1. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
14 Cap´ıtulo 14 - OSCILAC¸ ˜OES 2
14.1 QUESTION ´ARIO . . . . . . . . . . . . 2
14.2 EXERC´ICIOS E PROBLEMAS . . . . 2
14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . 8
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 1

2. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
14 Cap´ıtulo 14 - OSCILAC¸ ˜OES
14.1 QUESTION ´ARIO
2. Quando a massa ¡£¢ ´e suspensa de uma determina-
da mola A e a massa menor ¡¥¤ ´e suspensa da mola
B, as molas s˜ao distendidas da mesma distˆancia. Se
os sistemas forem colocados em movimento harmˆonico
simples vertical com a mesma amplitude, qual deles ter´a
mais energia?
¦ Da equac¸˜ao de equil´ıbrio para um corpo suspenso de
uma mola, ¡¨§© , concluimos que ¢ ¤ . A
energia do oscilador ´e ©!#%$¤ , portanto ¢ ¤ .
4. Suponhamos que um sistema consiste em um bloco
de massa desconhecida e uma mola de constante tam-
bem desconhecida. Mostre como podemos prever o
per´ıodo de oscilac¸˜ao deste sistema bloco-mola simples-
mente medindo a extens˜ao da mola produzida, quando
penduramos o bloco nela.
¦ No equil´ıbrio temos ¡¨§'©() . O per´ıodo do
oscilador ´e 0 ©214365 7 , onde a raz˜ao desconhecida 7
pode ser substitu´ıda pela raz˜ao 8@9A .
5. Qualquer mola real tem massa. Se esta massa for
levada em conta, explique qualitativamente como isto
afetar´a o per´ıodo de oscilac¸˜ao do sistema mola-massa.
¦
7. Que alterac¸˜oes vocˆe pode fazer num oscilador
harmˆonico para dobrar a velocidade m´axima da mas-
sa oscilante?
¦ A velocidade m´axima do oscilador ´e B 7 ©DCFE 7 .
As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i)
duplicando a amplitude E 7 , (ii) trocar a mola de cons-
tante por outra de constante G , (iii) trocar a massa ¡
por outra massa ¡£H G . Claro, h´a in´umeras possibilidades
de alterar e ¡ tal que CPIQ©214C .
10. Tente prever com argumentos qualitativos se o
per´ıodo de um pˆendulo ir´a aumentar ou diminuir, quan-
do sua amplitude for aumentada.
¦ Para pequenas amplitudes, o pˆendulo ´e is´ocrono,
isto ´e, o per´ıodo n˜ao depende da amplitude. Contudo,
quando as oscilac¸˜oes se d˜ao a ˆangulos maiores, para
os quais a aproximac¸˜ao R%SUT¨VDWXV j´a n˜ao ´e v´alida, o
per´ıodo torna-se uma func¸˜ao crescente de V4Y , o ˆangulo
de m´aximo afastamento da posic¸˜ao de equil´ıbrio. Uma
discuss˜ao interessante a esse respeito est´a feita no volu-
me 1 , cap´ıtulo ` do Moys´es Nussenzveig.
11. Um pˆendulo suspenso do teto de uma cabine de
elevador tem um per´ıodo T quando o elevador est´a
parado. Como o per´ıodo ´e afetado quando o eleva-
dor move-se (a) para cima com velocidade constante,
(b) para baixo com velocidade constante, (c) para bai-
xo com acelerac¸˜ao constante para cima, (d) para cima
com acelerac¸˜ao constante para cima, (e) para cima com
acelerac¸˜ao constante para baixo a § , e (f) para bai-
xo com acelerac¸˜ao constante para baixo a § ? (g)
Em qual caso, se ocorre em algum, o pˆendulo oscila de
cabec¸a para baixo?
¦
16. Um cantor, sustentando uma nota de freq¨uˆencia
apropriada, pode quebrar uma tac¸a de cristal, se este for
de boa qualidade. Isto n˜ao pode ser feito, se o cristal
for de baixa qualidade. Explique por quˆe, em termos da
constante de amortecimento do vidro.
¦ O cristal da tac¸a ´e um sistema oscilante fortemente
amortecido. Quando uma forc¸a externa oscilante ´e re-
movida, as oscilac¸˜oes de pequena amplitude no sistema
diminuem rapidamente. Para uma forc¸a externa osci-
lante cuja freq¨uˆencia coincida com uma das freq¨uˆencias
de ressonˆancia da tac¸a, a amplitude das oscilac¸˜oes ´e
limitada pelo amortecimento. Mas, quando a amplitude
m´axima ´e atingida, o trabalho efetuado pela forc¸a ex-
terna supera o amortecimento e a tac¸a pode ent˜ao vir a
romper-se.
14.2 EXERC´ICIOS E PROBLEMAS
Sec¸˜ao 14-3 Movimento Harmˆonico Simples: A Lei de
Forc¸a
3E. Um bloco de Gcbedfd kg est´a suspenso de uma certa
mola, estendendo-se a gUhibed cm al´em de sua posic¸˜ao de
repouso. (a) Qual ´e a constante da mola? (b) O bloco
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2

3. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
´e removido e um corpo com dibqprdfd kg ´e suspenso da
mesma mola. Se esta for ent˜ao puxada e solta, qual o
per´ıodo de oscilac¸˜ao?
¦ (a) No equil´ıbrio, a forc¸a exercida pela mola ´e igual
ao peso da massa. Ent˜ao
6© ¡¨§
©ts Gcbedudwv syx be€gUv
d‚ƒgUh
©„1 Gwp N/m
(b) O per´ıodo ser´a
0 ©„1r36… ¡
©†143 … di‚‡prdud1 Gˆp
© dib 1 € s
10E. Uma massa de prdbed g ´e presa `a extremidade infe-
rior de uma mola vertical e colocada em vibrac¸˜ao. Se a
velocidade m´axima da massa ´e gUpibed cm/s e o per´ıodo
dibqprdfd s, ache (a) a constante de elasticidade da mola,
(b) a amplitude do movimento e (c) a freq¨uˆencia de
oscilac¸ˆao.
¦ A´ı temos um exerc´ıcio que ´e aplicac¸˜ao direta de
”f´ormulas”:
(a)
C© 1r3
0
© 143
dibqprdud
© g 1 bqpf‰ rad/s
6©C ¤ ¡‘© s g 1 bqpf‰uv
¤
s dibedwprdwv © ‰ˆb x d N/m
(b)
7 © B 7C © dib’g“p
g 1 bqpf‰
© dbedig 1 m
(c) ” © 0–•
¢ ©21 bed Hz
16E. Um corpo oscila com movimento harmˆonico sim-
ples de acordo com a equac¸˜ao
E¥© s hib—d mv™˜#drRfes ` 3 rad/svhg@i 3jH ` radkl‚
Em g ©!1 bed s, quais s˜ao (a) o deslocamento, (b) a ve-
locidade, (c) a acelera c¸˜ao e (d) a fase do movimento?
Tamb´em, quais s˜ao (e) a freq¨uˆencia e (f) o per´ıodo do
movimento?
¦ (a)
E s g ©21 bedwv © s hibedwvm˜#drR s h 3 i
3
` v © `bed m
(b)
B s g ©„1 b—dfv ©'n s ` 3 v s hib—dfvQRUSUT s h 3 i
3
`
©on G x m/s
(c)
a s g ©21 bedwv ©pn s ` 3 v
¤
s hbedwvq˜#drR s h 3 i
3
` v ©'nr1 huhibqp m/s
¤
(d)
fase © h 3 i
3
`
© g x 3
`
(e) ” © C
143 © ` 3
1r3 © gubqp Hz
(f)
0 © ”
•
¢ © dbehˆ‰ s‚
20P. Um bloco de 1 bedfd kg est´a suspenso de uma certa
mola. Se suspendermos um corpo de `fdud g embaixo do
bloco, a mola esticar´a mais 1 bedud cm. (a) Qual a cons-
tante da mola? (b) Se removermos o corpo de `udfd g e
o bloco for colocado em oscilac¸˜ao, ache o per´ıodo do
movimento.
¦ (a) Para calcular a constante da mola usamos
a condic¸˜ao de equil´ıbrio com a segunda massa, res-
pons´avel pela deformac¸˜ao adicional da mola:
¡ I§ s©„™E I
s dbe`udfdfv stx b—€ig“v ©† s dbed 1
6© gUprd N/m
(b) Calculada a constante da mola, vamos ao per´ıodo:
0 ©„1436… ¡
0 ©†143 … 1 bedfd
g“prd
© dibu‰4` s
26P. Um bloco est´a numa superf´ıcie horizontal (uma
mesa oscilante), que se agita horizontalmente num mo-
vimento harmˆonico simples com a freq¨uˆencia de 1 b—d
Hz. O coeficiente de atrito est´atico entre o bloco e a
superf´ıcie ´e dib—p . Qual pode ser a maior amplitude do
MHS, para que o bloco n˜ao deslize sobre a superf´ıcie?
¦ A forc¸a respons´avel pela oscilac¸˜ao n˜ao deve exceder
a forc¸a m´axima do atrito est´atico:
™E 7 ©„vxw—¡y§
C ¤ E 7 ©zvxw—§
G 3 ¤ ” ¤ E 7 ©vxw—§
E 7 © vxwq§
G 3 ¤ ” ¤
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3

4. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
E 7 © `b’gUd cm
30P. Certa mola sem massa est´a suspensa do teto com
um pequeno objeto preso `a sua extremidade inferior.
O objeto ´e mantido inicialmente em repouso, numa
posic¸˜ao u{ tal que a mola n˜ao fique esticada. O objeto ´e
ent˜ao liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua
posic¸˜ao mais baixa gUd cm de u{ . (a) Qual a freq¨uˆencia
da oscilac¸˜ao? (b) Qual a velocidade do objeto quando
est´a €ib—d cm abaixo da posic¸˜ao inicial? (c) Um objeto de
massa de `udfd g ´e ligado ao primeiro objeto; logo ap´os,
o sistema oscila com metade da freq’¨uˆencia original.
Qual a massa do primeiro objeto? (d) Com relac¸˜ao a { ,
onde ´e o novo ponto de equil´ıbrio (repouso) com ambos
os objetos presos `a mola?
¦ (a) Os dados do problema sugerem o uso do princ´ıpio
da conservac¸˜ao da energia. Colocamos o referencial pa-
ra a energia potencial gravitacional na posic¸˜ao mais bai-
xa:
¡¨§ws© ˆ ¤
1
1“§F©zC ¤
C)©|… 14§
C)© g’G rad/s
(b) Ainda trabalhando com a conservac¸˜ao da energia,
mudamos o referencial agora para a posic¸˜ao a €ib—d cm
abaixo de f{ :
¡y§ˆ I © ¡ B
¤
1 i
ˆ™I¤
1
1“§ˆ I n}C ¤ I¤ © B
¤
B © dibqprh m/s
Tamb´em podemos chegar a este resultado pela equac¸˜ao
de movimento. A amplitude do MHS subseq¨uente ´e
7 © dibedwp m e tomando g © d quando a massa est´a
em { , temos a constante de fase ~ © d :
s gv © 7 ˜#drR C g
n dbedf` © dibedwp€˜#drR C g
˜#drR C g ©„1 b 1 g%Gf` rad
Para a velocidade da massa,
B s gv ©'n¥Cs 7 RUSUT C g
B © s g’Gˆv s dbedwpuvRUSUT s 1 b 1 g%Gf`wv ©'n db—prh m/s
O sinal negativo indica que a massa est´a abaixo da
posic¸˜ao de equil´ıbrio, dirigindo-se para a posic¸˜ao de
m´aximo afastamento, do ”lado negativo”.
(c) Para determinar a massa do primeiro objeto ligado `a
mola, usamos a relac¸˜ao 6©„¡yC ¤
, tomando CPIx©CHr1 :
6© s ¡ i ¡ I v C I¤
¡yC ¤ © s ¡ i ¡ I v
C ¤
G¡© dib%g%d kg
(d) Quando as oscilac¸˜oes acontecem com ambos os ob-
jetos presos `a mola, a posic¸˜ao de equil´ıbrio do sistema
passa a ser
s ¡ i ¡ I v §6© s ¡ i ¡ I v C I¤ II
II © G §
C ¤ © dib 1 d m
33P. Duas molas idˆenticas est˜ao ligadas a um bloco de
massa ¡ e aos dois suportes mostrados na Fig. g%G n‚1 ‰ .
Mostre que a freq¨uˆencia da oscilac¸˜ao na superf´ıcie sem
atrito ´e
” © g
143 … 1P
¡ ‚
¦ Qualquer deslocamento da massa produz um igual
ƒE de distenc¸˜ao e compress˜ao das molas, tal que a forc¸a
resultante atuando na massa ´e
1uiƒE¨©¡¨C ¤ ƒE
C ¤ © 1u
¡
” © g143 … 1u
¡
35P. Duas molas s˜ao ligadas e conectadas a determinada
massa ¡ , como mostrado na Fig. g’G n1 € . A superf´ıcie
´e sem atrito. Se ambas as molas tiverem uma constante
de forc¸a , mostre que a freq’¨uˆencia da socilac¸˜ao de ¡
´e
” © g1r3 …
14¡ ‚
¦ Suponhamos que as molas tem constantes diferen-
tes, ¢ e ¤ . Qualquer deslocamento da massa produz a
deformac¸˜ao E„…©zE ¢ i E ¤ , que tamb´em podemos escre-
ver como
E„…©z† s
g
¢ i g
¤ v © †
fwq‡ˆ“{ƒ‰#Šq‹Œwh4„tw
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4

5. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
g wq‡qˆ“{Œ‰#Šq‹ƒwh4„tw © ¢ i ¤
ˆ¢%u¤
Para a freq¨uˆencia teremos ent˜ao
” © g
1r3„Ž
w¢%f¤
s ¢ i ¤ v ¡
Considerando as molas iguais, com ¢ ©2 ¤ ©„ , vem
” © g
143 …
1r¡
.
Sec¸˜ao 14-4 Movimento Harmˆonico Simples:
Considerac¸˜oes Sobre Energia
42E. Um objeto de pibedud kg numa superf´icie horizon-
tal sem atrito ´e ligado a uma mola com constante g%dudfd
N/m. O objeto ´e deslocado prdbed cm horizontalmente
e empurrado a uma velocidade inicial de gUdib—d m/s, na
direc¸˜ao do ponto de equil´ıbrio. (a) Qual a freq¨uˆencia do
movimento? Quais s˜ao (b) a energia potencial inicial do
sistema bloco-mola, (c) a energia cin´etica inicial e (d) a
amplitude da oscilac¸˜ao?
¦ (a) A freq¨uˆencia do movimento ´e
” © C
143 ©„1 b 1 p Hz
(b) A energia potencial inicial ´e
€ © ‘E ¤
1
  © s dibqprdwv s gUdudfdfv s dibqpuv
¤ © g 1 p J
(c) A energia cin´etica inicial ´e
’6 © ¡ B
¤
1
’6 © s dibqpuv s p™b—dfv s g%dbedwv
¤ ©„1 prd J
(d) Com a conservac¸˜ao da energia temos
© “ i ’6 © ™E ¤
71
E m
© dib—€w‰ m
46P. Uma part´ıcula de `bed kg est´a em movimento
harmˆonico simples em uma dimens˜ao e move-se de
acordo com a equac¸˜ao
E†© s p™b—d mv™˜#drRfes 3jH ` rad/svqg n”3jH G radk•‚
(a) Em qual valor de E a energia potencial da part´ıcula
´e igual `a metade da energia total? (b) Quanto tempo
leva para que a part´ıcula mova-se para esta posic¸˜ao E , a
partir do ponto de equil´ıbrio?
¦
50P*. Um cilindro s´olido est´a ligado a uma mola ho-
rizontal sem massa de forma que ele possa rolar, sem
deslizamento, sobre uma superf´ıcie horizontal (Fig. 14-
32). A constante da mola ´e `ib—d N/m. Se o sistema
for liberado de uma posic¸˜ao de repouso em que a mola
esteja estendida de db 1 p m, ache (a) a energia cin´etica
translacional e (b) a energia cin´etica rotacional do ci-
lindro quando ele passa pela posic¸˜ao de equil´ıbrio. (c)
Mostre que nessas condic¸˜oes o centro de massa do ci-
lindro executa um movimento harmˆonico simples com
per´ıodo
0 ©t143 … `w–
1u b
onde – ´e a massa do cilindro. (Sugest˜ao: Ache a deri-
vada da energia mecˆanica total em relac¸˜ao ao tempo.)
¦ A energia mecˆanica total do oscilador ´e © ¢¤ ˆE ¤
m.
Com os dados fornecidos, obtemos © dib’gUd J. Na
posic¸˜ao de equil´ıbrio, a energia total ´e s´o cin´etica
© g
1 –—B
¤
i g
1s˜ C ¤
‚
Como o cilindro rola sem escorregar, B ©2CP™ e a ener-
gia cin´etica rotacional pode ser expressa em termos da
velocidade linear B :
© g1 –—B
¤
i g1‚s g1 – ™ ¤
v s B™ v
¤
© g
1 –—B
¤
i g
1 s g
1 –—B
¤
v
A energia cin´etica de rotac¸˜ao vale a metade da energia
cin´etica de translac¸˜ao. Portanto, (a)
’ translac¸˜ao
© dib—duhw‰ J
(b)
’ rotac¸˜ao
© dibedf`u` J‚
(c) Seguindo a sugest˜ao do enunciado, a energia
mecˆanica total do oscilador ´e
© g
1 –—B
¤
i g
1 ˜ C ¤
i g
1 ˆE ¤
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5

6. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
© g1 –—B
¤
i g1 s
g1 – ™ ¤
v s
B™ v
¤
i g1 ˆE ¤
© `
G –—B
¤
i g
1 ˆE ¤
Como a energia mecˆanica total ´e constante, šq›š
„ © d .
Usando nas duas parcelas do lado direito da equac¸˜ao aci-
ma as relac¸˜oes para a posic¸˜ao, velocidade e acelerac¸˜ao
do MHS, obtemos
d © `1 –—Bœ B
œ g i ˆE œ
E
œ g
d © `1 – s nžC…E mRUSUT C gv s nžC ¤ E m˜#drR C gvei ˆE m˜#drR C g s nžC…E mRUSUT C gv
Ap´os as devidas simplificac¸˜oes, resulta
C ¤ © 1f
`f–
Outra forma de se chegar ao per´ıodo pedido ´e ”cons-
truindo” a equac¸˜ao diferencial que descreve o MHS. A
forc¸a resultante atuando ´e
–Ÿœ
¤ E
œ g ¤ ©'n£ˆE6n ”
atrito
A segunda na lei na forma angular fornece a forc¸a de
atrito est´atico
™ ”
atrito
© ˜f © s
g1 – ™ ¤
v s
g
™ v œ
¤ E
œ g ¤
”
atrito
© g1 –¡œ
¤ E
œ g ¤
Levando este resultado para a equac¸˜ao da forc¸a resultan-
te, vem
s –¢i g1 –'vrœ
¤ E
œ g ¤ i ˆE¨© d
œ
¤ E
œ g ¤ i
1f
`f–
E¥© d
Na segunda parcela da equac¸˜ao acima, a quantidade
multiplicando E ´e igual a C ¤
, levando ao per´ıodo do
MHS do cilindro.
Sec¸˜ao 14-5 Um Oscilador Harmˆonico Simples Angu-
lar
52P. Uma esfera s´olida de x p kg com um raio de gUp cm
´e suspensa de um fio vertical preso ao teto de uma sala.
Um torque de dib 1 d N.m ´e necess´ario para girar a esfera
de um ˆangulo de dib—€fp rad. Qual o per´ıodo da oscilac¸˜ao,
quando a esfera ´e liberada desta posic¸˜ao?
¦ O momento de in´ercia da esfera s´olida ´e
˜ © 1
p – ™ ¤ © dib—€fpup kg.m
¤
A constante de torc¸˜ao do fio ´e
£y©!¤
V
© p™b—du` N.m/rad
O per´ıodo das oscilac¸˜oes ent˜ao ´e
0 ©†143 … ˜£ ©†1 bqp x s
54P. A roda de balanc¸o de um rel´ogio oscila com uma
amplitude angular de 3 rad e um per´ıodo de db—prd s.
Ache (a) a velocidade angular m´axima da roda, (b) a
velocidade angular da roda quando seu deslocamento ´e
de 3jHu1 rad e (c) a acelerac¸˜ao angular da roda, quando
seu deslocamento ´e de 3jH G rad.
¦ (a) Assumimos, claro, que o movimento oscilat´orio
inicia na posic¸˜ao de m´aximo deslocamento angular, de
modo que a constante de fase ¥ © d :
C m´ax.
©zC V m
© G 3 ¤
rad/s
(b)
V s gv © V m ˜’drR C g3
1 ©z3 ˜#drR€G 3 g
G 3 g © 3
` rad
Levamos este resultado para a equac¸˜ao da velocidade do
MHSA:
C s gv ©pn}C ¤
V m RUSUT C g
C)©'n G 3 ¤
RUS%TQdb—p ©pn `ibeGwp 3 ¤
rad/s
(c) Na equac¸˜ao para a acelerac¸˜ao angular, quando
V s gv ©!¦§ rad, temos
fs gv ©on¨C ¤
V m ˜#drR C g
fs gv ©on G 3Q© rad/s
¤
‚
Sec¸˜ao 14-6 Pˆendulos
64E. Um pˆendulo f´ısico consiste em um disco s´olido
uniforme (de massa – e raio ™ ), suportado num pla-
no vertical por um eixo localizado a uma distˆancia
œ do
centro do disco (Fig. 14-35). O disco ´e deslocado de um
pequeno ˆangulo e liberado. Ache uma express˜ao para o
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6

7. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
per´ıodo do movimento harmˆonico simples resultante.
¦ Usamos aqui diretamente a equac¸˜ao para o per´ıodo
do pˆendulo f´ısico, mas antes precisamos aplicar o teo-
rema dos eixos paralelos para ter o momento de in´ercia
do eixo de rotac¸˜ao passando pelo ponto se suspens˜ao do
disco:
˜ © ˜ cm i ¡
œ
¤ © g
1 – ™ ¤
i ¡
œ
¤
A expres˜ao para o per´ıodo ent˜ao ´e
0 ©21r3 Ž
™ ¤ i 1
œ
¤
1Ҥ
œ
69P. Uma haste com comprimento ª oscila como um
pˆendulo f´ısico, com eixo no ponto « na Fig. 14-37. (a)
Deduza uma express˜ao para o per´ıodo do pˆendulo em
termos de ª e E , a distˆancia do ponto de suspens˜ao ao
centro de massa do pˆendulo. (b) Para qual valor de EmH ª
o per´ıodo ´e m´ınimo? (c) Mostre que, se ª © gub—dud m e
§s© x b—€ud m/s
¤
, este m´ınimo ´e gfb—pr` s.
¦ (a) Repetimos aqui o problema anterior; com a
aplicac¸˜ao do teorema dos eixos paralelos para obter o
momento de in´ercia, temos para o per´ıodo:
0 ©21r3 Ž ª ¤ i„g 1rE ¤
g 14§wE
(b) Precisamos agora derivar a express˜ao do per´ıodo em
relac¸˜ao `a vari´avel E e fazendo a derivada igual a zero,
obtemos
1 G E ¤ © ª
¤
izg 14E ¤
E
ª
© … g
g 1 © dib 1 € x
(c) Aplicando este valor obtido, E)© dib 1 € x ª , e os de-
mais dados na express˜ao do per´ıodo encontramos o va-
lor 0 m´ın.
© gfb—pu` s.
72P. Um pˆendulo simples de comprimento ª e massa
¡ est´a suspenso em um carro que est´a viajando a uma
velocidade constante B , em um c´ırculo de raio ™ . Se
o pˆendulo executa pequenas oscilac¸˜oes numa direc¸˜ao
radial em torno da sua posic¸˜ao de equil´ıbrio, qual ser´a a
sua freq¨uˆencia de oscilac¸˜ao?
¦ Al´em da forc¸a gravitacional, o pˆendulo est´a sob
a ac¸˜ao da forc¸a centr´ıpeta do movimento circular uni-
forme. Sua acelerac¸˜ao efetiva vale ent˜ao a efetiva
©
¬ § ¤ i
‰q­® $ . A forc¸a restauradora do MHS ´e † ©
n¡ a efetivaRUS%T¯V . Para pequenas oscilac¸˜oes, RUS%T¨VW°V
e fazendo V ©²±³ , podemos escrever a equac¸˜ao do MHS
para a varia´avel R
œ
¤
R
œ g ¤ i
5 § ¤ i)B
§ H4™ ¤
ª R © db
onde
C ¤ © s
5 § ¤ i)B
§ H4™ ¤
ª v
nos leva `a freq¨uˆencia
” © ¤ ¦´ .
75P. Uma haste longa e uniforme de comprimento ª e
massa ¡ gira livremente no plano horizontal em tor-
no de um eixo vertical, atrav´es do seu centro. Uma
determinada mola com constante de forc¸a ´e ligada
horizontalmente entre uma extremidade da haste e uma
parede fixa, como mostra a Fig. 14-38. Quando a has-
te est´a em equil´ıbrio, fica paralela `a parede. Qual o
per´ıodo das pequenas oscilac¸˜aoes que resultam, quando
a haste ´e ligeiramente girada e liberada?
¦ A mola exerce um torque restaurador sobre a barra
dado por
¤ ©'nˆE ª1 ©onµ s ª
1 Vfv ª
1
Da segunda lei angular, ¤ © ˜r , com ˜ © 7 ³ $¢¤ , escre-
vemos a equac¸˜ao para o MHS da barra
˜ œ
¤
V
œ g ¤ i
ª
¤
G V © db
na qual identificamos C ¤ © ©7 , do que resulta o per´ıodo
0 ©2143… ¡
` ‚
Sec¸˜ao 14-8 Movimento Harmˆonico Simples Amorte-
cido
83P. Um oscilador harmˆonico amortecido consiste em
um bloco (¡D©o1 bedfd kg), uma mola (y© gUdib—d N/m) e
uma forc¸a de amortecimento †D©¶n· B . Inicialmente,
ele oscila com uma amplitude de 1 p™b—d cm; devido ao
amortecimento, a amplitude ´e reduzida para trˆes quar-
tos do seu valor inicial, quando s˜ao completadas quatro
oscilac¸˜oes. (a) Qual o valor de · ? (b) Quanta energia foi
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7

8. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
”perdida” durante essas oscilac¸˜oes?
¦ Considerando ·¹¸–¸ ¬
7 , da equac¸˜ao para a posic¸˜ao
obtemos
`
G
E m
©„E m S •
­•º¼»
$
Como · ´e suposto pequeno, 0 ©21r3s5 7 ©†1 b—€ig s que,
levado `a equac¸˜ao anterior, fornece o valor de ·© db’g%d 1
kg/s.
(b) A energia inicial do oscilador ´e o
© ¢¤ ˆE ¤
m
©
dib—`igU` J. Para g © Gf0 , teremos
s Gu0¹v © o S •
­hº¼» © dib’g4‰4h J
Descontando esse valor da energia inicial, teremos a
energia perdida pelo amortecimento, que ´e dib%g%`ˆ‰ J.
85P. Considere que vocˆe est´a examinando as carac-
ter´ısticas do sistema de suspens˜ao de um autom´ovel de
1 dfdud kg. A suspens˜ao ”cede” gUd cm, quando o peso
do autom´ovel inteiro ´e colocado sobre ela. Al´em dis-
so, a amplitude da oscilac¸˜ao diminui prd½ durante uma
oscilac¸˜ao completa. Estime os valores de e · para o
sistema de mola e amortecedor em uma roda, conside-
rando que cada uma suporta prdud kg.
¦ Escrevendo a condic¸˜ao de equil´ıbrio para cada uma
das rodas, temos
s prdudwv syx be€gUv ©„ s dib%g%dfv
6© Gb x dfp„¾!g%d
§
N/m
Pressupondo um pequeno valor para · , tomamos C¿©¬
7 © x b x dfp rad/s e o per´ıodo 0 © ¤ ¦´ © dbehf` s e
levamos estes resultados para a equac¸˜ao da posic¸˜ao do
movimento amortecido:
dib—pud E m
©zE m S •
º¼»
$
Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equac¸˜ao
chegamos ao valor da constante de amortecimento
·© gugUdud kg/s
Sec¸˜ao 14-9 Oscilac¸˜oes Forc¸adas e Ressonˆancia
87P. Um carro de 1f1 dfd libras, transportando quatro
pessoas de g%€fd libras, viaja em uma estrada de terra co-
berta de pequenas ondulac¸˜oes (costelas), com saliˆencias
separadas de g%` p´es. O carro balanc¸a com amplitude
m´axima quando sua velocidade ´e de g%d milhas/h. O
carro ent˜ao p´ara e os quatro passageiros desembarcam.
Quanto sobe a carroceria do carro em sua suspens˜ao
devido ao decr´escimo de peso?
¦ Vamos resolver o problema em unidades SI. A massa
total ´e
¡ total
©„¡ carro i ¡ passageiros
¡ total
© xfx €Ài s Gwv s €igfbehwpuv © gU` 1 Gb—pud kg
A amplitude m´axima ocorre quando B © GbeGˆ‰ m/s. Para
a distˆancia entre as costelas temos EÁ© `ib x h m. Agora
podemos calcular o per´ıodo
0 © E
B m´ax.
© `b x h
GcbG™‰
© dib—€u€uh s
A freq¨uˆencia angular ´e C2© ¤ ¦Â © ‰ˆb—d x rsd/s e a cons-
tante el´astica do sistema de suspens˜ao ´e 6©z¡ total
C ¤ ©
hfhfpu€ud N/m. Com os passageiros a bordo, a deformac¸˜ao
da suspens˜ao ´e
ˆ¢© ¡ total
§
© g%` 1 Gbqp@¾ x b—€ig
huhwpr€ud
© db’g x p m
Sem os passageiros, a deformac¸˜ao ´e
u¤r© ¡ carro
§
© xfx €F¾ x be€g
hfhfpu€ud
© dib%g’G™‰ m
O quanto a carroceria sobe ap´os o desembarque dos pas-
sageiros, calculamos pela diferenc¸a
¢ n} ¤ © dbedrGw€ m
Convertendo as unidades para confirmar o resultado,
dbeduGf€ m correspondem `as gfb x d polegadas nas respos-
tas do livro.
14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS
88. Um oscilador harmˆonico simples consiste em um
bloco ligado a uma mola de constante „©Ã1 dud N/m.
O bloco desliza para frente e para tr´as ao longo de uma
linha reta, numa superf´ıcie sem atrito, com ponto de
equil´ıbrio em E© d e amplitude db 1 d m. Um gr´afico
da velocidade B do bloco como uma func¸˜ao do tempo g
´e mostrado na Fig. 14-42. Quais s˜ao (a) o per´ıodo do
movimento harmˆonico simples, (b) a massa do bloco,
(c) o deslocamento do bloco em g © d , (d) a acelerac¸˜ao
do bloco em g © dib%g%d s e (e) a energia cin´etica m´axima
alcanc¸ada pelo bloco.
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 8

9. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, `as 10:14 a.m.
¦ (a) Basta observar o gr´afico para obter o per´ıodo:
0 © db 1 d s.
(b) A massa do bloco calculamos pela relac¸˜ao 6©„¡yC ¤
,
¡‘©
1r3jH 0
© 1 dud
g%d 3 ¤ © db 1 d kg
(c) O deslocamento do bloco em g © d ´e
E s dfv ©zE m
© db 1 d m
(d) Para a acelerac¸˜ao em g © db’g%d s,
a s g © dib%g%dwv ©on s g%dfd 3 ¤
v s db 1 dwvm˜#drR 3¨© g x ‰™bGwd m/s
¤
(e) A energia cin´etica m´axima alcanc¸ada pelo bloco ´e
’ m
© g1 ¡ B
¤
m
© `ib x p J
91. Um pˆendulo f´ısico consiste em duas hastes com um
metro de comprimento que s˜ao ligadas como mostra a
Fig. 14-44. Qual o per´ıodo de oscilac¸˜ao com um eixo
inserido no ponto Ä ?
¦ Precisamos primeiro determinar a posic¸˜ao do centro
de massa das duas hastes. Do cap´ıtulo x sabemos que
cm
© ¡ s dwvxi ¡ s n ª Hr1 v
14¡ ©'n ª
G b
onde ª e ¡ s˜ao, respectivamente, o comprimento e a
massa de cada uma das hastes. A origem do sistema de
referˆencia est´a colocado no ponto Ä . Ent˜ao, o centro
de massa do sistema formado pelas duas hastes est´a `a
distˆancia ª H G abaixo do ponto Ä . Portanto, a´ı temos a
distˆancia ”d” do centro de massa do pˆendulo ao ponto
de suspens˜ao. O momento de in´ercia do sistema ´e
˜ © ˜ ¢ i ˜ ¤
˜ © g
`
¡ ª
¤
i g
g 1 ¡ ª
¤ © p
g 1 ¡ ª
¤
Levando os valores de ˜ e
œ para a express˜ao do per´ıodo,
teremos
0 ©„1r3 Ž prª
` § ©21 b—p x s‚
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 9

10. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
15 Gravitac¸˜ao 2
15.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
15.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2
15.2.1 A Lei da Gravitac¸˜ao de Newton 2
15.2.2 Gravitac¸˜ao e o Princ´ıpio de
Superposic¸˜ao . . . . . . . . . . 2
15.2.3 Gravitac¸˜ao Pr´oximo `a Su-
perf´ıcie da Terra . . . . . . . . 3
15.2.4 Gravitac¸˜ao no Interior da Terra . 4
15.2.5 Energia Potencial Gravitacional 4
15.2.6 Planetas e Sat´elites: Leis de Ke-
pler . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.2.7 ´Orbitas de Sat´elites e Energia . 8
15.2.8 Problemas Adicionais . . . . . 10
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 1 de 10

11. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
15 Gravitac¸˜ao
15.1 Quest˜oes
Q 15-11
A forc¸a gravitacional exercida pelo Sol sobre a Lua ´e
quase duas vezes maior que aquela exercida pela Terra.
Por que a Lua n˜ao escapa da Terra?
¡
15.2 Problemas e Exerc´ıcios
15.2.1 A Lei da Gravitac¸˜ao de Newton
E 15-1 (14-1/6¢ edic¸˜ao)
Qual deve ser a separac¸˜ao entre uma part´ıcula de £¥¤§¦ kg
e outra de ¦¥¤ ¨ kg, para que sua forc¸a de atrac¸˜ao gravita-
cional seja ¦¥¤ ©¥ N?
¡
O m´odulo da forc¸a gravitacional ´e !#%$'
(0)
,
donde tiramos que
)
1
$'
!
1 243
¤
365
78@9
2
£A¤ ¦ 9
2
¦A¤ ¨ 9
¦¥¤ ©B 7C
ED m¤
E 15-4 (14-3/6¢ )
Um dos sat´elites Echo consistia em um bal˜ao esf´erico de
alum´ınio inflado, com ©F m de diˆametro e massa igual a
¦G kg. Suponha que um meteoro de
5
kg passe a © m da
superf´ıcie do sat´elite. Qual a forc¸a gravitacional sobre o
meteoro, devida ao sat´elite, nesse instante?
¡ Use !HI$'QPRQS
(0)
, onde TP e QS s˜ao as massas
do sat´elite e do meteoro, respectivamente. A distˆancia
entre os centros ´e
)
IUWVYX#£`VY©abEc m, onde U
´e o raio do sat´elite e X a distˆancia entre sua superf´ıcie e
o centro do meteoro. Portanto
!H
243
¤
365
dEAe 9
2
¦G 9
2f5
9
Ec
I¦A¤ DdE 78 N¤
15.2.2 Gravitac¸˜ao e o Princ´ıpio de Superposic¸˜ao
E 15-6 (14-7/6¢ )
A que distˆancia da Terra, medida ao longo da linha que
une os centros da Terra e do Sol, deve estar uma son-
da espacial para que a atrac¸˜ao gravitacional anule a da
Terra?
¡ No ponto onde as forc¸as se equilibram temos
$hgpiq
)
$hgYrA
)
s
onde gpi e gtr s˜ao as massas da Terra e do Sol, ´e
a massa da sonda,
)
a distˆancia do centro da Terra at´e
a sonda, e
)
a distˆancia do centro do Sol at´e a sonda.
Chamando de X a distˆancia do centro da Terra at´e o cen-
tro do Sol, temos que
)
uXwv
)
e, portanto, que
g i
)
g r2
Xav
)
9 s
donde, extraindo a raiz quadrada e re-arranjando, segue
)
Xyx gpi
x g i V€x g r
X
Vu‚ gtr
(
gpi
0£GFƒ
Vu„ R… ƒeƒ‡†ˆC‰ef‘’
…ƒ e“‡†ˆC‰e”4•
¦¥¤§£GD–£adE “ m¤
Perceba qu˜ao ´util foi realizar a simplificac¸˜ao algebrica-
mente antes de substituir os valores num´ericos.
P 15-15 (14-13/6¢ )
O problema que segue foi retirado do exame “Ol´ımpico”
de 1946, da Universidade Estatal de Moscou (veja
Fig. 15-31). Fazemos uma cavidade esf´erica numa bola
de chumbo de raio U , de tal modo que sua superf´ıcie
toca o exterior da esfera de chumbo, passando tamb´em
pelo seu centro. A massa da esfera, antes de ser feita
a cavidade, era g . Qual a intensidade da forc¸a gravi-
tacional com que a esfera cˆoncava atrair´a uma pequena
esfera de massa , que est´a a uma distˆancia X do seu
centro, medida ao longo da linha que passa pelos cen-
tros das esferas e da cavidade?
¡ Se a esfera de chumbo n˜ao fosse oca, a magnitude
da forc¸a que ela exerceria em seria ! %$hg—
(
X– .
Parte desta forc¸a ´e devida ao material que ´e removido.
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 10

12. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
Calcule a forc¸a exercida sobre por uma esfera que en-
cha a cavidade, na posic¸˜ao da cavidade, e subtraia-a da
forc¸a feita pela esfera s´olida.
A cavidade tem raio
)
˜U
(
¦ . O material que preenche-
a tem a mesma densidade (= massa/volume) que a esfera
s´olida. Ou seja, j´a cancelando-se o fator comum ¨F™
(
© ,
temos que gYd
(‡)0e
fg
(
U
e
, onde gtd ´e a massa que
preenche a cavidade. Portanto, com
)
˜U
(
¦ , temos
g d
)‡e
U
eggh
U
e(
c
U
eigj
g
c
¤
O centro da cavidade est´a a uma distˆancia Xv
)
XkvWU
(
¦ da massa , de modo que a forc¸a que a ca-
vidade exerce sobre ´e
!
$
2
g
(
c 9 2
XhvlU
(
¦ 9
¤
A magnitude da forc¸a exercida pela esfera furada ´e
!mu! vp! $hg—mn
X
v
c
2
XwvlU
(
¦ 9 yo
$hg—
X
n pv
crqstvlU
( 2
¦FX 9vuwAo
¤
15.2.3 Gravitac¸˜ao Pr´oximo `a Superf´ıcie da Terra
E 15-16 (14-??/6¢ )
Se o per´ıodo de um pˆendulo ´e exatamente s no equador,
qual ser´a seu per´ıodo no p´olo sul? Utilize a Fig. 15-7.
¡
O per´ıodo de um pˆendulo simples ´e dado por xf
¦‡™y‚ z
(0{
, onde z ´e o comprimento do pˆendulo. Co-
mo
{
´e diferente em lugares diferentes da superf´ıcie da
Terra, o per´ıodo de um pˆendulo varia quando ele ´e car-
regado de um lugar para outro. Portanto, os per´ıodos no
p´olo sul e no equador s˜ao, respectivamente,
xr|wI¦‡™y}
z
{
|
s
e x7~tI¦‡™ }
z
{
~
s
cuja raz˜ao ´e x |
(
x ~ ‚
{
~
(0{
| . Desta ´ultima express˜ao
obtemos
x |
1 {
~
{
|
x ~
1
Dˆ¤
5
cF
Dˆ¤ c–©–£
2
s9 IA¤ DFD
5
s
s
onde os valores num´ericos foram tirados da Fig. 15-7.
E 15-18 (14-15/6¢ )
A que altura, medida a partir da superf´ıcie da Terra, a
acelerac¸˜ao da gravidade ser´a ¨ˆ¤ D m/s ?
¡
Para comec¸ar, perceba que ¨ˆ¤ DwIDA¤ c
(
¦ .
A acelerac¸˜ao devida gravidade ´e dada por
{
˜$hg
(0)
,
onde g ´e a massa da Terra e
)
´e a distˆancia do centro
da Terra at´e o ponto onde se mede a acelerac¸˜ao. Subs-
tituindo
)
UmVI€ , onde U ´e o raio da Terra e € ´e a
altitude, obtemos
{
$hg
( 2
U—VI€ 9 . Resolvendo-se
esta equac¸˜ao para € e usando os valores num´ericos for-
necidos no Apˆendice C, temos
€
)
vdU
}
$hg
{ vlU
1 2‚3
¤
365
dE e 9
2
£¥¤ DFcdE 8ƒ 9
¨ˆ¤ D
v
3
¤ ©
5
dE–„
¦¥¤
3
dE „ m¤
P 15-29 (14-??/6¢ )
Um corpo est´a suspenso numa balanc¸a de mola num na-
vio que viaja ao longo do equador com velocidade … . (a)
Mostre que a leitura da balanc¸a ser´a muito pr´oxima de
†
‰
2
ˆ‡‰¦0Šy…
({
9 , onde Š ´e a velocidade angular da Ter-
ra e
†
‰ ´e a leitura da balanc¸a quando o navio est´a em
repouso. (b) explique o sinal de mais ou menos.
¡ (a) As forc¸as que atuam num objeto sendo pesado s˜ao
a forc¸a da gravidade, para baixo, e a forc¸a da mola, para
cima, cujas magnitudes chamaremos de !Œ‹ e
†
, res-
pectivamente. A leitura da balanc¸a fornece o valor de
†
. Como o objeto est´a viajando num c´ırculo de raio
U , possui uma acelerac¸˜ao centr´ıpeta. A segunda lei de
Newton fornece-nos
! ‹ v
†
uW
U
s
onde

´e a velocidade do objeto medida num referencial
inercial e ´e a massa do objeto.
A relac¸˜ao entre as velocidades ´e

fŠŽUH‡%… , onde
Š ´e a velocidade angular da Terra quando gira, e … ´e a
velocidade do navio em relac¸˜ao `a Terra. O sinal V ´e usa-
do se o navio estiver navegando no mesmo sentido que a
porc¸˜ao de ´agua sob ele (de oeste para leste) e negativa se
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 de 10

13. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
navegar no sentido contr´ario (de leste para oeste). Com
isto tudo, a segunda lei de Newton fica
!Œ‹v
†
W
2
ŠŽUW‡p… 9
U
¤
Ao expandir o parentesis podemos desprezar o termo …6
pois a magnitude de … ´e muito menor que ŠŽU . Portanto
! ‹ v
†
u
ŠŽU'Ž‡Y¦‡ŠŽU…
U
s
de modo que
!HI!q‹‘vkŠ UW’Y¦G“Šy…”¤
Com o navio parado, …˜• , a leitura ´e
†
‰ f!Œ‹Bv
kŠŽU e, portanto,
†
†
‰ ’m¦‡kŠy… . Substituindo
agora por
†
‰
(0{
obtemos, finalmente, que
†
†
‰—– ’
¦0Šy…
{•˜ ¤
(b) O sinal v ´e usado se o navio navegar em direc¸˜ao ao
leste, enquanto que o sinal V ´e usado quando navegar
em direc¸˜ao ao oeste.
15.2.4 Gravitac¸˜ao no Interior da Terra
P 15-34 (14-25/6¢ )
A Fig. 15-35 mostra, em corte, o interior da Terra (a
figura n˜ao est´a em escala). Longe de ser uniforme, a
Terra est´a dividida em trˆes regi˜oes: uma crosta exte-
rior, o manto e um n´ucleo interior. A figura mostra
as dimens˜oes radiais destas regi˜oes, bem como as mas-
sas contidas em cada uma. A massa total da Terra ´e
£¥¤ DFc™WE ƒ kg e seu raio ´e 6370 km. Supondo que a
Terra ´e esf´erica e ignorando sua rotac¸˜ao, (a) calcule
{
na superf´ıcie. (b) Suponha que um poc¸o (o Moho) ´e
escavado desde a superf´ıcie at´e a regi˜ao que separa a
crosta do manto, a ¦F£ km de profundidade; qual o valor
de
{
no fundo deste poc¸o? (c) Considerando que a Terra
´e uma esfera uniforme com massa e raios iguais aos da
verdadeira Terra, qual seria o valor de
{
a uma profundi-
dade de ¦F£ km? (Veja o Exerc´ıcio 15-33.)(Medidas pre-
cisas de
{
funcionam como sondas bastantes sens´ıveis
para estudar a estrutura do interior da Terra, embora os
resultados possam ser mascarados por variac¸˜oes de den-
sidade locais.)
¡ (a) A magnitude da forc¸a numa part´ıcula com massa
na superf´ıcie da Terra ´e dada por !fš$hg—
(
U ,
onde g ´e a massa total da Terra e U ´e o raio da Terra.
A acelerac¸˜ao devida `a gravidade ´e
{
!
$hg
U
243
¤
365
lE¥78 9
2
£A¤ D–cF8ƒ 92‚3
¤ ©
5
dE „ 9
Dˆ¤ c–© m/sG¤
(b) Agora
{
š$hg
(
U' , onde g ´e a massa conjunta
do n´ucleo mais o manto e U ´e o raio externo do manto,3
¤ ©F¨6£`›E „ m, de acordo com a Fig. 15-35. A massa em
quest˜ao ´e gjm–¤ D–©ŽaE 8ƒ VB¨ˆ¤ AœhE ƒ I£A¤ DF¨aE 8ƒ
kg, onde a primeira parcela ´e a massa do n´ucleo e a se-
gunda a do manto. Portanto
{
2‚3
¤
3y5
¥e 9
2
£¥¤ DG¨›dE– ƒ 9243
¤ ©G¨6£dE „ 9C
˜Dˆ¤ cF¨ m/sG¤
(c) Um ponto a ¦F£ km abaixo da superf´ıcie est´a na inter-
face manto-n´ucleo, na superf´ıcie de uma esfera de raio
U—
3
¤ ©F¨6£QE „ m. Como a massa ´e suposta uniforme-
mente distribuida, pode ser encontrada multiplicando-se
a massa por unidade de volume pelo volume da esfera:
g
2
U
e(
U
ež 9 gti , onde gpi ´e a massa total da Ter-
ra e U i ´e o raio da Terra. Portanto, simplificando de
antem˜ao um fator „ comum a ambos os raio, temos
g n
U
e
U
ež o
gpi
n
3
¤ ©G¨6£3
¤ ©
5
o
2
£¥¤ DFc 8ƒ 9 %£¥¤ DA'dE 8ƒ kg¤
A acelerac¸˜ao da gravidade ´e
{
2‚3
¤
3y5
¥e 9
2
£¥¤ DAwdE– ƒ 9243
¤ ©G¨6£dE „ 9C
˜Dˆ¤
5
D m/sG¤
15.2.5 Energia Potencial Gravitacional
P 15-46 (14-31/6¢ )
As trˆes esferas da Fig. 15-38, com massas #cFF g,
E– g e e Ÿ¦G– g, est˜ao com seus centros ali-
nhados, sendo ztH0¦ cm e X˜¨ cm. Vocˆe movimenta
a esfera do meio at´e que a sua distˆancia centro a centro
de e seja X ¡¨ cm. Qual o trabalho realizado sobre
(a) por vocˆe e (b) pela forc¸a gravitacional resultante
sobre , devido `as outras esferas?
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 10

14. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
¡ (a) O trabalho feito por vocˆe ao mover a esfera de
massa ´e igual `a variac¸˜ao da energia potencial do sis-
tema das trˆes esferas. A energia potencial inicial ´e
¢¤£
Hv
$'
X
v
$' e
z
v
$' e
zlvdX
s
enquanto que a energia potencial final ´e
¢Ž¥
mv
$'
zlvdX
v
$' e
z
v
$' e
X
¤
O trabalho ´e, portanto,
†
¢y¥
v
¢ £
$' r¦ vd e§
–
X
v
zlvlX
˜
2‚3
¤
3y5
dE e 9
2
A¤¨E 9
¦ A¤ cFvdˆ¤ ¦F §
–
ˆ¤ F¨
v
ˆ¤ –c
˜
V'£¥¤ e J¤
Perceba qu˜ao ´util foi realizar a simplificac¸˜ao algebrica-
mente antes de substituir os valores num´ericos. Em par-
ticular, existe um termo em ambas express˜oes de
¢ £
e¢ ¥
que se cancelam ao considerarmos o trabalho.
(b) O trabalho feito pela forc¸a gravitacional ´e
v
†
#v
2 ¢y¥
v
¢ £
9 #v©£¥¤ dE e J¤
P 15-47 (14-33/6¢ )
Um foguete ´e acelerado at´e uma velocidade …ª
¦ x
{
U i pr´oximo `a superf´ıcie da Terra (aqui U i ´e o
raio da Terra) e, ent˜ao, orientado para cima. (a) Mos-
tre que ele escapar´a da Terra. (b) Mostre que a sua ve-
locidade, quando estiver muito distante da Terra, ser´a
…B x ¦
{
U i .
¡ (a) Basta usar-se o princ´ıpio da conservac¸˜ao da ener-
gia. Inicialmente o foguete est´a na superf´ıcie da Terra
e a energia potencial ´e
¢¤£
«v`$hg—
(
U‘i«vp
{
U‘i ,
onde g ´e a massa da Terra, a massa do foguete, e
Ui ´e o raio da Terra. Usamos o fato que
{
u$hg
(
U i .
A energia cin´etica inicial ´e ¬
£
f™…6
(
¦Y­¦G
{
U‘i
onde, de acordo com os dados do problema, usamos
…BI¦ x
{
U i .
Para o foguete conseguir escapar, a conservac¸˜ao da ener-
gia deve fornecer uma energia cin´etica final positiva,
n˜ao importando qu˜ao longe da Terra o foguete ande.
Considere a energia potencial final como sendo zero e
seja ¬
¥
a energia cin´etica final. Ent˜ao
¬
¥
u¬
¥
V‰®¥¯°
‰±0²@³´¢ ¥
¢¤£
VY¬
£
vp
{
U i VY¦G
{
U i
{
U i ¤
Como o resultado ´e positivo, o foguete tem energia
cin´etica suficiente para escapar do campo gravitacional
terrestre.
(b) Chamemos de ™…6
¥ (
¦ a energia cin´etica final. Ent˜ao
™…y
¥ (
¦w˜
{
U i e, portanto,
…
¥
‚ ¦
{
U i ¤
P 15-48 (14-35/6¢ )
(a) Qual ´e a velocidade de escape num aster´oide cujo
raio tem £FF km e cuja acelerac¸˜ao gravitacional na su-
perf´ıcie ´e de © m/s ? (b) A que distˆancia da superf´ıcie
ir´a uma part´ıcula que deixe o aster´oide com uma velo-
cidade radial de FF m/s? (c) Com que velocidade um
objeto atingir´a o aster´oide, se cair de uma distˆancia de
F– km sobre a superf´ıcie?
¡
(a) Usamos aqui o princ´ıpio da conservac¸˜ao da ener-
gia. Inicialmente a part´ıcula est´a na superf´ıcie do as-
ter´oide e tem uma energia potencial
¢ £
Ÿv`$hg—
(
U ,
onde g ´e a massa do aster´oide, U ´e o seu raio, e ´e a
massa da part´ıcula ejetada. Considere a energia cin´etica
inicial como sendo ¬
£
i™…6
(
¦ . A part´ıcula con-
segue apenas escapar se sua energia cin´etica for zero
quando ela estiver infinitamente afastada do aster´oide.
As energias cin´etica e potencial s˜ao nulas. Portanto, a
conservac¸˜ao da energia nos diz que
¢y£
Vt¬
£
mv
$hg—
U
V
¦
™… ˜A¤
Substituindo $hg
(
U por
{
U , onde
{
´e a acelerac¸˜ao da
gravidade na superf´ıcie, e resolvendo para … encontra-
mos que
…› ‚ ¦
{
U ‚ ¦
2
© 9
2
£FF
e
9
F¤
5
dE
e
m/s¤
(b) Inicialmente a part´ıcula est´a na superf´ıcie. A ener-
gia potencial ´e
¢ £
•$hg—
(
U e a energia cin´etica ´e
¬
£
µ™…6
(
¦ . Suponha a part´ıcula a uma distˆancia
€ acima da superf´ıcie quando ela atinge momentanea-
mente o repouso. A energia potencial final ´e
¢Ž¥
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 10

15. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
v`$hg—
( 2
UuV˜€ 9 e a energia cin´etica final ´e ¬
¥
« .
Com isto, a conservac¸˜ao da energia nos fornece que
v
$hg—
U
V
¦
™… mv
$hg—
U€V€€
¤
Substituindo-se $hg por
{
U e cancelando obtemos
v
{
U‰V
¦
… Hv
{
U
UWVY€
s
donde tiramos que
€
¦
{
U
¦
{
U˜vd…
vdU
¦
2
© 9
2
£FFdE
e
9
¦
2
© 9
2
£FF
e
9 v
2
EF– 9
vp£G–
e
¦A¤ £dE
’
m¤
(c) Inicialmente a part´ıcula est´a a uma distˆancia € aci-
ma da superf´ıcie, em repouso. Sua energia potencial ´e
¢ £
¶v`$hg—
( 2
UmV—€ 9 e sua energia cin´etica inicial
´e ¬
£
· . Imediatamente antes de atingir o aster´oide
a energia potencial ´e
¢y¥
¸v`$hg—
(
U . Escrevendo
™…6
(
¦ para energia cin´etica, a conservac¸˜ao da energia
nos diz que
v
$hg—
U€V‰€
mv
$hg—
U
V
¦
™… ¤
Cancelando-se e substitutindo-se $hg por
{
U' obte-
mos
v
{
U'
UWVY€
#v
{
U‰V
¦
… ¤
Resolvendo ent˜ao para … encontramos
…
1
¦
{
U˜v
¦
{
U
U€V‰€
} ¦
2
© 9
2
£G–dE
e
9 v
¦
2
© 9
2
£G–
e
9 2
£FF`V˜F– 9
e
‚
2
©–FFv€E–F 9 dE
e
x ¦
e
–¤ ¨r¨
e
m/s¤
Observe que se pode simplificar “de cabec¸a” o que esta
dentro do radical. Esta pr´atica ´e salutar!!! :-))
P 15-51 (14-37/6¢ )
Duas estrelas de nˆeutrons est˜ao separadas por uma
distˆancia de 6C‰ m. Ambas possuem massa de E
e
‰ kg
e raio de
’
m. Se estiverem inicialmente em repouso
uma em relac¸˜ao `a outra: (a) com que rapidez estar˜ao se
movendo, quando sua separac¸˜ao tiver diminu´ıdo para a
metade do valor inicial? (b) Qual a velocidade das duas
estrelas, imediatamente antes de colidirem?
¡
(a) O momento das duas estrelas ´e conservado, e co-
mo elas tem a mesma massa, suas velocidades e energias
cin´eticas s˜ao iguais. Usamos o princ´ıpio da conservac¸˜ao
da energia.
A energia potencial inicial ´e
¢ £
¡v`$hgm
(‡) £
, onde g
´e massa de qualquer uma das estrelas e
) £
sua separac¸˜ao
inicial centro a centro. A energia cin´etica inicial ´e ze-
ro,
¢ £
¹ , pois as estrelas est˜ao em repouso. A ener-
gia potencial final ´e
¢ ¥
v©¦G$hgm
(‡) £
, uma vez que a
separac¸˜ao final ´e
) £ (
¦ . A energia cin´etica final do siste-
ma ´e ¬
¥
mg—…
(
¦©V‰g—…
(
¦—g—… . Com isto tudo,
a conservac¸˜ao da energia nos diz que
v
$hgm
) £ #v
¦F$hgm
) £ VYg—… ¤
Portanto
…
1
$hg
) £
1 2‚3
¤
3y5
e@9
2
E
e
‰09
C‰
ucˆ¤ ¦dE ƒ m/s¤
(b) Imediatamente antes de colidirem a separac¸˜ao dos
centros ´e
) ¥
·¦GUš·¦™‰
’
m, onde U ´e o raio de
qualquer uma das estrelas. A energia potencial final ´e
dada por
¢y¥
¡v`$hgm
(0) ¥
e a equac¸˜ao da conservac¸˜ao
da energia fica agora sendo
v
$hg
) £ #v
¦F$hg
) ¥ VYg—…
s
de onde obtemos que
… } $hg –
) ¥ v
) £ ˜
1
3
¤
365
dE eCº
e
‰ –
¦dE
’ v
C‰
˜
–¤ cdE–» m/s¤
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 de 10

16. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
15.2.6 Planetas e Sat´elites: Leis de Kepler
P 15-56 (14-41/6¢ )
Um dos sat´elites de Marte, Fobos, est´a numa ´orbita cir-
cular de raio Dˆ¤ ¨ktE „ m com um per´ıodo de 7 h e 39
m. A partir destes dados, calcule a massa de Marte.
¡
O per´ıodo x e o raio
)
da ´orbita est˜ao relacionados pe-
la lei dos per´ıodos (de Kepler): x©wŸq ¨F™7
( 2
$hg 9¼u
)‡e
,
onde g ´e a massa de Marte. O per´ıodo ´e 7h 39m, que
perfaz
2f5
3
`Vt©–D 9
3
h%¦
5
£G¨– s. Portanto
gj
¨–™7
)‡e
$'x
¨F™7
2
DA¤ ¨B „ 9
e
2‚3
¤
3y5
dE e@9
2
¦
5
£‡¨– 9C
3
¤§£
e
kg¤
O Apˆendice C informa que a massa gt½ de Marte ´e
igual a A¤¨E
5
vezes a massa da Terra. Portanto
gt½¾uA¤¨E
5
g i
3
¤ ©–DFc
3
dE
e
kg
s
uma boa concordˆancia. N˜ao seria de se esperar que o
autor do livro deixasse de verificar isto ao escolher os
dados do problema, claro... ;-)
E 15-58 (14-43/6¢ )
O Sol, cuja massa vale ¦BpE
e
‰ kg, orbita em torno da
Via L´actea, que est´a a uma distˆancia de ¦¥¤§¦g‰E ‰ m,
com per´ıodo de ¦¥¤§£›tF“ anos. Supondo que todas as
estrelas da Gal´axia tˆem massa igual `a do Sol e que est˜ao
distribu´ıdas de maneira uniforme num volume esf´erico
em torno do centro da Gal´axia e, al´em disto, que o Sol
est´a praticamente na superf´ıcie desta esfera, fac¸a uma
estimativa grosseira do n´umero de estrelas na Gal´axia.
¡ Chamemos de ¿ o n´umero de estrelas na Gal´axia, de
g a massa do Sol, e U o raio de Gal´axia. A massa total
da Gal´axia ´e ¿g e a magnitude da forc¸a gravitacional
atuante no Sol ´e !#u$w¿gm
(
U' . A forc¸a aponta para
o centro da Gal´axia. A magnitude da acelerac¸˜ao do Sol
´e À b…6
(
U , onde … ´e a sua velocidade. Chamando de
x o per´ıodo do movimento do Sol em torno do centro da
Gal´axia, ent˜ao …BI¦G™7U
(
x e ÀB˜¨–™ U
(
x . A segunda
lei de Newton fornece-nos $w¿Ágm
(
U'`˜¨–™7EgmU
(
x‘ .
O n´umero ¿ desejado ´e, portanto,
¿·
¨–™7U
e
$'x g
¤
Como ¦¥¤§£F“ anos s˜ao
5
¤ c–c6
’
segundos, temos
¿š
¨F™7
2
¦A¤ ¦dEF8‰ 9
e
243
¤
365
9
2f5
¤ c–c 9C
2
¦ 9 dE eCº
e
‰Rº
e
‰
u£¥¤¨wdE C‰
s
o que ´e um n´umero e tanto de estrelas, n˜ao?...
E 15-60 (14-45/6¢ )
(a) Qual a velocidade linear que um sat´elite da Terra de-
ve ter para ficar em ´orbita circular a uma altitude de
3
km? (b) Qual o per´ıodo de revoluc¸˜ao desse sat´elite?
¡
(a) Chamando de
)
o raio da ´orbita, ent˜ao a magni-
tude da forc¸a gravitacional que atua no sat´elite ´e dada
por $hg—
(0)
, onde g ´e a massa da Terra e ´e a mas-
sa do sat´elite. A magnitude da acelerac¸˜ao do sat´elite ´e
dada por …y
(0)
. onde … ´e a sua velocidade. A segunda
lei de Newton fornece-nos $hg—
(0)
ÁÂk…y
(0)
. Co-
mo o raio da Terra ´e
3
¤ ©
5
€E „ m, o raio da ´orbita ´e)
3
¤ ©
5
QE „ Vt
3
'QE
e
3
¤ £F©'™ „ m. Portanto,
a velocidade ´e dada por
…
1
$hg
)
1 243
¤
365
dE 78Ã9
2
£A¤ D–c 8ƒ93
¤§£G©dE „
5
¤ c–¦
e
m/s¤
(b) Como a circunferˆencia da ´orbita ´e ¦G™
)
, o per´ıodo ´e
xu
¦‡™
)
…
¦G™
2‚3
¤§£G©dE „ 95
¤ c–¦dE
e %£¥¤§¦F£
e
s
s
ou, equivalentemente, c
5
¤¨ minutos.
E 15-62 (14-47/6¢ )
Um sat´elite da Terra est´a numa ´orbita el´ıptica com apo-
geu de ©
3
km e perigeu de Ec– km. Calcule (a) o semi-
eixo maior e (b) a excentricidade da ´orbita. (Sugest˜ao:
Veja o exemplo 15-10.)
¡ (a) A maior distˆancia entre o sat´elite e o centro da
Terra (i.e., o apogeu), ´e U ¢
3
¤ ©
5
—E „ V#©
3
e
3
¤
5
©k‰E „ m. A menor distˆancia (o perigeu) ´e
U`|d
3
¤ ©
5
WE „ VbcF™‰
e
3
¤§£F£kWE „ m. Em
ambas express˜oes,
3
¤ ©
5
Y „ m ´e o raio da Terra. Da
Fig. 15-16 vemos que o semi-eixo maior ´e
À
U ¢ VtU |
¦
243
¤
5
©©V
3
¤§£F£ 9 dE „
¦
3
¤
3
¨dE „ m¤
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 de 10

17. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
(b) As distˆancias do perigeu e apogeu est˜ao relaciona-
das com o semi-eixo maior e a excentricidade atrav´es
das f´ormulas
U ¢ ˜À
2
VYÄ 9
s
e U | uÀ
2
`vlÄ 9 ¤
Somando obtemos
U ¢ VYUp|w%¦GÀ
s
isto ´e ÀB
U ¢ VtU`|
¦
¤
Subtraindo obtemos
U ¢ vdU`|hI¦GÀyÄ
s
isto ´e ď
U ¢ vlU |
¦GÀ
¤
Portanto
Ä'
U ¢ vlU |
¦FÀ
U ¢ vdU |
U ¢ VtU`|
3
¤
5
©v
3
¤ £–£3
¤
5
©`V
3
¤ £–£
uA¤ A©
3
¤
Observe que j´a simplificamos o fator „ que aparece
no numerador e denominador acima.
PÅ 15-74 (14-55/6¢ )
Trˆes estrelas idˆenticas, de massa g , est˜ao nos v´ertices
de um triˆangulo equil´atero de lado z . Qual deve ser
sua velocidade, se elas se movem numa ´orbita circular
que circunscreve o triˆangulo, sob a influˆencia somente
de sua interac¸˜ao gravitacional m´utua e mantendo suas
posic¸˜oes relativas nos v´ertices do triˆangulo?
¡ Cada estrela ´e atraida em direc¸˜ao a cada uma as outras
duas por uma forc¸a de magnitude $hgm
(
z , ao longo a
linha que une cada par de estrelas. A forc¸a resultante em
cada estrela tem magnitude $hg 7ÆÇ–È ©––É
(
z e aponta
para o centro do triˆangulo (i.e. para o centro de massa do
sitema). Tal forc¸a ´e uma forc¸a centr´ıpeta e mant´em as
estrelas na mesma ´orbita circular se suas velocidades fo-
rem apropriadas para manter a configurac¸˜ao. Chamando
de U o raio da ´orbita circular, a segunda lei de Newton
fornece-nos
$hgm ÆÃÇ–È ©F É
z
%g
…6
U
¤
As estrelas orbitam em torno do seu centro de massa,
que coincide com o centro do triˆangulo e o centro do
c´ırculo. Suponha que o triˆangulo tenha um de seus la-
dos alinhados com a horizontal e escolha um sistema
de coordenadas com o eixo horizontal Ê passando por
este lado, com a origem situada na estrela `a esquerda,
e com o eixo vertical Ë passando por esta mesma es-
trela. A altitude de um triˆangulo equil´atero ´e z x ©
(
e,
portanto, as estrela est˜ao localizadas nos pontos
2
s
9 ,2
z
s
9 e
2
z
(
¦
s
z x ©
(
¦ 9 . A coordenada Ê d do centro
de massa ´e Ê d
2
6gÌV¡zg
(
¦kVbzˆg 9
( 2
©–g 9 2
z
(
¦™V¹z 9
(
©šªz
(
¦ enquanto que Ë d
2
6gÍV
gmz x ©
(
¦¥Vw6g 9
( 2
©–g 9
2
z x ©
(
¦ 9
(
©'Iz
( 2
¦ x © 9 . A
distˆancia de uma estrela qualquer at´e o centro de massa
´e
U— ‚ Ê d VtË d
1
z
¨
V
z
¦
z
x ©
¤
Substituindo-se este valor de U da lei de Newton acima,
obtemos
$hgm ÆÃÇ–È ©F É
z
Ig
x ©hg—…y
z
¤
Como ÆÇ–È ©– É x ©
(
¦ , dividindo a equac¸˜ao acima por
g obtemos $hg
(
z©W…y
(
z , ou seja,
…B
1
$hg
z
¤
15.2.7 ´Orbitas de Sat´elites e Energia
E 15-76 (14-57/6¢ )
Um aster´oide, com massa ¦QWE¥”ƒ vezes a massa da
Terra, est´a numa ´orbita circular em torno do Sol, a uma
distˆancia igual a duas vezes `a distˆancia da Terra ao Sol.
(a) Calcule o per´ıodo orbital do aster´oide em anos. (b)
Qual a raz˜ao entre a energia cin´etica do aster´oide e a da
Terra?
¡
(a) Usamos a lei dos per´ıodos x©Á
2
¨–™
(
$hg 9
)‡e
,
onde gÎ#F¤ DFDÁ
e
‰ kg ´e a massa do Sol e
)
´e o raio
da ´orbita. O raio da ´orbita ´e duas vezes o raio da ´orbita
da Terra, ou seja,
)
I¦
)
i %¦
2
0£GdEFƒ 9 m. Portanto
x
1
¨F™
) e
$hg
}
¨F™
2
©F– ƒE9
e
2‚3
¤
3y5
e 9
2
F¤ DFDBdE
e
‰ 9
cˆ¤ D
3
» s¤
Este valor equivale a
cA¤ D
3
dE »2
©
3
£ 9
2
¦‡¨ 9
243
9
2‚3
9
I¦A¤ c anos¤
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 8 de 10

18. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
(b) A energia cin´etica de qualquer aster´oide ou pla-
neta numa ´orbita circular de raio
)
´e dada por ¬
$hg—
( 2
¦
)
9 , onde ´e a massa do aster´oide ou planeta.
Tal energia ´e proporcional `a massa e inversamente a
)
.
A raz˜ao entre a energia cin´etica do aster´oide e a energia
cin´etica da Terra ´e
¬
¬ i
i
)
i
)
¦dEArƒÃQi
i
)
i
¦
)
i
mwdE rƒ ¤
P 15-79 (14-59/6¢ )
Usando a conservac¸˜ao da energia e a Eq. 15-47, mostre
que, para um objeto em ´orbita el´ıptica em torno de um
planeta de massa g , sua distˆancia ao centro do planeta,)
, e sua velocidade … est˜ao relacionadas por
… u$hg –
¦
) v
À
˜ ¤
¡ A energia total ´e dada por Ϲ¡v`$hg—
( 2
¦FÀ 9 , onde
g ´e a massa do corpo central (o Sol, por exemplo),
´e a massa do objeto (um planeta, por examplo), e À ´e o
semi-eixo maior da ´orbita.
P 15-84 (14-63/6¢ )
Calcule (a) a velocidade e (b) o per´ıodo de um sat´elite
de ¦–¦G kg numa ´orbita, aproximadamente circular, em
torno da Terra, a uma altitude de
3
¨6 km. Suponha,
agora, que o sat´elite est´a perdendo energia a uma taxa
m´edia de F¤ ¨›
’
J, em cada volta completa em torno
da Terra. Tomando como aproximac¸˜ao razo´avel que a
´orbita passe a ser um “c´ırculo cujo raio diminui lenta-
mente”, determine s˜ao, para este sat´elite, (c) a altitude,
(d) a velocidde e (e) o per´ıodo, quando o sat´elite com-
pletar £G– voltas. (f) Qual o m´odulo da forc¸a resistente
m´edia sobre o sat´eliet? (g) O momento angular deste
sistema em torno do centro do centro da Terra ´e conser-
vado?
¡ (a) A forc¸a que atua no sat´elite tem magnitude igual
a $hg—
(0)
, onde g ´e a massa do corpo atraente cen-
tral (o Sol, por exemplo), ´e a massa do sat´elite, e)
´e o raio da ´orbita. A forc¸a aponta para o centro da
´orbita. Como a acelerac¸˜ao do sat´elite ´e …6
(0)
, onde … ´e
a velocidade, a segunda lei de Newton fornece-nos que
$hg—
(0)
‘W™…y
(‡)
, donde tiramos que …B#‚ $hg
(‡)
.
O raio da ´orbita ´e a soma do raio Terra com a altitude da
´orbita, ou seja,
)
3
¤ ©
5
aE „ V
3
¨–h
e
5
¤ AœhE „
m. Portanto
…
1 2‚3
¤
3y5
e 9
2
£A¤ D–cdE ƒ 95
¤ A' „
5
¤§£‡¨B
e
m/s¤
(b) O per´ıodo ´e
xu
¦G™
)
…
¦‡™
2¼5
¤ A' „ 95
¤§£‡¨B
e
£¥¤ cG¨BdE
e
s
s
que equivalem a £FcG¨6
( 3
ID
5
¤ © minutos.
(c) Chamando-se de Ï ‰ a energia inicial, ent˜ao a ener-
gia ap´os Ð ´orbitas ´e Ï Ï ‰ v¹ÐqÑ , onde Ñ
–¤ ¨uE
’
J/orbita. Numa ´orbita circular, a energia e
o raio da ´orbita est˜ao relacionados pela f´ormula ϸ
v`$hg—
( 2
¦
)
9 , de modo que o raio ap´os Ð ´orbitas ´e da-
do por
)
mv`$hg—
( 2
¦GÏ 9 . A energia inicial ´e
Ï ‰ v
243
¤
365
¥e 9
2
£A¤ D–cdE– ƒ 9
2
¦F¦G 9
¦
2¼5
¤ A'dE „ 9
v
3
¤ ¦
3
dE ƒ J¤
A energia ap´os ÐTH£FF ´orbitas ´e
Ï Ï—vÐqÑ
v
3
¤§¦
3
dE ƒ v
2
0£G– 9
2
F¤ ¨B
’
9
v
3
¤ ¨
5
dE ƒ J¤
O raio ap´os £FF ´orbitas ´e, portanto,
)
v
243
¤
365
¥78 9
2
£A¤ D–cBF8ƒ 9
2
¦F¦G 9
v
3
¤¨
5
dE ƒ
3
¤
5
cdE „ m¤
A altitude desejada ´e
€“
)
v
)
i
243
¤
5
cv
3
¤ ©
5
9 dE „ u¨ˆ¤¨'
’
m
s
onde
)
i ´e o raio da Terra.
(d) A velocidade ´e
…
1
$hg
)
1 243
¤
365
dE 78Ã9
2
£A¤ D–c 8ƒ93
¤
5
cdE „
5
¤
365
e
m/s¤
(e) O per´ıodo ´e
xu
¦G™
)
…
¦‡™
243
¤
5
c „ 95
¤
3y5
e u£¥¤
3
dE
e
s
s
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 9 de 10

19. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003, `as 12:32 p.m.
o que equivale a £
3
F
( 3
‘IDF©ˆ¤ © minutos.
(f) Chamando de ! a magnitude da forc¸a m´edia e de Ò
a distˆancia viajada pelo sat´elite, ent˜ao o trabalho feito
pela forc¸a ´e
†
šv`!hÒ . Este trabalho ´e a varaic¸˜ao da
energia: ӝÏÔ¶v`!hÒ , donde obtemos !¶Ôv©ÓÏ
(
Ò .
Calculemos esta express˜ao para a primeira ´orbita. Para
uma ´orbita completa temos
ҏI¦G™
)
I¦‡™
2f5
¤ ˆ'd „ 9 u¨ˆ¤ ¨–dE » m
se ӝÏ##vwF¤ ¨B
’
J. Portanto
!mHv
ÓÏ
Ò
Hv
vwF¤ ¨B
’
¨r¤ ¨BdE »
I©A¤ ©dE
e
N¤
(g) A forc¸a resistiva exerce um torque no sat´elite, de mo-
do que o momento angular n˜ao ´e conservado. Observe
que como o sistema Terra-sat´elite e quase isolado, seu
momento angular conserva-se com boa aproximac¸˜ao.
15.2.8 Problemas Adicionais
E 15-?? (15-??/6¢ )
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 10 de 10

20. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
16 Fluidos 2
16.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
16.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2
16.2.1 Densidade e Press˜ao . . . . . . 2
16.2.2 Fluidos em Repouso . . . . . . 3
16.2.3 O Princ´ıpio de Arquimedes . . . 4
16.2.4 Linhas de Corrente e a Equac¸˜ao
da Continuidade . . . . . . . . 5
16.2.5 Aplicac¸˜oes da Equac¸˜ao de Ber-
noulli . . . . . . . . . . . . . . 6
16.2.6 Problemas Adicionais . . . . . 7
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 1 de 7

21. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
16 Fluidos
16.1 Quest˜oes
Q 16-??
¡
16.2 Problemas e Exerc´ıcios
16.2.1 Densidade e Press˜ao
E 16-3 (15-1/6¢ edic¸˜ao)
Encontre o aumento de press˜ao de um fluido em uma
seringa quando uma enfermeira aplica uma forc¸a de £¥¤
N ao ˆembolo da seringa, de raio ¦¨§©¦ cm.
¡
O aumento de press˜ao ´e a forc¸a aplicada dividida pela
´area, isto ´e, !#%$')()0 , onde ´e o raio do
pist˜ao da seringa. Portanto
1
£¥¤
$2435§ 35¦6¦70 (
!¦¨§©¦98@¦73¨A Pa§
E 16-5 (15-3/6¢ edic¸˜ao)
A janela de um escrit´orio tem dimens˜oes de BC§ £ m por
¤#§©¦ m. Como resultado de uma tempestade, a press˜ao do
ar do lado de fora cai para 3C§ D6E atm, mas a press˜ao de
dentro permanece de ¦ atm. Qual o valor da forc¸a que
puxa a janela para fora?
¡
O ar de dentro empurra a janela para fora com uma
forc¸a dada por GF7 , onde GF ´e a press˜ao dentro do es-
crit´orio e ´e a ´area da janela. Analogamente, o ar do
lado de fora empurra para dentro com uma forc¸a dada
por IH¨ , onde GH ´e a press˜ao fora. A magnitude da
forc¸a l´ıquida ´e, portanto,
P FQ GH¨0R
S¦ Q 3C§ D6E60TR¦¨§ 35¦7BU8V¦W3 A 0 XB5§ £Y0TX¤#§©¦70
¤5§ D`8V¦W3¨a Nb
onde usamos o fato que ¦ atm c¦6§ 3C¦WBd8V¦W3 A Pa.
P 16-7 (15-??/6¢ edic¸˜ao)
Uma caixa vedada com uma tampa de ¦e¤ pol( de ´area
´e parcialmente evacuada. Se uma forc¸a de ¦W36f libras
´e necess´aria para tirar a tampa da caixa e a press˜ao at-
mosf´erica do exterior ´e de ¦7g lib/pol( , qual ´e a press˜ao
do ar na caixa?
¡
A magnitude da forc¸a necess´aria para tirar a tampa ´e
h!PIH Q piq0Rrb
onde IH ´e a press˜ao fora, Ii ´e a press˜ao interna, e ´e a
´area da tampa. Isto fornece-nos
i s H Q
!¦7g Q
¦W3¨f
¦7¤
tE lb/pol( §
Observe que como GH foi dada em lb/pol( e ´e dada
em pol( , n˜ao foi necess´ario converter-se unidades. A
resposta final, ´e ´obvio, n˜ao est´a no SI.
P 16-8 (15-7/6¢ edic¸˜ao)
Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre (prefeito)
de Magdeburg e inventor da bomba de v´acuo, deu uma
demonstrac¸˜ao p´ublica para provar sua tese de que dois
grupos de oito cavalos n˜ao seriam capazes de separar
dois hemisf´erios de lat˜ao unidos, dentro dos quais se fez
v´acuo. Realmente, os cavalos n˜ao conseguiram sepa-
rar os hemisf´erios. (a) Pressupondo que os hemisf´erios
tenham paredes finas, de forma que u na Fig. 16-34
possa ser considerado o raio interno e externo, mos-
tre que a forc¸a necess´aria para separar os hemisf´erios
´e cv$wu9(W , onde ´e a diferenc¸a entre as press˜oes
interna e externa na esfera. (b) Fazendo u igual a B63 cm
e a press˜ao interna como 3C§x¦73 atm, encontre a forc¸a que
os cavalos teriam de exercer para separar os hemisf´erios.
(c) Por que foram usados dois grupos de cavalos? Ape-
nas um grupo n˜ao provaria a tese da mesma forma?
¡
Em cada ponto sobre a superf´ıcie dos hemisf´erios
existe uma forc¸a l´ıquida para dentro, normal `a su-
perf´ıcie, devida `a diferenc¸a de press˜ao entre o ar dentro
e fora da esfera. Para poder separar os dois hemisf´erios
cada conjunto de cavalos precisa exercer uma forc¸a que
tenha uma componente horizontal pelo menos igual `a
soma das componentes horizontais de todas as forc¸as
que atuam sobre o hemisf´erio que puxam.
Considere uma forc¸a que atua no hemisf´erio puxado pa-
ra a direita e que fac¸a um ˆangulo y com a horizontal.
Sua componente horizontal ´e €T6‚¥y¨ƒY , onde ƒY ´e
um elemento infinitesimal de ´area no ponto onde a forc¸a
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 7

22. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
est´a aplicada. Tomamos tal ´area como sendo a ´area do
anel com y constante na superf´ıcie. O raio do anel ´e
u sen y , onde u ´e o raio da esfera. Se a largura angular
do anel ´e ƒ6y , em radianos, ent˜ao sua largura ´e u9ƒ6y e sua
´area ´e ƒY„…¤†$wu9( sen y‡ƒ¨y . Com isto, a componente
horizontal l´ıquida a forc¸a do ar ´e dada por
‰ˆ ¤)$wu (
’‘¨“
(
” seny2€T6‚#y•ƒ6y
$wu ( sen( yw–
–
–
‘¨“
(
” v$wu ( —§
Esta ´e a forc¸a m´ınima que deve ser exercida por ca-
da conjunto de cavalos para conseguir separar os he-
misf´erios.
(b) Lembrando que ¦ atm !¦¨§ 35¦7Br8˜¦73 A Pa, temos
‰ˆ™d$2X35§ B60 ( X35§ D¨360TR¦6§ 3C¦WB™8@¦73¨AT02e¤¨g5§gf6fU8V¦W36h N§
(c) Um conjunto de cavalos teria sido suficiente se um
dos hemisf´erios tivesse sido amarrado a uma ´arvore
grande ou a um pr´edio. Dois conjuntos de cavalos foram
provavelmente usados para aumentar o efeito dram´atico
da demonstrac¸˜ao.
16.2.2 Fluidos em Repouso
E 16-11 (15-9/6¢ )
As saidas dos canos de esgotos de uma casa constru´ıda
em uma ladeira est˜ao f5§g¤ m abaixo do n´ıvel da rua. Se
o cano de esgoto se encontra a ¤#§©¦ m abaixo do n´ıvel da
rua, encontre a diferenc¸a de press˜ao m´ınima que deve
ser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto de
densidade m´edia D63¨3 kg/mh .
¡
Considere o bombeamento no cano num instante
qualquer. A forc¸a m´ınima da bomba ´e aquela que ser-
ve para equilibrar a forc¸a da gravidade no esgoto com a
forc¸a da bomba no cano. Sob tal forc¸a m´ınima o esgoto
ser´a empurrado sem mudar sua energia cin´etica.
A forc¸a da gravidade no esgoto ´e i6jYkT , onde i ´e a sua
densidade, k (lf5§g¤ Q ¤#§©¦mnE5§©¦ m) ´e o comprimento
do cano, e ´e a ´area da secc¸˜ao reta do cano. Se ” for
a press˜ao no cano, ent˜ao ” ´e a forc¸a que empurra o
esgoto para baixo no cano. Se for a press˜ao exercida
pela bomba, ent˜ao a forc¸a da bomba no esgoto ´e I .
A forc¸a l´ıquida no esgoto ´e dada por
o Q ” 0R Q i¨jYkT
e ser´a m´ınima quando ela anular-se. Portanto, ve-se
que a diferenc¸a de press˜ao que deve ser mantida pela
bomba ´e
Q ” ti6j6kph4D63¨3Y0 4DC§ fY0 XE5§©¦70qtg5§ £r8V¦W3¨a Pa§
E 16-16 (15-13/6¢ )
Membros da tripulac¸˜ao tentam escapar de um submari-
no danificado, ¦73¨3 m abaixo da superf´ıcie. Que forc¸a
eles tˆem de aplicar no alc¸ap˜ao, de ¦6§ ¤ m por 3C§ E63 m, pa-
ra empurr´a-lo para fora? Considere a densidade da ´agua
do oceano ¦736¤¨g kg/mh .
¡
A press˜ao na profundidade ƒ do alc¸ap˜ao ´e ”Is i6j¥ƒ ,
onde i ´e a densidade da ´agua do oceano e ” ´e a press˜ao
atmosf´erica. A forc¸a para baixo da ´agua no alc¸ap˜ao ´e
P ” s i¨j#ƒ¥0R , onde ´e a ´area do alc¸ap˜ao. Se o ar no
submarino estiver na press˜ao atmosf´erica, ent˜ao exer-
cer´a uma forc¸a ” para cima. A forc¸a m´ınima que de-
ve ser aplicada pela tripulac¸˜ao para abrir o alc¸ap˜ao tem
magnitude dada por
P ” s i¨j#ƒ¥0R Q ”
i6j¥ƒY
S¦W36¤6g¨0T4D5§ f60TR¦73¨360TR¦6§ ¤60 43C§ E6360tf¥§g¤™8@¦73 A N§
P 16-18 (15-15/6¢ )
Dois vasos cil´ındricos idˆenticos, com suas bases ao mes-
mo n´ıvel, contˆem um l´ıquido de densidade i . A ´area da
base ´e para ambos, mas em um dos vasos a altura do
l´ıquido ´e uGv e no outro ´e u ( . Encontre o trabalho realiza-
do pela forc¸a gravitacional ao igualar os n´ıveis, quando
os dois vasos s˜ao conectados.
¡
Quando os n´ıveis s˜ao os mesmos a altura do l´ıquido ´e
u1!wu v s u ( 0x¨¤ , onde u v e u ( s˜ao as alturas originais.
Suponha que u v ´e maior do que u ( . A situac¸˜ao final po-
de ser atingida tomando-se um porc¸˜ao de l´ıquido com
volume rwuIv Q up0 e massa i¥rwuIv Q up0 , no primeiro
vaso, e baixando-a por uma distˆancia u Q u ( . O trabalho
feito pela forc¸a da gravidade ´e
y
vi¥rwu vzQ uI0qj'Xu Q u ( 0{§
Substituindo-se u|!wu v s u ( 0}†¤ nesta express˜ao acha-
mos o resultado pedido:
y
¦
£
i6j¥™XuGv Q u ( 0 ( §
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 3 de 7

23. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
P 16-22 (15-17/6¢ )
Na Fig. 16-38, o oceano est´a a ponto de invadir o conti-
nente. Encontre a profundidade u do oceano, usando o
m´etodo do n´ıvel de compensac¸˜ao mostrado no Problema
21.
¡
Suponha que a press˜ao ´e a mesma em todos pontos
a uma distˆancia ƒ~¤†3 km abaixo da superf´ıcie. Para
pontos no lado esquerdo da figura tal pres˜ao ´e dada por
1˜ ” s i ” j5u s i¥€}ƒYƒY€ s i¥j¥ƒYrb
onde ” ´e a press˜ao atmosf´erica, i ” ´e a densidade da
´agua do oceano e u ´e a profundidade do oceano, i#€ ´e
a densidade da crosta e ƒ¥€ a espessura da crosta, e iY
´e a densidade do manto e ƒY ´e a espessura do manto
(at´e uma profundidade de ¤†3 km). Para pontos no lado
direito da figura, ´e dada por
1‚ ” s i¥€Sj#ƒC§
Igualando estas duas express˜oes para e cancelando j
obtemos que
i¥€}ƒ™ti ” u s i¥€}ƒ¥€ s i¥ƒY™§
Substituindo ƒYeƒƒ Q u Q ƒ¥€ , tem-se que
i#€}ƒ™di ” u s i#€}ƒY€ s i¥ƒ Q i¥9u Q i¥„ƒY€Wb
de onde tiramos
u
i¥€xƒ¥€ Q i¥€}ƒ s i¥ƒ Q i¥ƒ¥€
i¥ Q i ”
%i  Q i € 0 Xƒ Q ƒ € 0
i¥ Q i ”
4BC§ B Q ¤#§ f60 w¤†3 Q ¦7¤60
BC§ B Q ¦¨§ 3
¦¨§of km§
Observe que na equac¸˜ao acima substituimos km, n˜ao m.
P 16-23 (15-19/6¢ )
A ´agua se encontra a uma profundidade … abaixo da fa-
ce vertical de um dique, como ilustra a Fig. 16-39. Seja
y
a largura do dique. (a) Encontre a forc¸a horizontal
resultante exercida no dique pela press˜ao manom´etrica
da ´agua e (b) o torque resultante devido a esta press˜ao
em relac¸˜ao ao ponto † . (c) Encontre o brac¸o de alavan-
ca, em relac¸˜ao ao ponto † , da forc¸a horizontal resultante
sobre o dique.
16.2.3 O Princ´ıpio de Arquimedes
E 16-31 (15-??/6¢ )
Uma lata tem volume de ¦7¤†363 cmh e massa de ¦WB63 g.
Quantas gramas de balas de chumbo ela poderia carre-
gar, sem que afundasse na ´agua? A densidade do chum-
bo ´e ¦¨¦¨§ £ g/cmh .
¡
Seja ‡1ˆ a massa da lata e ‡‰€ a massa do chumbo.
A forc¸a da gravidade sobre o sistema ‘lata + chumbo’ ´e
4‡ ˆ s ‡ € 0qj e a forc¸a de empuxo da ´agua ´e i6j5Š , onde
irqtD6D¨f kg/mh ) ´e a densidade da ´agua e Š ´e o volume
de ´agua deslocada.
No equil´ıbrio, estas forc¸as balanceiam-se de modo que
%‡ ˆ s ‡ € 0qjrdi6j#Š‹§
A lata ir´a conter a maior massa de chumbo quando es-
tiver quase por afundar de modo que o volume da ´agua
deslocada coincide ent˜ao como o volume da lata. Por-
tanto
‡ € vi¥Š Q ‡ ˆ XD¨D¨fY0 S¦7¤†363r8V¦W35ŒIT0 Q 3C§x¦7B¨3
¦6§ 3¥f kg§
Perceba que ¦e¤†3¨3 cmh h¦e¤†363r8V¦W3 ŒI mh .
E 16-34 (15-25/6¢ )
Uma ˆancora de ferro, quando totalmente imersa na ´agua,
parece ¤¨3¨3 N mais leve que no ar. (a) Qual ´e o volume
da ˆancora? (b) Qual ´e o peso no ar? A densidade do
ferro ´e f†fYf)3 kg/mh .
¡
(a) O problema diz que a ˆancora est´a totalmente de-
baixo da ´agua. Ela aparenta ser mais leve porque a ´agua
empurra-a para cima com um empuxo de i ¢ j5Š , onde
i ¢ ´e a densidade da ´agua e Š ´e o volume da ˆancora. Seu
peso efetivo dentro da ´agua ´e
…‰Žt… Q i ¢ j5Š2b
onde … ´e o seu peso verdadeiro (forc¸a da gravidade fora
da ´agua). Portanto
Š!
… Q …Ž
i ¢ j
¤¨3¨3
4D¨D6f60T4D5§ f60
ƒ¤#§ 3†£Yg™8V¦W3 Œ ( mh §
(b) A massa da ˆancora ´e ‡‘ti¥Š , onde i ´e a densidade
do ferro. Seu peso no ar ´e
…ct‡1jdvi6j#Š wf†fYf)3Y0 XD5§ f60 w¤#§ 3†£¥g•8V¦W3 Œ ( 0
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 4 de 7

24. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
¦¨§gg†fd8@¦73 h N§
P 16-43 (15-33/6¢ )
Uma matriz fundidora de ferro, contendo um certo
n´umero de cavidades, pesa E¨363¨3 N no ar e £6363¨3 N na
´agua. Qual ´e o volume das cavidades da fundidora? A
densidade do ferro ´e f#§ f¥f g/cmh .
¡
O volume Šp€ das cavidades ´e a diferenc¸a entre o vo-
lume Šp da matriz fundidora como um todo e o volume
Šp’ do ferro contido na matriz fundidora:
Š € ƒŠ  Q Š ’ §
O volume do ferro ´e dado por ŠC’‚ƒ…#“j¥i¥’‰0 , onde … ´e
o peso da matriz fundidora e iY’ ´e a densidade do Ferro.
O peso efetivo …‰Ž na ´agua pode ser usado para encontrar
o volume da matriz fundidora. Ele ´e menor do que …
pois a ´agua empurra a matriz fundidora com uma forc¸a
j¥i ¢ Š  , onde i ¢ representa a densidade da ´agua. Assim
temos o peso efetivo dado por
… Ž t… Q j¥i ¢ ŠCd§
Portanto
Š 
… Q …Ž
j¥i ¢
b
de onde tiramos que
ŠI€”
… Q … Ž
j¥i ¢
Q
…
j¥i ’
E63¨3¨3 Q £6363¨3
4DC§ fY0 X35§ D¨D¨f™8V¦W3 h 0
Q
E63¨363
XD5§ f60Twf¥§ fYfr8V¦W3 h 0
35§©¦7¤Yf mh
´E imprescind´ıvel saber fazer corretamente as convers˜oes
de unidades:
f¥§ fYf g/cmh
f¥§ fYfr8@¦73 Œ h kg
¦W3 ŒG mh
ef¥§ fYfr8@¦73 h kg/mh §
16.2.4 Linhas de Corrente e a Equac¸˜ao da Conti-
nuidade
E 16-55 (15-39/6¢ )
Uma mangueira de jardim, de diˆametro interno 3C§gf¨g pol,
´e conectada a um esguicho que consiste em um cano
com ¤)£ furos, cada um com 3C§ 3Yg†3 pol de diˆametro. Se
a ´agua na mangueira tiver velocidade de B p´es, com que
velocidade ela sair´a dos buracos do esguicho?
¡
Use a equac¸˜ao da continuidade. Seja • v a velocidade
da ´agua na mangueira e • ( sua velocidade quando ela
deixa um dos furos. Seja 9v a ´area da secc¸˜ao reta da
mangueira. Como existem – furos, podemos imaginar
a ´agua na mangueira como formando – tubos de fluxo,
cada um indo sair atrav´es de um dos furos. A ´area de
cada tubo de fluxo ´e v )– . Se ( for a ´area de um furo,
a equac¸˜ao da continuidade fica sendo dada por
• v
„v
–
t• ( ( §
Desta express˜ao tiramos que
• (
v
–w (
• v
u„(
–1 (
• v b
onde u ´e o raio da mangueira e ´e o raio de um furo.
Portanto
• (
u9(
–‡ (
•6vp
43C§ B¥f†g60R(
¤)£pX35§ 36¤6g¨0 (
4BC§ 3Y02ƒ¤¨f p´es/s§
P 16-56 (15-42/6¢ )
A ´agua ´e bombeada continuamente para fora de um
por˜ao inundado, a uma velocidade de g m/s, atrav´es de
uma mangueira uniforme de raio ¦ cm. A mangueira
passa por uma janela B m acima do n´ıvel da ´agua. Qual
´e a potˆencia da bomba?
¡
Suponha que uma massa ™‡ de ´agua ´e bombeada
num tempo ™— . A bomba aumenta a energia poten-
cial da ´agua por r‡1j5u , onde u ´e a distˆancia vertical
que a ´agua ´e elevada, e aumenta sua energia cin´etica de
™‡‡•Y(e†¤ , onde • ´e sua velocidade final. O trabalho que
a bomba faz ´e
y
t™‡mj5u s ¦
¤
™‡‡• ( b
e sua potˆencia ´e, consequentemente,
…c
y
™—
™‡
™—‡˜
j5u s ¦
¤
• (7™ §
A taxa de fluxo de massa ´e ™‡¨r—‹ei¥p• , onde i ´e a
densidade da ´agua e ´e a ´area da secc¸˜ao transversal da
mangueira, isto ´e,
ƒt$' ( v$2X35§ 35¦7360 ( ƒB5§©¦T£`8V¦W3 Œ a m(¨§
Com isto, temos
i¥p•`š4D6D¨fY0 4BC§x¦W£™8V¦W3 Œ aW0TXg60‹c¦6§ gYf kg/s§
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 7

25. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
Portanto
…
r‡
™— ˜
j5u s ¦
¤
• ( ™
R¦¨§gg6f¨05›q4DC§ fY0 XB5§ 360 s g (
¤™œ
tE6E W§
16.2.5 Aplicac¸˜oes da Equac¸˜ao de Bernoulli
E 16-58 (15-43/6¢ )
A ´agua se move com uma velocidade de g m/s atrav´es de
um cano com uma ´area de sec¸˜ao transversal de £ cm( .
A ´agua desce ¦W3 m gradualmente, enquanto a ´area do
cano aumenta para f cm( . (a) Qual ´e a velocidade do
escoamento no n´ıvel mais baixo? (b) Se a press˜ao no
n´ıvel mais alto for ¦¨§gg`8˜¦W3 A Pa, qual ser´a a press˜ao no
n´ıvel mais baixo?
¡
(a) Use a equac¸˜ao da continuidade: v • v  ( • ( ,
onde v ´e a ´area do cano no topo e • v a velocidade da
´agua no local, ( ´e a ´area do cano no fundo e • ( ´e a
velocidade da ´agua no fundo. Portanto,
• (
v
(
•6v
£
f
wg¨02e¤#§gg m/s§
(b) Use a equac¸˜ao de Bernoulli:
v s ¦
¤
iY• (v s i6j5u v s (
s ¦
¤
iY• (
(
s i6j#u ( b
onde i ´e a densidade da ´agua, uIv sua altura inicial e u (
sua altura final. Portanto,
( v s ¦
¤
iI4• (v Q • (
(
0 s i6jGwu vžQ u ( 0
¦¨§ggr8V¦W36A s ¦
¤
435§ D¨D6fd8@¦73¨hT0#Ÿxg ( Q X¤5§ g60 (¡
s 43C§ D6D¨fd8V¦W3 h 0 4DC§ fY0 S¦W360
¤#§ E™8V¦W3 A Pa§
E 16-67 (15-49/6¢ )
Se a velocidade de escoamento, passando por debaixo
de uma asa, ´e ¦6¦W3 m/s, que velocidade de escoamento
na parte de cima criar´a uma diferenc¸a de press˜ao de D¨363
Pa entre as superf´ıcies de cima e de baixo? Considere a
densidade do ar i‡¦¨§ Br8s¦73 Œ h g/cmh . (Ver exerc´ıcio
15-66.)
¡
Use a equac¸˜ao de Bernoulli desprezando os termos
de energia potencial, pois os dois tubos de fluxo est˜ao
essencialmente na mesma altitude:
Cˆ s ¦
¤
i6• (ˆ ˜I¢ s ¦
¤
iY• (¢ b
onde ˆ ´e a press˜ao na superf´ıcie de baixo, ¢ a press˜ao
em superf´ıcie de cima, •eˆ a velocidade do ar na su-
perf´ıcie de baixo, •†¢ a velocidade do ar na superf´ıcie
de cima, e i a densidade do ar.
Desejamos encontrar •†¢ de modo que 5ˆ Q p¢’‘D¨363
Pa, ou seja,
• ¢ £
¤5P5ˆ Q p¢¥0
i
s • (ˆ
¤
¤5XD¨3¨3Y0
¦6§ B
s S¦¨¦W3Y0 ( c¦6¦WE m/s§
Observe que ´e imprescind´ıvel usar as unidades corretas
de i :
idc¦6§ B`8V¦W3 Œ h
g
cmh
¦¨§ Bd8@¦73 Œ h
¦W3 Œ h kg
S¦W3 Œ ( 0 h mh
¦¨§ B
kg
mh
b
que foi o n´umero usado para obter • ¢ .
P 16-73 (15-??/6¢ )
As janelas de um pr´edio de escrit´orios tˆem dimens˜oes
de £ m por g m. Em um dia tempestuoso, o ar passa pela
janela do 53¥ andar, paralelo `a janela, com uma veloci-
dade de B¨3 m/s. Calcule a forc¸a resultante aplicada na
janela. A densidade do ar ´e ¦6§ ¤¨B kg/mh .
¡
Chamando-se de i a press˜ao interna da sala e de ¥
a press˜ao de fora da janela, temos que a forc¸a l´ıquida
na janela ´e oIi Q ¥ 0R , onde ´e a ´area da janela. A
diferenc¸a de press˜ao pode ser encontrada usando-se a
equac¸˜ao de Bernoulli: ” s iY•Y(e†¤•‚pi , onde • ´e a velo-
cidade do ar fora e i ´e a densidade do ar. Supomos que o
ar dentro da sala est´a parado. Portanto, pi Q ¥ vi6•¥(e¨¤
sendo a forc¸a ´e dada por
h
¦
¤
i6• (
¦
¤
S¦¨§g¤†BY0 4B6360 ( %£¥0 4BY02h¦6§x¦6¦98@¦73†a N§
P 16-76 (15-??/6¢ )
Uma placa de f¨3 cm( e g†3¨3 g de massa ´e presa por
dobradic¸as em um de seus lados. Se houver ar soprando
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 6 de 7

26. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, `as 10:50 a.m.
apenas sobre a sua superf´ıcie superior, que velocidade
dever´a ter o ar para sustentar a placa na posic¸˜ao hori-
zontal?
¡
Este exerc´ıcio considera uma situac¸˜ao an´aloga aquela
mostrada na Fig. 16-26, da moc¸a soprando sobre uma
folha de papel.
Como a press˜ao ´e uniforme sobre superf´ıcie o torque
que ela exerce pode ser calculado como se o ar atuasse
no centro de massa, o mesmo valendo para a forc¸a da
gravidade.
O torque l´ıquido anula-se quando a forc¸a do ar iguala a
forc¸a da gravidade. Seja Cˆ a press˜ao na superf´ıcie de
baixo, p¢ a press˜ao na superf´ıcie de cima, • a velocida-
de do ar sobre a superf´ıcie superior, e i a densidade do
ar. De acordo com a equac¸˜ao de Bernoulli,
5ˆ¦‚p¢ s ¦
¤
iY• ( b ou seja Cˆ Q I¢™
¦
¤
i6• ( §
A magnitude da forc¸a do ar ´e š§o ˆ Q ¢ 0S , onde
´e a ´area da placa. No equil´ıbrio, l§‡1j , onde ‡ ´e a
massa da placa. Portanto
¦
¤
i6• ( ƒv‡1jIb
de onde obtemos
• v ¤
¤†‡mj
i¥
£
¤C43C§ g60 4DC§ fY0
S¦¨§g¤†BY0 4f63r8V¦W3 Œ a 0
tBY¤ m/s§
P 16-81 (15-25/6¢ )
Aplicando a equac¸˜ao de Bernoulli e a equac¸˜ao da con-
tinuidade aos pontos ¦ e ¤ da Fig. 16-22, mostre que a
velocidade do escoamento na entrada (ponto ¦ ) ´e
•d £
¤¨¨ (
iIX ( Q ¨ ( 0
§
¡
Ambos pontos est˜ao na mesma altitude, de modo que
a equac¸˜ao de Bernoulli ´e
v s ¦
¤
iY• (v ‚ (
s ¦
¤
iY• (
(
§
A euqac¸˜ao da continuidade ´e • v h¨Y• ( , de modo que
• ( ƒp• v )¨I§ Substituindo esta express˜ao na equac¸˜ao de
Bernoulli obtemos
v s ¦
¤
iY• (v ‚ (
s ¦
¤
i
˜
¨
™ (
• (v §
Resolvendo-a, temos que
•6v £
¤5P vžQ ( 0R¨ (
iIX ( Q ¨ ( 0
£
¤†¨ (
iG4 ( Q ¨ ( 0
b
onde usamos 1©˜Gv Q ( .
16.2.6 Problemas Adicionais
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 7 de 7

27. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/
jgallas
Conte´udo
17 MOVIMENTO ONDULAT ´ORIO 2
17.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . 2
17.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 3
17.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 9
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam3.tex)
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 1

28. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
17 MOVIMENTO ONDULAT ´ORIO
17.1 Question´ario
17-2. Energia pode ser transferida por part´ıculas bem
como por ondas. Como podemos distinguir experimen-
talmente esses m´etodos de transferˆencia de energia?
¡
A energia ´e transferida entre part´ıculas nos eventos
de colis˜ao, como acontece, por exemplo, num jogo com
bolas de bilhar. Quando a energia ´e tranferida por onda,
tamb´em se d´a pelas colis˜oes das part´ıculas do meio, no
caso das ondas mecˆanicas, mas as part´ıculas movem-se
localizadamente, enquanto a onda se propaga por uma
extens˜ao muito maior. Um exemplo not´orio ´e o das on-
das sonoras.
17-6. Compare o comportamento de (a) um sistema
massa-mola oscilando num movimento harmˆonico sim-
ples e (b) um elemento de uma corda esticada onde uma
onda senoidal se propaga. Discuta do ponto de vista do
deslocamento, velocidade vetorial, acelerac¸˜ao e trans-
ferˆencias de energia.
¡
(a) No sistema massa-mola, a energia ´e localizada,
isto ´e, a massa det´em a energia cin´etica e a mola, supos-
ta sem massa, det´em a energia potencial. Se a energia
total ´e constante, em algum instante ela ´e toda da massa,
quando esta passa pela posic¸˜ao de equil´ıbrio e em outro
instante ser´a toda potencial, quando a mola estiver na
sua m´axima deformac¸˜ao. Sendo o deslocamento me-
dido em relac¸˜ao `a posic¸˜ao de equil´ıbrio, a velocidade
nessa posic¸˜ao ´e m´axima, enquanto a acelerac¸˜ao ´e nula.
Nos pontos de m´aximo deslocamento, a velocidade ´e
nula e a acelerac¸˜ao ´e m´axima.
(b) Para o elemento da corda esticada, a energia est´a dis-
tribu´ida em vez de localizada, porque todas as part´ıculas
do elemento se movem e sofrem a ac¸˜ao da tens˜ao de
deformac¸˜ao. O elemento est´a sob a m´axima deformac¸˜ao
quando est´a na posic¸˜ao de equil´ıbrio do MHS executado
pelas part´ıculas e ´e tamb´em nessa posic¸˜ao que a velo-
cidade transversal atinge o seu m´aximo. Nos pontos de
maior deslocamento das part´ıculas em relac¸˜a `a posic¸˜ao
de equil´ıbrio, elas tem velocidade e acelerac¸˜ao nulas.
17-8. Quando duas ondas interferem, uma atrapalha a
propagac¸˜ao da outra? Explique.
¡
N˜ao. As ondas se combinam pelo prin´ıpio de
superposic¸˜ao formando uma onda progressiva com uma
redistribuic¸˜ao apropriada da sua energia, ou forman-
do uma onda estacion´aria, com outra redistribuic¸˜ao de
energia.
17-9. Quando duas ondas interferem, existe perda de
energia? Justifique sua resposta.
¡
N˜ao. Existe uma redistribuic¸˜ao da energia. Nos
pontos de inter ferˆencia destrutiva, a energia ´e nula,
mas, conseq¨uentemente ser´a maior nos pontos de inter-
ferˆencia construtiva.
17-11. Se duas ondas diferem somente em amplitude e
se propagam em sentidos opostos atrav´es de um meio,
produzir˜ao elas ondas estacion´arias? Existir´a energia
transportada? Existir˜ao n´os?
¡
N˜ao.
17-13. Uma onda transmite energia. Ela tamb´em trans-
fere momento linear. Ser´a poss´ıvel transferir momento
angular?
¡
17-15. Uma corda ´e esticada entre dois suportes fixos
separados de uma distˆancia ¢ . (a) Para quais harmˆonicos
existir´a um n´o no ponto que dista ¢¤£¦¥ de um dos su-
portes? Existir´a um n´o, um antin´o ou uma condic¸˜ao
intermedi´aria num ponto que dista §¨¢¤£¦© de um dos su-
portes, se (b) o quinto harmˆonico foi gerado? (c) o
d´ecimo harmˆonico foi gerado?
¡
(a) Se o n´o dista ¢¤£¥ de um dos suportes, a corda est´a
vibrando na forma de ¥ meios comprimentos de onda.
Ent˜ao trata-se do terceiro harmˆonico.
(b) No ponto que dista §¦¢¤£¨© de um dos suportes, exis-
tir´a um n´o tanto para o quinto quanto para o d´ecimo
harmˆonicos.
17-17. Violonistas sabem que, antes de um concerto,
deve-se tocar um pouco o viol˜ao e ajustar suas cordas
porque, ap´os alguns minutos de execuc¸˜ao, as cordas se
aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno
afrouxamento afeta as freq¨uˆencias de ressonˆancia das
cordas?
¡
O afrouxamento das cordas tem como conseq¨uˆencia
a diminuic¸˜ao da velocidade de propagac¸˜ao das on-
das na corda ( £ ), alterando o conjunto das
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 2

29. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
freq¨uˆencias de ressonˆancia, isto ´e, o viol˜ao fica “desafi-
nado”.
17.2 Exerc´ıcios e Problemas
Sec¸˜ao 17-5 A Velocidade Escalar de Propagac¸˜ao de
uma Onda
17-3E. Balanc¸ando um barco, um menino produz ondas
na superf´ıcie de um lago at´e ent˜ao quieto. Ele obser-
va que o barco realiza § oscilac¸˜oes em §¦! s, cada
oscilac¸˜ao produzindo uma crista de onda © cm acima
da superf´icie do lago. Observa ainda que uma deter-
minada crista de onda chega `a terra, a doze metros de
distˆancia, em $#%! s. Quais s˜ao (a) o per´ıodo, (b) a ve-
locidade escalar, (c) o comprimento de onda e (d) a
amplitude desta onda?
¡
Inicialmente, calculamos a freq¨uˆencia, que ´e
'§(£¦§¨!)0!1#2 Hz. As grandezas pedidas s˜ao
aplicac¸˜oes diretas de “f´ormulas”:
(a) 3
5476
8(#%@9 s
(b)
A)B CD
§
1#%!
E§F#2! m/sG
(c)
H
§F#2!
!1#2
I¥1#2¥¨¥ mG
(d)
P
m Q!1#RS© mG
17-6E. Escreva a equac¸˜ao para uma onda se propagando
no sentido negativo do eixo
B
e que tenha uma ampli-
tude de !1#2!1R! m, uma freq¨uˆencia de ©¨©¨! Hz e uma
velocidade de ¥¨¥(! m/s.
¡
A forma da onda progressiva ´e
P7T
B
#
CVU
P
m WRXSY
T¤`
Bbadc
CVU
G
Precisamos calcular o n´umero de onda angular `
e a
freq¨uˆencia angular
c
:
`
§e
H
§¦e
T
§e
U T
©(©¦!
U
¥¨¥(!
fR!$#Vg@9 rad/m
c
`
h
T
R!1#%g@9
U T
¥(¥¨!
U
Q¥¦gi©(© rad/s
Ent˜ao, a onda em quest˜ao ´e
PpT
B
#
CVU
I!$#%!$R! WRXSY
T
R!1#%g@9
Bqa
¥¦g@©¨©
CVU
17-14P. (a) Escreva uma express˜ao que descreva uma
onda transversal se propagando numa corda, no senti-
do
arB
com um comprimento de onda de S! cm, uma
freq¨uˆencia de gi!¨! Hz e uma amplitude de §1#%! cm. (b)
Qual ´e a velocidade escalar m´axima de um ponto da
corda? (c) Qual ´e a velocidade escalar da onda?
¡
(a) Comec¸amos calculando as quantidades `
e
c
para
montar a equac¸˜ao da onda:
`
§e
H
§¦e
R!
I!1#2§¨!¦e rad/cm#
c
E§e
Q§¦e
T
g(!(!
U
Qs¨!¨!¨e rad/s e
P7T
B
#
CVU
T
§1#%! cm
U
WSXSY
T
!1#t§¦!¨e
Bbu
s¨!(!¦e
CVU
G
(b)
v
m´ax.
P
m
c
T
§F#2!
U T
s¨!(!¦e
U
I©¨!(§¨ cm/s
(c)
A
H
T
S!
U T
g(!(!
U
wgi!¨!(! cm/sG
17-16P. Uma onda de freq¨uˆencia ©¨!¨! Hz tem uma velo-
cidade de ¥(©¨! m/s. (a) Qu˜ao afastados est˜ao dois pontos
que tem uma diferenc¸a de fase de e5£¥ rad? (b) Qual ´e a
diferenc¸a de fase entre dois deslocamentos, num deter-
minado ponto, em tempos separados de (#%!(! ms?
¡
(a) Consideremos a func¸˜ao P7T
B
#2!
U
da Fig. 17-4a. As
fases da onda nesses dois pontos defasados devem ser
iguais:
`
B
6
`
Byx€a‚
`7T
B
6
uƒBx
U

B
6
u„B x
H

§e

§e
T
¥(©¨!
U T
e5£¥
U
T
§e
U T
©¨!¨!
U Q!1#R¨9 mG
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 3

30. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
(b) Agora consideramos a func¸˜ao PpT
!1#
CVU
da Fig. 17-4b:
u…c
C
6
u…c
C
x a†
c
T C
x u
C
6
U


E§e
b‡ C
T
§e
U T
©¦!(!
U T
!1#2!¨!$
U
we radG
Sec¸˜ao 17-6 Velocidade Escalar da Onda numa Corda
Esticada
17-18E. As cordas de um violino, respectivamente mais
leve e mais pesada, tem densidades lineares de ¥$#%! g/m
e §F#2ˆ g/m. Qual ´e a relac¸˜ao dos diˆametros dessas cor-
das, da mais pesada para a mais leve, supondo que s˜ao
feitas do mesmo material?
¡
A densidade volum´etrica das cordas ´e ‰bI‘£e7’ x”“ .
Em termos da densidade linear dada, escrevemos ‰‚
5£e7’ x . Como as cordas s˜ao feitas do mesmo material,
6
’ x6
x
’ x
x
G
Substituindo os dados fornecidos, chegamos `a relac¸˜ao
entre os diˆametros • 6 e •
x
:
• 6 f(#%!$9•
x
G
17-25P. Uma corda esticada tem uma massa por uni-
dade de comprimento de ©F#%! g/cm e uma tens˜ao de S!
N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude
de !1#RS§ mm e uma freq¨uˆencia de R!(! Hz e se propaga
no sentido de
B
decrescente. Escreva uma equac¸˜ao para
essa onda.
¡
Com os dados fornecidos, calculamos inicialmente
as grandezas ,
c
e `
necess´arias para explicitar a onda:
b–
–
S!
!1#2©
Ig$#%g@9 m/s
c
E§e
T
§e
U T
R!(!
U
Q(§¦s$#%¥i§ rad/s
`
—c
(§¦s$#%¥i§
g$#%g@9
f”g(!$#2©¨! m
476
Como a onda se propaga no sentido negativo do eixo
B
,
temos
P7T
B
#
CVU
T
¨#t§™˜ƒR!
4d U
WRXSY
T
”g(!$#2©¨!
Bba
T
i§¦s$#%¥(§
CVU
G
17-31P. O tipo de el´astico usado no interior de algumas
bolas de beisebol e de golfe obedece `a lei de Hoo-
ke para uma larga faixa de alongamento do el´astico.
Um segmento deste material tem um comprimento (n˜ao
esticado) ¢ e uma massa  . Quando uma forc¸a e ´e
aplicada, o el´astico estica de um comprimento adicional‡
¢ . (a) Qual ´e a velocidade escalar (em termos de  ,‡
¢ e a constante el´astica `
) das ondas transversais neste
el´astico? (b) Usando sua resposta em (a), mostre que
o tempo necess´ario para um pulso transversal percorrer
o comprimento do el´astico ´e proporcional a £¨f
‡
¢ se‡
¢hgig‚¢ e ´e constante se
‡
¢kjij‚¢ .
¡
(a) Com a forc¸a aplicada el
` ‡
¢ e a densidade
do el´astico dada por —mn£
T
¢
a
‡
¢
U
, calculamos a
velocidade escalar:
hfo
e
–
` ‡
¢
T
¢
a
‡
¢
U

(b) O tempo necess´ario para o pulso transversal percor-
rer o comprimento do el´astico ´e
C
¢
¢ f 
`
¢
‡
¢
a
`7T ‡
¢
U
x
Se
‡
¢igig)¢ , T ‡
¢
U
x ´e desprez´ıvel e a express˜ao para
C
reduz-se a
Cqp
–
¢r
` ‡
¢
#
ou seja, o tempo ´e proporcional a £¨f
‡
¢ .
Se
‡
¢€jijI¢ , ent˜ao
C
‡
¢¤£ , caso em que a express˜ao
para
C
reduz-se a
Cqp
–

` G
17-32P*. Uma corda uniforme de massa  e com-
primento ¢ est´a pendurada no teto. (a) Mostre que a
velocidade de uma onda transversal na corda ´e func¸˜ao
de P
, a distˆancia at´e a extremidade mais baixa, e ´e dada
por d f s
P
. (b) Mostre que o tempo que uma onda
transversal leva para percorrer o comprimento da corda
´e dado por
C
Q§t ¢u£ s .
¡
(a) Consideremos o eixo P
ao longo da corda, com
origem na extremidade inferior da mesma. Para um ele-
mento infinitesimal •¨ da massa da corda localizado
em P
a partir da origem, temos
•¨v
T
•(
U
s I s •
P
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 4

31. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
que, integrando ao longo da corda, fornece
TrP U
Ew†x
y
s •
PFz
r s
P
G
Levando este resultado para a relac¸˜ao da velocidade, ob-
temos
T{P U
o
TrP U
f s
P
G
(b) Usando o resultado de (a),
•
P
•
C f s
P
w}|
y
•
C z
w}~
y
T
s
P U 4i6%
x •
P
C
f sƒ€
§
P 6%
x‚
~
y
C
Q§ o
¢
s
G
Sec¸˜ao 17-8 Energia e Potˆencia numa Onda Progres-
siva
17-33E. A potˆencia ƒ 6 ´e transmitida por uma onda
de freq¨uˆencia
6 numa corda sob tens˜ao 6 . Qual ´e a
potˆencia transmitida ƒ
x
em termos de ƒ 6 (a) se a tens˜ao
na corda for aumentada para
x
Ig¨ 6 e (b) se, ao inv´es,
a freq¨uˆencia for diminu´ıda para
x
6 £¦§ ?
¡
(a) Se a ten˜ao na corda for quadruplicada, a
velocidade de porpagac¸˜ao fica duplicada. Sendo a
potˆencia m´edia transmitida por uma onda dada por
ƒ„
6
x
7
c
x
P
xm, a duplicac¸˜ao da velocidade implica
na duplicac¸˜ao da potˆencia transmitida.
(b) Como a freq¨uˆencia aparece ao quadrado na ex-
press˜ao da potˆencia, sua diminuic¸˜ao pela metade, im-
plicar´a na reduc¸˜ao da potˆencia a um quarto do seu valor
inicial.
17-35P. Uma onda senoidal transversal ´e gerada numa
extremidade de uma longa corda horizontal, por uma
barra que se move para cima e para baixo entre extre-
mos que distam (#%!(! cm. O movimento ´e cont´ınuo e
repetido regularmente S§¨! vezes por segundo. A cor-
da tem uma densidade linear de S§¨! g/m e ´e mantida
sob uma tens˜ao de ˆ(! N. Ache (a) o valor m´aximo da
velocidade transversal v
e (b) o valor m´aximo da com-
ponente transversal da tens˜ao. (c) Mostre que os dois
valores m´aximos, calculados acima, ocorrem para os
mesmos valores de fase da onda. Qual ´e o desloca-
mento transversal P
da corda nessas fases? (d) Qual ´e
a m´axima potˆencia transferida ao longo da corda? (e)
Qual ´e o deslocamento transversal P
quando esta trans-
ferˆencia m´axima de potˆencia acontece? (f) Qual ´e a
transferˆencia m´ınima de potˆencia ao longo da corda?
(g) Qual ´e o deslocamento transversal P
quando esta
transferˆencia m´ınima de potˆencia ocorre?
¡
Comecemos por construir a equac¸˜ao da propagac¸˜ao
da onda na corda:
h –
–
ˆ(!
!$#”§¦!
Q§i9@#%¥(ˆ m/s
H
§(9F#%¥(ˆ
S§¨!
Q!1#t§¦¥ m
P7T
B
#
CVU
T
©F#2!h˜„S!
4p… U
WSXSY §¦e
T
g#%¥¨s
BAu
§¦!
CVU
#
sendo
B
em metros e
C
em segundos.
(a) A velocidade transversal escalar m´axima v
m´ax. obte-
mos de
v
m´ax.
TR†
P
†
C
U
m´ax.
c
P
m
T
§e
U T
S§¨!
U T
©F#2!‡˜ƒR!
4y… U
¥$#t9¨9 m/s
(b) A componente transversal da tens˜ao ´e
transv. r
T †
P
†
B
U
#
e o valor m´aximo da componente transversal ´e
T
transv.
U
m´ax.
`FP
m
T
ˆ¨!
U T
g#%¥(s
U T
§e
U T
©F#2!b˜„S!
4y… U
§F#2¥¨s NG
(c) Tanto a velocidade transversal v
como a tens˜ao trans-
versal transv. tem as suas fases sob a func¸˜ao cosseno.
Ent˜ao, o mesmo par T
B
#
CVU
maximiza ambas as gran-
dezas, mas se esse par maximiza a func¸˜ao cosseno,
ele anula a func¸˜ao seno, ou seja, se `
B‚u8c
C
ˆ! ,
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 5

32. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, `as 10:21 a.m.
P7T
B
#
P U
‰! . (d) A potˆencia transmitida ao longo da
corda ´e dada por
ƒ8
T
u
†
P
†
B
U TR†
P
†
C
U
r
`
c
P
xm ŠŒ‹ W x
T¤`
Bu„c
CVU
Para a potˆencia m´axima transmitida temos ent˜ao,
ƒ m´ax.
`
c
P
xm
T
ˆ¨!
U T
§¦e
U T
g$#%¥(s
U T
§gi!¦e
U T
©F#2!™˜ƒR!
4y… U
x
gF9 WG
(e) O deslocamento P
correspondente `a m´axima
potˆencia transmitida ´e P
Ž! , j´a que o par T
B
#
CVU
que
maximiza a func¸˜ao cosseno ´e o que anula a func¸˜ao se-
no.
(f) A potˆencia m´ınima transmitida ´e nula.
(g) A m´ınima potˆencia transmitida acontece para
P
P
m, j´a que o par T
B
#
CVU
que anula o cosseno ´e aquele
que maximiza o seno.
Secc¸˜ao 17-11 Interferˆencia de Ondas
17-38P. Uma fonte  e um detector de ondas de r´adio
est˜ao localizados ao n´ıvel do solo a uma distˆancia •
(Fig. 17-26). Ondas de r´adio de comprimento
H
chegam
a

, pelo caminho direto ou por reflex˜ao, numa certa
camada da atmosfera. Quando a camada est´a numa altu-
ra ‘ , as duas ondas chegam em

exatamente em fase.
`A medida que a camada sobe, a diferenc¸a de fase entre
as duas ondas muda, gradualmente, at´e estarem exata-
mente fora de fase para uma altura da camada ‘
aI’
.
Expresse
H
em termos de • ,
’
e ‘ .
¡
Ap´os a reflex˜ao na altura ‘ , as ondas chegam em

em fase:
§¦’ 6
u
•‡Q!1#
sendo ’ 6 ‘ x
a
T
•F£¦§
U
x .
Ap´os a reflex˜ao na altura ‘
aI’
, as ondas chegam em

em oposic¸˜ao de fase:
§¦’
x“u
•‡
H
£¨§F#
sendo ’
x
”
T
‘
a‚’
U
x
a
T
•F£¦§
U
x . Combinando as
duas equac¸˜oes para as interferˆencias construtiva e des-
trutiva, vem
§’
x“u
§’ 6
H
£¦§F#
H
wg
€
T
‘
a‚’
U
x
a
T
•@£¨§
U
x
u
‘ x
a
T
•F£¦§
U
x  G
17-41P*. Determine a amplitude da onda resultante da
combinac¸˜ao de duas ondas senoidais que se propagam
no mesmo sentido, possuem mesma freq¨uˆencia, tem
amplitudes de ¥$#%! cm e g$#2! cm e diferenc¸a de fase de
e5£¨§ rad.
¡
Consideremos as duas ondas senoidais na posic¸˜ao
B
Q! :
P 6 I¥$#%! WSXSY
c
C
e
P
x
rg$#2! WRXSY
T
c
C
a
e5£¨§
U
G
Agora, usando a relac¸˜ao trigonom´etrica WSXSY
Tr•
a‚–
U
WSXSY
•
ŠŒ‹ W
–—a
ŠŒ‹ W
•
WSXRY
–
na onda onda P
x
, efetuamos sua
soma com P 6 :
P
P 6
a
P
x
P
Q¥1#2! WRXSY
c
C
a
g$#2! ŠŒ‹ W
c
C
P
I¥1#2!
€
WSXSY
c
C
a
¨#%¥(¥ Š”‹ W
c
C
 G
A superpsic¸˜ao dessas ondas produz uma onda da mesma
forma de cada uma delas, que escrevemos genericamen-
te como
P
P
m WSXSY
T
c
C
a†
U
#
e, usando a mesma identidade trigonom´etrica, obtemos
P
P
m
T
WSXSY
c
C
ŠŒ‹ W
ba
ŠŒ‹ W
c
C
WSXSY

U
#
onde

´e a diferenc¸a de fase de P
em relac¸˜ao a P 6 . Com-
parando as duas formas que temos para P
, escrevemos
•
WRXSY

¨#2¥¨¥ X
•
ŠŒ‹ W

8(#
onde •
´e um fator de proporcionalidade entre as duas
formas da func¸˜ao P
. Dividindo as duas relac¸˜oes acima
obtemos a constante de fase

:
C
s

f(#%¥¨¥

r!1#2ˆ¨¥ radG
http://www.if.ufrgs.br/
jgallas P´agina 6