1. Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR
Depto. de Engenharia de Produção de Volta Redonda
luisduncan@id.uff.br
Volta Redonda 09/03/2015

2. SUMÁRIO
4. Solução de um PPL através do Método Gráfico
4.1 Introdução
4.2 Características de um PPL
4.3 Limitação do Método Gráfico
4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
4.5 Esquema Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
Uma única solução ótima
Múltiplas ou infinitas soluções ótimas
Solução ilimitada
Sem solução
Degenerada

3. 4.1 Introdução ao Método Gráfico
Existem diferentes métodos e algoritmos que resolvem PPL. O
Método Gráfico é um deles. Porém impõe restrições em relação a
quantidade de variáveis de decisão do modelo, um vez que está
limitado a apenas duas variáveis de decisão. Esta limitação é
devido a representação do modelo através de um plano
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
devido a representação do modelo através de um plano
cartesiano.
Estuda-se o Método Gráfico pois é um método de fácil
entendimento e as ocorrências que se verifica com a utilização de
somente duas variáveis vai ocorrer no R3, R4 e no Rn.

4. 4.2 Características do PPL pelo Método Gráfico
Variáveis de decisão, representadas por xi (i=1, 2, ...,n), sendo
n o número de variáveis de decisão do modelo. No caso do
método gráfico n está restrito a somente duas variáveis de
decisão. É sobre estas variáveis que queremos tomar decisão.
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
Função objetivo, representado por equações matemáticas. É o
objetivo do problema.
Restrições tecnológicas, representado por equações ou
inequações escritas com a utilização das variáveis de decisão.
Restrições de não-negatividades, indicam que as variáveis de
decisão só podem assumir valores não-negativos.
Os Modelos, buscam representar uma visão simplificada da
realidade.

5. 4.3 Introdução ao Método Gráfico
Limitações do Método Gráfico:
Este método de solução de um PPL limita-se a problemas de no
máximo duas variáveis. Uma variável associada a cada eixo. Por
exemplo, uma variável x1 ou x associada ao eixo horizontal e uma
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
exemplo, uma variável x1 ou x associada ao eixo horizontal e uma
variável x2 ou y associada ao eixo vertical.

6. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
No plano R2 a equação da reta é dada por: Ax + By + C = 0, com
A, B e C ∈ ℜ.
Uma reta separa o plano em duas regiões chamadas de semi-
planos:
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
planos:
Ax + By + C < 0 e Ax + By + C > 0.
Exemplo 1: 3x + 4y – 12 = 0

7. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Exemplo 1:
3x + 4y – 12 = 0
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

8. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Exemplo 2:
- 2x + 3y + 6 = 0
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

9. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
No R3 a equação do plano é dada por: Ax + By + Cz + D = 0, com
A, B, C e D ∈ ℜ.
Um plano separa o R3 em duas regiões chamadas de semi-
espaços:
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
espaços:
Ax + By + Cz + D < 0 e Ax + By + Cz + D > 0
Exemplo:
2x+2y+2z–10=0

10. 4.4 Interpretação no Plano R2, R3 e no Rn
Estendendo-se para o Rn pode-se definir o hiperplano como um
conjunto de pontos da forma:
x1, x2, x3, . . . , xn tais que:
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
x1, x2, x3, . . . , xn tais que:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn, + a0 = 0 sendo que:
a1, a2, a3, . . ., an, a0 ∈ ℜ
O hiperplano divide o Rn em dois semi-espaços:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn > a0
e a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn, < a0.

11. 4.5 Esquema Gráfico:
Apresenta-se abaixo um esquema gráfico dos PPL´s no R2 e no Rn.
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

12. 4.5 Esquema Gráfico:
A busca de solução de um PPL pelo Método Gráfico exige o uso de
escala e par de esquadros.
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

13. 4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta uma única solução ótima.
Caso 1: MAX Z = 3X + 2Y (FO)
S.A. 2X + 4Y <= 8 (R1)
4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
5X + 3Y <= 15 (R2)
X >= 0 (R3)
Y >= 0 (R4)
A área em vermelho representa a região viável de PPL. Esta área é
um conjunto convexo.
Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta uma única
solução ótima, pois a FO atinge o seu valor ótimo em um vértice,
quando x=2,57 e y=0,71. Neste ponto o Z* = 9,13.

14. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

15. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta infinitas ou múltiplas soluções ótimas.
Caso 2: MAX Z = X + 2Y (FO)
S.A. 2X + 4Y <= 8 (R1)
5X + 3Y <= 15 (R2)
X >= 0, Y >=0 (R3) e (R4)
A área em vermelho representa a região viável de PPL.
Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta múltiplas
soluções ótimas, pois a FO atinge o seu valor ótimo em um trecho
da aresta. A FO é paralela a uma aresta. O valor ótimo de Z* = 4.
Este valor é obtido entre os pares de pontos (0;2) e (2,57;0,71).
Portanto, existem infinitos pontos neste trecho da reta R1 que gera
um valor ótimo de Z*=4

16. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

17. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta solução ilimitada.
Caso 3: MAX Z = X + 2Y (FO)
S.A. 2Y <= 6 (R1)
5X + 3Y >= 15 (R2)
X >= 0 (R3)
Y >=0 (R4)
A área em vermelho representa a região viável de PPL. Esta área é
um conjunto convexo. Este conjunto não é fechado, é aberto.
Justificativa de Solução do PPL: Este PPL apresenta solução
ilimitada, pois a FO pode crescer indefinidamente. Não há restrição
impedindo o crescimento da FO.

18. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

19. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL não tem solução.
Caso 4: MAX Z = X + 2Y (FO)
S.A. 2X + Y <= 2 (R1)
5X + 4Y >= 12 (R2)
X >= 0 (R3)
Y >=0 (R4)
Não há região viável neste PPL.
Justificativa de Solução do PPL: Este PPL não apresenta solução,
pois as restrições não geram um conjunto de soluções viáveis.

20. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

21. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.6 Tipos de Soluções de um PPL no R2
O PPL apresenta solução degenerada.
Caso 5: MAX Z = 9X + Y (FO)
S.A. X + 2Y <= 6 (R1)
5X + 6Y <= 30 (R2)5X + 6Y <= 30 (R2)
4X + 6Y <= 24 (R3)
X >= 0 (R4)
Y >=0 (R5)
No PPL degenerado há região viável neste PPL.
Justificativa de Solução do PPL: A solução ótima ocorre na
interseção de diversas retas no ponto (X=6, Y=0). [(R1,R2),
(R1,R5), (R1,R2), (R1,R3), (R2,R5), (R2,R3), (R3,R5)].
O valor ótimo do PPL Z* = 54.

22. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico

23. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.7 Exercícios:
Resolva os PPLs empregando o Método Gráfico, representando no
papel milimetrado utilizando esquadros e régua:
i. Identifique todas as restrições do PPL (R1, R2, . . ., Rn).
ii. Identifique a Região Viável, se houver (RV);ii. Identifique a Região Viável, se houver (RV);
iii. Os pontos de interseções da Região Viável, se houver;
iv. Represente e determine o valor ótimo da Função Objetivo no
gráfico, se houver (FO);
v. Todos os valores ótimos das variáveis de decisão, se houver;
vi. Identifique o tipo de solução que o PPL apresenta.
vii. Justifique a sua resposta.

24. 4. Solução do PPL pelo Método Gráfico
4.7 Exercícios: