Este documento apresenta Fibonacci e a sequência numérica que leva o seu nome, explorando suas aplicações na arte, música, plantas e outros domínios. Discutem-se conceitos como a razão dourada e como esta proporção aparece na natureza e nas obras de artistas como Leonardo da Vinci. O documento também aborda curiosidades sobre a matemática presente no corpo humano e no mundo natural.

1. Matemática
Trabalho realizado por:
Ana Dias, nº 1, 7ºB
Maria Fernandes, nº 17, 7ºB
Marta Sousa, nº 18, 7ºB
2011/12
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2.  Introdução......................................pág.2
 Vida e obra de Fibonacci.............pág.3
 Sequência de Fibonacci................pág.4
 A razão dourada............................pág.5
 Sequência de Fibonacci e a razão
dourada...........................................pág.6
 Sequência de Fibonacci na: Arte, Música,
Plantas, Insetos, Moluscos e
Coelhos............................................pág.7 à 14
 Curiosidades...................................pág.15 à 17
 Conclusão.........................................pág.18
 Bibliografia.....................................pág.19
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3. O interesse do Homem pela Matemática está
presente na história da humanidade e na evolução
do conhecimento da mesma. Ao longo deste trabalho
vamos procurar perceber e contextualizar o
contributo particular de um matemático, Fibonacci.
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4. Fibonacci (Leonardo de Pisa) foi um dos matemáticos
mais importantes da idade média, nasceu por volta de
1180, em Pisa. O pai de Fibonacci era um mercador
que trabalhou no norte de África, pelo que cedo
Fibonacci foi iniciado nos negócios e nos cálculos, o
que despertou o seu interesse pela matemática.
Fibonacci escreveu uma célebre obra chamada, "Liber
Abaci", que foi um meio através do qual a numeração
hindu-árabe foi introduzida na Europa Ocidental. No
"Liber Abaci" explicava-se como utilizar estes
numerais nas operações aritméticas, abordavam-se
diversos temas de álgebra e geometria, e também se
propunham vários problemas. O nome de Fibonacci
tornou-se conhecido devido a um problema que existia
no seu livro "Liber Abaci", chamado problema dos
coelhos. A solução deste problema é uma sequência
numérica.
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5. O problema:
Condições:
-No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes
dois coelhos acabaram de nascer;
-Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês;
-O período de gestação de um coelho dura um mês;
-Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os
meses.
-A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea;
-Os coelhos nunca morrem.
Quantos coelhos existirão daqui a um ano?
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6. Em cada mês, há o mesmo número de casais adultos do mês
anterior mais os casais que, no mês anterior, eram jovens
e que cresceram, mais tantos casais filhos jovens como
os casais adultos do mês anterior, os pais.
Fibonacci reparou que, em cada mês, o número de casais de
coelhos era igual à soma dos casais dos dois meses
anteriores. A sequência de casais era:
1; 1; 2; 3; 5; 8; ...
Cada valor da sequência, excetuando os dois primeiros,
obtêm-se a partir da soma dos dois anteriores.
Esta sequência é conhecida por Sequência de Fibonacci.
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7. A razão dourada ou número áureo ou de
ouro é uma constante real algébrica
irracional denotada pela fórmula grega PHI e
com o valor arredondado a três casas
decimais de 1,618. É um número que há
muito tempo é empregado na arte e aparece
em diversas formas da natureza. Também é
chamada de: razão áurea, razão de ouro,
divina proporção, proporção em extrema
razão, divisão de extrema razão.
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8. A razão dourada é aproximada da divisão do
enésimo termo da Sequência de Fibonacci pelo
termo anterior. Essa divisão converge para a
razão dourada conforme tomamos n cada vez
maior.
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9. O notável artista italiano, Leonardo da Vinci valia-se de
conceitos matemáticos para a confecção das suas telas.
A pintura Monalisa, é um exemplo da aplicação de
retângulos áureos como parâmetro de
harmonia,objetivando sempre a perfeição nos seus
quadros, da Vinci não poupou harmonia através de
retângulos áureos a sua mais famosa criação. Ao
observar atentamente o retângulo inserido em torno do
rosto de Monalisa obteremos como razão o número
1,618, sendo, portanto, um retângulo áureo. Podemos
perceber proporções áureas em outras partes do corpo
de Monalisa, como da altura do pescoço até ao final do
busto, e da altura deste, até ao umbigo, além das
próprias dimensões da tela, que também formam um
retângulo áureo.
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10. Os amantes da música podem ficar a saber que
mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na
construção dos seus famosos violinos. A razão
dourada está presente nas famosas sinfonias de
Beethoven, e em outras diversas obras. Outro
facto interessante é que o baterista Max Roach,
nos seus solos curtos, se considerarmos as
relações que aparecem entre tempos de bumbo e
caixa, o resultado é a razão dourada. O
compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta
relação de proporcionalidade constantemente nas
suas obras.
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11. Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar
diversas propriedades na Natureza. O modo como as sementes
estão dispostas no centro de diversas flores é um desses
exemplos:
A Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos,
na forma mais eficiente possível, formando espirais que tanto
curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é que os
números de espirais em cada direcção são (quase sempre)
números vizinhos na sequência de Fibonacci. O raio destas
espirais varia de espécie para espécie de flor.
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12. O escaravelho é um importante símbolo no
Egito. Ele pode ser redesenhado num retângulo
áureo. Se as linhas são desenhadas a partir do
centro do inseto, o retângulo pode ser dividido.
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13. Se desenharmos um rectângulo cujos lados tenham
uma razão entre si igual à razão dourada este
pode ser dividido num quadrado e noutro
rectângulo cuja razão entre os dois lados seja
também igual à razão dourada. Este processo pode
ser repetido indefinidamente…
Se unirmos os quartos de circunferência de todos
os quadrados vamos obter uma espiral, chamada
Espiral de Fibonacci:
Na natureza há espirais como esta, relacionadas
com o número de ouro, como, por exemplo, nos
moluscos náuticos ou numa simples couve-flor.
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14. A sequência de Fibonacci permite-nos saber
quantos coelhos estarão num pátio ao fim de
um mês supondo que nenhum coelho morre.
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15. Já reparou que muitas flores têm 5 pétalas,
que nós temos 2 mãos, cada uma com 5
dedos e cada dedo divido em 3 partes?
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16. Sabia que o ananás tem 8 diagonais
num sentido e 13 no outro?
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17. Porque será que as margaridas têm
geralmente 34, 55 ou 89 pétalas?
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18. Com este trabalho ficámos a conhecer
Fibonacci e a perceber como é importante a
matemática na resolução de problemas do
dia a dia.
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19. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm
203/numeros.htm
http://www.slideshare.net/ritapereira/sequ
ncia-de-fibonacci
http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_áur
ea
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