Materias de Fooo

1. Capítulo 13 – Movimento Periódico
O movimento periódico é o movimento de um corpo que se
repete regularmente.
Ex.: as ondas do mar, o som, as correntes elétricas, a luz,
ondas de rádio, ondas de TV, ...
Vibrações atômicas e
moleculares

2. Movimento Periódico: Sistema massa‐mola
Fx é a força restauradora, a força da mola que tende a fazer o
corpo voltar para a posição de equilíbrio
x  0 : mola comprimida
A força dirigida para a direita
x = 0 : ponto de equilíbrio
A mola não está nem esticada
nem comprimida
x  0 : mola esticada
A força dirigida para a esquerda

3. Movimento Periódico ‐ Definições
A é a amplitude máxima do movimento  é o módulo da posição
máxima do corpo, quer na direção positiva quer na negativa.
[unidade no SI é o metro [m]
T é o período do movimento  é o intervalo de tempo necessário
para que a massa percorre um ciclo completo.
[unidade no SI é o segundo [s] ou [s/ciclo]
f é a frequência  é o número de oscilações executadas por
unidade de tempo.
[unidade no SI é ciclo/s = Hertz]

4. Movimento Periódico ‐ Definições
 é a frequência angular  é 2 vezes a frequência
f
T
1

f


 2



2
f




2
1
T
f
e
unidade no SI é rad/s

5. Movimento Harmônico Simples ‐ MHS
• É um tipo especial de movimento periódico em que a força
restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento x da
posição de equilíbrio.
x
k
F 

Pequenas oscilações implicam em relações lineares do tipo:
k é a constante da força ou constante elásticada mola
 Lei de Hooke
Caso ideal: obedece a Lei de
Hooke
Se o deslocamento x for
suficientemente pequeno;

6. É um corpo de massa m ligado a uma
mola.
Sistema Massa Mola
Uma massa (m) oscila em torno da posição de equilíbrio  MHS!!!
x
k
Fx 

a
m
x
-k
a
m
F x
x
x 


)
t
(
x
m
k
dt
x
d
x
m
k
ax 



 2
2
   



 t
cos
A
t
x É uma das soluções!

7. A caneta ligada ao corpo oscilante
desenha uma curva sinusoidal no papel
que está em movimento
EXPERIÊNCIA
Verifica‐se assim a curva cosseno, considerada anteriormente !!!

8. Podemos descrever o sistema com ambas as funções !!!
   



 t
cos
A
t
x
   



 t
sen
A
t
x

9. Sistema massa‐mola ‐ MHS
No movimento harmônico simples (MHS), a aceleração é proporcional ao
seu deslocamento, mas tem um sentido oposto a ele.
   



 t
cos
A
t
x
)
t
(
x
m
k
dt
x
d
(t)
ax 

 2
2
  )
(
t
cos
)
A
(
dt
x
d







2
2
 





 t
cos
A
2
   









 t
cos
A
m
k
t
cos
A
2
m
k

2

10. Sistema massa‐mola ‐ MHS
   



 t
cos
A
t
x
)
t
(
x
m
k
dt
x
d
(t)
ax 

 2
2
m
k


O período e a frequência não dependem da amplitude A !!!
m
k
f





2
1
2
Frequência Período

11.    



 t
cos
A
t
x
dt
dx
)
t
(
vx 
 





 t
Asen
)
t
(
vx
Velocidade vx em função do tempo:
Deslocamento x em função do tempo:
Posição e velocidade em função do tempo
  )
].(
t
sen
[
A
)
t
(
vx 






12.    



 t
cos
A
t
x
dt
dv
dt
x
d
)
t
(
a x
x 
 2
2
 





 t
cos
A
)
t
(
ax
2
Aceleração ax em função do tempo:
Aceleração em função do tempo
 





 t
sen
A
)
t
(
vx

13. Posição, velocidade e aceleração em função do tempo
x(t) = A cos (t + )
vx(t) = - A sen (t + )
ax(t) = -2A cos (t + )
-1  cos(t + )  1
xmax= A e -xmax= -A
vmax= A e - vmax= -A
amax= 2A e - amax= - 2A

14. Variação de amplitude, frequência e massa
Amplitude aumenta, o
período não varia
Massa aumenta, o
período aumenta
k aumenta, o período
diminui
k
m
f
T 




 2
2
1

15. Constante de fase 
Informa em que ponto do ciclo o movimento se encontra em t = 0 s.
   



 t
cos
A
t
x
   




 0
0 0 .
cos
A
x
x
0

t
  

 cos
A
x
x 0
0
Se  = 0
Se  = 
A
cos
A
x 
 0
0
A
cos
A
x 



0
0

t
O corpo começa no deslocamento positivo
máximo !
O corpo começa no deslocamento negativo
máximo !

16. Posição e velocidade inicial
  



 sen
A
v
v ox
x 0





cos
A
sen
A
x
v
o
ox
  

 cos
A
x
x 0
0
Para achar , dividimos as duas equações:
o
ox
x
v
tg



 











o
ox
x
v
arctg








 tg
cos
sen
x
v
o
ox

17. Relação entre a amplitude, posição e velocidade
inicial
  



 sen
A
v
v ox
x 0
  

 cos
A
x
x 0
0
Para achar A, usando xo e vox, usamos a relação:
1
2
2
















A
v
A
x ox
o
1
2
2



 sen
cos
1
2
2
2
2
2



A
v
A
x ox
o
2
2
2


 ox
o
v
x
A

18. Variação da velocidade e aceleração em função da
posição
A
k
F
A
x x 


kA
)
A
(
k
F
A
x x 





A
k
F
A
x x 



19. U
K
E 

2
2
1
kA
E 
   








 t
cos
kA
t
sen
A
m
E 2
2
2
1
2
2
2
2
1
)
t
(
kx
)
t
(
mv
E 2
2
1
2
2
1


Energia Mecânica do MHS
É a soma da energia cinética mais energia potencial!
 
   
 2
2
1
2
2
1









 t
cos
A
k
t
Asen
m
E
   







 t
cos
kA
t
sen
kA
E 2
2
2
1
2
2
2
1
   
 







 t
cos
t
sen
kA
E 2
2
2
2
1
   



 t
cos
A
t
x
 





 t
sen
A
)
t
(
vx
m
k

2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
kA
kx
mv
E 



20. Energia Mecânica no movimento oscilatório
2
2
1
2
2
1
2
2
1
kA
kx
mv
E 



21. Movimento circular uniforme x movimento harmônico
simples
•Movimento oscilante de uma
mola e um pistão
•Força restauradora em uma mola