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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica 
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, 
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha 
Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
91501-970 Porto Alegre, BRASIL 
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a quarta edic¸ ˜ao do livro 
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. 
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/jgallas 
Sum´ario 
8 Conservac¸ ˜ao da Energia 2 
8.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2 
8.1.1 Determinac¸˜ao da Energia Po-tencial 
. . . . . . . . . . . . . . 2 
8.1.2 Usando a Curva de Energia Po-tencial 
. . . . . . . . . . . . . . 9 
8.1.3 Conservac¸˜ao da Energia . . . . 9 
8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as 
de Atrito . . . . . . . . . . . . 9 
8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12 
9 Sistemas de Part´ıculas 13 
9.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
9.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 13 
9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 13 
9.2.2 A segunda lei de Newton para 
um sistema de part´ıculas . . . . 14 
9.2.3 O Momento Linear . . . . . . . 17 
9.2.4 Conservac¸˜ao do Momento Linear 18 
9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: 
Um Foguete . . . . . . . . . . . 19 
9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Varia-c 
¸ ˜oes na Energia Cin´etica . . . . 20 
10 Colis˜oes 21 
10.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 
10.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 21 
10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 21 
10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Di-mens 
˜ao . . . . . . . . . . . . . 23 
10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma 
Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . 24 
10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes . 25 
10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 26 
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br 
(listam2.tex) 
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 
8 Conservac¸ ˜ao da Energia 
8.1 Problemas e Exerc´ıcios 
8.1.1 Determinac¸ ˜ao da Energia Potencial 
E 8-1 (na 6edic¸ ˜ao) 
Uma determinada mola armazena J de energia po-tencial 
quando sofre uma compress˜ao de	 cm. Qual 
a constante da mola?
Como sabemos que a energia potencial el´astica arma-zenada 
numa mola ´e
, obtemos facilmen-te 
que
!$#%')(*+N/m 
E 8-6 (8-3/6) 
Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma 
tac¸a hemisf´erica sem atrito com !cm de raio (Fig. 8- 
22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao 
chegar ao fundo da tac¸a?
A ´unica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de 
gelo ´e a forc¸a da gravidade, que ´e uma forc¸a conservati-va. 
Chamando de,.-a energia cin´etica do pedacinho de ge-lo 
na borda da tac¸a, de,0/ a sua energia cin´etica no 
fundo da tac¸a, de1-sua energia potencial da borda e de2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao 
,/43/$,-53- Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co-mo 
sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo 
vale1-687:9;, onde;representa o raio da tac¸a erepresenta a massa do pedacinho de gelo. Sabemos qu7e,.-=pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha-mando 
dea velocidade do pedacinho de gelo ao atin-gir 
o fundo, temos ent˜ao, da equac¸˜ao da conservac¸˜ao da 
energia acima que709;?=7@, o que nos fornece 
'BAC9;DA
%#!E
!F$GH(m/s 
E 8-8 (8-13/6) 
Um caminhao ˜que perdeu estrada em declive adispoe ˜de uma rampa de (*Iescape,  os freios esta ´descendo uma 
km/h. Felizmente a estrada 
com uma inclinac¸ ao ˜de 
(J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa 
para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero an-tes 
do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase 
sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou 
cascalho. Por quˆe? 
Nota: uso o valor(KI! km/h da sexta edic¸ ˜ao do livro, em 
vez dos(* km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸ ˜ao n˜ao 
´e fornecida nenhuma resposta.
 Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de 
fricc¸˜ao. Neste caso a ´unica forc¸a a realizar trabalho ´e 
a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja,.-a 
energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de es-cape 
e,0/ sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja2-e/ os respectivos valores da energia potencial no 
in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao 
,0/32/6$,.-31-L Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no 
in´ıcio da rampa, ent˜ao2/MN709O, ondeO´e a altura 
final do caminh˜ao em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao inicial. Te-mos 
que,.-P$7@, onde´e a velocidade inicial do 
caminh˜ao, e,0/0Qj´a que o caminh˜ao para. Portanto7:9O.R7@, donde tiramos que 
O:C9
S(*I
T5(K
%5+#CI!US=U!U	Im Se chamarmos deVo comprimento da rampa, ent˜ao te-remos 
queVsen(J)WO, donde tiramos finalmente 
que 
VXsenO(*JsU!eUn	I(*JU m Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como 
um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, aju-dando 
a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar 
o ve´ıculo. 
E 8-10 (na 6) 
Um proj´etil com uma massa deGYkg ´e disparado pa-ra 
cima do alto de uma colina de( m de altura, com 
uma velocidade de( m/s e numa direc¸ ˜ao que faz um 
angulo ˆdeY(*J com a horizontal. (a) Qual a energia 
cinetica ´do projetil ´no momento em que e ´disparado? 
(b) Qual a energia potencial do projetil ´no mesmo mo-mento? 
Suponha que a energia potencial ´e nula na ba-se 
da colina (Z$[). (c) Determine a velocidade do 
proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que 
a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima 
dependem da massa do proj´etil? 
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 2 de 26
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 

(a) Se7 for a massa do proj´etil esua velocidade 
ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata-mente 
ap´os o lanc¸amento ´e 
,.-(7@(
Y!]
S(*!$!G'T(K+J (b) Se a energia potencial ´e tomada como zero quando 
o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo 
for chamada deO, ent˜ao sua energia potencial inicial ´e 
-R7:9O.^
GYE
%#!]
S(*!F$%Y
)(*+J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po-tencial 
´e zero e a energia cin´etica pode ser escrita co-mo 
sendo,/'7@/, onde/´e a velocidade do 
proj´etil. A energia mecˆanica ´e conservada durante o voo 
do proj´etil de modo que,/R7@/D=,-a3-donde 
tiramos facilmente que 
/b
,0-732-  
bcH
!G3GGY!%YT(K+edf(*%m/s Os valores de,.-Lgh,0/5ga2-e/ dependem todos da mas-sa 
do proj´etil, por´em a velocidade final/ n˜ao depende 
da massa se a resistencia ˆdo ar puder ser considerada 
desprez´ıvel. 
Observe que o tal angulo ˆdeTalvez seja por isto que Yeste (*J nao ˜foi usado para na-da! 
exerc´ıcio ja ´nao ˜mais 
aparec¸a nas edic¸ ˜oes subsequentes do livro... 
E 8-12 (8-17/6) 
Uma bola de gude deg ´e disparada verticalmente pa-ra 
cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser 
comprimida de#cm para que a bola de gude apenas al-cance 
um alvo situado a m de distˆancia. (a) Qual a 
variac¸ ˜ao da energia potencial gravitacional da bola de 
gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?
(a) Neste problema a energia potencial possui dois 
termos: energia potencial el´astica da mola e energia po-tencial 
gravitacional. 
Considere o zero da energia potencial gravitacional co-mo 
sendo a posic¸ ˜ao da bola de gude quando a mola est´a 
comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da 
bola de gude quando ela est´a no topo da ´orbita (i.e. no 
ponto mais alto) ´eFij=7:9GO, ondeO´e a altura do pon-to 
mais elevado. Tal altura ´eO03#65!# m. 
Portanto 
1i?B
'T(KGk+E
%#!]
5!#!1R5%Y!# J 
(b) Como a energia mecˆanica ´e conservada, a energia 
da mola comprimida deve ser a mesma que a ener-gia 
potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,G*lm709O[Fi, onde´e a constante da mola. 
Portanto, 

i
%#Y#!RI	N/m Observe que 
I!	 N/mn=IH(D)(*N/m=I5o(N/cmg que ´e a resposta oferecida pelo livro-texto. 
E 8-13 (8-5/6) 
Uma bola de massa7est´a presa `a extremidade de uma 
barra de comprimentoVe massa desprez´ıvel. A outra 
extremidade da barra ´e articulada, de modo que a bo-la 
pode descrever um c´ırculo plano vertical. A barra ´e 
mantida na posic¸ ˜ao horizontal, como na Fig. 8-26, at´e 
receber um impulso para baixo suficiente para chegar 
ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a) 
Qual a variac¸ ˜ao da energia potencial da bola? (b) Qual 
a velocidade inicial da bola?
(a) Tome o zero da energia potencial como sendo o 
ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a 
inicialmente a uma distˆancia verticalVacima do pon-to 
mais baixo, a energia potencial inicial ´e1-p^7:9GV, 
sendo a energia potencial final dada por2/qR7:9
Vp. 
A variac¸ ˜ao da energia potencial ´e, portanto, 
rs2/?tu1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv (b) A energia cin´etica final ´e zero. Chamemos de,0-lw7@ a energia cin´etica inicial, onde´e a 
velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz traba-lho 
algum e a forc¸a da gravidade ´e conservativa, de 
modo que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto sig-nifica 
quer,xytrou, em outras palavras, quetz7@*Dftz709GV de modo que temos 

AC9Vv 
P 8-16 (8-19/6) 
Um bloco dekg ´e encostado numa mola num plano in-clinado 
sem atrito e com uma inclinac¸ ˜ao deIJgraus. A 
mola em quest ao, ˜cuja constante valeN/cm, e ´com-primida 
cm sendo depois liberada. (*%A Uque distancia 
ˆao longo do plano inclinado e ´arremessado o bloco? 
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as `10:42 

Quando o bloco e ´liberado, toda energia potencial 
elastica ´armazenada na mola transforma-se em energia 
potencial gravitacional, que e ´usada para levantar o cor-po 
verticalmente de uma alturaO. A conservac¸˜ao de 
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Gabarito cap. 8, 9 e 10 fundamentos de fisíca halliday

  • 1. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a quarta edic¸ ˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/jgallas Sum´ario 8 Conservac¸ ˜ao da Energia 2 8.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2 8.1.1 Determinac¸˜ao da Energia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 2 8.1.2 Usando a Curva de Energia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 9 8.1.3 Conservac¸˜ao da Energia . . . . 9 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito . . . . . . . . . . . . 9 8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12 9 Sistemas de Part´ıculas 13 9.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 13 9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 13 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas . . . . 14 9.2.3 O Momento Linear . . . . . . . 17 9.2.4 Conservac¸˜ao do Momento Linear 18 9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete . . . . . . . . . . . 19 9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Varia-c ¸ ˜oes na Energia Cin´etica . . . . 20 10 Colis˜oes 21 10.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 21 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 21 10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Di-mens ˜ao . . . . . . . . . . . . . 23 10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . 24 10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes . 25 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 26 Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 1 de 26
  • 2. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 8 Conservac¸ ˜ao da Energia 8.1 Problemas e Exerc´ıcios 8.1.1 Determinac¸ ˜ao da Energia Potencial E 8-1 (na 6edic¸ ˜ao) Uma determinada mola armazena J de energia po-tencial quando sofre uma compress˜ao de cm. Qual a constante da mola? Como sabemos que a energia potencial el´astica arma-zenada numa mola ´e
  • 4. !$#%')(*+N/m E 8-6 (8-3/6) Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma tac¸a hemisf´erica sem atrito com !cm de raio (Fig. 8- 22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao chegar ao fundo da tac¸a? A ´unica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo ´e a forc¸a da gravidade, que ´e uma forc¸a conservati-va. Chamando de,.-a energia cin´etica do pedacinho de ge-lo na borda da tac¸a, de,0/ a sua energia cin´etica no fundo da tac¸a, de1-sua energia potencial da borda e de2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao ,/43/$,-53- Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co-mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale1-687:9;, onde;representa o raio da tac¸a erepresenta a massa do pedacinho de gelo. Sabemos qu7e,.-=pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha-mando dea velocidade do pedacinho de gelo ao atin-gir o fundo, temos ent˜ao, da equac¸˜ao da conservac¸˜ao da energia acima que709;?=7@, o que nos fornece 'BAC9;DA
  • 6. !F$GH(m/s E 8-8 (8-13/6) Um caminhao ˜que perdeu estrada em declive adispoe ˜de uma rampa de (*Iescape, os freios esta ´descendo uma km/h. Felizmente a estrada com uma inclinac¸ ao ˜de (J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero an-tes do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por quˆe? Nota: uso o valor(KI! km/h da sexta edic¸ ˜ao do livro, em vez dos(* km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸ ˜ao n˜ao ´e fornecida nenhuma resposta. Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de fricc¸˜ao. Neste caso a ´unica forc¸a a realizar trabalho ´e a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja,.-a energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de es-cape e,0/ sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja2-e/ os respectivos valores da energia potencial no in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao ,0/32/6$,.-31-L Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no in´ıcio da rampa, ent˜ao2/MN709O, ondeO´e a altura final do caminh˜ao em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao inicial. Te-mos que,.-P$7@, onde´e a velocidade inicial do caminh˜ao, e,0/0Qj´a que o caminh˜ao para. Portanto7:9O.R7@, donde tiramos que O:C9
  • 8. %5+#CI!US=U!U Im Se chamarmos deVo comprimento da rampa, ent˜ao te-remos queVsen(J)WO, donde tiramos finalmente que VXsenO(*JsU!eUn I(*JU m Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, aju-dando a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar o ve´ıculo. E 8-10 (na 6) Um proj´etil com uma massa deGYkg ´e disparado pa-ra cima do alto de uma colina de( m de altura, com uma velocidade de( m/s e numa direc¸ ˜ao que faz um angulo ˆdeY(*J com a horizontal. (a) Qual a energia cinetica ´do projetil ´no momento em que e ´disparado? (b) Qual a energia potencial do projetil ´no mesmo mo-mento? Suponha que a energia potencial ´e nula na ba-se da colina (Z$[). (c) Determine a velocidade do proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do proj´etil? http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 2 de 26
  • 9. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 (a) Se7 for a massa do proj´etil esua velocidade ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata-mente ap´os o lanc¸amento ´e ,.-(7@(
  • 10. Y!]
  • 11. S(*!$!G'T(K+J (b) Se a energia potencial ´e tomada como zero quando o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada deO, ent˜ao sua energia potencial inicial ´e -R7:9O.^
  • 12. GYE
  • 13. %#!]
  • 14. S(*!F$%Y )(*+J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po-tencial ´e zero e a energia cin´etica pode ser escrita co-mo sendo,/'7@/, onde/´e a velocidade do proj´etil. A energia mecˆanica ´e conservada durante o voo do proj´etil de modo que,/R7@/D=,-a3-donde tiramos facilmente que /b
  • 16. !G3GGY!%YT(K+edf(*%m/s Os valores de,.-Lgh,0/5ga2-e/ dependem todos da mas-sa do proj´etil, por´em a velocidade final/ n˜ao depende da massa se a resistencia ˆdo ar puder ser considerada desprez´ıvel. Observe que o tal angulo ˆdeTalvez seja por isto que Yeste (*J nao ˜foi usado para na-da! exerc´ıcio ja ´nao ˜mais aparec¸a nas edic¸ ˜oes subsequentes do livro... E 8-12 (8-17/6) Uma bola de gude deg ´e disparada verticalmente pa-ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de#cm para que a bola de gude apenas al-cance um alvo situado a m de distˆancia. (a) Qual a variac¸ ˜ao da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola? (a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial el´astica da mola e energia po-tencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional co-mo sendo a posic¸ ˜ao da bola de gude quando a mola est´a comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela est´a no topo da ´orbita (i.e. no ponto mais alto) ´eFij=7:9GO, ondeO´e a altura do pon-to mais elevado. Tal altura ´eO03#65!# m. Portanto 1i?B
  • 18. %#!]
  • 19. 5!#!1R5%Y!# J (b) Como a energia mecˆanica ´e conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a ener-gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,G*lm709O[Fi, onde´e a constante da mola. Portanto, i
  • 20.
  • 21. %#Y#!RI N/m Observe que I! N/mn=IH(D)(*N/m=I5o(N/cmg que ´e a resposta oferecida pelo livro-texto. E 8-13 (8-5/6) Uma bola de massa7est´a presa `a extremidade de uma barra de comprimentoVe massa desprez´ıvel. A outra extremidade da barra ´e articulada, de modo que a bo-la pode descrever um c´ırculo plano vertical. A barra ´e mantida na posic¸ ˜ao horizontal, como na Fig. 8-26, at´e receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a) Qual a variac¸ ˜ao da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola? (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a inicialmente a uma distˆancia verticalVacima do pon-to mais baixo, a energia potencial inicial ´e1-p^7:9GV, sendo a energia potencial final dada por2/qR7:9
  • 22. Vp. A variac¸ ˜ao da energia potencial ´e, portanto, rs2/?tu1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv (b) A energia cin´etica final ´e zero. Chamemos de,0-lw7@ a energia cin´etica inicial, onde´e a velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz traba-lho algum e a forc¸a da gravidade ´e conservativa, de modo que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto sig-nifica quer,xytrou, em outras palavras, quetz7@*Dftz709GV de modo que temos AC9Vv P 8-16 (8-19/6) Um bloco dekg ´e encostado numa mola num plano in-clinado sem atrito e com uma inclinac¸ ˜ao deIJgraus. A mola em quest ao, ˜cuja constante valeN/cm, e ´com-primida cm sendo depois liberada. (*%A Uque distancia ˆao longo do plano inclinado e ´arremessado o bloco? http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 3 de 26
  • 23. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as `10:42 Quando o bloco e ´liberado, toda energia potencial elastica ´armazenada na mola transforma-se em energia potencial gravitacional, que e ´usada para levantar o cor-po verticalmente de uma alturaO. A conservac¸˜ao de energia nos diz que{ GR709O| Portanto, O:709
  • 24. S(K%5
  • 25. U ]T
  • 26. !(KE!
  • 27. ]%5E#
  • 28. L
  • 30. Y]
  • 31. S(*k*$m Chamando de}a distˆancia percorrida ao longo do pla-no, temos queO~s}senIJ, donde tiramos a resposta procurada: }vsenOI!J(CYm P 8-17 (8-21/6) Uma ! mola pode ser comprimidacm por uma forc¸a deN. Um bloco de( kg de massa e ´liberado a par-tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸˜ao ´eI!J. (Fig. 8-30). O bloco comprime a molaG cm antes de parar. (a) Qual a distˆancia total percorrida pelo bloco at´e parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola? A informac¸˜ao dada na primeira frase nos permite cal-cular a constante da mola: €5!Cf(I!qT(K‚N/m (a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma alturaOacima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cinetica ´e 7:´zero 9GOe sua 7 energia potencial gravitacional inicial e´, ondee ´a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tambem ´a energia poten-cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su-ponha que o bloco comprima a mola uma distˆanciaantes de parar momentaneamente. Neste caso a ener- gia cin´etica final ´e zero, a energia potencial gravitacio-nal final ´e zero, e a energia potencial final da mola ´e. O plano inclinado n˜ao tem atrito e a forc¸a nor-mal que ele exerce sobre o bloco n˜ao efetua trabalho (pois ´e perpendicular `a direc¸ ˜ao do movimento), de mo-do que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto significa que7:9O0=, donde tiramos que O0C7:9
  • 34. E%5
  • 35. #!!$H(Ym Se o bloco viajasse uma distˆancia}pelo plano inclinado abaixo, ent˜ao}senIJƒO, de modo que }4senOIJs5eno(CYIJ=I! m (b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis-ta 5 m do ponto onde ir´a estar em repouso, e as-sim est´a a uma distˆancia vertical de
  • 36. !!sen5!I!!J6m acima da sua posic¸ ˜ao final. A energia po-tencial ´e ent˜ao7:9GO„j…
  • 37. L(*]
  • 38. %5#E
  • 39. 5!.NI I J. Por outro lado, sua energia potencial inicial ´e
  • 40. L(*!E
  • 41. %5#E
  • 42. H(Yv†57:9GORJ. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cin´etica final:I5I?^(G,:/‡= ztJ. Sua velocidade final ´e, portanto, 'b7,0/b5
  • 43. S((G!f(! m/s P 8-18 (na 6) Um proj´etil de ´e lanc¸ado da borda de um penhasco com uma energia cin´etica inicial de( J e, no ponto mais alto da trajet´oria, est´a a(KY! m acima do ponto de lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velo-cidade do proj´etil? (b) Qual a componente vertical da velocidade do proj´etil no momento do disparo? (c) Em um certo instante, a componente vertical da velocidade do proj´etil ´eU! m/s. Neste momento, a que altura ele se encontra acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento?7@(-a) A energia cinetica ´inicial do projetil ´e´, e a energia potencial gravitacional e ´tomada ,0-Mco-mo sendo zero. No topo da trajetoria ´a velocidade do proj´etil apenas possui a componente horizontal da velo-cidade, que chamamos deˆ. Portanto{ 7@-{ 7@ˆ37:9Zmaxg donde tiramos que ˆ‰-tX9Zmax b7,.-tX9Zmax b
  • 44. ]5
  • 46. %#!]
  • 48. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 (b) A componente vertical ´e dada por Š‹‰-tTˆ b7,.-tTˆ b
  • 49. ]
  • 50. S (tŒYq=m/s (c) No tal instante a energia cin´etica, do proj´etil ´e ,{ 7@{ {7Ncˆt)Šd (K%!
  • 52. Y3
  • 53. UeJ Chamemos de‘o deslocamento vertical desde o ponto inicial at´e o instante em quest˜ao. Ent˜ao, ’-{ 7@-=,3“R,3709G‘5go que nos fornece ‘7:(96” { ™
  • 54. (
  • 55. 7:%#!-Œt,–˜•˜t5CU5!#] |—(t(K%!UYmPortanto o ponto‘em questao ˜encontra-se ABAIXO da posic¸ ao ˜inicial de lanc¸amento. P 8-19 (na 6) Uma bola de g ´e arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de#m/s e um ˆangulo deIJpara ci-ma em relac¸ ˜ao `a horizontal. Determine (a) a energia cinetica ´da bola no ponto mais alto da trajetoria ´e (b) a sua velocidade quando se encontra am abaixo da ja-nela. A resposta do item (b) depende I(c) da massa da bola ou (d) do ˆangulo de arremesso? (a) No topo da trajet´oria, a componente vertical da velocidade da bola ´e zero enquanto que sua componente horizontal continua sendoˆsCš›EœIJ, ondeCš ´e o m´odulo da velocidade da bola. A energia cin´etica, da bola de massa7 ´e, portanto, ,{ 7žˆ{
  • 57. #E
  • 58. ›Eœ!IJ f( J (b) Quando a bola se move com uma velocidadea uma distanciaˆOT^Im abaixo da janela, sua energia poten-cial e ´menor que o seu valor inicial, a diferenc¸a sendo igual atz7:9GO. Conservac{ ¸ao ˜da energia entao ˜fornece7:š{ 7@tT7:9GOg donde obtemos 'B‰š39O.A#3
  • 59. !E
  • 60. %#!E
  • 61. I!1^((m/s (c) e (d) Da expressao ˜paraacima, fica bem claro quenao ˜depende nem da massa da bola nem do angulo ˆinicial. P 8-20 (na 6) A mola de uma espingarda de mola tem uma constan-te de(N/cm. Quando a espingarda faz um ˆangulo deI!Jpara cima em relac¸ ˜ao `horizontal, uma bala de g ´e disparada e atinge uma altura dem acima do cano da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo? (a) Chamando-se deCš o m´odulo da velocidade ini-cial da bala de massa7, temos que a componente ho-rizontal da velocidade ´eˆ8Cš›Eœ!5IJ. No topo da trajet´oria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por-tanto, a conservac¸˜ao da energia mecˆanica nos diz que{ 7:J{ 7@ˆ3709Zmax { 7—š›Eœ!5IJ3709Zmax o que nos fornece šb9Zmax(ztŒ›Eœ!IJ A
  • 62. s!eEn
  • 63. %#!E
  • 64. I!J=Y¡%#6f(G m/s (b) A mola estava comprimida de tal que, pela conservac¸˜ao da energia, tenhamos{ G{ 7@šgdonde obtemos @šb7f
  • 65. L(*G b5(K!R5#m P 8-21 (na 6) http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 5 de 26
  • 66. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 Uma bala de morteiro dekg ´e disparada para cima com uma velocidade inicial de(* m/s e um ˆangulo de em relac¸a˜o a` horizontal. (a) Qual a energia cine´ticaIdYaJ bala no momento do disparo? (b) Qual ´e a variac¸˜ao na energia potencial da bala at´e o momento em que atinge o ponto mais alto da trajet´oria? (c) Qual a altura atingida pela bala? (a) Seja7a massa da bala ešsua velocidade inicial. A energia cin´etica inicial ´e ent˜ao ,.-(7:š(
  • 67. !E
  • 68. S(*$qŒ(K‚J (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de/ a energia potencial no topo da trajet´oria./ coincide ent˜ao com a variac¸ ˜ao da energia potencial deste o instante do tiro at´e o instan-te em que o topo da trajet´oria ´e alcanc¸ada. Neste ponto a velocidade da bala ´e horizontal e tem o mesmo valor que tinha no in´ıcio:ˆsCš›]œ!G¢š, onde¢š ´e o ˆangulo de tiro. A energia cin´etica no topo ´e ,0/‡(7:ˆ(7@š›Eœ¢šComo a energia mecˆanica ´e conservada (7@š/3(7:š›]œ!¢šPortanto 2/((7@š
  • 70. !E
  • 71. L(Ksen# )(*+IYJJ (c) A energia potencial no topo da trajet´oria ´e tamb´em dada por/£7:9GO, ondeO´e a altura (desn´ıvel) do topo em relac¸ ˜ao ao ponto de tiro. Resolvendo paraO, encontramos: O07:/9G
  • 72. # ]T
  • 73. %(K#!+^(KU!m P 8-23 (8-23/6) A corda da Fig. 8-31 temVMQ(*cm de comprimento e a distanciaˆate ´o pino fixoe ´decm. Quando a bola e ´liberada ‘em repouso na ¤ posic¸ ao ˜ indicada na fi-gura, descreve a trajetoria ´indicada pela linha tracejada. Qual ´e a velocidade da bola (a) quando est´a passando pelo ponto mais baixo da trajet´oria e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino? Chame de¥o ponto mais baixo que a bola atinge e de¦ o ponto mais alto da trajetoria ´apos ´a bola to-car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixoZoriginando-se no ponto¥e apontando para ci-ma. A energia inicial da bola de massa7 no campo gravitacional da Terra antes de ser solta vale’7:9GV. Conservac¸˜ao da energia fornece-nos ent˜ao uma equac¸˜ao para a velocidadeda bola em qualquer lugar especifi-cado pela coordenadaZ: ’=709GVu(7:37:9Z(a) ComZ§lsem709GVM{ 7:§37:9Z§, obtemos facilmente que §A9GVŒA
  • 74. ]
  • 75. %5#E
  • 76. S(!!1RY#m/s (b) Importante aqui ´e perceber que o tal ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino n˜ao ´e o pon-to V t'‘(como a figura parece querer indicar) mas sim o pontoZ¨l$
  • 77. V@t@‘, pois a bola tem energia suficiente :-) SubstituindoZ¨ em7:9Vl{ para chegar at´e ele! ´E neste detalhezito que mora o pe-rigo... 7:¨37:9Z!¨, obtemos ent˜ao facilmente que ¨A9©
  • 79. %#!Ec
  • 80. «!|tM( dm/s Qual a raz˜ao deste ´ultimo valor ser a metade do ante-rior?... P 8-25 (8-25/6) Deixa-se cair um bloco dekg de uma altura deY! cm sobre uma mola cuja constante ´ef(*%UN/m (Fig. 8- 32). Determine a compress˜ao m´axima da mola. Seja7 a massa do bloco,Oa altura da queda ea compress˜ao da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posic¸ ˜ao inicial do bloco. O bloco cai uma distˆanciaO3e sua energia potencial gravitacional final ´etz709©
  • 81. O3. Valores positivos deindicam ter ha-vido compress˜ao da mola. A energia potencial da mola ´e inicialmente zero eC no final. A energia cin´etica ´e zero tanto no in´ıcio quanto no fim. Como a energia ´e conservada, temos 6^tz709©
  • 83. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 As soluc¸ ˜oes desta equac¸ ˜ao quadr´atica s˜ao 7:9?­A
  • 84. 7093C7:9GO que fornece doi(*s%vUzal­oreAs
  • 87. #Y:5o(* m outv#! m. Como procuramos uma compress˜ao, o valor desejado ´eH(K m. P 8-27 (8-27/6) Duas crianc¸as est˜ao competindo para ver quem conse-gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu-le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distˆancia horizontal entre a borda da mesa e a caixa ´e dem (Fig. 8-34). Jo˜ao comprime a mola(H( cm e a bola cai! cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa?A distancia ˆque a bola de gude viaja e ´determina-da pela sua velocidade inicial, que e ´determinada pela compress˜ao da mola. SejaOa altura da mesa ea distˆancia horizontal at´e o ponto onde a bola de gude aterrisa. Ent˜ao“mš*® eOm9®K, ondeCš ´e a velocidade inicial da bola de gude e®´e o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸ ˜ao fornece ®A!O9 de modo que@šAO*9 A distˆancia at´e o ponto de aterrisagem ´e diretamente proporcional `a velocidade inicial poisQ[Cš®. SejaCš{a velocidade inicial do primeiro tiro e{a distˆancia horizontal at´e seu ponto de aterrisagem; sejaCša velo-cidade inicial do segundo tiro ea distˆancia horizontal š{š{Quando a mola ´e comprimida a energia potencial ´e}]C¯, onde}´e a compress˜ao. Quando a bola de gude at´e seu ponto de aterrisagem. Ent˜ao perde contato da mola a energia potencial e ´zero e sua energia cinetica ´e´7@š. Como a energia mecanica ˆe ´conservada, temos (7@š(}gde modo que a velocidade inicial da bola de gude ´e dire-tamente proporcional `a compress˜ao original da mola. Se}{for a compress˜ao do primeiro tiro e}a do segundo, ent˜aoš°
  • 88. ±}*}{Sš{. Combinando isto com o resul-tado anterior encontramos}[
  • 89. {}{. Tomando agora{² tM5)[(%I m,}{[(H(K cm, e$m, encontramos a compress˜ao}desejada: }” m(!%!I m•
  • 90. S(!o(* cmf( cm P 8-31 (8-26/6) Tarzan, que pesaU!## N, decide usar um cip´o de(K# m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida at´e o ponto mais baixo da trajet´oria, desceI5m. O cip´o ´e capaz de resitir a uma forc¸a m´axima de%! N. Tarzan consegue chegar ao outro la-do? Chamando de7 a massa do Tarzan e dea sua ve-locidade no ponto mais baixo temos que (7@7:9GOgondeO´e a altura que Tarzan desce. Desta express˜ao tiramos que =C9GO.9©
  • 91. I5!F$UY9 Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a forc¸a centr´ıpeta est´a relacionada com a tens˜ao no cip´o atrav´es da equac¸˜ao ´³tT7:9 7´gondee ´o raio da trajetoria. ´Portanto, temos que ³R70937´93U57:%U#I!G”U(3U5(Y!´709KN #Y•Como³'µ% N, vemos que Tarzan consegue atra-vessar, porem ´estirando o cipo ´muito perto do limite maximo ´que ele aguenta! ¨P 8-32 (8-29/6) Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com-pleta em torno do pino, ent˜ao‘$¶mI!Vp. (Sugest˜ao: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajet´oria. Vocˆe saberia explicar por quˆe?) http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 7 de 26
  • 92. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 Antes de mais nada, este problema ´e uma continuac¸˜ao do problema 8-23. Releia-o antes de continuar. Use conservac¸˜ao da energia. A energia mecˆanica deve ser a mesma no topo da oscilac¸ ˜ao quanto o era no in´ıcio do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve-locidade (energia cin´etica) no topo. No topo a tens˜ao³na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸˜ao ao centro do c´ırculo. Note que o raio do c´ırculo ´e;D$VTtT‘, de modo que temos ³37: 97 R7V‘gondee ´a velocidade ee ´a Œmassa tTda bola. Quan-do a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade poss´ıvel) a tens˜ao ´e zero. Portanto,7@G
  • 94. VŒtŒ‘. Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸ ˜ao. Ent˜ao a ener-gia potencial inicial ´e7:9V. A energia cin´etica inicial ´epois a bola parte do repouso. A energia potencial final, no topo da oscilac¸ ˜ao, ´e7:9G5
  • 95. Vt‘e a energia cin´etica final ´e7@*6=7:9
  • 96. VŒtŒ‘h. O princ´ıpio da conservac¸˜ao da energia fornece-nos 709GVuR7:9G5
  • 98. VŒtT‘eDesta express˜ao obtemos sem problemas que ‘q+·Vv Se‘for maior do queI!Vp, de modo que o ponto mais alto da trajet´oria fica mais abaixo, ent˜ao a velocidade da bola ´e maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo. Se‘for menor a bola n˜ao pode dar a volta. Portanto o valorIVƒ ´e um limite mais baixo. P 8-35¸(8-33¸/6) Uma corrente ´e mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com-primento Ve uma massa7, qual o trabalho necess´ario para pux´a-la totalmente para cima da mesa? O trabalho necess´ario ´e igual `a variac¸ ˜ao da energia potencial gravitacional a medida que a corrente ´e pu-xada para cima da mesa. Considere a energia poten-cial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente num n´umero grande de segmentos infinitesimais, ca-da um com comprimento‘Z. A massa de um tal seg-mento ´e
  • 99. ¹=CVºL‘Z e a energia potencial do segmen-to a uma distˆanciaZabaixo do topo da mesa ´e‘G[ t6
  • 100. 7»Vº¼9Z6‘!Z. A energia potencial total ´e sft7V9v½uš¾5¿‚ZG‘!Zt(7V9”VY• tI!(709GVvO trabalho necess´ario para puxar a corrente para cima da mesa ´e, portanto,t˜=7:9VƒCI!. P 8-37¸(8-35¸/6) Um menino est´a sentado no alto de um monte he-misf ´erico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um pequen´ıssimo empurr˜ao e comec¸a a escorregar para bai-xo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des-prezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja altura e´´I. (Sugestao: ˜A forc¸a normal desaparece no momento em que o menino perde o contato como o gelo.) Chame deÀ a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no menino. Chamando de¢o ˆangulo entre a vertical e o raio que passa pela posic¸ ˜ao do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro ´e7:9p›]œ!G¢2tÀ que, de acordo com a segunda a forc¸a centr´ıpetaNo ponto em 7@que *´lei de Newton, deve ser igual , ondee ´a velocidade do me-nino. o menino se desprende do gelo temosÀmR, de modo que 9ƒ›EœG¢‡´=Precisamos agora determinar a velocidade. Tomando a energia potencial como zero quando o menino est´a no topo do iglu, teremos para
  • 103. L(ƒtT›]œ!G¢!E O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia cin´etica na hora que se desprende vale7:*. Portan-to, a conservac¸˜ao da energia nos fornece7:9´
  • 105. S(ƒtT]›!œG¢e Substituindo este resultado na expressao ˜acima, obtida da forc¸a centr´ıpeta, temos 9º›EœG¢‡$C9
  • 106. L(ƒtT›]œ!G¢!Eg ou, em outras palavras, que ›EœG¢‡Ihttp://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 8 de 26
  • 107. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 A altura do menino acima do plano horizontal quando se desprende ´e ´›]œ!G¢‡I´8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial P 8-39 (8-37/6) A energia potencial de uma mol´ecula diatˆomica (Hou O, por exemplo) ´e dada por onde“;¥{t;C¦Á;´e a distˆancia entre os ´atomos que formam a mol´ecula e¥e¦s˜ao constantes positivas. Esta energia potencial se deve `a forc¸a que mant´em os ´atomos unidos. (a) Calcule a distˆancia de equil´ıbrio, isto ´e, a distˆancia entre os ´atomos para a qual a forc¸a a que est˜ao subme-tidos ´e zero. Verifique se a forc¸a ´e repulsiva (os ´atomos tendem a se separar) ou atrativa (os ´atomos tendem a se aproximar) se a distˆancia entre eles ´e (b) menor e (c) maior do que a distˆancia de equil´ıbrio. (a) A forc¸a ´e radial (ao longo a line que une os ´atomos) e ´e dada pela derivada deem relac¸ ˜ao a;: €ft‘G‘;(*;{¥+tU!;¦ÂA separac¸ ˜ao;šde equil´ıbrio ´e a separac¸ ˜ao para a qual temos€
  • 108. ;š=, ou seja, para a qual Portanto a separac¸a˜(o¥MdetTeqU!u¦6il´ı;bšÁri$o e´dada por ;š”¦¥• { ¿Á”¦¥• { f(!o(¿Á (b) A derivada da forc¸a em relac¸ ao ˜a;, computada na separac¸ ˜ao de equil´ıbrio vale ‘‘!€;t(˜;Ú{(K‚I!¥3Y;CšÄ¦tt
  • 109. L(*¥U¥M;t)š{‚Y¦‡;JÁ;š{‚gonde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que;šÁ…¥?C¦. A derivada ´e negativa, de modo que a forc¸a e ´positiva se;for um pouco menor que, indi-cando uma forc¸a de repulsao. ˜;š(c) Se;for um pouco maior que;ša forc¸a ´e negativa, indicando que a forc¸a ´e de atrac¸ ˜ao. 8.1.3 Conservac¸ ˜ao da Energia 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito E 8-45 (8-48/6) Aproximadamente:M(KÁkg de ´agua caem por se-gundo nas cataratas de Ni´agara a partir de uma altura de m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun-do pela ´agua que cai? (b) Qual seria a potˆencia gerada por uma usina hidrel´etrica se toda a energia potencial da ´agua fosse convertida em energia el´etrica? (c) Se a companhia de energia el´etrica vendesse essa energia pe-lo prec¸o industrial de(centavo de d´olar por quilowatt-hora, qual seria a sua receita anual? (a) O decr´escimo na energia potencial gravitacional por segundo ´e
  • 111. %5#E
  • 112. !2$G«q)(*ÅJ (b) A potˆencia seria ¤f^
  • 114. L( s= qT(KÅW (c) Como a energia total gerada em um ano ´e ’$¤®
  • 117. #CU h/anoGY)(*{škWÃhg o custo anual seria
  • 119. (*2$GY)(*Äd´olaresg ou seja,Y! milh˜oes de d´olares. E 8-50 (na 6) Um menino de( kg sobe, com velocidade constante, por uma corda deUm em(* s. (a) Qual o aumento da energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a potˆencia desenvolvida pelo menino durante a subida? (a) r“R7:9O.^
  • 120. G(*]
  • 121. %5#E
  • 122. U1=I5 T(K!+J (b) ¤sr®I!(*RI!W http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 9 de 26
  • 123. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 E 8-51 (na 6) Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada deY5 m de altura emI5s. Qual a potˆencia desenvol-vida pela mulher? ¤s
  • 124. !E
  • 125. %I #!]
  • 126. Y5 $U%!IW E 8-55 (na 6) Um nadador se desloca na ´agua com uma velocidade m´edia de m/s. A forc¸a m´edia de arrasto que se op˜oe a esse movimento ´e de(K N. Qual a potˆenciam´edia de-senvolvida pelo nadador? Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a ´agua com uma forc¸a de(!(K N. Em relac¸ ˜ao a ele, a ´agua passa a5! m/s no sentido dos seus p´es, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua potˆencia ´e ¤fRÆMÃEÇ)€6È^
  • 127. L((KE
  • 128. FCY W E 8-64 (8-43/6) Um urso de kg escorrega para baixo num troco de ´arvore a partir do repouso. O tronco tem( m de al-tura e a velocidade do urso ao chegar ao ch˜ao ´e dem/s. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial do ursGoU? (b) Qual a energia cin´etica do urso no momento em que chega ao ch˜ao? (c) Qual a forc¸a m´edia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida? (a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo1-^. Ent˜ao a energia potencial gravita-cional final ´e/ftz7:9GV, ondeV´e o comprimento da ´arvore. A variac¸˜ao ´e, portanto, 2/?tu1-^tz709GVt6t4
  • 129. %Y']
  • 131. S+(J (b) A energia cin´etica ´e ,(7:(
  • 132. !E
  • 133. GU!=I%J (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸˜ao da energia mecˆanica ´e igual at4ÉV, ondeÉ´e a forc¸a de atrito m´edia. Portanto É@ftr,V3r“tI%˜tŒ(*%Y!G(KN P 8-66 (8-51/6) Um bloco deI kg ´e empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola e´N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra toUtaYl- mente relaxada, o bloco viaja por uma superf´ıcie hori-zontal com um coeficiente de atrito dinˆamico de5!, percorrendo uma distˆancia de#m antes de parar. (a) Qual a energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito? (b) Qual a energia cin´etica m´axima possu´ıda pelo blo-co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o bloco fosse liberado? (a) A magnitude da forc¸a de fricc¸ ˜ao ´eÉ@RÊËCÀ , ondeÊË ´e o coeficiente de atrito dinˆamico eÀ ´e a forc¸a nor-mal da superf´ıcie sobre o bloco. As ´unicas forc¸as verti-cais atuantes no bloco s˜ao a forc¸a normal, para cima, e a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente vertical da acelerac¸˜ao do bloco ´e zero, a segunda lei de Newton nos diz queÀmR709, onde7´e a massa do blo-co. PortantoÉ~ÊË7:9. A energia mecˆanica dissipada ´e dada porr’ÌÉ}ÍÎÊË709}, onde}´e a distˆancia que o bloco anda antes de parar. Seu valor e ´r’B
  • 134. 5!E
  • 135. I]
  • 136. %#!]
  • 137. G#P$UU5#!# J (b) O bloco tem sua energia cinetica ´maxima ´quando perde contato com a mola e entra na parte da superf´ıcie onde a fricc¸ ao ˜atua. A energia cinetica ´maxima ´e ´igual a `energia mecanica ˆdissipada pela fricc¸ ao:˜(c) A energia que aparece como energia cinUU5etica ´#!# J. esta-va el´astica, da mola comprimida. Portantor’†*, ariginalmente armazenada como energia potencial onde´e a constante da mola e´e a compress˜ao. Logo, @br’b5
  • 138. U!UUY!##!$Y!mn=Y!Ucm P 8-69 (8-55/6) Dois montes nevados tˆem altitudes de# m e m em relac¸ ˜ao ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis-ta de esqui vai do alto do monte maior at´e o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento to-tal da pista ´eI km e a inclinac¸˜ao m´edia ´eI!J. (a) Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. Com que velovidade chegar´a ao alto do monte menor sem se impulsionar com os bast˜oes? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 10 de 26
  • 139. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 dinˆamico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor? (a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co-mo estando no vale entre os dois picos. Ent˜ao a energia potencial ´e-7:9O-, onde7 ´e a massa do esquiador eO-´e a altura do pico mais alto. A energia potencial final ´e/^7:9O/, ondeO/´e a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cin´etica,-†. Escrevamos a energia cin´etica final como,/7@, ondee ´a velocidade do esquiador no topo do pico me-nor. A forc¸a normal da superf´ıcie dos montes sobre o esquiador nao ˜faz trabalho (pois e ´perpendicular ao mo-vimento) e o atrito ´e desprez´ıvel, de modo que a energia mecˆanica ´e conservada:2-3,0-1°2/3,0/, ou seja,7:9GO-R7:9O/37@, donde tiramos '‰C9
  • 141. %5#E
  • 142. #jtu1Y m s (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´ıcie in-c7: li9lna›Edœ!a¢dos montes no esquiador e´ dada porÀ, onde¢´e o ˆangulo da superf´ıcie inclinada em relac¸ ˜ao `a horizontal,IJ para cada uma das superf´ıcies em quest˜ao. A magnitude da forc¸a de atrito ´e dada porÉ~ÊËCÀNÊË*7:9M›]œ!G¢. A energia mecˆanica dissipa-da pela forc¸a de atrito ´eÉ}jsÊË7:9!}~›]œ!G¢, onde}´e o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cin´etica, a ener-gia mecˆanica dissipada pelo atrito ´e igual `a diferenc¸a de energia potencial entre os pontos inicial e final da tra-jet ´oria. Ou seja, ÊË*7:9}:›EœG¢q7:9
  • 143. O-tŒO/Eg donde tiramosÊË: ÊËO}@-©›]tŒœ!G#!O¢/˜tu
  • 144. I5'T(K+'›Eœ'I!J$IU5 P 8-74 (na 6) Uma determinada mola nao ˜obedece a `lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) de uma distanciaˆno sentido oposto que ela exerce quando distendida (em metros) e ´de, ao da distensao. ˜(a) Calcule G#3I!#o traba-lho Ynecess´ario para distender a mola deu†5m at´e^'(!m. (b) Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma part´ıcula deGH( kg e ´presa a `ou-tra extremidade e a mola e ´distendida de uma distancia ˆl²(. Em seguida, a part´ıcula e ´liberada sem velo-cidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em que a distens˜ao da mola diminuiu paraw5m. (c) A forc¸a exercida pela mola ´e conservativa ou n˜ao-conservativa? Explique sua resposta. (a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual em magnitude `a forc¸a da mola por´em no sentido oposto. Como a uma distens˜ao no sentido positivo deexerce uma forc¸a no sentido negativo de, a forc¸a aplicada tem que ser€BG#3I#Y, no sentido positivo de. {eКŽš!ÐG·#
  • 145. !G3#I3#5IIY#5+Y!L‘ O trabalho que ela realiza ´e Ͻ {eКšÐ·=I5(J (b) A mola fazI( J de trabalho e este deve ser o au-mento da energia cin´etica da part´ıcula. Sua velocidade ´e ent˜ao 'b7,b5
  • 146. GI5H((!=Im/s (c) A forc¸a ´e conservativa pois o trabalho que ela faz quando a part´ıcula vai de um ponto{para outro pon-to depende apenas de{e, n˜ao dos detalhes do movimento entre{e. P 8-79 (8-61/6) Uma pedra de pesoÑ´e jogada verticalmente para cima com velocidade inicialCš. Se uma forc¸a constanteÉde-vido a `resistencia ˆdo ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura m´axima atingida pela pedra ´e dada por O0C9
  • 147. L(3šÉ|Cј(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo e ´dada por RCš”ÑÑ=3tXÉÉ• { ¿ (a) SejaOa altura m´axima alcanc¸ada. A energia mecˆanica dissipada no ar quando a pedra sobe at´e a altu-ra O´e, de acordo com a Eq. 8-26,r’^t4É©O. Sabemos que r’B
  • 150. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 onde1-e2/ ,.-esao ˜as energias cineticas ´inicial e final, esao ˜,0/ as energias poetenciais inicial e final. Esco-lha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento da pedra. A energia cine´tica inicial e´,.-˜Ò7@š, a energia potencial inicial ´e-“, a energia cin´etica fi-nal ´e,/8e a energia potencial final ´e/ÎјO. Portantot4É©O:јO.t)7@J, donde tiramos O0
  • 153. L(3šÉ|Ñjgonde substituimos7porÑ?*9 e dividimos numerador e denominador porÑ. (b) Note que a forc¸a do ar ´e para baixo quando a pe-dra sobe e para cima quando ela desce. Ela ´e sempre oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada durante o trajeto no ar todo ´er’Ót4!É©O. A ener-gia cin´etica final ´e,/B7@C, onde´e a velocida-de da pedra no instante que antecede sua colis˜ao com o solo. A energia potencial final ´e/². Portantot4É©O.=7@5tv7:š. Substituindo nesta express˜ao a express˜ao encontrada acima paraOtemos tC9
  • 156. S(3ÉÉ|šCј š”(ztÑ!3ÉÉ• š”ÑÑR3tXÉÉ•Fgde onde obtemos o resultado final procurado: š”ÑÑR3tXÉÉ• { '=¿ Perceba que paraambos resultados reduzem-se ao que ja ´conheciamos, ÉRÎcomo nao ˜podeia deixar de ser. 8.1.5 Massa e Energia E 8-92 (na 6) (a) (*!Qual a energia em Joules equivalente a uma massa deg? (b) Durante quantos anos esta energia aten-deria as `necessidades de uma fam´ılia que consome em m´edia(kW? (a) Usamos a f´ormula’R7ÍÔE: ’f
  • 157. H(K!!E
  • 158. G%#qT(KÄ=%H(‡)(*{·J (b) Usamos agora’R¤®, onde¤´e a taxa de consumo de energia e®´e o tempo. Portanto, ®’¤%%HH(((D‡‡)TT(*(K(K+{{·segundos G%(?T(K·anos! P 8-96 (na 6) Os Estados Unidos produziram cerca dekWGI(@(*{Ãh de energia el´etrica em 1983. Qual a massa equi-valente a esta energia? Para determinar tal massa, usamos a relac¸ ˜ao7ÍÔE’, ondeÔ‡B%!%#l(KÄm/s ´e a velocidade da luz. Primeiro precisamos converter kWÃh para Joules: I5(˜T(K{kWÃhGI(?T(K{
  • 159. S(K+WE
  • 160. IU! s#I!qT(K{ÄJ Portanto 78Ô’#5I‡T(K{Ä
  • 162. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 9 Sistemas de Part´ıculas 9.1 Quest˜oes Q 9-2 Qual a localizac¸˜ao do centro de massa da atmosfera da Terra? 9.2 Problemas e Exerc´ıcios 9.2.1 O Centro de Massa E 9-1 (9-1/6edic¸ ˜ao) (a) A que distˆancia o centro de massa do sistema Terra- Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distˆancia entre os dois astros que aparecem no Apˆendice C.) (b) Expresse a resposta do item (a) como uma frac¸˜ao do raio da Terra. (a) Escolha a origem no centro da Terra. Ent˜ao a distanciaˆK;PÕÖ do centro de massa do sistema Terra-Lua e ´dada por ;*ÕÖÒ77¾¾3;*7@×Øgonde7¾´e a massa da Lua,7ÍØ ´e a massa da Terra, a;×´e a separac¸˜ao m´edia entre Terra e Lua. Tais valores encontram-se no Apˆendice C. Em n´umeros temos, ;ÕPÖY5
  • 164. I %!'#'T)(K(*Ä‚m (b) O raio da Terra ´e´Ø–$UI6~(KÁm, de modo que temos ;´ÕØÖYU5UIY'6TT(K(KÁÁ=5 IObserve que a frac¸˜ao entre as massas ´e 77ؾG%I!!#UqqTT((KK!h‚=#(!! E 9-3 (9-3/6) (a) Quais s˜ao as coordenadas do centro de massa das trˆes part´ıculas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acon-tece com o centro de massa quando a massa da part´ıcula de cima aumenta gradualmente? (a) Sejam
  • 166. gÙ!,
  • 167. ghZRx
  • 168. L(gae
  • 170. GgK(*as coordenadas (em metros) das trˆes part´ıculas cujas respectivas massas designamos por7{,7e7+. Ent˜ao a coordenadado centro de massa ´e ÕÖ7{7{{33773377+++3
  • 171. #5IE
  • 173. Y5Y5!]
  • 174. G!^(H(m enquanto que a coordenadaZ´e ZÕPÖ7{Z7{{3377Z3377++Z+3
  • 175. #I5!E
  • 176. 3G#!33
  • 177. YYE
  • 178. S(!f(!Im (b) A medida que a massa da part´ıcula de cima ´e au-mentada o centro de massa desloca-se em direc¸˜ao `aquela part´ıcula. No limite, quando a part´ıcula de cima for mui-to mais massiva que as outras, o centro de massa coin-cidir ´a com a posic¸ ˜ao dela. E 9-12¸(9-9/6) Uma lata em forma de cilindro reto de massa¹, al-tura ¬ e densidade uniforme est´a cheia de refrigerante (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante ´e7. Fazemos pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conte´udo e medimos o valor deO, a distˆancia verti-cal entre o centro de massa e a base da lata, para v´arias situac¸ ˜oes. Qual ´e o valor deOpara (a) a lata cheia e (b) a lata vazia? (c) O que acontece comOenquanto a lata est´a sendo esvaziada? (d) Se´e a altura do l´ıquido que resta em um determinado instante, determine o va-lor de(em func¸˜ao de¹,¬e7) no momento em que o centro de massa se encontra o mais pr´oximo poss´ıvel da base da lata. (a) Como a lata ´e uniforme seu centro de massa est´a localizado no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia¬@ acima da sua base. O centro de massa do refri-gerante est´a no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia© acima da base da lata. Quando a lata est´a cheia tal posic¸˜ao coincide com¬:. Portanto o centro de massa http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 13 de 26
  • 179. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 da lata e com o refrigerante que ela cont´em est´a a uma distˆancia acima da baO0se, so¹†br
  • 181. ¬:ilindro.¬ (b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de massa est´a em¬: acima da base, sobre o eixo do ci-lindro. (c) A medida quedecresce o centro de massa do re-frigerante na lata primeiramente diminui, depois cresce at´e¬:novamente. (d) Quando a superf´ıcie superior do refrigerante est´a a uma distˆanciaacima da base da lata a massa restante7ÍÜdo refrigerante na lata ´e7ÍÜDž
  • 182. ©C¬–S7 , onde7 ´e a massa quando a lata est´a cheia ()“¬ ). O centro de massa do refrigerante est´a apenas a uma distˆanciada base da lata. Logo O¹†
  • 187. ¹“
  • 188. ¹“¬¬337@7@(1) Encontramos a posic¸ ˜ao mais baixa do centro de massa da lata com refrigerante igualando a zero a derivada deem relac¸a˜o aOe resolvendo em relac¸ ˜ao a. A derivada ´e dada por ‘‘!O
  • 190. ¹“5
  • 192. ¹“¹s¬7Í3¬»7: tX¹s7@¬~A soluc¸ ˜ao de7ÍE3!¹s7@¬»tX¹s7ͬ~v=´e :¹“7¬ŽtM(3b(3¹7Usamos a soluc¸ ˜ao positiva pois´e positivo. Substituindo-se agora o valor dena Eq. (1) acima e simplificando, encontramos finalmente que O:¬–7¹”b(3¹7tM(• 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas E 9-13 (9-10/6) Dois patinadores, um comU kg de massa e o outro comY kg, est˜ao de p´e em um rinque de patinac¸˜ao no gelo segurando uma vara de massa desprez´ıvel com(K m de comprimento. Partindo das extremidades da vara, os pa-tinadores se puxam ao longo da vara at´e se encontrarem. Qual a distancia ˆpercorrida pelo patinador deY kg?A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente os patinadores e a vara formem um sistema mecanica-mente isolado, i.e. sobre o qual n˜ao atuam forc¸as exter-nas. Portanto, a posic¸ ˜ao do centro de massa n˜ao pode alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinado-res puxarem a vara. Suponha que o patinador deU! kg encontre-se `a esquer-da e que o centro de massa seja escolhido como a origem do sistema de coordenadas (i.e.ÕPÖÒ), e que sejaa distˆancia desde o centro de massa at´e o patinador deY kg. Ent˜ao temos ÕÖ8tvU
  • 194. S(K˜tT=Y!, donde tiramos :U!(KRU m Note que o fato dos patinadores terminarem em contato implica que basta um deles puxar a vara para que AM-BOS se movam em relac¸ ˜ao ao gelo. Se ambos puxarem a vara, eles apenas chegam mais r´apido `a posic¸ ˜ao fi-nal, sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar a vara, que o outro ser´a necessariamente arrastado em direc¸˜ao ao centro de massa, quer queira, quer n˜ao. Voce percebe isto? E 9-14 (9-11/6) Um velho Galaxy com uma massa deCY kg est´a via-jando por uma estrada reta a# km/h. Ele ´e seguido por um Escort com uma massa de(*U! kg viajando akm/h. Qual a velocidade do centro de massa dos doU!is carros?ÍÞ 7 SejameÞ 7ÍÝ ea massa e a velocidade do Galaxy ea massa Ý e velocidade do Escort. Entao, ˜con-forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e ´dada por ÕÖ7ÍÝ17Ý~Ý3377ÍÞÞ1Þ
  • 199. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 Note que as duas velocidades est˜ao no mesmo sentido, de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo sinal. As unidades usadas n˜ao s˜ao do Sistema Interna-cional. E 9-19 (9-18/6) Ricardo, de massa igual a#! kg, e Carmelita, que ´e mais leve, est˜ao passeando no Lago Titicaca em uma canoa deI kg. Quando a canoa est´a em repouso na ´agua calma, eles trocam de lugares, que estao ˜distantesIm e posi-cionados simetricamente em relac¸ ao ˜ao centro da canoa. Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se moveY! cm em relac¸ ˜ao a um tronco de ´arvore submerso e cal-cula a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita? Chamemos de¹Xß e¹Õas massas de Ricardo e Car-melita. Suponhamos que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri-cardo) esteja a uma distˆanciado meio da canoa de comprimentoVe massa7. Neste caso ¹Xß”VtT•R7@3¹Õ”V3• Como n˜ao existe forc¸a externa, esta equac¸˜ao permane-ce igualmente v´alida ap´os a troca de lugares, uma vez que as posic¸ ˜oes de ambos s˜ao sim´etricas em relac¸ ˜ao ao meio do barco. A diferenc¸a ´e que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no barco, ou seja, sofreu uma variac¸˜ao de. Para deter-minar o valor de, basta usar a observac¸˜ao relacionada ao tronco de ´arvore submerso, que andou uma distˆancia C:=Y!cm$Ym Portanto, usandoX^5na equac¸ ˜ao acima obtemos a massa de Carmelita: ¹XÕ¹X߃
  • 202. I!!E
  • 203. #kg E 9-20 (9-15/6) Um proj´etil ´e disparado por um canh˜ao com uma velo-cidade inicial de m/s. O ˆangulo do disparo ´eUJ em relac¸ ˜ao `a horizontal. Quando chega ao ponto mais al-to da trajet´oria, o proj´etil explode em dois fragmentos de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu-ja velocidade imediatamente ap´os a explos˜ao ´e zero, cai verticalmente. A que distˆancia do canh˜ao o outro frag-mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e a resistˆencia do ar possa ser desprezada? Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explos˜ao e a velocidade do fragmento que n˜ao cai reto para baixo. Tais dados s˜ao as condic¸ ˜oes iniciais para um problema de movimento de proj´eteis, para determi-nar onde o segundo fragmento aterrisa. Consideremos primeiramente o movimento do proj´etil original, at´e o instante da explos˜ao. Tomemos como ori-gem o ponto de disparo, com o eixotomado horizontal e o eixoZvertical, positivo para cima. A componenteZda velocidade ´e dada porMÌšÙàt£9®e ´e zero no instante de tempo®“šaà*9@
  • 204. š9Gsen¢š, ondee´ a velocidade inicial eš¢š´e o ˆangulo de disparo. As coordenadas do ponto mais alto s˜ao :=Cšeá®cCš›EœG¢šd®
  • 207. %!#SsenUJ^(*Im J´a que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a com-ponente horizontal do momento ´e conservada. Uma vez que um dos fragmentos tem velocidade zero ap´os a ex-plos ˜ao, o momento do outro fragmento tem que ser igual ao momento do proj´etil originalmente disparado. A componente horizontal da velocidade do proj´etil ori-ginal ´eš›EœG¢š. Chamemos de¹ a massa do proj´etil inicial e deÈša velocidade do fragmento que se move horizontalmente ap´os a explos˜ao. Assim sendo, temos ¹sCš›EœG¢š˜¹Èšg uma vez que a massa do fragmento em quest˜ao ´e¹=. Isto significa que Èšâ5C
  • 208. š›EGœ›EGœ¢GšUJm/s Agora considere um proj´etil lanc¸ado horizontalmente no instante®Wcom velocidade de m/s a partir do ponto com coordenadas
  • 211. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 coordenadaZ´e dada porZfWZštR9®*, e quando ele aterrisa temosZX. O tempo at´e a aterrisagem ´e®ACZš*9 e a coordenadado ponto de aterrisagem ´e Íš3Èš]®š3ÈšbC9Zš («3b5
  • 212. S%(*#I=Im A que distˆancia o proj´etil cairia se n˜ao tivesse havido explos˜ao? E 9-21 (9-17/6) Dois sacos idˆenticos de ac¸ ´ucar s˜ao ligados por uma cor-da de massa desprez´ıvel que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprez´ıvel, com mm de diˆametro. Os dois sacos est˜ao no mesmo n´ıvel e cada um possui originalmente uma massa de g. (a) Determine a posic¸ ˜ao horizontal do centro de massa do sistema. (b) Suponha que g de ac¸ ´ucar s˜ao transferidos de um saco para o outro, mas os sacos s˜ao mantidos nas posic¸ ˜oes originais. Determine a nova posic¸ ˜ao horizontal do cen-tro de massa. (c) Os dois sacos s˜ao liberados. Em que direc¸ ˜ao se move o centro de massa? (d) Qual ´e a sua acelerac¸ ˜ao? (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co-mo sendo o centro da roldana, com o eixohorizontal e para a direita e com o eixoZpara baixo. O centro de massa est´a a meio caminho entre os sacos, emŒBeZMÎ}, onde}´e a distˆancia vertical desde o centro da roldana at´e qualquer um dos sacos. (b) Suponha g transferidas do saco da esquerda para o saco da direita. O saco da esquerda tem massag e esta ´em{^t43mm. O saco a `direita tem massaY# g e esta´ emmm. A coordenadado centro de massa ´e ent˜ao ÕÖ7{7{{3377
  • 213. Y#!]
  • 215. !E
  • 216. 3!^(mm A coordenadaZainda ´e}. O centro de massa est´a amm do saco mais leve, ao longo da linha que une os doiUs corpos. (c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para bai-xo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. (d) Como os sacos est˜ao conectados pela corda, que pas-sa ent˜aotv¯ ´e a acelerac¸ ˜ao de7{. A acelerac¸ ˜ao do centro pela roldana, suas acelerac¸ ˜oes tem a mesma magni-tude mas sentidos opostos. Se¯´e a acelerac¸ ˜ao de7, de massa ´e ¯ÕÖ87{7
  • 217. Stv{¯G3377¯$¯7tT7{ 7{37 Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco te-mos saco levesaco pesadoã7{9‡t³ftz7{¯gã79‡t³7¯ Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos ¯'7tT7{ 7{379 Portanto, substituindo na equac¸˜ao para¯ÕÖ , vemos que ¯ÕPÖ
  • 218.
  • 220.
  • 222. %#!1$(*Um/s A acelerac¸ ˜ao ´e para baixo. E 9-22 (9-19/6) Um cachorro dekg est´a em um bote de kg que se encontra aUmda margem (que fica `a esquerda na Fig. 9- 34a). Ele andaGYm no barco, em direc¸˜ao `a margem, e depois p´ara. O atrito entre o bote e a ´agua ´e desprez´ıvel. A que distˆancia da margem est´a o cachorro depois da caminhada? (Sugest˜ao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a di-reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco? Ser´a que ele se move?) Escolha o eixocomo sendo horizontal, com a ori-gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9- 34a. Seja7»äa massa do bote eä-sua coordenada ini-cial. Seja7»åa massa do cachorro eå-sua coordenada inicial. A coordenada inicial do centro de massa ´e ent˜ao Õæ-oçÖ7ÍäL7Íää-337»7»åhåå-Agora o cachorro caminha uma distˆancia‘para a es-querda do bote. Como a diferenc¸a entre a coordenada final do boteä/ e a coordenada final do cachorroå¼/ ´e‘, ou sejaä/tTå¼/f‘, a coordenada final do centro de massa pode tamb´em ser escrita como ÕPæ/KÖç7ÍäL7ä/äP3377»ååSå¼/http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 16 de 26
  • 223. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 7»äLå¼/7»3ä7»3äL‘7»3å7»åSå¼/Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no siste-ma bote-cachorro, a velocidade do centro de massa n˜ao pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial-mente em repouso, a velocidade do centro de massa ´e zero. O centro de massa permance na mesma posic¸ ˜ao e, portanto, as duas express˜oes acima paraÕPÖ devem ser iguais. Isto significa que 7ÍäLä-37»åLÕPæ-HçÖå-è7»Õæ/*äLÖçå¼/37»äL‘37»åhå¼/5Isolando-seå¼/ obtemos å¼/7ÍäLä-7Í3ä7»3åL7»å-©åtT7Íäh‘
  • 224. E
  • 225. U!3
  • 226. ]
  • 227. 3UFtM
  • 228. E
  • 229. YRY!#m Observe que usamosä -èå-. ´E estritamente ne-cess ´ario fazer-se isto? Se n˜ao for, qual a vantagem de se faze-lo?... Al´em de uma escolha conveniente dos pontos de re-fer ˆencia, perceba que um passo crucial neste exerc´ıcio foi estabelecer o fato queä/6t)å¼/‡=‘. 9.2.3 O Momento Linear E 9-23 (na 6) Qual o momento linear de um autom´ovel que pesa(KU5! N e est´a viajando a# km/h? A “moral” deste problema ´e cuidar com as unidades empregadas: éR7@'(KU!%##!#'I!)U(*+RI!U!#(kg m/sg na direc¸ ˜ao do movimento. E 9-24 (9-21/6) Suponha que sua massa ´e de# kg. Com que veloci-dade teria que correr para ter o mesmo momento linear que um autom´ovel de(*U! kg viajando a(!km/h? Chamando de7åeåa massa e a velocidade do car-ro, e de7ea “sua” massa e velocidade temos, grac¸as `a conservac¸˜ao do momento linear, 7Í7åhå
  • 230. S(*U!
  • 231. #!E
  • 232. LE(
  • 233. I! 6U!T!(K+=UUm/s Poder´ıamos tambem ´deixar a resposta em km/h: 77åå
  • 235. $Ykm/h Perceba a importancia ˆde fornecer as unidades ao dar sua resposta. Este ultimo ´valor nao ˜esta ´no SI, claro. E 9-25 (9-20/6) Com que velocidade deve viajar um Volkswagen dekg (a) para ter o mesmo momento linear que um#C(*aU-dillac deU kg viajando a(KU km/h e (b) para ter a mesma energia cin´etica? (a) O momento ser´a o mesmo se7~ê1!ê°Î7ÕÕ, donde tiramos que !êu77ÕêÕ#U(*U
  • 236. S(*U!1$(%Ukm/h (b) Desconsiderando o fator(, igualdade de energia cin´atica implica termos7~ê2ê7ÕÕ, ou seja, êb7»7ÕêÕXb#U!(KU
  • 237. L(KUF#5#!Ikm/h E 9-26 (na 6) Qual o momento linear de um el´etron viajando a uma velocidade de%%!Ô($G%qT(KÄm/s)? Como a velocidade do el´etron n˜ao ´e de modo algum pequena comparada com a velocidadeÔda luz, faz-se necess´ario aqui usar a equac¸˜ao relativistica para o mo-mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24: é‰(z7:tŠeåëë
  • 239. ]5
  • 240. %!%!%q)(*Ä(!%5(6)(*k{kgÃm/s Sem o fator relativ´ıstico ter´ıamos achado é„
  • 242. G%‡)(*Ä !qT(Kk hkgÃm/sg ou seja, um valor6
  • 244. %vezes menor: éé„ http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 17 de 26
  • 245. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 9.2.4 Conservac¸ ˜ao do Momento Linear E 9-33 (9-27/6) Um homem de(K kg, de p´e em uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, d´a um chute em uma pedra de«C kg, fa-zendo com que ela adquira uma velocidade deI5%! m/s. Qual a velocidade do homem depois do chute? Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua no sistema homem-pedra, o momento total ´e conserva-do. Como tanto o homem como a pedra est˜ao em repou-so no in´ıcio, o momento total ´e zero antes bem como depois do chute, ou seja 70ìC*ì37ˆˆ$g onde o sub´ındiceérefere-se `a pedra e o sub´ındice refere-se ao homem. Desta expressa˜o vemos queO ˆ‡^t707»ì**ˆìtvt
  • 247. I%m/sg onde o sinal negativo indica que o homem move-se no sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda que a raz˜ao das massas coincide com a raz˜ao dos pesos. E 9-36 (9-29/6) Um homem de kg est´a viajando em um carrinho, cuja massa ´eI% kg, aIm/s. Ele salta para fora do carrinho de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a variac¸ ˜ao resultante na velocidade do carrinho? NOTA: na 4edic¸ ˜ao do livro (bem como em algumas edic¸ ˜oes anteriores) esqueceram-se de fornecer a massa do carrinho, no enunciado deste exerc´ıcio. Al´em dis-to, traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que tamb´em aparece nas edic¸ ˜oes mais antigas do livro. O enunciado na 6edic¸ ˜ao est´a correto. Dificilmente uma carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro, n˜ao ´e mesmo? O momento linear total do sistema homem-carrinho ´e conservado pois n˜ao atuam forc¸as externas com com-ponentes horizontais no sistema. Chamemos de7åa massa do carrinho,a sua velocidade inicial, eåsua velocidade 7»ˆfinal (apos ´o homem haver pulado fora). Sejaa massa do homem. Sua velocidade inicial e ´a mes-ma do carrinho e sua velocidade final e ´zero. Portanto a conservac¸ao ˜do momento nos fornece
  • 248. 7͈37»åa¼'=7ÍåhåKg de onde tiramos a velocidade final do carrinho: å
  • 250. GI!E
  • 251. I!%3I%$U«m/s A velocidade da carrinho aumenta porm/s. Para reduzir sua velocidade o homU5e mDtlfazGcIomfqY5uYe o carrinho puxe-o para tr´as, de modo que o carrinho seja impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade. E 9-38 (9-33/6) O ultimo ´estagio ´de velocidade deCU! um foguete esta ´viajando com uma m/s. Este ultimo ´estagio ´e ´feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de com-bust ´ıvel com uma massa de% kg e uma c´apsula de instrumentos com uma massa de(* kg. Quando a tra-va e ´acionada, uma mola comprimida faz com que as duas partes se separem com uma velocidade relativa de%5(K m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois que elas se separam? Suponha que todas as velocida-des tˆem a mesma direc¸˜ao. (b) Calcule a energia cin´etica total das duas partes antes e depois de se separarem e explique a diferenc¸a (se houver). (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site-ma composto pelas duas partes no ultimo ´estagio. ´O mo-mento total do sistema ´e conservado. Seja7@ía massa do tanque e7Íåa massa da c´apsula. Inicialmente ambas est˜ao viajando com a mesma velocidade. Ap´os a trava ser acionada,7:ítem uma velocidadeCí enquanto que7»åtem uma velocidadeå. Conservac¸˜ao do momento fornece-nos
  • 252. 7@í37ÍåÙ¼R7@íCí37»åSå* Ap´os a trava ser solta, a c´apsula (que tem menos massa) viaja com maior velocidade e podemos escrever åƒCí3ÜaîïSg ondeÜaîï ´e a velocidade relativa. Substituindo esta ex-press ˜ao na equac¸˜ao da conservac¸˜ao do momento obte-mos
  • 255. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 ‡t7:í73í7»åÜaîï CU!jt%!(*3(
  • 256. %(K1%m/s A velocidade final da c´apsula ´e åº=Cí3Üaîï$%3%(*?$#!m/s (b) A energia cin´etica total antes da soltura da trava ´e ,-{ {
  • 258. %3(E
  • 259. U!!“(!(?T(K{šJ A energia cin´etica total ap´os a soltura da trava ´e ,:/{ 7:íí3{ {7»åhå
  • 260. %!]
  • 262. S(E
  • 263. #!!J A energia cin´etica total aumentou levemente. Isto deve-se `a convers˜ao da energia potencial el´astica armazenada na trava (mola comprimida) em energia cin´etica das par-tes do foguete. E 9-39 (9-39/6) Uma caldeira explode, partindo-se em trˆes pedac¸os. Dois pedac¸os, de massas iguais, s˜ao arremessados em trajet´orias perpendiculares entre si, com a mesma velo-cidade deI m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa trˆes vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o m´odulo, direc¸ ˜ao e sentido de sua velocidade logo ap´os a ex-plos ˜ao? Suponha que n˜ao haja forc¸a externa atuando, de modo que o momento linear do sistema de trˆes pec¸as seja con-servado. Como o momentum antes da explos˜ao era zero, ele tamb´em o ´e ap´os a explos˜ao. Isto significa que o ve-tor velocidade dos trˆes pedac¸os est˜ao todos num mesmo plano. Escolha um sistema de coordenadasXY, com o eixo ver-tical sendo o eixoZ, positivo para cima. A partir da origem deste diagrama, desenhe na direc¸˜ao negativa do eixo X o vetorI7:ñ , correspondente ao momento da part´ıcula mais pesada. Os dois outros momentos sao ˜re-presentados por vetoresapontando num anguloˆ{ no primeiro quadrante e¢7@Ç no quarto quadrante, de mo-do ¢que¢{3¢=%J(condic¸˜ao do problema). Como a componente vertical do momento deve conser-var- se, temos com as convenc¸ ˜oes acima, que 7@sen¢{tT7:sen¢R5g onde´e a velocidade dos pedac¸os menores. Portan-to devemos necessariamente ter que¢{²¢e, como¢{3¢R%!!J, temos que¢{R¢YJ. Conservac¸˜ao da componentedo momento produz I7ÈC7@›EœG¢{ Consequentemente, a velocidadeÈdo pedac¸o maior ´e È+º›EœG¢{+
  • 264. I!!m/sno sentido negativo do eixovelocidade do pedac¸o maior e G]›!œGYJ“(KYg . O angulo ˆentre o vetor qualquer um dos pedac¸os menores e ´(*#JtTYJ“(KIJ 9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete E 9-48 (9-41/6) Uma sonda espacial deU%! kg, viajando para J´upiter com uma velocidade de(Km/s em relac¸˜ao ao Sol, acio-na o motor, ejetando# kg de gases com uma velocidade deI m/s em relac¸ ˜ao `a sonda. Supondo que os gases s˜ao ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial da sonda, qual a sua velocidade final? Ignore a forc¸a gravitacional de J´upiter e use a Eq. (9- 47) do livro texto. Se- ´e a velocidade inicial,¹u-´e a massa inicial,/ ´e velocidade final,¹u/´e a massa final, eò´e a velocidade do g´as de exaust˜ao, ent˜ao /‡=-3ò˜óoô¹u¹/-Neste problema temos¹u-fU!%kg e#!6RU5(K¹u/.^U!%?tkg. Portanto /‡f(*!3I2óoô”UU!5%(K•“(K!#m/s E 9-49 (9-43/6) Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regi˜ao em que a forc¸a gravitacional ´e desprez´ıvel, tem uma massa de!2‡(K·kg, da qual(!#5(6(*·kg s˜ao combust´ıvel. O consumo de combust´ıvel do motor ´e deY!#! kg/s e a http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 19 de 26
  • 265. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 velocidade de escapamento dos gases ´e deI ! km/s. O motor ´e acionado durante s. (a) Determine o em-puxo do foguete. (b) Qual ´e a massa do foguete depois que o motor ´e desligado? (c) Qual ´e a velocidade final do foguete? (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o empuxo do foguete ´e dado por’´ò, onde´´e a taxa de consumo de combust´ıvel eò´e a velocidade do gas exaustado. No presente problema temos´fY#kg eò@$I !‡T(K+m/s, de modo que ’´ò:f
  • 266. Y#E
  • 267. I5‡)(*+]2^( !‡T(KÁN (b) A massa do combust´ıvel ejetado ´e dada por¹uåJ×ä´r®, onder®´e o intervalo de tempo da quei-ma de combust´ıvel. Portanto ¹uåJ×ä2B
  • 268. Y#E
  • 269. !P^( 'T(K·kg A massa do foguete ap´os a queima ´e ¹u/‡=¹u-©tŒ¹låJ×äõ
  • 270. G ˜tM( p)(*· (I!q)(*·kg (c) Como a velocidade inicial ´e zero, a velocidade final ´e dada por /ò˜óoô¹u¹X/-
  • 271. I! !#'‡)T(*(K++Kóoô”(!I!qq))(*(*··•m/s E 9-56 (9-47/6) Duas longas barcac¸as est˜ao viajando na mesma direc¸˜ao e no mesmo sentido em ´aguas tranq¨uilas; uma com uma velocidade de(K km/h, a outro com velocidade de km/h. Quando est˜ao passando uma pela outra, oper´arios jogam carv˜ao da mais lenta para a mais r´apida, `a raz˜ao de(K! kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as mesmas velocidades? Suponha que a transferˆencia de carv˜ao se d´a perpendicularmente `a direc¸˜ao de movimen-to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as embarcac¸ ˜oes e a ´agua n˜ao depende do seu peso. 9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Variac¸ ˜oes na Energia Cin´etica E 9-60 (9-55/6) Uma mulher de !kg se agacha e depois salta para cima na vertical. Na posic¸˜ao agachada, seu centro de massa est´aY cm acima do piso; quando seus p´es deixam o ch˜ao, o centro de massa est´a%! cm acima do piso; no ponto mais alto do salto, est´a( cm acima do piso. (a) Qual a forc¸a m´edia exercida sobre a mulher pelo piso, enquanto h´a contato entre ambos? (b) Qual a velocida-de m´axima atingida pela mulher? http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 20 de 26
  • 272. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 10 Colis˜oes 10.1 Quest˜oes Q 10-1 Explique como a conservac¸˜ao de energia se aplica a uma bola quicando numa parede. 10.2 Problemas e Exerc´ıcios 10.2.1 Impulso e Momento Linear E 10-3 (10-1/6edic¸ ˜ao) Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma forc¸a m´edia de N em um intervalo de(K ms. Se a bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria ap´os o impacto? Se€for a magnitude da forc¸a m´edia ent˜ao a magni-tude do impulso ´eöl€r®, onder®´e o intervalo de tempo durante o qual a forc¸a ´e exercida (veja Eq. 10-8). Este impulso iguala a magnitude da troca de momen-tum da bola e como a bola est´a inicialmente em repouso, iguala a magnitude7@ do momento final. Resolvendo a euqac¸˜ao€r®7@paraencontramos 'ž€7r®
  • 273. !E
  • 274. L(K' T(Kk+G m/s E 10-9 (10-5/6) Uma forc¸a com valor m´edio de(* N ´e aplicada a uma bola de ac¸o deY! kg, que se desloca a(]Y m/s, em uma colisao ˜que dura ms. Se a forc¸a estivesse no senti-do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade final da bola. Considere a direc¸˜ao inicial do movimento como po-sitiva e chame de€a magnitude da forc¸a m´edia,r®a durac¸˜ao da forc¸a,7 a massa da bola,-a velocidade inicial da bola,/a velocidade final da bola. Ent˜ao a forc¸a atua na direc¸ ˜ao negativa e o teorema do impulso-momento fornece t€r®R7:/6t)7@-L Resolvendo para/ obtemos /-©t“€7r®(]Y?t
  • 275. S(*E
  • 276. DY!T(Kk+“tvUm/s A velocidade final da bola ´eU m/s. P 10-12 (10-9/6) Um carro deKY!! (kg, deslocando-se aIm/s, esta ´ini-cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixoZ. Ap´os completar uma curva `a direita de%!Jpara o sentido positivo do eixoemY5Us, o distraido moto-rista investe para cima de uma arvore, ´que para ´o carro emI! ms. Em notac¸ ˜ao de vetores unit´arios, qual ´e o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a colis˜ao? Qual a intensidade da forc¸a m´edia que age so-bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colis˜ao? (e) Qual ´e o ˆangulo entre a forc¸a m´edia em (c) e o senti-do positivo do eixo? (a) O momento inicial do carro ´e ÷-=7@Ç)f
  • 279. YkgÃm/soø e o momento final ´e
  • 280. CY kgÃm/sSù. O impulso que nele atua ´e igual `a variac¸˜ao de momento: ú÷/Dt÷-B
  • 282. ù©t øE (b) O momento inicial do carro ´e÷-ºÎ
  • 283. YkgÃm/se o momento final e´Lù÷/»†, uma vez que ele para. O impulso atuando sobre o carro ´e ú÷/Dt÷-ft6
  • 284. YkgÃm/sLù (c) A forc¸a m´edia que atua no carro ´e ÆŠrr÷®rú®
  • 286. ùtøC
  • 288. ùt ø e sua magnitude ´e€Š°x
  • 289. S(KU!NI!¡°ûUBnN. (d) A forc¸a m´edia ´e ÆŠjrú®
  • 291. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
  • 293. St4GH(DT(K1‚ùNFù e sua magnitude ´eÆŠ?GH(?)(*‚N. (e) A forc¸a m´edia ´e dada acima em notac¸˜ao vetorial unit´aria. Suas componenteseZtem magnitudes iguais. A componente´e positiva e a componentee´ negativa, de modo que a forc¸a esta´ aZY!J abaixo do eixo. P 10-13 (10-??/6) A forc¸a sobre um objeto de(K kg aumenta uniforme-mente de zero a N emYs. Qual ´e a velocidade final do objeto se ele partiu do repouso? Tome a magnitude da forc¸a como sendo€$¥®, on-de ¥´e uma constante de proporcionalidade. A condic¸˜ao que€$N quando®RYs conduz a ¥$B
  • 294. Nh
  • 295. Y s“(G N/s A magnitude do impulso exercido no objeto ´e ö»½š‚€‘®½š‚¥®‘®{ ¥®üüü‚š { (*
  • 296. S(G ]
  • 297. YNÃs A magnitude deste impulso ´e igual `a magnitude da variac¸ ˜ao do momento do objeto ou, como o objeto par-tiu do repouso, e´ igual m` agnitude do momento final:ö»=7@/. Portanto /7ö(*(K“(*m/s P 10-14 (10-13/6) Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos deg por segundo com uma velocidade de m/s, que s˜ao detidos por uma parede r´ıgida. (a) Qual ´e o mo-mento linear de cada chumbinho? (b) Qual ´e a energia cin´etica de cada um? (c) Qual ´e a forc¸a m´edia exercida pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se ca-da chumbinho permanecer em contato com a parede porUms, qual ser´a a forc¸a m´edia exercida sobre a parede por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por que esta forc¸a ´e t˜ao diferente da forc¸a em (c)? (a) Se7for a massa dum chumbinho efor sua ve-locidade quando ele atinge a parede, ent˜ao o momento ´e éR7:'B
  • 299. !2f(kgÃm/sg na direc¸˜ao da parede. (b) A energia cin´etica dum chumbinho ´e ,{ 7:{
  • 301. =!J (c) A forc¸a na parede ´e dada pela taxa na qual o momen-to ´e transferido dos chumbinhos para a parede. Como os chumbinhos n˜ao voltam para tr´as, cada chumbinho transfereéB(kgÃm/s. SerÀ^(*chumbinhos co-lidem num tempor®†(segundo, ent˜ao a taxa m´edia com que o momento ´e transferido ´e €ŠDérr®À
  • 302. S(!](
  • 303. S(*!f(*N A forc¸a na parede tem a direc¸˜ao da velocidade inicial dos chumbinhos. (d) Ser®´e o intervalo de tempo para um chumbinho ser freado pela parede, ent˜ao a forc¸a m´edia exercida na parede por chumbinho ´e €Šré®5U T((Kk+^(KUU!UUN A forc¸a tem a direc¸˜ao da velocidade inicial do chumbi-nho. (e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o interva-lo em que um chumbinho est´a em contato com a parede, enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo de tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede. Na maior parte do tempo nenhum chumbinho est´a em contato com a parede, de modo que a forc¸a m´edia na parte (c) ´e muito menor que a m´edia em (d). P 10-26 (10-15/6) Uma espac¸onave ´e separada em duas partes detonando-se as ligac¸ ˜oes explosivas que as mantinham juntas. As massas das partes s˜ao(*! e(*#! kg; o m´odulo do im-pulso sobre cada parte ´e deI! NÃs. Com que velocida-de relativa as duas partes se separam? Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha Seja7{,{a massa e a velocidade da parte mais que o impulso tenha magnitudeöe esteja no sentido po-sitivo. leve ap´os as ligac¸ ˜oes explodirem. Suponha que ambas as partes est˜ao em repouso antes da explos˜ao. Ent˜ao,¹ýR7{{, de modo que {7ö{(I!$ m/s http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 22 de 26
  • 304. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu-de mas no sentido oposto, de modo quet?öÎ7, onde7,s˜ao a massa e a velocidade da parte mais pesada. Portanto ft7öft(*I!#!^tvH(KUm/s A velocidade relativa das partes ap´os a explos˜ao ´e ˜t
  • 305. StvH(KUF=5Y( m/s P 10-28 (10-38/6) A espac¸onave Voyager 2 (de massa7 e velocidaderelativa ao Sol) aproxima-se do planeta Ju´piter (de mas- sa¹ e velocidadeÈ relativa ao Sol) como mostra a Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no sentido oposto. Qual ´e a sua velocidade, em relac¸ ˜ao ao Sol, ap´os este encontro com efeito estilingue? Conside-ra M[(km/s eÈ[(KI km/s (a velocidade orbital de J´upiter). A massa de J´upiter ´e muito maior do que a da espac¸onave;¹ýþÓ7. (Para informac¸ ˜oes adicionais, veja “The slingshot effect: explanation and analogies”, de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics Teacher, novembro de 1985.) Considere o encontro num sistema de referˆencia fixo em J´upiter. Quando eventuais perdas de energia forem desprez´ıveis, o encontro pode ser pensado como uma colis˜ao el´astica na qual a espac¸onave emerge da “co-lis ˜ao” com uma velocidade de mesma magnitude que a velocidade que possuia antes do encontro. Como a ve-locidade inicial da espac¸onave ´e -PR3Èf(*3(KI6=!km/s medida Í/encia ˆQ!a partir de Jupiter, ´ela se afastara ´de Jupiter ´comkm/s. Passando para o sistema original de re-fer no qual o Sol esta ´em repouso, tal velocidade e ´dada por /„R/3È$3(KI6$I#km/s 10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Dimens˜ao E 10-29 (10-35/6) Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual ´e a velocidadeÇdo bloco de(!Ukg ap´os a colis˜ao? (b) A colis˜ao ´e el´astica? (c) Suponha que a velocidade inicial do bloco deGYkg seja oposta `a exibida. Ap´os a colis˜ao, a velocidadeÇdo bloco de(!Ukg pode estar no sentido ilustrado? (a) Seja7{,{-e{/a massa e a velocidade inicial e final do bloco a `esquerda, eegrandezas do bloco a `7direita. ,-O /as corres-pondentes momento do sistema composto pelos dois blocos ´e conservado, de modo que 7{{-37-R7{{/j37/g donde tiramos que {/7{{-377{-©t)7/ 3G(YU—G ˜t)Y%™4“(!%m/s O bloco continua andando para a direita ap´os a colis˜ao. (b) Para ver se a colis˜ao ´e inel´astica, comparamos os va-lores da energia cin´etica total antes e depois da colis˜ao. A energia cin´etica total ANTES da colis˜ao ´e ,.-è{ ®(7
  • 308. YE
  • 309. G =I(! J A energia cin´etica total DEPOIS da colis˜ao ´e ,/{ 7{{/3{ {7/
  • 310. L(U!E
  • 311. L(%!3{
  • 312. YE
  • 313. Y%$I(! J Como,.-=,0/, vemos que a colis˜ao ´e el´astica, (c) Neste {/caso 7{{-temosm/s e -ft4{-GtT7 / G 3377(!YU—ŒtjtTY5%™^t4GUm/s Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sen-tido mostrado. E 10-33 (10-37/6) Um carro deIY! g de massa, deslocando-se em um tri-lho (!de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial dem/s, atinge um segundo carro de massa desconhe-cida, inicialmente em repouso. A colisao ˜entre eles e ´el´astica. Ap´os a mesma, o primeiro carro continua em seu sentido original a5m/s. (a) Qual ´e a massa do se-gundo carro? (b) Qual ´e a sua velocidade ap´os o impac-to? (c) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos? http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 23 de 26
  • 314. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 (a) Seja7{,{-,{/a massa e as velocidades inicial e final do carro que originalmente se move. Seja7e/a massa e a velocidade final do carro originalmente parado (- N. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-18, temos {/7{7{3tT77{-Desta express˜ao obtemos para7: 7{{-|/˜tT3{{/-7{ ((!!j3tŒUU
  • 315. IYg=%%g (b) A velocidade do segundo carro ´e dada por /qC7{ 7{37{-è(%I5Y
  • 317. L( m/s (c) A velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸˜ao ¤fB
  • 320. S(% =%Im/s Observe que usamos gramas em vez de kilogramas. E 10-34 (10-41/6) Um corpo deGkg de massa colide elasticamente com outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido original com um quarto de sua velocidade original. (a) Qual ´e a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci-dade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo deGkg era deY5m/s? (a) Sejam7{,{-,{/a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao do corpo que se move originalmen-te. Sejam7e/a massa e a volcidade final do corpo originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 temos {/77{{3tT77{-Resolvendo para7obtemos, para{/={-CY, 7{{-/tT3{{/-7{((zt£Y3(CY(
  • 321. 7{ I
  • 322. G!2“(!kg (b) A velocidade do centro de massa do sistem formado pelos dois corpos satisfaz a equac¸ ˜ao ¤“B
  • 323. 7{37¼ÕÖ87{{-37- Resolvendo paraÕPÖ com-$encontramos ÕPÖÒ77{3{{7-
  • 324. GE3
  • 325. Y(!=m/s E 10-37 (10-43/6) Duas esferas de titˆanio se aproximam frontalmente com velocidades de mesmo m´odulo e colidem elasticamente. Ap´os a colis˜ao, uma das esferas, cuja massa ´e deI! g, permanece em repouso. Qual ´e a massa da outra esfera? Seja7{,{-,{/a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao de uma das part´ıculas e7,-,/a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao, da ou-tra part´ıcula. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-28, temos {/q77{{3t)77{-37{C737-LSuponha que a esfera(esteja viajando originalmente no sentido positivo e fique parada ap´os a colis˜ao. A esferaesta´ viajando originalmente no sentido negativo. Subs- tituindo{-N,-ÿtz e{/Ûna express˜ao acima, obtemos6R7{tTI7. Ou seja, 77{ II gI“(K!g 10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao E 10-41 (10-23/6) Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me-teoro com a Terra ha ´cerca de 20.000 anos. Estima-se a massa ! do meteoro em Œ(K{škg e sua velocidade emm/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti-ria `a Terra numa colis˜ao frontal? Seja7×a massa do meteoro e7@Ø a massa da Terra. Seja×a velocidade do meteoro imediatamente antes da colisao ˜ea velocidade da Terra (com o meteoro) apos ´a colisao. ˜O momento do sistema Terra-meteoro e ´http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 24 de 26
  • 326. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42 conservado durante a colis˜ao. Portanto, no sistema de referˆencia Terra antes da colis˜ao temos 7××B
  • 327. 7×37ÍØF¼g de modo que encontramos para '7××377Í×Ø
  • 328. !]
  • 329. qT(K{šU G)%#'(*)k(*{Ù{‚3'T(K{šm/s Para ficar mais f´acil de imaginar o que seja esta velo-cidade note que, comoIU–CY@~IU!0°I5(*I!U!, temos U )(*k{Ù{ m/sU )(*k{Ù{
  • 330. I(*IU!m/ano (*#% m/ano (#% mm/ano ´E uma velocidade MUITO dif´ıcil de se medir, n˜ao?... E 10-42 (10-21/6) Um tren´o em forma de caixa deUkg est´a deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de%m/s, quando um pa-cote de(* kg ´e largado de cima para dentro dele. Qual ´e a nova velocidade do tren´o? Precisamos considerar apenas a componente horizon-tal do momento do tren´o e do pacote. Seja7í,ía mas-sa e a velocidade inicial do tren´o. Seja7ì, a massa do pacote evelocidade final do conjunto tren´o3pacote. A componente horizontal do momento deste conjunto conserva-se de modo que 7@í¼CíFB
  • 331. 7@í37ì¼g de onde tiramos '7Cí©í¼37:70íìU
  • 332. %3E
  • 333. U!($Im/s P 10-53 (10-29/6) Um vag˜ao de carga deI t colide com um carrinho auxi-liar que est´a em repouso. Eles se unem e da energia cinetica ´inicial e ´dissipada em calor, som, vibrac¸ oes, ˜etc. Encontre o peso do carrinho auxiliar.»å 7 Seja7ÍŠeŠ a massa e a velocidade inicial do vagao,˜a massa do carrinho auxiliar ea velocidade fi-nal dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸ao ˜do momento total do sistema formado pelos dois carros fornece-nos7@ŠŠ?^
  • 334. 7@Š37Íåa¼ donde tiramos 77ÍŠƒ3Š7ŠåA energia cin´etica inicial do sistema ´eenquanto que a energia cine´tica final e´,-²7ŠŠ ,/{
  • 337. 7@
  • 338. 7Š3Š7»Šåa 77@Šp3Š7ŠåComo! da energia cin´etica original ´e perdida, temos,:/6=5 I2,.-, ou seja,{ 7@7ÍŠ3Š7»Šå$«CI{ 7ŠŠgque, simplificada, fornece-nos7ŠG
  • 339. 7Šz37åºs5 I. Resolvendo para7åencontramos 7Íå «!CI7@Š?=5I7ÍŠ(
  • 340. GI%!]
  • 341. Itoneladas(G%!q)(*+kg A raz˜ao das massas ´e, obviamente, a mesma raz˜ao dos pesos e, chamando de¤PŠ o peso do vag˜ao, temos que o peso¤do carrinho auxiliar ´e ¤f=5IC¤PŠ(*