1) O documento explora a sequência de Fibonacci, o número de ouro e a divisão áurea através de construções geométricas para alunos do ensino médio. 2) A sequência de Fibonacci surge de um problema sobre coelhos se reproduzindo, onde cada par gera um novo par a cada mês. 3) À medida que avançamos na sequência, a razão entre termos consecutivos se aproxima do número de ouro, que é aproximadamente 1,618.

1. Explorando a divisão áurea e o número de ouro através da sequência de Fibonacci mediante
construções geométricas para alunos do terceiro ano do ensino médio.
1 – Introdução.
O ano de 1202 assistiu à publicação de um livro chamado Líber Abaci (Livro dos Ábacos), que
apresentaria para a Europa o sistema numérico árabe. Esse livro fora escrito por um matemático
genial, Leonardo de Pisa, mais conhecido pelo apelido de Fibonacci. Ele aprendera Matemática na
Algéria, onde fora acompanhando seu pai, um funcionário diplomático. Um dos problemas apresen-
tados no livro é o que gera a famosa sequência de Fibonacci. Veja o enunciado:
Suponha que as coelhas demorem um mês para gerar suas crias e que cada coelha fique pre-
nha no início de cada mês, contando do início de seu primeiro mês de vida. Além disso, supo-
nha que cada coelha gere um par de coelhos, um macho e uma fêmea. Quantos pares de coe-
lho você terá em janeiro de 1203 se você começar com um só par, em 1 de janeiro de 1202, se
em cada mês cada par gera um novo par, que se torna produtivo a partir do segundo mês?
Para solucionar este problema, montemos uma tabela e vamos preencher alguns poucos dados para
que tenhamos uma visão um pouco mais ampla sobre este problema.
Tempo (em meses) Número de pares de coelhos
1 mês depois 1
2 meses depois ?
3 meses depois ?
4 meses depois ?
5 meses depois ?
A solução dada por Fibonacci é a seguinte: no primeiro mês, teremos um par de coelhos que se ma-
terá no segundo mês; no terceiro mês de vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois
pares de coelhos; para o quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos,
no fim deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês, serão dois os pares de coelhos a reproduzir,
o que permite obter cinco pares de coelhos no fim deste mês.
Tempo (em meses) Número de pares de coelhos
1 mês depois 1
2 meses depois 1
3 meses depois 2
4 meses depois 3
5 meses depois 5

2. Mas e se quiséssemos preencher esta tabela mais adiante, até chegarmos ao 12°mês? Ora, obede-
cendo este mesmo raciocínio, teríamos ao fim de um ano 233 pares de coelhos partindo do casal de
coelhos com que partimos.
Assim, o número de coelhos aumenta da seguinte maneira:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
Caso o processo não seja interrompido. A sequência de Fibonacci pode ser obtida da seguinte ma-
neira.
F1 = 1; F2 = 2; Fn + 1 = Fn + Fn-1
Isto é, ao considerarmos a forma com que esta sequência é formada, percebemos que um
termo qualquer da sequência, exceto o 1° e o 2° termo, é a soma dos dois termos imediatamente
anteriores a este. Este tipo de sequência são chamadas de sequência recorrentes ou sequências
recursivas, isto é, para sabermos o valor de um dado termo temos de recorrer a termos anteriores
conhecidos além de precisarmos inicialmente de pelo menos dois termos a priori definidos.
O problema com este tipo de sequência é que para calcularmos os termos de ordem avança-
da, isto é, o qüinquagésimo, o centésimo ou o milésimo termo por exemplo, precisamos passar por
todos os seus termos anteriores até chegarmos ao termo desejado, desta maneira parece bem sen-
sato pensar que determinar a fórmula do termo geral desta sequência facilite o cálculo de um termo
qualquer, principalmente aqueles de ordem elevada, infelizmente nem sempre esta é uma tarefa fá-
cil, mas veremos que não é algo tão complexo no caso da sequência que acabamos de investigar e
iremos investigar algumas propriedades interessantes a respeito desta sequência.
2 - Taxa de Crescimento na sequência de Fibonacci e o número de ouro.
Se na sequência de Fibonacci dividirmos um termo fn+1 por fn, à medida que n crescer, este quociente
se aproximará cada vez mais do número de ouro. Quando dividimos um termo pelo outro conforme
descrito acima estamos determinando a taxa de crescimento entre o número de coelhos no (n +
1)ésimo mês e (n)ésimo mês. Logo temos:
Sequencia de Fibonacci Razão entre fn+1 e fn
1 1/1 = 1
1 2/1 = 2
2 3/2 = 1,5
3 5/3 = 1,666...
5 8/5 = 1,6

3. 8 13/8 = 1,625
13 21/13 = 1,615
21 34/21 = 1,619
34 55/34 = 1,617
55 89/55 = 1,618
89
Percebemos que à medida que avançamos na tabela, os quocientes vão se aproximando de
um dado valor, este valor é o número de ouro e vale aproximadamente 1,618033988. Aliás este valor
é uma das raízes da equação r2 – r + 1 = 0 e corresponde ao valor (1 + raiz quadrada de 5) / 2. onde
r2 – r + 1 = 0 é o limite da sequência formada por estas razões, a propósito esta equação quadrática
apresenta duas raízes, a outra é negativa, portanto não servido como valor de convergência para a
série.
3 – O Retângulo Áureo.
Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando ele apresenta a seguinte proprieda-
de: se dele retira-se o quadrado ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo
original:
Ou seja a/(a + b) = b/a
Iremos construir um retângulo áureo seguindo os seguintes passos:
1° passo) Construa um quadrado ABFE de lado a e divide-se um dos lados desse quadrado ao meio.
O ponto que intercepta a base do quadrado será chamado de ponto M.

4. 2°passo) Em seguida, trace a diagonal que liga o ponto M ao seu vértice oposto, ou seja, o ponto F.
3° passo) Com o compasso centrado no ponto M, traçe o arco de comprimento MF até que ele en-
contre o prolongamento da base. O ponto de intersecção do arco com o prolongamento da base será
o ponto D.
4° passo) A partir do ponto D, trace um segmento de reta perpendicular à base do quadrado. Depois,
prolongue o lado superior até que este encontre o segmento de reta. O retângulo é exatamente o
Retângulo Áureo, o qual foi construído a partir de seu lado menor AE = EF = a, como mostra a figura
abaixo:
Para demonstrar que o retângulo ABCD é um retângulo áureo, basta observar que MF = MD = b +
a/2, então:
(b + a/2)2 = a2 + (a/2)2
Ou seja: b2 + ab = a2

5. 4 – A divisão áurea.
Diz-se que um ponto C de um segmento de reta AB divide este segmento em média e extre-
ma razão se AC/AB = CB/AC.
Esta relação é igual à relação anterior se considerarmos AC = a e CB = b, a partir daí conclu-
ímos que: b2 + ab = a2. O número m = a/b é conhecido como razão áurea e ao dividirmos a equação
anterior por b2 e fazendo as devidas substituições temos m2 = m + 1 cuja raiz conforme já visto antes
será o número de ouro.
Os passos abaixo irão descrever como dividir um segmento em média e extrema razão:
1° passo) Utilizando o compasso, determinamos o ponto médio do segmento AB.
2°passo) Traçamos uma perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto B.
3°passo) Com o compasso centrado no ponto B, trace um arco de comprimento MB até que este
cruze a reta perpendicular ao segmento AB. Obtém-se, assim, um segmento BD medindo exatamen-
te a metade do seguimento AB.
4°passo) Una o ponto D ao ponto A, construindo assim o triângulo ABD.

6. 5° passo) Com o compasso centrado no ponto D, traça-se um arco de comprimento DB até que ele
cruze a hipotenusa AD do triângulo, obtendo o ponto E.
6° passo) Finalmente com o compasso centrado no ponto A, traça-se um arco de comprimento EA
até que este encontre o segmento AB. Este arco irá interceptar o lado AB no ponto C que divide o
segmento AB em média e extrema razão.
Com efeito, se AC = a, e CB = b, então, da construção anterior, sabe-se que:
AB = a + b, AE = a. ED = BD = (a + b)/2
O que equivale aplicando o teorema de Pitágoras: b (a + b) = a2

7. 5 – Conclusão:
As construções geométricas são ótimas ferramentas para a compreensão das relações numé-
ricas, das relações aritméticas e das relações algébricas, tendo a sequência de Fibonacci estreita
relação com o número de ouro e a divisão áurea, nada mais conveniente do que explorar este con-
ceito através de construções geométricas que possam melhor familiarizar o aluno com o conteúdo
através de sua própria experiência em construir segmentos associados a números e assim visualizar
e compreender melhor estas relações.
6 – Referências Bibliográficas:
ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Números. São Paulo: Nobel, 1981.
BOYER, Carl. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
MATEMÁTICA, 2007. Anais... Canoas: ULBRA, 2007.
SANTOS, Ângela Rocha; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculo com Maple. Rio de Janeiro:
LTC, 2002.