O documento discute o movimento harmônico simples (MHS) e sua aplicação na cinemática. Apresenta exemplos de sistemas que exibem MHS, como o oscilador massa-mola e o pêndulo simples. Também aborda as características do MHS, como período, frequência, função da posição, velocidade e aceleração em relação ao tempo.

1. Ciências da Natureza e
suas Tecnologias - FÍSICA
Ensino Médio, 2ª Série
Ondulatória: Movimento Harmônico
Simples e a cinemática no MHS

2. FÍSICA, 2ª Ano
Ondulatória: Movimento Harmônico Simples e a
cinemática no MHS
Imagem: Jkrieger / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

3. 3
A
0-A
Observe o movimentoObserve o movimento
•Movimento oscilatório: todo movimento de vaivém realizado
simetricamente em torno de um ponto de equilíbrio.
•Movimento periódico: todo movimento oscilatório que se repete
em intervalos de tempo iguais.
Quando um movimento se repete em torno de uma posição
de equilíbrio, em intervalos de tempo regulares, é chamado
Movimento Harmônico Simples (MHS).(1)
Quando um movimento se repete em torno de uma posição
de equilíbrio, em intervalos de tempo regulares, é chamado
Movimento Harmônico Simples (MHS).(1)

4. 4
Veja alguns exemplosVeja alguns exemplos
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)
Imagem:Tibbets74/GNUFreeDocumentationLicense
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License

5. Oscilador
massa-mola
vertical
Oscilador
massa-mola
vertical
Imagem:Mazemaster/PublicDomain
Órbita
Posição
Velocidade

6. Período (T):Período (T): menor intervalo de tempo no qual o evento se repete. Dadomenor intervalo de tempo no qual o evento se repete. Dado
em segundos (no S.I.).em segundos (no S.I.).
Frequência (f):Frequência (f): o número de períodos que cabem numa determinadao número de períodos que cabem numa determinada
unidade de tempo. Se essa unidade de tempo for o segundo, aunidade de tempo. Se essa unidade de tempo for o segundo, a
frequência será dada em Hertz (Hz).frequência será dada em Hertz (Hz).
T
1
f =
Características do movimento periódicoCaracterísticas do movimento periódico

7. 7
•Elongação (x): número real que indica a posição do objeto oscilante;
corresponde à abscissa do ponto P no eixo Ox.
•Amplitude (A): a maior elongação apresentada pelo objeto oscilante;
corresponde ao raio do M.C.U.
•Ângulo de Fase (ϕ): posição angular do ponto P no M.C.U.
Imagem:SEE-PE,redesenhadoapartirde
ilustraçãodeAutorDesconhecido.

8. ϕcos.Ax =
t.0 ωϕϕ +=
)t.cos(.Ax 0 ωϕ +=
Função horária da elongação do MHS
Função horária da elongação(X)Função horária da elongação(X)
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor
Desconhecido.

9. 9
v

mhsv

).(... 0 tsenAsenvvmhs ωϕωϕ +==
)t.(sen.A.v 0
ωϕω +−=
Função horária da velocidade
Nos pontos de inversão
do movimento, V=0. No
ponto x=0, a velocidade
tem valor máximo.
A.vmáx
ω±=
( )²x²A²v2
−= ω
Equação de Torricelli
Função da velocidade e velocidade máximaFunção da velocidade e velocidade máxima
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

10. 10
c
a
 ).cos(.².cos. 0 tAaa cmhs ωϕωϕ +==
)t.cos(.A².a 0mhs ωϕω +−=
Função da aceleração do MHS
No ponto central, a
aceleração é nula,
pois x=0. Nos pontos
de inversão, temos o
valor máximo e o
mínimo. (1)x².a ω−=
Aceleração
em função da
elongação A².amáx
ω=
mhsa

Função da aceleração e aceleração máximaFunção da aceleração e aceleração máxima
Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir
de ilustração de Autor Desconhecido.

11. Gráficos do MHS – Posição x tempo
11
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

12. 12
Gráficos do MHS – velocidade x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

13. 13
Gráficos do MHS – aceleração x tempoGráficos do MHS – aceleração x tempo
Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

14. Imagem: Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 1.0 Generic
Imagem: Gonfer / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

15. EXEMPLOS
Um corpo realiza umMHS regido pela lei horária
x=10cos no ( Π/4 . t + Π/ 2) no SI.
Determine:
a)As funções horárias de velocidade e da
aceleração;
b)A velocidade e a aceleração do corpo no
instante t=2s;
c)Os gráficos da elongação, velocidade e
aceleração em função do tempo desse
movimento.
Uma partícula tem o deslocamento dedo pela seguinte
equação x=6.cos(6 Π.t + Π), no SI.
a)Qual é a velocidade angular do movimento?
b)Qual é a frequência e o periódo?
c)Encontre o valor da amplitude e da fase inicial?
d)Qual deve ser a sua posição em t=0s e t=0,5s?

16. 16
Cálculo do período do pêndulo simplesCálculo do período do pêndulo simples
Galileu percebeu que o período do movimentoGalileu percebeu que o período do movimento
pendular não depende da amplitude (conhecidopendular não depende da amplitude (conhecido
como isocronismo do pêndulo). Este fato,como isocronismo do pêndulo). Este fato,
devidamente trabalhado por Huygens, veio adevidamente trabalhado por Huygens, veio a
revolucionar a forma de medir intervalos derevolucionar a forma de medir intervalos de
tempo e, portanto, de construir relógios.tempo e, portanto, de construir relógios.
Medidas de tempo são imprescindíveis naMedidas de tempo são imprescindíveis na
observação dos fenômenos físicos.observação dos fenômenos físicos. (1)(1)
Galileu percebeu que o período do movimentoGalileu percebeu que o período do movimento
pendular não depende da amplitude (conhecidopendular não depende da amplitude (conhecido
como isocronismo do pêndulo). Este fato,como isocronismo do pêndulo). Este fato,
devidamente trabalhado por Huygens, veio adevidamente trabalhado por Huygens, veio a
revolucionar a forma de medir intervalos derevolucionar a forma de medir intervalos de
tempo e, portanto, de construir relógios.tempo e, portanto, de construir relógios.
Medidas de tempo são imprescindíveis naMedidas de tempo são imprescindíveis na
observação dos fenômenos físicos.observação dos fenômenos físicos. (1)(1)Imagem: Vincenzo Viviani / United States Public Domain
Imagem: Justus Sustermans / United States Public Domain

17. São bem conhecidas as histórias sobre as experiências
que levaram o astrônomo e físico italiano Galileu Galilei
(1564-1642) à descoberta das leis do pêndulo e das leis
da queda livre. Nos dois casos, não há uma data precisa
de quando ele foi motivado a realizar as experiências
que o levaram à formulação daquelas leis. Essa
imprecisão, segundo o físico e historiador da ciência, o
norte-americano Tony Rothman, em seu livro Tudo é
Relativo e Outras Fábulas da Ciência e Tecnologia (DIFEL,
2005), decorre do fato de que tais histórias não foram
registradas por Galileu em nenhum de seus livros, e sim
que elas foram descritas por seu discípulo, o físico
italiano Vincenzio Viviani (1622-1703), em um livro
inacabado que escreveu sobre a vida de seu mestre.
Como era um perfeccionista, levou cinquenta anos
vendo e revendo o que escrevia, sem concluí-lo. Morreu
sem vê-lo publicado, o que só aconteceu em 1717. (2)
Um pouco de história da
física
Imagem: Domenico Tempesti / United States public domain

18. No livro Galileu: Uma Vida (José Olympio, 1995) e no
livro Galileu Galilei (Nova Fronteira, 1997), os autores
dizem que Galileu foi levado a descobri-las (as leis) ao
observar, quando assistia à missa na Catedral de Pisa,
que o período de oscilações de um candelabro (lanterna
decorativa), colocado em movimento pelo vento, não
dependia do fato de que tais oscilações fossem rápidas
ou lentas. Ele comparou os períodos dessas oscilações
contando sua própria pulsação. Registre-se que esse
isocronismo já havia sido observado, no século X, pelo
astrônomo árabe Ibn Junis.(2)

19. PERÍODO DO PÊNDULO SIMPLESPERÍODO DO PÊNDULO SIMPLES
Imagens: Algarabia / Public Domain

20. Lsena
LsenA
Aa
máx
máx
.².
.
².
θω
θ
ω
=
=
=
g
L
π2=Τ

21. OSCILADOR HARMÔNICO HORIZONTALOSCILADOR HARMÔNICO HORIZONTAL
Aamáx ².ω=
Imagem: Dbfls / GNU Free Documentation License
Oscilador harmônico simples (oscilador massa-mola)

22. OSCILADOR HARMÔNICO VERTICALOSCILADOR HARMÔNICO VERTICAL
Mas, como o peso não varia
conforme o movimento, este
pode ser considerado como uma
constante, então a força
resultante é do tipo -K.X.
Assim, a força varia
proporcionalmente à elongação
do movimento, portanto é um
MHS, cujo período é expresso
por:

23. Na vida cotidiana, os movimentos harmônicos são bastante frequentes. São exemplos disso
os movimentos de uma mola, de um pêndulo e de uma corda de violão.
Cada um desses movimentos oscilatórios realiza movimentos de vaivém em torno de uma
posição de equilíbrio e são caracterizados por um período e por uma frequência. (3)
MHS no Cotidiano
Imagem: Roger McLassus /
GNU Free Documentation License
Imagem: Carivaldi / GNU
Free Documentation License
Imagem: PJ / GNU Free Documentation License

24. O estudo do movimento harmônico simples foi fundamental para diversas inovações
tecnológicas, desde a construção de relógios de pêndulo até estudos espaciais que
possibilitaram, entre outras coisas, a criação de satélites artificiais e sondas
espaciais(4).
O estudo do movimento harmônico simples foi fundamental para diversas inovações
tecnológicas, desde a construção de relógios de pêndulo até estudos espaciais que
possibilitaram, entre outras coisas, a criação de satélites artificiais e sondas
espaciais(4).
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
Imagem: Loadmaster / GNU Free Documentation License Imagem: U.S. Air Force / Public Domain

25. O MHS também é introdutório ao estudo de sistemas não-
harmônicos, que podem ser estudados pela composição de
ondas harmônicas e adaptados pelas leis conhecidas.(5)
Tacoma bridge
Texto extraído do site: http://fisicaemdia.tumblr.com/page/2
Imagem: Kathy Calm / GNU Free Documentation License