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ESTÁTISTICA CONTINUAÇÃO
   ∗ MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
     Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza

o grupo todo.

     Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só

temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período.

     Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas

uma nota seu aproveitamento no bimestre.

     Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números

usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela, vamos

estudar também moda e a mediana.

                Média aritmética (MA)
     Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:
                                        22 + 20 + 21 + 24 + 20 107
                                 MA =                         =    = 21,4 anos
                                                  5             5
     Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos.

     Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram – se 14°C às 6h,

15°C às 7h, 15°C às 8h, 18°C às 9h, 20°C às 10h e 23°C às 11h, observamos que:

                                       14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 105
                                MA =                              =    = 17,5°C
                                                    6               6
     Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi 17,5°C.

     Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores x1 + x2 + x3 + ... + xn de uma

variável, a média aritmética é o número obtido da seguinte forma:

                                                  x1 + x2 + x3 + ... + x n
                                           MA =
                                                            n
     Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa

maneira, para obter a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11, observamos que:

                                        3.7 + 5.9 + 2.11 21 + 45 + 22 88
                                MA =                    =            =    = 8 ,8
                                            3+5+2             10       10
     Dizemos, então que a média aritmética dos números 7, 9, 11, com frequência 3, 5 e 2,

respectivamente.

     Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com

graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso2), 7,0 na

pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que neste

caso é chamada média aritmética ponderada, será:
2.6,5 + 3.7,0 + 1.6,0 + 2.7,0 13 + 21 + 6 + 14 54
                           MP =                                 =                =   = 6,75
                                           2+ 3+1+ 2                    8          8
      A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio

de um único número, dar uma idéia das características de determinado grupo de números. No entanto, é

importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor maior ou bem menor do que os

demais faz com que a média aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

      Consideremos, por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média de

idade, que é 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como

esse são usadas outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana.

               Moda (Mo)
      Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um

grupo de valores observados.

      No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é anos (Mo=2) e

demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a média aritmética.

      Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14°C, 15°C,

15°C, 18°C, 20°C e 25°C, então dizemos que nesse período a moda foi 15°C, ou seja, Mo=15°C.

      No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à

escola e cujos registros foram 15 mim, 14 mim, 18 mim, 15 mim, 14 mim, 25 mim, 16 mim, 15 mim, 15 mim,

e 16 mim, a moda é 15 mim, ou seja, Mo = 15 mim.

      Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e

que a distribuição é bimodal.

      Observação: Quando não há repetição de número, como, por exemplo, para os números 7, 9,

4, 5 e 8, não há moda.

               Mediana (Me)
      A mediana é outra medida de tendência central.

      Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:

                   O número que ocupar a posição central se n for ímpar;

                   A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

      Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0,

2, 3, 4 e 7.

      Em ordem crescente, temos:

      0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

          7 valores               7 valores

                           Me
Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8º.

     Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me=3.

     As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.

     Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente (ou

decrescente):

     12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

                  As duas

                  posições centrais

     Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que

são o 4º e o 5º termo.

     Logo, a mediana é dada por:

                                                   14 + 16 30
                                            Me =          =   = 15
                                                      2     2
     Simbolicamente, Me = 15anos.

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Estátistica parte 2

  • 1. ESTÁTISTICA CONTINUAÇÃO ∗ MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo. Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período. Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota seu aproveitamento no bimestre. Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela, vamos estudar também moda e a mediana. Média aritmética (MA) Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que: 22 + 20 + 21 + 24 + 20 107 MA = = = 21,4 anos 5 5 Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos. Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram – se 14°C às 6h, 15°C às 7h, 15°C às 8h, 18°C às 9h, 20°C às 10h e 23°C às 11h, observamos que: 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 105 MA = = = 17,5°C 6 6 Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi 17,5°C. Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores x1 + x2 + x3 + ... + xn de uma variável, a média aritmética é o número obtido da seguinte forma: x1 + x2 + x3 + ... + x n MA = n Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa maneira, para obter a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11, observamos que: 3.7 + 5.9 + 2.11 21 + 45 + 22 88 MA = = = = 8 ,8 3+5+2 10 10 Dizemos, então que a média aritmética dos números 7, 9, 11, com frequência 3, 5 e 2, respectivamente. Vejamos, agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que neste caso é chamada média aritmética ponderada, será:
  • 2. 2.6,5 + 3.7,0 + 1.6,0 + 2.7,0 13 + 21 + 6 + 14 54 MP = = = = 6,75 2+ 3+1+ 2 8 8 A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio de um único número, dar uma idéia das características de determinado grupo de números. No entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor maior ou bem menor do que os demais faz com que a média aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo. Consideremos, por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média de idade, que é 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como esse são usadas outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana. Moda (Mo) Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um grupo de valores observados. No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é anos (Mo=2) e demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a média aritmética. Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14°C, 15°C, 15°C, 18°C, 20°C e 25°C, então dizemos que nesse período a moda foi 15°C, ou seja, Mo=15°C. No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos registros foram 15 mim, 14 mim, 18 mim, 15 mim, 14 mim, 25 mim, 16 mim, 15 mim, 15 mim, e 16 mim, a moda é 15 mim, ou seja, Mo = 15 mim. Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal. Observação: Quando não há repetição de número, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda. Mediana (Me) A mediana é outra medida de tendência central. Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será: O número que ocupar a posição central se n for ímpar; A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par. Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescente, temos: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 7 valores 7 valores Me
  • 3. Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8º. Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me=3. As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos. Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente (ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 As duas posições centrais Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termo. Logo, a mediana é dada por: 14 + 16 30 Me = = = 15 2 2 Simbolicamente, Me = 15anos.