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Gráficos Horários do M.H.S.
      MOVIMENTO HARMÔNICO
         SIMPLES (M.H.S.)
       M.H.S. é um movimento periódico (se repete
em intervalos de tempos iguais) e oscilatório
(movimento realizado simetricamente em torno de uma
posição de equilíbrio).
       É descrito por funções senoidais e
cossenoidais.

       Definições:

Período (T): o menor intervalo de tempo para que o
fenômeno se repita.
Freqüência (f): o número de vezes que o fenômeno se
repete por unidade de tempo.
                          1       1
                     T=     → f =
                          f       T
Amplitude (A): elongação máxima
Ângulo de fase (θ): θ0 + ωt
Fase inicial (θ0): t = 0 → θ = θ0
Velocidade angular ou pulsação (ω): variação da
posição angular por unidade de tempo
                      2π
                ω=       → ω = 2π.f
                      T

          Funções Horárias do M.H.S.
                                                                        M.H.S. e M.C.U.
a) Função Horária da Elongação:
                                                               O movimento harmônico simples (M.H.S.) está
                 x = A cos (θ0 + ωt)                   relacionado com o movimento circular uniforme
                                                       (M.C.U.). Quando o ponto P descreve um M.C.U. sobre
b) Função Horária da Velocidade:                       a circunferência de raio R, sua projeção P’ descreve
                                                       um M.H.S. sobre o eixo x de amplitude A, sendo R = A.
                v = - ω A sen (θ0 + ωt)

c) Função Horária da Aceleração:

               a = - ω2 A cos (θ0 + ωt)



Velocidade escalar no M.H.S. em função da elongação:
                   v2 = ω2 ⋅ (A2 – x2)

Aceleração escalar no M.H.S. em função da elongação:
                      a = - ω2 ⋅ x
                                                                            x = A cos θ
                                                                            θ = θ0 + ωt
        Relação entre a elongação, a velocidade e a                     x = A cos (θ0 + ωt)
aceleração no M.H.S.:
                                                              Os gráficos seguintes relacionam o movimento
                                                       harmônico simples e o movimento circular uniforme:




                                                                                                       1
Posição em função do tempo:                                      Pêndulo Simples

                                                                 Consiste numa partícula de massa            m,
                                                          suspensa por um fio ideal de comprimento L.




           Velocidade em função do tempo:
                                                                  Desprezando a resistência do ar, se
                                                          movimentarmos a massa pendular, ela oscila
                                                          simetricamente em torno da posição de equilíbrio.




           Aceleração em função do tempo:


                                                                                                L
                                                                          Período (T): T = 2π     .
                                                                                                g


                                                                             Energia Mecânica

                                                                  Dado      um     sistema massa-mola,    pela
                    Massa-Mola                            Conservação da Energia, sabe-se que a energia
                                                          mecânica total é a soma das energias cinética (Ec) e
      Consiste numa partícula de massa m presa a          potencial (Ep), ou seja:
uma mola ideal de constante elástica k.
                                                                                 E = Ec + Ep

                                                                   m . v2
                                                          Ec =            → energia cinética
                                                                     2
       Considere o sistema massa-mola sobre um                     K ⋅ x2
                                                          E pe   =        → energia potencial elástica
plano horizontal sem atrito, com a partícula na posição               2
O de equilíbrio, isto é, a mola está no seu estado
                                            r
natural. Aplicando-se uma força externa F sobre a                                     K ⋅ A2
partícula, no sentido de esticar ou comprimir a mola, e                          E=
soltando-o, a mesma começa a executar um M.H.S..                                         2
                                                                       A energia mecânica é constante.

                                                          Obs.: Ocorrem, seguidamente, transformações de
                                                          energia cinética em energia potencial, e vice-versa.




                                    m
              Período (T): T = 2π     .
                                    k


                                                                                                         2
Diagrama das energias em função da abscissa x:
                                                                ONDULATÓRIA
                                                                         Onda

                                                        Movimento causado por uma perturbação que
                                                 se propaga através de um meio.




                                                       A    perturbação   denomina-se       pulso.       O
                                                 movimento do pulso denomina-se onda.




                                                        Uma onda transmite energia sem o transporte
 Relação entre massa-mola e pêndulo simples:     de matéria.

                                                               Classificação das Ondas:

                                                 - Quanto à natureza:

                                                 Ondas     Mecânicas:     resultam   de    deformações
                                                 provocadas em meios materiais elásticos. As ondas
                                                 mecânicas não se propagam no vácuo. Exemplos:
                                                 ondas em cordas, ondas na superfície de um líquido,
                                                 ondas sonoras, etc.
                                                 Ondas Eletromagnéticas: resultam de vibrações de
                                                 cargas elétricas oscilantes. Não necessitam de um
                                                 meio material para se propagarem, podendo propagar-
                                                 se no vácuo. Exemplos: ondas luminosas (luz), ondas
                                                 de rádio e televisão, microondas, raios X, raios gama,
                                                 etc.

                                                 - Quanto à direção de vibração:

                                                 Ondas Transversais: as vibrações são perpendiculares
                                                 à direção de propagação. Exemplo: ondas
                                                 eletromagnéticas.




                                                                 Onda eletromagnética:




                                                                                                     3
Como a propagação de um pulso é um
                                                        movimento uniforme, tem-se:

                                                                                     ∆s
                                                                                v=
                                                                                     ∆t
                                                                               λ
                                                                          v=     → v = λ⋅f
                                                                               T
Ondas Longitudinais: as vibrações ocorrem na mesma      Observação:
direção de propagação. Exemplo: ondas sonoras.                  A freqüência de uma onda é a freqüência da
                                                        fonte que a produziu, e não depende do meio de
                                                        propagação da onda, enquanto o comprimento de onda
                                                        λ e a velocidade propagação v variam com a mudança
                                                        do meio de propagação.
                                                        Exemplo: Uma onda de raio X muda de comprimento
                     Onda sonora:                       de onda e de velocidade quando entra no corpo
                                                        humano, mas não altera a sua freqüência.

                                                          Velocidade de propagação de uma onda em
                                                                    uma corda tracionada




- Quanto à direção de propagação:                               Seja µ a densidade linear de massa da corda:
                                                           m
Ondas Unidimensionais: se propagam em uma direção
                                                        µ = , onde m é a massa da corda e L é o
                                                           L
(comprimento), como as ondas em corda, que é um         comprimento da corda.
meio unidimensional.                                           A velocidade de propagação v é dada por:
Ondas Bidimensionais: se propagam em duas direções
(superfície), como as ondas na superfície de um
líquido, que é um meio bidimensional.                                                F
Ondas Tridimensionais: se propagam em três direções
                                                                               v=      ,
                                                                                     µ
(espaço), como as ondas sonoras e as ondas
luminosas.
                                                        onde F é a força de tração exercida na corda.
                Ondas Periódicas
                                                                Conclusões:
        Sucessão de pulsos iguais, que se propagam          •   A onde se propaga com maior velocidade na
em espaços e tempos iguais (se repetem                          corda de menor densidade linear.
periodicamente).                                            •   A onda se propaga com maior velocidade na
                                                                corda mais tracionada.

                                                                        Reflexão de Pulsos

                                                        • Extremidade fixa: A reflexão ocorre com inversão de
                                                          fase.


       A parte mais alta denomina-se crista e a parte
mais baixa denomina-se vale.

       Definições:

Comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas
consecutivas ou dois vales consecutivos.
Amplitude (A): valor máximo da elongação.
Período (T): intervalo de tempo de uma oscilação
completa.
Freqüência (f): número de oscilações por unidade de
tempo.

                                                                                                          4
• Quando o pulso passa de uma corda mais grossa
                                                           para uma corda mais fina, parte do pulso se refrata e
                                                           a outra parte se reflete sem inversão de fase.




• Extremidade livre: A reflexão ocorre sem inversão de               Fenômenos Ondulatórios
  fase.
                                                                                Reflexão

                                                               Mudança    na    direção   de    propagação,
                                                         mantendo-se a mesma velocidade de propagação.




                                                                            Leis da reflexão:

                                                         1a) O raio incidente, o raio refletido e a normal são
                                                         coplanares.
                                                         2a) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de
               Refração de Pulsos                        reflexão.

• Quando o pulso passa de uma corda mais fina para       Obs.: Na reflexão, a freqüência, a velocidade de
  uma corda mais grossa, parte do pulso se refrata e a   propagação e o comprimento de onda não variam.
  outra parte se reflete com inversão de fase.
                                                                               Refração

                                                                 Mudança na direção de propagação, variando-
                                                         se a velocidade de propagação.




                                                                                                           5
Se as duas ondas de fases opostas tivessem a
                                                          mesma amplitude em módulo, uma iria destruir a outra
                   Leis da refração:
                                                          e a onda resultante seria nula no momento do
                                                          cruzamento.
1a) O raio incidente, o raio refratado e a normal são
                                                                  Após a superposição, cada onda se propaga
coplanares.
                                                          independentemente da outra, com as mesmas
2a) Lei de Snell – Descartes:
                                                          características que tinham anteriormente.
               sen i n 2 λ1 v1
                    =   =   =
               sen r n 1 λ 2 v 2                          Observação:
                                                                   No caso de interferência de ondas luminosas,
n1 e n2 → índices de refração absoluta dos meios 1 e 2.   os pontos onde a interferência é construtiva aparecem
Aplicando a Lei de Snell, temos:                          brilhantes e os pontos onde a interferência é destrutiva
    • n2 > n1 ⇒ λ2 < λ1 ⇒ v2 < v1 ⇒ r < i                 aparecem escuros. No caso de ondas sonoras, a
    • n2 < n1 ⇒ λ2 > λ1 ⇒ v2 > v1 ⇒ r > i                 interferência construtiva ou destrutiva é evidenciada por
                                                          um aumento ou uma diminuição, respectivamente, da
Obs.: Na refração, a freqüência não varia, mas a          intensidade do som ouvido.
velocidade de propagação e o comprimento de onda
variam.                                                                    Ondas Estacionárias

                                                                  Ondas resultantes da superposição de duas
       Superposição ou Interferência de Ondas             ondas de mesma freqüência, mesma amplitude,
                                                          mesmo comprimento de onda, mesma direção e
         Encontro ou cruzamento de duas ou mais           sentidos opostos.
ondas que se propagam, simultaneamente, num                       Pode-se obter uma onda estacionária através
mesmo meio.                                               de uma corda fixa numa das extremidades.
         No ponto em que ocorre a superposição de
duas ou mais ondas, o efeito resultante é a soma dos
efeitos individuais de cada onda.

• Quando as ondas produzem deslocamentos no
  mesmo sentido, a amplitude da onda resultante é
  aumentada, produzindo uma interferência construtiva.




                                                                            N = nós; V= ventres

                                                                  Com uma fonte faz-se a outra extremidade
                                                          vibrar    com    movimentos      verticais  periódicos,
                                                          produzindo-se pulsos regulares que se propagam pela
                                                          corda.
• Quando as ondas produzem deslocamentos em                       Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se
  sentidos opostos, a amplitude da onda resultante é      refletem, retornando com sentido de deslocamento
  diminuída, produzindo uma interferência destrutiva.     contrário ao anterior.
                                                                  Dessa forma, as ondas refletidas se superpõem
                                                          às ondas incidentes, originando ondas estacionárias.
                                                                  Uma onda estacionária se caracteriza pela
                                                          amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há
                                                          pontos da corda que não se movimentam, pois

                                                                                                              6
apresentam amplitude nula (interferência destrutiva),        propagação. Polarizar uma onda é fazê-la vibrar em
chamados nós, e pontos que vibram com amplitude              apenas uma direção, tornando-se uma onda
máxima (interferência construtiva), chamados ventres.        polarizada.
       Entre os nós, os pontos da corda vibram com a                  Suponha que a mão da pessoa indicada na
mesma freqüência, mas com amplitudes diferentes.             figura realize um movimento circular uniforme em torno
                                                             do eixo da corda, fixa numa parede por uma de suas
Observações:                                                 extremidades e a outra, na mão da pessoa.

                                                 λ
- A distância entre dois nós consecutivos vale     .
                                                 2
                                                       λ
- A distância entre dois ventres consecutivos vale       .
                                                       2
                                                                      Obtemos, neste caso, uma onda que vibra em
- A distância entre um nó e um ventre consecutivos
                                                             planos diferentes, denominada onda não polarizada. A
       λ                                                     corda vibra em todas as direções perpendiculares à
vale     .
       4                                                     direção de propagação da onda.
- A onda estacionária não transmite energia de ponto                  Quando a pessoa realiza um movimento
para ponto da corda, pois as energias cinética e             vibratório numa única direção que é perpendicular ao
potencial ficam localizadas entre os nós.                    eixo da corda, isto é, a mão da pessoa se move
                                                             verticalmente para cima e para baixo, as partículas da
                                                             corda vibram numa direção perpendicular à direção de
                                                             propagação da onda. Este tipo de onda é denominado
                                                             onda polarizada.




                                                                      A polarização das ondas é efetuada por
                                                             dispositivos chamados polarizadores.


                        Difração

        Fenômeno pelo qual uma onda tem a
capacidade de contornar um obstáculo, ao ser
parcialmente interrompida por ele, desde que o
obstáculo tenha dimensão comparável ao comprimento
de onda da onda incidente.




                                                             Obs.: A polarização é um fenômeno que ocorre
                                                             exclusivamente com as ondas transversais.


       Quando os pontos da fenda são atingidos pela
frente de onda, eles se tornam fontes de ondas
secundárias, mudando a direção da onda incidente,
fazendo com que transponham o obstáculo.

                      Polarização

        Uma onda não polarizada é aquela que possui
várias direções de vibração, em relação à direção da
                                                                                                              7
A velocidade das ondas       sonoras depende das
                                                        características do meio onde          se propagam. Sua
                                                        velocidade é tanto maior quanto      mais rígido o meio de
                                                        propagação: v sólidos > v líquidos   > v gases

                                                                 Qualidades fisiológicas do som

                                                        Altura: qualidade que permite classificar os sons em
                                                        graves e agudos, estando relacionada com a
                                                        freqüência do som.

                                                                      graves → freqüência menor
                                                                      agudos → freqüência maior

                                                                A voz do homem tem freqüência que varia
                                                        entre 100 Hz e 200 Hz e a da mulher entre 200 Hz e
                                                        400 Hz; portanto, a voz do homem é mais grave e a
                                                        voz da mulher é mais aguda.

                                                        Intensidade: qualidade que permite classificar os sons
                                                        em fortes e fracos, estando relacionada com a energia
                                                        transportada pela onda.

                                                                fracos → menor amplitude de vibração
                                                                 fortes → maior amplitude de vibração

                                                               A intensidade mínima audível é chamada limiar
                                                        da percepção auditiva, e a máxima, limiar da sensação
                                                        dolorosa.

                                                        Timbre: qualidade que permite ao ouvido distinguir dois
                                                        sons de mesma altura e mesma intensidade, emitidos
                                                        por fontes diferentes, estando relacionado com a forma
                                                        das vibrações, isto é, com a forma da onda sonora.
                  ACÚSTICA                                              Fenômenos Sonoros

       O som é uma onda mecânica longitudinal, que              Dos     fenômenos      ondulatórios   (reflexão,
se propaga através de vibrações e ondas de              refração, interferência, difração e polarização), uma
compressão e rarefação nos meios materiais; portanto,   onda sonora só não sofre polarização, pois é uma onda
não se propaga no vácuo.                                longitudinal.
       O ouvido, ao ser atingido por uma onda sonora
(o tímpano passa a vibrar com a mesma freqüência),                              Reflexão
converte a variação de pressão no ar em estímulo
nervoso, o qual, ao alcançar o cérebro, produz a        Reforço: ocorre quando a diferença entre os instantes
sensação auditiva.                                      de recebimento do som refletido e do som direto é
            Elementos do canal auditivo:                praticamente nula. O observador ouve o som direto
                                                        juntamente com o som refletido. Há somente um
                                                        aumento da intensidade sonora.

                                                        Reverberação: ocorre quando o som refletido atinge o
                                                        observador no momento em que o som direto está se
                                                        extinguindo, ocasionando o prolongamento da
                                                        sensação auditiva.

                                                        Eco: ocorre quando uma pessoa emite um som e
                                                        recebe, além do som direto, o som refletido em um
                                                        anteparo, após um intervalo de tempo maior que 0,1s.
                                                        Admitindo a velocidade do som no ar 340m/s, em 0,1s
                                                        o som percorre 34m, sendo 17m para atingir o anteparo
                                                        e 17m para voltar. Portanto, a menor distância de um
                                                        observador a um anteparo para provocar o eco deverá
                                                        ser 17m.
                 Velocidade do som:
                                                                                                             8
Refração                            portanto, diferentes modos de vibração ou diferentes
                                                          harmônicos.
       A onda sonora passa de um meio para outro,
mudando sua velocidade de propagação e o                  n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental
comprimento de onda, mas mantendo constante a
freqüência.

                     Interferência

        Consiste no recebimento de dois ou mais sons
de fontes diferentes.                                     n = 2 → 2º harmônico
         som forte → interferência construtiva
         som fraco → interferência destrutiva

Obs.: Um caso particular de interferência sonora ocorre
quando há superposição de ondas sonoras de mesma
amplitude e freqüências ligeiramente diferentes.
                                                          n = 3 → 3º harmônico
Ouvem-se então os denominados batimentos, que
consistem em flutuações periódicas da intensidade do
som resultante ouvido.

                       Difração

       O som contorna obstáculos, ou seja, as ondas
sonoras sofrem desvios nas extremidades dos
obstáculos que encontram. Desse modo, uma pessoa,         n = 4 → 4º harmônico
atrás de uma parede, pode ouvir o som emitido por
uma fonte atrás dela.




                   Ressonância                            n = 5 → 5º harmônico

        Fenômeno em que um sistema oscilante
começa a vibrar por influência de outro, que está
vibrando na mesma freqüência natural do sistema.
        Se um sistema físico recebe energia
periodicamente, com uma freqüência igual à sua
freqüência natural de vibração, o sistema passa a                O comprimento L da corda e o comprimento de
vibrar com amplitude crescente, que tende ao maior        onda λ são tais que:
valor possível.                                                                    λ        2L
        No caso do som, a ressonância consiste numa                       L=n⋅       ou λ =
sobreposição de sons, provocando a sensação de que                                 2         n
o som foi reforçado.
                                                                 Considerando a velocidade com que as ondas
                 Cordas Vibrantes                         propagam-se na corda, teremos:
                                                                                               v
        Consideremos uma corda esticada e com suas                        v = λ. ⋅ f   ⇒ f=
                                                                                               λ
duas extremidades fixas. Provocando uma perturbação
                                                                      v                  v
na corda, estabelecem-se nela ondas transversais que,           f=        ⇒ fn = n ⋅       (n = 1, 2, 3 ...)
superpondo-se às ondas refletidas nas extremidades,                  2L                 2L
originam ondas estacionárias na corda.
                                                                      n
                                                                  Quando a corda vibra, faz com que o ar ao seu
                                                          redor vibre também, com a mesma freqüência; assim, a
       As vibrações da corda transmitem-se para o ar      freqüência f é a de vibração dos pontos da corda e
da região ao seu redor, dando origem às ondas             também é a freqüência da onda sonora.
sonoras que terão a mesma freqüência de oscilação
dos pontos da corda.                                                 Freqüência de cada harmônico:
       As extremidades fixas da corda serão os nós.
Entre elas haverá a formação de n ventres. Haverá,
                                                                                                               9
v
   •    som fundamental: f1 =
                               2L
   •    n-ésimo harmônico: f n = n ⋅ f1
Obs.: A freqüência de qualquer harmônico é sempre         i = 5 → 5º harmônico
um múltiplo inteiro do som fundamental.

                   Tubos Sonoros

        Um tubo sonoro é uma coluna de ar na qual se
                                                                               4L                    v
estabelecem ondas estacionárias longitudinais (através                   λ=           → fi = i ⋅
da vibração do ar no interior do tubo), determinadas                             i                  4L
pela superposição de ondas geradas numa                                  f i = i ⋅ f 1 ; (i = 1, 3, 5 ...)
extremidade com as ondas refletidas na outra
extremidade. As ondas estacionárias fazem vibrar o ar
que envolve o tubo, dando origem a uma onda sonora.       Obs.: No tubo fechado, obtêm-se freqüências naturais
        Existem dois tipos de tubos sonoros: abertos e    apenas dos harmônicos ímpares.
fechados. Nas extremidades abertas, formam-se
ventres (interferência construtiva); nas extremidades
fechadas, formam-se nós (interferência destrutiva).                          Efeito Doppler

        Considere os tubos sonoros de comprimento L               O efeito Doppler ocorre quando há uma
e a velocidade de propagação das ondas v:                 aproximação ou um afastamento entre o observador e
                                                          a fonte sonora, fazendo com que a freqüência da onda
Tubo aberto: possui as duas extremidades abertas.         sonora percebida pelo observador seja diferente da
                                                          freqüência real da onda emitida pela fonte, devido ao
       A distância entre dois ventres consecutivos é      movimento relativo entre eles.
                                      λ
igual a meio comprimento de onda:       .                 1º caso: observador em repouso e fonte em
                                      2                   movimento:
                                                                  Quando a fonte sonora se aproxima de um
n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental                   observador parado, este recebe mais ondas do que
                                                          receberia se a fonte estivesse parada (encurtamento
                                                          aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a
                                                          freqüência percebida pelo observador (fO) é maior que
                                                          a freqüência do som emitido pela fonte (fF).
n = 2 → 2º harmônico                                              Quando a fonte sonora se afasta de um
                                                          observador parado, este recebe menos ondas do que
                                                          receberia se a fonte estivesse parada (alongamento
                                                          aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a
                                                          freqüência percebida pelo observador (fO) é menor que
n = 3 → 3º harmônico                                      a freqüência do som emitido pela fonte (fF).

                                                          2º caso: fonte em repouso e observador em
                                                          movimento:
                                                                  Ao se aproximar da fonte sonora, o observador
                                                          encontra uma maior quantidade de ondas do que
                     2⋅L             v
               λ =       → fn = n ⋅                       encontraria se estivesse parado; assim ele percebe
                      n             2L                    uma freqüência (f0) maior que a freqüência do som
                                                          emitido pela fonte (fF).
    f n = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3 ...); n é o número de nós           Ao se afastar da fonte sonora, o observador
                                                          encontra uma menor quantidade de ondas do que
Tubo fechado: possui uma extremidade fechada e outra      encontraria se estivesse parado; assim ele percebe
aberta.                                                   uma freqüência (f0) menor que a freqüência do som
        A distância entre um ventre e o nó consecutivo    emitido pela fonte (fF).
                                                   λ
equivale a um quarto do comprimento de onda:         .    3º caso: observador e fonte em movimento relativo
                                                   4
                                                          sobre a mesma reta.
i = 1 → 1º harmônico ou som fundamental
                                                                 De acordo com a altura do som, maior
                                                          freqüência significa som mais agudo e menor
                                                          freqüência significa som mais grave.

i = 3 → 3º harmônico

                                                                                                             10
Aproximação ⇒ f0 > fF ⇒ o som que o observador
recebe é mais agudo que o som da fonte.
Afastamento ⇒ f0 < fF ⇒ o som que o observador
recebe é mais grave que o som da fonte.
       Para qualquer caso, vale a seguinte relação:
                           ⎛ v ± vo ⎞
                 fo = fF ⋅ ⎜ S
                           ⎜v ±v ⎟  ⎟
                           ⎝ S    F⎠
f0 : freqüência percebida pelo observador (freqüência
aparente)
fF : freqüência emitida pela fonte (freqüência real)
vS : velocidade do som
v0 : velocidade do observador
vF : velocidade da fonte

                Convenção de Sinais:
       Orienta-se    um     eixo positivamente        do
observador (O) para a fonte (F).




• vO e vF estão no sentido positivo: adota-se o sinal +
• vO e vF estão no sentido negativo: adota-se o sinal –

          ⎧→ + observador se aproxima da fonte
       vo ⎨
          ⎩← − observador se afasta da fonte
          ⎧→ + fonte se afasta do observador
       vF ⎨
          ⎩← − fonte se aproxima do observador
              vO = 0 → observador parado
                 vF = 0 → fonte parada




                                                           11

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Ondulatória

  • 1. Gráficos Horários do M.H.S. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.) M.H.S. é um movimento periódico (se repete em intervalos de tempos iguais) e oscilatório (movimento realizado simetricamente em torno de uma posição de equilíbrio). É descrito por funções senoidais e cossenoidais. Definições: Período (T): o menor intervalo de tempo para que o fenômeno se repita. Freqüência (f): o número de vezes que o fenômeno se repete por unidade de tempo. 1 1 T= → f = f T Amplitude (A): elongação máxima Ângulo de fase (θ): θ0 + ωt Fase inicial (θ0): t = 0 → θ = θ0 Velocidade angular ou pulsação (ω): variação da posição angular por unidade de tempo 2π ω= → ω = 2π.f T Funções Horárias do M.H.S. M.H.S. e M.C.U. a) Função Horária da Elongação: O movimento harmônico simples (M.H.S.) está x = A cos (θ0 + ωt) relacionado com o movimento circular uniforme (M.C.U.). Quando o ponto P descreve um M.C.U. sobre b) Função Horária da Velocidade: a circunferência de raio R, sua projeção P’ descreve um M.H.S. sobre o eixo x de amplitude A, sendo R = A. v = - ω A sen (θ0 + ωt) c) Função Horária da Aceleração: a = - ω2 A cos (θ0 + ωt) Velocidade escalar no M.H.S. em função da elongação: v2 = ω2 ⋅ (A2 – x2) Aceleração escalar no M.H.S. em função da elongação: a = - ω2 ⋅ x x = A cos θ θ = θ0 + ωt Relação entre a elongação, a velocidade e a x = A cos (θ0 + ωt) aceleração no M.H.S.: Os gráficos seguintes relacionam o movimento harmônico simples e o movimento circular uniforme: 1
  • 2. Posição em função do tempo: Pêndulo Simples Consiste numa partícula de massa m, suspensa por um fio ideal de comprimento L. Velocidade em função do tempo: Desprezando a resistência do ar, se movimentarmos a massa pendular, ela oscila simetricamente em torno da posição de equilíbrio. Aceleração em função do tempo: L Período (T): T = 2π . g Energia Mecânica Dado um sistema massa-mola, pela Massa-Mola Conservação da Energia, sabe-se que a energia mecânica total é a soma das energias cinética (Ec) e Consiste numa partícula de massa m presa a potencial (Ep), ou seja: uma mola ideal de constante elástica k. E = Ec + Ep m . v2 Ec = → energia cinética 2 Considere o sistema massa-mola sobre um K ⋅ x2 E pe = → energia potencial elástica plano horizontal sem atrito, com a partícula na posição 2 O de equilíbrio, isto é, a mola está no seu estado r natural. Aplicando-se uma força externa F sobre a K ⋅ A2 partícula, no sentido de esticar ou comprimir a mola, e E= soltando-o, a mesma começa a executar um M.H.S.. 2 A energia mecânica é constante. Obs.: Ocorrem, seguidamente, transformações de energia cinética em energia potencial, e vice-versa. m Período (T): T = 2π . k 2
  • 3. Diagrama das energias em função da abscissa x: ONDULATÓRIA Onda Movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio. A perturbação denomina-se pulso. O movimento do pulso denomina-se onda. Uma onda transmite energia sem o transporte Relação entre massa-mola e pêndulo simples: de matéria. Classificação das Ondas: - Quanto à natureza: Ondas Mecânicas: resultam de deformações provocadas em meios materiais elásticos. As ondas mecânicas não se propagam no vácuo. Exemplos: ondas em cordas, ondas na superfície de um líquido, ondas sonoras, etc. Ondas Eletromagnéticas: resultam de vibrações de cargas elétricas oscilantes. Não necessitam de um meio material para se propagarem, podendo propagar- se no vácuo. Exemplos: ondas luminosas (luz), ondas de rádio e televisão, microondas, raios X, raios gama, etc. - Quanto à direção de vibração: Ondas Transversais: as vibrações são perpendiculares à direção de propagação. Exemplo: ondas eletromagnéticas. Onda eletromagnética: 3
  • 4. Como a propagação de um pulso é um movimento uniforme, tem-se: ∆s v= ∆t λ v= → v = λ⋅f T Ondas Longitudinais: as vibrações ocorrem na mesma Observação: direção de propagação. Exemplo: ondas sonoras. A freqüência de uma onda é a freqüência da fonte que a produziu, e não depende do meio de propagação da onda, enquanto o comprimento de onda λ e a velocidade propagação v variam com a mudança do meio de propagação. Exemplo: Uma onda de raio X muda de comprimento Onda sonora: de onda e de velocidade quando entra no corpo humano, mas não altera a sua freqüência. Velocidade de propagação de uma onda em uma corda tracionada - Quanto à direção de propagação: Seja µ a densidade linear de massa da corda: m Ondas Unidimensionais: se propagam em uma direção µ = , onde m é a massa da corda e L é o L (comprimento), como as ondas em corda, que é um comprimento da corda. meio unidimensional. A velocidade de propagação v é dada por: Ondas Bidimensionais: se propagam em duas direções (superfície), como as ondas na superfície de um líquido, que é um meio bidimensional. F Ondas Tridimensionais: se propagam em três direções v= , µ (espaço), como as ondas sonoras e as ondas luminosas. onde F é a força de tração exercida na corda. Ondas Periódicas Conclusões: Sucessão de pulsos iguais, que se propagam • A onde se propaga com maior velocidade na em espaços e tempos iguais (se repetem corda de menor densidade linear. periodicamente). • A onda se propaga com maior velocidade na corda mais tracionada. Reflexão de Pulsos • Extremidade fixa: A reflexão ocorre com inversão de fase. A parte mais alta denomina-se crista e a parte mais baixa denomina-se vale. Definições: Comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas consecutivas ou dois vales consecutivos. Amplitude (A): valor máximo da elongação. Período (T): intervalo de tempo de uma oscilação completa. Freqüência (f): número de oscilações por unidade de tempo. 4
  • 5. • Quando o pulso passa de uma corda mais grossa para uma corda mais fina, parte do pulso se refrata e a outra parte se reflete sem inversão de fase. • Extremidade livre: A reflexão ocorre sem inversão de Fenômenos Ondulatórios fase. Reflexão Mudança na direção de propagação, mantendo-se a mesma velocidade de propagação. Leis da reflexão: 1a) O raio incidente, o raio refletido e a normal são coplanares. 2a) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de Refração de Pulsos reflexão. • Quando o pulso passa de uma corda mais fina para Obs.: Na reflexão, a freqüência, a velocidade de uma corda mais grossa, parte do pulso se refrata e a propagação e o comprimento de onda não variam. outra parte se reflete com inversão de fase. Refração Mudança na direção de propagação, variando- se a velocidade de propagação. 5
  • 6. Se as duas ondas de fases opostas tivessem a mesma amplitude em módulo, uma iria destruir a outra Leis da refração: e a onda resultante seria nula no momento do cruzamento. 1a) O raio incidente, o raio refratado e a normal são Após a superposição, cada onda se propaga coplanares. independentemente da outra, com as mesmas 2a) Lei de Snell – Descartes: características que tinham anteriormente. sen i n 2 λ1 v1 = = = sen r n 1 λ 2 v 2 Observação: No caso de interferência de ondas luminosas, n1 e n2 → índices de refração absoluta dos meios 1 e 2. os pontos onde a interferência é construtiva aparecem Aplicando a Lei de Snell, temos: brilhantes e os pontos onde a interferência é destrutiva • n2 > n1 ⇒ λ2 < λ1 ⇒ v2 < v1 ⇒ r < i aparecem escuros. No caso de ondas sonoras, a • n2 < n1 ⇒ λ2 > λ1 ⇒ v2 > v1 ⇒ r > i interferência construtiva ou destrutiva é evidenciada por um aumento ou uma diminuição, respectivamente, da Obs.: Na refração, a freqüência não varia, mas a intensidade do som ouvido. velocidade de propagação e o comprimento de onda variam. Ondas Estacionárias Ondas resultantes da superposição de duas Superposição ou Interferência de Ondas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e Encontro ou cruzamento de duas ou mais sentidos opostos. ondas que se propagam, simultaneamente, num Pode-se obter uma onda estacionária através mesmo meio. de uma corda fixa numa das extremidades. No ponto em que ocorre a superposição de duas ou mais ondas, o efeito resultante é a soma dos efeitos individuais de cada onda. • Quando as ondas produzem deslocamentos no mesmo sentido, a amplitude da onda resultante é aumentada, produzindo uma interferência construtiva. N = nós; V= ventres Com uma fonte faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais periódicos, produzindo-se pulsos regulares que se propagam pela corda. • Quando as ondas produzem deslocamentos em Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se sentidos opostos, a amplitude da onda resultante é refletem, retornando com sentido de deslocamento diminuída, produzindo uma interferência destrutiva. contrário ao anterior. Dessa forma, as ondas refletidas se superpõem às ondas incidentes, originando ondas estacionárias. Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há pontos da corda que não se movimentam, pois 6
  • 7. apresentam amplitude nula (interferência destrutiva), propagação. Polarizar uma onda é fazê-la vibrar em chamados nós, e pontos que vibram com amplitude apenas uma direção, tornando-se uma onda máxima (interferência construtiva), chamados ventres. polarizada. Entre os nós, os pontos da corda vibram com a Suponha que a mão da pessoa indicada na mesma freqüência, mas com amplitudes diferentes. figura realize um movimento circular uniforme em torno do eixo da corda, fixa numa parede por uma de suas Observações: extremidades e a outra, na mão da pessoa. λ - A distância entre dois nós consecutivos vale . 2 λ - A distância entre dois ventres consecutivos vale . 2 Obtemos, neste caso, uma onda que vibra em - A distância entre um nó e um ventre consecutivos planos diferentes, denominada onda não polarizada. A λ corda vibra em todas as direções perpendiculares à vale . 4 direção de propagação da onda. - A onda estacionária não transmite energia de ponto Quando a pessoa realiza um movimento para ponto da corda, pois as energias cinética e vibratório numa única direção que é perpendicular ao potencial ficam localizadas entre os nós. eixo da corda, isto é, a mão da pessoa se move verticalmente para cima e para baixo, as partículas da corda vibram numa direção perpendicular à direção de propagação da onda. Este tipo de onda é denominado onda polarizada. A polarização das ondas é efetuada por dispositivos chamados polarizadores. Difração Fenômeno pelo qual uma onda tem a capacidade de contornar um obstáculo, ao ser parcialmente interrompida por ele, desde que o obstáculo tenha dimensão comparável ao comprimento de onda da onda incidente. Obs.: A polarização é um fenômeno que ocorre exclusivamente com as ondas transversais. Quando os pontos da fenda são atingidos pela frente de onda, eles se tornam fontes de ondas secundárias, mudando a direção da onda incidente, fazendo com que transponham o obstáculo. Polarização Uma onda não polarizada é aquela que possui várias direções de vibração, em relação à direção da 7
  • 8. A velocidade das ondas sonoras depende das características do meio onde se propagam. Sua velocidade é tanto maior quanto mais rígido o meio de propagação: v sólidos > v líquidos > v gases Qualidades fisiológicas do som Altura: qualidade que permite classificar os sons em graves e agudos, estando relacionada com a freqüência do som. graves → freqüência menor agudos → freqüência maior A voz do homem tem freqüência que varia entre 100 Hz e 200 Hz e a da mulher entre 200 Hz e 400 Hz; portanto, a voz do homem é mais grave e a voz da mulher é mais aguda. Intensidade: qualidade que permite classificar os sons em fortes e fracos, estando relacionada com a energia transportada pela onda. fracos → menor amplitude de vibração fortes → maior amplitude de vibração A intensidade mínima audível é chamada limiar da percepção auditiva, e a máxima, limiar da sensação dolorosa. Timbre: qualidade que permite ao ouvido distinguir dois sons de mesma altura e mesma intensidade, emitidos por fontes diferentes, estando relacionado com a forma das vibrações, isto é, com a forma da onda sonora. ACÚSTICA Fenômenos Sonoros O som é uma onda mecânica longitudinal, que Dos fenômenos ondulatórios (reflexão, se propaga através de vibrações e ondas de refração, interferência, difração e polarização), uma compressão e rarefação nos meios materiais; portanto, onda sonora só não sofre polarização, pois é uma onda não se propaga no vácuo. longitudinal. O ouvido, ao ser atingido por uma onda sonora (o tímpano passa a vibrar com a mesma freqüência), Reflexão converte a variação de pressão no ar em estímulo nervoso, o qual, ao alcançar o cérebro, produz a Reforço: ocorre quando a diferença entre os instantes sensação auditiva. de recebimento do som refletido e do som direto é Elementos do canal auditivo: praticamente nula. O observador ouve o som direto juntamente com o som refletido. Há somente um aumento da intensidade sonora. Reverberação: ocorre quando o som refletido atinge o observador no momento em que o som direto está se extinguindo, ocasionando o prolongamento da sensação auditiva. Eco: ocorre quando uma pessoa emite um som e recebe, além do som direto, o som refletido em um anteparo, após um intervalo de tempo maior que 0,1s. Admitindo a velocidade do som no ar 340m/s, em 0,1s o som percorre 34m, sendo 17m para atingir o anteparo e 17m para voltar. Portanto, a menor distância de um observador a um anteparo para provocar o eco deverá ser 17m. Velocidade do som: 8
  • 9. Refração portanto, diferentes modos de vibração ou diferentes harmônicos. A onda sonora passa de um meio para outro, mudando sua velocidade de propagação e o n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental comprimento de onda, mas mantendo constante a freqüência. Interferência Consiste no recebimento de dois ou mais sons de fontes diferentes. n = 2 → 2º harmônico som forte → interferência construtiva som fraco → interferência destrutiva Obs.: Um caso particular de interferência sonora ocorre quando há superposição de ondas sonoras de mesma amplitude e freqüências ligeiramente diferentes. n = 3 → 3º harmônico Ouvem-se então os denominados batimentos, que consistem em flutuações periódicas da intensidade do som resultante ouvido. Difração O som contorna obstáculos, ou seja, as ondas sonoras sofrem desvios nas extremidades dos obstáculos que encontram. Desse modo, uma pessoa, n = 4 → 4º harmônico atrás de uma parede, pode ouvir o som emitido por uma fonte atrás dela. Ressonância n = 5 → 5º harmônico Fenômeno em que um sistema oscilante começa a vibrar por influência de outro, que está vibrando na mesma freqüência natural do sistema. Se um sistema físico recebe energia periodicamente, com uma freqüência igual à sua freqüência natural de vibração, o sistema passa a O comprimento L da corda e o comprimento de vibrar com amplitude crescente, que tende ao maior onda λ são tais que: valor possível. λ 2L No caso do som, a ressonância consiste numa L=n⋅ ou λ = sobreposição de sons, provocando a sensação de que 2 n o som foi reforçado. Considerando a velocidade com que as ondas Cordas Vibrantes propagam-se na corda, teremos: v Consideremos uma corda esticada e com suas v = λ. ⋅ f ⇒ f= λ duas extremidades fixas. Provocando uma perturbação v v na corda, estabelecem-se nela ondas transversais que, f= ⇒ fn = n ⋅ (n = 1, 2, 3 ...) superpondo-se às ondas refletidas nas extremidades, 2L 2L originam ondas estacionárias na corda. n Quando a corda vibra, faz com que o ar ao seu redor vibre também, com a mesma freqüência; assim, a As vibrações da corda transmitem-se para o ar freqüência f é a de vibração dos pontos da corda e da região ao seu redor, dando origem às ondas também é a freqüência da onda sonora. sonoras que terão a mesma freqüência de oscilação dos pontos da corda. Freqüência de cada harmônico: As extremidades fixas da corda serão os nós. Entre elas haverá a formação de n ventres. Haverá, 9
  • 10. v • som fundamental: f1 = 2L • n-ésimo harmônico: f n = n ⋅ f1 Obs.: A freqüência de qualquer harmônico é sempre i = 5 → 5º harmônico um múltiplo inteiro do som fundamental. Tubos Sonoros Um tubo sonoro é uma coluna de ar na qual se 4L v estabelecem ondas estacionárias longitudinais (através λ= → fi = i ⋅ da vibração do ar no interior do tubo), determinadas i 4L pela superposição de ondas geradas numa f i = i ⋅ f 1 ; (i = 1, 3, 5 ...) extremidade com as ondas refletidas na outra extremidade. As ondas estacionárias fazem vibrar o ar que envolve o tubo, dando origem a uma onda sonora. Obs.: No tubo fechado, obtêm-se freqüências naturais Existem dois tipos de tubos sonoros: abertos e apenas dos harmônicos ímpares. fechados. Nas extremidades abertas, formam-se ventres (interferência construtiva); nas extremidades fechadas, formam-se nós (interferência destrutiva). Efeito Doppler Considere os tubos sonoros de comprimento L O efeito Doppler ocorre quando há uma e a velocidade de propagação das ondas v: aproximação ou um afastamento entre o observador e a fonte sonora, fazendo com que a freqüência da onda Tubo aberto: possui as duas extremidades abertas. sonora percebida pelo observador seja diferente da freqüência real da onda emitida pela fonte, devido ao A distância entre dois ventres consecutivos é movimento relativo entre eles. λ igual a meio comprimento de onda: . 1º caso: observador em repouso e fonte em 2 movimento: Quando a fonte sonora se aproxima de um n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental observador parado, este recebe mais ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (encurtamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF). n = 2 → 2º harmônico Quando a fonte sonora se afasta de um observador parado, este recebe menos ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (alongamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é menor que n = 3 → 3º harmônico a freqüência do som emitido pela fonte (fF). 2º caso: fonte em repouso e observador em movimento: Ao se aproximar da fonte sonora, o observador encontra uma maior quantidade de ondas do que 2⋅L v λ = → fn = n ⋅ encontraria se estivesse parado; assim ele percebe n 2L uma freqüência (f0) maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF). f n = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3 ...); n é o número de nós Ao se afastar da fonte sonora, o observador encontra uma menor quantidade de ondas do que Tubo fechado: possui uma extremidade fechada e outra encontraria se estivesse parado; assim ele percebe aberta. uma freqüência (f0) menor que a freqüência do som A distância entre um ventre e o nó consecutivo emitido pela fonte (fF). λ equivale a um quarto do comprimento de onda: . 3º caso: observador e fonte em movimento relativo 4 sobre a mesma reta. i = 1 → 1º harmônico ou som fundamental De acordo com a altura do som, maior freqüência significa som mais agudo e menor freqüência significa som mais grave. i = 3 → 3º harmônico 10
  • 11. Aproximação ⇒ f0 > fF ⇒ o som que o observador recebe é mais agudo que o som da fonte. Afastamento ⇒ f0 < fF ⇒ o som que o observador recebe é mais grave que o som da fonte. Para qualquer caso, vale a seguinte relação: ⎛ v ± vo ⎞ fo = fF ⋅ ⎜ S ⎜v ±v ⎟ ⎟ ⎝ S F⎠ f0 : freqüência percebida pelo observador (freqüência aparente) fF : freqüência emitida pela fonte (freqüência real) vS : velocidade do som v0 : velocidade do observador vF : velocidade da fonte Convenção de Sinais: Orienta-se um eixo positivamente do observador (O) para a fonte (F). • vO e vF estão no sentido positivo: adota-se o sinal + • vO e vF estão no sentido negativo: adota-se o sinal – ⎧→ + observador se aproxima da fonte vo ⎨ ⎩← − observador se afasta da fonte ⎧→ + fonte se afasta do observador vF ⎨ ⎩← − fonte se aproxima do observador vO = 0 → observador parado vF = 0 → fonte parada 11