SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 19
Baixar para ler offline
PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
     Prof. Anderson Coser Gaudio
     Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
     http://www.cce.ufes.br/anderson
     anderson@npd.ufes.br                               Última atualização: 04/10/2005 13:24 H




                                         RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
                                               LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.


                                                              FÍSICA 2

                                              Capítulo 15 - Oscilações




                                          Problemas

01         02         03         04         05         06         07         08         09         10
11         12         13         14         15         16         17         18         19         20
21         22         23         24         25         26         27         28         29         30
31         32         33         34         35         36         37         38         39         40
41         42         43         44         45         46         47         48         49         50
51         52         53         54         55         56         57         58         59         60
61         62         63         64         65         66         67         68         69         70
71         72         73         74         75
Problemas Resolvidos de Física                       Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                                       Problemas Resolvidos

02. Um oscilador consiste em um bloco de massa de 512 g preso a uma dada mola. Ao oscilar com
    amplitude de 34,7 cm, ele repete seu movimento a cada 0,484 s. Encontrar: (a) o período, (b) a
    freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de força, (e) a velocidade máxima e (f) a
    força máxima exercida no bloco.
                                                                                          (Pág. 19)
Solução.
(a) O período do movimento de oscilação é o tempo gasto para que o movimento se repita, ou seja,
complete um ciclo. Logo:
        T = 0, 484 s
(b) A freqüência de oscilação vale:
            1
        ν = = 2, 0661 s −1 = 2, 0661          Hz
            T
        ν ≈ 2, 07 Hz
(c) A freqüência angular vale:
        ω = 2πν = 12, 9817 rad/s
        ω ≈ 13, 0 rad/s
(d) Para determinar a constante de força, partimos da conhecida relação:
               k
        ω=
               m
        k = ω 2 m = 86, 2857     N/m
        k ≈ 86, 3 N/m
(e) A dependência da velocidade da massa em relação ao tempo é dada pela seguinte equação:
        v(t ) = −ω xm sen (ωt + φ )
A velocidade máxima vmax é encontrada quando sen(ωt + φ) = ±1. Logo:
       vmax = ω xm = 4,5046 m/s
        vmax ≈ 4,50 m/s
(f) A dependência da força que a mola exerce sobre o bloco em relação ao tempo é dada pela
relação:
        F(t ) = ma(t ) = −mω 2 xm cos (ωt + φ )
A força máxima Fmax é encontrada quando cos(ωt + φ) = ±1. Logo:
        Fmax = mω 2 xm = 29, 9407      N
        Fmax ≈ 29,9 N

                                                   [Início]


08. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação
       x = ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤
                          ⎣                            ⎦
    Encontre (a) o deslocamento, (b) a velocidade e (c) a aceleração no instante t = 1,90 s. Encontre
________________________________________________________________________________________________________   2
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                          Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

    também (d) a freqüência e (f) o período do movimento.
                                                                                                     (Pág. 19)
Solução.
(a) A posição em t = 1,90 s vale:
         x(1,90 s) = ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = 3, 26764
                                    ⎣                                   ⎦              m
         x(1,90 s) ≈ 3, 27 m
(b) A velocidade em t = 1,90 s vale:
                dx
       v( t ) =    = − ( 8,38 rad/s )( 6,12 m ) sen ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤
                                                    ⎣                            ⎦
                dt
        v(1,90 s) = − ( 8,38 rad/s )( 6,12 m ) sen ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = 43,3634
                                                   ⎣                                   ⎦             m/s
         v(1,90 s) ≈ 43, 4 m/s
(c) A aceleração em t = 1,90 s vale:
                dv
        a(t ) =    = − ( 8,38 rad/s ) ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤
                                     2

                dt                                   ⎣                            ⎦

        a(1,90 s) = − ( 8,38 rad/s ) ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = −229, 4683
                                      2
                                                    ⎣                                   ⎦                  m/s 2

         a(1,90 s) ≈ −229 m/s 2
(d) A freqüência vale:
             ω 8,38 rad/s
        ν=       =        = 1,33371            Hz
            2π       2π
        ν ≈ 1, 33 Hz
(e) O período vale:
            1
       T = = 0, 74978             s
            ν
        T ≈ 0, 750 s

                                                      [Início]


13. Num certo porto, a maré faz a superfície do oceano subir e descer em movimento harmônico
    simples, com um período de 12,5 h. Quanto tempo a água leva para, partindo da altura máxima,
    atingir metade desta distância abaixo do nível de equilíbrio?
                                                                                      (Pág. 20)
Solução.

                                                      [Início]


14. Dois blocos (m = 1,22 kg e M = 18,73 kg) e uma determinada mola (k = 344 N/m) estão
    arranjados numa superfície horizontal, sem atrito, como mostra a Fig. 25. O coeficiente de atrito
    estático entre os blocos é de 0,42. Determine a amplitude máxima possível do movimento
    harmônico simples para que não haja deslizamento entre os blocos?


________________________________________________________________________________________________________           3
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                               Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES




                                                                                                    (Pág. 20)
Solução.
Considere o seguinte esquema, onde o índice 1 se refere ao bloco m e 2 a M:

               N1’
                          N2                            N1
                                        f’
        F                                                          y

                              M                 f       m                x
                              P2           P1
                             a1 = a2
A máxima aceleração que o bloco m suporta (a1) sem deslizar é aquela que não rompe a condição
de atrito estático com o bloco M:
         f = ma1
        μ N1 = μ mg = ma1
        a1 = μ g
Portanto, o sistema oscilante poderá apresentar aceleração máxima (amax) igual a μg. Logo:
        a(t ) = −ω 2 x(t )
        amax = −ω 2 xm

        xm = −
                  amax
                              =−
                                   ( −μ g )
                  ω   2
                                   ⎛ k ⎞
                                   ⎜    ⎟
                                   ⎝m+M ⎠
               μg (m + M )
        xm =                        = 0,11917       m
                          k
        xm ≈ 0,12 m

                                                        [Início]


20. Duas partículas executam movimento harmônico simples de mesmas amplitude e freqüência, ao
    longo da mesma linha reta. Elas se cruzarão quando, movendo-se em sentidos opostos, seus
    deslocamentos forem iguais à metade da amplitude. Encontre a diferença de fase entre elas.
                                                                                      (Pág. 20)
Solução.

                                                        [Início]



________________________________________________________________________________________________________          4
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                         Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

21. Duas molas estão presas a um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito numa superfície
    horizontal, como está mostrado na Fig. 26. Mostre que a freqüência de oscilação do bloco é
              1 k1 + k2
       ν=                = ν 12 +ν 2
                                   2

             2π    m
    onde ν1 e ν2 são as freqüências em que o bloco oscilaria se fosse conectado somente à mola 1
    ou à 2. (O análogo elétrico deste sistema é uma combinação em série de dois capacitores).




                                                                                               (Pág. 20)
Solução.
Para a mola k1, temos:
       ω1 = 2πν 1
              ω1   1         k1
       ν1 =      =
              2π 2π          m
                     k1
        4π 2ν 12 =
                     m
        k1 = 4π 2 mν 12                                                                                (1)
De forma análoga, para a mola 2 teremos:
        k2 = 4π 2 mν 2
                     2
                                                                                                       (2)
Considere o seguinte esquema:
                       x
           k1 F1          F2                 k2
                     m


                           0                             x
A força elástica resultante sobre o bloco vale:
        F = F1 + F2 = −k1 x − k2 x = − ( k1 + k2 ) x                                                   (3)
Sabemos que para o MHS é válida a seguinte relação:
        a(t ) = −ω 2 x(t )                                                                             (4)
De acordo com a segunda lei de Newton, temos:
        F = ma                                                                                         (5)
Substituindo-se (3) e (4) em (5):
        − ( k1 + k2 ) x = −mω 2 x
        k1 + k2 = mω 2                                                                                 (6)
Substituindo-se (1), (2) e a relação ω = 2πν em (6):
        4π 2 mν 12 + 4π 2 mν 2 = m 4π 2ν 2
                             2




________________________________________________________________________________________________________     5
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                         Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

        ν = ν 12 +ν 2
                    2




                                                     [Início]


22. Ligam-se duas molas e no extremo de uma delas prende-se um bloco de massa m, como está
    mostrado na Fig. 27. Não há atrito entre as superfícies. Se as molas separadamente tiverem
    constantes de força k1 e k2, mostre que a freqüência da oscilação do bloco será
            1       k1k2          ν 1ν 2
       ν=                    =
           2π ( k1 + k2 ) m      ν 12 +ν 22
    onde ν1 e ν2 são as freqüências em que o bloco oscilaria se fosse conectado somente à mola 1
    ou à 2. (O análogo elétrico deste sistema é uma combinação em paralelo de dois capacitores).




                                                                                               (Pág. 20)
Solução.
Considere o seguinte esquema:

                        F    k1     F1     F2   k2
                 m

Sejam as seguintes relações, em que x1 e x2 são os estiramentos das molas k1e k2, respectivamente:
       F1 = − k1 x1                                                                            (1)
        F2 = − k2 x2                                                                                   (2)
A partir destas equações, temos:
               F
        x1 = − 1                                                                                       (3)
               k1
                 F2
        x2 = −                                                                                         (4)
                 k2
Vamos imaginar que a associação em série de molas mostrada na Fig. 27 possa ser substituída por
uma mola equivalente de constante k’, de tal forma que as características do movimento imprimido
ao bloco não seja alterado.

                        F’          k’
                 m

As Eqs. (1)-(4) sugerem que:
        F ' = −k ' x                                                                                   (5)
                    '
               F
        x=−                                                                                            (6)
               k'

________________________________________________________________________________________________________     6
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Nas Eqs. (5) e (6), x corresponde à distância de compressão ou estiramento da mola k’ e F’ é a força
elástica correspondente gerada pela mola. O importante é observar que:
         x = x1 + x2                                                                            (7)
        F1 = F2 = F = F '                                                                              (8)
Substituindo-se (3), (4) e (6) em (7):
                F'    F F
        −         '
                    =− 1− 2
                k     k1 k2
Aplicando-se a relação (8), temos:
        F'     ⎛1 1⎞     k +k
          '
            = F⎜ − ⎟= F 1 2
        k      ⎝ k1 k2 ⎠  k1k2
              ⎛ k +k ⎞
      F' = k' ⎜ F 1 2 ⎟                                                                                (9)
              ⎝   k1k2 ⎠
Comparando-se (5) e (9), temos:
        k +k
      F 1 2 = −x
         k1k2
                    k1k2
        F =−               x
                   k1 + k2
Logo:
                   k1k2
        k' =                                                                                           (10)
                  k1 + k2
A freqüência de oscilação do sistema vale:
               ω'   1     k'
        ν =ν =
            '
                  =                                                                                    (11)
               2π 2π      m
Substituindo-se (10) em (11):
                   1         k1k2
        ν' =
                  2π    ( k1 + k2 ) m

                                                  [Início]


28. (a) No movimento harmônico simples, quando o deslocamento for igual à metade da amplitude
    xm, que fração da energia total será cinética e que fração será potencial? (b) Para que valor do
    deslocamento metade da energia será cinética e metade será potencial?
                                                                                           (Pág. 21)
Solução.
(a) A equação do movimento harmônico simples é:
        x(t ) = xm cos (ωt + φ )
Quando o deslocamento for igual à metade da amplitude, temos:
              x
      x(t0 ) = m = xm cos (ωt0 + φ )
               2
________________________________________________________________________________________________________     7
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                         Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Isto implica em que no tempo t0 temos:
                         1
        cos (ωt0 + φ ) =
                         2
A energia mecânica total do MHS é dada por:
             1 2
        E = kxm                                                                                        (1)
             2
No instante t0 a energia potencial do sistema vale:
                                                                    2
                    1          1                          1 2 ⎛1⎞
                   = kx(2t0 ) = k ⎡ xm cos (ωt0 + φ ) ⎤ = kxm ⎜ ⎟
                                                        2
        U ( t0 )                  ⎣                   ⎦
                    2          2                          2   ⎝2⎠
                   1 2
        U (t0 ) = kxm                                                                           (2)
                   8
A energia cinética do sistema no instante t0 pode ser calculada por diferença:
                                 1 2 1 2
        K (t0 ) = E − U ( t0 ) = kxm − kxm
                                 2    8
                   3 2
        K (t0 ) = kxm                                                                           (3)
                   8
Agora podemos usar as Eqs. (1)-(3) para calcular o que foi pedido. A fração da energia total que
será cinética é:
                           3 2
                 K (t0 ) 8 kxm
        fK =             =
                   E       1 2
                              kxm
                           2
                 3
         fK =
                 4
A fração da energia total que será potencial é:
                           1 2
                U (t0 ) 8 kxm
        fU =            =
                  E        1 2
                             kxm
                           2
                1
         fU =
                4
(b) Usaremos a condição da energia potencial ser metade da energia mecânica total:
                E
        U=
                2
                     1 2
                        kx
        1 2 2 m
           kx =
        2               2
                    2
                   xm
        x2 =
                   2
                    2
        x=            xm
                   2


________________________________________________________________________________________________________     8
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES




                                                  [Início]


34. Um bloco de massa M está em repouso em uma mesa horizontal, sem atrito, preso em suporte
    rígido por uma mola de constante elástica k. Uma bala de massa m e velocidade v atinge o
    bloco, como mostra a Fig. 30; a bala fica presa no bloco. Determine a amplitude do movimento
    harmônico simples resultante, em termos de m, M, v e k.




                                                                                               (Pág. 21)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
                                        m+M




                   -xm    0       xm               x
Logo após a colisão completamente inelástica entre a bala e o bloco, ambos passam a executar
movimento harmônico simples como um só corpo de massa m + M. A velocidade do conjunto
imediatamente após a colisão corresponde à velocidade máxima do MHS (vmax). O cálculo de vmax é
feito por meio da aplicação do princípio da conservação do momento linear na coordenada x:
        Px 0 = Px
        pbala,0 + pbloco,0 = pbala + pbloco
        mv + 0 = mvmax + Mvmax
             mv
        vmax =                                                                                         (1)
            m+M
Durante o MHS, a velocidade do sistema bloco + bala em função do tempo é dada por:
        v(t ) = −ω xm sen (ωt + φ )
A velocidade máxima do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) = ± 1. Logo:
       vmax = ω xm
               vmax
        xm =                                                                                           (2)
              ω
Por definição, a freqüência angular ω é dada por:
                k
        ω=                                                                                             (3)
             m+M
Substituindo-se (1) e (3) em (2):
                mv       m+M
        xm =
               m+M        k
________________________________________________________________________________________________________     9
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                        Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                    mv
        xm =
                 (m + M ) k

                                                    [Início]


36. Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma mola de constante elástica 5,00 N/cm. Uma bala de
    50,0 g é atirada sobre o bloco, de baixo para cima, com velocidade de 150 m/s, ficando em
    repouso no interior do bloco. (a) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples
    resultante. (b) Que fração da energia cinética original da bala se transforma em energia
    mecânica do oscilador ?
                                                                                          (Pág. 22)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
                        y




                            ym                m+M

        M                   0
                           -ym
                  v0
          m
Logo após a colisão completamente inelástica entre a bala e o bloco, ambos passam a executar
movimento harmônico simples como um só corpo de massa m + M. A velocidade do conjunto
imediatamente após a colisão corresponde à velocidade máxima do MHS (vmax). O cálculo de vmax é
feito por meio da aplicação do princípio da conservação do momento linear na coordenada x:
        Px 0 = Px
        pbala,0 + pbloco,0 = pbala + pbloco
        mv0 + 0 = mvmax + Mvmax
             mv0
        vmax =                                                                                         (1)
            m+M
Durante o MHS, a velocidade do sistema bloco + bala em função do tempo é dada por:
        v(t ) = −ω ym sen (ωt + φ )
A velocidade máxima do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) = ± 1. Logo:
       vmax = ω ym                                                                                     (2)
A freqüência angular do sistema vale:
                k
        ω=                                                                                             (3)
             m+M
Substituindo-se (1) e (3) em (2):
         mv    k
            =     ym
        m+M   m+M
________________________________________________________________________________________________________   10
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                m          m+M         m
        ym =                   v0 =            v0 = 0,1666       m
               m+M          k       k (m + M )
        ym ≈ 0,17 m
(b) A energia mecânica do oscilador corresponde à sua energia cinética máxima.
                  1
             E      ( m + M ) vmax ( m + M ) vmax
                               2
                                              2

        f =    =  2               =                                                                    (4)
                                          2
            K0         1 2              mv0
                         mv0
                       2
Substituindo-se (1) em (4):

            =
              (m + M ) ⎛ mv0 ⎞
                                  2
                                  m
        f              ⎜     ⎟ =     = 0, 0123456
                       ⎝m+M ⎠    m+M
                  2
                mv0
        f ≈ 0, 012

                                                  [Início]


37. Um cilindro sólido está preso a uma mola horizontal sem massa, de tal modo que ele pode rolar
    sem deslizar sobre uma superfície horizontal, como mostra a Fig. 32. A constante de força k da
    mola é 2,94 N/cm. Sabendo-se que o sistema foi abandonado em repouso numa posição tal que
    a mola estava distendida de 23,9 cm, calcule as energias cinéticas (a) de translação e (b) de
    rotação do cilindro, quando ele passar na posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nestas
    condições, o centro de massa do cilindro executa movimento harmônico simples com período
    de
                 3M
        T = 2π
                  2k
    onde M é a massa do cilindro.




                                                                                               (Pág. 22)
Solução.
A energia mecânica total vale (xm é a amplitude de oscilação):
             1 2
        E = kxm = 0, 09375 J                                                                     (1)
             2
Quando o cilindro passa pelo ponto onde a mola está relaxada, a energia mecânica do sistema E
estará na forma de energia cinética K. Esta está dividida em energia cinética translacional KT e
rotacional KR.
        E = K = KT + K R                                                                         (2)
A energia cinética translacional vale:
             1
       KT = Mv 2                                                                                       (3)
             2
________________________________________________________________________________________________________   11
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

A energia cinética rotacional vale (I é o momento de inércia do cilindro e ω é a sua velocidade
angular):
                    1 2 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ v ⎞
                                           2

        KR =          Iω = ⎜     ⎟⎜ ⎟
                    2     2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
              1
        KR =    Mv 2                                                                                   (4)
              4
Substituindo-se (3) e (4) em (2):
            1        1
        E = Mv 2 + Mv 2
            2        4
            3
        E = Mv 2                                                                                       (5)
            4
(a) Dividindo-se (4) por (5):
              2
                Mv 2
        KT 4            2
            =        =
         E    3
                Mv 2 3
              4
              2
        KT = E = 0, 0625 J
              3
        KT ≈ 0, 063 J
(a) Dividindo-se (3) por (5):
               1
                 Mv 2
        KT 4            1
            =         =
         E     3
                 Mv 2 3
               4
              1
        KT = E = 0, 03125 J
              3
        KT ≈ 0, 031 J
(c) Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o cilindro:
                v

                                y

            α            F
                                z   x
                     P
        f            N
Vamos analisar a dinâmica da translação do cilindro (em x), em que F é a força elástica, f é a força
de atrito estático, P é o peso do cilindro e N é a normal:
        ∑F      x   = Max
                         d 2x
        F− f =M
                         dt 2


________________________________________________________________________________________________________   12
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                    d 2x
        − kx − f = M                                                                          (6)
                    dt 2
Agora vamos analisar a dinâmica da rotação do cilindro (torques em z, em relação ao centro de
massa do cilindro):
        ∑τ    z   = Iα z
                   MR 2
        − fR =          αz
                    2
Mas:
                   vx
        αz = −
                   R
Logo:
                  MR 2 vx
        fR =
                   2 R
            M d 2x
        f =                                                                                            (7)
            2 dt 2
Substituindo-se (7) em (6):
                  M d2x    d 2x
        − kx −           =M 2
                  2 dt 2   dt
        d 2 x 2k
             +     x=0                                                                                 (8)
        dt 2 3M
A Eq. (8) é a equação diferencial do movimento harmônico simples, onde:
               2k
       ω2 =
              3M
A relação entre o período de oscilação T e a freqüência angular ω é:
             2π
       T=
             ω
Logo:
                        3M
        T = 2π
                        2k

                                                  [Início]


45. Um pêndulo físico consiste de um disco sólido uniforme de massa M = 563 g e raio R = 14,4
    cm, mantido no plano vertical por um eixo preso à distância d = 10,2 cm do centro do disco,
    como mostra a Fig. 35. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e a seguir ele é abandonado.
    Encontre o período do movimento harmônico resultante.




________________________________________________________________________________________________________   13
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                          Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES




                                                                                               (Pág. 23)
Solução.
O período de oscilação de um pêndulo físico é dado pela Eq. (1), onde I é o momento de inércia do
pêndulo em relação ao eixo de oscilação e d é a distância entre esse eixo e o centro de massa do
pêndulo:
                  I
        T = 2π                                                                                         (1)
                 Mgd
O momento de inércia é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos:
        I = I CM + Md 2
           MR 2
        I=       + Md 2
             2

        I=
           M 2
            2
              ( R + 2d 2 )                                                                             (2)

Substituindo-se (2) em (1):

        T = 2π
                 (R    2
                           + 2d 2 )
                                      = 0,90528   s
                       2 gd
        T ≈ 0, 905 s

                                                      [Início]


48. Um pêndulo consiste de um disco uniforme de raio de 10,3 cm e massa de 488 g preso a uma
    vara uniforme de 52,4 cm de comprimento e 272 g de massa; veja a Fig. 36. (a) Calcule o
    momento de inércia do pêndulo em torno deste eixo. (b) Qual é a distância entre o eixo e o
    centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação para deslocamento angular
    pequeno.




                                                                                               (Pág. 23)
Solução.
________________________________________________________________________________________________________   14
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Considere o seguinte esquema da situação:

                             0



               l      m              h


                          CM

        R

                               M



                       x
(a) O momento de inércia do pêndulo (I) é igual à soma dos momentos de inércia da vara (Ivara) e do
disco (Idisco).
        I = I vara + I disco                                                                   (1)
De acordo com a Fig. 9f (pág. 234, vol. 1):
                   ml 2
        I vara =                                                                                       (2)
                    3
O cálculo de Idisco requer a aplicação do teorema dos eixos paralelos:
        I = I CM + M ( l + R )
                                 2



           MR 2
        I=       + M (l + R )
                              2
                                                                                                       (3)
             2
Substituindo-se (2) e (3) em (1):
             ml 2     ⎡ R2         2⎤
        I=        + M ⎢ + ( l + R ) ⎥ = 0, 028905      kg.m 2
              3       ⎣ 2           ⎦
        I ≈ 0, 0289 kg.m 2
(b) A coordenada do centro de massa (xCM) é dada por:
        ( m1 + m2 ) xCM   = m1 x1 + m2 x2
                           l
        (m + M ) h = m       + M (l + R)
                           2
              1 ⎡ ml                ⎤
        h=         ⎢ 2 + M (l + R ) ⎥ = 0, 4963    m
            m+M ⎣                   ⎦
        h ≈ 49, 6 cm
(c) O período de oscilação deste pêndulo físico (T) vale:
                           I
        T = 2π                    = 0,5553   s
                     ( m + M ) gh
________________________________________________________________________________________________________   15
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

        T ≈ 0, 555 s

                                                  [Início]


51. Um metro de madeira articulado em um dos seus extremos oscila com freqüência ν0. Qual seria
    a freqüência, em termos de ν0, se um terço do metro fosse cortado da parte de baixo?
                                                                                        (Pág. 23)
Solução.

                                                  [Início]


53. Um pêndulo físico tem dois pontos possíveis de suspensão; um é fixo e o outro ajustável ao
    longo do comprimento do pêndulo, conforme a Fig. 38. Quando gira em torno da suspensão
    fixa, o pêndulo tem período T. Invertendo-se o pêndulo, de modo que passe a girar em torno da
    suspensão ajustável, consegue-se, por tentativas, fazê-lo oscilar com o mesmo período T.
    Mostre que a aceleração da gravidade pode ser escrita na forma
             4π 2 L
        g= 2
              T
    onde L é a distância entre as duas suspensões. Note que g pode ser medido desta maneira, sem
    necessidade do conhecimento do momento de inércia do pêndulo ou qualquer das outras
    dimensões, com exceção de L.




                                                                                               (Pág. 23)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:




________________________________________________________________________________________________________   16
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                             Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                      T, IA                        T, IB

                  A                            B
                                       hB          CM
         hA
                       CM
                         B                            A



Aplicando-se o teorema dos eixos paralelos, podemos obter os momentos de inércia do pêndulo em
relação aos eixos A e B:
        I A = I CM + MhA
                       2


        I B = I CM + MhB
                       2


Logo:
        I A − I B = M ( hA − hB ) = M ( hA + hB )( hA − hB )
                         2    2
                                                                                                          (1)
O período de oscilação do pêndulo A vale:
                        IA
        T = 2π
                       MghA
Logo:
            MghAT 2
       IA =
             4π 2
De forma semelhante para o pêndulo B temos:
                  MghBT 2
        IB =
                   4π 2
Logo:
                 MgT 2
        I A − IB =      ( hA − hb )                                                                       (2)
                  4π 2
Igualando-se (1) e (2):
      MgT 2
            ( hA − hb ) = M ( hA + hB )( hA − hB )
       4π 2
Reconhecendo-se que hA + hB = L e simplificando-se a expressão:
                                 B




              2
        gT
             =L
        4π 2
          4π 2 L
        g= 2
           T

                                                        [Início]


55. Um pêndulo simples de comprimento L e massa m está preso a um carro que se move com
    velocidade constante v numa trajetória circular de raio R. Qual será o período do movimento,
________________________________________________________________________________________________________    17
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                                          Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

    sabendo-se que o pêndulo executa pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio
                                                                                     (Pág. 23)
Solução.
Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o pêndulo:



                                                   y
                          θ
                  L
                                                   z        x

        FC

                P
Para um observador localizado no referencial não inercial do carro, há duas forças atuando sobre a
massa do pêndulo: a força da gravidade (P) e a força centrífuga (FC) devido ao movimento circular
do carro, que é uma força fictícia. O módulo da força resultante (FR) vale:
                                                                 1/ 2
                          ⎡       ⎛ mv 2 ⎞ ⎤
                                          2

       FR = ( P + F ) = ⎢( mg ) + ⎜
                               2 1/ 2
                                         ⎟ ⎥
                   2            2
                              C                                                                                        (1)
                          ⎢
                          ⎣       ⎝ R ⎠ ⎥   ⎦
Resolvendo-se a segunda lei de Newton para o sistema:
        ∑τ   z
                 = Iα z
                         d 2θ
        − FR L sen θ = mL2                                                                       (2)
                         dt 2
O sinal negativo em (2) deve-se ao fato de o torque exercido pela força resultante (FRL sen θ) ter
sempre o sentido contrário da posição angular θ. Substituindo-se (1) em (2):
                                        1/ 2
          ⎡         ⎛ mv 2 ⎞ ⎤
                            2
                                                         d 2θ
        − ⎢( mg ) + ⎜      ⎟ ⎥                 sen θ = mL 2
                 2

          ⎢
          ⎣         ⎝ R ⎠ ⎥   ⎦
                                                         dt

Para oscilações de pequena amplitude vale a aproximação sen θ ≅ θ:
                                                       2 1/ 2
        d 2θ   1 ⎡         ⎛ mv 2 ⎞                     ⎤
             +   ⎢( mg ) + ⎜                            ⎥ θ =0
                        2
                                  ⎟
        dt 2 mL ⎢          ⎝ R ⎠                        ⎥
                 ⎣                                      ⎦
                                                1/ 2
        d 2θ ⎡⎛ g ⎞ ⎛ v 2 ⎞ ⎤
                   2       2

            + ⎢⎜ ⎟ + ⎜    ⎟ ⎥ θ =0
        dt 2 ⎢⎝ L ⎠ ⎝ RL ⎠ ⎥
              ⎣              ⎦
O fator multiplicativo de θ corresponde ao quadrado da freqüência angular (ω2) :
                                         1/ 4
            ⎡⎛ g ⎞ 2 ⎛ v 2 ⎞ 2 ⎤    g     ⎛ v2 ⎞
                                                 2

       ω = ⎢⎜ ⎟ + ⎜        ⎟ ⎥ =       1+ ⎜    ⎟
            ⎢⎝ L ⎠ ⎝ RL ⎠ ⎥
            ⎣                  ⎦
                                    L     ⎝ gR ⎠
Portanto, o período de oscilação do pêndulo vale:
            2π
       T=
             ω


________________________________________________________________________________________________________                 18
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
Problemas Resolvidos de Física                      Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

                    2π
        T=
                             2
               g    ⎛ v2 ⎞
                 1+ ⎜    ⎟
               L    ⎝ gR ⎠

                                                  [Início]




________________________________________________________________________________________________________   19
                                       a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Tabela de identidades trigonometricas
Tabela de identidades trigonometricasTabela de identidades trigonometricas
Tabela de identidades trigonometricaseliane silva
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperaturadalgo
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faradaydalgo
 
Curvas de nível
Curvas de nívelCurvas de nível
Curvas de nívelfernando-tn
 
Campo EléTrico
Campo EléTricoCampo EléTrico
Campo EléTricodalgo
 
Campo MagnéTico
Campo MagnéTicoCampo MagnéTico
Campo MagnéTicodalgo
 
DinâMica De PartíCulas
DinâMica De PartíCulasDinâMica De PartíCulas
DinâMica De PartíCulasguestf9bbf1
 
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a  Lei Da TermodinâMicaEntropia E 2a  Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMicadalgo
 
Relatório de carga e descarga de capacitores
Relatório de carga e descarga de capacitoresRelatório de carga e descarga de capacitores
Relatório de carga e descarga de capacitoresAnderson Totimura
 
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-201295850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012João Carlos Gaspar Teixeira
 
Aula 21: Exercícios
Aula 21: ExercíciosAula 21: Exercícios
Aula 21: ExercíciosAdriano Silva
 
Tabela completa de derivadas e integrais
Tabela completa de derivadas e integraisTabela completa de derivadas e integrais
Tabela completa de derivadas e integraisDiego Rodrigues Vaz
 
2.0 capítulo 4 com gabarito do simulado
2.0 capítulo 4   com gabarito do simulado2.0 capítulo 4   com gabarito do simulado
2.0 capítulo 4 com gabarito do simuladoMarcio Versuti
 

Mais procurados (20)

Tabela de identidades trigonometricas
Tabela de identidades trigonometricasTabela de identidades trigonometricas
Tabela de identidades trigonometricas
 
Tabela derivadas e integrais
Tabela derivadas e integraisTabela derivadas e integrais
Tabela derivadas e integrais
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperatura
 
Lei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De FaradayLei De InduçãO De Faraday
Lei De InduçãO De Faraday
 
Curvas de nível
Curvas de nívelCurvas de nível
Curvas de nível
 
Campo EléTrico
Campo EléTricoCampo EléTrico
Campo EléTrico
 
13. equilíbrio
13. equilíbrio13. equilíbrio
13. equilíbrio
 
Campo MagnéTico
Campo MagnéTicoCampo MagnéTico
Campo MagnéTico
 
DinâMica De PartíCulas
DinâMica De PartíCulasDinâMica De PartíCulas
DinâMica De PartíCulas
 
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a  Lei Da TermodinâMicaEntropia E 2a  Lei Da TermodinâMica
Entropia E 2a Lei Da TermodinâMica
 
Limite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveisLimite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveis
 
Fórmulas de Cinemática
Fórmulas de CinemáticaFórmulas de Cinemática
Fórmulas de Cinemática
 
Relatório de carga e descarga de capacitores
Relatório de carga e descarga de capacitoresRelatório de carga e descarga de capacitores
Relatório de carga e descarga de capacitores
 
Fórmulas de Termodinâmica
Fórmulas de TermodinâmicaFórmulas de Termodinâmica
Fórmulas de Termodinâmica
 
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-201295850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012
95850647 fenomenos-de-transporte-exerc-resolv-em-04-jun-2012
 
Aula 21: Exercícios
Aula 21: ExercíciosAula 21: Exercícios
Aula 21: Exercícios
 
Tabela completa de derivadas e integrais
Tabela completa de derivadas e integraisTabela completa de derivadas e integrais
Tabela completa de derivadas e integrais
 
10. colisões
10. colisões10. colisões
10. colisões
 
Fórmulas do MHS
Fórmulas do MHSFórmulas do MHS
Fórmulas do MHS
 
2.0 capítulo 4 com gabarito do simulado
2.0 capítulo 4   com gabarito do simulado2.0 capítulo 4   com gabarito do simulado
2.0 capítulo 4 com gabarito do simulado
 

Destaque

Fisica 02 - Oscilações
Fisica 02 - OscilaçõesFisica 02 - Oscilações
Fisica 02 - OscilaçõesWalmor Godoi
 
Oscilacoes ondas
Oscilacoes ondasOscilacoes ondas
Oscilacoes ondasDiego Alves
 
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora ModernaMHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora ModernaMatheus Alves
 
Questões Corrigidas, em Word: Ondas Estacionárias e MHS - Conteúdo vinculad...
Questões Corrigidas, em Word:  Ondas Estacionárias e MHS  - Conteúdo vinculad...Questões Corrigidas, em Word:  Ondas Estacionárias e MHS  - Conteúdo vinculad...
Questões Corrigidas, em Word: Ondas Estacionárias e MHS - Conteúdo vinculad...Rodrigo Penna
 
Fisica exercicios gabarito 004
Fisica exercicios gabarito  004Fisica exercicios gabarito  004
Fisica exercicios gabarito 004comentada
 
Movimento 1 D
Movimento 1 DMovimento 1 D
Movimento 1 Ddalgo
 
ConservaçãO Da Energia
ConservaçãO Da EnergiaConservaçãO Da Energia
ConservaçãO Da Energiaguestf9bbf1
 
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)Plinio Arcanjo
 
MHS_ movimento harmonico_simples
MHS_ movimento harmonico_simplesMHS_ movimento harmonico_simples
MHS_ movimento harmonico_simplesRui100100
 
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples II
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples IISlides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples II
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples IITurma Olímpica
 
Trabalho E Energia
Trabalho E EnergiaTrabalho E Energia
Trabalho E Energiadalgo
 
Fisica exercicios resolvidos 004
Fisica exercicios resolvidos  004Fisica exercicios resolvidos  004
Fisica exercicios resolvidos 004comentada
 
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagem
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagemAlgebra linear exerc_cio_de_aprendizagem
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagemWertevan Rodrigues
 
Oscilações Amortecidas e Forçadas
Oscilações Amortecidas e ForçadasOscilações Amortecidas e Forçadas
Oscilações Amortecidas e ForçadasJefferson Nascimento
 
DinâMica Da RotaçãO
DinâMica Da RotaçãODinâMica Da RotaçãO
DinâMica Da RotaçãOguestf9bbf1
 

Destaque (20)

Fisica 02 - Oscilações
Fisica 02 - OscilaçõesFisica 02 - Oscilações
Fisica 02 - Oscilações
 
Oscilacoes ondas
Oscilacoes ondasOscilacoes ondas
Oscilacoes ondas
 
Mhs
MhsMhs
Mhs
 
Movimento harmônico
Movimento harmônicoMovimento harmônico
Movimento harmônico
 
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora ModernaMHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna
MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna
 
Questões Corrigidas, em Word: Ondas Estacionárias e MHS - Conteúdo vinculad...
Questões Corrigidas, em Word:  Ondas Estacionárias e MHS  - Conteúdo vinculad...Questões Corrigidas, em Word:  Ondas Estacionárias e MHS  - Conteúdo vinculad...
Questões Corrigidas, em Word: Ondas Estacionárias e MHS - Conteúdo vinculad...
 
Fisica exercicios gabarito 004
Fisica exercicios gabarito  004Fisica exercicios gabarito  004
Fisica exercicios gabarito 004
 
Movimento 1 D
Movimento 1 DMovimento 1 D
Movimento 1 D
 
Momento Angular
Momento AngularMomento Angular
Momento Angular
 
ColisõEs
ColisõEsColisõEs
ColisõEs
 
ConservaçãO Da Energia
ConservaçãO Da EnergiaConservaçãO Da Energia
ConservaçãO Da Energia
 
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)
1ª lista de_exercícios_-_2ª_etapa (1)
 
MHS_ movimento harmonico_simples
MHS_ movimento harmonico_simplesMHS_ movimento harmonico_simples
MHS_ movimento harmonico_simples
 
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples II
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples IISlides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples II
Slides da aula de Física (André) sobre Movimento Harmônico Simples II
 
Trabalho E Energia
Trabalho E EnergiaTrabalho E Energia
Trabalho E Energia
 
Fisica exercicios resolvidos 004
Fisica exercicios resolvidos  004Fisica exercicios resolvidos  004
Fisica exercicios resolvidos 004
 
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagem
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagemAlgebra linear exerc_cio_de_aprendizagem
Algebra linear exerc_cio_de_aprendizagem
 
Oscilações Amortecidas e Forçadas
Oscilações Amortecidas e ForçadasOscilações Amortecidas e Forçadas
Oscilações Amortecidas e Forçadas
 
Oscilações
OscilaçõesOscilações
Oscilações
 
DinâMica Da RotaçãO
DinâMica Da RotaçãODinâMica Da RotaçãO
DinâMica Da RotaçãO
 

Semelhante a Problemas Resolvidos de Física

03 movimento retilineo - exercícios resolvidos
03 movimento retilineo - exercícios resolvidos03 movimento retilineo - exercícios resolvidos
03 movimento retilineo - exercícios resolvidosAdriano Silva Oliveira
 
Movimento 1 D
Movimento 1  DMovimento 1  D
Movimento 1 Ddalgo
 
Movimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3 DMovimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3 Ddalgo
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacionalguestf9bbf1
 
Movimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3  DMovimento 2 E 3  D
Movimento 2 E 3 Ddalgo
 
Ita2011 1dia
Ita2011 1diaIta2011 1dia
Ita2011 1diacavip
 
Corrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaCorrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaguestf9bbf1
 
Corrente E Resistência
Corrente E ResistênciaCorrente E Resistência
Corrente E Resistênciadalgo
 
Ita2012 1dia
Ita2012 1diaIta2012 1dia
Ita2012 1diacavip
 
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)Gislan Rocha
 
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001Thommas Kevin
 
08 conservação da energia
08 conservação da energia08 conservação da energia
08 conservação da energiaCLucasC20
 

Semelhante a Problemas Resolvidos de Física (20)

03 movimento retilineo
03 movimento retilineo03 movimento retilineo
03 movimento retilineo
 
03 movimento retilineo - exercícios resolvidos
03 movimento retilineo - exercícios resolvidos03 movimento retilineo - exercícios resolvidos
03 movimento retilineo - exercícios resolvidos
 
Movimento 1 D
Movimento 1  DMovimento 1  D
Movimento 1 D
 
Movimento 1 D
Movimento 1 DMovimento 1 D
Movimento 1 D
 
Movimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3 DMovimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3 D
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacional
 
Cad(2)
 Cad(2) Cad(2)
Cad(2)
 
Movimento 2 E 3 D
Movimento 2 E 3  DMovimento 2 E 3  D
Movimento 2 E 3 D
 
Ita2011 1dia
Ita2011 1diaIta2011 1dia
Ita2011 1dia
 
Corrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNciaCorrente E ResistêNcia
Corrente E ResistêNcia
 
Corrente E Resistência
Corrente E ResistênciaCorrente E Resistência
Corrente E Resistência
 
Cap3 cinematica
Cap3 cinematicaCap3 cinematica
Cap3 cinematica
 
05 forca e leis de newton
05 forca e leis de newton05 forca e leis de newton
05 forca e leis de newton
 
Ita2012 1dia
Ita2012 1diaIta2012 1dia
Ita2012 1dia
 
Ita2012 1dia
Ita2012 1diaIta2012 1dia
Ita2012 1dia
 
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)
Fisicaresolucaoexerciciosgabaritocinematica20111serie 111218022908-phpapp01 (1)
 
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001
Unicamp2010 2fase 3dia_parte_001
 
Ita2001 parte 001
Ita2001 parte 001Ita2001 parte 001
Ita2001 parte 001
 
08 conservação da energia
08 conservação da energia08 conservação da energia
08 conservação da energia
 
Questõesdecinemática3
Questõesdecinemática3Questõesdecinemática3
Questõesdecinemática3
 

Mais de dalgo

Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2dalgo
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2dalgo
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2dalgo
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2dalgo
 
Trabalho de mq 1
Trabalho de mq   1Trabalho de mq   1
Trabalho de mq 1dalgo
 
Fisica moderna
Fisica modernaFisica moderna
Fisica modernadalgo
 
Algebralinear
AlgebralinearAlgebralinear
Algebralineardalgo
 
Teoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS IdealTeoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS Idealdalgo
 
Teoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS IdealTeoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS Idealdalgo
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperaturadalgo
 
Potencial EléTrico
Potencial EléTricoPotencial EléTrico
Potencial EléTricodalgo
 
MecâNica EstatíStica
MecâNica EstatíSticaMecâNica EstatíStica
MecâNica EstatíSticadalgo
 
Lei De Gauss
Lei De GaussLei De Gauss
Lei De Gaussdalgo
 
Lei De Ampere
Lei De AmpereLei De Ampere
Lei De Amperedalgo
 
Carga EléTrica E Lei De Coulomb
Carga EléTrica  E Lei De CoulombCarga EléTrica  E Lei De Coulomb
Carga EléTrica E Lei De Coulombdalgo
 
Capacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosCapacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosdalgo
 
Capacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosCapacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosdalgo
 
Campo MagnéTico
Campo MagnéTicoCampo MagnéTico
Campo MagnéTicodalgo
 
Campo EléTrico
Campo EléTricoCampo EléTrico
Campo EléTricodalgo
 
Calor E 1a Lei Da TermodinâMica
Calor E 1a  Lei Da TermodinâMicaCalor E 1a  Lei Da TermodinâMica
Calor E 1a Lei Da TermodinâMicadalgo
 

Mais de dalgo (20)

Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2
 
Fisica moderna2
Fisica moderna2Fisica moderna2
Fisica moderna2
 
Trabalho de mq 1
Trabalho de mq   1Trabalho de mq   1
Trabalho de mq 1
 
Fisica moderna
Fisica modernaFisica moderna
Fisica moderna
 
Algebralinear
AlgebralinearAlgebralinear
Algebralinear
 
Teoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS IdealTeoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS Ideal
 
Teoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS IdealTeoria CinéTica E GáS Ideal
Teoria CinéTica E GáS Ideal
 
Temperatura
TemperaturaTemperatura
Temperatura
 
Potencial EléTrico
Potencial EléTricoPotencial EléTrico
Potencial EléTrico
 
MecâNica EstatíStica
MecâNica EstatíSticaMecâNica EstatíStica
MecâNica EstatíStica
 
Lei De Gauss
Lei De GaussLei De Gauss
Lei De Gauss
 
Lei De Ampere
Lei De AmpereLei De Ampere
Lei De Ampere
 
Carga EléTrica E Lei De Coulomb
Carga EléTrica  E Lei De CoulombCarga EléTrica  E Lei De Coulomb
Carga EléTrica E Lei De Coulomb
 
Capacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosCapacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricos
 
Capacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricosCapacitores E DieléTricos
Capacitores E DieléTricos
 
Campo MagnéTico
Campo MagnéTicoCampo MagnéTico
Campo MagnéTico
 
Campo EléTrico
Campo EléTricoCampo EléTrico
Campo EléTrico
 
Calor E 1a Lei Da TermodinâMica
Calor E 1a  Lei Da TermodinâMicaCalor E 1a  Lei Da TermodinâMica
Calor E 1a Lei Da TermodinâMica
 

Problemas Resolvidos de Física

  • 1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 04/10/2005 13:24 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 Capítulo 15 - Oscilações Problemas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
  • 2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos 02. Um oscilador consiste em um bloco de massa de 512 g preso a uma dada mola. Ao oscilar com amplitude de 34,7 cm, ele repete seu movimento a cada 0,484 s. Encontrar: (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de força, (e) a velocidade máxima e (f) a força máxima exercida no bloco. (Pág. 19) Solução. (a) O período do movimento de oscilação é o tempo gasto para que o movimento se repita, ou seja, complete um ciclo. Logo: T = 0, 484 s (b) A freqüência de oscilação vale: 1 ν = = 2, 0661 s −1 = 2, 0661 Hz T ν ≈ 2, 07 Hz (c) A freqüência angular vale: ω = 2πν = 12, 9817 rad/s ω ≈ 13, 0 rad/s (d) Para determinar a constante de força, partimos da conhecida relação: k ω= m k = ω 2 m = 86, 2857 N/m k ≈ 86, 3 N/m (e) A dependência da velocidade da massa em relação ao tempo é dada pela seguinte equação: v(t ) = −ω xm sen (ωt + φ ) A velocidade máxima vmax é encontrada quando sen(ωt + φ) = ±1. Logo: vmax = ω xm = 4,5046 m/s vmax ≈ 4,50 m/s (f) A dependência da força que a mola exerce sobre o bloco em relação ao tempo é dada pela relação: F(t ) = ma(t ) = −mω 2 xm cos (ωt + φ ) A força máxima Fmax é encontrada quando cos(ωt + φ) = ±1. Logo: Fmax = mω 2 xm = 29, 9407 N Fmax ≈ 29,9 N [Início] 08. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação x = ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤ ⎣ ⎦ Encontre (a) o deslocamento, (b) a velocidade e (c) a aceleração no instante t = 1,90 s. Encontre ________________________________________________________________________________________________________ 2 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES também (d) a freqüência e (f) o período do movimento. (Pág. 19) Solução. (a) A posição em t = 1,90 s vale: x(1,90 s) = ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = 3, 26764 ⎣ ⎦ m x(1,90 s) ≈ 3, 27 m (b) A velocidade em t = 1,90 s vale: dx v( t ) = = − ( 8,38 rad/s )( 6,12 m ) sen ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤ ⎣ ⎦ dt v(1,90 s) = − ( 8,38 rad/s )( 6,12 m ) sen ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = 43,3634 ⎣ ⎦ m/s v(1,90 s) ≈ 43, 4 m/s (c) A aceleração em t = 1,90 s vale: dv a(t ) = = − ( 8,38 rad/s ) ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s ) t + 1,92 rad ⎤ 2 dt ⎣ ⎦ a(1,90 s) = − ( 8,38 rad/s ) ( 6,12 m ) cos ⎡( 8,38 rad/s )(1,90 s ) + 1,92 rad ⎤ = −229, 4683 2 ⎣ ⎦ m/s 2 a(1,90 s) ≈ −229 m/s 2 (d) A freqüência vale: ω 8,38 rad/s ν= = = 1,33371 Hz 2π 2π ν ≈ 1, 33 Hz (e) O período vale: 1 T = = 0, 74978 s ν T ≈ 0, 750 s [Início] 13. Num certo porto, a maré faz a superfície do oceano subir e descer em movimento harmônico simples, com um período de 12,5 h. Quanto tempo a água leva para, partindo da altura máxima, atingir metade desta distância abaixo do nível de equilíbrio? (Pág. 20) Solução. [Início] 14. Dois blocos (m = 1,22 kg e M = 18,73 kg) e uma determinada mola (k = 344 N/m) estão arranjados numa superfície horizontal, sem atrito, como mostra a Fig. 25. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de 0,42. Determine a amplitude máxima possível do movimento harmônico simples para que não haja deslizamento entre os blocos? ________________________________________________________________________________________________________ 3 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (Pág. 20) Solução. Considere o seguinte esquema, onde o índice 1 se refere ao bloco m e 2 a M: N1’ N2 N1 f’ F y M f m x P2 P1 a1 = a2 A máxima aceleração que o bloco m suporta (a1) sem deslizar é aquela que não rompe a condição de atrito estático com o bloco M: f = ma1 μ N1 = μ mg = ma1 a1 = μ g Portanto, o sistema oscilante poderá apresentar aceleração máxima (amax) igual a μg. Logo: a(t ) = −ω 2 x(t ) amax = −ω 2 xm xm = − amax =− ( −μ g ) ω 2 ⎛ k ⎞ ⎜ ⎟ ⎝m+M ⎠ μg (m + M ) xm = = 0,11917 m k xm ≈ 0,12 m [Início] 20. Duas partículas executam movimento harmônico simples de mesmas amplitude e freqüência, ao longo da mesma linha reta. Elas se cruzarão quando, movendo-se em sentidos opostos, seus deslocamentos forem iguais à metade da amplitude. Encontre a diferença de fase entre elas. (Pág. 20) Solução. [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 4 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 5. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 21. Duas molas estão presas a um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito numa superfície horizontal, como está mostrado na Fig. 26. Mostre que a freqüência de oscilação do bloco é 1 k1 + k2 ν= = ν 12 +ν 2 2 2π m onde ν1 e ν2 são as freqüências em que o bloco oscilaria se fosse conectado somente à mola 1 ou à 2. (O análogo elétrico deste sistema é uma combinação em série de dois capacitores). (Pág. 20) Solução. Para a mola k1, temos: ω1 = 2πν 1 ω1 1 k1 ν1 = = 2π 2π m k1 4π 2ν 12 = m k1 = 4π 2 mν 12 (1) De forma análoga, para a mola 2 teremos: k2 = 4π 2 mν 2 2 (2) Considere o seguinte esquema: x k1 F1 F2 k2 m 0 x A força elástica resultante sobre o bloco vale: F = F1 + F2 = −k1 x − k2 x = − ( k1 + k2 ) x (3) Sabemos que para o MHS é válida a seguinte relação: a(t ) = −ω 2 x(t ) (4) De acordo com a segunda lei de Newton, temos: F = ma (5) Substituindo-se (3) e (4) em (5): − ( k1 + k2 ) x = −mω 2 x k1 + k2 = mω 2 (6) Substituindo-se (1), (2) e a relação ω = 2πν em (6): 4π 2 mν 12 + 4π 2 mν 2 = m 4π 2ν 2 2 ________________________________________________________________________________________________________ 5 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 6. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ν = ν 12 +ν 2 2 [Início] 22. Ligam-se duas molas e no extremo de uma delas prende-se um bloco de massa m, como está mostrado na Fig. 27. Não há atrito entre as superfícies. Se as molas separadamente tiverem constantes de força k1 e k2, mostre que a freqüência da oscilação do bloco será 1 k1k2 ν 1ν 2 ν= = 2π ( k1 + k2 ) m ν 12 +ν 22 onde ν1 e ν2 são as freqüências em que o bloco oscilaria se fosse conectado somente à mola 1 ou à 2. (O análogo elétrico deste sistema é uma combinação em paralelo de dois capacitores). (Pág. 20) Solução. Considere o seguinte esquema: F k1 F1 F2 k2 m Sejam as seguintes relações, em que x1 e x2 são os estiramentos das molas k1e k2, respectivamente: F1 = − k1 x1 (1) F2 = − k2 x2 (2) A partir destas equações, temos: F x1 = − 1 (3) k1 F2 x2 = − (4) k2 Vamos imaginar que a associação em série de molas mostrada na Fig. 27 possa ser substituída por uma mola equivalente de constante k’, de tal forma que as características do movimento imprimido ao bloco não seja alterado. F’ k’ m As Eqs. (1)-(4) sugerem que: F ' = −k ' x (5) ' F x=− (6) k' ________________________________________________________________________________________________________ 6 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 7. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Nas Eqs. (5) e (6), x corresponde à distância de compressão ou estiramento da mola k’ e F’ é a força elástica correspondente gerada pela mola. O importante é observar que: x = x1 + x2 (7) F1 = F2 = F = F ' (8) Substituindo-se (3), (4) e (6) em (7): F' F F − ' =− 1− 2 k k1 k2 Aplicando-se a relação (8), temos: F' ⎛1 1⎞ k +k ' = F⎜ − ⎟= F 1 2 k ⎝ k1 k2 ⎠ k1k2 ⎛ k +k ⎞ F' = k' ⎜ F 1 2 ⎟ (9) ⎝ k1k2 ⎠ Comparando-se (5) e (9), temos: k +k F 1 2 = −x k1k2 k1k2 F =− x k1 + k2 Logo: k1k2 k' = (10) k1 + k2 A freqüência de oscilação do sistema vale: ω' 1 k' ν =ν = ' = (11) 2π 2π m Substituindo-se (10) em (11): 1 k1k2 ν' = 2π ( k1 + k2 ) m [Início] 28. (a) No movimento harmônico simples, quando o deslocamento for igual à metade da amplitude xm, que fração da energia total será cinética e que fração será potencial? (b) Para que valor do deslocamento metade da energia será cinética e metade será potencial? (Pág. 21) Solução. (a) A equação do movimento harmônico simples é: x(t ) = xm cos (ωt + φ ) Quando o deslocamento for igual à metade da amplitude, temos: x x(t0 ) = m = xm cos (ωt0 + φ ) 2 ________________________________________________________________________________________________________ 7 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 8. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Isto implica em que no tempo t0 temos: 1 cos (ωt0 + φ ) = 2 A energia mecânica total do MHS é dada por: 1 2 E = kxm (1) 2 No instante t0 a energia potencial do sistema vale: 2 1 1 1 2 ⎛1⎞ = kx(2t0 ) = k ⎡ xm cos (ωt0 + φ ) ⎤ = kxm ⎜ ⎟ 2 U ( t0 ) ⎣ ⎦ 2 2 2 ⎝2⎠ 1 2 U (t0 ) = kxm (2) 8 A energia cinética do sistema no instante t0 pode ser calculada por diferença: 1 2 1 2 K (t0 ) = E − U ( t0 ) = kxm − kxm 2 8 3 2 K (t0 ) = kxm (3) 8 Agora podemos usar as Eqs. (1)-(3) para calcular o que foi pedido. A fração da energia total que será cinética é: 3 2 K (t0 ) 8 kxm fK = = E 1 2 kxm 2 3 fK = 4 A fração da energia total que será potencial é: 1 2 U (t0 ) 8 kxm fU = = E 1 2 kxm 2 1 fU = 4 (b) Usaremos a condição da energia potencial ser metade da energia mecânica total: E U= 2 1 2 kx 1 2 2 m kx = 2 2 2 xm x2 = 2 2 x= xm 2 ________________________________________________________________________________________________________ 8 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 9. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES [Início] 34. Um bloco de massa M está em repouso em uma mesa horizontal, sem atrito, preso em suporte rígido por uma mola de constante elástica k. Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco, como mostra a Fig. 30; a bala fica presa no bloco. Determine a amplitude do movimento harmônico simples resultante, em termos de m, M, v e k. (Pág. 21) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: m+M -xm 0 xm x Logo após a colisão completamente inelástica entre a bala e o bloco, ambos passam a executar movimento harmônico simples como um só corpo de massa m + M. A velocidade do conjunto imediatamente após a colisão corresponde à velocidade máxima do MHS (vmax). O cálculo de vmax é feito por meio da aplicação do princípio da conservação do momento linear na coordenada x: Px 0 = Px pbala,0 + pbloco,0 = pbala + pbloco mv + 0 = mvmax + Mvmax mv vmax = (1) m+M Durante o MHS, a velocidade do sistema bloco + bala em função do tempo é dada por: v(t ) = −ω xm sen (ωt + φ ) A velocidade máxima do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) = ± 1. Logo: vmax = ω xm vmax xm = (2) ω Por definição, a freqüência angular ω é dada por: k ω= (3) m+M Substituindo-se (1) e (3) em (2): mv m+M xm = m+M k ________________________________________________________________________________________________________ 9 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 10. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES mv xm = (m + M ) k [Início] 36. Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma mola de constante elástica 5,00 N/cm. Uma bala de 50,0 g é atirada sobre o bloco, de baixo para cima, com velocidade de 150 m/s, ficando em repouso no interior do bloco. (a) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples resultante. (b) Que fração da energia cinética original da bala se transforma em energia mecânica do oscilador ? (Pág. 22) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y ym m+M M 0 -ym v0 m Logo após a colisão completamente inelástica entre a bala e o bloco, ambos passam a executar movimento harmônico simples como um só corpo de massa m + M. A velocidade do conjunto imediatamente após a colisão corresponde à velocidade máxima do MHS (vmax). O cálculo de vmax é feito por meio da aplicação do princípio da conservação do momento linear na coordenada x: Px 0 = Px pbala,0 + pbloco,0 = pbala + pbloco mv0 + 0 = mvmax + Mvmax mv0 vmax = (1) m+M Durante o MHS, a velocidade do sistema bloco + bala em função do tempo é dada por: v(t ) = −ω ym sen (ωt + φ ) A velocidade máxima do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) = ± 1. Logo: vmax = ω ym (2) A freqüência angular do sistema vale: k ω= (3) m+M Substituindo-se (1) e (3) em (2): mv k = ym m+M m+M ________________________________________________________________________________________________________ 10 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 11. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES m m+M m ym = v0 = v0 = 0,1666 m m+M k k (m + M ) ym ≈ 0,17 m (b) A energia mecânica do oscilador corresponde à sua energia cinética máxima. 1 E ( m + M ) vmax ( m + M ) vmax 2 2 f = = 2 = (4) 2 K0 1 2 mv0 mv0 2 Substituindo-se (1) em (4): = (m + M ) ⎛ mv0 ⎞ 2 m f ⎜ ⎟ = = 0, 0123456 ⎝m+M ⎠ m+M 2 mv0 f ≈ 0, 012 [Início] 37. Um cilindro sólido está preso a uma mola horizontal sem massa, de tal modo que ele pode rolar sem deslizar sobre uma superfície horizontal, como mostra a Fig. 32. A constante de força k da mola é 2,94 N/cm. Sabendo-se que o sistema foi abandonado em repouso numa posição tal que a mola estava distendida de 23,9 cm, calcule as energias cinéticas (a) de translação e (b) de rotação do cilindro, quando ele passar na posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nestas condições, o centro de massa do cilindro executa movimento harmônico simples com período de 3M T = 2π 2k onde M é a massa do cilindro. (Pág. 22) Solução. A energia mecânica total vale (xm é a amplitude de oscilação): 1 2 E = kxm = 0, 09375 J (1) 2 Quando o cilindro passa pelo ponto onde a mola está relaxada, a energia mecânica do sistema E estará na forma de energia cinética K. Esta está dividida em energia cinética translacional KT e rotacional KR. E = K = KT + K R (2) A energia cinética translacional vale: 1 KT = Mv 2 (3) 2 ________________________________________________________________________________________________________ 11 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 12. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES A energia cinética rotacional vale (I é o momento de inércia do cilindro e ω é a sua velocidade angular): 1 2 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ v ⎞ 2 KR = Iω = ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠ 1 KR = Mv 2 (4) 4 Substituindo-se (3) e (4) em (2): 1 1 E = Mv 2 + Mv 2 2 4 3 E = Mv 2 (5) 4 (a) Dividindo-se (4) por (5): 2 Mv 2 KT 4 2 = = E 3 Mv 2 3 4 2 KT = E = 0, 0625 J 3 KT ≈ 0, 063 J (a) Dividindo-se (3) por (5): 1 Mv 2 KT 4 1 = = E 3 Mv 2 3 4 1 KT = E = 0, 03125 J 3 KT ≈ 0, 031 J (c) Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o cilindro: v y α F z x P f N Vamos analisar a dinâmica da translação do cilindro (em x), em que F é a força elástica, f é a força de atrito estático, P é o peso do cilindro e N é a normal: ∑F x = Max d 2x F− f =M dt 2 ________________________________________________________________________________________________________ 12 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 13. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES d 2x − kx − f = M (6) dt 2 Agora vamos analisar a dinâmica da rotação do cilindro (torques em z, em relação ao centro de massa do cilindro): ∑τ z = Iα z MR 2 − fR = αz 2 Mas: vx αz = − R Logo: MR 2 vx fR = 2 R M d 2x f = (7) 2 dt 2 Substituindo-se (7) em (6): M d2x d 2x − kx − =M 2 2 dt 2 dt d 2 x 2k + x=0 (8) dt 2 3M A Eq. (8) é a equação diferencial do movimento harmônico simples, onde: 2k ω2 = 3M A relação entre o período de oscilação T e a freqüência angular ω é: 2π T= ω Logo: 3M T = 2π 2k [Início] 45. Um pêndulo físico consiste de um disco sólido uniforme de massa M = 563 g e raio R = 14,4 cm, mantido no plano vertical por um eixo preso à distância d = 10,2 cm do centro do disco, como mostra a Fig. 35. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e a seguir ele é abandonado. Encontre o período do movimento harmônico resultante. ________________________________________________________________________________________________________ 13 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 14. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES (Pág. 23) Solução. O período de oscilação de um pêndulo físico é dado pela Eq. (1), onde I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo de oscilação e d é a distância entre esse eixo e o centro de massa do pêndulo: I T = 2π (1) Mgd O momento de inércia é obtido por meio da aplicação do teorema dos eixos paralelos: I = I CM + Md 2 MR 2 I= + Md 2 2 I= M 2 2 ( R + 2d 2 ) (2) Substituindo-se (2) em (1): T = 2π (R 2 + 2d 2 ) = 0,90528 s 2 gd T ≈ 0, 905 s [Início] 48. Um pêndulo consiste de um disco uniforme de raio de 10,3 cm e massa de 488 g preso a uma vara uniforme de 52,4 cm de comprimento e 272 g de massa; veja a Fig. 36. (a) Calcule o momento de inércia do pêndulo em torno deste eixo. (b) Qual é a distância entre o eixo e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação para deslocamento angular pequeno. (Pág. 23) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ 14 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 15. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Considere o seguinte esquema da situação: 0 l m h CM R M x (a) O momento de inércia do pêndulo (I) é igual à soma dos momentos de inércia da vara (Ivara) e do disco (Idisco). I = I vara + I disco (1) De acordo com a Fig. 9f (pág. 234, vol. 1): ml 2 I vara = (2) 3 O cálculo de Idisco requer a aplicação do teorema dos eixos paralelos: I = I CM + M ( l + R ) 2 MR 2 I= + M (l + R ) 2 (3) 2 Substituindo-se (2) e (3) em (1): ml 2 ⎡ R2 2⎤ I= + M ⎢ + ( l + R ) ⎥ = 0, 028905 kg.m 2 3 ⎣ 2 ⎦ I ≈ 0, 0289 kg.m 2 (b) A coordenada do centro de massa (xCM) é dada por: ( m1 + m2 ) xCM = m1 x1 + m2 x2 l (m + M ) h = m + M (l + R) 2 1 ⎡ ml ⎤ h= ⎢ 2 + M (l + R ) ⎥ = 0, 4963 m m+M ⎣ ⎦ h ≈ 49, 6 cm (c) O período de oscilação deste pêndulo físico (T) vale: I T = 2π = 0,5553 s ( m + M ) gh ________________________________________________________________________________________________________ 15 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 16. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES T ≈ 0, 555 s [Início] 51. Um metro de madeira articulado em um dos seus extremos oscila com freqüência ν0. Qual seria a freqüência, em termos de ν0, se um terço do metro fosse cortado da parte de baixo? (Pág. 23) Solução. [Início] 53. Um pêndulo físico tem dois pontos possíveis de suspensão; um é fixo e o outro ajustável ao longo do comprimento do pêndulo, conforme a Fig. 38. Quando gira em torno da suspensão fixa, o pêndulo tem período T. Invertendo-se o pêndulo, de modo que passe a girar em torno da suspensão ajustável, consegue-se, por tentativas, fazê-lo oscilar com o mesmo período T. Mostre que a aceleração da gravidade pode ser escrita na forma 4π 2 L g= 2 T onde L é a distância entre as duas suspensões. Note que g pode ser medido desta maneira, sem necessidade do conhecimento do momento de inércia do pêndulo ou qualquer das outras dimensões, com exceção de L. (Pág. 23) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ 16 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 17. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES T, IA T, IB A B hB CM hA CM B A Aplicando-se o teorema dos eixos paralelos, podemos obter os momentos de inércia do pêndulo em relação aos eixos A e B: I A = I CM + MhA 2 I B = I CM + MhB 2 Logo: I A − I B = M ( hA − hB ) = M ( hA + hB )( hA − hB ) 2 2 (1) O período de oscilação do pêndulo A vale: IA T = 2π MghA Logo: MghAT 2 IA = 4π 2 De forma semelhante para o pêndulo B temos: MghBT 2 IB = 4π 2 Logo: MgT 2 I A − IB = ( hA − hb ) (2) 4π 2 Igualando-se (1) e (2): MgT 2 ( hA − hb ) = M ( hA + hB )( hA − hB ) 4π 2 Reconhecendo-se que hA + hB = L e simplificando-se a expressão: B 2 gT =L 4π 2 4π 2 L g= 2 T [Início] 55. Um pêndulo simples de comprimento L e massa m está preso a um carro que se move com velocidade constante v numa trajetória circular de raio R. Qual será o período do movimento, ________________________________________________________________________________________________________ 17 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 18. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES sabendo-se que o pêndulo executa pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio (Pág. 23) Solução. Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o pêndulo: y θ L z x FC P Para um observador localizado no referencial não inercial do carro, há duas forças atuando sobre a massa do pêndulo: a força da gravidade (P) e a força centrífuga (FC) devido ao movimento circular do carro, que é uma força fictícia. O módulo da força resultante (FR) vale: 1/ 2 ⎡ ⎛ mv 2 ⎞ ⎤ 2 FR = ( P + F ) = ⎢( mg ) + ⎜ 2 1/ 2 ⎟ ⎥ 2 2 C (1) ⎢ ⎣ ⎝ R ⎠ ⎥ ⎦ Resolvendo-se a segunda lei de Newton para o sistema: ∑τ z = Iα z d 2θ − FR L sen θ = mL2 (2) dt 2 O sinal negativo em (2) deve-se ao fato de o torque exercido pela força resultante (FRL sen θ) ter sempre o sentido contrário da posição angular θ. Substituindo-se (1) em (2): 1/ 2 ⎡ ⎛ mv 2 ⎞ ⎤ 2 d 2θ − ⎢( mg ) + ⎜ ⎟ ⎥ sen θ = mL 2 2 ⎢ ⎣ ⎝ R ⎠ ⎥ ⎦ dt Para oscilações de pequena amplitude vale a aproximação sen θ ≅ θ: 2 1/ 2 d 2θ 1 ⎡ ⎛ mv 2 ⎞ ⎤ + ⎢( mg ) + ⎜ ⎥ θ =0 2 ⎟ dt 2 mL ⎢ ⎝ R ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1/ 2 d 2θ ⎡⎛ g ⎞ ⎛ v 2 ⎞ ⎤ 2 2 + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ θ =0 dt 2 ⎢⎝ L ⎠ ⎝ RL ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ O fator multiplicativo de θ corresponde ao quadrado da freqüência angular (ω2) : 1/ 4 ⎡⎛ g ⎞ 2 ⎛ v 2 ⎞ 2 ⎤ g ⎛ v2 ⎞ 2 ω = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = 1+ ⎜ ⎟ ⎢⎝ L ⎠ ⎝ RL ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ L ⎝ gR ⎠ Portanto, o período de oscilação do pêndulo vale: 2π T= ω ________________________________________________________________________________________________________ 18 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações
  • 19. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 2π T= 2 g ⎛ v2 ⎞ 1+ ⎜ ⎟ L ⎝ gR ⎠ [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 19 a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 15 – Oscilações