Campos de Maxwell e Chern-Simons a partir do princípio de mínima ação

Campos de Calibre Clássicos:
Maxwell, Chern-Simons
Maria Teresa ThomazMaria Teresa Thomaz
MENS AGITATMENS AGITAT
Periódico da Academia Roraimense de CiênciasPeriódico da Academia Roraimense de Ciências
ISSN 1809-4791ISSN 1809-4791

MensAgitat | ARTIGO 05 | p. 51-84
VOLUME 09 - NÚMERO 02 - 2014 ISSN 1809-4791
Mens
MensAgitat
Campos de Calibre Clássicos:
Maxwell, Chern-Simons
Maria Teresa Thomaz1
Resumo: A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas
reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para
obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos
eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos
a noção de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade
Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor
e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos.
Palavras-chave: Campos clássicos; Princípio de mínima ação; Equações de Lagrange; Campos
eletromagnéticos de Maxwell; Equações de Maxwell; Relatividade restrita, Forma covariante;
Campo escalar; Campo vetorial; Invariância de calibre.
Abstract: From the principle of least action we derive the classical equations of motion through
the Lagrange equations. We show how to extend this principle to write down the equations of
motion of the classical fields and apply it to the case of the Maxwell electromagnetic fields.
In support to the formalism that we present, we study the notion of tensors we apply them to
describe the laws of transformation of relativity and write Maxwell’s equations in a simpler
form (covariant form). Finally we discuss the electric and magnetic fields in terms of vector and
scalar fields and show how the gauge invariance is implemented in these fields.
Key-words: Classical fields; Principle of least action; Lagrange equations; Maxwell
electromagnetic fields; Maxwell’s equations; Theory of relativity; Covariant form; Scalar field;
Vector field; Gauge invariance.
1. Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense. E-mail: mtt@if.uff.br

Campos de Calibre Clássicos: Maxwell, Chern-Simons52
1. Princípio de mínima ação
Todos nós aprendemos a descrever quantitati-
vamente o movimento dos corpos que nos cercam
através da aplicação das três Leis de Newton [1]:
1. Um corpo se mantém em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme a menos que
uma força atue sobre ele.
2. Um corpo sobre o qual atua uma força se
move de tal forma que a taxa de variação do
momento é igual a essa força.
3. Se dois corpos exercem força um sobre o
outro, essas forças são iguais em intensi-
dade e direção, mas têm sentidos opostos.
A 2ª Lei de Newton dá a dinâmica do movi-
mento de uma partícula pontual:
dt
dp
F t=
v
v^ h, (1)
onde p tv^ h é o momento linear da partícula no ins-
tante t e F tv^ h a força que age sobre a partícula neste
instante. Na descrição do movimento dos corpos, a
2ª Lei de Newton relaciona a causa (a força que
age sobre a partícula) com a consequência (o movi-
mento induzido no corpo). Portanto, se conhece-
mos a expressão da força que age sobre a partícula
em todos os instantes e os valores iniciais da posi-
ção e velocidade da partícula, a partir da solução
da 2ª Lei de Newton determinamos a sua trajetória:
x tv^ h. Em alguns casos é possível obter a expressão
algébrica para essa trajetória, mas na maioria das
vezes o que se obtém é a solução numérica.
A equação que dá a dinâmica de uma partícula
de massa constante é:
m
dt
d x t
F t2
2
=
v
v
^
^
h
h. (2)
Vocês já estudaram várias aplicações [1] da 2ª
Lei de Newton; dentre elas destacamos:
Exemplo 1. Partícula sujeita a uma força con-
servativa: neste caso definimos a função potencial
V xv^ h cuja relação com a força que atua sobre a
partícula é:
F x V xd=−v v v v^ ^h h. (3)
Para partículas sujeitas a forças conservativas a
equação de movimento é:
m
dt
d x t
V x2
2
d=−
v
v v
^
^
h
h. (4)
servativa descrita pela função potencial V xv^ h e
uma força F tv^ h dependente do tempo. Neste caso
a equação de movimento fica:
m
dt
d x t
V x F t2
2
d=− +
v
v v v
^
^ ^
h
h h. (5)
Será que é possível obter através de um outro
conjunto de postulados a equação (2) que descreve
a dinâmica de partícula pontual?
Vamos então começar a discutir o Princípio de
Hamilton [2] em 1 dimensão espacial. A sua exten-
são para 2 e 3 dimensões espaciais é direta.
O princípio de Hamilton não vai dar nenhuma
equação de movimento nova para a partícula não-

Campos de Calibre Clássicos: Maxwell, Chern-Simons 53
-relativística2
. No entanto, o Princípio de Hamilton
é geral, de maneira que a partir dele podemos obter
as equações que governam a evolução dinâmica
tanto de partículas quanto de campos, como por
exemplo os campos eletromagnéticos.
Enunciado do Princípio de Hamilton:
Dentre todos os caminhos em que um sistema
dinâmico poderia se mover de um ponto a outro
dentro de um intervalo de tempo fixo (consistente
com todos os vínculos que o sistema deve satis-
fazer), o caminho escolhido por ele é aquele que
minimiza a integral no tempo da função lagran-
geana L:
; , , ;S x t t t dt L x t x t tf
t
t
0
f
0
= o^ ^ ^^h h h h6 @ # , (6)
onde S é a ação. A cada trajetória x(t) entre os pon-
tos fixos x(t0) e x(tf) associamos um número que é o
valor da ação. A ação é uma quantidade dimensio-
nal, e sua dimensão igual à dimensão do momento
angular.
Se xcl(t) é a trajetória que a partícula clássica
segue para ir da posição x(t0) à posição x(tf) no
intervalo de tempo (tf − t0), então qualquer traje-
tória que passe nestas mesmas posições nestes
mesmos instantes e que corresponda uma pequena
modificação na trajetória clássica pode ser escrita
como:
;x t x t tclα αη= +^ ^ ^h h h, (7a)
onde α é uma constante e η(t) uma função arbitrá-
ria que corresponde a uma pequena deformação da
trajetória clássica mas com os extremos fixos (veja
a Figura 1):
t t 0f0η η= =^ ^h h . (7b)
2. Partícula não-relativística é aquela cuja velocidade é muito
menor que a velocidade da luz.
Figura 1. A curva 1 representa a trajetória clássica, enquanto
que as curvas 2 e 3 representam curvas que diferem da trajetória
clássica por pequenas deformações.
A expressão matemática correspondente ao
Princípio de Hamilton para trajetórias que difiram
pouco da trajetória clássica é:
;S x t S x t S x t
S x t t S x t 0
cl
cl cl
δ α
αη
= −
= + − =
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
6 6 6
6 6
@ @ @
@ @ .

(8)
Para entendermos porque o Princípio de
Hamilton é dado pela eq.(8) (δS[x(t)] = 0), note-
mos que para t0 e tf fixos, a ação S[x(t); t0, tf] é uma
função de α:
, ;G dt L x x tcl cl
t
tf
0
α αη αη= + +o o^ ^h h# . (9)
Dizer que a trajetória xcl(t) minimiza a ação
é equivalente a dizer que a função G(α) tem um
mínimo em α = 0. O que caracteriza o mínimo de
uma função é que o valor d sua derivada no ponto
é igual a zero. Portanto,
0 0
G S
0
&
2
2
2
2
α
α
α
α= =
α=
^ h
. (10)
Vejamos como obter a equação de Lagrange a
partir da condição da ação ser um mínimo quando
expandimos as possíveis trajetórias em torno da
trajetória clássica.
A ação de qualquer trajetória representada pela
eq. (7a) é:
; , ;S x t dt L x x tcl cl
t
tf
0
α αη αη= + +o o^ ^h h6 @ # . (11)

Da condição de extremo (10), obtemos que:
S
dt
x
L x
x
L x
dt
x
L
t
x
L
t
t
t
t
t
0
f
f
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α α α
η η
= +
= +
α= o
o
o
o^ ^h h
'
'
1
1
#
# .
(12)
Ao se escolher a função η(t) estamos também
escolhendo a função tηo ^ h, de forma que os dois
termos do lado direito (l.d.) da equação (12) não
são independentes entre si. Usamos então integra-
ção por partes3
para reescrever o termo em tηo ^ h no
l.d. da eq. (12):
,
dt
x
L
t t
x
L
dt
dt
d
x
L
t
dt
dt
d
x
L
t
t
t
t t
t t
t
t
t
t
f f f
f
0 0 0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
η η η
η
= −
=−
=
=
o
o
o o
o
^ ^ c ^
c ^
h h m h
m h
# #
#
(13)
uma vez que o valor da função η(t) para t = t0 e t =
tf é igual a zero.
Finalmente, a condição de extremo da ação é
escrita como:
S
dt
x
L
dt
d
x
L
t 0
t
t
0
f
02
2
2
2
2
2
α
η= − =
α= o
c ^m h' 1# . (14)
Para que a igualdade (14) seja válida para qual-
quer pequena deformação η(t), cujo valor em t = t0
e t = tf é nula, é necessário que o integrando seja
identicamente nulo:
x
L
dt
d
x
L
0
2
2
2
2
− =
o
c m , (15)
onde, para o cálculo das derivadas parciais, as
variáveis x(t) e x to ^ h da lagrangeana L são tratadas
como independentes.
A equação (15) é chamada de equação de
Lagrange.
Para que a equação de Lagrange faça algum
sentido para nós e possamos ver se ela reobtém,
3. Integração por partes:
ud u vdυ υ υ= − ## .
Escolhemos no nosso caso:
u
x
L
e d dt
2
2
υ η= =
o
o .
no caso das partículas pontuais, a eq. (2), precisa-
mos definir a lagrangeana em termos das quantida-
des cinemáticas ,x t x to^ ^^ h hh, que caracterizam de
forma unívoca o movimento da partícula.
De uma maneira geral, a forma que se escolhe
para a lagrangeana depende do sistema que esta-
mos tratando: partículas não-relativísticas, partícu-
las relativísticas, campos eletromagnéticos, ...
Nesta seção vamos nos restringir a postular as
lagrangeanas de partículas não-relativísticas que
correspondem aos dois exemplos que apresenta-
mos no início da seção.
A lagrangeana associada a um certo sistema é
escolhida como função das quantidades cinemáti-
cas que caracterizam o sistema, de tal forma que a
eq. (15) nos dê a equação de movimento clássica
(2) para partículas não-relativísticas.
Exemplo 1. Partícula sujeita a uma força conser-
vativa em 1 dimensão: a relação entre a força F(x)
que atua na partícula e a função potencial V (x) é:
F x
dx
dV x
=−^
^
h
h
. (16)
A lagrangeana de partículas sujeitas a forças
conservativas é:
, ;L x t x t t mx t V x
2
1 2
= −o o^ ^^ ^ ^h h h h h, (17a)
pois,
x
L
mx
2
2
=
o
o , (17b)
x
L
dx
dV x
2
2
=−
^ h
. (17c)
e, substituindo as eqs. (17b-c) na equação de
Lagrange (15), obtemos
dx
dV x
dt
d mx
m
dt
d x t
dx
dV x
0 2
2
&− − = =−
o^ ^ ^ ^h h h h
. (18)
servativa descrita pela função potencial V(x) e uma
força F(t) dependente do tempo.

A lagrangeana que descreve este sistema é:
, ;L x t x t t mx t V x F t x t
2
1 2
= − +o o^ ^^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h, (19a)
pois,
x
L
mx
2
2
=
o
o , (19b)
x
L
dx
dV x
F t
2
2
=− +
^
^
h
h. (19c)
Substituindo as eqs. (19b-c) na equação de
Lagrange (15) obtemos
,
dx
dV x
F t
dt
d mx
m
dt
d x t
dx
dV x
F t
0
2
2
&
&
− + − =
=− +
o^
^
^
^ ^
^
h
h
h
h h
h

(20)
que é idêntica a eq. (5) em 1-dimensão.
Uma propriedade importante que se obtém
a partir do Princípio de Hamilton é que, se duas
lagrangeanas diferem entre si por uma derivada
total, ou seja
, ;
, ;
, ;
L x t x t t
L x t x t t
dt
dG x t x t t
1 =
= +
o
o
o
^ ^^
^ ^^
^ ^^
h h h
h h h
h h h
,

(21)
então as duas lagrangeanas darão origem as mes-
mas equações de movimento.
Para vermos isso, relacionemos as ações obti-
das a partir das lagrangeanas L e L1:
t
t
0
f
0
= o^ ^ ^^h h h h6 @ # (22a)
e
; ,
, ;
, ;
, ;
, ; , ; .
S x t t t
dt L x t x t t
dt
dG x t x t t
dt L x t x t t
G x t x t t G x t x t t
f
t
t
t
t
f f f
1 0
0 0 0
f
f
0
0
=
= +
= +
+ −
o
o
o
o o
^
^ ^^
^ ^^
^ ^^
^ ^^ ^ ^^
h
h h h
h h h
h h h
h h h h h h
6 @
) 3#
#

(22b)
Como as pequenas deformações η(t) são reali-
zadas com as extremidades fixas, η(t0) = η(tf) = 0,
então a diferença S1 − S é constante e independente
do parâmetro α (eq. (7a)) uma vez que a contribui-
ção da função , ;G x t x t to^ ^^ h h h para S1 em t = t0 e
t = tf não depende de α. Portanto,
S S1
2
2
2
2
α α
= . (22c)
Como a equação de Lagrange é obtida a partir
da condição de mínimo da ação e como as ações S
e S1 têm o mesmo mínimo, então ambas as ações
darão a mesma equação de Lagrange.
As lagrangeanas dos Exemplos 1 e 2 foram
escolhidas de forma a recuperar as equações de
movimento clássicas que já conhecíamos. Portanto,
o Princípio de Hamilton não traz nenhuma Física
nova para a Mecânica Clássica. A primeira vista,
tudo o que fizemos foi complicar o estudo de sis-
temas de partículas clássicas. No entanto, são os
formalismos lagrangeano e hamiltoniano [3] que
indicam como estender a teoria de forma a descre-
ver sistemas quânticos.
A reinterpretação dos formalismos lagrangeano
e hamiltoniano nos permite formular a Mecânica
Quântica [4], que é a teoria através da qual des-
crevemos a Física do mundo microscópico (átomo,
núcleo, nucleon, etc...).
2. Campos eletromagnéticos:
equações de Maxwell
Na presença de campos elétricos e magnéticos,
partículas carregadas sofrem a ação da força de
Lorentz [5], de maneira que sua equação de movi-
mento é4
:
, ,m
dt
d x t
eE x t e
c
v t
B x t2
2
#= +
v
v v
v
v v
^
^
^
^
h
h
h
h, (23)
onde m é a massa da partícula, e a sua carga elétrica
e v tv^ h a sua velocidade no instante t. ,E x tv v^ h é o
vetor campo elétrico, ,B x tv v^ h o vetor campo mag-
4. Estamos usando o sistema de unidades CGS para escrever
as equações envolvendo os campos eletromagnéticos [5].

nético e c a velocidade da luz5
. Estes campos tam-
bém são chamados de campos eletromagnéticos.
No entanto, a presença e o movimento de car-
gas elétricas (correntes) geram campos elétricos e
magnéticos. As equações de Maxwell descrevem a
evolução no tempo dos campos eletromagnéticos
na presença de cargas elétricas e correntes.
As equações de Maxwell [5] na sua forma glo-
bal e local são:
,
, , ,
E x t nds Q t
E x t x t
4
4
S
2
$
$d
π
πρ
=
=
v v t
v v v v
^ ^
^ ^
h h
h h
#
(24a)
,
, ,
B x t nds
B x t
0
0
S
2
$
$d
=
=
v v t
v v v
^
^
h
h
#
(24b)
, ,
,
,
,
E x t dl
c dt
d
B x t nds
E x t
c t
B x t
1
1
S
2
$ $
#d
2
2
=−
=−
Γ
v v v v v t
v v v
v v
^ ^
^
^
h h
h
h
; E##
(24c)
, , ,
,
,
, ,
B x t dl
c dt
d
E x t nds
c
x t nds
B x t
c t
E x t
c
x t
1 4
1 4
S S
2
$ $ $
#
.
d
2
2
.
π
π
= +
= +
Γ
v v v v v t v v t
v v v
v v
v v
^ ^ ^
^
^
^
h h h
h
h
h
; E# ##
(24d)
sendo ,x tρ v^ h a densidade de carga elétrica na
posição xv e no instante t, e ,j x tv v^ h a densidade
de corrente. Q(t) é a carga elétrica total contida
dentro do volume V delimitado pela superfície
fechada S:
5. A velocidade da luz é: c = 299.792.456,2 ± 1,1 m/seg.
, .Q t d x x t
V
3
ρ= v v^ ^h h# (25)
,B x t nds
S
$v v t^ h# é o fluxo de campo magné-
tico que atravessa a superfície S no instante t e
,E x t nds
S
$v v t^ h# o fluxo de campo elétrico que atra-
vessa a superfície S no instante t. nt é o vetor unitá-
rio normal à superfície S em cada ponto, ds é a área
infinitesimal e dlv o vetor infinitesimal tangente a
curva Γ. A curva Γ é a fronteira da superfície S.
Para obtermos as equações de Maxwell na sua
forma local a partir de sua formulação global basta
aplicar os Teoremas de Gauss e Stokes, que estão
enunciados no Apêndice A.
Para resolver exatamente o problema do movi-
mento da carga elétrica na presença de campos ele-
tromagnéticos e sua influência sobre eles, teríamos
de resolver simultaneamente as eqs. (23) e (24a-d).
Entretanto, não sabemos resolver esse conjunto de
equações acopladas. O que faremos é estudar situa-
ções físicas em que o efeito da variação dos campos
eletromagnéticos é pequeno sobre o movimento das
partículas com carga elétrica. Neste caso, vamos
supor que conhecemos a distribuição de cargas e
correntes em todos os pontos do espaço em cada
instante, e que estas distribuições não são afetadas
pelos campos eletromagnéticos.
Durante o mini-curso iremos trabalhar com as
equações de Maxwell na sua forma local.
Até agora temos chamado de campo aos veto-
res elétrico e magnético. A razão de usarmos essa
nomenclatura para esses vetores é que no caso de
uma partícula pontual, x tv^ h corresponde a posição
que a partícula ocupa no instante t. Portanto x tv^ h
representa uma única posição do espaço no ins-
tante t e é toda a informação que você precisa para
localizar a partícula neste instante. No entanto,
dizer que você conhece os campos eletromagnéti-
cos no instante t implica que você sabe os valo-
res dos vetores ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h em cada ponto xv
do espaço neste instante. Neste contexto o vetor
xv é um parâmetro da mesma forma que o tempo,
e representa um índice utilizado para localizar os
diferentes pontos do espaço.

Na posição do espaço que uma partícula carre-
gada eletricamente ocupa no instante t, a força de
Lorentz que ela sente é:
, , ,F x t eE x t e
c
v t
B x tL #= +v v v v
v
v v^ ^
^
^h h
h
h, (26)
sendo ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h os campos elétrico e mag-
nético, respectivamente, na posição da partícula, e
a sua carga elétrica e v tv^ h a sua velocidade.
Em resumo, temos que as componentes dos veto-
res eletromagnéticos são funções definidas em todos
os pontos do espaço; daí se dizer que são campos.
Para termos a força de Lorentz (eq. (26)) que
age sobre partículas carregadas precisamos conhe-
cer: ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h, sendo que cada um desses
vetores tem três componentes. Logo, para descre-
vermos a força de Lorentz necessitamos de seis
funções. Entretanto, essas seis funções não são
independentes entre si, uma vez que as equações
de Maxwell (24a-d) acoplam os campos elétrico
e magnético. A partir da eq. (24c) vemos que a
variação do fluxo do campo magnético através da
superfície aberta S depende da integral de linha
do campo elétrico ao longo da fronteira Γ da área
S. Por outro lado, a variação do fluxo do campo
elétrico através da superfície aberta S depende da
integral de linha do campo magnético ao longo da
fronteira Γ que delimita a área S e o fluxo da den-
sidade de corrente que atravessa a mesma área S.
Em resumo, temos que a evolução no tempo dos
campos elétrico e magnético é interrelacionada.
Vamos introduzir campos auxiliares em que
temos um número menor de funções a serem deter-
minadas e a partir das quais podemos determinar
os campos ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h. Para isso, usaremos as
equações de Maxwell na sua forma local e as pro-
priedades de Análise Vetorial que estão apresenta-
das no Apêndice A.
Da equação (24b), temos que
,B x t 0$d =v v v^ h , (27a)
que pela propriedade (A.5) da divergência de um
vetor implica em que
, ,B x t A x t#d=v v v v v^ ^h h. (27b)
,A x tv v^ h é denominado de potencial vetor.
Substituindo a eq. (27b) na eq. (24c) obtemos que
,
,
E x t
c t
A x t1
0#d
2
2
+ =v v v
v v
^
^
e h
h
o . (27c)
Pela propriedade (A.6) do rotacional concluí-
mos que
,
,
,E x t
c t
A x t
A x t
1 0
2
2
d+ =−v v
v v
v v^
^
^h
h
h, (27d)
onde ,A x t0
v^ h é denominado de potencial escalar.
Em resumo, temos que os campos físicos
,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h que aparecem na força de Lorentz
(eq. (26)) podem ser obtidos a partir dos campos
auxiliares ,A x t0
v^ h e ,A x tv v^ h através das relações:
, ,B x t A x t#d=v v v v v^ ^h h (28a)
e
, ,
,
E x t A x t
c t
A x t10
d
2
2
=− −v v v v
v v
^ ^
^
h h
h
. (28b)
Vamos mostrar agora que as quatro funções:
A0
,Ax,Ay e Az não são independentes entre si. Para
vermos isso usaremos o fato de que, dadas as fun-
çes ,A x t0
v^ h e ,A x tv v^ h através das relações (28a-b),
obtemos um único vetor ,E x tv v^ h e um único vetor
,B x tv v^ h; no entanto, a operação inversa não é ver-
dadeira, ou seja, dados os campos ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h
temos um conjunto infinito de pares de funções
, , ,A x t A x t0
v v v^ ^^ h hh que podem dar origem a esses
campos físicos.
Vamos mostrar então que não é possível inver-
ter as relações (28a-b). Para explorarmos essa
ambiguidade, lembremos que pela propriedade
(A.6), temos que
,G x t 0#d d =v v v^^ hh , (29)
onde ,G x tv^ h é uma função qualquer que não pos-
sui singularidades. Então, o potencial vetor ' ,A x tv v^ h
definido como:

' , , ,A x t A x t G x td= +v v v v v v^ ^ ^h h h, (30a)
dá o mesmo campo magnético que o obtido pelo
potencial vetor ,A x tv v^ h, ou seja
' , , ,
, .
A x t A x t G x t
A x t
# # #
#
d d d d
d
= +
=
v v v v v v v v v
v v v
^ ^ ^^
^
h h hh
h

(30b)
Entretanto, pela eq. (28b), temos que o poten-
cial ' ,A x tv v^ h não gera o mesmo campo elétrico que
o potencial vetor ,A x tv v^ h, a menos que, simultane-
amente, o potencial escalar seja modificado para:
' , ,
,
A x t A x t
c t
G x t10 0
2
2
= −v v
v
^ ^
^
h h
h
. (30c)
Neste caso,
' ,
' ,
,
,
.
A x t
c t
A x t
A x t
c t
A x t
1
1
0
0
d
2
2
d
2
2
− − =
=− −
v v
v v
v v
v v
^
^
^
^
h
h
h
h

(30d)
As funções potenciais ' ,A x t0v v^ h e ' ,A x tv v^ h
geram os mesmos campos eletromagnéticos
,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h que os potenciais ,A x t0
v^ h e
,A x tv v^ h. Concluímos que os campos físicos ,E x tv v^ h
e ,B x tv v^ h são invariantes sob a transformação
simultânea (30a) e (30c). As transformações (30a)
e (30c) são as chamadas transformações de calibre:
' , ,
,
A x t A x t
c t
G x t10 0
2
2
= −v v
v
^ ^
^
h h
h
(31a)
e
' , , ,A x t A x t G x td= +v v v v v v^ ^ ^h h h (31b)
onde ,G x tv^ h é uma função qualquer cujas deriva-
das espaciais e temporal estão definidas em todos
os pontos do espaço e em qualquer instante.
Para podermos trabalhar com os potenciais
escalar e vetorial precisamos impor uma condição
arbitrária adicional sobre estes campos. Esta con-
dição adicional é chamada de fixação de calibre.
Como exemplo de condições de calibre usual-
mente utilizadas temos:
1. Calibre de Coulomb:
,A x t 0$d =v v v^ h . (32a)
2. Calibre de Lorentz:
,
,
A x t
c t
A x t1
0
0
$d
2
2
+ =v v v
v
^
^
h
h
. (32b)
3. Calibre de Weyl:
,A x t 00
=v^ h . (32c)
Os potenciais escalar e vetorial têm que satis-
fazer as equações de Maxwell e uma escolha
arbitrária de calibre. As expressões obtidas para
,A x t0
v^ h e ,A x tv v^ h dependem da escolha do calibre;
no entanto, os campos físicos ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h não
dependem da particular escolha de calibre que se
faça. Daí dizermos que as quantidade físicas são
independentes da particular escolha que se faz para
fixar o calibre e sermos então capazes de calcular
as funções potenciais: ,A x t0
v^ h e ,A x tv v^ h.
Apesar dos campos ,A x t0
v^ h e ,A x tv v^ h não
serem físicos, eles são importantes para a descrição
da teoria, uma vez que a lagrangeana que descreve
campos eletromagnéticos interagindo com partícu-
las carregadas eletricamente é escrita através des-
ses campos auxiliares, como veremos mais adiante.
3. Espaço de Minkowski
Estamos interessados em estudar neste mini-
-curso a lagrangeana dos campos de cali de
Maxwell (campos eletromagnéticos), e os campos
de calibre de Maxwell-Chern-Simons. Em parti-
cular, os campos eletromagnéticos (luz) possuem
velocidade c em qualquer referencial, de maneira
que este é um sistema relativístico.
Na Mecânica Não-Relativística o tempo é um
parâmetro que é o mesmo em qualquer referencial, o
que não é verdade com o vetor posição da partícula
medido a partir de diferentes referenciais inerciais.
Na Mecânica Relativística cada referencial
inercial tem o seu conjunto de réguas e relógios

com os quais realiza as medidas dos fenômenos
físicos. Num sistema relativístico o instante em
que a partícula ocupa uma certa posição do espaço
depende do referencial a partir do qual o movi-
mento da partícula está sendo observado. Em cada
referencial inercial o movimento de uma partícula
é descrito como um evento que contém quatro
informações: x t e tv^ h . Desta forma para sistemas
relativísticos não podemos dissociar o conceito
de espaço do conceito de tempo, daí usarmos a
nomenclatura de espaço-tempo para representar o
quadri-vetor ,ct xv^ h. O quadri-vetor ,ct xv^ h repre-
senta o instante t em que a partícula ocupa a posi-
ção xv. Todas as componentes de um quadri-vetor
têm que ter a mesma dimensão, daí multiplicarmos
o tempo t pela velocidade da luz c no quadri-vetor
,ct xv^ h. Lembrando que a velocidade da luz é a
mesma em qualquer referencial.
Não discutiremos a Relatividade Especial neste
mini-curso; para aqueles que estejam interessados
numa introdução ao assunto sugerimos a leitura da
referência 6.
Em 1908 H. Minkowski propôs um formalismo
matemático em que o espaço e o tempo formam um
espaço com 4 dimensões. No espaço 4-dimensio-
nal o eixo do tempo é perpendicular aos eixos das
coordenadas espaciais. Na linguagem de espaço-
-tempo fica simples descrever as transformações
de Lorentz na Relatividade Especial.
Da Análise Vetorial temos que o vetor não
depende de eixos coordenados para ser definido.
Qualquer que seja o conjunto de eixos coordenados
que escolhemos para decompor o vetor em termos
de suas componentes, o módulo do vetor tem sem-
pre o mesmo valor. Este resultado é um caso par-
ticular da invariância do produto escalar entre dois
vetores uv e vv quaisquer. O ângulo relativo entre
esses vetores é independente dos eixos coordena-
dos que utilizamos. Seja α o ângulo relativo entre
os vetores uv e vv, o produto escalar entre esses dois
vetores é
cosu v u v$ α=v v v v , (33)
que escrito em termos das componentes num con-
junto de eixos coordenados cartesianos (x, y, z) fica:
u v x x y y z z$ υ ν υ ν υ ν= + +v v . (34)
Apesar da soma dos termos do l.d. da eq. (34)
ser independente dos eixos coordenados esco-
lhidos, cada termo do l.d. da eq. (34) depende da
escolha feita para estes eixos.
Apenas para simplificar, exemplificaremos
o que se segue com vetores no plano (vetores
bi-dimensionais).
Vejamos como as componentes de um vetor bi-
-dimensional variam ao serem escritas em relação
a dois conjuntos de eixos coordenados cujas ori-
gens coincidem mas cujos eixos estão girados de
um ângulo θ.
Considere o vetor Vv na Figura 2.
Figura 2. Os vetores i e j são os vetores unitários dos eixos
coordenados (x, y), e, i′ e j′ são os vetores unitários dos eixos
coordenados (x′, y′). O vetor V é o mesmo nos dois conjuntos de
eixos coordenados, enquanto que as suas componentes depen-
dem dos eixos coordenados que utilizamos para obtê-las.
Os vetores unitários nas direções x e y são -t e .t
respectivamente. Os vetores unitários nas direções
x’ e y’ são -lt e .lt respectivamente. O resultado do
produto escalar entre os vetores unitários é:
cos sine$ $- - - .θ θ= =−l lt t t t , (35a)
sin cose$ $. - . .θ θ= =l lt t t t . (35b)
O vetor Vv escrito em termos das componentes
nos dois conjuntos de eixos coordenados:
V x y- .ν ν= +v t t (36a)

x y- .ν ν= +l l l lt t . (36b)
Para obtermos as componentes xνl e yνl em ter-
mos das componentes xν e yν , usamos que
V e Vx y$ $- .ν ν= =l l l lv t v t , (36c)
e os resultados (35a)-(35b) dos produtos escalares
dos vetores unitários, de maneira que, finalmente,
escrevemos a transformação das coordenadas
numa forma matricial:
cos
sin
sin
cos
x
y
x
y
ν
ν
θ
θ
θ
θ
ν
ν
=
−
l
l
e e eo o o. (36d)
Todos os vetores satisfazem a lei de transfor-
mação (36d) sob uma mudança de eixos coordena-
dos que corresponda a uma rotação rígida dos eixos
de um ângulo θ.
A matriz
cos
sin
sin
cos
tR
θ
θ
θ
θ
=
−
^ eh o, (36e)
é a matriz de rotação que liga as componentes
de um mesmo vetor escrito em dois conjuntos de
eixos coordenados girados entre si de um ângulo θ.
Para qualquer ângulo θ temos que
det 1R θ =^^ hh . (36f)
Para vermos porque as transformações de
Lorentz das coordenadas espaço-temporais entre
dois referenciais inerciais podem ser escritas como
uma rotação no espaço-tempo, consideremos as
transformações de Lorentz para a posição da par-
tícula e para o instante em que a medida de posi-
ção é feita. Por simplicidade, vamos supor que o
movimento da partícula é ao longo da direção x
que coincide com a direção do movimento relativo
entre os referenciais inerciais (veja Figura 3).
Na Figura 3, V V-=v t é a velocidade do refe-
rencial inercial S’ medida por um observador em
repouso no referencial inercial S.
Figura 3. O referencial inercial S′se desloca com velocidade V
= Vî em relação ao referencial S.
Assumindo que no instante t = 0 as origens dos
dois conjuntos de eixos coordenados (x, y) e (x′,
y′) coincidem, a transformação de Lorentz é [6, 7]:
x x x0 0 1
γ β= −l ^ h, (37a)
x x x1 0 1
γ β= − +l ^ h, (37b)
onde x0
= ct e x1
= x, x′0
= ct′ e x′1
= x′, e c é a
velocidade da luz. As constantes β e γ são definidas
como sendo
c
V
e
1
1
2
β γ
β
= =
−
. (37c)
Das relações (37c) temos que −1 ≤ β ≤ 1 e 1 ≤
γ ≤ ∞.
As transformações de Lorentz escritas na forma
matricial ficam:
'
'
x
x
x
x
0
1
0
1
γ
βγ
βγ
γ
=
−
−
e e eo o o, (38)
e possuem uma forma similar a rotação de vetores
num plano6
também representada pela transforma-
ção (36d).
Os elementos da matriz que aparecem do l.d.
da expressão (38) não podem ser escritos como
funções trigométricas, pois o produto βγ assume
6. Girar os eixos coordenados (x′, y′) de um ângulo θ em relação
aos eixos (x, y) é equivalente do ponto de vista de transforma-
ção de coordenadas a manter os eixos coordenados (x, y) fixos
e rodar de −θ o vetor vv em relação a origem desses eixos.

valores no intervalo [0,∞), e os valores de γ estão
no intervalo [1,∞).
Como os valores que a constante β pode assu-
mir estão no intervalo [−1, 1], podemos usar a
parametrização:
tanhβ ζ= . (39a)
De maneira que,
tanh
cosh
1
1
1
1
2 2
&γ
β ζ
γ ζ=
−
=
−
= (39b)
e
tanh cosh sinh&$βγ ζ ζ βγ ζ= = . (39c)
Portanto, as transformações de Lorentz (37a) e
(37b) do espaço-tempo são finalmente escritas como
cosh
sinh
sinh
cosh
x
x
x
x
0
1
0
1
ζ
ζ
ζ
ζ
=
−
−l
l
c e em o o (40)
De forma análoga ao produto escalar de veto-
res bi-dimensionais, no espaço de Minkowski é
possível definir uma operação de produto esca-
lar que obtenha como resultado um número que
seja o mesmo em todos os referenciais inerciais7
.
Podemos tentar obter a expressão de escalares de
Lorentz através de várias tentativas de funções das
coordenadas e usar a transformação (40) para veri-
ficar se o resultado é independente do referencial
inercial escolhido.
Mas ao invés de procedermos dessa maneira,
utilizamos o postulado da Mecânica Relativística
que afirma que a velocidade da luz é a mesma em
qualquer referencial. A equação de uma frente de
onda luminosa em qualquer instante, vista de dois
referenciais inerciais distintos é:
x c t0 2 2 2
=− + (41a)
x c t2 2 2
=− +l l , (41b)
de forma que o resultado da combinação (x0
)2
−
(x1
)2
é o mesmo em qualquer referencial inercial.
7. Um número que é o mesmo em todos os referenciais inerciais
cujas quadri-coordenadas estão relacionadas através das trans-
formadas de Lorentz é denominado de escalar de Lorentz.
Logo, esta particular combinação das 4-coordena-
das forma um escalar de Lorentz.
Definimos um 4-vetor de Lorentz como aquele
cujas componentes, sob uma transformação de
Lorentz (37a) e (37b), satisfaçam a relação (40).
Então, para qualquer 4-vetor de Lorentz a combi-
nação acima é também um escalar de Lorentz.
O produto escalar (41a) não pode ser escrito
diretamente na forma (34). No entanto, se definimos
os vetores contra-variantes xμ
, μ = 0, 1, como [7]
, ,x x x x x0 1 0
/=µ
^ ^h h, (42a)
e os vetores covariantes xμ, μ = 0, 1, como
, ,x x x x x0 1
0
/= −µ ^ ^h h, (42b)
sendo x0 = ct e x a coordenada x usual, então o pro-
duto escalar no espaço de Minkowski é definido
como:
.
x c t x x x x
x x
2 2 2
0
0
1
1
0
1
− + = +
= µ
µ
µ=
/ (42c)
Definimos a regra da soma implícita dizendo
que somamos sobre índices repetidos num mesmo
termo, ou seja,
x x x x
0
1
/µ
µ
µ
µ
µ=
/ , (42d)
Os índices somados (contraídos) estão ao longo
da diagonal, ou seja, cada parcela da soma (42d) é
o produto da componente do vetor covariante pela
componente do vetor contra-variante.
A extensão do que fizemos em d=2 (1+1) (uma
dimensão espacial e uma dimensão temporal) para
d=4 (3+1) (três dimensões espaciais e uma dimen-
são temporal) está contida nas Referências 6 e 7.
De agora em diante trataremos o caso em d=4
(3+1) e utilizaremos a regra da soma implícita.
Em quatro dimensões espaço-temporal o
4-vetor posição é
,x x x0
=µ v^ h, (43a)
,x x x0
= −µ v^ h. (43b)

O produto escalar é então
.
x x x x c t
x x
0
3
2 2
$=− +
=
µ
µ
µ
µ
µ
=
v v/ (43c)
Como relacionar os vetores covariantes e os
vetores contra-variantes? A partir das definições
(43a) e (43b), vemos que a relação entre esses veto-
res é linear homogênea, de maneira que podemos
escrevê-la como:
x g x=µ µν
ν
, (44a)
onde estamos somando sobre o índice ν, ν = 0, 1,
2, 3. A matriz gμν, também chamada de métrica, em
d=4 (3+1) é representada por
g g
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
= =
−
−
−
µν
µν
J
L
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
OO
. (44b)
A matriz gμν é simétrica (par) pela troca dos
índices (gμν = gνμ) e
g g
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
δ= =µν
ν
µ
x x
J
L
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
OO
. (44c)
Seja ,B B B0
=µ v^ h um 4-vetor qualquer. A rela-
ção entre a forma covariante e contravariante de
qualquer 4-vetor é dada pela eq. (44a),
,B g B B B B0
&= = −µ µν
ν
µ
v^ h. (44d)
Como exemplo de 4-vetores de Lorentz temos:
a) 4-posição:
,x ct x=µ
v^ h, (45a)
b) 4-momento8
,p
c
E
p=µ
vc m, (45b)
8. Aexpressão da energia relativística total da partícula livre é:
E p c m c
c
E
p m c const2 2 2 2 4
2
2 2 2
&= + − = =v v .
Portanto, a quantidade
c
E é a componente zero do 4-vetor
momento.
onde E é a energia relativística total da partícula.
c) 4-potencial vetor:
, , , ,A x t A x t A x t0
=µ
v v v v^ ^ ^^h h hh, (45c)
onde ,A x t0
v^ h éopotencialescalare ,A x tv v^ h opoten-
cial vetor associados aos campos eletromagnéticos.
d) 4-densidade de corrente:
, , , ,x t c x t x t. .ρ=µ
v v v v^ ^ ^^h h hh, (45d)
onde ,x tρ v^ h é a densidade de carga elétrica na posi-
ção xv no instante t e ,x t.v v^ h é a densidade de cor-
rente elétrica na posição xv no instante t.
Os operadores diferenciais possuem uma defi-
nição diferente da apresentada em (44d):
,
x x0
42
2
2
2
2
/ =µ µ
vc m (46a)
e
,
x x0
42
2
2
2
2
/ = −µ
µ
vc m. (46b)
Comparando as expressões (46a) e (46b)
vemos que a relação entre os operadores diferen-
ciais covariante e contra-variante ainda é dada pela
relação (44a),
g2 2=µ µν
ν , (46c)
onde estamos somando sobre o índice ν, ν = 0, 1,
2, 3.
O operador diferencial d’Alambertiano,
c t
12
2 2
2
d
2
2
4 = − +c m, (47a)
onde
x y z
2
2
2
2
2
2
2
d
2
2
2
2
2
2
= + + , pode ser escrito na forma
2 24 = µ
µ
. (47b)
O operador diferencial d’Alambertiano 4 apa-
rece na equação de ondas eletromagnéticas como
veremos na seção 4.1.
A relação entre tensores covariantes e contra-
-variantes de qualquer ordem é:

a) 4-vetor:
gΒ Β=µ µν
ν , (48a)
b) tensor de ordem 2:
g g1 1 1 1 2 2
1 2Β Β=µ ν µ ν µ ν
ν ν , (48b)
c) tensor de ordem n:
g g g...
...
n n n
n
1 2 1 1 2 2
1 2fΒ Β=µ µ µ µ ν µ ν µ ν
ν ν ν . (48c)
Para concluirmos esta seção, notemos que as
transformações de calibre (31a)-(31b), ou seja
, ,
,
x t x t
c t
G x t10 0
2
2
Α Α= −l v v
v
^ ^
^
h h
h
(49a)
e
, , ,x t x t G x t4Α Α= +lv v v v v v^ ^ ^h h h, (49b)
podem ser escritas na forma covariante
,G x t2Α Α= −µ µ µ
l v^ h. (50)
A condição de calibre de Lorentz (eq. (32b)) é
escrita como um escalar de Lorentz:
,
,
0 0x t
c t
x t1
0
&$d
2
2
2Α
Α
Α+ = =µ
µv v v
v
^
^
h
h
. (51)
4. Lagrangeana de Campos
de Calibre Clássicos
Nesta seção aplicaremos o Princípio de
Hamilton a campos clássicos. Exemplificaremos
essa aplicação considerando campos de calibre de
Maxwell e de Maxwell-Chern-Simons. Os cam-
pos de Maxwell são aqueles que até este momento
temos chamado de campos eletromagnéticos (luz),
enquanto os campos de calibre de Maxwell-Chern-
Simons só existem (se existirem) quando estamos
em dimensão espaço-temporal ímpar.
Para uma partícula, associamos a cada trajetória
um número através da definição da ação (eq. (6)):
t
t
0
f
0
= o^ ^ ^^h h h h6 @ # . (52)
No caso de partícula, o único parâmetro da
trajetória é o tempo. Entretanto, no caso de cam-
pos, como por exemplo os campos eletromagné-
ticos que discutimos na seção 2, as coordenadas
espaciais são parâmetros assim como o tempo. De
forma análoga ao sistema de uma partícula, quere-
mos associar a cada configuração do campo, que
evolui num intervalo de tempo fixo, um número a
que chamamos de ação.
Para simplificar a discussão vamos supor um
único campo que denotaremos por ,x tΦ v^ h.
A ação associada a cada configuração é defi-
nida como:
; , , , , ; ,S t t dt d x x t x t x tLf
t
t
V
0
3
f
0
2Φ Φ Φ= µ
3
v v v v^ ^^ h h h6 @ # # , (53)
onde L é a densidade de lagrangeana associada ao
campo. Em (53) integramos sobre todos os pontos
do espaço uma vez que os campos têm uma depen-
dência espacial. Além da dependência na derivada
temporal, L em geral depende também das deriva-
das espaciais.
No Apêndice B mostramos como derivar a
equação de Euler-Lagrange para campos clássi-
cos. Aqui nesta seção, apresentaremos apenas as
traduções dos termos que aparecem na equação de
Lagrange, que descreve o movimento de uma par-
tícula, para os termos que aparecem na equação de
Euler-Lagrange, que dão a equação dinâmica para
campos clássicos.
Um ponto importante a ser discutido é que a
ação de sistemas relativísticos é um escalar de
Lorentz. Isto por que a trajetória que uma par-
tícula percorre, vista de um dado referencial
inercial, é o mínimo da ação neste referencial. A
trajetória da mesma partícula vista de outro refe-
rencial inercial tem que ser aquela que é obtida
da primeira por uma transformação de Lorentz, e
portanto tem que também ser um mínimo da ação.
Logo, o valor da ação associada a trajetória que a
partícula percorre num dado referencial inercial
tem que ser um escalar de Lorentz de maneira a
independer da particular forma que a trajetória (ou

configuração) tem em cada referencial inercial.
Como o produto dtd x3
v é um escalar de Lorentz, a
densidade de lagrangeana L também tem que ser
um escalar de Lorentz.
Obtemos a equação de Euler-Lagrange a par-
tir da equação de Lagrange fazendo as seguintes
substituições:
,x
L
x t
L
$
2
2
2
2
Φ v^ h
(54a)
.
dt
d
x
L
t
t
x
t
L L
L
i
i 1
3
$
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
Φ Φ
Φ
+ =
= µ
µ
=o
c
f c
f
^
m
p m
p
h
/
(54b)
A evolução no tempo dos campos clássicos é
dada pela equação de Euler-Lagrange (eq. (B.16))
0
L L
2
2
2
2 2
2
Φ Φ
− =µ
µ^ h
. (54c)
4.1. Campos eletromagnéticos:
Campos de Maxwell
Antes de começarmos a discutir a densidade de
lagrangeana L a partir da qual obtemos as equa-
ções de Maxwell (24a-d), discutiremos o tensor
covariante de ordem 2 definido como [8]:
, , , , , , , ,F x t A x t A x t 0 1 2 32 2 µ ν= − =µν µ ν ν µv v v^ ^ ^h h h , (55)
onde ,
c t
1
42
2
2
=µ
vc m e , , , ,x t x t A x t0
Α Α= −µ v v v v^ ^ ^^h h hh.
Note que Fμν é um tensor antisimétrico pela troca
dos índices (Fμν = − Fνμ). Portanto, dos 16 elemen-
tos do tensor9
Fμν, temos 4 elementos nulos (os ele-
mentos da diagonal são nulos) e apenas 6 elemen-
tos podem ser distintos entre si. Relacionaremos
esses 6 elementos distintos com as componentes
dos campos eletromagnéticos ,x tΕv v^ h e ,x tΒv v^ h,
9. Usamos a convenção de que os índices gregos: α, μ, τ, ...
assumem os valores 0,1,2,3, enquanto os índices arábicos: i,
j, k, ... assumem os valores 1,2,3, ou seja
, , , , , , , , , , ,e i j k0 1 2 3 1 2 3f fµ ν τ = = .
,
,
, , , , ,
, ,
.
F
c t
A
x
A
x t
c t
x t
x t i
F
x
A x t
x
A x t
1 1
1 2 3
i
i
i
i
i
ij j
i
i
j
0
0
0
2
2
2
2
d
2
2
2
2
2
2
Α
Α
Ε
=− − = − −
= =
= −
v v
v v
v
v v
^
^
^
^ ^
h
h
h
h h
= G
(56)
Comparando a expressão acima para Fij,
com a expressão (27b) para o campo magnético,
, , , , ,B x t x t k 1 2 3k
k kij i
j
4# 2εΑ Α= = =v v v v^ ^^h hh , obte-
mos que
, , , , .F B x t F B x t F B x tz y x12 13 23=− = =−v v v^ ^ ^h h h (57)
Portanto, o tensor Fμν escrito em termos das
componentes dos campos elétrico e magnético
fica,
F
E
E
E
E
B
B
E
B
B
E
B
B
0
0
0
0
x
y
z
x
z
y
y
z
x
z
y
x
=
−
−
− −
−
−µν
J
L
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
OO
. (58)
O tensor de Levi-Civita, kijε , está definido no
Apêndice A.
Exercício:
Determine os elementos do tensor Fμν
. Utilize a
eq.(48b) para obter as componentes do tensor Fμν
a partir da expressão (58).
A densidade de lagrangeana dos campos ele-
tromagnéticos tem que ser um escalar de Lorentz.
Queremos representar através da densidade de
lagrangeana, os campos eletromagnéticos e sua
interação com partículas que possuem carga
elétrica, de maneira que as equações de Euler-
Lagrange nos dêm as equações de Maxwell.
Seja jμ
a 4-densidade de corrente elétrica,
, , , ,j x t c x t x t.ρ=µ
v v v v^ ^ ^^h h hh, onde ,x tρ v^ h é a densi-
dade de carga elétrica e ,x t.v v^ h a densidade de cor-
rente elétrica. A densidade de lagrangeana para os
campos eletromagnéticos (campos de Maxwell)
interagindo com matéria carregada eletricamente
é [9]:

, A F F
c
j
16
1 1
L u2
π
Α Α=− −µ ν µ µν
µν µ
^ h (59a)
E B
c
j
8
2 2
0
$
π
ρΑ
Α
=
−
− +
v v v v
. (59b)
Exercício:
Usando o tensor Fμν na forma (58) mostre que:
F F B E2
2 2
= −µν
µν v v^ h.
Verifiquemos se a densidade de lagrangeana
L (eq.(59a)) substituída na equação de Euler-
Lagrange (eq.(54c)) dá as equações de Maxwell
(24a)-(24d). A equação de Euler-Lagrange no caso
dos campos de Maxwell fica,
0, 0,1,2,3.
L L
2
2
2
2 2
2
α
Α Α
− = =
α α
x
x^ h
(60)
Calculemos os termos que aparecem no l.e. da
eq. (60).
O primeiro termo do l.e. da eq.(60) fica,
F F
c
j A
A
F
F F
A
F
c
j A
16
1 1
16
1 1
L
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
Α Α
Α
= − −
=− + −
α α
µν
µν
µ
µ
α
µν
µν
µν
α α
µ
µ
µν
;
; 6
E
E @.
(61a)
Como
F A A
A
F
A
F
0&2 2
2
2
2
2
ν= − = =µ ν µ
α α
µν
µν
µν
. (61b)
Além disso10
c A j A c j A
A
c j
c A j A c j
1 1 1
1 1
&
2
2
2
2
2
2
- = - = -
- = -
a
n
n n
a
n nd
a
n
n a
n
a
7
7
A
A .
(61c)
Portanto, temos que
c
j
1L
2
2
Α
=−
α
α
. (61d)
10. Devemos notar que pela relação (48a), temos que:
j A g j g A g g j A j A j AT T δ= = = =µ
µ
µα
α µ
µα
µτ α
α
α α
α
x x
x .
A troca da posição dos índices que estão sendo contraídos
não altera o resultado.
Calculando as derivadas de L em relação a
AT2 α
.
A A
F F
c
j A
A
F
F F
A
F
c A
j A
F
A
F
c
j
A
A
16
1 1
16
1 1
8
1 1
L
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
π
π
= − −
=− + −
=− −−
α α
µν
µν
µ
µ
α
µν
µν
µν
α
µν
α
µ
µ
µν
α
µν
µ
α
µ
x x
x x x
x x
^ ^
^ ^ ^
^ ^
h h
h h h
h h
;
= 6
E
G @

(62a)
Entretanto, como
.
F A A
A
F
A
A
A
A
A
F
&
&
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
δ δ δ δ
= − = −
= −
µν µ ν ν µ
α
µν
α
µ ν
α
ν µ
α
µν
µ ν
α
ν µ
α
x x x
x
x x
^ ^
^
^
^
^
h h
h
h
h
h

(62b)
Consequentemente temos que
F
A
F
F
F F F
8
1
8
1
8
1
4
1
2 2
2
π π
δ δ δ δ
π π
− =− −
=− − =−
µν
α
µν
µν
µ ν
α
ν µ
α
α α α
x
x x
x x x
^
^
^
h
h
h , (62c)
uma vez que F αx
é um tensor anti-simétrico.
Além disso temos que
0
c
j
A
A1
2 2
2
− =µ
α
µ
x^ h
. (62d)
Substituindo os resultados (62c)-(62d) em
(62a) decorre que
A
F F
4
1
4
1L
2 2
2
π π
=− =
α
α ατ
x
x
^ h
. (62e)
Usando os resultados (61d) e (62e) a equação
de Euler-Lagrange para os campos eletromagnéti-
cos fica:
, 0,1,2,3F
c
j
4
2
π
α= =α α
x
x
. (63)
Observando atentamente a eq. (63) notamos
que ela representa apenas 4 equações, enquanto
que as equações de Maxwell (24a)-(24d) são 8
equações!!!
Vejamos quais das equações de Maxwell são
descritas pela eq. (63). Na verdade como do l.d.

da eq.(63) temos jμ
, então são as equações inomo-
gêneas de Maxwell (24a) e (24d) que são repro-
duzidas pelas suas componentes. Para vermos isto,
reescrevemos a eq.(63) em termos das componen-
tes do tensor Fμν:
a) α = 0
, ,F x t x t4j
j0
2 πρ=v v^ ^h h, (64a)
onde o índice j, sobre o qual estamos somando
implicitamente, assume os valores: j = 1, 2, 3.
Mas,
,
, , ,
, .
F x t
x
E x t
y
E x t
z
E x t
E x t
j
j
x y z
0
$
2
2
2
2
2
2
2
d
= + +
=
v
v v v
v v v
^
^ ^ ^
^
h
h h h
h
(64b)
A componente α = 0 da eq.(63) nos dá a lei de
Gauss:
, 4 ,E x t x t$d πρ=v v v v^ ^h h. (64c)
b) α = 1
c t
F
y
F
z
F
c
j
1 4
x
01 21 31
2
2
2
2
2
2 π
+ + = . (65a)
Reescrevendo os elementos de Fμν
em termos
dos campos eletromagnéticos, a eq. (65a) passa a
ser
, , ,
,
, ,
,
.
c t
E x t
y
B x t
z
B x t
c
j x t
B x t
c
j x t
c t
E x t
1 4
4 1
x z y
x
x x
x
&
& #
2
2
2
2
2
2
d
2
2
π
π
− + − =
= +
v v v
v
v v v v
v
^ ^ ^
^
^^ ^
^
h h h
h
hh h
h

(65b)
Procedendo de forma análoga, para α = 2 e
α = 3 encontramos que
c) α = 2
, ,
,
B x t
c
j x t
c t
E x t4 1
y y
y
#d
2
2π
= +v v v v
v
^^ ^
^
hh h
h
, (65c)
d) α = 3
, ,
,
B x t
c
j x t
c t
E x t4 1
z z
z
#d
2
2π
= +v v v v
v
^^ ^
^
hh h
h
. (65d)
As componentes espaciais (α = 1, 2, 3) da
eq. (63) nos dão a lei Ampére corrigida11
, ,
,
B x t
c
j x t
c t
E x t4 1
d
2
2π
# = +v v v v v
v v
^ ^
^
h h
h
. (65e)
Como obter as equações homogêneas de
Maxwell (24b) e (24c)?
Na verdade as equações homogêneas de
Maxwell decorrem da definição do tensor Fμν em
termos do 4-potencial vetor Aμ, ou seja,
F A A2 2= −µν ν ν µµ , (66)
que satisfaz a seguinte identidade:
F F F 02 2 2+ + =α µν µ να ν αµ , (67)
válida para qualquer configuração ,x tΑµ v^ h.
A identidade (67) é conhecida como a identi-
dade de Bianchi.
Exercício:
Usando a expressão (66) para o tensor Fμν mostre a
identidade de Bianchi (67).
Para obtermos as equações de Maxwell (24b) e
(24c) a partir das componentes da eq. (67), calcule-
-mo-la explicitamente para conjuntos distintos de
valores de (α, μ, ν):
a) α = 0, μ = 1, ν = 2
, .
F F F
c t
B
x
E
y
E
E x t
c t
B
0
1
0
1
z y x
z
z
0 12 1 20 2 01 &
& #
2 2 2
2
2
2
2
2
2
d
2
2
+ + = − − + =
=−v v v^^ hh

(68a)
b) α = 0, μ = 1, ν = 3
, .
F F F
c t
B
x
E
y
E
E x t
c t
B
0
1
0
1
y z x
y
y
0 13 1 30 3 01 &
& #
2 2 2
2
2
2
2
2
2
d
2
2
+ + = − + =
=−v v v^^ hh

(68b)
11. A lei de Ampére original é: B
c
j
4
d
π
# =v v v. Entretanto,
Maxwell adicionou a esta relação o termo de corrente de des-
locamento
c t
E1
2
2v
de forma a fechar de forma auto-consistente
as que hoje são conhecidas como as leis de Maxwell [10].

c) α = 0, μ = 2, ν = 3
, .
F F F
c t
B
y
E
z
E
E x t
c t
B
0
1
0
1
x z y
x
x
0 23 2 30 3 02 &
& #
2 2 2
2
2
2
2
2
2
d
2
2
+ + = − − + =
=−v v v^^ hh

(68c)
d) α = 1, μ = 2, ν = 3
. , .
F F F
x
B
y
B
z
B
B x t
0 0
0
x y z
1 23 2 31 3 12 &
&
2 2 2
2
2
2
2
2
2
d
+ + = − − − =
=v v v^ h

(68d)
Em resumo, as eqs. (68a)-(68c) nos dão a lei
de Faraday
,
,
E x t
c t
B x t1
d
2
2
# =−v v v
v v
^
^
h
h
(69)
e, a eq. (68d) nos dá a equação de Gauss para o
campo magnético,
, 0B x t$d =v v v^ h . (70)
A eq.(70) representa a ausência de monopólos
magnéticos nas equações de Maxwell.
Portanto, a partir da densidade de lagrangeana
(59a)/(59b) e da definição do tensor Fμν obtemos
todas as equações de Maxwell (24a)-(24d).
Todos nós já ouvimos falar na conservação
da carga elétrica. Vamos mostrar que essa lei de
conservação é uma consequência das equações de
Maxwell (eqs. (24a)-(24d) ou (63)).
Usando as equações de Maxwell escrita na
forma covariante (eq.(63)),
, 0,1,2,3F
c
j
4
2
π
α= =α α
x
x
, (71)
calculamos a sua derivada em relação a xα, e soma-
mos sobre α, de forma que
F
c
j
4
2 2 2
π
=α
α
α
α
x
x
. (72a)
Como os índices α e x no l.e. da eq. (72a) são
índices mudos (índices sobre os quais estamos
somando), então podemos mudar o nome dessas
variáveis, de maneira que se fazemos a mudança de
variáveis: ?α x, o l.e. da eq. (72a) não se modi-
fica, ou seja,
,
F F F F
F 0&
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
= =− =−
=
α τ
τα
α
ατ
τ α
τα
α τ
τα
α τ
x
τα

(72b)
onde usamos que 2 2 2 2=α αx x mas que F F=−α ατx
.
Consequentemente podemos escrever a eq.
(72a) como sendo
, 0
,
, 0j x t
t
x t
j x t& $2
2
2
d
ρ
= + =α
α
v
v
v v v^
^
^h
h
h , (72c)
que nos dá a lei de conservação da carga elétrica.
A partir da equação de conservação da carga elé-
trica temos que a variação da densidade de carga
elétrica na posição xv no instante t é igual a menos
o fluxo da densidade de corrente elétrica que no
instante t atravessa um volume infinitesimal que
contém o ponto xv. Para j 04$ 2v v temos um fluxo
positivo atravessando o volume infinitesimal. Essa
relação descreve a situação em que temos mais cor-
rente saindo do volume infinitesimal, que contém
o ponto xv, do que entrando. Essa quantidade maior
de corrente que sai, se dá as custas da diminuição
da densidade de cargas elétricas dentro do volume
infinitesimal que contém o ponto xv. No processo
inverso, fluxo negativo, temos um aumento de
carga elétrica em xv, que corresponde a um acú-
mulo de carga elétrica neste ponto.
A densidade de lagrangeana L (59a) não é inva-
riante sob transformações de calibre (eq. (50)) uma
vez que é proporcional a Aμ. Apesar disso as equa-
ções de movimento para os campos são invariantes
sob essas transformações. Qual o mecanismo da teo-
ria que garante a invariância das equações de movi-
mento? Vejamos como a densidade de lagrangeana
l(59a) se modifica sob transformações de calibre
, , ,A x t A x t G x t2= −µ µ µ
l v v v^ ^ ^h h h. (73)
Note que a transformação de calibre (73) corres-
ponde a dizer que todas as configurações ,A x t∝
v^ h
são modificadas, sendo que a cada uma delas é sub-
traído o 4-gradiente da mesma função ,G x tv^ h.

A densidade de lagrangeana (59a) sob a trans-
formação (73) fica:
,A A F F
c
j A
F F
c
j A
c
j G
16
1 1
16
1 1 1
L 2
2
π
π
=− −
=− − +
µ ν µ µν
µν
µ
µ
µν
µν
µ
µ
µ
µ
l l l l l^ h
. (74a)
Exercício:
Os elementos do tensor Fμν (eq.(58)), são as com-
ponentes dos campos físicos ,E x tv v^ h e ,B x tv v^ h. Os
campos físicos são invariantes sob a transforma-
ção de calibre (73).
Prove que F F=µν µνl e, portanto, que F F F F=µν
µν
µν
µν
l l .
Usando a conservação da carga elétrica, eq.
(72c), temos que
, , , ,
, ,
, , .
c
j x t G x t
c
j x t G x t
c
G x t j x t
c
j x t G x t
1 1
1
1
2 2
2
2
=
=
−
−
µ
µ µ
µ
µ
µ
µ
µ
v v v v
v v
v v
^ ^ ^ ^^
^ ^
^ ^^
h h h hh
h h
h hh

(74b)
Usando o resultado (74b) em (74a), obte-
mos que a densidade de lagrangeana dos campos
de Maxwell se transforma sob transformação de
calibre como
, ,
, , .
A A
c
j x t G x t
1
L L' '
2 2
2
Α Α= +
+
µ ν µ µ ν µ
µ
µ v v
^ ^
^ ^^
h h
h hh
(74c)
Vemos que a densidade de lagrangeana dos
campos eletromagnéticos só é invariante sob trans-
formação de calibre na ausência de partículas com
carga elétrica. No entanto, na presença de cargas e
correntes elétricas, a densidade de lagrangeana sob
uma transformação de calibre se modifica por uma
derivada total. O fato da densidade de lagrangeana
se modificar, sob uma transformação de calibre,
por uma derivada total, é consequência da lei de
conservação da carga elétrica.
Da eq.(53) temos que a ação associada a confi-
guração do 4-potencial vetor é,
; , , ; , .S A t t dt d x A A x tLf
t
t
V
0
3
f
0
2=µ µ ν µ
3
v v^ h6 @ # # (75a)
A ação associada aos campos A’μ obtidos de Aμ
a partir da transformação de calibre (73) é
; , , ; ,S A t t dt d x A A x tLf
t
t
V
0
3
f
0
2=µ µ ν µ
3
l l l lv v^ h6 @ # # (75b)
Utilizando-se o resultado (74c), relacionamos
S’[A’μ] e S[Aμ]
; , , ; ,
, ,
; , , ,
S A t t dt d x A A x t
c
dt d x j x t G x t
S A t t
c
dt d x j x t G x t
1
1
Lf
t
t
V
t
t
V
f
t
t
V
0
3
3
0
3
f
f
f
0
0
0
2
2
2
=
=
+
+
+
µ ν µ
µ
µ
µ
µ
µ
3
3
3
µl l v v
v v v
v v v
^
^ ^^
^ ^^
h
h hh
h hh
6
6
@
@
# #
# #
# # . (75c)
Entretanto,
, ,
, ,
, ,
, , , ,
, ,
, , , , .
c
dt d x j x t G x t
d x dt
t
x t G x t
c
dt d x j x t G x t
d x x t G x t x t G x t
c
dt G x t j x t ds
1
1
1
t
t
V
V t
t
t
t
V
V
f f
t
t
S
V
f f
3
3
3
3
0 0
3
0 0
f
f
f
f
0
0
0
0
4$
$
2
2
2
ρ
ρ ρ
ρ ρ
=
= +
+
= − +
+
= −
µ
µ
3
3
3
3
3
3
v v v
v v v
v v v v v
v v v v v
v v v v
v v v v v
^ ^^
^ ^^
^ ^^
^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
h hh
h hh
h hh
h h h h
h h
h h h h
6
6
@
@
# #
# #
# #
#
#
#
#

(75d)
Para passarmos da primeira linha para a
segunda linha da expressão anterior utilizamos o
Teorema de Gauss (eq. (A.9)). Para escrevermos o
resultado final (75d) utilizamos a hipótese de sis-
tema fechado e portanto ,j x t 0=v v^ h , em qualquer
ponto da superfície S∞ que delimita o volume V∞.
Finalmente, podemos escrever que
; , ; ,
, , , ,
S A t t S A t t
f f
f f
V
0 0
3
0 0ρ ρ
= +
+ −
µ µ
3
l l
v v v v v^ ^ ^ ^h h h h
6 6
6
@ @
@# . (76)
A segunda integral que aparece do l.d. da
expressão (76) é a mesma para qualquer configu-
ração de Aμ ,x tv^ h. Portanto, as configurações que
correspondem ao mínimo de S’[A’μ] são aquelas
que foram obtidas de Aμ por uma transformação
de calibre e que são as configurações que dão os
mínimos de S[Aμ]. Como Aμ e A’μ estão ligadas
por uma transformação de calibre, então ambas as

configurações geram os mesmos campos eletro-
magnéticos. Como consequência da ação variar da
mesma quantidade para todas as configurações, os
4-potenciais vetores que minimizam cada uma das
ações, apesar de diferentes, representam os mes-
mos campos físicos. Por tudo isso, as equações de
movimento obtidas pela aplicação do Princípio de
Hamilton à densidade de lagrangeana (59a) são
invariantes sob transformações de calibre.
Cabe ressaltar mais uma vez que foi funda-
mental para demonstrar a invariância da equação
de movimento dos campos eletromagnéticos sob
transformações de calibre a lei de conservação da
carga elétrica.
Para concluir esta seção, consideraremos as
equações de Maxwell numa região distante da
região onde estão as cargas e correntes elétricas
que geraram os campos eletromagnéticos. Na
região em que estamos interessados em estudar a
evolução no tempo dos campos eletromagnéticos,
as equações de Maxwell são:
,E x t 04$ =v v v^ h , (77a)
, 0B x t4$ =v v v^ h , (77b)
,
,
E x t
c t
B x t1
4#
2
2
=−v v v
v v
^
^
h
h
, (77c)
,
,
B x t
c t
E x t1
4#
2
2
=v v v
v v
^
^
h
h
. (77d)
Para obtermos a equação de movimento das
componentes do campo elétrico ,E x tv v^ h calculamos
o rotacional da eq. (77c),
, ,E x t
c t
B x t
1
04# 4# 4
2
2
#− =v v v v v v v^^ ^^hh hh . (78a)
Usando a relação (A.7) e substituindo a
eq. (77d) na expressão anterior, obtemos que
, ,
,
,
.
E x t E x t
c t
E x t
c t
E x t
1
1
0
2
2
2 2
2
2 2
2
&4 4$ 4
4
2
2
2
2
−
−
=
=
−v v v v v v
v v
v v
^^ ^
c ^
^
hh h
m h
h

(78b)
Utilizamos que ,E x t 04$ =v v v^ h para escrevermos
(78b) na sua forma final. A eq. (78b) é válida para
cada componente do campo elétrico:
, , , ,
c t
E x t i
1
0 1 2 3i2
2 2
2
4
2
2
− = =vc ^m h . (78c)
Usamos a notação: E1 = Ex,E2
= Ey e E3
= Ez.
O operador
c t
12
2 2
2
4
2
2
−c m é igual a menos o ope-
rador d’Alambertiano 4^ h que definimos na eq.
(47a). Usando a notação covariante do operador
d’Alambertiano (eq. (47b)), a equação de movi-
mento das componentes do campo elétrico livre fica:
,E x t 0i
2 2 =µ
µ
v^ h . (78d)
Procedendo de forma análoga, mas agora
usando as eqs. (77d) e (77c) obtemos as mesmas
equações para as componentes do campo magné-
tico livre,
, ,
c t
B x t B x t
1
0 0i i2
2 2
2
&4
2
2
2 2− = =µ
µ
v vc ^ ^m h h . (79)
Estudemos agora as soluções de onda plana
da eq. (78c), ou equivalentemente, da eq. (79).
Supomos que essas equações têm solução da forma
,E x t ei i i k x t
ε= $ ω−
v v v
^ ^
h h
, (80a)
onde εi
é uma constante que dá a amplitude do
campo elétrico, kv é o vetor de onda que determina
a direção e o sentido em que a onda plana se pro-
paga e ω sua frequência angular. No entanto, não é
para qualquer valor de kv e ω que a solução tenta-
tiva (80a) é solução da equação diferencial (78c).
Substituimos a solução (80a) em (78c) para encon-
trarmos que relação kv e ω devem satisfazer para
que (80a) seja sua solução. Assim,
,
c t
E x t e k
c
1
0 0i i i k x t2
2 2
2
2
2
2
&4
2
2
ε
ω
− = − =$ ω−
v vv v
c ^ c^
m h mh
. (80b)
Como a igualdade (80b) tem que ser verdadeira
em todos os pontos do espaço e em todos os ins-

tantes, então a única forma de garantirmos isto é
impondo que
c
k2
2
2ω
= v . (80c)
A relação de dispersão (80c) é satisfeita por
partículas de massa zero [4].
Podemos nos perguntar: como a densidade de
lagrangeana (59a) deve ser modificada para que a
luz possua massa?
Em 1936, A. Proca foi o primeiro a propor
uma modificação na densidade de lagrangeana
(59a) para que a luz tivesse massa. A densidade de
lagrangeana [7]
,A A F F
c
j A A A
16
1 1
8
LProca 2
π π
µ
=− − +3ν ν
ν α
α
α
x x x
x
^ h , (81a)
é conhecida como a densidade de lagrangeana de
Proca.
A equação de movimento obtida a partir de
(81a) é,
0,1,2,3F A
c
j
42
2 µ
π
α+ = =α α α
x
x
. (81b)
A eq.(81b) escrita em termos dos 4-potenciais
A∞, no calibre de Lorentz (∂αAα
= 0) e na ausência
de 4-correntes externas, fica
, , 0 0,1,2,3
c t
A x t A x t
12
2 2
2
2
4
2
2
µ α− − = =α αv vc ^ ^m h h . (82a)
A solução tipo onda plana (eq.(80a)),
,A x t ei k x t
Α= $α α ω−
v v v
^ ^
h h
, (82b)
substituída na eq. (82a), leva a relação de dispersão:
c
k
2
2 2
2
ω
µ= +v . (82c)
A relação (82c) é igual a relação de dispersão
satisfeita por partículas livres relativísticas de
massa |μ|.
A partir da eq. (81b), vemos que a equação de
movimento obtida do modelo de Proca depende
explicitamente dos campos ,A x tα v^ h, de maneira
que ela não é mais invariante sob a transformação de
calibre (73). Com a perda da invariância de calibre,
os campos ,A x tα v^ h perdem o seu caráter auxiliar e
passam a ser campos físicos, o que vai contra o fato
de serem os campos elétrico e magnético os campos
físicos, enquanto que os 4-potencias vetorias foram
introduzidos apenas para levar em conta que campos
eletromagnéticos possuem interdependência.
Portanto, é preciso procurar outro mechanismo
que a Natureza possa ter lançado mão para dar
massa a luz, mas sem abrir mão da invariância de
calibre da teoria.
A densidade de lagrangeana dos campos de
Maxwell (campos eletromagnéticos)
,A A F F
c
j A
16
1 1
L 2
π
=− −µ ν µ µν
µν
µ
µ
^ h , (83)
pode ser escrita em qualquer dimensão espaço-
-temporal. Na seção 4.1 apresentamos os cálculos
em d=4(3+1). Entretanto, a forma da equação de
movimento não muda se consideramos dimensões
de espaço-tempo iguais a: d=2 (1+1), d=3 (2+1).
4.2. Campos de calibre de
Maxwell-Chern-Simons
Os físicos teóricos nunca estão satisfeitos com
a densidade de lagrangeana que eles têm a mão.
É parte de sua natureza especular como seria o
universo se a densidade de lagrangeana tivesse
outros termos. Que novos fenômenos a Natureza
lhe revela nestes novos termos de sua tão amada
densidade de lagrangeana?
A Teoria Eletromagnética não foge à regra de
provocar esta incansável curiosidade que os teóri-
cos possuem. A regra que temos que seguir para
tentar adicionar novos termos à densidade de
lagrangeana dos campos eletromagnéticos (eq.
(83)) é de que ela tem que continuar a ser um esca-
lar de Lorentz. Além disso, na ausência de partí-
culas que possuam carga elétrica, a densidade de
lagrangeana é invariante sob transformações de

calibre. Portanto uma ideia possível que se tem
para estender a densidade de lagrangeana (83), na
ausência de partículas carregadas eletricamente, é
adicionar-lhe o escalar de Lorentz
F Fεγναβ
γν αβ . (84a)
A lagrangeana estendida dos campos eletro-
magnéticos passaria a ser
,A A F F
c
j A g F F
16
1 1
Lest 2
π
ε=− − +γ ν γ γν
γν
γ
γ γναβ
γν αβ^ h , (84b)
onde g é uma constante e εγναβ
é o tensor de Levi-
Civita em 4 dimensões12
.
Entretanto, o termo εγναβ
FγνFαβ é igual a uma
derivada total, ou seja,
F F 2ε Ω=γναβ
γν αβ ν
ν
. (84c)
Exercício:
Mostre que: F F 2ε Ω=γναβ
γν αβ ν
ν
,
onde 2 A FεΩ =ν νγαβ
γ αβ
Lest difere da lagrangeana (83) por uma deri-
vada total. Pelo que mostramos na seção 1, densi-
dades de lagrangeanas que difiram por uma deri-
vada total geram o mesmo conjunto de equações
de movimento. Portanto, ao adicionarmos o termo
(84a) a (83) não estamos descrevendo nenhum
fenômeno físico novo. Por simplicidade, usamos a
densidade de lagrangeana (83) para descrever os
campos eletromagnéticos.
Em dimensões espaço-temporal ímpar pode-
mos definir os termos de Chern-Simons. Os termos
de Chern-Simons não são invariantes sob transfor-
mações de calibre (eq. (73)); entretanto, veremos
que as equações de movimento dos campos obti-
das, continuam invariantes mesmo com a adição
desses termos.
Neste mini-curso nos restringiremos a discutir
o termo de Chern-Simons abeliano em d=3(2+1).
12. O tensor de Levi-Civita εγναβ
é definido de forma análoga ao
tensor de Levi-Civita em 3 dimensões (Apêndice A); ε0123
=
1, assim como para todas as permutações pares dos índice
(0, 1, 2, 3) , -1 para todas as permutações ímpares dos índi-
ces (0, 1, 2, 3) e 0 se dois ou mais índices forem iguais.
Em d=3(2+1) o movimento dos campos e partícu-
las está restrito a um único plano, que chamaremos
de plano (x, y).
Adensidade de lagrangeana do termo de Chern-
Simons abeliano em d=3(2+1) é:
, ,A A F A
4
LC S v2
µ
ε=γ γ
γνα
γν α− ^ h (85)
sendo εγνα
o tensor de Levi-Civita (Apêndice A) em
3 dimensões13
.
Alagrangeana dos campos de calibre, incluindo
o termo de Chern-Simons, fica sendo
,A A F F F A
16
1
4
LG 2
π
µ
ε=− +γ ν γ γν
γν γνα
γν α^ h , (86)
que é conhecida na literatura [11-12] como a densi-
dade de lagrangeana de Maxwell-Chern-Simons. O
primeiro termo do l.d. de (86) é chamado de densi-
dade de lagrangeana de Maxwell.
A ação tem dimensão de momento angular:
S
T
ML2
=6 @ , (87)
onde M representa a dimensão de massa, L a dimen-
são de comprimento e T a dimensão de tempo.
Como todos os termos de uma expressão têm que ter
a mesma dimensão, então a partir da ação podemos
determinar em d=3(2+1) a dimensão do 4-potencial
vetor Aν e da constante de Chern-Simons μ.
Usando a expressão geral (53) da ação para
campos clássicos, temos que em d=3(2+1) a ação
para os campos de Maxwell-Chern-Simons é,
; , , , , ; , .S A t t dt d x A x t A x t x tLf
t
t
G v
V
0
2
f
0
2=γ γ γ
3
v v v v^ ^^ h h h6 @ # # (88)
A análise dimensional para se determinar a
dimensão de Aμ e μ é a seguinte:
a) a partir da densidade de lagrangeana de
Maxwell:
; .
S
T
ML
TL F F TL
L
A
A
T
M L
F
L
A
T
M
2
2 2
2
2
2
1
2
1
&
&
= = =
= = =
γµ
γµ
γ
γ γν
γ
6 6
6 6
6
@ @
@ @
@
(89a)
13. Definimos ε012
= 1.

b) as densidades de Maxwell e de Chern-
Simons têm a mesma dimensão:
F A F L2 1
&µ γ µ= =γν γν
−
6 6 6 6 6@ @ @ @ @ . (89b)
A constante de Chern-Simons μ tem dimen-
são do inverso do comprimento. O modelo de
Maxwell-Chern-Simons tem uma constante que
caracteriza um comprimento:
1
μ
, ao contrário da
teoria de Maxwell que na ausência de cargas e cor-
rentes elétricas não possui nenhuma constante com
dimensão.
O termo de Chern-Simons (85) não é invariante
sob transformações de calibre (73) uma vez que
depende diretamente de Aγ; porém, como a densi-
dade de lagrangeana LC−S se modifica sob transfor-
mações de calibre (73)?
Sob a transformação de calibre (73)
, , ,A x t A x t G x t2= −µ µ µ
l v v v^ ^ ^h h h, (90)
a densidade de lagrangeana de Chern-Simons
passa a ser
,
,
A A F A G
A A F G
4
4
L
L
C S
C S
2 2
2 2
µ
ε
µ
ε
= −
= −
γ ν γ
γνα
γν α α
γ ν γ
γνα
γν α
−
−
l l^ ^
^
h h
h . (91)
Mas
F G GF G F2 2 2ε ε ε= −γνα
γν α
γνα
α γν
γνα
α γν^ h . (92a)
Porém, como F A A2 2= −µν µ ν ν µ , então,
,
G F G A A
0
2 2 2 2 2ε ε ε= −
=
γνα
α γν
γνα
α γ ν
γνα
α γ γ6 @
(92b)
uma vez que somamos sobre os índices (α, γ) no
primeiro termo do l.d. de (92b) e sobre (α, ν) no
segundo termo da mesma expressão e εγνα
é um ten-
sor ímpar (εγνα
= −εγαν
), enquanto que 2 2α γ e 2 2α ν
são tensores pares , ,e2 2 2 2 2 2 2 2= =α γ γ α α ν ν α^ h.
Logo,
F G GF2 2ε ε=γνα
γν α α
γνα
γν^ h. (92c)
Finamente, podemos afirmar que sob uma
transformação de calibre a densidade de lagran-
geana de Maxwell-Chern-Simons se transforma
como:
, ,A A A A F G
4
L LC S C S2 2 2
µ
ε= −γ ν γ γ ν γ α
γνα
γν− −l l^ ^ ^h h h (93)
Como no caso dos campos de Maxwell a densi-
dade de lagrangeana de Maxwell-Chern-Simons se
modifica por uma derivada total sob uma transfor-
mação de calibre (90). Mostramos na seção 4.1 que
neste caso a ação que descreve o sistema gera equa-
ções de movimento invariantes sob transformações
de calibre. A grande diferença entre as duas teorias
é que a densidade de lagrangeana de Chern-Simons
não é invariante sob transformações de calibre nem
mesmo na ausência de interação com partículas.
Entretanto o que é importante é que a lagrangeana
gera equações de movimento que são invariantes
sob transformações de calibre.
Antes de discutirmos as equações de movi-
mento decorrentes da densidade de lagrangeana de
Maxwell-Chern-Simons com os campos de calibre
Aν acoplados a correntes e cargas elétricas, veja-
mos as componentes do tensor Fγν em termos dos
campos eletromagnéticos em d=3(2+1).
Como o tensor Fγν tem a mesma definição em
qualquer dimensão espaço-temporal,
, , , , , , ,F x t A x t A x t 0 1 22 2 γ ν= − =γν γ ν ν γv v v^ ^ ^h h h , (94)
em d=3(2+1) o tensor Fγν tem 3 componentes inde-
pendentes de um total de 9 elementos.
Lembramos que os elementos da diagonal do
tensor Fγν são nulos.
Os elementos independentes do tensor ,F x tγν v^ h
são:
, , , ,F x t
c t
A
x
A
E x t i
1
1 2i
i
i
i
0
0
2
2
2
2
=− − = =v v^ ^h h , (95a)
e
, ,F x t
x
A
x
A
y
A
x
A
B x t
x y
12 1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=− + = − =−v v^ ^h h. (95b)
Das expressões (95a)-(95b), vemos que em
d=3(2+1) o campo elétrico é um vetor com duas

componentes contidas no plano (x, y) enquanto
que o campo magnético é um escalar. Note que
F12 em d=4(3+1) corresponde a componente z do
campo magnético; em d=3(2+1) a componente z é
perpendicular ao plano fixado de maneira que em
d=3(2+1) o campo magnético é um escalar.
O tensor Fγν escrito na sua forma matricial
fica,
F E
E
E
B
E
B
0
0
0
x
y
x y
= −
−
−
−γν
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
. (95c)
Em resumo, temos que
, ,E x t F x t
c t
A
x
A1i
i
i
i0
0
2
2
2
2
= =− −v v^ ^h h (96a)
e
, ,B x t F x t Aij
i
j
12 2ε=− =v v^ ^h h , (96b)
onde εij
, i, j,= 1, 2, é o tensor de Levi-Civita em
duas dimensões (ε12
= 1, ε21
= −1, ε11
=ε22
= 0).
Iremos derivar agora as equações de movimento
obtidas da densidade de lagrangeana LG dos cam-
pos de Maxwell-Chern-Simons acoplados a corrente
e carga elétricas. Neste caso temos que a densidade
de lagrangeana que descreve o sistema é:
, ,A A A A
c
j A
F F F A
c
j A
1
16
1
4
1
L Lv G2 2 γ
π
µ
ε
= −
=− + −
γ γ γ ν γ
γ
γν
γν γνα
γν α γ
γ
^ ^h h
. (97)
Substituindo a densidade de lagrangeana (97)
na equação de Euler-Lagrange (eq.(60)),
0
A A
L L
2
2
2
2 2
2
− =
α α
x
x^ h
, (98)
obtemos a equação de movimento dos campos de
calibre de Maxwell-Chern-Simons na presença de
carga e corrente elétricas.
Dos resultados (61d) e (62e) temos que
A
F F
c
j A
c
j
16
1 1 1
2
2
π
− − =−
α
γν
γν
γ
γ α
c m , (99a)
.
A
F F
c
j A F
16
1 1
4
1
2 2
2
π π
− − =
α
γν
γν
γ
γ α
x
x
^
c
h
m (99b)
Além disso,
A
F A F F
4 4 42
2 µ
ε
µ
ε δ
µ
ε= =
α
λνγ
λν γ
λνγ
λν γ
α λνα
λνc m , (99c)
e
.
A
F A A
A
F
A
A
A
4 4
4
4
2
2 2
2
2 2
2
α
µ
ε
µ
ε
µ
ε δ δ δ δ
ν
ε ε
µ
ε
=
= −
= −
=
λνγ
λν γ
λνγ
γ
α
λν
λνγ
γ λ ν
α
ν λ
α
γ
αγ α γ
αγ
γ
x x
x x
x x
x
^
c
^
^
^
h
m
h
h
h

(99d)
Usamos o resultado (62b) para escrevermos a
segunda linha da expressão (99d).
Substituindo os resultados (99a)-(99d) na
eq.(98), obtemos que
0F
c
j F A
4
1
4
1
2
2
µ
ε
π
µ
ε− − − =γνα
γν
α
τ
ατ αγ
γ
x
c m . (99e)
Entretanto,
.
A A A
A A
F F
4 4
4
4 4
2 2 2
2 2
µ
ε
µ
ε ε
µ
ε
µ
ε
µ
ε
=− +
=− −
=− =−
αγ
γ
α γ
γ
αγτ
γ
α γ
γ γ
α γ
γ
αγν
γν
x
x
x
x x
x
x x
x
x
^
^
h
h (99f)
Substituindo (99f) em (99e), encontramos que
a equação de movimento dos campos de Maxwell-
Chern-Simons é
, , ,F F
c
j
4
1
2
1
0 1 22
π
µ
ε α+ = =γ
γα αγν
γν
α
. (100)
Note que as equações de movimento (100) só
dependem do 4-potencial vetor através do tensor
Fγν; logo elas são invariantes sob transformações
de calibre (90).
Reescrevendo as componentes da equação
de movimento em termos dos campos ,E x tv v^ h e
,B x tv^ h temos:

a) Lei de Gauss: α = 0
,
, 4 , 4 , .
F F x t
E x t B x t x t
4
1
2
i
i ij
ij
0 0
&
4$
2
π
µ
ε ρ
πµ πρ
+ =
− =
v
v v v v v
^
^ ^ ^
h
h h h

(101a)
b) α = 1
,
,
,
4 , ,
,
.
F F
c
j x t
c t
F
y
F
F
c
j x t
y
B x t
E x t
c
j x t
c t
E x t
4
1
2
1
4
1 1 1
4 1
01
y x
x
1 1 1
21
02
1
&
&
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
µ
ε
π
µ
πµ
π
+ =
+ − =
− = +
γ
γ γν
γν v
v
v
v v
v
^
^
^
^ ^
^
h
h
h
h h
h
= G

(101b)
c) α = 2
,
,
,
4 , ,
,
.
F F
c
j x t
c t
F
x
F
F
c
j x t
x
B x t
E x t
c
j x t
c t
E x t
4
1
2
1
4
1 1 1
4 1
x y
y
2 2 2
02 12
01
2
&
&
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
µ
ε
π
µ
πµ
π
+ =
+ + =
− + = +
γ
γ γν
γν v
v
v
v v
v
^
^
^
^ ^
^
h
h
h
h h
h
; E

(101c)
Seja kt um vetor unitário constante perpendicu-
lar ao plano (x, y). As eqs. (101b) e (101c) podem
ser reescritas como:
, ,
,
,
.
B x t k k E x t
c
j x t
c t
E x t
4
4 1
4# #
2
2
πµ
π
+ =
= +
v v t t v v
v v
v v
^^ ^
^
^
h h h
h
h
(101d)
Como a definição do tensor Fγν é a mesma que
para os campos de calibre de Maxwell, a eq. (67)
(identidade de Bianchi) continua sendo válida,
0F F F2 2 2+ + =α γν γ να ν αγ . (102a)
A única escolha que temos para os três índices
α, γ, ν distintos é: α = 0, γ = 1 e ν = 2.
Neste caso a identidade de Bianchi fica,
,
,
.
F F F
x
E
y
E
c t
B
E x t
c t
B x t k
0
1
1
y x
0 12 1 20 2 01 &
&4#
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
+ + = − =−
=−v v v
v t
^
^
h
h

(102b)
Em resumo temos que as equações que gover-
nam os campos de calibre Maxwell-Chern-Simons
são:
, 4 , ,E x t B x t x t44$ πµ πρ− =v v v v v^ ^ ^h h h, (103a)
, ,
,
,
,
B x t k k E x t
c
j x t
c t
E x t
4
4 1
4# #
2
2
πµ
π
+ =
= +
v v t t v v
v v
v v
^^ ^
^
^
h h h
h
h
(103b)
,
,
E x t
c t
B x t k1
4#
2
2
=−v v v
v t
^
^
h
h
, (103c)
onde kt é um vetor unitário constante perpendicular
ao plano (x, y). Da lei de Gauss (eq. (103a)) vemos
que, para os campos de Maxwell-Chern-Simons,
as cargas elétricas são fontes tanto para o campo
elétrico quanto para o campo magnético.
Para μ = 0 em (103a)-(103c) re-obtemos as
equações de Maxwell em d=3(2+1).
Mostraremos agora que a eq.(100) também leva
a conservação da 3-densidade de corrente elétrica.
A equação de movimento dos campos de
Maxwell-Chern-Simons é (eq.(100))
, , ,F F
c
j
4
1
2
1
0 1 22
π
µ
ε α+ = =γ
γα αγν
γν
α
, (104)
de forma, que calculando a derivada covariante ∂α
de ambos os lados da expressão anterior obtemos:
, 0,1,2F F
c
j
4
1
2
1
2 2 2 2
π
µ
ε α+ = =α γ
γα αγν
α γν α
α
. (105a)
Em (72b) mostramos que o primeiro termo l.e.
da expressão acima é zero. Analisemos o segundo
termo do l.e. da eq.(105a),
.
F A A
2 2
0
2 2 2 2 2
µ
ε
µ
ε= −
=
αγν
α γν
αγν
α γ ν α ν γ^ h (105b)
Portanto, das eqs. (72b) e (105b) decorre a con-
servação da 3-densidade de corrente elétrica:
, 0
,
,j x t
t
x t
j x t 0& 4$2
2
2ρ
= + =α
α
v
v
v v v^
^
^h
h
h . (105c)
As equações de Maxwell-Chern-Simons
(103a)-(103c) também acoplam os campos elétrico
e magnético. No caso de campos livres (ausência

de carga e corrente elétricas) as equações desses
campos podem ser desacopladas. O desacopla-
mento das equações dos campos físicos livres fica
mais simples se definimos o dual do tensor Fαν,
, ,F x t F x t
2
/
εν
ναγ
αγ
u v v^ ^h h (106)
Exercício:
Usando o fato de que o tensor εναγ
é anti-simétrico
pela troca de dois índices, εναγ
= −εανγ
, e que Fαγ =
∂αAγ − ∂γAα, mostre que , 0.F x t2 =ν
νu v^ h
A relação (106) pode ser invertida usando a
identidade:
.ε ε δ δ δ δ= −ανβ
αγ
ν
γ
β ν β
γx x x (107)
Para isso basta multiplicar ambos os lados da
eq. (106) por ενγλ e somar sobre o índice ν que
obtemos
, , .F x t F x tε=γλ γλν
ν
v u v^ ^h h (108)
Exercício:
Mostre a igualdade: .ε ε δ δ δ δ= −ανβ
αγτ
ν
γ
β ν β
γx x
Usando a definição (106) escrevemos as com-
ponentes do vetor dual em termos das componen-
tes do campos elétrico e magnético,
,F F F F F B
2
10 021
12
012
21 12
0
&ε ε= + = =−u u6 @ (109a)
,F F F F F E
2
1
y
1 102
02
120
20 20
1
&ε ε= + = =−u u6 @ (109b)
.F F F F F E
2
1
x
2 201
01
210
10 01
2
&ε ε= + = =u u6 @ (109c)
Portanto, o vetor dual ao tensor Fγν tem
componentes
, , , , , , .F x t B x t E x t E x ty x= − −νu v v v v^ ^ ^ ^^h h h hh (109d)
Para desacoplarmos as equações dos campos
livres, consideremos a eq. (104) na ausência de
partículas carregadas (jα
= 0),
0 0F F F F
4
1
2 4
1
&2 2
π
µ
ε
π
µ+ = + =γ
γα αγν
γν γ
γα αu . (110a)
Usando a eq. (108) para reescrever a equação
dos campos (110a) em termos do vetor dual Fαu ,
temos então que
0F F
4
1
2
π
ε µ+ =γαλ
γ λ
αu u . (110b)
Multiplicando ambos os lados da eq. (110b) por
εαντ, somando sobre o índice α e usando a igualdade
(107) obtemos que
.
F F
F F F
4
1
0
4
1
0
&
&
2
2 2
π
ε ε µε
π
µ
+ =
− + =
αν
γαλ
γ λ αντ
α
ν ν ν
x
x x x
u u
u u6 @
(110c)
Derivando (110c) em relação a ∂ν
e somando
sobre o índice ν, temos que
0.F F F
4
1
2 2 2 2 2
π
µ− + =ν
ν ν
ν ν
νx x x
u u6 @ . (110d)
No entanto, usando que 0F2 =ν
ν
u e a eq. (110a),
a equação anterior é reescrita como:
, ,
F F
F x t
4
1
4 0
4 0
2
2
&
&
2 2
4
π
πµ
πµ
− − =
+ =
ν
ν x x
x
u u
u v^^ ^h h h
(110e)
onde x = 0, 1, 2.
Devemos lembrar que as componentes do vetor
dual Fx
u são os campos físicos ,E x tv v^ h e ,B x tv^ h
A eq. (110e) é a equação dos campos físicos
livres de Maxwell-Chern-Simons.
Apresença do termo de Chern-Simons na teoria
acarreta algumas modificações em relação a teoria
de Maxwell pura. Para vermos isto, consideremos
a equação de movimento dos campos livres de
Maxwell-Chern-Simons (eq. (110e)),
, 0
,
E x t
c t
E x t
4
1
4 0
i
i
2
2
2 2
2
2
&
& 4
2
2
4 πµ
πµ
+ =
− − =
v
v
^^ ^
^c ^
h h h
h m h . (111a)

Como no caso dos campos de Maxwell, vamos
procurar soluções de ondas plana para a eq. (111a),
ou seja,
, , , ,E x t e l 1 2.l l l k x t
ε= =ω−
v v v
^ ^
h h
(111b)
onde εl
é uma constante que dá a amplitude do
campo elétrico, kv é o vetor de onda que determina
a direção e o sentido em que a onda plana se pro-
paga e ω a sua frequência angular. Substituímos
(111b) em (111a) para saber que relação kv e ω
devem satisfazer para que a onda plana (111b) seja
solução dos campos livres de Maxwell-Chern-
Simons em todos os pontos do espaço e em todos
os instantes. Assim,
0e k
c
4l i k x t 2
2
2
2
ε
ω
πµ− + − =$ ω− vv v
^c^
h mh
. (111c)
Para que a igualdade anterior seja verdadeira
para qualquer posição xv e em qualquer instante t,
temos que ter
c
k 42
2
2 2ω
πµ= +v ^ h . (111d)
Esta relação de dispersão é satisfeita por par-
tículas que possuem massa. A partir da (111d) o
valor da massa dos campos físicos de Maxwell-
Chern-Simons é:
m
c
4
c s
'π
µ=− , (112)
sendo
h
2
'
π
= e h é a constante de Planck14
.
Os campos de Maxwell-Chern-Simons pos-
suem massa, mas apesar disso, a teoria é invariante
sob transformações de calibre (90).
Esse mecanismo de gerar massa para os cam-
pos de calibre sem abrir mão da invariância de
calibre da teoria, é certamente uma das caracterís-
ticas mais apreciadas desse modelo.
14. Veja a Referência [4] para saber como relacionar a eq.
(111d) e a massa da partícula. O valor da constante de
Planck é: h = 6, 626 × 10−34
Jseg.
A partir da eq. (105a), após algumas mani-
pulações algébricas, mostra-se que na pre-
sença de carga elétrica pontual estática
, , , )x t x j x t 0ρ ρδ= =v v v v^ ^^ ^h hh h a equação do campo
magnético é:
4 B x x42 2 2
4 πµ π µρδ− =v v^ ^ ^ ^^ h h h h hh, (113)
sendo ρ uma constante que dá a intensidade da den-
sidade de carga elétrica em x 0=v .
A solução de (113) nos dá a função de Green
[13] da equação do campo magnético e permite
determinar B xv^ h para qualquer distribuição xρ v^ h.
Usando a transformada de Fourier do campo é
simples mostrar que a solução da equação diferen-
cial não-homogênea (113) é:
,
B x
d k
k
e
r
e para r
4
2 4
2
2
4
1
ik x
r
2
2
2
2 2
4
2
1
+ &
π µ
π πµ
ρ
πρ
µ
π µ
=−
+
$
π µ
−
−
v
v
v
v v
^ ^
^ ^
c
h h
h h
m
#
, (114)
sendo que r x= v .
Exercício:
Seja B ku v^ h a transformada de Fourier de B xv^ h
definida como:
B x d k B k e
2
1 ik x
2
2
π
= $−
v v u v v v
^
^
^h
h
h# .
A transformada de Fourier da função δ-Dirac em
duas dimensões espaciais é
.x d k e
2
1 ik x
2
2
δ
π
= $−
v v v v
^
^
h
h
#
Mostre que a eq.(113) escrita no espaço dos kv é
4
.
k B k
B k
k
4
4
4
2 2 2
2
2 2
&
&
πµ π µρ
π µ
πµ
ρ
+ =−
=−
+
v u v
u v
v
^^ ^ ^
^ ^
^
h h h h
h h
h
A presença da massa 4πμ no denominador
da eq. (114), faz com que o campo magnético do
modelo de Maxwell-Chern-Simons seja de curto
alcance. No caso das componentes do campo elé-
trico, elas também vão a zero para x " 3v mais

rapidamente que na teoria de Maxwell pura, uma
vez que E el
r4
+ π µ−
para x " 3v .
Vejamos como o 3-potencial vetor Aν se com-
porta na fronteira do plano infinito ( x " 3v ). Para
isso, consideremos a lei de Gauss (eq. (103a)) do
modelo de Maxwell-Chern-Simons,
, , ,E x t B x t x t4 44$ πµ πρ− =v v v v v^ ^ ^h h h, (115a)
que integrando sobre todos os pontos do plano fica,
, ,d x E x t d x B x t Q t4 4
S S
2 2
4$ πµ π− =
3 3
v v v v v v^ ^ ^h h h# # , (115b)
sendo Q(t) a carga elétrica total contida no plano
(x, y),
,Q t d x x t
S
2
ρ=
3
v v^ ^h h# . (115c)
Usando o Teorema de Gauss (eq. (A.9)) em
duas dimensões espaciais, temos que
, ,E x t dl d xB x t Q t4 4
S
2
$ πµ π− =
Γ3 3
v v v v v^ ^ ^h h h## , (115d)
sendo Γ∞ o contorno da que delimita a área S∞.
Mostramos anteriormente que o campo elétrico
vai a zero para x " 3v , de maneira que a integral
de linha do campo elétrico ao longo de Γ∞ é nula.
Assim, a lei de Gauss escrita na forma global é,
4 , .d x B x t Q t4
S
2
πµ π− =
3
v v^ ^h h# , (115e)
Entretanto, o campo magnético pode ser escrito
como sendo
,B x t A x z4#=v v v v^ ^^h hh , (115f)
sendo z a direção perpendicular ao plano (x, y).
Substituindo(115f)em(115e)eaplicandooTeorema
de Stokes (eq. (A.10)), obtemos finalmente que
,A x t dl Q t$µ− =
Γ3
v v v^ ^h h# , (115g)
que mostra que apesar dos campos físicos serem
de curto alcance, o 3-potencial vetor é de longo
alcance. A solução assintótica dos 3-potenciais
vetores que satisfazem a (115g) é:
, arctanA x t
Q t
y
x
8x 2
π µ
−"3
v v v^
^
ch
h
m, (115h)
O potencial vetor ,A x tv v^ h é localmente um
campo de calibre puro. Ele possui o mesmo com-
portamento do efeito Aharanov-Bohm [14].
Agradecimentos: Desejo agradecer a M.C. Batoni
Abdalla e E. Abdalla por discussões sobre invariância
de calibre na Eletrodinâmica Clássica, a J.S. Já Martins
pela leitura do texto, correções e sugestões, e, a A. T.
Costa Jr. pela ajuda na colocação das figuras no texto.
Tenho um agradecimento especial ao International
Center for Theoretical Physics, Trieste, Itália, onde parte
deste texto foi pensado e escrito.

APÊNDICE A.
A revisão de análise vetorial e teoremas de Gauss e Stokes
A.1 Revisão de análise vetorial [15]
Seja v xv v^ h um vetor com componentes escritas em coordenadas cartesianas:
v x v x i v x j v x kx y z= + +v v v t v t v t^ ^ ^ ^h h h h ; (A.1)
,i j e kt t t são vetores unitários nas direções x, y e z respectivamente.
O operador gradiente 4v escrito em coordenadas cartesianas é:
i
x
j
y
k
z
4
2
2
2
2
2
2
= + +v t t t . (A.2)
Divergência de um vetor em coordenadas cartesianas:
v x
x
v x
y
v x
z
v xx y z
4$
2
2
2
2
2
2
= + +v v v
v v v
^
^ ^ ^
h
h h h
. (A.3)
Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas:
, , , , , ,
v x i
y
v y
z
v x
j
z
v x
x
v x
k
x
v x
y
v x
v i j k 1 2 3
z y x z y x
ijk j
k
4#
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2ε
= − + − + −
= =
v v v t
v v
t
v v
t
v v
^
^ ^
e
^ ^
e
^ ^
eh
h h
o
h h
o
h h
o (A.4)
onde estamos usando a regra da soma implícita e a notação: v1
= vx, v2
= vy, v3
= vz.
εklm é o tensor de Levi-Civita, e é definido como:
ε123 = ε231 = ε312 = 1
ε213 = ε132 = ε321 = -1
εklm = 0 se dois ou mais índices forem iguais.
Propriedades gerais da divergência e rotacional:
v x 04$ 4#v v v v^^ hh , (A.5)
g x 04# 4 =v v v^^ hh , (A.6)
v x v x v x2
4# 4# 4 4$ 4= −v v v v v v v v v v^^ ^^ ^hh hh h, (A.7)
onde g xv^ h é uma função não-singular e
x y z
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
= + + . (A.8)

A.2 Teorema de Gauss [16]
Seja f xv v^ h um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na área fechada S que delimita
este volume. O Teorema de Gauss nos dá que:
d x f x f x nds
v S
3
4$ $=v v v v v v t^ ^h h# # , (A.9)
onde ds é uma área infinitesimal sobre a superfície S e nt é um vetor unitário perpendicular em cada ponto
à superfície S. O vetor nt aponta para fora do volume delimitado.
A.3 Teorema de Stokes [17]
Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superfície delimitada pela linha Γ. Seja f xv v^ h um vetor definido
em todos os pontos da superfície S inclusive ao longo da linha Γ. Pelo Teorema de Stokes temos que:
ds n f x f x dl
S
$ 4# $=
Γ
t v v v v v v^^ ^hh h# # , (A.10)
onde dlv é um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e nt é o vetor unitário perpendicular em cada ponto à
superfície S. O sentido dos vetores nt e dlv é dado pela regra da mão direita.

APÊNDICE B.
Princípio de Hamilton para campos clássicos [18]
Ao discutirmos os campos eletromagnéticos na seção 2, vimos que, no caso em que estamos descre-
vendo um campo, a posição xv é um parâmetro para indexar os pontos do espaço da mesma forma que o
tempo t o é para representar a que instante você se refere. Portanto, ao contrário do que temos no caso de
partículas, as coordenadas xv não são variáveis dinâmicas do problema, mas sim parâmetros para indicar em
que ponto do espaço você está medindo o seu campo, este sim a sua variável dinâmica.
Apenas como simplificação, vamos supor que temos um único campo que denominaremos por: ,x tΦ v^ h.
,x tΦ v^ h representa a configuração do campo em todos os pontos do espaço no instante t.
Como no caso de partículas, queremos associar a cada configuração ,x tΦ v^ h um número que chamamos
de ação. Na definição da ação no caso de campos, precisamos integrar no intervalo de tempo fixado e em
todos os pontos do espaço, uma vez que os campos também possuem uma dependência espacial:
; , , , , ; ,S t t dt d x x t x t x tLf
t
t
V
0
3
f
0
2Φ Φ Φ= µ
3
v v v v^ ^^ h h h6 @ # # , (B.1)
onde L é a densidade de lagrangeana associada aos campos. Como os campos dependem das coordenadas
espaciais, em geral L depende não apenas das derivadas do campo em relação ao tempo, mas também de
suas derivadas espaciais, todas elas representadas pela derivada covariante , , , , ,x t 0 1 2 32 µΦ =µ v^ h . Como
no caso de partículas, a ação também tem a mesma dimensão que o momento angular.
Para obter a equação de movimento para os campos ,x tΦ v^ h, vamos proceder de forma análoga ao que
fizemos na seção 1 para derivar a equação de Lagrange para partículas.
Desejamos obter a equação satisfeita pelo campo clássico que parte da configuração inicial ,x t0Φ v^ h, e,
que em t tf= tem a configuração ,x tfΦ v^ h, sendo que ambas são, por hipótese, conhecidas.
Chamemos ,x tφ v^ h o campo clássico para o qual a ação é mínima. O campo ,x tφ v^ h satisfaz as condições
de contorno:
, ,x t x t0 0φ Φ=v v^ ^h h (B.2a)
e
, ,x t x tf fφ Φ=v v^ ^h h. (B.2b)
As configurações que coincidem com ,x t0Φ v^ h e ,x tfΦ v^ h em t = t0 e t = tf respectivamente mas que
tenham pequenas modificações em relação ,x tφ v^ h, podem ser escritas como,
, ; , ,x t x t x tα φ αηΦ = +v v v^ ^ ^h h h, (B.3)
onde ,x tη v^ h é uma função infinitesimal qualquer da posição e que varia de instante para instante. A função
,x tη v^ h satisfaz as condições de contorno:
, ,x t x t 0f0η η= =v v^ ^h h . (B.4)
α é uma constante arbitrária.
O Princípio de Hamilton (seção 1) aplicado a trajetórias que diferem pouco da trajetória clássica implica
em que
, , ,S S x t x t S x t 0/δ φ αη φΦ + − =v v v^ ^ ^h h h6 6 6@ @ @ . (B.5)

Como na discussão do Princípio de Hamilton para partículas (seção 1) definimos
, ; , ;G dt d x x tL
t
t
V
3
f
0
2 2α φ αη φ α η α= + +µ µ
3
v v^ ^h h# # , (B.6)
que é uma função de α. Como ,x tφ v^ h minimiza a ação, isto corresponde a dizer que G(α) tem um mínimo
em α = 0. A condição de Hamilton (B.5) corresponde a esta condição de mínimo de G(α) em α = 0:
;G S
0 0
0 0
&
2
2
2
2
α
α
α
αΦ
= =
α α= =
^ h 6 @
. (B.7)
A diferença está em que, agora, a densidade de lagrangeana L depende não apenas do campo e de sua
derivada temporal, mas também das suas derivadas espaciais. A implementação da eq. (B.7) é:
;S
dt d x 0
L L L L L
t
t
V
x
x
y
y
z
z
t
t
3
f
02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
α
α
α α α α α
Φ
Φ
Φ
= + + + + =
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
v
`
`
`
`
`
`
`
`
j
j
j
j
j
j
j
j6 @
* 4# # . (B.8)
Como estamos considerando campos ,x tΦ v^ h que são representados pela eq. (B.3), então substituindo-a
na eq. (B.8), temos
,
, , , ,
dt d x x t
x
x t
y
x t
z
x t
t
x t
0
L L L L L
t
t
V
x y z t
3
f
0 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
η
η η η η
Φ
+ + + + =
2
2
2
2
2
2
2
2Φ Φ Φ Φ
3
v v
v v v v
^
`
^
`
^
`
^
`
^
h
j
h
j
h
j
h
j
h
* 4# # . (B.9)
Não podemos fazer nenhuma afirmação geral sobre o integrando da eq. (B.9) uma vez que as funções
,x tη v^ h e ,x t2 ηµ v^ h não são funções independentes. Vamos reescrever os termos do lado esquerdo (l.e.) da
eq. (B.9) e colocá-la de forma mais conveniente.
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em relação as coordenadas espaciais. Os
outros dois termos que envolvem derivadas espaciais são tratados de forma similar.
Consideremos o termo:
, ,
dt d x
x
x t
dt dydz dx
x
x tL L
t
t
V
x
t
t
L
L
L
L
x
3
f f
0 0
2
2
2
2
2
2
2
2η η
=
2
2
2
2Φ Φ− −3
v
v v
`
^
`
^
j
h
j
h
# # # # # , (B.10)
onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfície que delimita o volume. No limite de V∞ temos que
L→∞.
Para realizar a integração por partes a integral em x do l.d. da eq. (B.10), escolhemos
u e dv dx
x
L
x
2
2
2
2η
= =
2
2Φ
` j
(B.11a)
de maneira que a integral passa a ser:
, ,dx
x
x t dx
x
x t
L L L
L
L
x x x L
x L
L
L
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2η η η= −
2
2
2
2
2
2Φ Φ Φ−
=−
=
−
v v
` `
^
`
f ^
j j
h
j
p h# # , (B.11b)

onde, ao calcularmos a derivada parcial
x
x
L
2
2
2
2
2
2
Φ
c
f m
p
, estamos tomando y, z e t constantes.
Os termos η(±L, y, z; t) correspondem a valores da função ,x tη v^ h na superfície que delimita o volume
V dentro do qual os campos evoluem. Assumiremos a hipótese de sistema fechado, que corresponde a supor
que nenhum campo atravessa a superfície que delimita o volume V em que ocorre o fenômeno. Por essa
hipótese temos então que
η(±L, y, z; t) = 0, (B.12)
pois o campo clássico e suas pequenas deformações são nulas na superfície que delimita o volume V.
Incluindo a hipótese de sistema fechado, a relação (B.11b) passa a ser
,dx
x
dx
x
x t
L L
L
L
x
L
L
x
2
2
2
2
2
2
2
2η
η=−
2
2
2
2Φ Φ− −
v
` `
f ^
j j
p h# # . (B.13)
Fazendo agora a integração por partes do termo com a derivada do campo em relação ao tempo, onde
escolhemos as variáveis u e v de forma similar a eq. (B.11a) obtemos que
, , .dt
t
t
x t dt
t
x t
L L L
t
t
t t t
t t
t
t
t
f f f
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2η η η
Φ
= −
2
2
2
2Φ Φ
=
=
v v
` c
^
`
f ^
j m
h
j
p h# # (B.14a)
A função ,x tη v^ h no l.d. da eq. (B.14a) está definida nos instantes t = t0 e t = tf. Como a função ,x tη v^ h
satisfaz a condição (B.4), então a expressão (B.14a) pode ser finalmente escrita como:
, .dt
t
dt
t
x t
L L
t
t
t
t
t
t
f f
0 0
2
2
2
2
2
2
2
2η
η=−
2
2
2
2Φ Φ
v
` `
f ^
j j
p h# # (B.14b)
Substituindo os resultados (B.13) e (B.14b) na eq. (B.9), obtemos que
,dt d x
x y z t
x t 0
L L L L L
t
t
V
x y z t
3
f
0 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
η
Φ
− − − − =
2
2
2
2
2
2
2
2Φ Φ Φ Φ
3
v v
`
f
`
f
`
f
`
f ^
j
p
j
p
j
p
j
p h* 4# # . (B.15)
A única forma da eq. (B.15) ser verdadeira para qualquer função infinitesimal ,x tη v^ h é que o integrando
seja identicamente nulo. Escrevendo o integrando na sua forma covariante temos então a equação de Euler-
Lagrange para campos clássicos:
0
L L
2
2
2
2 2
2
Φ Φ
− =µ
µ^ h
. (B.16)

5. Referências
[1] H. Moysés Nussenzveig; Curso de Física Básica,
1-Mecânica, 2.a edição, Edgard Blücher Ltda (1992),
cap. 4.
[2] Jerry B. Marrion; Classical Dynamics of Particles and
System, 3rd edition, Academic Press (1988), cap.6.
[3] Herbert Goldstein; Classical Mechanics, 2nd edition,
Addison-Wesley (1980), cap. 7.
[4] Dentre as possíveis referências para uma introdução a
MecânicaQuântica,sugerimos:A.P.French;AnIntroduction
to Quantum Physics, W.W. Norton & Co (1978).
[5] Edward Purcell; Electricity and Magnetism, Berkeley
Physics Course-vol. 2, cap. 7 e Apêndice, Mcgraw-Hill
Co (1965).
[6] A.P.French; Special Relativity, Thomas Nelson and Sons
Ltd. (1968), cap.3.
[7] John D. Jackson; Classical Electrodynamics, 2nd edition,
John Wiley & Sons(1975), seção 11.3.
[8] Referência 7, seção 11.9.
[9] Referência 7, seção 12.8; Referência 3, pág. 366.
[10] Referência 5, cap. 7.
[11] J. Schonfeld; A Mass Term for Three-Dimensional Gauge
Fields, Nucl. Phys. B185 (1981) 157.
[12] S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Topological Massive
Gauge Theories, Ann. of Phys. 140 (1982) 372.
[13] Referência 7, seções 1.7 e 1.10; Referência 2, seção 3.10.
[14] Y. Aharanov, D. Bohm; Significance of Electromagnetic
Potencials in the Quantum Theory, Phys. Rev. 115
(1959) 485; R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The
Feynman Lectures on Physics, vol. II, Addison-Wesley
Publ. Co. (1972), cap. 15.
[15] Referência 5, cap. 2. 54.
[16] Referência 5, seções 1.9 e 1.10.
[17] Referência 5, seções 2.15 e 2.16.
[18] Referência 3, cap. 11.

ERRATA do mini-curso: “Campos de Calibre Clássicos: Maxwell, Chern-Simons”,
Maria Teresa Thomaz, MensAgitat (2014), VOLUME 09 - NÚMERO 02, págs.
51-84
ERRATA:
1. pág. 53: expressão correta da eq.(10):
2. pág.58: 2ª linha do 1º parágrafo da secção 3:
onde se lê: “ ... campos de cali de Maxwell ...”, deve-se ler: “ ... campos de calibre de
Maxwell ...”.
3. pág. 60: na descrição da Figura 3:
onde se lê: “... V = V î ...” , deve-se ler: V = V î ...” .
4. pág. 65: a expressão correta da 1ª linha da eq.(61c):
5. pág. 70: a forma correta da eq.(82b):
6. pág. 72: 4ª linha do 2º parágrafo após a eq.(89b):
onde se lê: “ ... lagrangeana se modifica ... “, deve-se ler: “ ... lagrangeana
se modifica ... “,
7. pág. 73: 2ª linha do parágrafo após a eq.(100):
onde se lê: “ ... só dependem do 4-potencial vetor ...”, deve-se ler: “ ... só dependem do
3-potencial vetor ...”.
8. pág. 77: Agradecimentos
onde se lê: “ ...J.S. Já Martins ...”, deve-se ler: ...J.S. Sá Martins ...”.

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