matematica

2. Estatística
O que é:
É a ciência que coleta, organiza e
interpreta dados colhidos entre um grupo
aleatório de pessoas.
Divisão da estatística:
Estatística geral
Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a
todas as fases do estudo dos fenômenos
de massa. A estatística geral ainda pode
ser dividida em dois subgrupos:
1. Estatística descritiva
Diz respeito à coleta, organização,
classificação, apresentação e descrição
dos dados a serem observados.
2. Estatística indutiva
Visa tirar conclusões sobre a população a
partir de amostras. Refere-se à maneira
de estabelecer conclusões para toda uma
população observando apenas parte
dela.
Conceitos:
População
É todo o conjunto de elementos que
possuam ao menos uma característica
comum observável.
Amostra
É uma parte da população que será
avaliada por um critério comum.
Dados estatísticos
São os valores associados às variáveis
de pesquisas.

3. Frequências
1. O número de vezes em que a variável
ocorre é chamado frequência absoluta e
é indicado por ni
2. Definimos frequência relativa ( fi
)
como a razão entre a frequência
absoluta (ni
) e o número total de
observações (n) , ou seja:
n
n
f i
i 

4. Velocidade Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
9
6
3
O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os
motoristas foram multados em uma determinada via municipal.
2
20
72 63 78 61 92 83 67 65 79 65
74 89 96 74 63 87 64 75 68 68
45%
30%
15%
10%
9
15
18
20
45%
75%
90%
100%

5. Velocidade Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
9
6
3
Com base na tabela, responda:
2
20
45%
30%
15%
10%
9
15
18
20
45%
75%
90%
100%
a) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade de 80km/h a 90km/h?
b) Qual é o percentual de Motoristas
multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?
c) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade abaixo de 90km/h?
d) Qual o percentual de Motoristas multados
com uma velocidade abaixo de 80km/h?
3
30%
18
75%

6. Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)
Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as
atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado
foi o seguinte:
Atividade
Esportiva
Nº de alunos
Freqüência
Absoluta
Freqüencia
relativa
Voleibol 80 20%
Basquetebol 120 30%
Futebol 160 40%
Natação 40 10%
Total 400 100%

7. Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
20%
30%
40%
10%
Volei
Basquete
futebol
natação

8. Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
20,00%
30,00%
40,00%
10,00%
volei
basquete
futebol
natação
144°
108°
72°
36°

9. (PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a
prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa
deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato
recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse
candidato?
a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°
1500 360o
350 xo
x = 84°

10. Médias
Média Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da
variável pelo número deles:
n
x
...
x
x
x n
2
1 



Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção
média da semana:
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14
7 7

11. Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as
duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com
notas 70, 75 e 90 terá média final:
Média Aritmética
Ponderada
(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para
seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro
das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada
igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota
obtida por esse aluno na prova IV foi:
7,3
2
2
3
2
1
2.(6,2)
2.x
3.(7,5)
2.(7,3)
1.(6,5)









 56 + 2x = 73  x = 8,5

12. Média Geométrica
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra
n
n
2
1 ......x
.x
x
x 
6
6.4.9
x 3


Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:
6
3.12
h 


13. Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um
mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal
de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um
salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores
correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.
1,128741
3 2).(1,07)
(1,2).(1,1
x 

Salário Final
7%
12%
20%
R$100,00
% de
aumento
Salário
Inicial
R$120,00
R$120,00 R$134,4
R$134,4 R$143,08
Salário Final
12,8741%
R$100,00
% de
aumento
Salário
Inicial
R$112,8741
R$112,8741 R$127,4056245
12,8741%
12,8741%
R$127,4056245 R$143,08
Percentual médio de aumento: 12,8741%

14. Média Harmônica
Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.
Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.
108
19
3
36
19
3
9
1
4
1
6
1




Média aritmética dos inversos:
Inverso da Média aritmética dos inversos: 5,68
19
108

A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do
candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em
todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:

15. Outros Conceitos
•Rol
Consiste na organização dos dados em
ordem crescente.
Exemplo: Notas obtidas em uma prova de
matemática no primeiro ano do ensino
médio:
E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
Mediana (Md)
É o valor que ocupa a posição central
de um conjunto de dados ordenados.
Exemplo: Determine a mediana do
Rol abaixo:
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
7 elementos
7 elementos
Como o elemento 4 ocupa a posição central,
dizemos que ele é a mediana dos dados
coletados acima.
IMPORTANTE!!!!
Caso o número de elementos do Rol for
par, calculamos a mediana pela média
aritmética dos dois elementos centrais.
Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior frequência em
um conjunto de dados.
Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício
anterior, posto que aparece três vezes no Rol.

16. Desafio!!!
(Fuvest – SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a
nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram
reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos
aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia
sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a
média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8.
72,2
20
12.(77)
8.(65)
Média 


a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras.
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram
nota para aprovação?
Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 =
77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento,
aprovar.Assim:
x = 3