O documento descreve conceitos fundamentais de mecânica, incluindo: 1) Trabalho é uma medida da energia transferida por uma força aplicada a um corpo. 2) A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial. 3) Num sistema conservativo, a energia mecânica é conservada através das transformações entre energia cinética e potencial.

1. • Trabalho nulo:
TRABALHO Quando a força aplicada sobre o corpo é
perpendicular ao deslocamento, o trabalho é igual a
zero (τ = 0), denominado trabalho nulo.
Trabalho é uma medida da energia transferida
ou transformada através de uma força.
Uma força aplicada em um corpo realiza
trabalho quando produz um deslocamento do mesmo.
Trabalho de força constante Casos particulares:
r • F e d têm a mesma direção e o mesmo sentido:
r F atuando
Considere-se uma força constante
num corpo que sofre um deslocamento d , sendo θ o
r r
ângulo entre F e d . θ = 0º → cos 0º = 1 → τ = F.d
• F e d têm a mesma direção e sentidos opostos:
θ = 180º → cos 180º = - 1 → τ = − F.d
• F e d têm direções perpendiculares:
r
O trabalho
r realizado pela força F no θ = 90º → cos 90º = 0 → τ = 0
deslocamento d é dado por:
Obs.: A força centrípeta não realiza trabalho, pois é
perpendicular à direção do deslocamento.
τ = F ⋅ d ⋅ cosθ
O trabalho é uma grandeza escalar, isto é, fica
bem definida somente por seu módulo e uma unidade.
Unidade no S.I.: newton × metro (N.m) = joule (J).
Tipos de trabalho:
Trabalho de força variável
• Trabalho motor:
Quando a força aplicada sobre o corpo favorece Quando a força aplicada sobre o corpo não é
o deslocamento, a força cede energia ao corpo; neste constante, não podemos aplicar a expressão
caso, o trabalho é positivo (τ > 0), denominado trabalho matemática dada anteriormente; o trabalho pode ser
motor. obtido através do gráfico da força em função do
r
deslocamento (F x d), considerando a força
r F na
mesma direção do deslocamento d :
• Trabalho resistente:
Quando a força aplicada sobre o corpo se opõe
ao deslocamento, a força retira energia do corpo; neste
caso, o trabalho é negativo (τ < 0), denominado trabalho
resistente.
A área A é numericamente igual ao valor
r r
absoluto do trabalho da força F no deslocamento d :
| τ |= A
1

2. Trabalho da Força Peso base . altura x . k . x
τ Fel = A = =
Considere um corpo de massa m, que é 2 2
2
deslocado pelo campo gravitacional terrestre, de um k.x
ponto A para um ponto B. τ Fel = ±
2
Regra de Sinais:
• τ > 0 → deslocamento em direção à posição
natural da mola
• τ < 0 → deslocamento contrário à posição
natural da mola
O trabalho realizado pela força peso no Trabalho da força resultante (trabalho total)
deslocamento de A para B é:
τ P = ±P ⋅ h Quando várias forças atuam sobre um corpo
Como P = m.g , temos: que sofre um deslocamento, o trabalho da força
resultante é dado pela soma dos trabalhos de cada
τ P = ±m ⋅ g ⋅ h força:
τ Fr = τ F1 + τ F2 + ... + τ Fn
Regra de Sinais:
• τ > 0 → descida (o peso favorece o movimento)
• τ < 0 → subida (o peso opõe-se ao movimento) Exemplo:
Observação: O trabalho realizado pela força peso
independe da trajetória; depende apenas dos pontos
inicial e final da trajetória. Forças cujos trabalhos
independem da trajetória são chamadas Forças τ Fr = τ F + τ Fat + τ N + τ P
Conservativas.
Trabalho da Força Elástica
POTÊNCIA
Lei de Hooke:
A potência é uma grandeza escalar que mede a
Quando aplicamos uma força F a uma mola, rapidez com que o trabalho de uma força é realizado em
provocamos na mesma uma deformação x. A um sistema. Para uma máquina, a potência é a rapidez
intensidade da força é diretamente proporcional à com que ela transforma ou transfere energia.
deformação provocada. Portanto, a potência de um sistema em que é
Fel = k . x , realizado um trabalho τ por uma determinada força, num
em que k é a constante elástica da mola (N/m). intervalo de tempo ∆t, é dada por:
τ
Pot =
∆t
Obs.: Relação entre a potência e a velocidade (força
constante):
P = F ⋅ v ⋅ cos θ,
onde θ é o ângulo entre a força e a velocidade.
Pela definição, a força elástica varia de acordo
com a deformação, portanto ela não é uma força Unidade no S.I.: watt (W) = joule/segundo (J/s).
constante, logo o trabalho da força elástica é calculado Unidades usuais:
através do método gráfico (Fel × x). cavalo-vapor (cv): 1 cv = 735,5 W
horse-power (hp): 1 HP ≅ 746 W
Trabalho da força elástica no deslocamento x:
RENDIMENTO
Mede a eficiência na realização de um trabalho,
ou a eficiência (aproveitamento) na utilização da energia
fornecida a uma máquina.
2

3. Matematicamente, temos: A energia cinética de um corpo de massa m
P com velocidade v, num dado instante, é dada por:
η= u 2
Pt m.v
Ec =
2
Obs.: Só há energia cinética se existir velocidade; se um
corpo estiver em repouso, sua energia cinética será
nula.
Potência Total (Pt) → Associada à energia total recebida
por uma máquina. Teorema da Energia Cinética
Potência Útil (Pu) → Associada à energia efetivamente
utilizada pela máquina. O trabalho realizado pela força resultante que
Potência Dissipada (Pd) → Associada à energia atua sobre um corpo é igual à variação de energia
cinética sofrida por esse corpo durante o deslocamento.
dissipada pela máquina.
τ Fr = ∆E c
A potência total é a soma da potência útil com a
potência dissipada:
τ Fr = E cf − E ci
Pt = Pu + Pd 2
mv 2 mv 0
τ Fr = −
Observações: 2 2
O rendimento é uma grandeza adimensional, Observação:
pois é o quociente entre duas grandezas de τmotor → Ec aumenta
mesma unidade.
O rendimento pode ser expresso em
τresistente → Ec diminui
porcentagem, multiplicando-se o resultado por τnulo → Ec constante ( E cinicial = E cfinal )
100%: η % = η ⋅ 100% .
A potência útil é sempre menor que a potência Energia Potencial
total, pois uma parte é dissipada na própria
máquina. Portanto, o rendimento é sempre É uma forma de energia associada à posição,
menor do que 1 ou 100%: ou energia armazenada em função da posição de um
0≤η<1 corpo.
A energia potencial está relacionada a trabalhos
que independem da trajetória, como o trabalho da força
peso e o trabalho da força elástica.
ENERGIA
Energia potencial gravitacional
Está associada à capacidade de realizar
trabalho, sendo que o trabalho é realizado através de Energia armazenada em um corpo que se
transferência ou transformação de energia. encontra a uma determinada altura em relação ao solo.
Principais formas de energia: mecânica, térmica, Esta energia existe devido à atração do campo
elétrica, química, luminosa, sonora, nuclear, solar. gravitacional terrestre, que atrai todos os corpos nas
proximidades de sua superfície.
A energia não pode ser criada nem
destruída, mas apenas transformada.
Obs.: A energia é uma grandeza escalar.
Unidade no S.I.: J (joule).
Energia Cinética
É a energia associada a um corpo em
movimento, ou a capacidade de realizar trabalho devido A relação entre o trabalho τ realizado pela força
ao movimento. peso e a energia potencial gravitacional do corpo de
massa m, é dada por:
τ = - ∆Epg
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4. Energia potencial elástica → a energia mecânica não se conserva. A diferença
entre a energia mecânica final e inicial é a quantidade
Quando uma mola é deformada elasticamente, de energia dissipada, medida através do trabalho da
isto é, podendo retornar à sua forma original (posição força de atrito:
natural de equilíbrio), ela armazena energia potencial Emi = Emf + Edissipada
elástica, podendo realizar trabalho sobre um corpo, ao
qual está ligada.
τ Fa = E M final − E M inicial
IMPULSO
r
Um corpo recebe a ação de um impulso ( I )
r
quando atua sobre ele uma força ( F ) de considerável
intensidade durante um pequeno intervalo de tempo
(∆t). Trata-se de uma grandeza vetorial.
r
Considere uma força constante F agindo numa
partícula, durante um intervalo de tempo ∆t. Por
r
definição, chama-se impulso da força constante F o
O trabalho realizado pela força elástica da mola vetor:
sobre um corpo de massa m, está associado à energia r r
I = F ⋅ ∆t
potencial da mola pela relação: r
τ = - ∆Epe O vetor I tem as seguintes características:
módulo: I = F . ∆t
Observação:
r
direção: a mesma de F
r
O trabalho realizado pela força externa está
associado com a energia potencial do sistema, qualquer sentido: o mesmo de F
que seja ele, pela relação:
τ = - ∆Ep Unidade no S.I.: newton x segundo (N.s).
τ = ∆Ec Quando a força aplicada sobre o corpo não é
∆Ec = - ∆Ep constante, não podemos aplicar a expressão
∆Ec + ∆Ep = 0 (sistema conservativo) matemática dada anteriormente; o impulso pode ser
obtido através do gráfico da força em função do tempo
Energia Mecânica (F x t):
É a soma da energia cinética com a energia
potencial.
Em = Ec + Ep
E M = E c + E pg + E pe
Princípio de Conservação da Energia Mecânica A área A é numericamente igual ao valor
r
Num sistema conservativo (ausência de absoluto do impulso da força F no intervalo de tempo
∆t:
forças dissipativas), a energia mecânica permanece | I |= A
constante.
A energia mecânica inicial é igual à energia
mecânica final.
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
E M inicial = E M final (MOMENTO LINEAR)
Eci + Epi = Ecf + Epf Todo corpo que está em movimento possui uma
determinada quantidade de movimento, relativa à sua
Observação: Num sistema dissipativo (quando forças massa (m) e à sua velocidade (v). Trata-se de uma
dissipativas realizam trabalho), a energia mecânica do grandeza vetorial.
sistema diminui, pois parte dela é dissipada pelo atrito
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5. Considere uma partícula de massa m com Colisões Mecânicas (Choques Mecânicos)
r
velocidade v . Por definição, chama-se quantidade de
movimento da partícula o vetor: Choques mecânicos ou colisões mecânicas são
r r resultados de interação entre corpos. Podemos dividir
Q=m⋅v essas interações em duas partes:
r
O vetor Q tem as seguintes características:
Deformação: a energia cinética é convertida em energia
módulo: Q = m . v potencial.
r
direção: a mesma de v Restituição: a energia potencial é transformada em
r
sentido: o mesmo de v energia cinética. Essa transformação pode ser total,
parcial ou não existir.
Unidade no S.I.: quilograma x metro por
segundo (kg.m/s). É exatamente a forma como a energia potencial
é restituída em energia cinética que define os tipos de
Obs.: A quantidade de movimento total de um sistema colisões.
de partículas é a soma vetorial das quantidades de Quando dois corpos se encontram, ou colidem,
movimento das partículas constituintes do sistema: existe uma interação extremamente rápida entre eles,
r r r r r na ausência de forças externas impulsivas que podem
Q = Q1 + Q 2 + Q3 + .... + Q n ou não mudar a velocidade de cada um deles. Em uma
colisão, nem sempre a energia cinética do sistema se
Teorema do Impulso conserva, mas a quantidade de movimento do sistema
sempre se conserva se o sistema for isolado.
O impulso da força resultante que age numa
partícula durante um intervalo de tempo ∆t é igual à Coeficiente de Restituição:
variação da quantidade de movimento da partícula,
nesse intervalo de tempo: Coeficiente de restituição (e) é a razão entre os
r r módulos da velocidade relativa de afastamento
I Fr = ∆Q (imediatamente depois do choque) e a velocidade
r r r relativa de aproximação (imediatamente antes do
IFr = Q f − Q i
choque) entre os corpos.
r r r
IFr = mv − mv 0
velocidade relativa de afastamento (depois)
e=
Sistema Isolado: sistema no qual a resultante das forças velocidade relativa de aproximação (antes)
externas que atuam sobre ele é nula.
O coeficiente de restituição mostra a taxa de
Princípio de Conservação da Quantidade de Movimento energia cinética que é restituída após a colisão; logo, na
colisão elástica esta taxa é máxima e na colisão
Num sistema isolado, a quantidade de inelástica ela será mínima.
movimento permanece constante. Obs.: O coeficiente de restituição é uma grandeza
adimensional, podendo variar de 0 a 1.
Em um sistema isolado, isto é, sem ação de
forças externas, as forças internas se anulam. Portanto, Observação: Velocidade Relativa:
o impulso também nulo. Como é o impulso que causa a Considere dois móveis A e B em movimento
variação na quantidade de movimento de um corpo, a numa mesma direção. Há dois casos a analisar:
quantidade de movimento será conservada quando o
impulso das forças externas for nulo. Os corpos movem-se em sentidos contrários: o
módulo da velocidade relativa é igual à soma dos
módulos das velocidades.
I = 0 ⇒ ∆Q = 0
Q final − Q inicial = 0 ⇒ Q inicial = Q final
Sendo a quantidade de movimento uma
grandeza vetorial, se ela for constante, o módulo, a
direção e o sentido serão constantes.
Obs.: O impulso das forças internas de um sistema
isolado de partículas é nulo.
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6. Os corpos movem-se no mesmo sentido: o Conservação da Quantidade de Movimento
módulo da velocidade relativa é igual à diferença
dos módulos das velocidades. No pequeno intervalo de tempo em que ocorre a
colisão, as ações das forças externas são desprezíveis,
comparadas com as ações das forças internas que
surgem. Portanto, podemos considerar o sistema
isolado de forças externas, valendo a conservação da
quantidade de movimento:
Qualquer que seja o tipo de choque, a
quantidade de movimento do sistema permanece
constante.
Tipos de Colisão:
Exemplos de aplicação:
Colisão Elástica (e = 1)
1) Choque frontal e perfeitamente elástico entre dois
corpos de massas iguais:
Corpos de massas iguais em colisões
perfeitamente elásticas e frontais trocam de velocidade.
A velocidade relativa de aproximação e a 2) Choque oblíquo:
velocidade relativa de afastamento, imediatamente Em um jogo de bilhar, a quantidade de
antes e depois do choque, são iguais em módulo. movimento se conserva. Após a colisão, as bolas
A energia cinética imediatamente antes da podem ter diferentes direções e sentidos.
colisão é igual à energia cinética imediatamente após a
colisão, portanto não existe dissipação de energia.
e=1 ⇒ Qi = Qf ⇒ Eci = Ecf
Colisão Parcialmente Elástica (0 < e < 1)
O módulo da velocidade relativa de afastamento
é menor que o módulo da velocidade relativa de
aproximação.
A energia cinética do sistema diminui, portanto
existe dissipação da energia.
0<e<1 ⇒ Qi = Qf ⇒ Eci > Ecf
Colisão Inelástica (e = 0)
Aplicando o princípio da conservação da
quantidade de movimento:
A velocidade relativa de afastamento é nula. Na direção x, temos:
Isso significa que os corpos permanecem unidos após o Q(inicial)x = Q(final)x
choque, conservando suas deformações. mA V1Ax = mA V2Ax + mB V2Bx
A energia cinética do sistema diminui; neste
mA V1A = mA V2A cos θA + mB V2B cos θB
caso, a dissipação de energia é máxima. A energia
Na direção y, temos:
dissipada é transformada em calor, por causa do atrito
existente na colisão. Q (inicial)y = Q(final)y
e=0 ⇒ Qi = Qf ⇒ Eci > Ecf 0 = mB V2By - mA V2Ay
0 = mB V2B sen θB - mA V2A sen θA
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