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MÉDIA ARITMÉTICA

     Agora é pra valer! Todos bem? Vamos iniciando hoje as Medidas de
Posição! Se uma prova de Estatística tiver apenas uma questão, há imensa
chance de ela versar sobre este assunto. Portanto, nem preciso falar da
importância desta aula, e das seguintes! Adiante!

     A Média é a mais importante das Medidas de Posição e saber calculá-
la é simplesmente essencial para qualquer prova de Estatística.

     Quando a questão pedir que se calcule a Média, simplesmente isso,
estaremos tratando da Média Aritmética. Na verdade, há outros dois tipos
de Média: a Geométrica e a Harmônica. Como estas duas últimas costumam
ser quase sempre ignoradas nas provas, embora presentes no programas dos
editais, as explicaremos mais adiante, em uma aula à parte.

         Média para o Rol:
     Caso a questão da prova nos forneça os dados do conjunto dispostos
em forma de um rol, utilizaremos para o cálculo da Média a seguinte
fórmula:

                                      ∑ Xi 
                                  X =      
                                      n 
                                           

     Para   quem   não  está  familiarizado,  o   símbolo  Σ  significa
“somatório”, entendendo-se que teremos que somar o que estiver disposto
após ele. No nosso caso, ΣXi nos indica que somaremos os elementos (Xi)
do rol. Conforme o restante da fórmula, em seguida, dividiremos o
resultado desta soma pelo número de elementos do conjunto, o nosso “n”.
Vejamos um exemplo!

Calcule a média aritmética do conjunto abaixo:

           {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

     Não há nenhuma dificuldade em se constatar que o conjunto foi
apresentado sob a forma de um rol. Aliás, temos uma aula passada – o
Ponto nº07 – em que falamos das formas de apresentação dos dados! Daí,
identificado o rol, resta apenas aplicarmos a fórmula:

Sol.:   X = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13)           →   X = 49   → X= 7
                           7                                7

     Facílimo, não? Pena que não sejam tão freqüentes questões assim...
só bem raramente!


        Média para Dados Tabulados:

     Quando o conjunto nos for apresentado sob a forma de Dados
Tabulados Não Agrupados em Classes (vide Ponto nº07!), nossa Média será
calculada pela seguinte fórmula:

                                     ∑ Xi ⋅ fi 
                                 X =           
                                       n       
                                               

                                                                     Página 1 de 14
Observemos que, neste caso, para chegarmos ao somatório dos
elementos do conjunto, será preciso construirmos a coluna “Xi.fi”, e
depois obtermos sua soma. Vejamos um exemplo.
Calcular a média aritmética dos dados do conjunto abaixo:

                               Xi           fi
                                4            1
                                5            5
                                6            6
                                7            5
                                8            3
                                           n=20

     Como primeiro passo construiremos a coluna Xi.fi! Obtendo o
somatório desta coluna, precisaremos apenas dividi-lo pelo número total
de     elementos n. Observemos que o n – número de elementos do conjunto
– será calculado pela soma da coluna da freqüência absoluta simples – fi.

     Ou seja, n = ∑fi . Isso será sempre assim, ou seja, sempre que os
dados do conjunto vierem apresentados em uma tabela – ou dados tabulados,
ou distribuição de freqüências – o “n” será o somatório da coluna fi.

Daí, teremos:

                         Xi          fi            Xi.fi
                          4           1            4x1=4
                          5           5           5x5=25
                          6           6           6x6=36
                          7           5           7x5=35
                          8           3           8x3=24
                        Soma         20             124

E, finalmente:       X = (124 / 20)         →       X = 6,2



        Média para Distribuição de Freqüências:

     Aqui nossa atenção deve ser redobrada! E por uma razão muito
simples: a grande e considerável maioria das questões de prova que pedem
o cálculo da Média costuma apresentar o conjunto sob a forma de uma
Distribuição de Freqüências. Logo, é quase certo nos depararmos com essa
situação, na qual teremos que utilizar, para determinação da Média, a
seguinte fórmula:

                                   ∑ PM . fi 
                               X =           
                                      n      
                                             

     Comecemos a juntar as peças do quebra-cabeça: no Ponto nº07 vimos
que o que diferencia os Dados Tabulados da Distribuição de Freqüências é
o fato de que nos Dados Tabulados os elementos aparecem individualizados
(Xi) e na Distribuição de Freqüências aparecem em classes. Logo, na
fórmula da média para “Distribuição” não vai aparecer o Xi – elemento
individualizado. Em seu lugar, deve aparecer um elemento que represente a
classe. Aí nos lembramos de uma observação feita no Ponto n.º03, quando
tratamos dos elementos da Distribuição de Freqüências, e veremos o que

                                                                Página 2 de 14
foi dito: o Ponto Médio é o legítimo representativo de uma classe, ou
seja, é o elemento que melhor representa cada classe!
     Daí, para chegarmos à fórmula da Média para a Distribuição de
Freqüências, repete-se a fórmula que usamos para Dados Tabulados, e
trocamos Xi (elemento individualizado) pelo Ponto Médio – PM – elemento
representativo da classe! Vejamos o exemplo abaixo.

Exemplo: Calcular a média aritmética dos dados abaixo:

                                         Xi          fi
                                    2   !---   4      3
                                    4   !---   6      5
                                    6   !---   8     10
                                    8   !---   10     5
                                   10   !---   12     3
                                                    n=26

     Teremos aqui de criar mais duas colunas para encontrar a solução: a
primeira será a coluna dos Pontos Médios e a segunda será a do
produto (PM . fi)!

Daí, teremos:

                        Xi              fi          PM       PM.fi
                   2   !---   4          3           3         9
                   4   !---   6          5           5        25
                   6   !---   8         10           7        70
                   8   !---   10         5           9        45
                  10   !---   12         3          11        33
                       Soma             26                    182

E, finalmente:          X = 182 / 26            →        X = 7,00


     Este cálculo que fizemos acima, ou seja, a fórmula que utilizamos
para determinar a Média da Distribuição de Freqüências consiste no que
chamaremos de Cálculo Convencional da Média Aritmética. Todavia, existe
uma outra forma de se achar esta medida, e que pode se tornar uma
resolução mais rápida e, portanto, mais conveniente!

     Este método alternativo, na verdade, é o que utilizaremos na nossa
prova! Trabalharemos, nesta nova forma de calcular a média, com a chamada
Variável Transformada! Para entendermos este novo método, precisamos
antes conhecer algumas propriedades da Média Aritmética. Vamos a elas!

# Propriedades da Média Aritmética:

     São várias as propriedades da Média! Aprenderemos agora duas delas,
necessárias para utilizarmos, na seqüência, o cálculo da Média pela
Variável Transformada:

     1ª Propriedade) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer
somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou
subtraída desta constante.

    Toda atenção a esta propriedade! Nós a chamaremos de Propriedade da
Soma e Subtração. Precisaremos dela tanto para marcar uma questão
teórica, quanto para resolver uma questão de cálculo. E é bem simples.
Vejamos um exemplo:
                                                                     Página 3 de 14
Consideremos o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja Média será calculada
da seguinte maneira:
     X = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5      →   E:    X = 15 / 5      →       X =
3

  Agora, se a cada elemento Xi deste conjunto original A somarmos a
constante k=5, por exemplo, passaremos a dispor do conjunto B, dado por:

    B= {6, 7, 8, 9, 10}. Se formos calcular a Média deste novo conjunto
B, teremos:

     X = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 5     →    E:   X = 40 / 5      →       X =
8

     Ora, em vez de calcularmos a Média do grupo B, poderíamos
simplesmente aplicar a propriedade da Soma e Subtração!
     Se a Média do conjunto original é igual a 3, e apenas somamos todos
os elementos deste conjunto a uma constante, usando a propriedade, a nova
Média, ou seja, a Média do novo conjunto será a Média do conjunto
original somada a esta mesma constante. Teremos:

Média de B = Média de A + constante

Média de B = 3 + 5 = 8

     Uma aplicação prática desta propriedade ocorreu na prova de Fiscal
da Receita de 1996, quando o enunciado trazia uma Distribuição de
Freqüências, e dizia que os elementos ali dispostos seriam as idades dos
funcionários de uma empresa na data de 01/01/1990. Na primeira questão,
pedia-se o cálculo da Média. Até aqui tudo bem! Acontece que na quarta
questão, o enunciado iria falar que seis anos depois, ou seja, em
01/01/1996, o quadro de pessoal da empresa se mantinha o mesmo, as mesmas
pessoas, e se pedia então que se calculasse a nova média do conjunto.
     Bem criativa esta questão (a resolveremos oportunamente), e muito
fácil também! Bastava que se percebesse o seguinte: se o conjunto
original trazia uma série de idades em uma data, e o novo conjunto trazia
as idades destas mesmas pessoas seis anos mais tarde, é lógico que as
novas idades são as idades originais somadas a seis! Claro: daqui a seis
anos todos teremos a idade de hoje adicionada a seis. Daí, era só aplicar
a propriedade!
     Como a Média do conjunto original, das idades em 1990, já tinha
sido calculada na primeira questão, restava apenas tomar este valor e
somar mais seis! E chegava-se à nova resposta! Uma questão de graça...
para quem conhecia a propriedade!
     Agora há pouco, chamamos a atenção para o fato de que a fórmula que
apresentamos para o cálculo da Média era a do cálculo convencional. E que
iríamos em breve conhecer o método da Variável Transformada. Pois bem,
para usarmos esta nova forma de determinar a Média, como veremos logo a
seguir, teremos que aplicar também esta Propriedade da Soma e da
Subtração, além da próxima,que se segue.

      2ª Propriedade) Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer
for multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará
multiplicada ou dividida por esta constante.

     Tão importante quanto a anterior, chamaremos esta de Propriedade do
Produto e da Divisão. É a correspondente da Propriedade da Soma e

                                                                Página 4 de 14
Subtração, só que para as operações de multiplicação e divisão. Vejamos
um exemplo:




    Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja média já conhecemos do
exemplo anterior: X =3. Agora, suponhamos que a cada elemento do
conjunto multipliquemos a constante k=5. Passaremos a ter o novo conjunto
B = {5, 10, 15, 20, 25}. Se formos calcular a média deste novo conjunto
B, faremos:

X    = (5 + 10 + 15 + 20 + 25) / 5    E:    X = 75 / 5     →     X = 15

     Ora, poderíamos simplesmente usando a propriedade do Produto e da
Divisão, chegarmos ao mesmo resultado. Se a média do conjunto original é
igual 3, e cada um desses elementos foi multiplicado pela constante 5,
então a nova média (do novo conjunto) será a média anterior, também
multiplicada pela constante. Ou seja:

Média de B = (Média de A) x (constante)

Média de B = 3 x 5 = 15


# Cálculo da Média pela Variável Transformada:

     Já dispomos do necessário para aprendermos o cálculo da Média pela
utilização da Variável Transformada. Já conhecemos a forma convencional
de se calcular a Média, pela mera aplicação da fórmula. Todavia, como já
foi dito, as últimas provas, sobretudo da ESAF, têm trazido enunciados
que tornariam a resolução da questão mais rápida e mais prática se
utilizarmos uma outra saída, que é justamente o trabalho com a chamada
Variável Transformada.
     E o que é a variável transformada? Ora, quando a questão apresenta
o conjunto original, seja em forma de um rol, ou Dados Tabulados ou de
uma Distribuição de Freqüências, estes dados correspondem, obviamente, à
Variável Original. Agora, se com cada elemento deste conjunto original,
fizermos uma ou mais de uma operação – seja de soma, subtração, produto
ou divisão – deixaremos então de trabalhar com a variável original e
passaremos a trabalhar com a variável transformada. Portanto, diremos que
“a variável original foi transformada” por meio de operações a que foram
submetidos todos os elementos do conjunto original.
     Entenderemos melhor esta explicação por meio de exemplos. Senão,
vejamos o seguinte. Consideremos o conjunto abaixo:

                         Xi           fi           PM
                    0   |---   10      9           5
                   10   |---   20     15           15
                   20   |---   30     28           25
                   30   |---   40     17           35
                   40   |---   50     11           45
                                     n=80

     Trata-se, obviamente, de uma Distribuição de Freqüências, em que
foi fornecida a variável original Xi, cujos elementos estão dispostos nas
classes. Se esta questão pedisse o cálculo da Média, poderíamos encontrá-
la pela mera aplicação da fórmula abaixo:

                                                                Página 5 de 14
 ∑ PM . fi 
                                X =           
                                       n      
                                              

     Isso seria o que chamamos de cálculo convencional da Média. Para
este cálculo, teríamos que construir a coluna do numerador, ou seja:
(PM.fi). É o próximo passo:

                 Xi             fi                 PM             PM.fi
            0   |---   10       9                  5                45
           10   |---   20       15                 15              225
           20   |---   30       28                 25              700
           30   |---   40       17                 35              595
           40   |---   50       11                 45              495
                               n=80                               Σ=2060

     Daí, teríamos que:     X = (2060 / 80)             E: X = 25,75

     Observemos que as contas que fomos obrigados a fazer na construção
desta coluna (PM.fi) são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante mais
demoradas, sobretudo se as classes tivessem como Pontos Médios valores
não-inteiros, ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com freqüência
nas provas de concursos.
     Aí é que entra a Variável Transformada! Iremos, portanto, construir
uma nova coluna, que será a coluna da transformação da variável original.
Criaremos esta coluna logo após a coluna dos Pontos Médios.

     Para construir a coluna da transformação, poderemos usar sempre a
seguinte sugestão:
     i)    No numerador, fazer PM subtraído do primeiro Ponto Médio (o PM
           da primeira classe); e
     ii) Dividir o resultado pela Amplitude da Classe, o h.

     Só isso! Vejamos na prática          como      ficaria   a    nossa   coluna    da
transformação deste nosso exemplo:

                Xi             fi             PM              (PM – 5)
                                                                 10
           0   |---   10       9              5                  0
          10   |---   20       15             15                 1
          20   |---   30       28             25                 2
          30   |---   40       17             35                 3
          40   |---   50       11             45                 4
                              n=80

     Vejamos que a coluna (PM – 5)/10 é exatamente aquilo que sugerimos
acima: no numerador,(PM – 5) é justamente a subtração dos Pontos Médios
pelo primeiro PM (que é 5); e depois dividimos por 10, que é a amplitude
da classe.
     Observe que, sempre que construirmos uma coluna de transformação da
variável original por meio desta sugestão apresentada acima, teremos como
resultado os mesmos valores: uma seqüência dos números inteiros,
iniciando pelo zero!
     Feito isto, temos agora que “batizar” a coluna que acabamos de
construir! Ora, neste momento já não mais estamos com a variável original
Xi! Acabamos de transformá-la em uma outra variável! Desse modo,


                                                                           Página 6 de 14
poderemos chamar a nova variável por uma outra letra, Yi por exemplo. Ou
Wi, ou Zi... fica a gosto do freguês!
     Neste nosso exercício, chamaremos a nova variável de Yi. E o
próximo passo será calcular a Média da Variável Transformada! Aqui, a
nossa fórmula original (aquela do cálculo convencional!) sofrerá uma
pequena variação. Vejamos:
     Quando trabalhávamos com a variável original, tínhamos a seguinte
fórmula:

                                          ∑ PM . fi 
                                      X =           
                                             n      
                                                    

     Agora, que estamos            trabalhando     com    a   nova   variável   Yi,   nossa
fórmula será dada por:

                                           ∑ Yi ⋅ fi 
                                       Y =           
                                             n       
                                                     

     Observemos que a alteração é mesmo intuitiva: em lugar do Ponto
Médio (que representava a variável original Xi) usaremos o Yi, que
representa a variável transformada! Perceberemos, agora, como é bem mais
fácil construir a coluna (Yi.fi). Senão, vejamos:

                Xi           fi          PM        (PM – 5) = Yi        Yi.fi
                                                      10
           0   |---   10     9           5               0                0
          10   |---   20     15          15              1               15
          20   |---   30     28          25              2               56
          30   |---   40     17          35              3               51
          40   |---   50     11          45              4               44
                            n=80                                         166

     Calculada a coluna (Yi.fi), o próximo passo é encontrar o valor da
Y . Teremos que:

                     Y     = (166 / 80)           E: Y = 2,075

     Ora, a questão quer saber o valor da Média da variável original Xi,
e não a Média desta variável transformada que acabamos de achar. Então,
precisamos usar as propriedades da Média (de Soma e Subtração, e de
Produto e Divisão), que acabamos de aprender, para chegarmos ao valor que
procuramos.

     Vamos reconstruir o caminho que usamos para sair da variável
original Xi e chegar à variável transformada Yi: Caminho de Ida! Basta
olhar para a coluna de transformação, e vermos o que foi feito com o PM
(que representa a variável original)!


Variável Original Xi       1.º) (–5)           2.º) (÷10)        Variável Transformada Yi


     E agora, invertendo o caminho de ida – da variável original para a
transformada –, construiremos o caminho de volta, ou seja, aquele que nos
trará da variável transformada – Yi – para a variável original – Xi.

                                                                                Página 7 de 14
Basta usar as operações inversas às do caminho de ida. Vejamos o Caminho
de Volta:


Variável Transformada   Yi         1.º)(x10)         2.º)(+5)      Variável Original Xi




     Observemos que a primeira operação do Caminho de Volta é o inverso
da última operação do Caminho de Ida, e vice-versa. Ou seja, onde termina
um caminho, começa o outro. Bem, usaremos agora apenas o Caminho de
Volta, para descobrirmos o valor da Média da variável original.
     Ora, sabemos que a média da variável transformada é Y = 2,075.
Daí, percorremos o Caminho de Volta, aplicando as propriedades da Média.
Vejamos:

     A primeira operação do Caminho de Volta é um produto:(x10).
Perguntamos: a Média é influenciada pela multiplicação? Sim, conforme
aprendemos na propriedade! Daí, nossa Média passa a ser:

                                   2,075 x 10 = 20,75

     A segunda operação do caminho de volta é uma soma:(+5). Novamente a
pergunta: a Média sofre influência de operações de soma? Sim, também de
acordo com a propriedade da Média! Daí, tomando nosso último resultado,
faremos:

                                   20,75 + 5 = 25,75 = X

     Chegamos, portanto, ao valor da nossa média da variável original,
usando o método da Variável Transformada!


     Em suma, os passos deste método, do Cálculo da Média pela Variável
Transformada, são os seguintes:

   1) Construir a coluna da variável transformada                   (aqui   chamada    Yi),
      seguindo a sugestão que apresentamos;

   2) Construir a coluna (Yi.fi) e calcular o seu somatório;


   3) Encontrar   o   valor       da   Média   da   Variável    Transformada,   usando      a
                   ∑ Yi ⋅ fi 
      fórmula Y =            
                     n       
                             

   4) Descrever, a partir do Caminho de Ida, da variável original para a
      transformada, o caminho inverso, ou seja, o Caminho de Volta, que
      usaremos para achar a nossa resposta!


   5) Seguindo, então, esse Caminho de Volta, calcularemos a Média da
      Variável Original, seguindo as propriedades, e lembrando-nos que a
      Média é influenciada pelas quatro operações (soma, subtração,
      produto e divisão).


                                                                                Página 8 de 14
Talvez, a primeira impressão deste método da Variável Transformada
seja a de um procedimento trabalhoso, ou complexo. Mas, ao contrário do
que possa parecer, trabalhar com a Variável Transformada é, na maioria
das vezes, a maneira mais prática de se chegar ao valor da Média. Isso se
torna mais verdade ainda se o próprio enunciado já trouxer construída a
coluna de transformação da variável original. Foi o que ocorreu, por
exemplo, na prova de 1996 do AFRF, transcrita a seguir:



(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes
dados:
                DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
                 FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
  Classes de   Freqüências Pontos  PM − 37      di.fi di2.fi di3.fi di4.fi
    Idades        (fi)     Médios          = di
    (anos)                  (PM)
                                      5
19,5    !---   24,5     2           22              -3          -6         18     -54         162
24,5    !---   29,5     9           27              -2          -18        36     -72         144
29,5    !---   34,5     23          32              -1          -23        23     -23          23
34,5    !---   39,5     29          37              ---         ---       ---     ---         ---
39,5    !---   44,5     18          42               1          18         18      18          18
44,5    !---   49,5     12          47               2          24         48      96         192
49,5    !---   54,5     7           52               3          21         63     189         567
       Total          n=100                                     16        206     154        1106

     Observemos que a quarta coluna, fornecida pelo enunciado na
Distribuição   de  Freqüências,   foi   justamente  aquela   que  fez   a
transformação da variável original. Desta forma, esta transformação
ocorreu por meio de duas operações: a primeira, a subtração dos Pontos
Médios por 37; a segunda, a divisão por 5. Logo, este foi o caminho que o
enunciado escolheu para transformar a variável original na variável
transformada, que foi aqui chamada de “di”.

       Logo, o nosso Caminho de Ida será:

Variável Original Xi          1.º)(– 37)           2.º)(÷5)         Variável Transformada di


       Faremos agora o Caminho de Volta:

Variável Transformada     di       1.º)(x5)             2.º)(+37)      Variável Original Xi


     Calcularemos aqui a Média da variável transformada – di – usando a
fórmula alterada, que neste caso será:

                                         ∑ di ⋅ fi 
                                   di =            
                                           n       
                                                   

     Observemos que a distribuição de freqüências fornecida pela prova
já trazia, na coluna seguinte, os valores de (di.fi) e o somatório desta
coluna, que será utilizado no numerador, como se segue:

               di = 16 / 100         E:         di = 0,16




                                                                                   Página 9 de 14
Finalmente, percorrendo o Caminho de Volta com o valor da Média da
Variável Transformada, lembrando-nos de que a Média é influenciada pelas
quatro operações, chegaremos ao seguinte:

     0,16 x 5 = 0,8      E: 0,8 + 37 = 37,8 = X      Resposta da Questão!

     Para fazer o serviço completo, essa questão acima é exatamente
aquela a qual eu me referi quando explicava a Propriedade da Soma e da
Subtração, para a Média! Estão lembrados? A Média que acabamos de
calcular dizia respeito à idade dos funcionários da empresa em
01/01/1990. Na seqüência, em uma questão posterior, o enunciado falava
que estávamos agora em 01/01/1996, ou seja, seis anos após!
     E pedia a nova média das idades daquele mesmo grupo de pessoas!
Moleza pura! Só tínhamos que aplicar a Propriedade da Soma e Subtração e
pensar: se se passaram 6 anos, isso quer dizer que cada elemento do
conjunto original foi somado à constante 6. Daí, a nova média será a
média anterior, somada também a 6. Logo:

     X (em 01/01/1996) = X (em 01/01/1990) + 6

Daí: X (em 01/01/1996) = 37,8 + 6        E:   X (em 01/01/1996)= 43,8
Resposta!


ATENÇÃO: Talvez esteja surgindo a seguinte dúvida: dissemos acima que na
hora de construirmos a coluna de transformação, o procedimento sugerido
seria dividir PM pelo valor do primeiro Ponto Médio, para, em seguida,
dividir este resultado pela amplitude da classe, h. Certo? Porém, na
questão acima, o próprio enunciado já trouxe uma coluna de transformação
construída, só que de uma outra forma, diferente do que sugerimos! E aí?
Ora, os passos que indicamos para chegarmos à coluna de transformação é
uma sugestão, que eu recomendo que seja aceita, quando nós tivermos que
construir essa coluna! Todavia, se o próprio enunciado já trouxer uma
coluna de transformação toda pronta, seja ela como for, então não teremos
mais de nos preocupar em construir uma outra coluna! Resumindo:
aceitaremos sempre a coluna de transformação fornecida pelo enunciado;
quando isso não acontecer, a construiremos adotando a sugestão por nós
ensinada! Só isso!

                           -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

     Eu sou até capaz de apostar que tem muita gente aí pensando o
seguinte: “...esse cara tá é doido se acha que eu vou perder tempo
aprendendo essa tal de variável transformada!... vou é usar a minha
formulazinha do cálculo convencional, e pronto... o resultado é o mesmo!”
     Aí eu respondo dizendo que: “Tudo bem! A resposta, de fato, será a
mesma! Então, façamos o seguinte: só precisa aprender a Variável
Transformada quem quiser passar no concurso, ok?”
     Na verdade, o que eu quero dizer é que as provas da ESAF não nos
têm deixado muita escolha! Inúmeros alunos saem da prova dizendo que não
houve tempo suficiente para as questões de Estatística, o que (me perdoem
falar) não é verdade! A prova é feita para quem usar todos os artifícios
necessários para economizar o tempo! A Variável Transformada é, talvez, o
mais importante desses artifícios!
     Então, coloquemos uma coisa na cabeça: é muito fácil trabalhar com
a Variável Transformada, e ganhar velocidade com essa técnica é apenas
uma questão de tempo e de TREINO!! Portanto, na seqüência, colocarei umas
questões de concurso (já bem conhecidas nossas!), além de outras que
                                                               Página 10 de 14
inventarei, apenas para nos dar velocidade e prática com a variável
transformada, ok?


                                  EXERCÍCIOS DE HOJE

Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da
Média Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada.

Observação: aproveite o ensejo e refaça, quando necessário, todo aquele
trabalho com as colunas de freqüência, para chegar à freqüência absoluta
simples!!



01. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                            Xi                  fi
                        0 !--- 10                3
                       10 !--- 20                5
                       20 !--- 30                8
                       30 !--- 40                4
                       40 !--- 50                2


02. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                            Xi                  fi
                        0 !--- 15                4
                       15 !--- 30                7
                       30 !--- 45               11
                       45 !--- 60                9
                       60 !--- 75                5
                       75 !--- 90                2


03. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                             Xi                 fi
                        0   !---   7             7
                        7   !---   14           11
                       14   !---   21           15
                       21   !---   28            9
                       28   !---   35            3


04. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                             Xi                 fi
                      9,5   !---   19,5          4
                     19,5   !---   29,5          6
                     29,5   !---   39,5          7
                     39,5   !---   49,5          5
                     49,5   !---   59,5          3


05. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                             Xi                 fi
                                                              Página 11 de 14
90 !--- 95           40
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                      100 !--- 105          140
                      105 !--- 110          160
                      110 !--- 115          180
                      115 !--- 120          120
                      120 !--- 125          40
                      125 !--- 130          30
                      130 !--- 135          20
                      135 !--- 140          10




06. Trabalhe a Distribuição abaixo:

                               Xi            fi
                        30    !--- 40        1
                        40    !--- 50        3
                        50    !--- 60        7
                        60    !--- 70        11
                        70    !--- 80        14
                        80    !--- 90        11
                        90    !--- 100       7
                        100   !--- 110       3
                        110   !--- 120       1


07. Extraído do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X),
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P
representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações
coincidentes com os extremos das classes.
                         Classes            P (%)
                         70 – 90              5
                         90 – 110             15
                        110 – 130             40
                        130 – 150             70
                        150 – 170             85
                        170 – 190             95
                        190 – 210            100


08. Extraído do AFRF-2001:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia.
Alfa.
                  Classes de salários    Freqüências
                                          acumuladas
                      3    ;     6            12
                      6    ;     9            30
                      9    ;    12            50
                      12    ;   15            60
                      15    ;   18            65
                      18    ;   21            68


                                                               Página 12 de 14
09. Extraído do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela
de freqüências seguinte:

                          Classes             Freqüência (f)
                       29,4 --- 39,5                4
                       39,5 --- 49,5                8
                       49,5 --- 59,5                14
                       59,5 --- 69,5                20
                       69,5 --- 79,5                26
                       79,5 --- 89,5                18
                       89,5 --- 99,5                10

10. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma
amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As
freqüências são acumuladas.
                  Classes de Salários     Freqüências
                    (5.000 – 6.500)            12
                    (6.500 – 8.000)            28
                    (8.000 – 9.500)            52
                    (9.500 – 11.000)           74
                   (11.000 – 12.500)           89
                   (12.500 – 14.000)           97
                   (14.000 – 15.500)          100

11. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de
economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia.
X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das
classes salariais.
                        Classes                F
                     29,4 --- 39,5             2
                     39,5 --- 49,5             6
                     49,5 --- 59,5            13
                     59,5 --- 69,5            23
                     69,5 --- 79,5            36
                     79,5 --- 89,5            45
                     89,5 --- 99,5            50

                               -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

      E então, meus amigos? Uma aula de 13 páginas para acertarmos uma questão
na prova...! Ainda chamam o funcionário público de “vida boa”... Mas, como diz o
ditado, muito pertinentemente: “vida boa é a dos outros!”
      Deixemos de lado a vida alheia e cuidemos da nossa, mesmo porque uma
questão pode nos deixar de fora das vagas do próximo concurso! Acreditem, isso
já aconteceu comigo! Foi no AFRF de 2001..., águas passadas.
      O gabarito comentado iniciará nossa próxima aula! Não perca tempo nem a
chance de tentar resolver esses exercícios! O mais importante é tentar! Mãos à
obra, portanto!
      Peço licença para mandar um grande abraço a todos que me têm escrito, com
palavras de incentivo e de amizade! Serei injusto por não relacionar a todos,
mas dedico esta aula e envio um abraço forte aos seguintes novos amigos que
ganhei nestas últimas semanas: o Gean Barreto, de Manaus (e batalhando no
Acre!); a turma de Macapá: Stélio, Rubenita e cia. ltda.; a Ana Beatriz, do
Recife; a Elba, de Belém; a Cristiane, do Chuí; o Danilo Martins, de São Paulo;
                                                                     Página 13 de 14
a Juliana Maciel, de Fortaleza; o Ricardo Lopes, de Niterói; e o Diogo Cabeda,
de Porto Alegre. Todos futuros AFRF!
      O abraço agora é para os meus “velhos” amigos do Recife, aqueles
responsáveis por eu viver com saudades: Cristiane Abreu (minha grande amiga
“Vida Boa”!); Flávia Siqueira (minha irmã, Flavinha!); Fábio Araújo (meu irmão,
Fabão!); minha caríssima Vanessa Falcão; os amigos do peito Aquiles Albino e
Manuela, do Curso Especial; meu querido professor Pompeu, do Pró-Concurso de
Pernambuco e o meu grande amigo professor João Antônio Carvalho (o pai do Pedro
Aurélio!). Não poderia esquecer de mencionar meus bons amigos de Suape: Eleonora
Carvalho, Luís Antônio Barros, Ângelo Carvalho (e a Maria Júlia!), Scheila Neher
(e o Paulão e a Julinha), Luís Augusto, Lomanto, Juarez Miranda, Ginaldo Freire,
Vilmarcos Barbosa (e a pequena Eduarda!), Rafael Cavalcanti, Ricardo Kuklinsky,
Fernando Dias, Vanisse, Eduardo Martins, Esiel Fernandes, Renato, Ana Helena,
Eni Sávio, Alcélio Silva, Telma Timóteo, e aqueles que já saíram de lá: Celene
Nogueira (minha eterna “chefinha”), Moisés de Freitas Cabral, Carlos Fernando,
Paulo Sérgio Santos, Massachi Kochimizu, Maria das Graças Kochimizu, e José
Erison. Posso ter esquecido alguns na lista, mas não aqui no peito!
      Que Deus abençoe a Regina Célia, Weber Campos e Beatriz! Até a próxima!




                                                                     Página 14 de 14

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Estatistica media aritmetica

  • 1. MÉDIA ARITMÉTICA Agora é pra valer! Todos bem? Vamos iniciando hoje as Medidas de Posição! Se uma prova de Estatística tiver apenas uma questão, há imensa chance de ela versar sobre este assunto. Portanto, nem preciso falar da importância desta aula, e das seguintes! Adiante! A Média é a mais importante das Medidas de Posição e saber calculá- la é simplesmente essencial para qualquer prova de Estatística. Quando a questão pedir que se calcule a Média, simplesmente isso, estaremos tratando da Média Aritmética. Na verdade, há outros dois tipos de Média: a Geométrica e a Harmônica. Como estas duas últimas costumam ser quase sempre ignoradas nas provas, embora presentes no programas dos editais, as explicaremos mais adiante, em uma aula à parte. Média para o Rol: Caso a questão da prova nos forneça os dados do conjunto dispostos em forma de um rol, utilizaremos para o cálculo da Média a seguinte fórmula:  ∑ Xi  X =   n    Para quem não está familiarizado, o símbolo Σ significa “somatório”, entendendo-se que teremos que somar o que estiver disposto após ele. No nosso caso, ΣXi nos indica que somaremos os elementos (Xi) do rol. Conforme o restante da fórmula, em seguida, dividiremos o resultado desta soma pelo número de elementos do conjunto, o nosso “n”. Vejamos um exemplo! Calcule a média aritmética do conjunto abaixo: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} Não há nenhuma dificuldade em se constatar que o conjunto foi apresentado sob a forma de um rol. Aliás, temos uma aula passada – o Ponto nº07 – em que falamos das formas de apresentação dos dados! Daí, identificado o rol, resta apenas aplicarmos a fórmula: Sol.: X = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) → X = 49 → X= 7 7 7 Facílimo, não? Pena que não sejam tão freqüentes questões assim... só bem raramente! Média para Dados Tabulados: Quando o conjunto nos for apresentado sob a forma de Dados Tabulados Não Agrupados em Classes (vide Ponto nº07!), nossa Média será calculada pela seguinte fórmula:  ∑ Xi ⋅ fi  X =   n    Página 1 de 14
  • 2. Observemos que, neste caso, para chegarmos ao somatório dos elementos do conjunto, será preciso construirmos a coluna “Xi.fi”, e depois obtermos sua soma. Vejamos um exemplo. Calcular a média aritmética dos dados do conjunto abaixo: Xi fi 4 1 5 5 6 6 7 5 8 3 n=20 Como primeiro passo construiremos a coluna Xi.fi! Obtendo o somatório desta coluna, precisaremos apenas dividi-lo pelo número total de elementos n. Observemos que o n – número de elementos do conjunto – será calculado pela soma da coluna da freqüência absoluta simples – fi. Ou seja, n = ∑fi . Isso será sempre assim, ou seja, sempre que os dados do conjunto vierem apresentados em uma tabela – ou dados tabulados, ou distribuição de freqüências – o “n” será o somatório da coluna fi. Daí, teremos: Xi fi Xi.fi 4 1 4x1=4 5 5 5x5=25 6 6 6x6=36 7 5 7x5=35 8 3 8x3=24 Soma 20 124 E, finalmente: X = (124 / 20) → X = 6,2 Média para Distribuição de Freqüências: Aqui nossa atenção deve ser redobrada! E por uma razão muito simples: a grande e considerável maioria das questões de prova que pedem o cálculo da Média costuma apresentar o conjunto sob a forma de uma Distribuição de Freqüências. Logo, é quase certo nos depararmos com essa situação, na qual teremos que utilizar, para determinação da Média, a seguinte fórmula:  ∑ PM . fi  X =   n    Comecemos a juntar as peças do quebra-cabeça: no Ponto nº07 vimos que o que diferencia os Dados Tabulados da Distribuição de Freqüências é o fato de que nos Dados Tabulados os elementos aparecem individualizados (Xi) e na Distribuição de Freqüências aparecem em classes. Logo, na fórmula da média para “Distribuição” não vai aparecer o Xi – elemento individualizado. Em seu lugar, deve aparecer um elemento que represente a classe. Aí nos lembramos de uma observação feita no Ponto n.º03, quando tratamos dos elementos da Distribuição de Freqüências, e veremos o que Página 2 de 14
  • 3. foi dito: o Ponto Médio é o legítimo representativo de uma classe, ou seja, é o elemento que melhor representa cada classe! Daí, para chegarmos à fórmula da Média para a Distribuição de Freqüências, repete-se a fórmula que usamos para Dados Tabulados, e trocamos Xi (elemento individualizado) pelo Ponto Médio – PM – elemento representativo da classe! Vejamos o exemplo abaixo. Exemplo: Calcular a média aritmética dos dados abaixo: Xi fi 2 !--- 4 3 4 !--- 6 5 6 !--- 8 10 8 !--- 10 5 10 !--- 12 3 n=26 Teremos aqui de criar mais duas colunas para encontrar a solução: a primeira será a coluna dos Pontos Médios e a segunda será a do produto (PM . fi)! Daí, teremos: Xi fi PM PM.fi 2 !--- 4 3 3 9 4 !--- 6 5 5 25 6 !--- 8 10 7 70 8 !--- 10 5 9 45 10 !--- 12 3 11 33 Soma 26 182 E, finalmente: X = 182 / 26 → X = 7,00 Este cálculo que fizemos acima, ou seja, a fórmula que utilizamos para determinar a Média da Distribuição de Freqüências consiste no que chamaremos de Cálculo Convencional da Média Aritmética. Todavia, existe uma outra forma de se achar esta medida, e que pode se tornar uma resolução mais rápida e, portanto, mais conveniente! Este método alternativo, na verdade, é o que utilizaremos na nossa prova! Trabalharemos, nesta nova forma de calcular a média, com a chamada Variável Transformada! Para entendermos este novo método, precisamos antes conhecer algumas propriedades da Média Aritmética. Vamos a elas! # Propriedades da Média Aritmética: São várias as propriedades da Média! Aprenderemos agora duas delas, necessárias para utilizarmos, na seqüência, o cálculo da Média pela Variável Transformada: 1ª Propriedade) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante. Toda atenção a esta propriedade! Nós a chamaremos de Propriedade da Soma e Subtração. Precisaremos dela tanto para marcar uma questão teórica, quanto para resolver uma questão de cálculo. E é bem simples. Vejamos um exemplo: Página 3 de 14
  • 4. Consideremos o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja Média será calculada da seguinte maneira: X = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 → E: X = 15 / 5 → X = 3 Agora, se a cada elemento Xi deste conjunto original A somarmos a constante k=5, por exemplo, passaremos a dispor do conjunto B, dado por: B= {6, 7, 8, 9, 10}. Se formos calcular a Média deste novo conjunto B, teremos: X = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 5 → E: X = 40 / 5 → X = 8 Ora, em vez de calcularmos a Média do grupo B, poderíamos simplesmente aplicar a propriedade da Soma e Subtração! Se a Média do conjunto original é igual a 3, e apenas somamos todos os elementos deste conjunto a uma constante, usando a propriedade, a nova Média, ou seja, a Média do novo conjunto será a Média do conjunto original somada a esta mesma constante. Teremos: Média de B = Média de A + constante Média de B = 3 + 5 = 8 Uma aplicação prática desta propriedade ocorreu na prova de Fiscal da Receita de 1996, quando o enunciado trazia uma Distribuição de Freqüências, e dizia que os elementos ali dispostos seriam as idades dos funcionários de uma empresa na data de 01/01/1990. Na primeira questão, pedia-se o cálculo da Média. Até aqui tudo bem! Acontece que na quarta questão, o enunciado iria falar que seis anos depois, ou seja, em 01/01/1996, o quadro de pessoal da empresa se mantinha o mesmo, as mesmas pessoas, e se pedia então que se calculasse a nova média do conjunto. Bem criativa esta questão (a resolveremos oportunamente), e muito fácil também! Bastava que se percebesse o seguinte: se o conjunto original trazia uma série de idades em uma data, e o novo conjunto trazia as idades destas mesmas pessoas seis anos mais tarde, é lógico que as novas idades são as idades originais somadas a seis! Claro: daqui a seis anos todos teremos a idade de hoje adicionada a seis. Daí, era só aplicar a propriedade! Como a Média do conjunto original, das idades em 1990, já tinha sido calculada na primeira questão, restava apenas tomar este valor e somar mais seis! E chegava-se à nova resposta! Uma questão de graça... para quem conhecia a propriedade! Agora há pouco, chamamos a atenção para o fato de que a fórmula que apresentamos para o cálculo da Média era a do cálculo convencional. E que iríamos em breve conhecer o método da Variável Transformada. Pois bem, para usarmos esta nova forma de determinar a Média, como veremos logo a seguir, teremos que aplicar também esta Propriedade da Soma e da Subtração, além da próxima,que se segue. 2ª Propriedade) Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante. Tão importante quanto a anterior, chamaremos esta de Propriedade do Produto e da Divisão. É a correspondente da Propriedade da Soma e Página 4 de 14
  • 5. Subtração, só que para as operações de multiplicação e divisão. Vejamos um exemplo: Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja média já conhecemos do exemplo anterior: X =3. Agora, suponhamos que a cada elemento do conjunto multipliquemos a constante k=5. Passaremos a ter o novo conjunto B = {5, 10, 15, 20, 25}. Se formos calcular a média deste novo conjunto B, faremos: X = (5 + 10 + 15 + 20 + 25) / 5 E: X = 75 / 5 → X = 15 Ora, poderíamos simplesmente usando a propriedade do Produto e da Divisão, chegarmos ao mesmo resultado. Se a média do conjunto original é igual 3, e cada um desses elementos foi multiplicado pela constante 5, então a nova média (do novo conjunto) será a média anterior, também multiplicada pela constante. Ou seja: Média de B = (Média de A) x (constante) Média de B = 3 x 5 = 15 # Cálculo da Média pela Variável Transformada: Já dispomos do necessário para aprendermos o cálculo da Média pela utilização da Variável Transformada. Já conhecemos a forma convencional de se calcular a Média, pela mera aplicação da fórmula. Todavia, como já foi dito, as últimas provas, sobretudo da ESAF, têm trazido enunciados que tornariam a resolução da questão mais rápida e mais prática se utilizarmos uma outra saída, que é justamente o trabalho com a chamada Variável Transformada. E o que é a variável transformada? Ora, quando a questão apresenta o conjunto original, seja em forma de um rol, ou Dados Tabulados ou de uma Distribuição de Freqüências, estes dados correspondem, obviamente, à Variável Original. Agora, se com cada elemento deste conjunto original, fizermos uma ou mais de uma operação – seja de soma, subtração, produto ou divisão – deixaremos então de trabalhar com a variável original e passaremos a trabalhar com a variável transformada. Portanto, diremos que “a variável original foi transformada” por meio de operações a que foram submetidos todos os elementos do conjunto original. Entenderemos melhor esta explicação por meio de exemplos. Senão, vejamos o seguinte. Consideremos o conjunto abaixo: Xi fi PM 0 |--- 10 9 5 10 |--- 20 15 15 20 |--- 30 28 25 30 |--- 40 17 35 40 |--- 50 11 45 n=80 Trata-se, obviamente, de uma Distribuição de Freqüências, em que foi fornecida a variável original Xi, cujos elementos estão dispostos nas classes. Se esta questão pedisse o cálculo da Média, poderíamos encontrá- la pela mera aplicação da fórmula abaixo: Página 5 de 14
  • 6.  ∑ PM . fi  X =   n    Isso seria o que chamamos de cálculo convencional da Média. Para este cálculo, teríamos que construir a coluna do numerador, ou seja: (PM.fi). É o próximo passo: Xi fi PM PM.fi 0 |--- 10 9 5 45 10 |--- 20 15 15 225 20 |--- 30 28 25 700 30 |--- 40 17 35 595 40 |--- 50 11 45 495 n=80 Σ=2060 Daí, teríamos que: X = (2060 / 80) E: X = 25,75 Observemos que as contas que fomos obrigados a fazer na construção desta coluna (PM.fi) são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante mais demoradas, sobretudo se as classes tivessem como Pontos Médios valores não-inteiros, ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com freqüência nas provas de concursos. Aí é que entra a Variável Transformada! Iremos, portanto, construir uma nova coluna, que será a coluna da transformação da variável original. Criaremos esta coluna logo após a coluna dos Pontos Médios. Para construir a coluna da transformação, poderemos usar sempre a seguinte sugestão: i) No numerador, fazer PM subtraído do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira classe); e ii) Dividir o resultado pela Amplitude da Classe, o h. Só isso! Vejamos na prática como ficaria a nossa coluna da transformação deste nosso exemplo: Xi fi PM (PM – 5) 10 0 |--- 10 9 5 0 10 |--- 20 15 15 1 20 |--- 30 28 25 2 30 |--- 40 17 35 3 40 |--- 50 11 45 4 n=80 Vejamos que a coluna (PM – 5)/10 é exatamente aquilo que sugerimos acima: no numerador,(PM – 5) é justamente a subtração dos Pontos Médios pelo primeiro PM (que é 5); e depois dividimos por 10, que é a amplitude da classe. Observe que, sempre que construirmos uma coluna de transformação da variável original por meio desta sugestão apresentada acima, teremos como resultado os mesmos valores: uma seqüência dos números inteiros, iniciando pelo zero! Feito isto, temos agora que “batizar” a coluna que acabamos de construir! Ora, neste momento já não mais estamos com a variável original Xi! Acabamos de transformá-la em uma outra variável! Desse modo, Página 6 de 14
  • 7. poderemos chamar a nova variável por uma outra letra, Yi por exemplo. Ou Wi, ou Zi... fica a gosto do freguês! Neste nosso exercício, chamaremos a nova variável de Yi. E o próximo passo será calcular a Média da Variável Transformada! Aqui, a nossa fórmula original (aquela do cálculo convencional!) sofrerá uma pequena variação. Vejamos: Quando trabalhávamos com a variável original, tínhamos a seguinte fórmula:  ∑ PM . fi  X =   n    Agora, que estamos trabalhando com a nova variável Yi, nossa fórmula será dada por:  ∑ Yi ⋅ fi  Y =   n    Observemos que a alteração é mesmo intuitiva: em lugar do Ponto Médio (que representava a variável original Xi) usaremos o Yi, que representa a variável transformada! Perceberemos, agora, como é bem mais fácil construir a coluna (Yi.fi). Senão, vejamos: Xi fi PM (PM – 5) = Yi Yi.fi 10 0 |--- 10 9 5 0 0 10 |--- 20 15 15 1 15 20 |--- 30 28 25 2 56 30 |--- 40 17 35 3 51 40 |--- 50 11 45 4 44 n=80 166 Calculada a coluna (Yi.fi), o próximo passo é encontrar o valor da Y . Teremos que: Y = (166 / 80) E: Y = 2,075 Ora, a questão quer saber o valor da Média da variável original Xi, e não a Média desta variável transformada que acabamos de achar. Então, precisamos usar as propriedades da Média (de Soma e Subtração, e de Produto e Divisão), que acabamos de aprender, para chegarmos ao valor que procuramos. Vamos reconstruir o caminho que usamos para sair da variável original Xi e chegar à variável transformada Yi: Caminho de Ida! Basta olhar para a coluna de transformação, e vermos o que foi feito com o PM (que representa a variável original)! Variável Original Xi 1.º) (–5) 2.º) (÷10) Variável Transformada Yi E agora, invertendo o caminho de ida – da variável original para a transformada –, construiremos o caminho de volta, ou seja, aquele que nos trará da variável transformada – Yi – para a variável original – Xi. Página 7 de 14
  • 8. Basta usar as operações inversas às do caminho de ida. Vejamos o Caminho de Volta: Variável Transformada Yi 1.º)(x10) 2.º)(+5) Variável Original Xi Observemos que a primeira operação do Caminho de Volta é o inverso da última operação do Caminho de Ida, e vice-versa. Ou seja, onde termina um caminho, começa o outro. Bem, usaremos agora apenas o Caminho de Volta, para descobrirmos o valor da Média da variável original. Ora, sabemos que a média da variável transformada é Y = 2,075. Daí, percorremos o Caminho de Volta, aplicando as propriedades da Média. Vejamos: A primeira operação do Caminho de Volta é um produto:(x10). Perguntamos: a Média é influenciada pela multiplicação? Sim, conforme aprendemos na propriedade! Daí, nossa Média passa a ser: 2,075 x 10 = 20,75 A segunda operação do caminho de volta é uma soma:(+5). Novamente a pergunta: a Média sofre influência de operações de soma? Sim, também de acordo com a propriedade da Média! Daí, tomando nosso último resultado, faremos: 20,75 + 5 = 25,75 = X Chegamos, portanto, ao valor da nossa média da variável original, usando o método da Variável Transformada! Em suma, os passos deste método, do Cálculo da Média pela Variável Transformada, são os seguintes: 1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Yi), seguindo a sugestão que apresentamos; 2) Construir a coluna (Yi.fi) e calcular o seu somatório; 3) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a  ∑ Yi ⋅ fi  fórmula Y =    n    4) Descrever, a partir do Caminho de Ida, da variável original para a transformada, o caminho inverso, ou seja, o Caminho de Volta, que usaremos para achar a nossa resposta! 5) Seguindo, então, esse Caminho de Volta, calcularemos a Média da Variável Original, seguindo as propriedades, e lembrando-nos que a Média é influenciada pelas quatro operações (soma, subtração, produto e divisão). Página 8 de 14
  • 9. Talvez, a primeira impressão deste método da Variável Transformada seja a de um procedimento trabalhoso, ou complexo. Mas, ao contrário do que possa parecer, trabalhar com a Variável Transformada é, na maioria das vezes, a maneira mais prática de se chegar ao valor da Média. Isso se torna mais verdade ainda se o próprio enunciado já trouxer construída a coluna de transformação da variável original. Foi o que ocorreu, por exemplo, na prova de 1996 do AFRF, transcrita a seguir: (AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Freqüências Pontos PM − 37 di.fi di2.fi di3.fi di4.fi Idades (fi) Médios = di (anos) (PM) 5 19,5 !--- 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 24,5 !--- 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 29,5 !--- 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 34,5 !--- 39,5 29 37 --- --- --- --- --- 39,5 !--- 44,5 18 42 1 18 18 18 18 44,5 !--- 49,5 12 47 2 24 48 96 192 49,5 !--- 54,5 7 52 3 21 63 189 567 Total n=100 16 206 154 1106 Observemos que a quarta coluna, fornecida pelo enunciado na Distribuição de Freqüências, foi justamente aquela que fez a transformação da variável original. Desta forma, esta transformação ocorreu por meio de duas operações: a primeira, a subtração dos Pontos Médios por 37; a segunda, a divisão por 5. Logo, este foi o caminho que o enunciado escolheu para transformar a variável original na variável transformada, que foi aqui chamada de “di”. Logo, o nosso Caminho de Ida será: Variável Original Xi 1.º)(– 37) 2.º)(÷5) Variável Transformada di Faremos agora o Caminho de Volta: Variável Transformada di 1.º)(x5) 2.º)(+37) Variável Original Xi Calcularemos aqui a Média da variável transformada – di – usando a fórmula alterada, que neste caso será:  ∑ di ⋅ fi  di =    n    Observemos que a distribuição de freqüências fornecida pela prova já trazia, na coluna seguinte, os valores de (di.fi) e o somatório desta coluna, que será utilizado no numerador, como se segue: di = 16 / 100 E: di = 0,16 Página 9 de 14
  • 10. Finalmente, percorrendo o Caminho de Volta com o valor da Média da Variável Transformada, lembrando-nos de que a Média é influenciada pelas quatro operações, chegaremos ao seguinte: 0,16 x 5 = 0,8 E: 0,8 + 37 = 37,8 = X Resposta da Questão! Para fazer o serviço completo, essa questão acima é exatamente aquela a qual eu me referi quando explicava a Propriedade da Soma e da Subtração, para a Média! Estão lembrados? A Média que acabamos de calcular dizia respeito à idade dos funcionários da empresa em 01/01/1990. Na seqüência, em uma questão posterior, o enunciado falava que estávamos agora em 01/01/1996, ou seja, seis anos após! E pedia a nova média das idades daquele mesmo grupo de pessoas! Moleza pura! Só tínhamos que aplicar a Propriedade da Soma e Subtração e pensar: se se passaram 6 anos, isso quer dizer que cada elemento do conjunto original foi somado à constante 6. Daí, a nova média será a média anterior, somada também a 6. Logo: X (em 01/01/1996) = X (em 01/01/1990) + 6 Daí: X (em 01/01/1996) = 37,8 + 6 E: X (em 01/01/1996)= 43,8 Resposta! ATENÇÃO: Talvez esteja surgindo a seguinte dúvida: dissemos acima que na hora de construirmos a coluna de transformação, o procedimento sugerido seria dividir PM pelo valor do primeiro Ponto Médio, para, em seguida, dividir este resultado pela amplitude da classe, h. Certo? Porém, na questão acima, o próprio enunciado já trouxe uma coluna de transformação construída, só que de uma outra forma, diferente do que sugerimos! E aí? Ora, os passos que indicamos para chegarmos à coluna de transformação é uma sugestão, que eu recomendo que seja aceita, quando nós tivermos que construir essa coluna! Todavia, se o próprio enunciado já trouxer uma coluna de transformação toda pronta, seja ela como for, então não teremos mais de nos preocupar em construir uma outra coluna! Resumindo: aceitaremos sempre a coluna de transformação fornecida pelo enunciado; quando isso não acontecer, a construiremos adotando a sugestão por nós ensinada! Só isso! -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- Eu sou até capaz de apostar que tem muita gente aí pensando o seguinte: “...esse cara tá é doido se acha que eu vou perder tempo aprendendo essa tal de variável transformada!... vou é usar a minha formulazinha do cálculo convencional, e pronto... o resultado é o mesmo!” Aí eu respondo dizendo que: “Tudo bem! A resposta, de fato, será a mesma! Então, façamos o seguinte: só precisa aprender a Variável Transformada quem quiser passar no concurso, ok?” Na verdade, o que eu quero dizer é que as provas da ESAF não nos têm deixado muita escolha! Inúmeros alunos saem da prova dizendo que não houve tempo suficiente para as questões de Estatística, o que (me perdoem falar) não é verdade! A prova é feita para quem usar todos os artifícios necessários para economizar o tempo! A Variável Transformada é, talvez, o mais importante desses artifícios! Então, coloquemos uma coisa na cabeça: é muito fácil trabalhar com a Variável Transformada, e ganhar velocidade com essa técnica é apenas uma questão de tempo e de TREINO!! Portanto, na seqüência, colocarei umas questões de concurso (já bem conhecidas nossas!), além de outras que Página 10 de 14
  • 11. inventarei, apenas para nos dar velocidade e prática com a variável transformada, ok? EXERCÍCIOS DE HOJE Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Média Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada. Observação: aproveite o ensejo e refaça, quando necessário, todo aquele trabalho com as colunas de freqüência, para chegar à freqüência absoluta simples!! 01. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi 0 !--- 10 3 10 !--- 20 5 20 !--- 30 8 30 !--- 40 4 40 !--- 50 2 02. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi 0 !--- 15 4 15 !--- 30 7 30 !--- 45 11 45 !--- 60 9 60 !--- 75 5 75 !--- 90 2 03. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi 0 !--- 7 7 7 !--- 14 11 14 !--- 21 15 21 !--- 28 9 28 !--- 35 3 04. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi 9,5 !--- 19,5 4 19,5 !--- 29,5 6 29,5 !--- 39,5 7 39,5 !--- 49,5 5 49,5 !--- 59,5 3 05. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi Página 11 de 14
  • 12. 90 !--- 95 40 95 !--- 100 60 100 !--- 105 140 105 !--- 110 160 110 !--- 115 180 115 !--- 120 120 120 !--- 125 40 125 !--- 130 30 130 !--- 135 20 135 !--- 140 10 06. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi fi 30 !--- 40 1 40 !--- 50 3 50 !--- 60 7 60 !--- 70 11 70 !--- 80 14 80 !--- 90 11 90 !--- 100 7 100 !--- 110 3 110 !--- 120 1 07. Extraído do AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70 – 90 5 90 – 110 15 110 – 130 40 130 – 150 70 150 – 170 85 170 – 190 95 190 – 210 100 08. Extraído do AFRF-2001: Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa. Classes de salários Freqüências acumuladas 3 ; 6 12 6 ; 9 30 9 ; 12 50 12 ; 15 60 15 ; 18 65 18 ; 21 68 Página 12 de 14
  • 13. 09. Extraído do AFRF-2002.2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,4 --- 39,5 4 39,5 --- 49,5 8 49,5 --- 59,5 14 59,5 --- 69,5 20 69,5 --- 79,5 26 79,5 --- 89,5 18 89,5 --- 99,5 10 10. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001: A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salários Freqüências (5.000 – 6.500) 12 (6.500 – 8.000) 28 (8.000 – 9.500) 52 (9.500 – 11.000) 74 (11.000 – 12.500) 89 (12.500 – 14.000) 97 (14.000 – 15.500) 100 11. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002: A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,4 --- 39,5 2 39,5 --- 49,5 6 49,5 --- 59,5 13 59,5 --- 69,5 23 69,5 --- 79,5 36 79,5 --- 89,5 45 89,5 --- 99,5 50 -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- E então, meus amigos? Uma aula de 13 páginas para acertarmos uma questão na prova...! Ainda chamam o funcionário público de “vida boa”... Mas, como diz o ditado, muito pertinentemente: “vida boa é a dos outros!” Deixemos de lado a vida alheia e cuidemos da nossa, mesmo porque uma questão pode nos deixar de fora das vagas do próximo concurso! Acreditem, isso já aconteceu comigo! Foi no AFRF de 2001..., águas passadas. O gabarito comentado iniciará nossa próxima aula! Não perca tempo nem a chance de tentar resolver esses exercícios! O mais importante é tentar! Mãos à obra, portanto! Peço licença para mandar um grande abraço a todos que me têm escrito, com palavras de incentivo e de amizade! Serei injusto por não relacionar a todos, mas dedico esta aula e envio um abraço forte aos seguintes novos amigos que ganhei nestas últimas semanas: o Gean Barreto, de Manaus (e batalhando no Acre!); a turma de Macapá: Stélio, Rubenita e cia. ltda.; a Ana Beatriz, do Recife; a Elba, de Belém; a Cristiane, do Chuí; o Danilo Martins, de São Paulo; Página 13 de 14
  • 14. a Juliana Maciel, de Fortaleza; o Ricardo Lopes, de Niterói; e o Diogo Cabeda, de Porto Alegre. Todos futuros AFRF! O abraço agora é para os meus “velhos” amigos do Recife, aqueles responsáveis por eu viver com saudades: Cristiane Abreu (minha grande amiga “Vida Boa”!); Flávia Siqueira (minha irmã, Flavinha!); Fábio Araújo (meu irmão, Fabão!); minha caríssima Vanessa Falcão; os amigos do peito Aquiles Albino e Manuela, do Curso Especial; meu querido professor Pompeu, do Pró-Concurso de Pernambuco e o meu grande amigo professor João Antônio Carvalho (o pai do Pedro Aurélio!). Não poderia esquecer de mencionar meus bons amigos de Suape: Eleonora Carvalho, Luís Antônio Barros, Ângelo Carvalho (e a Maria Júlia!), Scheila Neher (e o Paulão e a Julinha), Luís Augusto, Lomanto, Juarez Miranda, Ginaldo Freire, Vilmarcos Barbosa (e a pequena Eduarda!), Rafael Cavalcanti, Ricardo Kuklinsky, Fernando Dias, Vanisse, Eduardo Martins, Esiel Fernandes, Renato, Ana Helena, Eni Sávio, Alcélio Silva, Telma Timóteo, e aqueles que já saíram de lá: Celene Nogueira (minha eterna “chefinha”), Moisés de Freitas Cabral, Carlos Fernando, Paulo Sérgio Santos, Massachi Kochimizu, Maria das Graças Kochimizu, e José Erison. Posso ter esquecido alguns na lista, mas não aqui no peito! Que Deus abençoe a Regina Célia, Weber Campos e Beatriz! Até a próxima! Página 14 de 14