O documento apresenta os conceitos de média aritmética, geométrica e harmônica entre números. Explica como calcular cada uma delas através de fórmulas e exemplos. Também aborda a média aritmética ponderada e relações entre as diferentes médias. Por fim, propõe exercícios para aplicar os conceitos apresentados.

1. Médias
1.0 - Média Aritmética ( M.A. )
Dados dois ou mais números, definimos média aritmética entre eles como sendo a razão entre a soma desses
números e a quantidade
deles.
Exemplo 1 - Determine a média aritmética entre 2 e 8
Aplicando a definição teremos :
M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 M.A. ( 2 e 8 ) = 5
Exemplo 2 - Determine a média aritmética entre 3 , 5 e 10 .
Aplicando a definição teremos :
M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 6
2.0 - Média Proporcional ou Geométrica ( M.G. )
Dados dois ou mais números, definimos média proporcional ou geométrica entre eles como sendo raiz cujo
radicando é o produto
entre esses números e o índice da raiz é a quantidade deles.
Exemplo 3 - Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8. Aplicando a definição teremos :
Exemplo 4 - Determine a média geométrica entre 1 , 2 e 4 . Aplicando a definição teremos :
Observação Importante 1 : O termo média proporcional deve ser , apenas, utilizado para a média geométrica
entre dois números.
3.0 - Média Harmônica ( M.H. )
Dados dois ou mais números, definimos média harmônica entre eles como sendo o inverso da média
aritmética entre os inversos
desses números.
Exemplo 5 - Determine a média harmônica entre 2 e 8. Aplicando a definição teremos :

2. Exemplo 6 - Determine a média harmônica entre 2 , 3 e 6 . Aplicando a definição teremos :
3.1 - Média Harmônica entre dois números ( M.H. )
Por meio de uma fórmula bastante simples podemos calcular diretamente a média harmônica entre dois
números.
A Média Harmônica entre dois , e somente entre dois números, é a razão entre o dobro do produto desses
números e a soma
deles.
Vejamos como chegamos a essa fórmula :
Sendo a e b esses números, teremos pela definição da média harmônica :
Exemplo 7 - Determine a média harmônica entre 4 e 10
Aplicando a fórmula anterior, teremos :
M.H. ( 4 e 10 ) = 2 x 4 x 10 / 4 + 10 M.H. ( 4 e 10 ) = 80 / 14 M.H. ( 4 e 10 ) = 5,71 ( aproximadamente )
11.5 - Relação entre as Médias Aritmética, Harmônica e Geométrica - As três médias que vimos anteriormente
podem ser
relacionadas por meio da relação :
A Média Geométrica entre dois , e somente entre dois números, é a Média Geométrica
entre a Média Aritmética e a Média Harmônica entre esses números.
Considerando :
2
Média Aritmética ( M.A. ) = a , Média Geométrica ( M.G. ) = g e Média Harmônica ( M.H. ) = h , teremos : g = a.h
Vejamos como chegamos a essa fórmula :
Observação Importante 2 : Quando afirmamos que um número m é média geométrica entre n e p, isso
significa que o quadrado de m

3. é igual ao produto entre n e p ( n.p )
Exemplo 7 - Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média
harmônica entre eles são,
respectivamente, iguais a 4 e 9.
2 2 2
Aplicando a relação : g = a.h , teremos : g = 4.9 g = 36 g=6 M.G. ( 4 , 9 ) = 6
4.0 - Média Aritmética Ponderada ( M.P. )
Uma média aritmética é definida como ponderada quando repetimos intencionalmente um ou mais números,
com o intuito de
"puxarmos" a média para "próximo" desse número.
Vejamos um exemplo de média aritmética ponderada :
Exemplo 8 - Um professor aplica a seus alunos, uma prova, um exame e um trabalho para casa e decide que a
nota de um aluno
será obtida pela média entre essas três notas. Entretanto, pretende valorizar a nota da prova mais que a nota
do exame e este
valorizar mais que a nota do trabalho de casa e para tal, resolve que irá tirar a média aritmética entre 5 notas
iguais à nota da
prova ( p ), 3 notas iguais à nota do exame ( e ) e 2 notas iguais ao trabalho de casa ( t ), dessa forma a média
aritmética será :
p + p + p + p + p + e + e + e + t + t / 10 ou então: 5p + 3e + 2t / 10
Supondo que as notas de um aluno tenham sido :
Prova = 3,0 , Exame = 6,0 e Trabalho = 8,0 e dessa forma, a nota do aluno seria :
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 8 + 8 / 10 ou então: 5.3 + 3.6 + 2.8 / 10 = 15 + 18 + 16 / 10 = 49 / 10 = 4,9
E assim : O aluno estaria reprovado
Notemos que se o professor decidisse tirar a média aritmética simples entre as três notas do aluno, o aluno
estaria aprovado já
que essa média seria :
Prova + Exame + trabalho / 3 = 3,0 + 6,0 + 8,0 / 3 = 5,67 ( aproximadamente )
Mas como ele "puxou" a média para mais perto da nota da prova ela se tornou igual a 4,9.
Na verdade o que o professor fez foi uma média aritmética ponderada onde cada repetição de notas passa a
se chamar peso -
ponderar significar dar peso , e nesse caso nosso problema seria assim descrito :
Exemplo 8a - Calcular a média ponderada entre 3 , 6 e 8 para os respectivos pesos 5 , 3 e 2 .
A Média Aritmética Ponderada entre dois ou mais números é a razão entre as somas dos produtos entre os
números por seus
respectivos pesos e a soma desses pesos.
E dessa forma teríamos : 3 x 5 + 6 x 3 + 8 x 2 / 5 + 3 + 2 = 15 + 18 + 16 / 10 = 49 / 10 = 4,9
Exemplo 9 - Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16
anos
de idade. Qual será a idade média dessa turma ?

4. Temos mais um exemplo de média ponderada, onde a quantidade de alunos serão os pesos. Assim teremos :
14 x 10 + 15 x 12 + 16 x 8 / 10 + 12 + 8 = 140 + 180 + 128 / 30 = 448 / 30 = 14,93 ( aproximadamente )
5.0 - Exercícios Resolvidos
R 01 - A média aritmética entre 5 números é 4,6. Qual será a nova média se aumentarmos cada número de sua
metade ?
Resolução : Se a média aritmética entre 5 números é 4,6, podemos escrever : M.A. = S5 / 5 = 4,6 S5 = 23
Como aumentamos cada número de sua metade, a nova soma desses cinco números será : S5 + S5/2 = 23 +
11,5 = 34,5 e
a nova média será : 34,5 / 5 = 6,9
Perceba que a nova média será , evidentemente, igual a média anterior mais a sua metade. S5 + S5/2 = 4,6 + 2,3
= 6,9
R 02 - A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média
aumente 2
unidades ?
Resolução : Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever :
Se multiplicarmos um deles por m , a nova média será :
e como x.y.z = 64 64.m = 216 m = 216/64 = 27/8
R 03 - Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada :
Profissionais Quantidade Salário
Serventes 20 profissionais R$ 320,00
Técnicos 10 profissionais R$ 840,00
Engenheiros 5 profissionais R$ 1.600,00
Resolução : Estamos diante de um problema de média aritmética ponderada, onde as quantidades de
profissionais serão os pesos.
E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos
pesos 20 , 10 e 5.
6.0 - Exercícios Propostos
I - Calcule a Média Aritmética entre os números :
01) 4 e 8,6 03) 12, 14 e 19
02) 1/2 , 1/3 , 1/4 e 1/5 04) 0,8; 1,4; 2,6 e 4,2

5. II - Calcule a Média Proporcional entre os números :
-1 -3
05) 3 e 48 06) 10 e 10
III - Calcule a Média Geométrica entre os números :
07) 2 e 50 09) 2/3 , 3 e 32
08) 0,001; 0,2 e 0,5 10) 3, 6 , 8 e 9
IV - Calcule a Média Harmônica entre os números :
11) 8 e 12 13) 12 e 20
12) 1/5 , 1/7 e 1/15 14) 4, 6, 8 e 12
V - Calcule a Média Aritmética Ponderada entre :
15) 6 e 8 para os respectivos pesos 1,5 e 3,5
16) 8,5; 7,0 e 9 para os respectivos pesos 2, 3, e 5
17) 7, 6, 10 e 8 para os respectivos pesos 3, 3, 2, e 2
18) Em que condições ma , mg e mh são iguais ?
19) A média aritmética de 5 números é 13,4. Quanto preciso adicionar a cada um deles para que a nova média
seja igual a 14,2
20) A média aritmética de 7 números é 20,4. Que número preciso acrescentar para que a nova média aritmética
seja igual a 21.
21) A média aritmética entre três múltiplos consecutivos de 6 é igual a 24. Calcular o maior desses múltiplos
de 6 .
22) No Colégio Sensação existem duas sextas séries ; uma turma de manhã e uma turma a tarde. A média
aritmética das notas
em matemática da sexta série manhã é de 4,6 e da sexta série tarde é de 5,2. Qual será a média das notas em
matemática de
toda a sexta série do Colégio Sensação ?
23) A média aritmética das idades de 5 meninas é de 14 anos. Quantos meninos com 17 anos de idades serão
necessários para
que a média de todo o grupo se torne igual a 16 anos ?
24) A idade média do corpo docente de um colégio é de 38 anos. Com a aposentadoria do professor Baltazar,
o mais velho deles,
a nova média das idades dos 11 professores restantes passou a ser de 35 anos. Com que idade se aposentou
o professor Baltazar ?
25) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m. Ainda no
primeiro tempo, um
desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar,entrou um outro que media 1,68 m de
altura. No segundo tempo,
outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 10
jogadores desse time
era:
A) 1,69 m B) 1,70 m C) 1,71 m D) 1,72 m