polinómio de grau 8, pois numa multiplicação temos a soma de
graus dos polinómios.
d)  o polinómio de grau 10, pois numa potência temos a multiplicação do valor
do grau pelo valor da potência.
2- Sendo , qual é o grau de
Resolução:
Como numa multiplicação temos a soma dos graus, assim o grau de
 
tem grau 3.
3- Utilize a regra de Ruffini para determinar o polinómio-quociente e o polinómio-resto da
divisão inteira de por , sendo:
a) e
b) e
c) e

2. numerosnamente 2
Resolução:
a)
…logo a raiz é 2
Este valor vai dividir o polinómio-quociente
2 0 -4 1
2 4 8 8
2 4 4 9
 polinómio-quociente
 polinómio-resto
b)
4 0 0 -3 Este valor vai dividir o polinómio-quociente
2 1
4 2 1 -
 polinómio-quociente
 polinómio-resto
c)
…a raiz é 2
8 -5 3 Este valor vai dividir o polinómio-quociente
2 16 22
8 11 25
 polinómio-quociente
 polinómio-resto
4- Determine de modo que o resto da divisão do polinómio por
seja igual a 2, sem efetuar a divisão.
Resolução:
 e a raiz do polinómio.

3. numerosnamente 3
 
Também poderíamos resolver pela regra de ruffini:
1 0 -1 2
1 1 1 0
1 1 0
Assim o resto 
5- Escreva um polinómio do segundo grau divisível por e que dividido por
dê resto 1.
Resolução:
 polinómio do 2º grau
 …então  
6- e são dois polinómios tais que:
.
. 1 é uma raiz de
. 2 é uma raiz de
Determine
Resolução:
e ; então

4. numerosnamente 4
7- De um polinómio do 2º grau sabe-se que:
.
.
.
Determine
Resolução:
ou
( )  ;



e
8- Fatorize o polinómio
Resolução:
O polinómio tem coeficientes inteiros e o seu termo independente é 5
Os divisores de 5 são: 5 , -5 , 1, -1. Vamos averiguar se estes números são raízes do
polinómio.
; ; ;
Temos raiz 5. Valos aplicar a regra de ruffini para baixar o grau do polinómio e depois
calcular as outras raízes deste polinómio.
4 -20 -1 5
5 20 0 -5
4 0 -1 0
 

5. numerosnamente 5
9- Fatorize o polinómio
Resolução:
Fazendo  
√
 
  ;
10- Resolva as inequações.
a)
b)
Resolução:
a)   
b)
   
- - - 0 + + +
+ 0 - - - 0 +
- 0 + 0 - 0 +
11 – Considere o polinómio , com
Mostre que e que
Resolução:
 
…seja assim 1 é
uma raiz simples de
12- Para cada concretização de a expressão designatória
transforma-se num polinómio em , coeficientes reais. Determine o polinómio que é divisível
por
Resolução:
  

6. numerosnamente 6
13- Determine os números reais e de modo que a expressão designatória
se transforme num polinómio divisível por e que dividido por
dê resto 3.
Resolução:
Temos  
{  {  {
14- Determine o polinómio em d coeficientes reais, do 3º grau, sabendo que:
. 2 é o coeficiente do termo de mais alto grau;
. admite -1 e 3 como raízes;
. dividido por dá resto 2.
Resolução:
  
( )
15- Prove é divisível por
Resolução:
  (ok)
16- Dividindo o polinómio por , obtém-se o polinómio-quociente
e o polinómio-resto . Determine
Resolução:

17- Seja um polinómio não nulo tal que . Mostre que o grau de
é 1.
Resolução:
   
Assim o grau de é 1 em ambas as situações.

7. numerosnamente 7
18- Sobre um polinómio sabe-se que:
. dividido por dá resto -1;
. dividido por dá resto -7.
Determine ?
Resolução:
{  {
19- Resolva , em ℝ, a inequação
Resolução:
  
- - - - - 0 +
+ 0 - 0 + + +
- 0 + 0 - 0 +
20- Averigúe qual é o grau de multiplicidade da raiz -2 no polinómio e
decomponha-o em fatores.
Resolução:
1 5 8 4
-2 -2 -6 -4
1 3 2 0
-2 -2 -2
1 1 0
-2 -2
1 -1 0
Pela regra de Ruffini, temos que a raiz -2 tem de grau de multiplicidade 2, pois obteve-
se o resto zero.

8. numerosnamente 8