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Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP
Resolução da Prova
Prof Marcos Piñon
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Resolução da Prova de Matemática Financeira e
Estatística do TCE/SP, aplicada em 06/12/2015.
Em uma repartição pública, os salários, em reais, de seus 10 funcionários,
colocados em ordem crescente são: 2.500, 3.500, 4.500, 4.500, 6.000, 6.000,
6.000, 7.000, 7.000 e 8.000. Denominando a média aritmética destes salários
como Me, a mediana como Md e a moda como Mo, obtém-se que:
(A) Me = 2Mo − Md − 1.000
(B) Me = 4Mo − 3Md − 500
(C) Me = Mo + Md − 6.000
(D) Me = 3Md − 2Mo
(E) Me = Mo − Md + 6.000
Solução:
Nessa questão, vamos começar encontrando a moda, que é o elemento que mais
ocorre no conjunto de dados. Nesse caso, podemos perceber que a moda e igual
a 6.000, que aparece 3 vezes no conjunto de dados e é o elemento que mais
aparece.
Moda (Mo) = 6.000
Agora, podemos encontrar a mediana, que é o termo que divide ao meio o
conjunto de dados. Para isso, vamos começar encontrando a posição da mediana,
sabendo que temos 10 elementos no conjunto de dados:
Posição da mediana =
2
1n +
Posição da mediana =
2
110 +
Posição da mediana =
2
11
Posição da mediana = 5,5
Assim, concluímos que a mediana é dada pela média entre o 5º e o 6º termos
desse conjunto de dados (5º termo = 6.000, e 6º termo = 6.000):
Mediana =
2
000.6000.6 +
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Mediana =
2
000.12
Mediana (Md) = 6.000
Por fim, podemos calcular a media, que é dada pela divisão entre a soma de todos
os elementos do conjunto de dados, pela quantidade de dados do conjunto:
Média =
n
x∑
Média =
10
000.8000.7000.7000.6000.6000.6500.4500.4500.3500.2 +++++++++
Média =
10
000.55
Média (Me) = 5.500
Por fim, podemos analisar cada alternativa:
(A) Me = 2Mo − Md − 1.000
5.500 = 2.(6.000) – 6.000 − 1.000
5.500 = 12.000 – 7.000
5.500 = 5.000
Portanto, item errado.
(B) Me = 4Mo − 3Md − 500
5.500 = 4.(6.000) – 3.(6.000) − 500
5.500 = 6.000.(4 – 3) − 500
5.500 = 6.000.(1) − 500
5.500 = 6.000 − 500
5.500 = 5.500
Portanto, item correto.
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Resolução da Prova
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(C) Me = Mo + Md − 6.000
5.500 = 6.000 + 6.000 − 6.000
5.500 = 6.000
Portanto, item errado.
(D) Me = 3Md − 2Mo
5.500 = 3.(6.000) – 2.(6.000)
5.500 = 6.000.(3 – 2)
5.500 = 6.000.(1)
5.500 = 6.000
Portanto, item errado.
(E) Me = Mo − Md + 6.000
5.500 = 6.000 – 6.000 + 6.000
5.500 = 6.000
Portanto, item errado.
Resposta letra B.
Um investidor aplicou 60% de seu capital sob o regime de capitalização
simples, durante 10 meses, resgatando o montante correspondente de R$
23.490,00 no final do período desta aplicação. O restante do capital ele
aplicou sob o regime de capitalização composta, durante 1 ano, a uma taxa
de juros de 6% ao semestre e obtendo um total de juros de R$ 1.792,20 no
final deste período de aplicação de 1 ano. A taxa anual de juros
correspondente à aplicação sob o regime de capitalização simples é igual a
(A) 10,8%.
(B) 8,4%.
(C) 7,2%.
(D) 9,6%.
(E) 9,0%.
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Solução:
Nessa questão, chamando de x o total do capital aplicado, vamos começar com o
cálculo dos juros compostos:
Capital = x – 60% de x = x – 0,6.x = 0,4.x
Taxa de juros = 6% ao semestre
Prazo = 1 ano = 2 semestres
Montante = ???
Assim, temos:
M = C.(1 + i)n
M = 0,4.x.(1 + 0,06)2
M = 0,4.x.(1,06)2
M = 0,4.x.(1,1236)
M = 0,44944.x
Com isso, sabendo que os juros dessa aplicação foram de R$ 1.792,20, temos:
M = C + J
0,44944.x = 0,4.x + 1.792,2
0,44944.x – 0,4.x = 1.792,2
0,04944.x = 1.792,2
x =
04944,0
2,792.1
x = 36.250
Agora, podemos encontrar a taxa de juros da aplicação de juros simples:
Capital = 60% de x = 0,6 × 36.250 = 21.750
Prazo = 10 meses =
12
10
ano
Montante = 23.490
Taxa de juros anual = ???
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Com isso, temos:
M = C.(1 + i.n)
23.490 = 21.750.(1 + i.
12
10
)
750.21
490.23
= 1 + i.
12
10
1,08 – 1 = i.
12
10
0,08 = i.
12
10
i = 0,08 ×
10
12
i = 0,096 = 9,6% ao ano.
Resposta letra D.
Considere que um título é descontado em um banco 3 meses antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de 18% ao ano. Sabe-se que foi utilizada
a operação de desconto racional simples e o valor presente do título foi igual
a R$ 12.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor
nominal do primeiro título também é descontado 3 meses antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de 18% ao ano. Se para este outro título
foi utilizada a operação de desconto comercial simples, então o valor
presente deste outro título é de
(A) R$ 24.830,00.
(B) R$ 24.448,00.
(C) R$ 23.435,70.
(D) R$ 22.920,00.
(E) R$ 23.951,40.
Solução:
Nessa questão, vamos começar calculando o valor nominal do primeiro título:
Vn = Vl.(1 + i.n)
Vn = 12.000.(1 +
12
18,0
× 3)
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Vn = 12.000.(1 + 0,045)
Vn = 12.000.(1,045)
Vn = 12.540
Agora, podemos encontrar o valor líquido do segundo título:
Vl = Vn.(1 − i.n)
Vl = 2 × 12.540.(1 −
12
18,0
× 3)
Vl = 25.080.(1 − 0,045)
Vl = 25.080.(0,955)
Vl = 23.951,4
Resposta letra E.

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Matemática Financeira: média, moda, mediana e desconto de títulos

  • 1. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 8 Resolução da Prova de Matemática Financeira e Estatística do TCE/SP, aplicada em 06/12/2015. Em uma repartição pública, os salários, em reais, de seus 10 funcionários, colocados em ordem crescente são: 2.500, 3.500, 4.500, 4.500, 6.000, 6.000, 6.000, 7.000, 7.000 e 8.000. Denominando a média aritmética destes salários como Me, a mediana como Md e a moda como Mo, obtém-se que: (A) Me = 2Mo − Md − 1.000 (B) Me = 4Mo − 3Md − 500 (C) Me = Mo + Md − 6.000 (D) Me = 3Md − 2Mo (E) Me = Mo − Md + 6.000 Solução: Nessa questão, vamos começar encontrando a moda, que é o elemento que mais ocorre no conjunto de dados. Nesse caso, podemos perceber que a moda e igual a 6.000, que aparece 3 vezes no conjunto de dados e é o elemento que mais aparece. Moda (Mo) = 6.000 Agora, podemos encontrar a mediana, que é o termo que divide ao meio o conjunto de dados. Para isso, vamos começar encontrando a posição da mediana, sabendo que temos 10 elementos no conjunto de dados: Posição da mediana = 2 1n + Posição da mediana = 2 110 + Posição da mediana = 2 11 Posição da mediana = 5,5 Assim, concluímos que a mediana é dada pela média entre o 5º e o 6º termos desse conjunto de dados (5º termo = 6.000, e 6º termo = 6.000): Mediana = 2 000.6000.6 +
  • 2. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 8 Mediana = 2 000.12 Mediana (Md) = 6.000 Por fim, podemos calcular a media, que é dada pela divisão entre a soma de todos os elementos do conjunto de dados, pela quantidade de dados do conjunto: Média = n x∑ Média = 10 000.8000.7000.7000.6000.6000.6500.4500.4500.3500.2 +++++++++ Média = 10 000.55 Média (Me) = 5.500 Por fim, podemos analisar cada alternativa: (A) Me = 2Mo − Md − 1.000 5.500 = 2.(6.000) – 6.000 − 1.000 5.500 = 12.000 – 7.000 5.500 = 5.000 Portanto, item errado. (B) Me = 4Mo − 3Md − 500 5.500 = 4.(6.000) – 3.(6.000) − 500 5.500 = 6.000.(4 – 3) − 500 5.500 = 6.000.(1) − 500 5.500 = 6.000 − 500 5.500 = 5.500 Portanto, item correto.
  • 3. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 8 (C) Me = Mo + Md − 6.000 5.500 = 6.000 + 6.000 − 6.000 5.500 = 6.000 Portanto, item errado. (D) Me = 3Md − 2Mo 5.500 = 3.(6.000) – 2.(6.000) 5.500 = 6.000.(3 – 2) 5.500 = 6.000.(1) 5.500 = 6.000 Portanto, item errado. (E) Me = Mo − Md + 6.000 5.500 = 6.000 – 6.000 + 6.000 5.500 = 6.000 Portanto, item errado. Resposta letra B. Um investidor aplicou 60% de seu capital sob o regime de capitalização simples, durante 10 meses, resgatando o montante correspondente de R$ 23.490,00 no final do período desta aplicação. O restante do capital ele aplicou sob o regime de capitalização composta, durante 1 ano, a uma taxa de juros de 6% ao semestre e obtendo um total de juros de R$ 1.792,20 no final deste período de aplicação de 1 ano. A taxa anual de juros correspondente à aplicação sob o regime de capitalização simples é igual a (A) 10,8%. (B) 8,4%. (C) 7,2%. (D) 9,6%. (E) 9,0%.
  • 4. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 8 Solução: Nessa questão, chamando de x o total do capital aplicado, vamos começar com o cálculo dos juros compostos: Capital = x – 60% de x = x – 0,6.x = 0,4.x Taxa de juros = 6% ao semestre Prazo = 1 ano = 2 semestres Montante = ??? Assim, temos: M = C.(1 + i)n M = 0,4.x.(1 + 0,06)2 M = 0,4.x.(1,06)2 M = 0,4.x.(1,1236) M = 0,44944.x Com isso, sabendo que os juros dessa aplicação foram de R$ 1.792,20, temos: M = C + J 0,44944.x = 0,4.x + 1.792,2 0,44944.x – 0,4.x = 1.792,2 0,04944.x = 1.792,2 x = 04944,0 2,792.1 x = 36.250 Agora, podemos encontrar a taxa de juros da aplicação de juros simples: Capital = 60% de x = 0,6 × 36.250 = 21.750 Prazo = 10 meses = 12 10 ano Montante = 23.490 Taxa de juros anual = ???
  • 5. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 8 Com isso, temos: M = C.(1 + i.n) 23.490 = 21.750.(1 + i. 12 10 ) 750.21 490.23 = 1 + i. 12 10 1,08 – 1 = i. 12 10 0,08 = i. 12 10 i = 0,08 × 10 12 i = 0,096 = 9,6% ao ano. Resposta letra D. Considere que um título é descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 18% ao ano. Sabe-se que foi utilizada a operação de desconto racional simples e o valor presente do título foi igual a R$ 12.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título também é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 18% ao ano. Se para este outro título foi utilizada a operação de desconto comercial simples, então o valor presente deste outro título é de (A) R$ 24.830,00. (B) R$ 24.448,00. (C) R$ 23.435,70. (D) R$ 22.920,00. (E) R$ 23.951,40. Solução: Nessa questão, vamos começar calculando o valor nominal do primeiro título: Vn = Vl.(1 + i.n) Vn = 12.000.(1 + 12 18,0 × 3)
  • 6. Matemática Financeira e Estatística p/ TCE-SP Resolução da Prova Prof Marcos Piñon Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 8 Vn = 12.000.(1 + 0,045) Vn = 12.000.(1,045) Vn = 12.540 Agora, podemos encontrar o valor líquido do segundo título: Vl = Vn.(1 − i.n) Vl = 2 × 12.540.(1 − 12 18,0 × 3) Vl = 25.080.(1 − 0,045) Vl = 25.080.(0,955) Vl = 23.951,4 Resposta letra E.