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O pêndulo simples        Um pêndulo forçado      Muito além do pêndulo   NLS em 2D      Estabilização do soliton de Townes    Final




                                         Estabilização Dinâmica

                                                Roberto André Kraenkel

                                              Instituto de Física Teórica - São Paulo
                                              http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel


                                      VI Semana da Física
                    Departamento de Física da Universidade Federal do Maranão
                                       Novembro de 2010




Estabilização Dinâmica                                                                                                R.A. Kraenkel
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Os tópicos de hoje

        O pêndulo simples

       Um pêndulo forçado

       Muito além do pêndulo

       NLS em 2D

       Estabilização do soliton de Townes

       Final



Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
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O pêndulo simples.

                Comecemos com algo muito simples.
                Um pêndulo.
                A equações de movimento são:

                                                    d2 ϕ    2
                                                         + ω0 sin ϕ = 0,
                                                    dt2


                Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, π
                0 é estável, π ínstável.



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Um pêndulo forçado
                Consideremos um pêndulo forçado.
                Mas, um pêndulo incomum!
                Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas
                verticais.
                A equação de movimento deste sistema é:
                                                                                     
                               d2 ϕ       2
                                       + ω0 +                     a cos 2πft          sinϕ = 0
                                                                                      
                                dt2
                                                            movimento da base

                a é a amplitude and f é a frequência da força.
                Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio.
                Mas, ... e a sua estabilidade?
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Estabilidade
                Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmente
                ϕ = ϕs + φ , φ        1 e ϕs = 0 , π
                Fique com apenas os primeiros termos da expasão:
                Você terá uma equação linear para φ:

                                        d2 φ       2
                                               + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
                                         dt2

                +⇒            ϕs = 0
                -⇒           ϕs = π
                Esta é a equação de Mathieu.
                Vejamos mais sobre ela.

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Mathieu


                                    d2 φ          2
                                              + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
                                     dt2


                Esta equação é estudada através da teoria de Floquet.
                Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto.
                Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de
                Schrödinger com um potencial periódico.
                Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma
                coisa parecida com estruturas de bandas.


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 Mathieu II


                Para cada a e f pode-se resolver a equação acima.
                Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles
                a e f , é estável.
                Caso contrário, é instável.
                Assim, plotamos um diagrama no plano a x f .
                Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade
                pintamos de azul.




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 Mathieu again




                                 Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f .
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Estabilização
                                               2
                Podemos ver uma região com ω0 negativo.corresponde ao
                pêndulo invertido.
                Há lá uma região de estabilidade.
                Corresponde a f grande: altas frequências
                Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o
                pêndulo invertido.
                Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza".




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Outra forma de abordar o problema
                Podemos olhar este problema da seguinte forma:
                          queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à
                          uma força paramétrica de alta frequência.
                Vamos direto para o limite de altas frequências.
                Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o
                movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξ
                representa as oscilações rápidas ao redor da média.
                Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo:
                queremos uma equa¸ao para Φ.
                É um problema de em que temos duas escalas de tempo.
                Resulta que Φ sente um potencial efetivo
                Vamos dar uma olhada nele.

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O potencial efetivo, em altas frequências




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     O potencial sem força externa paramétrica.
     O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π, → estabilização.
     Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau.
     Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas.




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Muito além do pêndulo



                A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas uma
                curiosidade.
                A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando o
                sistema é foado parametricamente aparece em diversas situações.
                            ¸
                Há uma série de exemplos




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Uma profusão de pêndulos




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              Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar a
                        Equação de Schrödinger Não-linear




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                Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás.
                Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida".
                Pode usar para pintar o seu teto.
                               ˆ
                Ou ganhar o prmio Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é
                usada para aprisionar átomos.)
                Ou ainda para não cair do cavalo.




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NLS em 2D
                Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas
                dimensões espaciais:
                                                        1     2
                                              ıut +               u + γ|u|2 u = 0
                                                        2

                qual é a física desta equação?
                          Propagação da luz em meios não-lineares
                          Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas
                          tipo ‘panqueca".
                O que é isso?
                          É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pela
                          forma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistema
                          quase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Não
                          de preocupe com em entender melhor este sistema agora. Mas
                          lembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model".
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 Propriedades da equação NLS

                Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy para
                ela.
                          As soluções são localizadas.
                          Solitons.
                Em 2D, ela não é integrável
                Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma "
                bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes".
                Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de
                um feixe num meio não-linear.
                In BEC é o colapso de condensado atrativo.
                Eu ouvi mesmo instável?


Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Estabilização do soliton de Townes



                Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica
                O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo no
                tempo?E com alta frequência?
                No caso de condensados, facilmente.
                Na ótica teríamos que ter um meio estratificado.




Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Métodos matemáticos

                Seja então o sistema:
                                 1    2
                         ıut +            u + γ(t/ )|u|2 u = 0 com                 1    and γ periódico
                                 2


                Como extrair infromações dela?
                Três caminhos:
                          Aproximação Variational + medianização
                          Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de
                          Townes
                          Integração numérica .




Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Resultados


                Estabilização.
                          É possível encontrar condições para que ocorra.
                O que importa é notar que :
                          seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt .
                                  é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização.
                                  A não-linearidade deve mudar de sinal.
                          Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição é
                          necessária.




Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Final



                Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade de
                pontos fixos.
                Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveis
                Isso acontece em sistemas mecânicos simples,
                E em sistemas espacialmente extensos.




Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Referência


                F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A.
                Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605.




Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel
O pêndulo simples        Um pêndulo forçado   Muito além do pêndulo   NLS em 2D   Estabilização do soliton de Townes    Final




Download da Aula



                              http://web.me.com/kraenkel/ufma




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Estabilização Dinâmica                                                                                          R.A. Kraenkel

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  • 1. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica Roberto André Kraenkel Instituto de Física Teórica - São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel VI Semana da Física Departamento de Física da Universidade Federal do Maranão Novembro de 2010 Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 2. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Os tópicos de hoje O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 3. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final O pêndulo simples. Comecemos com algo muito simples. Um pêndulo. A equações de movimento são: d2 ϕ 2 + ω0 sin ϕ = 0, dt2 Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, π 0 é estável, π ínstável. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 4. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Um pêndulo forçado Consideremos um pêndulo forçado. Mas, um pêndulo incomum! Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas verticais. A equação de movimento deste sistema é:   d2 ϕ  2 + ω0 + a cos 2πft  sinϕ = 0  dt2 movimento da base a é a amplitude and f é a frequência da força. Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio. Mas, ... e a sua estabilidade? Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 5. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilidade Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmente ϕ = ϕs + φ , φ 1 e ϕs = 0 , π Fique com apenas os primeiros termos da expasão: Você terá uma equação linear para φ: d2 φ 2 + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0 dt2 +⇒ ϕs = 0 -⇒ ϕs = π Esta é a equação de Mathieu. Vejamos mais sobre ela. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 6. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Mathieu d2 φ 2 + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0 dt2 Esta equação é estudada através da teoria de Floquet. Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto. Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de Schrödinger com um potencial periódico. Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma coisa parecida com estruturas de bandas. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 7. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Mathieu II Para cada a e f pode-se resolver a equação acima. Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles a e f , é estável. Caso contrário, é instável. Assim, plotamos um diagrama no plano a x f . Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade pintamos de azul. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 8. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Mathieu again Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f . Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 9. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização 2 Podemos ver uma região com ω0 negativo.corresponde ao pêndulo invertido. Há lá uma região de estabilidade. Corresponde a f grande: altas frequências Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o pêndulo invertido. Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza". Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 10. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Outra forma de abordar o problema Podemos olhar este problema da seguinte forma: queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à uma força paramétrica de alta frequência. Vamos direto para o limite de altas frequências. Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξ representa as oscilações rápidas ao redor da média. Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo: queremos uma equa¸ao para Φ. É um problema de em que temos duas escalas de tempo. Resulta que Φ sente um potencial efetivo Vamos dar uma olhada nele. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 11. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final O potencial efetivo, em altas frequências Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 12. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 13. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 14. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 15. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final O potencial sem força externa paramétrica. O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π, → estabilização. Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau. Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 16. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Muito além do pêndulo A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas uma curiosidade. A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando o sistema é foado parametricamente aparece em diversas situações. ¸ Há uma série de exemplos Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 17. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Uma profusão de pêndulos Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 18. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 19. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 20. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 21. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 22. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 23. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar a Equação de Schrödinger Não-linear Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 24. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás. Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida". Pode usar para pintar o seu teto. ˆ Ou ganhar o prmio Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é usada para aprisionar átomos.) Ou ainda para não cair do cavalo. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 25. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final NLS em 2D Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas dimensões espaciais: 1 2 ıut + u + γ|u|2 u = 0 2 qual é a física desta equação? Propagação da luz em meios não-lineares Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas tipo ‘panqueca". O que é isso? É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pela forma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistema quase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Não de preocupe com em entender melhor este sistema agora. Mas lembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model". Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 26. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Propriedades da equação NLS Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy para ela. As soluções são localizadas. Solitons. Em 2D, ela não é integrável Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma " bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes". Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de um feixe num meio não-linear. In BEC é o colapso de condensado atrativo. Eu ouvi mesmo instável? Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 27. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização do soliton de Townes Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo no tempo?E com alta frequência? No caso de condensados, facilmente. Na ótica teríamos que ter um meio estratificado. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 28. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Métodos matemáticos Seja então o sistema: 1 2 ıut + u + γ(t/ )|u|2 u = 0 com 1 and γ periódico 2 Como extrair infromações dela? Três caminhos: Aproximação Variational + medianização Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de Townes Integração numérica . Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 29. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Resultados Estabilização. É possível encontrar condições para que ocorra. O que importa é notar que : seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt . é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização. A não-linearidade deve mudar de sinal. Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição é necessária. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 30. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Final Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade de pontos fixos. Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveis Isso acontece em sistemas mecânicos simples, E em sistemas espacialmente extensos. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 31. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Referência F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A. Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605. Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  • 32. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Download da Aula http://web.me.com/kraenkel/ufma Obrigado pela atenção! Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel