Matemática - Módulo 03

Matemática
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
M3
Matemática I
Trigonometria ......................................................... 3
Números Complexos............................................ 21
Equações Algébricas ........................................... 28
Matemática II
Estudo Analítico da Reta ..................................... 32
Estudo Analítico da Circunferência ...................... 40
Limite ................................................................... 46
Derivada .............................................................. 51
A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,
exposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento,
empréstimo, troca ou manutenção em depósito sem
autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto
no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com
multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos.

Tecnologia ITAPECURSOS
3 Matemática M3
TRIGONOMETRIA
1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Dado o triângulo retângulo ABC, definimos:
Seno de um ângulo agudo a
hipotenusa
a oposto cateto
Sen
a
=a
Assim:
a
b
B ˆ Sen = e
a
c
C ˆ Sen =
Cosseno de um ângulo agudo a
hipotenusa
a adjacente cateto
Cos
a
=a
Assim:
a
c
B ˆ Cos = e
a
b
C ˆ Cos =
Tangente de um ângulo agudo a
a
a
=a
a adjacente cateto
a oposto cateto
tg
Assim:
c
b
B ˆ tg = e
b
c
C ˆ tg =
2 ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
a)
a
c
sen =a ,
a
b
cos =a
2
2
2
2
2 2
a
b
a
c
cos sen +=a+a
1
a
a
a
b c
cos sen 2
2
2
2 2
2 2
==
+
=a+a , ou seja:
sen 2a + cos 2a = 1
b)
a / b
a / c
cos
sen
=
a
a
; a==
a
a
tg
b
c
cos
sen
a
a
=a
cos
sen
tg
c) o
90=b+a a-=b o
90
a
c
sen =a
a
c
cos =b ) 90 cos( sen o
a-=a
De modo análogo, provase que a=a- cos ) 90 sen( o
a=a-
a=a-
Cos ) 90 ( Sen
Sen ) 90 ( Cos
o
o

4 Matemática M3
3 UM PEQUENO COMENTÁRIO
As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo.
Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números
reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por
um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir.
4 MEDIDA DE ARCOS
Chamase arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.
B B
A
A A = B A = B
Observação:
Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta.
A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição:
PQ o compriment
AB o compriment
AB . med =
Unidades mais usadas
a) Grau: arco unitário equivalente a
360
1
da circunferência.
b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.
Observação:
Para converter uma unidade de medida em outra lembrese que 180° = prad.
Comprimento de um arco
Seja a a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB).
raio do o Compriment
AB o Compriment
) rad ( AB . med =
r
l
=a
a= . r l (a em rad.)
5 A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O,
tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como
a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos
percorridos no sentido antihorário serão considerados como tendo
medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão
considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de
circunferência trigonométrica.
6 ARCO TRIGONOMÉTRICO
Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma
infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se p<a£ 2 O é a
medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao
conjunto de valores do tipo a + 2Kp, com K inteiro. A a chamaremos
de 1ª determinação positiva de AP.
r

5 Matemática M3
Obs.: Se o
360 0 <a£ , o arco trigonométrico será representado por o
360 . K+a
Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos
dandose voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar
com a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico.
7 SENO E COSSENO
Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco.
Seja a a primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas,
ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR).
Definição:
a) cos a = OQ (abscissa de P)
b) sen a = OR (ordenada de P)
Observe que:
a) 1 £ cos 1£a
1 £ sen 1£a
b) Sinal do seno
c) Sinal do Cosseno
d) O seno é crescente no 1º e no 4º quadrantes e
decrescente no 2º e 3º quadrantes.
e) O cosseno é crescente no 3º e no 4º quadrantes e
decrescente no 1º e 2º quadrantes.
f) No triângulo OPQ temos:
PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos
sen 2 x + cos 2 x = 1.
8 TANGENTE E COTANGENTE
tg x = AT
cotg x = BS
Veja que os triângulos OPP 1 e OAT são semelhantes.
Logo, podemos dizer que:
1
1
OP
PP
OA
AT
= e substituindo
x cos
x sen
1
tgx
=
Com um raciocínio semelhante, você mostra que:
cotg x =
x sen
x cos

6 Matemática M3
Considerações importantes
a) A tg x e a cotg x podem assumir qualquer
valor real.
b) Sinal da tangente.
c) Sinal da cotangente.
d) A tangente dos arcos com extremidades em B ou
B’ não existe ou seja, só existe tg x se p+
p
¹ k
2
x
(ou em graus x ¹ 90° + k . 180°).
e) A cotangente dos arcos com extremidade em A
ou A’ não existe ou seja, só existe cotg x se
p¹ k x (ou °¹ 180 . k x ).
9 SECANTE E COSSECANTE
Se x é um arco para o qual sen x ¹ 0 e cos x ¹ 0, definimos:
D.1) Secante
x cos
1
x sec =
D.2) Cossecante
x sen
1
x sec cos = (obs.: cossec x = csc x)
Representação geométrica
sec x = OQ
cossec x = OR
Observe que:
a) sec x £ 1 ou sec x ³ 1
csc x £ 1 ou csc x ³ 1
b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante
coincide com o sinal do seno.
c) Só existe sec x, se p+
p
¹ k
2
x , k inteiro. Só existe csc x, se p¹ k x , k inteiro.
10 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
As simetrias apresentadas pelas extremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões
trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do 1º quadrante.
A) Arcos do 2º quadrante.
Se x está no 2º quadrante, o seu simétrico em relação ao eixo Oy está no 1º
quadrante e pode ser achado calculandose 180° x ou p x, conforme x
seja dado em graus ou radianos.
Não é difícil provar que as razões trigonométricas de 180° x e x têm o
mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas
de x é feita pelo que já aprendemos anteriormente.

7 Matemática M3
Exemplos:
Reduza ao 1º quadrante.
a) sen 110º
Solução:
110º está no 2º quadrante. Seu simétrico será
180º 110º = 70º
Como no 2º quadrante o seno é positivo teremos:
sen 110º = sen 70º
b) cos 874º
Solução:
874º 360º
154º 2
Então, cos 874º = cos 154º
Simétrico de 154º = 180º 154º = 26º
No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º = cos 154º = – cos 26º.
c)
3
2
tg
p
=
Solução:
3
2p
está no 2º quadrante, seu simétrico é
3 3
2 p
=
p
-p
No 2º quadrante, a tangente é negativa, logo:
3
tg
3
2
tg
p
-=
p
B) Arcos do 3º quadrante
Se x está no 3º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x 180° ou x p .
Exemplo:
Reduza ao primeiro quadrante: sec 220°
Solução:
220° está no 3º quadrante.
Seu simétrico será 220° 180° = 40°.
No 3º quadrante a secante é negativa, logo:
sec 220° = sec 40°.
C) Arcos do 4º quadrante.
Exemplo:
Reduza ao 1º quadrante: sen 310°.
Solução:
310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° 310° = 50°.
No 4º quadrante o seno é negativo. Logo:
sen 310° = sen 50°.

8 Matemática M3
11 ARCOS OPOSTOS
cos (x) = cos x
sen (x) = sen x
tg (x) = tg x
cotg (x) = cotg(x)
sec (x) = sec x
cossec (x) = cossec x
12 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a
tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações
independentes, que denominaremos de relações fundamentais.
R.1)
x cos
x sen
tgx = R.4)
x cos
1
x sec = R.7) 1 + tg 2 x = sec 2 x
R.2) cotg x =
x sen
x cos
R.5)
x sen
1
x sec cos = R.8) 1 + cotg 2 x = cossec 2 x
R.3) cotg x =
tgx
1
R.6) sen 2 x + cos 2 x = 1
As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando
semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4.
Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois:
B A ˆ O O B ˆ P = (retos)
B O ˆ A B O ˆ P = (comuns)
Logo:
OA
OB
OB
OP
= e substituindo,
x cos
1
1
x sec
=
ou
x cos
1
x sec =
A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen 2 x + cos 2 x = 1.
Para provar R.7, partimos de sen 2 x + cos 2 x = 1. Para cos x ¹ 0, obtemos:
x cos
1
x cos
x cos
x cos
x sen
2 2
2
2
2
=+ e daí: tg 2 x + 1 = sec 2 x
De modo análogo, provase R.8.
Fique atento às seguintes observações:
a) Apenas a relação sen 2 x + cos 2 x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,
1 + tg 2 x = sec 2 x só vale para p+
p
¹ k
2
x , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar
os valores de x para os quais as demais relações são válidas.
b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que:
sen 2 50º + cos 2 50º = 1
1 + tg 2 3a = sec 2 3a e assim por diante.
c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen 2 x + cos 2 x = 1, concluise que
1 sen 2 x = cos 2 x.

9 Matemática M3
1. (AMANRJ) Se 3 tg 2
=q e °£q£° 90 0 , então o valor de sen q é:
a)
2
2
b)
2
3
c) 2 2 - d)
2
1
e) n.r.a.
Solução:
4 sec ; sec 3 1 ; sec tg 1 2 2 2 2
=qq=+q=q+
De
q
=q 2
2
cos
1
sec vem
q
=q 2
2
sec
1
cos e então
4
1
cos 2
=q
Mas, 1 cos sen 2 2
=q+q e então 1
4
1
sen 2
=+q e daí:
4
3
sen 2
=q . Como q está no 1º quadrante e no 1º quadrante sen q > 0, vem sen
2
3
=q
Resposta: b
2. Para que valores de m a equação 1
4
m
x cos += é possível?
Solução:
Como 1 x cos 1 ££- , devemos ter: 1 1
4
m
1 £+£- ; 4 4 m 4 £+£-
0 m 8 ££-
3. (UFUMG) O valor numérico da expressão:
x g cot
1 x tg x sec cos . x sec
y 2
2 2 2
--
= , para
4
1 x cos = é:
a)
16
1
b) 16 c)
16
16
d)
16
15
e) 16
Solução:
x g cot
) 1 x tg ( x sec cos . x sec
y 2
2 2 2
+-
= ;
1 x sec cos
x sec x sec cos . x sec
y 2
2 2 2
-
-
=
1 x sec cos
) 1 x sec (cos x sec
y 2
2 2
-
-
= ; y = sec 2 x; 16
x cos
1
y 2
==
Resposta: b
4. Demostre a identidade
sec 2 x . cos sec 2 x = sec 2 x + cos sec 2 x
Solução:
Seja y = sec 2 x + cossec 2 x. Então:
x sen
1
x cos
1
y 2 2
+= ;
x sen . x cos
x cos x sen
y 2 2
2 2
+
=
x sec . x cos
1
y 2 2
= ;
x sen
1
.
x cos
1
y 2 2
= = sec 2 x . cossec 2 x
cossec cossec
cossec

1 0 Matemática M3
y = sec 2 x . cossec 2 x
5. Calcule m para que se tenha simultaneamente
sen x = m 1 e cos x = m . 3
Solução:
sen 2 x + cos 2 x = 1
(m 1) 2 + (m . 3) 2 = 1
m 2 2m + 1 + 3m 2 = 1
4m 2 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m =
2
1
Como ambos satisfazem à condição 1 x sen 1 ££- e 1 x cos 1 ££- , teremos:
Resposta: m = 0   ou   m =
2
1
13 FÓRMULAS DE ADIÇÃO
Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos   possibilitar calcular as funções trigonométricas de
arcos do tipo a + b e a b. As demonstrações serão omitidas.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b
b tg . a tg 1
b tg a tg
) b a ( tag
-
+
=+
b tg . a tg 1
b tg a tg
) b a ( tag
+
-
=-
1. Calcule sen 15°.
Solução:
y = sen 15° = sen (45° 30°)
y = sen 45° . cos 30° sen 30° . cos 45°
4
2 6
y
2
2
.
2
1
2
3
.
2
2
y
-
=Þ-=
2. Sendo a b =
3
p
, calcule o valor da expressão:
y = (sen a + cos b) 2 + (sen b cos a) 2
Solução:
y = sen 2 a + 2sen a cos b + cos 2 b + sen 2 b 2sen b cos a + cos 2 a
y = (sen 2 a + cos 2 a) + (sen 2 b + cos 2 b) + 2(sen a cos b sen b cos a)
y = 1 + 1 + 2 sen (a b), e como a b =
3
p
,
y = 2 + 2 sen
3
p
; y = 2 + 2 .
2
3
; y = 2 + 3

1 1 Matemática M3
3. (SANTA CASA SP) Se sen 61º = m, o valor da expressão y = sen 16º + cos 16º é:
a) m b) 2m c) 2 m d) m 2 e) m 2
Solução:
61º = 45º + 16º. Portanto,  se sen 61º = m, vem:
sen (45º + 16º) = m
sen 45º cos 16º + sen 16º . cos 45º = m
2
2
cos 16º +
2
2
sen 16º = m
2
2
(cos 16º + sen 16º) = m
cos 16º + sen 16º =
2
m 2
® y = 2 . m
Resposta: c
14 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO ±pK X  E X
2
K
±
p
Com o uso das fórmulas de adição, podese deduzir algumas regras que nos permitem simplificar expressões
com arcos do tipo ±pK x ou x
2
K
±
p
. Assim teremos:
A) Arcos da forma x K ±p
Regra prática:
A função é mantida
Suponha x no 1º quadrante.
Localize o quadrante do arco x K ±p e dê o sinal conveniente.
Exemplos:
a) sen (p x)
Solução:
Como estamos supondo x no 1º quadrante p x estará no 2º quadrante, onde o seno é positivo; logo,
sen (p x) = sen x
b) tg (p x)
Solução:
p x “está” no 2º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg (p x) = tg x
c) Cos (p + x)
Solução:
Se x está no 1º quadrante, p + x está no 3º quadrante, onde o cosseno é negativo. Portanto,
Cos (p + x) = Cos x
d) Cotg (2p x)
Solução:
2p x será um arco do 4º quadrante, concorda? No 4º quadrante, a cotangente é negativa e então
cotg (2p x) = cotg x

1 2 Matemática M3
B) Arcos da forma x
2
K
±
p
Regra prática
Considere x no 1º quadrante.
Troque a função pela sua cofunção.
Localize o quadrante de x
2
K
±
p
e dê o sinal conveniente.
Exemplos:
a) Sen (
2
p
x)
Solução:
Como
2
p
x é do 1º quadrante, o seno é positivo, logo sen (
2
p
x) = cos x (troque o seno pelo cosseno)
b) Cos (
2
p
+ x)
Solução:
2
p
+ x é do 2º quadrante, onde o cosseno é negativo, logo: cos (
2
p
+ x) = sen x
c) tg (
2
3p
+ x)
Solução:
2
3p
+ x está no 4º quadrante, onde a tangente é negativa.
tg (
2
3p
+x) = cotg x
d) Cossec (
2
3p
x)
Solução:
2
3p
x está no 3º quadrante onde a cossecante é negativa.
Cossec (
2
3p
x) = sec x
1. Se sen
3
1
=a , o valor de sen (25 p + a ) sen (88 p a ) é:
a) 0 b)
3
1
c)
3
2
d)
3
1
- e)
2
3
-
Solução:
Como uma volta completa na circunferência trigonométrica mede 2 p , observe que de 2 p em 2 p radianos,
os valores das funções trigonométricas se repetem.
Assim, se f é uma função trigonométrica, f(x + k. 2 p ) = f(x). Assim:
sen (25 p + a ) = sen (12 . 2 p + p + a ) = sen ( p + a ) = sen a
sen (88 p a ) = sen (44 . 2 p a ) = sen ( a ) = sen a
Logo, a expressão dada equivale a:
sen (25 p + a ) sen (88 p a ) = sen a (sen a ) = sen a + sen a = 0
Resposta: a

1 3 Matemática M3
2. (FATECSP) Se S = sen ( p x) . cos (
2
p
x) + tg (x
2
p
) . cos (
2
p
+ x) . cos (2 p x) então para todo x real,
p¹ K x , Z K Î , S é igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
Solução:
Observe que:
sen ( p x) = sen x
cos (
2
p
x) = sen x
tg (x
2
p
) = tg (
2
p
x) = cotg x
cos (
2
p
+ x) = sen x
cos (2 p x) = cos x
15 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO
Usando as fórmulas de adição, provase que:
a) sen 2x = 2 sen x cos x
b) cos 2x = cos 2 x sen 2 x
cos 2x = 1 2 sen 2 x
cos 2x = 2 cos 2 x 1
c) tg 2x =
x tg 1
x tg 2
2
-
Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen 2x = 2 sen x cos x. Para isso, façamos na
fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b = x. Obteremos:
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x
sen 2x = 2 sen x cos x
Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no
primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no 2º membro. Assim é correto afirmar que:
sen 6x = 2 sen 3x cos 3x
cos 4x = cos 2 2x sen 2 2x
sen x = 2 sen
2
x
cos
2
x
1. Se sen x cos x =
5
1
, calcule:
a) sen 2x
b) sen x + cos x
Solução:
a) De sen x cos x =
5
1
, obtemos:
(sen x cos x) 2 =
25
1
;
sen 2 x + cos 2 x 2 sen x cos x =
25
1
1 sen 2x =
25
1
; sen 2x =
25
24
Portanto:
S = sen x . sen x + (cotg x) . (sen x) . cos x
S = sen 2 x +
x sen
x cos
. sen x . cos x
S = sen 2 x + cos 2 x ; S = 1
Resposta: d
b) Seja y = sen x + cos x. Então:
y 2 =sen 2 x + cos 2 x + 2 sen x cos x
y 2 = 1 + sen 2x
y 2 = 1 +
25
24
; y 2 =
25
49
; y =
5
7
±

1 4 Matemática M3
2. (FUVESTSP) O valor de (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2 é:
a)
2
3
b)
2
3 2 +
c)
2
2 2 +
d) 1 e) 2
Solução:
y = (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2
y = sen 2 22º30’ + cos 2 22º30’ + 2 sen 22º30’ . cos 22º30’
y = 1 + sen 45º
y = 1 +
2
2
; y =
2
2 2 +
Resposta: c
16 FÓRMULAS DE DIVISÃO
Como vimos, cos 2a = 1 2 sen 2 a. Logo, fazendo a = x/2, obtemos:
cos x = 1 2 sen 2
2
x
e daí:
sen
2
x
=
2
x cos 1-
±
Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco
2
x
.
De modo semelhante, provase que:
cos
2
x
=
2
x cos 1+
± e
x cos 1
x cos 1
2
x
tg
+
-
±=
1. Calcule cos 22°30’
Solução:
Como 22°30’ é um arco do 1º quadrante, teremos:
cos 22°30’ =
2
45 cos 1 o
+
+
cos 22°30’ =
2
2 / 2 1+
cos 22°30’ =
2
2 2 +
cos 22°30’ =
4
2 2 +
Em determinados problemas, é muito útil sabermos expressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco
como função do arco metade. Isso pode ser feito usandose as fórmulas a seguir:
sen x =
2
x
tg 1
2
x
tg 2
2
+
cos x =
2
x
tg 1
2
x
tg 1
2
2
+
-
tg x =
2
x
tg 1
2
x
tg 2
2
-

1 5 Matemática M3
Provemos, como exemplo, a fórmula sen
2
x
tg 1
2
x
tg 2
x
2
+
=
Demonstração:
Sabemos que sen
2
x
cos
2
x
sen 2 x = e daí:
)
2
x
( cos .
) 2 / x cos(
) 2 / x sen(
. 2 x sen 2
=
sen x = 2 tg
2
x . cos 2
2
x
;   sen x = 2 tg
2
x .
2
x
sec
1
2
sen x = 2 .
2
x
tg 1
2
x
tg
2
+
; sen x =
2
x
tg 1
2
x
tg 2
2
+
17 FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Como vimos:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades
obtemos:
sen (a + b) + sen (a b) = 2 sen a cos b
Se fizermos a + b = p e a b = q, resolvendo o
sistema, encontrase
a =
2
q p +
e b =
2
q p -
Portanto: sen p + sen q = 2 sen
2
q p +
cos
2
q p -
De modo semelhante, provase que:
sen p sen q = 2 sen
2
q p -
cos
2
q p +
cos p + cos q = 2 cos
2
q p +
cos
2
q p -
cos p cos q = 2 sen
2
q p +
sen
2
q p -
tg p + tg q =
q cos . p cos
) q p sen( +
tg p tg q =
q cos . p cos
) q p sen( -
1. Transforme em produto:
a) y = 2 cos x 2 b) y = sen x + cos x
Solução:
a) y = 2 (cos x
2
2
); y = 2 (cos x cos
4
p
)
y = 2 ÷
ø
ö
ç
è
æ p-p+
-
2
4 / x
sen .
2
4 / x
sen 2
y = 4 . sen ÷
ø
ö
ç
è
æ p
+
8 2
x
. sen ÷
ø
ö
ç
è
æ p
-
8 2
x
Como sen (x) = sen x, podemos dizer que:
sen ÷
ø
ö
ç
è
æ p
-
8 2
x
= sen ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
2
x
8
Portanto, a solução pode também ser dada por:
y = 4 sen ÷
ø
ö
ç
è
æ p
+
8 2
x
.  sen ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
2
x
8

1 6 Matemática M3
b) y = sen x + sen ( x 2 / -p )
÷
ø
ö
ç
è
æ +p-
÷
ø
ö
ç
è
æ -p+
=
2
x 2 / x
cos
2
x 2 / x
sen 2 y
÷
ø
ö
ç
è
æ p
-
p
=
4
x cos
4
sen 2 y e como sen
2
2
4
=
p
÷
ø
ö
ç
è
æ p
-=
4
x cos 2 y
Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões.
a) sen a . sen b =
2
1
[sen (a + b) + sen (a b)]
b) cos a . cos b =
2
1
[cos (a + b) + cos(a b)]
18 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzila a uma das equações fundamentais dadas a seguir.
a) Equação do tipo sen x = sen a
Como se vê no diagrama abaixo, todos os arcos com extremidades em a ou p a , satisfazem à equação.
Logo, a solução procurada é:
x = a + 2k p ou
x = p a + 2k p
b) Equação do tipo cos x = cos a
A solução é:
x = a + 2k p
ou
x = a + 2k p
c) Equação do tipo tg x = tg a
A solução é:
x = a + k p
a
a
Observações:
Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser
transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais.
Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas.
Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação.

1 7 Matemática M3
1. Resolva a equação 2 sen x 1 = 0
Solução:
2 sen x 1 = 0; sen x =
2
1
; sen x = sen
6
p
e então:
x =
6
p
+ 2k p ou x = p
6
p
+ 2k p , o que dá; x =
6
5p
+ 2k p
Resp.:  x =
6
p
+ 2k p ou x =
6
5p
+ 2k p
2. Resolva a equação 4 cos x + 3 sec x = 8, no intervalo
2
x 0
p
££
Solução:
4 cos x + 3 sec x = 8
4 cos x +
x cos
3
= 8; 4cos 2 x + 3 = 8 cos x e daí:
4 cos 2 x 8 cos x + 3 = 0
D = 64 48 = 16
cos x =
8
4 8 ±
; cos x =
2
1
ou cos x =
2
3
se cos x =
2
1
, x =
3
p
se cos x =
2
3
, não existe x, pois 1 x cos 1 ££-
3. Resolva a equação cotg 2x = cotg (x +
4
p
)
Solução:
A solução da equação cotg x = cotg a é a mesma da equação tg x = tg a, ou seja, x = a + k p . Logo:
2x = x +
4
p
+ k p ; x =
4
p
+ k p
4. Resolva a equação 3 sen x + cos x = 3 , no intervalo (0, 2 p ).
Solução:
Da equação dada tiramos que cos x = 3 3 sen x.
Substituindo na igualdade sen 2 x + cos 2 x = 1, obtemos:
sen 2 x + ( 3 3 sen x) 2 = 1
sen 2 x + 3 6 sen x + 3 sen 2 x = 1
4 sen 2 x 6 sen x + 2 = 0    ou
2 sen 2 x 3 sen x + 1 = 0
D = 9 8 = 1
sen x =
4
1 3 ±
; sen x = 1 ou sen x =
2
1
Se sen x = 1, x =
2
p
Se sen x =
2
1
; x =
6
p
ou x =
6
5p
Resposta:  S = { }6
5 ,
6
,
2
ppp

1 8 Matemática M3
19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Até agora temos falado de seno, cosseno, tangente de um arco (ou ângulo). No entanto, podemos falar de
seno, cosseno e tangente de um número real. Veja:
a) A função seno
É a função f : R ® R definida por f(x) = sen x, onde sen x é  o arco de x radianos.
Propriedades
Domínio: R
Imagem: [1, 1]
y = sen x é uma função ímpar (sen (x) = sen x)
Se y = a + b sen (cx + d) seu período é p = c
2p
b) A função cosseno
É a função f : R ® R, definida por f(x) = cos x, onde cos x é o cosseno do arco de x radianos.
Gráfico:
Propriedades:
Domínio: R
Imagem: [1, 1]
y = cos x é uma função par (cos (x) = cos x)
Se y = a + b cos (cx + d) seu período é p = c
2p
c) A função tangente
É a função f: A ® R, onde A = { p+
p
¹Î k
2
x ; R x }, definida por f(x) = tg x, sendo tg x a tangente do arco de x
radianos.
Gráfico:
Propriedades
Domínio: { p+
p
¹Î k
2
x ; R x }
Imagem: R
y = tg x é uma função ímpar (tg (x) = tg x)
Se y = a + b tg (cx + d) seu período é p =
c
p
Observações:
De modo semelhante, podemos definir as funções y = cotg x, y = sec x e y = cossec x.
O período de y = a + b cotg (cx + d) é p =
c
p
O período de y = a + b sec (cx + d)   e   y = a + b cossec (cx + d) é    p = c
2p
Sejam f(x) e g(x) funções periódicas de períodos P 1 e P 2 respectivamente, com 2 1 P P ¹ . Se P 1 / P 2 = m/n,
onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções f + g e f . g são periódicas e seu
período é P = nP 1 = mP 2 .
1
0
pp
2
3
2
p 2p
1
1
0
3
2
ppp
2
2p
1
1
0

1 9 Matemática M3
Exemplo:
Ache o período de y = cos 4x . tg
3
x 2
Solução:
Período de f(x) = cos 4x;
2 4
2
P 1
p
=
p
=
Período de g(x) = tg
3
x 2
;
2
3
3 2
P 2
p
=
p
=
3
1
P
P
2 3
2
P
P
2
1
2
1
=®
p
p
= . Portanto, o período procurado é: p = 3P 1 = 1P 2 =
2
3p
20 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são
bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses
domínios.
A) A função arcoseno
Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = sen x, onde
D = ú
û
ù
ê
ë
é pp
-
2
,
2
e A = [1, 1]
Nessas condições f é bijetora, e então tem inversa, que
denominaremos de função arcoseno e será a função
f 1 : A ® D, para a qual f 1 (x) = arc sen x.
Exemplo:
Se y = arc sen x, então arc sen (
2
1
) é o arco do intervalo
ú
û
ù
ê
ë
é pp
-
2
,
2
, cujo seno vale
2
1
.
Logo arc sen (
2
1
) =
3
p
.
B) A função arcocosseno
Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = cos x, com
D = [0, p ] e A = [1, 1]. Nessas condições, f é bijetora.
Sua inversa, que chamaremos de função arcocosseno é
a função f 1 : A ® D, definida por f 1 (x) = arc cos x,
onde arc cos x é o arco cujo cosseno é x.
Exemplo:
Seja y = arc cos x. Calcule y = arc cos (
2
3- )
Solução:
y = arc cos ( 2
3- ) é o arco do intervalo [0, p] cujo cosseno vale
2
3- . Logo arc cos (
2
3- ) =
6
5p
p
2
y
1
0 p x
1
1
1
p
2
p
2

y

2 0 Matemática M3
C) A função arcotangente
Seja a função f: D ® R, definida por f(x) = tg x, com D = ú
û
ù
ê
ë
é pp
-
2
,
2
. Então f é bijetora. Sua inversa, que
chamaremos de função arcotangente é a função f 1 : R ® D, definida por f 1 (x) = arctg x onde arctg x é o
arco cuja tangente vale x.
Exemplo: Calcule arctg (1)
Solução:
arctg (1) é o arco do intervalo ú
û
ù
ê
ë
é pp
-
2
,
2
, cuja
tangente vale 1. Logo, arctg (1) =
4
p
-
1. Ache o domínio da função y = arcsen (3x + 1)
Solução:
Como o domínio de f(x) = arcsen x é 1 x 1 ££- , deveremos ter:
1 1 x 3 1 £+£- ; 0 x 3 2 ££- ; 0 x
3
2
££-
Resposta: 0 x
3
2
££-
2. (PUCSP) Um dos valores de sen (arcsen 3/5 + arcsen 2/3) é:
a)
16
8 5 -
b)
17
8 5 +
c)
14
8 5 -
d)
12
8 5 +
e)
15
8 5 3 +
Solução:
Observe que se arcsen x = a, então sen a = x.
Então, teremos arcsen (
5
3
) = a ® sen a =
5
3
e
2
a
2
p
££
p
-
arcsen (
3
2
) = b ® sen b =
3
2
e
2
b
2
p
££
p
- .
O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I)
Usando a relação sen 2 x + cos 2 x = 1, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que
cos a =
5
4
e cos b = 3 5 ; substituindo em (I), você terá:
15
8 5 3
y
5
4
.
3
2
3
5
.
5
3
y
+
=®+= .
Resposta : e
p
2
y
0 x-
p
2

2 1 Matemática M3
NÚMEROS COMPLEXOS
1 INTRODUÇÃO
A impossibilidade da realização de algumas operações  levou o matemático a ampliar os conjuntos numéricos.
Assim, para que a b existisse, para aÎ N e bÎ N com a < b foi criado o conjunto Z dos números inteiros. Se
a e b são inteiros,
a
b
será definido só se b ¹ 0 e se for criado o conjunto Q dos números racionais. A extração
de raízes de números positivos levou à criação dos números reais (R).
Mas o conjunto R tem ainda uma limitação que nos incomoda desde o momento em que aprendemos a
resolver equações do 2º grau. Nessas equações, se D < 0, ao usar a fórmula resolutiva aparece a raiz quadrada
de um número negativo, que em R não existe. O que vamos fazer nesta unidade é ampliar o conjunto R, ou
seja, vamos criar um novo conjunto numérico, que contém R, no qual a radiciação será sempre possível. Assim,
nesse novo conjunto numérico, as equações de 2º grau com D < 0 também terão solução.
2 CRIANDO UM NOVO TIPO DE NÚMERO
Seja a equação: x 2 4x + 13 = 0. Seu discriminante é: D = 16 52 = 36. Em R, essa equação não tem
solução. Apesar disso, usemos a fórmula de Báskara.
x =
± -4 36
2
; x =
± -4 36 1
2
.( )
; x =
± -4 6 1
2
2 3 1± -
Se imaginarmos um novo conjunto numérico, no qual exista um número, que representaremos por i, tal que
i 2 = 1, então -1 = i e teremos:
x’ = 2 + 3i e x” = 2 3i. Um tal número será chamado de número complexo.
3 DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO
Sejam x e y números reais e i um número tal que i 2 = 1. Chamase número complexo a todo número da forma:
Z = x + yi.
a) A forma Z = x + yi é chamada de forma algébrica do número complexo.
b) Em Z = x + yi, x é a parte real e y é a parte imaginária. Representase por:
î
í
ì
=
=
®+=
y Im(Z)
x Re(Z)
yi x Z
c) O número i é a unidade imaginária.
d) Em z = x + yi, temos:
se y = 0, então Z é um número real
se x = 0 e y ¹ 0, então Z é imaginário puro.
Observe que o conjunto dos reais R estácontido noconjunto dos númeroscomplexos, que representaremos por C.
4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
a + bi = c + di «
=
=
ì
í
î
a c
b d
Exemplo: Se (x 1) + 2i = 3 + (y + 2)i, calcule x e y.
Solução:
Devemos ter: x 1 = 3;    x = 4
y + 2 = 2;    y = 0

2 2 Matemática M3
5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Se a + bi e c + di são dois números complexos, definese:
a) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
b) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i
6 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Se Z 1 = a + bi e Z 2 = c + di definese
Z 1 . Z 2 = (a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i
Obs.: proceda como se estivesse multiplicando duas expressões e depois substitua i por 1.
Exemplo: Calcule: (2 3i)(1 + i) Solução: (2 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i 3i 2
= 2 + 5i + 3
= 1 + 5i
7 POTÊNCIAS DE i
Observe que: i 0 = 1 i 2 = 1
i 1 = 1 i 3 = i 2 . i = i
A partir daí, i n dará um desses valores, e para calcular seu valor basta achar o resto da divisão de n por 4.
Exemplo: Calcule:
a) i 9 b) i 26 c) i 507
Solução:
a) 9 4 Õ i 9 = i 1 = i
1 2
b) 26 4 Õ i 26 = i 2 = 1
2 6
c) Para achar o resto da divisão de 507 por 4, basta
dividir o número formado pelos dois últimos algarismos por 4.
7 4 Õ i 507 = i 3 = i
3 1
8 PROPRIEDADES
Os números complexos satisfazem às nove propriedades operacionais da álgebra.
P.1) Comutativa
Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 e   Z 1 . Z 2 = Z 2 . Z 1
P.2) Associativa
(Z 1 + Z 2 ) + Z 3 =  Z 1 +( Z 2 + Z 3 )
(Z 1 . Z 2 ) . Z 3 = Z 1 . (Z 2 . Z 3 )
P.3) Distributiva
Z 1 .( Z 2 + Z 3 ) = Z 1 . Z 2 + Z 1 . Z 3
P.4) Existe o elemento neutro da adição e da multiplicação.
P.5) Existe o elemento simétrico da adição e o elemento inverso da multiplicação.

2 3 Matemática M3
1) Determine x e y reais para que se tenha: (x + yi)(3 + 4i) = 7 + 26i
Solução:
(x + yi)(3 + 4i) = 3x + 4xi + 3yi + 4yi 2 , e como i 2 = 1, teremos:
(x + yi)(3 + 4i) = (3x 4y) + (4x + 3y)i. Queremos que: (3x 4y) + (4x + 3y)i = 7 + 26i e então:
3 4 7
4 3 26
x y
x y
- =
+ =
ì
í
î
que resolvido nos dá x = 5 e y = 2.
2) Calcule (1 i) 6 Solução:
Observe inicialmente que: (1 i) 2 = 1 2i + i 2 = 2i
Portanto: (1 i) 6 = [(1 i) 2 ] 3 = (2i) 3 = 8i 3 = 8 . i 2 . i = 8i
9 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Se Z = x + yi, seu conjugado é o número Z = x yi.
Propriedades: P.1) (Z) = Z
P.2) Z Z Z Z 1 2 1 2+ = +
P.3) Z Z Z Z 1 2 1 2 . .=
10 DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Sejam Z 1 e Z 2 números complexos com Z 2 ¹ 0. Definese:
Z
Z
Z Z
Z Z
1
2
1 2
2 2
=
.
.
Exemplo: Efetue
1 2
3
+
-
i
i
Solução:
1 2
3
1 2 3 6 2
9
1 7
10
1
10
7
10
2
2
+
-
=
+ +
- +
=
+ + +
-
=
+
= +
i
i
i i
i i
i i i
i
i
i
( )(3 )
(3 )(3 )
1) Determine Z Î C tal que iZ + 2 Z = 3 3i
Solução:
Seja Z = x + yi, com x e y reais. Então a equação dada fica: i(x + yi) + 2(x yi) = 3 3i e daí vem:
(2x y) + (x 2y)i = 3 3i.
Portanto, devemos ter:
2 3
2 3
x y
x y
- = -
- = -
ì
í
î
que resolvido dá x = 1 e y = 1.
Resposta: Z = 1 + i.

2 4 Matemática M3
2) Determine o número complexo cujo produto por 5 + 8i é real e cujo quociente por 1 + i é imaginário puro.
Solução:
Seja Z = x + yi o número procurado, queremos que:
a) (x + yi) (5 + 8i) = (5x 8y) + (8x + 5y)i seja real.
Então: 8x + 5y = 0 (I)
b)
x yi
i
x y y x
i
+
+
=
+
+
-
1 2 2
seja imaginário puro. Logo
x y+
2
= 0 ou x + y = 0 (II) e y x ¹ 0
Resolvendo o sistema
8 5 0
0
x y
x y
+ =
+ =
ì
í
î
encontrase x = 0 e y = 0. Mas para esses valores y x = 0 e o quociente
x yi
i
+
+1
não é imaginário puro.
Resposta: Não existe tal número.
11 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Um número complexo pode ser representado também como um par
ordenado de números reais, bastando para isso fazer a
correspondência x + yi « (x, y). Desse modo, a cada número
complexo Z = x + yi corresponde um ponto P = (x, y) no plano
cartesiano. Ponto esse que é chamado de afixo de Z, e o plano
passa a ser denominado plano de ArgandGauss. Observe que:
a) Os números reais, Z = x + 0i, são representados no eixo x, que
passará a ser chamado de eixo real.
b) Os números da forma Z = 0 + yi, com y ¹ 0, são representados no
eixo y, que chamaremos de eixo imaginário.
12 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Se Z = x + yi, chamase módulo de Z ao número representado por
| Z | ou r e definido por:
| Z | = r = x y 2 2
+
Obs.: O módulo de um número complexo representa a
distância do seu afixo à origem.
Propriedades
a) Z Z= d) Z Z n n
=
b) Z Z Z Z 1 2 1 2 . .= e) Z Z Z Z 1 2 1 2+ £ + (desiguadade triangular)
c)
Z
Z
Z
Z
1
2
1
2
= (Z 2 ¹ 0)

2 5 Matemática M3
1) Determine o módulo de Z =
5 2
5 2
+
-
i
i
Solução:
Z
i
i
i
i
=
+
-
=
+
-
5 2
5 2
5 2
5 2
. Como 5 2+ i e 5 2- i são conjugados, eles têm o mesmo módulo; logo | Z | = 1.
13 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja Z = x + yi de afixo P = (x, y). Chamase argumento de Z
o ângulo q formado pelo semieixo positivo Ox e pelo segmento
OP, ângulo esse tomado no sentido antihorário. Para
determinar q observe que:
cosq =
x
r
e senq =
y
r
Exemplos: Determine o argumento dos números:
a) Z i= +3
b) Z = 1 i
c) Z = 3i
Solução:
a) Z i= +3
( )r = +3 1
2
2
; r = +3 1 ; r = 2
cos
sen
q
q
q q
p=
=
ü
ý
ïï
þ
ï
ï
Þ = =
3
2
1
2
30
6
o
ou rd
b) Z = 1 i
r = + -1 1 2 2
( ) ; r = 2
cos
sen
q
q
q
= =
= - = -
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
Þ =
1
2
2
2
1
2
2
2
315 o
c) Z = 3i
r = + -0 3 2 2
( ) ; r = 3
cos
sen
q
q
q
=
= -
ü
ý
þ
=
0
1
270 o
14 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
A forma algébrica para cálculo de potências ou raízes de números complexos torna a operação quase impraticável,
por isso veremos como representar um número complexo numa outra forma muito mais prática.
Seja então Z = x + yi, cujo módulo representaremos por r, e cujo argumento representaremos por q . Então:
cosq =
x
r
Õ x = r cosq
senq =
y
r
Õ y = r sen q
Logo, substituindo em Z = x + yi, obtémse:
Z = r cosq + i . r sen q ; Z = r . (cosq + i sen q )
que chamamos de forma trigonométrica de Z.

2 6 Matemática M3
Exemplo: Ache a forma trigonométrica de Z = 1 + 3 i
Solução:
Z = 1 + 3 i
r = 1 3+ = 2
cos
sen
q
q
q
=
=
ü
ý
ïï
þ
ï
ï
=
1
2
3
2
60 o
Logo:
1 + 3 i = 2 (cos 60º + i sen 60º)
Observação: Se Z 1 = r 1 . (cosq 1 + i sen q 1 ) e
Z 2 = r 2 . (cosq 2 + i sen q 2 ) provase que:
a) Z 1 . Z 2 = r 1 . r 2 [cos ( q 1 + q 2 ) + i sen ( q 1 + q 2 )]
b)
Z
Z
r
r
i 1
2
1
2
1 2 1 2= - + -[cos( ) sen( )]q q q q
15 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A fórmula Z 1 . Z 2 = r 1 . r 2 [cos ( q 1 + q 2 ) + i sen ( q 1 + q 2 )] vale para um número finito de fatores. Desse modo,
se Z = r . (cosq + i sen q ), teremos:
Z n = r . r . ... . r . [cos ( q +...+ q ) + i sen ( q + ... + q )], e então:
n fatores n parcelas n parcelas
Z n = r n . (cos n q + i sen n q ) Õ 1ª fórmula de De Moivre.
Exemplo: Calcule ( 3 + i) 5
Solução:
Z = 3 + i
r = 3 1+ = 2
cos
sen
q
q
q
=
=
ü
ý
ïï
þ
ï
ï
=
3
2
1
2
30 o
1 24 34 1 24 34 1 24 34
Logo:
Z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e então;
Z 5 = 2 5 . (cos 150º + i sen 150º)
Z 5 = 32 . - +
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
3
2
1
2
i. ; Z i 5
16 3 16= - +
1) Mostre que, se ( 3 + i) 2n , com n inteiro, é real, então n é múltiplo de 3.
Solução:
3 2
6 6
+ = +
æ
è
ç
ö
ø
÷i i cos sen
p p
, concorda?
Então: ( )3 2
2
6
2
6
2
2
+ = +
æ
è
ç
ö
ø
÷i
n
i
n n
n
cos sen
p p
ou ( )3 2
3 3
2
2
+ = +
æ
è
ç
ö
ø
÷i
n
i
n n
n
cos sen
p p
.
Como esse número é real, sen
np
3
0= .
Portanto,
n
K
p
p
3
= e daí n = 3K, K Î Z e n é múltiplo de 3.

2 7 Matemática M3
16 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Seja Z um número complexo e n Î N*. Chamase raiz enésima de Z e representase por Z n
ao número
complexo w tal que w n = Z.
Se Z = r (cosq + i sen q ) e w = p (cosa + i sen a ) então como w n = Z, obteremos:
p n . (cos n a + i sen n a ) = r (cosq + i sen q ) e daí:
p n n
= ® =r p r
cos n = cos
sen n = sen
a q
a q
a q p
ü
ý
þ
Þ = +n K 2 e então:
a
q p
=
n
+
2K
n
, onde K varia de 0 a n 1, pois a partir daí obtemos arcos congruos com os arcos já obtidos.
Concluímos, então, que: Z r
K
n
i
K
n
K n n
=
+
+
+é
ë
ê
ù
û
ú = -n
. cos .sen , , ...,
q p q p2 2
0 1 1
Essa é a 2ª fórmula de De Moivre.
Observe que o número de raízes complexas de um número é igual ao índice da raiz.
Exemplo: Calcule - 64 3
Solução:
64 = 64 . (cos p + i sen p ), concorda?
Então: - =
+
+
+é
ë
ê
ù
û
ú64 64
2
3
2
3
3 3
. cos . sen
p p p pK
i
K
K Z i i= ® = +
æ
è
ç
ö
ø
÷ = +0 4
3 3
2 2 3 1
cos sen
p p
( )K Z i= ® = + = -1 4 4 2
cos senp p
K Z i i= ® = +
æ
è
ç
ö
ø
÷ = -2 4
5
3
5
3
2 2 3 3
cos sen
p p
17 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
a) As raízes enésimas de Z têm todas o mesmo módulo,
por isso a representação dessas raízes no plano de
ArgandGauss situase sobre uma circunferência de
raio igual a r n
e centro (0, 0).
b) As raízes quadradas de um número Z são
extremidades de um diâmetro da circunferência
descrita em a.
c) As raízes de índice n ³ 3 são vértices de um
polígono regular de n lados inscrito na
circunferência descrita em a.
Assim, as raízes cúbicas de 64 são lados do triângulo
eqüilátero inscrito na circunferência de centro (0,
0) e raio 4.

2 8 Matemática M3
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
1 DEFINIÇÃO
Equação algébrica, de grau n, é toda sentença do tipo p(x) = 0, onde p(x) é um polinômio de grau n.
Assim, equação algébrica é uma equação da forma:
a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o = 0 , onde
• a o , a 1 , ..., a n são números complexos, a n ¹ 0
2 RAIZ DE UMA EQUAÇÃO
Um número a é raiz da equação P(x) = 0, se P( a ) = 0.
Assim, se P(x) = 2x 3 3x 2 + 8x 12, as raízes da equação P(x) = 0 são
3
2
, 2i, 2i, como você pode verificar por
substituição direta.
Nesta unidade, aprenderemos como determinar as raízes de uma equação.
3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)
T.F.A.: Toda equação algébrica de grau n ³ 1 tem ao menos uma raiz complexa.
Se P(x) é, então, um polinômio de grau n ³ 1, pelo T.F.A., ele tem ao menos uma raiz que chamaremos a 1 .
Pelo teorema de D’Alembert, segue que P(x) = (x a 1 ) . P 1 (x), sendo P 1 (x) um polinômio de grau n 1.
Se n 1 ³ 1, o T.F.A. nos permite afirmar que P 1 (x) = (x a 2 ) . P 2 (x), o que acarreta: a:
P(x) = (x a 1 )(x a 2 ) . P 2 (x)
Aplicando sucessivamente o T.F.A., chegaremos a: P(x) = (x a 1 ) . (x a 2 ) ... (x a n ) P n (x)
onde P n (x) = a n .
Este é o teorema da decomposição.
Todo polinômio de grau n ³ 1 pode ser fatorado na forma:
P(x) = a n . (x a 1 ) . (x a 2 ) ... (x a n ), onde a 1 , a 2 , a n são suas raízes.
Conseqüência:
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n ³ 1, tem exatamente n raízes.
Observação: Se uma determinada raiz a aparecer m vezes, diremos que é raiz a de multiplicidade m, o que
equivale a dizer que P(x) = (x a) m . Q(x) e Q( a ) ¹ 0.
1) Resolva a equação 2x 3 3x 2 3x +2 = 0, sabendo que uma de suas raízes é o número 1, e em seguida
decomponha o polinômio do 1º membro.
Solução:
Então P(x) = 0 equivale a (x + 1)(2x 2 5x + 2) = 0.
As duas outras raízes são raízes de
2x 2 5x + 2 = 0, que resolvida nos dá 2, 1/2.
Logo: S = {1, 1/2, 2} e temos:
P(x) = 2(x + 1)(x 2)(x 1/2) = (x + 1)(x 2)(2x 1)
1 2 3 3 2
2 5 2 0
Õ Q(x) = 2x 2 5x + 2
Se 1 é raiz, então p(x) = (x + 1) . Q(x). Fazendo
a divisão por BriotRuffini, achamos Q(x).

2 9 Matemática M3
2) Resolver a equação x 4 5x 3 + 10x 2 20x +24 = 0, sendo duas de suas raízes os números 2 e 3.
Solução:
Como 2 e 3 são raízes, P(x) = (x 2)(x 3) . Q(x). Dividimos então P(x) por x 2, obtendo Q 1 (x); então
dividimos Q 1 (x) por x 3,obtendo Q(x).
2 1 5 10    20      24
3 1 3 4     12 0
1 0 4 0
Q(x)
1 24 34
As demais raízes são raízes de x 2 + 4 = 0, que dá x = ± 2i.
S = {2, 3, 2i, 2i}
3) Obtenha o polinômio P(x) de grau 3, que possui uma raiz igual a
1
2
,1 como raiz dupla e P(0) = 1.
Solução:
Pelos dados, podemos dizer que P x a x x ( ) ( )( )= - +
1
2
1 2 .
Como P(0) = 1, vem: a(0 )(0 )- + =
1
2
1 1 2
; a = 2.
Portanto, P x x x ( ) ( )( )= - +2
1
2
1 2
; P(x) = (2x 1) (x 2 + 2x +1) ou P(x) = 2x 3 +  3x 2 1.
4 PESQUISAS DE RAÍZES RACIONAIS E INTEIRAS
Teorema das raízes racionais
Seja a equação a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o = 0, de coeficientes inteiros. Se o número racional
p
q
,
com p e q primos entre si, é raiz da equação, então p é divisor de a o e q é divisor de a n .
Observe que:
O teorema só se aplica a equações com coeficientes inteiros.
O teorema não afirma que a equação tem raízes racionais da forma
p
q
, mas se elas existirem, então p
é divisor de a o e q é divisor de a n .
Se a equação P(x) = 0, de coeficientes inteiros, tem uma raiz p, inteira, então p é divisor de a o .
Se a n = 1e a equação P(x) = 0 admitir raízes racionais, essas serão necessariamente números inteiros.
Exemplo: Verifique se a equação x 3 x 2 + 2x 2 = 0 tem alguma raiz inteira.
Solução:
As possíveis raízes inteiras são 1, 1, 2, 2 (divisores de 2). Mas:
P(1) = 6; P(1) = 0; P(2) = 10 e P(2) = 6. Logo a equação tem uma única raiz inteira, que é o número 1.
5 PESQUISA DAS RAÍZES COMPLEXAS
Teorema das raízes complexas
Se o número Z = a + bi é raiz de multiplicidade m de uma equação de coeficientes reais, então o seu
conjugado Z = a bi também é raiz de multiplicidade m da equação.
Conseqüências:
Numa equação algébrica de coeficientes reais, as raízes complexas e não reais ocorrem aos pares.
Uma equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar tem ao menos uma raiz real.

3 0 Matemática M3
1) Forme uma equação de coeficientes reais e menor grau possível, que tenha como raízes 1, i e 2i.
Solução:
Se i e 2i são raízes, seus conjugados i, 2i também são. Logo, a equação procurada é:
a(x 1)(x + i)(x i)(x 2i)(x + 2i) = 0    ou     a(x 1) (x 2 +1)(x 2 + 4) = 0
2) Resolva a equação x 4 x 3 5x 2 + 7x + 10 = 0, sendo 2 + i uma de suas raízes.
Solução: Se 2 + i é raiz, 2 i também é; portanto:
Para achar as outras raízes, resolva a equação
x 2 + 3x + 2 = 0. Você achará 1 e 2.
S= {1, 2, 2 + i, 2 i}
2 + i     1 1 5            7         10
2 i       1 1 + i    4 + 3i     4 + 2i      0
1 3 2 0
6 RAÍZES REAIS
Teorema de Bolzano
Se P(x) = 0 é uma equação algébrica com coeficientes reais e ] a, b [ é um intervalo real aberto, temos:
a) Se P(a) e P(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais em ] a, b [ ou não existem
raízes reais em ] a, b [.
b) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em
] a, b [.
Exemplos:
1) Quantas raízes reais a equação x 3 + 5x 2 3x + 4 = 0 pode ter no intervalo (0, 1)?
Solução:
P(0) = 4 > 0
P(1) = 7 > 0
2) Determine m na equação: x 5 2x 4 + 3x 3 5x 2 + x + (m 3) = 0 de modo que ela tenha ao menos uma raiz real
compreendida entre 0 e 2.
Solução:
P(0) = m 3
P(2) = m + 3
Para que a equação dada tenha ao menos uma raiz real no intervalo dado, P(0) e P(2) devem ter sinais opostos,
ou seja, P(0) . P(2) < 0.
Logo: (m 3)(m + 3) < 0, que resolvido dá:   3 < m < 3.
Conclusão: a equação pode ter duas ou nenhuma raiz real no intervalo (0, 1).
7 RELAÇÕES DE GIRARD
São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica.
7.1 Relações de Girard para uma equação do 2º grau.
ax 2 + bx + c = 0;    x 1 e x 2 Õ raízes. x x
b
a
1 2+ = - x x
c
a
1 2 . =

3 1 Matemática M3
7.2 Relações de Girard para uma equação do 3º grau
ax 3 +bx 2 + cx + d = 0;    x 1 , x 2 e x 3 Õ raízes.
x x x
b
a
1 2 3+ + = - x x x x x x
c
a
1 2 1 3 2 3 . . .+ + = x x x
d
a
1 2 3 . . = -
7.3 Relações de Girard para uma equação do 4º grau
ax 4 +bx 3 + cx 2 + dx + e = 0;    x 1 , x 2 , x 3 , x 4 Õ raízes.
x x x x
b
a
1 2 3 4+ + + = - x x x x x x x x x x x x
c
a
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 . . . . . .+ + + + + =
x x x x x x x x x x x x
d
a
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 . . . . . . . .+ + + = - x x x x
e
a
1 2 3 4 . . . =
1) Resolva a equação x 3 6x 2 + 3x +10 = 0, sabendo que uma raiz é média aritmética das outras duas.
Solução:
Sejam a, b, c as raízes e suponhamos que b
a c
=
+
2
ou seja a + c = 2b. Pelas relações de Girard, temos a + b + c = 6; 2b + b = 6; b = 2
Sendo 2 uma de suas raízes, teremos:
2 1 6 3 10
1 4 5 0
Logo, as outras raízes são as raízes de
x 2 4x 5 = 0, que são 1 e 5.
2) Sendo a, b, c as raízes da equação
x 3 +5x 2 7x 4 = 0 calcule a 2 + b 2 + c 2 .
Solução:
Das relações de Girard, obtemos: a + b + c = 5 (I)
ab + ac + bc = 7(II)
a . b . c = 4 (III)
De I vem: (a + b + c) 2 = (5) 2 .
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 25
a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 25
( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2. (7) = 25
a 2 + b 2 + c 2 = 39

3 2 Matemática M3
ESTUDO ANALÍTICO DA RETA
1 COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
Consideremos, sobre um plano, dois eixos, x e y, perpendiculares, cuja interseção, 0, é tomada como
origem dos dois eixos. Seja P um ponto qualquer desse plano. A partir de P, trace paralelas aos eixos.
Essas retas os interceptarão em P 1 e P 2 . As coordenadas de P 1 e P 2 ,que representaremos por x e y, são
as coordenadas cartesianas de P e serão indicadas por P(x,y), onde x é a abscissa e y é a ordenada.
Os eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, e que são numerados no sentido antihorário.
1. Considere o ponto M(2 3K, 5). Ache K para que ele:
a) Pertença ao eixo y.
b) Pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Solução:
a) Para que M pertença ao eixo y, sua abscissa deve ser nula, concorda? Logo:  2 3K = 0; K =
2
3
.
b) Da definição de bissetriz, você sabe que um ponto dela eqüidista dos lados do ângulo. Logo, se M
pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas serão iguais. Então: 2 3K = 5; K = 1
2 PONTO MÉDIO
Dados: P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 )
Achar: M(x m , y m ) ponto médio de PQ
Solução:
PMR e MQS são congruentes.
Logo: PR = MS ® x m x 1 = x 2 x m ® x m =
x x 1 2
2
+
MR = SQ ® y m y 1 = y 2 y m ® y m =
y y 1 2
2
+
Logo: x m =
x x 1 2
2
+
e  y m =
y y 1 2
2
+
y 2
y m
y 1
x 2
x m x 1
P 2
P 1

3 3 Matemática M3
3 FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados: P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 )
Achar: d, a distância entre P e Q.
Solução:
No triângulo PQR, temos: d 2 = PR 2 + RQ 2
d 2 = (x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 ) daí
d (x x ) (y y ) 2 1
2
2 1
2
= - + -
1. Dados A(5, 2) e M(4, 7), ache as coordenadas do ponto M’ simétrico de M em relação a A.
Solução:
M’ é simétrico de M em relação a A, desde que A seja ponto médio de MM’.
Façamos M’ = (x,y). Teremos:
x A =
x M x
2
5
4 x
2
x 14
+
® - =
+
® = -
y A =
y M y
2
2
7 y
2
y 11
+
® =
+
® =
Resposta: M = (14, 11)
4 INCLINAÇÃO DE UMA RETA
Seja r uma reta não paralela ao eixo x.Inclinaçãode r é o menor ângulo segundo o qual devemos “girar” o eixo x emtorno
de A, no sentido antihorário, para que ele coincida com a reta. Se r for paralela ao eixo x, sua inclinação é nula.
q
p
=
2
•
2 2
y 2
x 1 x 2
y 1
•
•
•
M’
A
M
5 COEFICIENTE ANGULAR
Definição:
Seja r uma reta não paralela ao eixo Oy. Chamase coeficiente angular de r (ou declive) ao número real
m = tg q, onde q é a inclinação da reta.
Observações:
Alguns autores usam a palavra inclinação como sinônimo de coeficiente angular.
É fácil perceber que se q é agudo, m > 0, se q é obtuso m < 0, e se q = 90°, a reta não tem coeficiente angular.

3 4 Matemática M3
6 CÁLCULO DE M DADOS DOIS PONTOS DA RETA
No triângulo PQR, temos:
m tg
RQ
PR
y y
x x
2 1
2 1
= = =
-
-
q , ou seja
m
y y
x x
2 1
2 1
=
-
-
7 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
8 EQUAÇÃO DE UMA RETA QUE PASSA POR UM PONTO P 0 (X 0 , Y 0 ) E TEM
COEFICIENTE ANGULAR M
Seja  uma reta que passa por P 0 (x 0 , y 0 ) e tem coeficiente angular m. Se P(x, y) é um ponto genérico da reta,
teremos:
m
y y
x x
0
0
=
-
-
e então: y y 0 = m(x x 0 )
y 2
y 1
x 1 x 2
x x o
y
y o
y
x
P o
Seja r uma reta não vertical, de coeficiente angular m, e
que corta o eixo y no ponto N (0, n). Se M(x, y) é um
ponto genérico da reta, teremos:
m
y n
x 0
=
-
-
® y = mx + n  (equação reduzida da reta)
Observações:
m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear.
De acordo com isso, a equação y = 2x + 3 representa uma
reta de coeficiente angular 2, portanto, crescente e que
corta o eixo y no ponto (0,3), pois o coeficiente linear vale 3.
Observações:
Se a reta for horizontal, m = 0 e sua equação se reduz a y = y 0 .
Se a reta for vertical, m não existe. No entanto, se uma reta é vertical e passa por P 0 (x 0 , y 0 ), todos os seus
pontos têm a mesma abscissa e sua equação será x = x 0 .

3 5 Matemática M3
1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 4) e B(5, 9).
Solução:
Inicialmente, determinamos o coeficiente angular de AB.
m
9 4
5 3
= ; m
5
2
=
Achamos agora a equação da reta de coeficiente angular m = 5/2 e que passa por A(3, 4).
y 4
5
2
(x 3)- = - e daí: 2y 8 = 5x 15; y
5
2
x
7
2
= -
Observação:
Se usarmos o ponto B ao invés de A, obteremos a mesma equação. Verifique.
9 EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A) Toda reta pode ser dada por uma equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0 ou b ¹ 0.
Demonstração:
Se a reta não é vertical, ela pode ser representada pela equação reduzida y = mx + n, o que dá
mx y + n = 0, que é uma equação do tipo ax + by + c = 0.
Se a reta for vertical, sua equação é x = x 0 ou x 0y x 0 = 0, que também é da forma ax + by + c = 0.
B) Toda equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0 ou b ¹ 0 representa uma reta.
Demonstração:
Suponhamos inicialmente que b ¹ 0. Então de ax + by + c = 0 obtemos y
a
b
x
c
b
= - - , que é a equação
reduzida de uma reta não vertical, de coeficiente angular m
a
b
= - e que corta o eixo OY no ponto (O, n),
onde n
c
b
= - . Se b = 0, a equação fica ax + c = 0 ou x
c
a
= - .
Como a ¹ 0 (pois b = 0), essa equação representa uma reta vertical.
Observação:
A equação ax + by + c = 0 é chamada equação geral da reta.
Dada a equação geral, veja que m
a
b
= -

3 6 Matemática M3
1. Determine o coeficiente angular da reta cuja equação é:
a) 2x 3y + 1 = 0
b) 2y 3 = 0
c) 3x 1 = 0
Solução:
a) m
a
b
= - ; m
2
3
= ; m
2
3
=
b) m
a
b
= - ; m
0
2
= - ; m = 0   e então temos uma reta horizontal.
c) m
a
b
= - ; m
3
0
= - = ?. Como m não existe, a reta é uma reta vertical.
2. Determine os pontos onde a reta 2x y + 3 = 0 intercepta os eixos coordenados.
Solução:
A interseção com o eixo x é obtida fazendose y = 0. Então 2x 0 + 3 = 0, x
3
2
= - e temos o
ponto -
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
2
,0 .
A interseção com o eixo y é obtida fazendose x = 0. Logo: 2 . 0 y + 3 = 0; y = 3 e obtemos o ponto (0, 3).
3. Determine a interseção das retas: (r): 2x y + 1 = 0
(s): x + y 5 = 0
Solução:
A interseção das retas, se existir, será um ponto que pertence a ambas. Basta, então, resolver o sistema
formado pelas equações das retas.
2x y = 1
x + y = 5 Resposta:
4
3
,
11
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
4. Seja a reta (r): x 4y + 17 = 0. Determine um ponto de r, cuja distância ao ponto A(8, 2) é 34 .
Solução:
Da equação dada, tiramos que x = 4y 17. Logo um ponto de r é da forma (4y 17, y). Sua distância ao ponto
A será:
d (4y 17 8) (y 2) 2 2
= + - o que dá: d 17y 204y 629 2
= + .
Como d = 34 vem 17y 204y 629 34 2
+ = e daí 17y 2 204y + 629 = 34 e simplificando:
y 2 12y + 35 = 0, cujas raízes são y = 5 e y = 7.
Se y = 5  temos  x = 3
Se y = 7  temos  x = 11.
Resposta:  P 1 = (3, 5)  e  P 2 (11, 7)
Resolvendo, você encontrará: x
4
3
= e y
11
3
= .

3 7 Matemática M3
10 CONDIÇÃO DE PARALELISMO
Duas retas (não paralelas ao eixo y) são paralelas se e somente se m r = m s .
Demonstração:
11 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Duas retas r e s são perpendiculares se e somente se m r . m s = 1
Demonstração:
Pelo teorema do ângulo externo, temos:
q1 = 90º + q2 « tgq1 = tg(90º + q2 ) «
tgq1 = cotgq2 « tgq1 = -
1
tg 2q «
m r = -
1
m s
« m r . m s = 1
Uma Observação Interessante:
Dada a equação geral de uma reta ax + by + c = 0, temos:
A equação ax + by + k = 0 representa uma reta paralela à reta dada.
A equação bx ay + k = 0 representa uma reta perpendicular à reta dada.
1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 3) e é paralela à reta 2x y + 1 = 0.
Solução:
1º modo: Como a reta r procurada é paralela a 2x y + 1 = 0, seus coeficientes angulares são iguais;
logo m r = 2. Como r passa por P(1, 3), teremos: y + 3 = 2(x 1); 2x y 5 = 0.
2º modo: Uma reta paralela a 2x y + 1 = 0 é da forma 2x y + K = 0. Como ela passa por P(1, 3), temos
2 . 1 (3) + K = 0, o que dá K = 5. Então a equação pedida é 2x y 5 = 0.
r // s « q1 = q2
« tgq1 = tgq2 « m r = m s
1
2

3 8 Matemática M3
2. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e é perpendicular à reta 2x + 3y 5 = 0.
Solução:
1º modo:Coeficiente angular da reta dada: m =
2
3
. Coeficiente angular da reta pedida: m =
1
m r
; m =
3
2
.
Equação pedida: y + 3 =
3
2
(x 2) 3x 2y 12 0- ® - - =
2º modo:Uma reta perpendicular a 2x + 3y 5 = 0 é do tipo 3x 2y + k = 0. Como P(2, 3) pertence a essa reta,
teremos 3 . 2 2 . (3) + k = 0; k = 12. Portanto, a equação é 3x 2y 12 = 0.
12 ÂNGULO DE DUAS RETAS
Sejam r e s duas retas não perpendiculares, de coeficientes angulares, respectivamente, m 1 e m 2 .
Se nenhuma dessas retas é vertical, o ângulo agudo q entre as retas r e s é calculado por:
tg
m m
1 m . m
1 2
1 2
q =
-
+
1. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas:
a) r: 3x y + 2 = 0      e  s: 2x + y 1 = 0
b) r: x 3 y + 1 = 0  e  s: 2x + 3 = 0
Solução:
a) m r = 3 e m s = 2. Portanto: tg
2 3
1 + (2).3
q = ; tg q = 1. Então q = 45°
b) A reta s é vertical e m r =
1
3
. Logo tg q = 1
1
3
® tg q = 3 . Então q = 60°
2. Ache a equação da reta que passa por P(2, 5) e que forma com x + 2y + 3 = 0 um ângulo de 45º.
Solução:
Seja s a reta procurada e r a reta dada: tg 45° =
m s m r
1 + m s . m r
-
;
m s
1
2
1 + m s .
1
2
1
-
=
Simplificando:
2m s 1
2 + m s
1
-
= Logo:
2m s 1
2 + m s
-
= 1 ® m s = 3;
2m s 1
2 + m s
-
= 1 « m s = -
1
3
Se uma das retas é vertical, seja m o coeficiente angular
da outra reta. Provase que a tangente do ângulo agudo
entre elas é:
tg
1
m
=

3 9 Matemática M3
1ª solução: reta que passa por P(2, 5) e m = 3 ® y 5 = 3(x 2) ® 3x y 1 = 0
2ª solução: reta que passa por P(2, 5) e m
1
3
= - ® y 5 = -
1
3
(x 2) ® x + 3y 17 = 0
13 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
Dado o ponto P(x 0 , y 0 ) e a equação geral da reta r ax + by + c = 0, a distância de P a r é dada por:
d
ax by c
a b
0 0
2 2
=
+ +
+
1. Calcule o perímetro do quadrado que tem o vértice A(1, 4) e um lado na reta r: x + y + 5 = 0.
Solução:
Inicialmente verifique se A pertence a r.
1 + 4 + 5 = 0 ; 8 = 0 ;     A Ï r. .
Então, o lado do quadrado é dado pela distância de A à reta r.
x
1 4 5
1 1
=
- + +
+
; x
8
2
= ; x 4 2=
Logo, o perímetro do quadrado é 2p = 4 . 4 2 = 16 2 .
2. Calcule a distância entre as retas 2x 3y + 1 = 0 e 2x 3y 5 = 0.
r
s
Solução:
Observe inicialmente que esse problema só tem sentido se as retas forem paralelas. Se isso acontecer, a
distância entre elas é dada pela distância de um ponto de uma delas até a outra reta.
Determinemos, pois, um ponto da reta 2x 3y + 1 = 0.
x = 1;    2 . 1 3y + 1 = 0;    y = 1;    P(1, 1).
Calculemos agora a distância de P à outra reta.
d
2  .  1 3  .  1 5
4 9
=
- -
+
; d
6
13
=

4 0 Matemática M3
ESTUDO ANALÍTICO DA
CIRCUNFERÊNCIA
1 EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, no plano cartesiano. Se P(x, y) é um ponto qualquer da
circunferência, temos: d PC = r
(x a) 2 (y b) 2+ - = r (quadrando)
(x a) 2 + (y b) 2 = r 2
® equação reduzida da
circunferência.
2 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.
Desenvolvendo, obtemos:
x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 ® equação geral da circunferência.
Observação:
Seja Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 uma equação geral de 2º grau em x e y. Para que essa equação
represente circunferência, devemos ter:
A = B ¹ 0;     C = 0;     D 2 + E 2 4AF > 0
Satisfeitas essas condições, o centro da circunferência é: C
D
2A
,
E
2A
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
e seu raio r é: r
D E 4AF
2. A
2 2
=
+ -
1. Ache a equação da circunferência de centro C(1, 2) e que passa pelo ponto P(5, 5).
Solução:
A equação reduzida da cincunferência procurada é (x 1) 2 + (y 2) 2 = r 2
Como o ponto P(5,5) pertence a ela, suas coordenadas devem satisfazer à equação.
(5 1) 2 + (5 2) 2 = r 2
® r 2 = 25
Portanto, a equação pedida é:   (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25
Observação:
O raio também poderia ser encontrado calculandose a distância de C a P.

4 1 Matemática M3
2. Ache a equação da circunferência de centro na reta y = 2x, e que passa pelos pontos P 1 (1, 1) e P 2 (0, 4).
Solução:
Seja C(a, b) o centro da circunferência. Como C pertence à reta y = 2x, teremos b = 2a. Logo C(a, 2a) e sua
equação será:
(x a) 2 + (y 2a) 2 = r 2
P 1 Î circunferência ® (1 a) 2 + (1 2a) 2 = r 2
® 5a 2 + 2a + 2 = r 2 (I)
P 2 Î circunferência ® (0 a) 2 + (4 2a) 2 = r 2
® 5a 2 + 16a + 16 = r 2 (II)
De I e II, concluímos:
5a 2 + 2a + 2 = 5a 2 + 16a + 16 e daí a = 1. Pontanto o centro é C(1, 2).
Para achar r, é só substituir o valor de a = 1 em I (ou II). Você achará r = 5 .
Logo, a equação procurada é: (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 5
3. Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo, dê o centro C e o raio r.
a) 4x 2 + 4y 2 + 8x + 4y + 1 = 0
b) 3x 2 + y 2 + 4x 6y 7 = 0
c) x 2 + y 2 + 6x 8y + 2xy 1 = 0
d) 2x 2 + 2y 2 + 2x y + 3 = 0
Solução:
a) Para fazer a verificação pedida, devemos comparar a equação dada com a equação geral. Como os coeficientes
de x 2 e y 2 na equação geral valem 1, vamos dividir os termos da equação dada por 4. Teremos:
x y 2x y
1
4
0 2 2
+ + + + =
Comparando com a equação geral, obtemos:
2a = 2; a = 1
2b = 1; b = -
1
2
a 2 + b 2 r 2 =
1
4
® 1 +
1
4
r 2 =
1
4
® r = 1
Temos, portanto, uma circunferência onde C(1,
1
2
)  e  r = 1
b) Não representa circunferência, pois os coeficientes de x 2 e y 2 são diferentes.
c) Não representa circunferência, pois na equação geral da circunferência não existe termo em xy.
d) 2x 2 + 2y 2 + 2x   y + 3 = 0 (dividindo por 2)
x 2 + y 2 + x
1y
2
+
3
2
= 0 e então: 2a = 1; a = -
1
2
2b = -
1
2
; b =
1
4
a 2 + b 2 r 2 =
3
2
®
1
4
+
1
16
r 2 =
3
2
® r 2 =
19
16
; r =
19
16
= ??
Portanto, a equação não representa circunferência.

4 2 Matemática M3
4. Calcule m, p e k para que a equação a seguir represente uma circunferência.
Equação: 2x 2 + my 2 + 2kxy + 2x + 2y + p = 0
Solução:
Os coeficientes de x 2 e y 2 devem ser iguais, m = 2. Além disso o termo em xy deve ter coeficiente nulo,
e então k = 0.
Substituindo m e k, obtemos: 2x 2 + 2y 2 + 2x + 2y + p = 0 (dividindo por 2)
x 2 + y 2 + x + y +
p
2
= 0 e daí vem: 2a = 1; a = -
1
2
2b = 1; b = -
1
2
a 2 + b 2 r 2 =
p
2
®
1
4
+
1
4
r 2 =
p
2
e então: r =
1 p
2
Para termos uma circunferência
1 p
2
> 0, o que dá p < 1
Resposta: m = 2, K = 0, p < 1
3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
1º modo: Calcule a distância do ponto dado P ao centro C da circunferência.
Se PC  =  r, o ponto P pertence à circunferência.
Se PC  >  r, o ponto P é exterior à circunferência.
Se PC  <  r, o ponto P é interior à circunferência.
2º modo: Usando a equação reduzida.
Sejam dados o ponto P(x 0 , y 0 ) e a circunferência (x a) 2 + (y b) 2 r 2 = 0
Se (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2 r 2 = 0, P pertence à circunferência.
Se (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2 r 2 > 0, P é exterior à circunferência.
Se (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2 r 2 < 0, P é interior à circunferência.
3º modo: Usando a equação geral
Dados: P(x 0 , y 0 ) e a circunferência x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0.
Se x y 2ax 2by a b r 0 0
2
0
2
0 0
2 2 2
+ - - + + - = , P pertence à circunferência.
2
0
2
0 0
2 2 2
+ - - + + - > , P é exterior à circunferência.
2
0
2
0 0
2 2 2
+ - - + + - < , P é interior à circunferência.
1. Calcule p para que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência: x 2 + y 2 2x 2y p = 0
Solução:
Para que A seja exterior à circunferência dada, devemos ter: 7 2 + 9 2 2 . 7 2 . 9 p > 0; o que dá p < 98.
Além disso, a equação dada deve representar uma circunferência. Logo: 2a = 2 ® a = 1
2b = 2 ® b = 1
a 2 + b 2 r 2 = p;   1 + 1 r 2 = p;   r 2 = p + 2;   r = p + 2 e então p + 2 > 0;   p > 2
Resposta: 2 < p < 98

4 3 Matemática M3
2. Considere a circunferência x 2 + y 2 + 2x 6y + 6 = 0. Existe algum ponto de abscissa 3 no interior dessa
circunferência?
Solução:
Seja P(3, a) o ponto procurado. Então, para que P esteja no interior da circunferência devemos ter:
9 + a 2 + 6 6a + 6 < 0
a 2 6a + 21 < 0
Mas essa inequação não tem solução. Portanto, não existe nenhum ponto satisfazendo ao problema.
4 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
1º modo: Comparando a distância do centro da circunferência à reta com o raio.
Se d é a distância do centro C à reta s, e r é o raio, teremos:
* d = r, a reta é tangente à circunferência
* d < r, a reta é secante à circunferência
* d > r, a reta é exterior à circunferência
2º modo: Procurando a interseção entre a reta e a circunferência.
Para isso, montamos o sistema com as equações da reta e da circunferência.
Se a solução for única, a reta e a circunferência são tangentes.
Se tivermos duas soluções a reta e a circunferência são secantes.
Se o sistema não tiver solução, a reta e a circunferência são exteriores.
1. Dada a reta x + y + c = 0 e a circunferência x 2 + y 2 2x = 0, ache c de modo que a reta seja exterior à
circunferência.
Solução:
Inicialmente, verifique se a equação dada representa circunferência.
2a = 2; a = 1
2b = 0; b = 0
a 2 + b 2 r 2 = 0;   1 + 0 r 2 = 0;   r = 1
Logo, temos uma circunferência de centro (1, 0) e raio 1. Para que a reta seja exterior à circunferência, a
distância do centro dessa à reta deve ser maior que o raio. Logo:
a)
1 c
2
+
> 1 ® c > 2 1   ou
b)
1 c
2
+
< 1 ® c < 2 1
1 0 c
1 1
+ +
+
> 1;
1 c
2
+
> 1 o que dá

4 4 Matemática M3
2. Calcule o comprimento da corda determinado pela reta x y = 0, sobre a circunferência (x + 2) 2 + (y 2) 2 = 16.
Solução:
Verifique inicialmente se de fato a reta dada e a circunferência são secantes. Após isso, determine o centro
e o raio da circunferência. Você achará:
C(2, 2) e r = 4
Calcule a distância do centro à reta
d
2 2
2
4
2
= =
Aplique Pitágoras no triângulo BCM, lembrando que BC = r.
r 2 = d 2 + x 2 ;   16 = 8 + x 2 ;   x = 2 2
A corda AB vale 2x. Logo AB = 4 2
5 POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
1º Processo: Resolvendo o sistema formado pelas equações das circunferências.
Se o sistema tiver duas soluções (2 pontos comuns), as circunferências são secantes.
Se o sistema tiver uma única solução (1 ponto comum), as circunferências são tangentes exteriormente
ou tangentes interiormente.
Se o sistema não tiver solução (nenhum ponto comum), as circunferências são exteriores ou uma é
interna à outra.
2º Processo: Comparando a distância entre os centros (d) com r 1 + r 2 ou |r 1 r 2 | onde r 1 e r 2 são os raios.
a) d > r 1 + r 2
r 1 r 2
C 2 C 1
r 1 r 2
C 2 C 1
b) d = r 1 + r 2
c) d = |r 1 r 2 | d) |r 1 r 2 | < d < r 1 + r 2
As circunferências são
tangentes interiores.
As circunferências são exteriores. As circunferências são tangentes exteriormente.
As circunferências são secantes.
e) d < |r 1 r 2 |
Uma circunferência é interior à outra.
6 PROBLEMAS DE TANGÊNCIA
Faremos esse estudo na forma de exercícios resolvidos.
1. (MAPOFEISP) Determinar as equações das retas
tangentes à circunferência x 2 + y 2 2x 2y + 1 = 0
e perpendicular à reta y = x.
Solução:
Equação geral da reta y = x ® x + y = 0. Uma reta
perpendicular a ela é do tipo x y + k = 0.
O centro e o raio da circunferência dada são:
C(1, 1) e r = 1.
A reta procurada é tangente à circunferência se e só
se a distância do centro à reta é igual ao raio.
1 1 + k
1 + 1
= 1; |k| = 2 ® k = ± 2
Resposta: x y + 2 = 0   e   x y 2 = 0

4 5 Matemática M3
2. Dê a equação das retas que passam pelo ponto P(2, 10) e que são tangentes à circunferência
x 2 + (y 2) 2 = 4.
Solução:
Inicialmente, achamos a posição relativa entre P e a circunferência. Verifique você que P é exterior à
circunferência. O problema admite então duas soluções. Como essas retas passam por P(2, 10),  teremos:
y + 10 = m(x 2)  e daí mx y 2m 10 = 0 (I).
A circunferência dada tem centro C(0, 2) e raio r = 2. Aplicando a condição de tangência, teremos:
0 2 2m 10
m + 1 2
= 2 ® |12 2m| = 2 m + 1 2
que resolvido dá  m = -
35
12
.
Mas o problema admite duas soluções e só achamos um valor para m. Isso significa que a outra reta é
vertical.
Resposta: x = 2 e 35x + 12y + 50 = 0
(substitua  m = -
35
12
em I e simplifique).
3. Obter a equação da reta, tangente à circunferência x 2 + y 2 = 100, e que forma um ângulo de 45º com 3x +
y 7 = 0.
Solução: Seja y = mx + n a reta procurada. Sua equação geral é: mx y + n = 0. Como ela faz 45 o com  3x +
y 7 = 0, temos:
tg45° =
m + 3
1 + m. (3)
m + 3
1 3m
1® =
que resolvido dá m
1
2
= - ou m = 2
Se m = 2, obtemos a reta 2x y + n = 0. Para que ela seja tangente à circunferência, devemos ter
d = r e como C(0, 0) e r = 10, teremos:
0 0 + n
4 + 1
10= ® |n| = 10 5 ® n = ± 10 5
Teremos então as retas 2x y + 10 5 = 0  e
2x y 10 5 = 0
Se m = -
1
2
, obtemos a reta
1
2
x y + n = 0, que simplificada dá x + 2y 2n = 0. Para que ela seja tangente
à circunferência devemos ter:
0 + 0 2n
1 + 4
10 2n 10 5 n 5 5= ® = ® = ±
Temos, então, as retas:
x + 2y + 10 5 = 0   e   x + 2y 10 5 = 0.
Resposta: 2x y + 10 5 = 0;     2x y 10 5 = 0
x + 2y + 10 5 = 0  e  x + 2y 10 5 = 0

4 6 Matemática M3
LIMITE
1 NOÇÃO INFORMAL DE LIMITE
Seja y = f(x) uma função. Dizemos que lim
x a® f(x) = b,
lêse: limite de f(x) quando x tende a a é b, se quanto mais próximo de a tomarmos os valores de x, mais
próximo de b teremos os valores de f(x).
Exemplo: Calcule lim
x 2®
(3x 1)
Solução: É fácil perceber que para valores de x próximos a 2, f(x) = 3x 1 se aproxima de 5.
Logo: lim
x 2®
(3x 1) = 5
No cálculo do lim
x a® f(x) interessanos estudar o comportamento da função para valores de x próximos de a,
porém diferentes de a. Assim, pode acontecer de f(a) nem ser definido.
Exemplo: Calcule lim
x®3
x
x
2
9
3
-
-
Solução:
Observe que f(3) não é definido. No entanto, como no processo do limite em questão, x se aproxima de 3,
porém x ¹ 3, podemos afirmar:
lim
x®3
x
x
2
9
3
-
-
= lim
x®3
( )( ) x x
x
- +
-
3 3
3
= lim
x®3 (x + 3) = 6
É importante realçar também que quando se diz que x tende a a, isto significa que x se aproxima de a por
valores inferiores e também por valores superiores a a.
Se fazendo x se aproximar de a por valores inferiores a a, os valores da função se aproximam de b, dizemos
que o limite de f(x) para x tendendo a a pela esquerda é b e indicamos:
lim
x a® - f(x) = b
Agora, se fazendo x se aproximar de a por valores superiores a a, os valores da função se aproximam de b,
dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é b e indicamos:
lim
x a® + f(x) = b
Esses dois últimos limites são conhecidos por limites laterais e lim
x a® f(x) = b se e somente se tivermos
lim
x a® + f(x) =
lim
x a® - f(x) = b
Exemplo: Se f(x) =
x
x
calcule
lim
x® +
0
f(x),
lim
x® -
0
f(x) Verifique se existe
lim
x® 0
f(x)
Solução: Como para x ³ 0, |x| = x, teremos:
lim
x® +
0
x
x
=
lim
x® +
0
x
x
= 1
Como para x < 0, |x| = x, teremos:
lim
x® -
0
x
x
=
lim
x® -
0
-æ
è
ç
ö
ø
÷
x
x
= 1
Já que
lim
x® +
0
f(x) ¹
lim
x® -
0
f(x), não existe
lim
x® 0
f(x).

4 7 Matemática M3
2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
a) lim
x®2
(3x 1) = 5
3 FUNÇÃO CONTÍNUA
Seja y = f(x) uma função definida no intervalo aberto (c, d). Se a é um ponto desse intervalo, dizemos que f é
contínua em a se lim
x a® f(x) = f (a).
Se y = f(x) é definida no intervalo fechado [c, d], então:
a) f é contínua em c se
lim
x c® + f(x) = f(c)
b) f é contínua em d se
lim
x d® - f(x) = f(d).
Uma função f é contínua num intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo. Graficamente, se
uma função é contínua, seu gráfico não apresenta “buracos” e nem “saltos”.
1) Seja a função f(x) =
x
x
se x
se x
2
1
1
1
3 1
-
-
¹
=
ì
í
ï
îï
,
,
Calcule lim
x®1
f(x). Essa função é contínua em x = 1?
Solução:
Como no cálculo do lim
x®1 f(x) interessanos os valores de x próximos de 1, porém diferentes de 1, temos:
lim
x®1 f(x) = lim
x®1
x
x
2
1
1
-
-
= lim
x®1
( )( ) x x
x
- +
-
1 1
1
= lim
x®1 (x + 1) = 2
Além disso, como esse limite é diferente de f(1), a função não é contínua em x = 1.
f(x) = 3x 1
b) lim
x®3
x
x
2
9
3
-
-
= 6
f(x) =
x
x
2
9
3
-
-
c)
lim
x® 0
x
x
não existe

4 8 Matemática M3
2) Seja a função f(x) =
2 6
3
3
3
x
x
se x
m se x
-
-
¹
=
ì
í
ï
îï
,
,
Determine m para que a função seja contínua em x = 3.
Solução:
Para f ser contínua em x = 3, lim
x®3
f(x) = f(3)
Mas lim
x®3
f(x) = lim
x®3
2 6
3
x
x
-
-
= lim
x®3
2 3
3
( ) x
x
-
-
= 2 e como f(3) = m, devemos ter m = 2.
4 UM SALTO NO INFINITO
Em certas situações, necessitaremos estudar o comportamento de uma função f quando x assume valores
maiores que qualquer número dado, ou quando x assume valores menores que qualquer número dado. No
primeiro caso, dizemos que x tende a mais infinito (x ® ¥+ ) e no segundo dizemos que x tende a menos
infinito (x ® ¥ ).
Exemplos:
a) Seja f(x) =
1
x
. Quanto maior x, mais próximo de zero fica
1
x
. Então: lim
x x®+¥
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
1
0
b) Se f(x) =
1
3
x
+ , teremos lim
x x®-¥
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
1
3 3
c) lim ( )
x
x
®+¥
- = +¥5
d) Seja f(x) =
1
1 x -
. Então: lim ( )
x
f x
®+¥
= 0 ; lim ( )
x
f x
®-¥
= 0
lim ( )
x
f x
® +
= +¥
1
; lim ( )
x
f x
® -
= -¥
1
5 NOÇÃO FORMAL DE LIMITE
Definição 1: Seja y = f(x) uma função de domínio D, e a um número que pode ou não pertencer a D. Dizemos
que lim ( )
x a
f x b
®
= , se e somente se, dado e > 0 , existir d > 0 , tal que para todo x com a x a- < < +d d e
x a¹ , tivermos b e < f(x) < b + e .
Definição 2: Dizemos que lim ( )
x
f x b
®+¥
= , se dado e > 0, existir M > 0, tal que para todo x > M, b e < f(x) < b + e .
Procure você dar as outras definições.
6 CÁLCULO DO LIMITE EM PONTOS DE DESCONTINUIDADE
Para calcular o limite em pontos de descontinuidade, podemos simplificar a função, calcular os limites laterais,
etc. Veja alguns exemplos:
a) Calcule lim
x
x x x
x®
+ - -
-2
3 2
2 5 6
2
Solução:
Fazendo x = 2, obtemos
0
0
, que é uma forma indeterminada. Fatore
então o numerador da função usando o dispositivo de BriotRuffini.
2 1 2 5 6
1 4 3 0

4 9 Matemática M3
Para o caso do limite da soma, temos:
?
?
Para o caso do limite do produto, temos:
0 ?
0 ?
Então, o limite procurado é lim
( )( )
( )
lim( )
x x
x x x
x
x x
® ®
- + +
-
= + + =
2
2
2
2 2 4 3
2
4 3 15
b) Calcule lim ( )
x
f x
®1
, sendo f(x) =
x
se x
x se x
+
>
<
ì
í
ï
îï
1
2
1
1 2
,
,
Solução:
Nesse caso, usamos os limites laterais lim ( ) lim
x x
f x
x
® ®+ +
=
+
=
1 1
1
2
1 lim ( ) lim
x x
f x x
® ®- -
= =
1 1
2
1 e então lim ( )
x
f x
®
=
1
1
7 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
Se lim
x a®
f(x) = K e L ) x ( g lim
a x
=
®
, teremos:
a) lim [f(x) + g(x)] = K + L
x a®
d) lim[ ( ). ( )] .
x a
f x g x K L
®
=
e) lim[ ( )]
x a
n n
f x K
®
=
f) lim
( )
( )
; ( )
x a
f x
g x
K
L
se L
®
= ¹ 0
b) lim [f(x) g(x)] = K L
x a®
c) lim[c. ( )] .
x a
f x c K
®
= c Î K
lim ( )
x a
f x
®
lim ( )
x a
g x
®
lim[ ( ) ( )]
x a
f x g x
®
+
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
+ ¥
- ¥
lim[ ( ). ( )]
x a
f x g x
®
lim ( )
x a
g x
®
lim ( )
x a
f x
®
lim ( )
x a
f x
®
lim ( )
x a
g x
®
lim
( )
( ) x a
f x
g x®
é
ë
ê
ù
û
ú
± ¥ ± ¥
Para o caso do limite de um quociente, temos:
0 0 ?
?
Os símbolos marcados com o sinal ? são chamados símbolos de indeterminação. Para calcular o limite nes
ses casos devemos, por transformações convenientes, reduzir o cálculo a outros cujos resultados são conhecidos.
1) Calcule lim
x
x
x®
-
-2
2
2
Solução:
Substituindo x por 2, obtémse a forma indeterminada
0
0
. Nesse caso, multiplique os termos da fração dada
por x + 2 (conjugado de x - 2 )
lim
x
x
x®
-
-2
2
2
= lim
( )( )
( )( ) x
x x
x x®
- +
- +2
2 2
2 2
= lim
( )( )
x
x x
x®
- +
-2
2 2
2
= lim( )
x
x
®
+ =
2
2 2 2

5 0 Matemática M3
2) Calcule lim
x
x
x®
-
-8
3
2
8
Solução:
Faça x y 3
= . Então x = y 3 . Além disso, se x Õ 8, então y x= 3
tende a 2. Logo:
lim
x
x
x®
-
-8
3
2
8
= lim
x
y
y®
-
-2 3
2
8
= lim
( )( ) x
y
y y y®
-
- + +2 2
2
2 2 4
= lim
( ) x y y® + +2 2
1
2 4
=
1
12
8 LIMITES FUNDAMENTAIS
8.1 Limite da função polinomial quando x ® +¥ ou x ® -¥
Se P(x) = a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o então
lim ( ) lim (a )
x x
n
n
P x x
®+¥ ®+¥
= e lim ( ) lim (a )
x x
n
n
P x x
®-¥ ®-¥
=
Exemplos:
a) lim ( ) lim ( )
x x
x x x
®+¥ ®+¥
- + = = +¥2 5 7 2 3 3
b) lim (3 ) lim (3 )
x x
x x x
®-¥ ®-¥
- - = = +¥2 2
5
8.2 Limite de uma função racional
Sejam os polinômios:
P(x) = a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o e
Q(x) = b m . x m + b m 1 . x m 1 + ... + b 1 . x + b o
Então lim
( )
( )
lim
x x
n
n
m
m
P x
Q x
a x
b x®+¥ ®+¥
= e também, lim
( )
( )
lim
x x
n
n
m
m
P x
Q x
a x
b x®-¥ ®-¥
=
Exemplos:
a) lim lim
x x
x x
x x
x
x®+¥ ®+¥
- +
- -
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
3 2 1
2 3
3
2
3
2
2
2
2
2
c) lim lim lim
x x x
x x
x
x
x
x
®+¥ ®+¥ ®+¥
- +
+
= = = +¥
2 2
2 1
3
b) lim lim lim
x x x
x
x x
x
x x®-¥ ®-¥ ®-¥
-
- +
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ = =
2
3
2
3
5
2 1
1
0
8.3 Limite de funções transcendentes
a) lim
sen
x
x
x®
=
0
1
b) lim
x
x
x
e
®+¥
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ =1
1
, lim
x
x
x
e
®-¥
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ =1
1
, ( )lim
x
x x e
®
+ =
0
1
1
c) lim ln
x
x
a
x
a
®
-
=
0
1

Matemática - Módulo 03

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