1) O documento apresenta o tema dos números de Fibonacci e sua aplicação em diversas áreas como matemática, biologia e artes. 2) A sequência de Fibonacci descreve a reprodução de coelhos de forma idealizada e gera uma sucessão numérica onde cada termo é a soma dos dois anteriores. 3) Os números de Fibonacci aparecem na natureza em padrões de crescimento de plantas, na proporção áurea encontrada em obras de arte e na construção de instrumentos musicais.

1. Escola Básica de Paços de Ferreira
Fibonacci
Ano Letivo:
2011/2012
Disciplina: Matemática
Professora Anabela Tomé

2. Índice:
Tema Página
Quem é Fibonacci? 4
Sequência de Fibonacci 7
Número de ouro a Fibonacci 8
Matemática e os números de Fibonacci 9
Problema dos coelhos 10
Pintura e arte 13
Moluscos 14
Plantas 15
Música 16

3. Introdução:
Neste trabalho foi elaborado no âmbito da disciplina de
Matemática, na qual iremos abordar a vida e o longo
processo de trabalho de Leonardo de Pisa mais conhecido
por Fibonacci.

4. Quem é Fibonacci?
O seu nome completo era Leonardo de Pisa.
Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao facto de Fibonacci ser um
diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de
Bonacci.
Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.
Desde muito jovem Leonardo visitou o Oriente e o Norte de África, onde
o sistema de numeração hindu era já largamente usado.

5. Ao longo das suas viagens conheceu a obra de al-Khwarismi e assimilou
numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu
primeiro livro " Liber Abacci" (o livro dos ábacos), que teve uma enorme
influência para a introdução na Europa do sistema de numeração hindu-
Árabe.
Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de
Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema do nosso trabalho.
Escreveu depois " Pratica Geometriae " onde analogamente descreve as
suas recolhas sobre Geometria e Trigonometria.

6. Difundiu nos seus livros, os saberes matemáticos de origem indiana e
árabe e estudou as operações elementares, assim como os números
naturais, a decomposição de números em factores primos, as fracções e
as equações entre outros.
Mas a concepção que Fibonacci apresentou no seu livro "Liber abacci"
conhecido agora como os números de Fibonacci foi o que mais o
popularizou entre os outros matemáticos da sua época.
Pensa-se que Fibonacci terá morrido em 1250 em Pisa.

7. Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci resulta de um problema apresentado no livro
Liber Abaci, escrito em 1202, por Leonardo de Pisa, um italiano que
viajou pelo Oriente como mercador.
Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir
do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1+1=2, 2+1=3,
3+2=5 e assim por diante.
Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci,
dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram
encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de
modelos explicativos de fenómenos naturais.

8. Número de ouro e
Fibonacci
O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos. Os
"antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura baseadas na razão
de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro
começou por ser definida em termos geométricos
O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do
comprimento de um rectângulo de ouro ( este quando é dividido em duas
partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta
terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo
inicial).

9. Matemática e os números de
Fibonacci
A sucessão de Fibonacci se represente frequentemente por:
F(n)=F(n+1)+F(n+2) com n natural, existem diversas fórmulas e
propriedades relacionadas com esta sucessão.
Também existem ciclos formados com os últimos dígitos dos números de
Fibonacci, assim como algumas propriedades interessantes relativamente
aos seus múltiplos.
O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam
com os números desta sucessão.

10. O problema dos coelhos
No livro a que nos referimos anteriormente, Líber Abaci, Fibonacci
introduziu um problema por ele formulado que veio dar origem
posteriormente a uma sucessão. Essa sucesão ficou conhecida na história
como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de 1202, quando
Fibonacci se interessou pela reprodução dos coelhos. Ele criou então um
cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos se
poderiam então procriar.

11. Exemplo:
No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois
coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao
fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao
atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A
mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os
coelhos nunca morrem.

12. Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci concluiu que:
Mês 0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos.Mês #1
– Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz
(portanto existe somente um par de coelhos).
Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora
dois pares de coelhos.
Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par
de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de
três pares.
Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par
nascido no mês 2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês 3
acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares.
Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão
à luz. Isto totaliza oito pares.

13. Pintura e arte
Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção
Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava-a: Divina Proporção e usou-
a em muitos dos seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção
Áurea em várias situações.
Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos
que este possui a proporção do retângulo Áureo.

14. Moluscos
Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo
o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos
agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e
teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados
iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo
anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,...
que é a sequência de Fibonacci.

15. Plantas
Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento dos
seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada
mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro
broto.
Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui.
A planta Achillea ptarmica possui estas características.

16. Música
Os amantes da música podem ficar, a saber, que mesmo Stradivarius
utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos.
A banda TOOL tem uma música projetada com a sucessão de Fibonacci,
designada de Lateralus.
O Número de Ouro está presente nas famosas sinfonias n.º 5 e na
Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven.
O baterista de jazz Max Roach, incorporou a Proporção Áurea nas suas
músicas.

17. Resolução das páginas 134 e 135
• 1)
• 1.1) O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números
que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram
descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.
• Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são
formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima.
Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
1.2) 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1; 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1; 1; 8; 28; 56;
70; 56; 28; 8; 1;
1.3)
1.4)

18. • 2)
2.1) 1 ano------------1) x2;
2 anos----------2) x2;
3 anos---------4) x2;
4 anos---------8) x2;
5 anos---------16) x2;
6 anos--------32) x2; R: ao fim de 10 anos
7 anos--------64) x2; terá 512 ramos.
8 anos--------128) x2;
9 anos--------256) x2;
10 anos------512) x2

19. • 2.2)
Porque a sequência do número de ramos a partir do primeiro é uma potência de
base 2, logo é par.
• 3)
3.1)
1 de janeiro- 3km
2 de janeiro- 5km
3 de janeiro- 7km R: no dia 6 de janeiro.
4 de janeiro- 11km
5 de janeiro- 13km
6 de janeiro-15km

20. • 3.2)
1 de janeiro- 3km;
2 de janeiro- 5 km;
3 de janeiro- 7km; R: o alex, durante o mês de
4 de janeiro- 9km; janeiro correu 423 km.
5 de janeiro- 11km;
6 de janeiro-13km
31-6=25x15=375+3+5+7+9+11+13=423
• 4)
• 4.1)
1+1=2;
1+2=3;
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21….

21. …
13+21=34;
21+34=55; R: haverá 377 casais de
34+55=89; coelhos ao fim de 14 meses.
55+89=144;
144+233=377;
• 5)
1+1+1=3
R: a sequência é continuada somando-se
1+1+3=5
sempre os três últimos termos para
1+1+5=9
obtermos o termo seguinte.
1+1+9=17

22. • 6)
7
1 7
1 1 1 7
3 1 1 7
1 1 1 3 1 2 2 1 1 7
3 1 1 3 1 1 2 2 2 1 1 7