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Os Números de Fibonacci

1= 1
1_+ 1 =    2
1+2=       3
2+3 =        5
3+5 =        8
5+8 =       13
8 + 13 =   21

Sujeito simpático o velho Fibonacci. Como a maioria das boas Idéias, sua invenção começa com
o número 1. Ou, mais exatamente, com dois uns 1 + 1 = 2.. Daí ele pega os dois últimos
números e os soma.
•
Os coelhos de Fibonacci

O problema original investigado por Fibonacci (no ano 1202) referia-se a velocidade com que
coelhos se reproduzem em circunstâncias ideais.
Suponha um par de coelhos recém-nascidos, um macho, um fêmea, seja posto em um campo.
Coelhos podem se acasalar com a idade de um mês de forma que ao término do seu segundo
mês uma fêmea pode produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca
morrem e que a fêmea sempre produz um par novo (um macho, uma fêmea) todos os meses
do segundo mês. O quebra-cabeça formulado por Fibonacci era...
Quantos casais de coelhos existirão em um ano?
 1. Ao término do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um 1 par.
2. Ao término do segundo mês a fêmea produz um par novo, agora há 2 pares de coelhos no
campo.
3. Ao término do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par e temos um total de 3
pares em todo o campo.
4. Ao término do quarto mês, a fêmea original produziu ainda outro par novo, a fêmea nascida
há dois meses atrás produz também seu par, temos então 5 pares.




O número de pares de coelhos no campo ao começo de cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34,...
Você já sabe como a série é formada e como continua? Se não, retorne ao primeiro slide!

•Os primeiros 16 números de Fibonacci estão aqui 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987 .... e algumas perguntas para você responder.

•Agora você pode ver por que esta é a resposta do nosso problema dos Coelhos?

Se não, aqui está o por quê.


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Os Números de Fibonacci


Propriedades

n= 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o               8o   9 o 10 o 11 o 12 o 13 o
   1  1  2  3  5  8 13                21    34 55    89   144 233

O numero 3 é o quarto termo (1, 1, 2, 3). Soma = 7

Se quisermos a soma dos termos, simplesmente olhe para o 6o termo o numero (n+2) da
seqüência é 8 , e subtraia 1.

Logo, quando quisermos saber a soma de números de Fibonacci , basta pular dois termos à
frente e dele diminuir 1. Logo, 8 - 1 = 7

Propriedades

n=    1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o
      1   1   2   3   5   8 13 21 34 55        89   144 233

A soma dos n primeiros termos pares (1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 88)

Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos pares , simplesmente olhamos para o termo 2n+
1   (2 x5 + 1 = 11), o 11o termo.
A seguir, localizamos o valor do 11o número da seqüência, é 89 , e subtraia 1.

Logo, quando quisermos saber a soma dos n números pares de Fibonacci , basta localizar o
valor do termo 2n + 1 e dele diminuir 1.

Logo, 89 - 1 = 88


Propriedades

n=    1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o            8o   9o    10 o 11 o 12 o 13 o
      1  1  2  3  5  8  13            21   34     55 89    144 233


A soma dos n primeiros termos impares (1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55)

Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos impares, simplesmente olhamos para o termo
2n (2 x 5 = 10), o 10o termo, é 55.

Logo, quando quisermos saber a soma dos n números impares de Fibonacci , basta localizar
o valor do termo 2n.

Logo, 2n = 2 x 5 = 10o termo = 55.

Propriedades

n= 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o               8o   9o    10 o 11 o 12 o 13 o
   1  1  2  3  5  8  13               21   34     55 89    144 233

A soma do quadrado dos n primeiros termos (12 + 12 + 22 + 32 = 15)



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                                                            3


Se quisermos a soma dos primeiros 4 termos ao quadrado, simplesmente olhamos para o
termo n = 4 e n+1 = 5, o 4o termo, é 3 e o 5o termo é 5 . Produto 3 x 5 = 15

Logo, quando quisermos saber a soma dos quadrados dos n números de Fibonacci, basta
localizar o valor do termo n e n+1 e multiplicá-los. Logo, n = 4 = 3 e n+1 =5 = 5, temos
3 x 5 = 15.

Propriedades

10 2   0
            3   0
                     4   0
                              5   0
                                      6   0
                                               7 0 8 0 9 0 10   0
                                                                    11 0 12 0 13 0
1 1        2        3        5        8       13 21 34     55       89   144 233

    (n + 1) / n

a- 1/1 =                   1
b- 2/1 =                  2
c- 3/2 =                  1,5
d- 5/3 =                 1,66666
e-8/ 5 =                 1,6
f – 13 /8 =              1,625
g - 21 / 13 =            1,61538
h - 34 / 21 =            1,61904


       n/(n+1)


 a- 1/1 =                1
 b- 1/2 =                0,5
 c- 2/3 =                0,66666
•
 d- 3/5 =                0,6
 e- 5/8 =                0,62500
 f - 8 / 13 =            0,61538
 g - 13 / 21 =           0,61904




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Art Calc Fibonacci

  • 1. artcalcfibonacci-091207064549-phpapp02.doc 1 Os Números de Fibonacci 1= 1 1_+ 1 = 2 1+2= 3 2+3 = 5 3+5 = 8 5+8 = 13 8 + 13 = 21 Sujeito simpático o velho Fibonacci. Como a maioria das boas Idéias, sua invenção começa com o número 1. Ou, mais exatamente, com dois uns 1 + 1 = 2.. Daí ele pega os dois últimos números e os soma. • Os coelhos de Fibonacci O problema original investigado por Fibonacci (no ano 1202) referia-se a velocidade com que coelhos se reproduzem em circunstâncias ideais. Suponha um par de coelhos recém-nascidos, um macho, um fêmea, seja posto em um campo. Coelhos podem se acasalar com a idade de um mês de forma que ao término do seu segundo mês uma fêmea pode produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca morrem e que a fêmea sempre produz um par novo (um macho, uma fêmea) todos os meses do segundo mês. O quebra-cabeça formulado por Fibonacci era... Quantos casais de coelhos existirão em um ano? 1. Ao término do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um 1 par. 2. Ao término do segundo mês a fêmea produz um par novo, agora há 2 pares de coelhos no campo. 3. Ao término do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par e temos um total de 3 pares em todo o campo. 4. Ao término do quarto mês, a fêmea original produziu ainda outro par novo, a fêmea nascida há dois meses atrás produz também seu par, temos então 5 pares. O número de pares de coelhos no campo ao começo de cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Você já sabe como a série é formada e como continua? Se não, retorne ao primeiro slide! •Os primeiros 16 números de Fibonacci estão aqui 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 .... e algumas perguntas para você responder. •Agora você pode ver por que esta é a resposta do nosso problema dos Coelhos? Se não, aqui está o por quê. Página 1 de 3
  • 2. artcalcfibonacci-091207064549-phpapp02.doc 2 Os Números de Fibonacci Propriedades n= 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 O numero 3 é o quarto termo (1, 1, 2, 3). Soma = 7 Se quisermos a soma dos termos, simplesmente olhe para o 6o termo o numero (n+2) da seqüência é 8 , e subtraia 1. Logo, quando quisermos saber a soma de números de Fibonacci , basta pular dois termos à frente e dele diminuir 1. Logo, 8 - 1 = 7 Propriedades n= 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 A soma dos n primeiros termos pares (1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 88) Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos pares , simplesmente olhamos para o termo 2n+ 1 (2 x5 + 1 = 11), o 11o termo. A seguir, localizamos o valor do 11o número da seqüência, é 89 , e subtraia 1. Logo, quando quisermos saber a soma dos n números pares de Fibonacci , basta localizar o valor do termo 2n + 1 e dele diminuir 1. Logo, 89 - 1 = 88 Propriedades n= 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10 o 11 o 12 o 13 o 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 A soma dos n primeiros termos impares (1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55) Se quisermos a soma dos primeiros 5 termos impares, simplesmente olhamos para o termo 2n (2 x 5 = 10), o 10o termo, é 55. Logo, quando quisermos saber a soma dos n números impares de Fibonacci , basta localizar o valor do termo 2n. Logo, 2n = 2 x 5 = 10o termo = 55. Propriedades n= 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10 o 11 o 12 o 13 o 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 A soma do quadrado dos n primeiros termos (12 + 12 + 22 + 32 = 15) Página 2 de 3
  • 3. artcalcfibonacci-091207064549-phpapp02.doc 3 Se quisermos a soma dos primeiros 4 termos ao quadrado, simplesmente olhamos para o termo n = 4 e n+1 = 5, o 4o termo, é 3 e o 5o termo é 5 . Produto 3 x 5 = 15 Logo, quando quisermos saber a soma dos quadrados dos n números de Fibonacci, basta localizar o valor do termo n e n+1 e multiplicá-los. Logo, n = 4 = 3 e n+1 =5 = 5, temos 3 x 5 = 15. Propriedades 10 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 (n + 1) / n a- 1/1 = 1 b- 2/1 = 2 c- 3/2 = 1,5 d- 5/3 = 1,66666 e-8/ 5 = 1,6 f – 13 /8 = 1,625 g - 21 / 13 = 1,61538 h - 34 / 21 = 1,61904 n/(n+1) a- 1/1 = 1 b- 1/2 = 0,5 c- 2/3 = 0,66666 • d- 3/5 = 0,6 e- 5/8 = 0,62500 f - 8 / 13 = 0,61538 g - 13 / 21 = 0,61904 Página 3 de 3