Probabilidade e seus eventos

Administração - 1 -
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
Análise Estatística
Uanderson Rebula de Oliveira
uanderson.rebula@yahoo.com.br

EMENTA:
Probabilidades e seus eventos. Probabilidade condicional. Eventos independentes. Teorema de
Bayes. Variáveis aleatórias: distribuição, média e desvio padrão. Distribuições de probabilidades
discretas e contínuas. Correlação e Regressão. Teste de hipóteses.
OBJETIVO:
Possibilitar aos estudantes o acesso a conceitos e procedimentos fundamentais da metodologia
estatística, como ferramenta de suporte à tomada de decisão e à abordagem cientifica de
populações, sistemas e processos, nas áreas de engenharia, indústria, comercio e serviços.
Administração - 2015
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA
Mestrando em Engenharia de Produção pela Universidade Estadual Paulista - UNESP
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC
Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC
Atividades presentes
Consultor em Treinamento e Desenvolvimento Empresarial. . Pesquisador na área de Logística Reversa. Gestor de
Operações de Pós Graduação na Universidade Estácio de Sá. Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em
Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão de
Estoques, Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e
Estatística, Controle Estatístico da Qualidade, Análise Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho,
Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais. Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os
cursos de Administração, Logística, Engenharia de Produção e Engenharia Metalúrgica e Gestão da Produção.
Atividades passadas
Ex-Professor na Universidade Barra Mansa (2010-2012) nos cursos de Engenharia de Produção/Petróleo.
Ex-professor conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional).
Ex-professor em escolas técnicas (2006-2010) nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do
Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na
Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI (2007).
Ex funcionário da CSN por 20 anos (1993-2014), onde atuou por 10 anos como Operador e Líder de Produção em
vários setores e por 10 anos no setor de Segurança do Trabalho. Ex-membro do IBS–Instituto Brasileiro de
Siderurgia em grupo de trabalho em assuntos pertinentes a Segurança do Trabalho.
Currículo completo: http://lattes.cnpq.br/1039175956271626
br.linkedin.com/in/uandersonrebula/

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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
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Sumário
1– PROBABILIDADE
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE ,5
Conceitos, experimento aleatório e espaço amostral, 5
Princípio fundamental da contagem, 6
Eventos e Probabilidade básica, 8
Probabilidade com eventos complementares, 9
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES,10
Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos, 10
Probabilidade com eventos NÃO mutuamente exclusivos, 10
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES,11
Probabilidade com eventos dependentes, 10
Multiplicação de probabilidadecom eventos dependentes, 13
Multiplicação de probabilidade com eventos independentes, 14
Teorema de Bayes, 15
2–VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS PROBABILÍSTICOS
VARIÁVEISALEATÓRIAS,17
Distribuições de Probabilidades e representação gráfica, 17
Valor Esperado, 19
Variância e Desvio Padrão, 20
MODELOS,21
Modelo Binomial, 21
Modelo de Poisson, 25
Poissoncomo aproximação paraa Binomial,27
Modelo Normal, 28
3–CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES,34
Introdução e Diagrama de Dispersão, 34
Correlação Linear, 34
Coeficiente de correlação de Pearson, 35
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES,37
Introdução, 37
Ajustamento da reta aos pontos grafados,37
4–TESTE DE HIPÓTESE
Conceitos introdutórios, 40
Teste de hipótese para média (amostras grandes),41
Teste de hipótese para média (amostras pequenas), 42
Teste de hipótese para proporção, 43
Teste para duas amostras– conceitos introdutórios, 45
Teste para diferença de duas médias (dependente),45
Teste para diferença de duas médias (independente), 47
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS,48
ANEXO I–INDICAÇÃO DEMATERIAL DIDÁTICO PARAAUXÍLIO ASAULAS,49
ANEXO II– Software Bioestat,50
ANEXO III –ESTATÍSTICANO EXCEL,51
ANEXO IV – REVISÃO DE MEDIDAS DE VARIAÇÃO, 52

É possível quantificar o
acaso?
CAPÍTULO 1
PROBABILIDADE

CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES
Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer.
Dois exemplos clássicos (por sua simplicidade) do conceito de Probabilidade são:
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter “4”? Ao lançar a moeda, qual a probabilidade de dar “cara”?
Como representar numericamente as chances desses eventos?
Conhecidas certas condições, é possível responder a essas duas perguntas, antes mesmo da realização desses
experimentos. A teoria da probabilidade surgiu para tentar calcular a “chance” de ocorrência de um resultado
imprevisível, porém, pertencente a um conjunto de resultados possíveis. Todos os dias somos confrontados com
situações, que nos conduzem a utilizar a teoria de probabilidade:
Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar na loteria;
Dizemos que existe uma grande probabilidade de não chover num dia de verão;
O gerente quer saber a probabilidade de o projeto ser concluído no prazo;
O analista financeiro quer saber a chance de um novo investimento ser lucrativo;
O gerente de marketing quer saber as chances de queda de vendas se aumentar os preços;
O eng. produção quer saber a probabilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade.
É POSSÍVEL QUANTIFICAR O ACASO. Desse modo, se houver probabilidades disponíveis, podemos determinar a
possibilidade de cada um dos eventos ocorrer. Para continuar o estudo de probabilidades, três conceitos são
importantes: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos.
Experimento aleatório
Experimento cujo resultado é imprevisível, porém pertencente a um conjunto de resultados possíveis.
É o fenômeno que estamos interessados em observar, e cada resultado dele é uma experiência. Embora não
saibamos qual o resultado que irá ocorrer, conseguimos descrever todos os resultados possíveis. Exemplos:
EXPERIMENTO Resultados possíveis
Jogar uma moeda Cara ou Coroa
Lançar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jogar uma partida de futebol Ganhar, empatar, perder
Fazer um contato de vendas Comprar, não comprar
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Nascimento de uma criança Masculino, feminino
A principal característica do experimento é ser casual, no sentido de que, apesar de conhecermos seus possíveis
resultados, não podemos dizer com certeza o que vai ser obtido. Quantas e quais as possibilidades de resultados
desses experimentos são questões que tentamos responder para avaliar as chances de eles acontecerem.
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Note que, ao especificar todos os resultados possíveis, identificamos o espaço amostral, representado por S.
São exemplos de espaços amostrais:
EXPERIMENTO ALEATÓRIO Espaço amostral
Jogar uma moeda S = { Cara, Coroa}
Lançar um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogar uma partida de futebol S = {Ganhar, Empatar, Perder}
Fazer um contato de vendas S = {Comprar, Não comprar}
Selecionar uma peça para inspeção S = {Defeituosa, Não defeituosa}
Nascimento de uma criança S = {Masculino, Feminino}

1
1
2
3
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5
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
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3
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
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3
4
5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
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3
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
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( 2, 6 )
2
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
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( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
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4
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( 4, 2 )
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( 4, 4 )
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( 5, 2 )
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( 5, 5 )
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6
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( 6, 2 )
( 6, 3 )
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( 6, 6 )
6
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6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
Princípio Fundamental da Contagem (principio multiplicativo)
O problema de determinar o espaço amostral surge quando as possibilidades de combinações são muitas e podem
nos deixar confusos (Ex.: ao lançar 2 dados, quais os resultados possíveis?). Para resolver esta questão recorremos à
organização da contagem denominada Princípio Fundamental de Contagem, representada graficamente pelo
Diagrama de árvore, onde mostra todos os possíveis resultados de um acontecimento. Exemplo clássico:
Suponha que José tenha 2 bermudas (preta e vermelha) e 3 camisas (azul, preta e verde). De quantas
maneiras diferentes (resultados possíveis) José pode se vestir usando uma bermuda e uma camisa?
Utilizando um diagrama de árvore teremos:
Figura. Diagrama de árvore
2 x 3 = Total de 6 possibilidades
(espaço amostral)
Notas básicas do Princípio multiplicativo
Observe que há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada
uma delas, três possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número
total de maneiras diferentes de José se vestir é: 2 x 3 = 6
Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação,
dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo.
O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para determinar o nº
de todas as possibilidades (espaço amostral) de um experimento sem que
seja necessário enumerar cada etapa. Para isto, basta conhecemos o
número de possibilidades de cada etapa e, multiplicando todos esses
números, teremos o número total de possibilidades. Portanto, temos abaixo
a fórmula:
Ao lançar dois dados, quantos resultados serão possíveis?
Observe pelo diagrama de árvore ao lado que, quando dois dados são lançados, cada um deles
tem seis resultados possíveis; juntos, esses seis resultados possíveis para cada dado produzem
36 (6x6) combinações, ou seja, 36 pares possíveis.
Então, ao lançar os dados abaixo, quantos
resultados são possíveis?
Três dados → 6x6x6 = 216
Quatro dados → 6x6x6x6 = 1.296
Cinco dados → 6
5
= 7.776
Oito dados → 6
8
= 1.679.616
Dez dados → 6
10
= 60.466.176
2 x 3 = 6
BERMUDAS
2 possibilidades
CAMISAS
3 possibilidades
1ª etapa 2ª etapa

Suponha que você tenha 2 calças (preta, branca), 3 camisas (verde, amarela, rosa) e 3 calçados (sapato, tênis e
chinelo). De quantas maneiras diferentes (resultados possíveis) você pode se vestir usando uma calça, uma camisa e
um calçado?
Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1
(projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o
prazo mais provável para conclusão total do projeto?
Sabendo que os números do Seguro Social são constituídos de 9 dígitos e cada um deles tem 10 resultados possíveis
(0,1,2...9), determine o número de Seguros diferentes que podem ser formados.
2 5 7 6 3 7 2 7 8 Espaço amostral
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
Aplicando o princípio multiplicativo, temos:
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
1.000.000.000 (1 bilhão de resultados possíveis)
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000.000
2 meses
(2,6) = 8 mesesEtapa 1-Projeto
Espaço amostral
Projeto
Etapa 2-Construção
3 meses
4 meses
6 meses
7 meses
8 meses
(2,7) = 9 meses
(2,8) = 10 meses
(3,6) = 9 meses6 meses
7 meses
8 meses
(3,7) = 10 meses
(3,8) = 11 meses
(4,6) = 10 meses6 meses
7 meses
8 meses
(4,7) = 11 meses
(4,8) = 12 meses
preta
verde
amarela
( pre, ver, sap )sapato
Maneiras
de se
vestir
tênis
branca
2 x 3 x 3 = 18 possibilidades
rosa
( pre, ver, ten )
chinelo ( pre, ver, chi )
( pre, ama, sap )sapato
tênis ( pre, ama, ten )
chinelo ( pre, ama, chi )
( pre, ros, sap )sapato
tênis ( pre, rosa, ten )
( pre, rosa, chi )chinelo
verde
amarela
( bra, ver, sap )sapato
tênis
rosa
( bra, ver, ten )
chinelo ( bra, ver, chi )
( bra, ama, sap )sapato
tênis ( bra, ama, ten )
chinelo ( bra, ama, chi )
( bra, rosa, sap )sapato
tênis ( bra, rosa, ten )
( bra, rosa, chi )chinelo
CALÇA CAMISA CALÇADO
É mais provável que o projeto
seja concluído dentro de
prazo de 10 meses.
3 x 3 = 9
Resultados
(espaço amostral)

Eventos
É o resultado possível dentro de um espaço amostral.
Lançar um dado e
observar sua face
S = {1,2,3,4,5,6}
Evento A → {sair número dois} → A={2}.
Evento B → {sair número maior que 4} → B={5,6}.
Evento C → {sair número par} →C={2,4,6}.
Evento D → {sair número menor que 2} → D={1}.
O Diagrama de Venn pode representar graficamente o espaço amostral e o evento.
Evento A → {sair número dois} → A={2}. Evento C → {sair número par} → C={2,4,6}.
A área do círculo representa o Evento e a área do retângulo representa todos os elementos de um espaço amostral.
Probabilidade básica
A probabilidade é dada por:
S
An
P
)(

Exemplos:
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser o número 2?
A = {2}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ S = 6
P(A) = 1 = 0,1666 ou 16,66%
6
a probabilidade de o resultado ser o “2” é
de 1 chance em 6 ou 0,1666 ou 16,66%.
2) No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de o resultado ser Cara?
A = {Ca}
S = {Ca,Co}
→ A = 1
→ S = 2
P(A) = 1 = 0,50 ou 50%
2
3) Uma urna tem 10 bolas, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca?
A = {B,B}
S = {P,P,P,P,P,P,P,P,B,B}
→ A = 2
→ S = 10
P(A) = 2 = 0,20 ou 20%
10
4) Em um lote de 200 peças, 25 são defeituosas e 175 são boas. Se um Analista Industrial retira uma peça, qual a
probabilidade de essa peça ser defeituosa?
A = {D,D,D,D,D...}
S = {B,B,B,B,B,B...D,D}
→ A = 25
→ S = 200
P(A) = 25 = 0125 ou 12,5%
200
5) Das 120 notas fiscais emitidas por uma empresa, 16 tem erros de impressão. Se um Auditor seleciona uma nota fiscal,
qual a probabilidade de essa nota apresentar erros de impressão?
A = {NE, NE, NE ...}
S = {NB,NB, NB...NE,NE}
→ A = 16
→ S = 120
P(A) = 16 = 0125 ou 12,5%
120
NE = Nota com erro ; NB = Nota boa
S = {1,2,3,4,5,6}
C = {2,4,6}
C 1
3
4 5
6
S
2
Espaço
amostral
Evento
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2}
A 1
3 4
5
6
S
2
Espaço
amostral
Evento
nº elementos no evento A
Espaço amostral

Observe as cartas de um baralho de 52 cartas, abaixo:
Naipes Valete Dama Reis Ás
(Paus)
(preta)
13 cartas
(ouros)
(vermelha)
13 cartas
(Espadas)
(preta)
13 cartas
(Copas)
(vermelha)
13 cartas
Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado:
Sair um Ás de Ouros: temos 1 Ás de Ouros no baralho, então:
A = {Ás}
S= {52 cartas}
→ A = 1
→ S = 52
P(A) = 1 = 0,019
52
Sair um Reis: temos 4 Reis no baralho. Então:
A = {R,R,R,R}
S= {52 cartas}
→ A = 4
→ S = 52
P(A) = 4 = 0,076
52
Interpretação de valores probabilísticos
As probabilidade são sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%)
Probabilidade com Eventos complementares
É a probabilidade com os resultados que não fazem parte do evento (A).
Eventualmente queremos saber a probabilidade de um evento não ocorrer. Portanto, é o evento formado pelos resultados que não
pertencem ao evento A. Sendo P( A ) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A) a probabilidade que ocorra, temos:
Probabilidade com Evento complementar
P( A ) = 1 – P(A)
Exemplo. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado:
Pela probabilidade (A)
ser o número 2
Probabilidade com evento complementar
não ser o número 2
A={2}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ S = 6
P(A) = 1 = 0,1666
6
P(A ) = 1 – P(A)
= 1 – 0,1666 → 0,8333 ou 83,33%
O “Diagrama de Venn” abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seu complemento A :
figuras
Números que não podem
representar probabilidade:
10
/5 120% -0,4
Probabilidade do
evento não ocorrer Probabilidade evento (A)
AAA equação 1- P( ) fundamenta-se na
interpretação dos valores probabilísticos:
0 1
0,1666 = 0,8333
0 0,5 (50%) 1 (100%)
Chance 50-50
Impossível pouco provável provável Certo
2
A 1
3
4
5
6
S
P(A) = 16,66% P( ) = 83,33%
Probabilidade (A) Probabilidade
Complementar

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos
É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B).
A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro.
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A
e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é:
Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a
probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é:
A = {R,R,R,R }
B = {D,D,D,D}
S = {52 cartas
→ A = 4
→ B = 4
→ S = 52
P(AouB) = 4 + 4 = 8 = 0,1538
52 52 52
Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas
(P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-se uma bola,
qual a probabilidade de ela ser preta ou verde?
A = {P,P }
B= {V,V,V}
S = {10}
→ A = 2
→ B = 3
→ S = 10
P(AouB) = 2 + 3 = 5 = 0,5
10 10 10
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos
É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B).
A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro.
Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os
eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos”
Exemplo 1 Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é:
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos).
Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos:
3
/6 +
2
/6 =
5
/6. Observe no diagrama que
este resultado está incorreto, pois P(AouB) =
4
/6. Este erro foi provocado pela dupla
contagem de “1”.
Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será:
P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será:
A = {1,3,5}
B = {1,2}
A e B = {1}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 3
→ B = 2
→ A e B = 1
→ S = 6
P(AouB) = 3 + 2 - 1 = 4 = 0,6666
6 6 6 6
Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja:
a) Leitor dos jornais A ou B?
A = {250}
B = {180}
A e B = {60}
S = {470}
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
250 + 180 – 60 = 370 = 0,7872
470 470 470 470
A = {2}
B = {5}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 1
→ S = 6
P(A ou B) = 1 + 1 = 2 = 0,3333
6 6 6
“ou” indica Adição de probabilidades. P(A ou B) =
P(A) + P(B)
B
60
Jornal
Jornal
A
A e B
* Regra da soma para três eventos: P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A e B) - P(B e C) + P(A e B e C)
A
1
3
4
6
S
B
5
ou2
4
6
SB
5 2
A e B (Ambos)
1
Menor que 3ímpar
3
A

PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Probabilidade com Eventos dependentes
É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido.
 Diz-se probabilidade condicional quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência do outro.
Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro.
A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por:
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos
calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original.
P(B|A) = P(A e B)
P(A) → espaço amostral de A, “reduzido”
Exemplo 1. Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse
número ser o “5” (evento B)?
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6}
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A):
A = {3, 4, 5, 6}
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço
amostral reduzido de A. Então:
Observe que não usamos o espaço amostral original S.
A e B = {5} → 1
A = {3,4,5,6} → 4
P(B|A) = P(A e B) → 1 = 0,25
P(A) 4
EXEMPLO 2 Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse
número ser ímpar (Evento B)?
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6}
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A):
A = {2, 3, 4, 5, 6}
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço
amostral reduzido de A. Então:
Observe que não usamos o espaço amostral original S
A e B = {3,5} → 2
A = {2,3,4,5,6} → 5
P(B|A) = P(A e B) → 2 = 0,40
P(A) 5
EXEMPLO 3 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª
carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição).
Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta,
o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então:
P (B|A) = 4 = 0,078
51
EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma
dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição).
Solução. Em razão de a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás, o baralho
restante tem 48 (52-4) cartas, 3 das quais são dama. Então:
P (E|A,B,C,D) = 3 = 0,062
48
Note que o espaço amostral original foi reduzido
B = {3, 5}
B = {5}
Maior que 2 Ser o 5
A
Novo espaço
amostral
6 5
1
2
4 3
B
Maior que 1 ímpar
A
Novo espaço
amostral
4
6
1
2
3
5
B
A ocorreu (lê-se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”)

EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250
lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de:
a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B?
O evento A ocorreu e queremos saber o B. Então, denotamos
P(B|A). Dentre os leitores do Jornal A, devemos destacar os que
lêem B; logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250).
Então, a probabilidade é:
A e B = {60} → 60
A= {190+60} → 250
P(B|A)=P(A e B) → 60 = 0,24
P(A) 250
b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A?
O evento B ocorreu e queremos saber o A. Então, denotamos
P(A|B). Dentre os leitores do Jornal B, devemos destacar os que
lêem A; logo, o espaço amostral desse evento é B (120+60=180).
A e B = {60} → 60
B= {120+60} → 180
P(A|B)=P(A e B) → 60 = 0,33
P(B) 180
EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança
e a presença de um gene específico nela.
Gene
presente
Gene não
presente
A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que
a criança tenha o gene (Evento A) é?
Solução. Há 72 crianças que têm o gene. Então, o espaço amostral consiste
dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então:
P (B|A) = 33 = 0,458
72
QI alto
QI normal
33
39
19
11
52
50
72 30 102
EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem
reposição, qual a probabilidade de:
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11
peças, 3 das quais são defeituosas. Então:
P (B|A) = 3 = 0,2727
11
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11
peças, 4 das quais são defeituosas. Então:
P (B|A) = 4 = 0,3636
11
a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”.
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11
peças, 8 das quais são de qualidade
P (B|A) = 8 = 0,7272
11
Jornal
Jornal
BJornal
Jornal
A
190
120
60Novo espaço
amostral 120
B
Novo espaço
amostral
60190
A

Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A)
Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte:
P(B|A) = P(A e B)
P(A)
se quero achar: P(B|A) = ? então →
P(A e B) P(A)
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro.
EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de
selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição).
A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é
4
/52. A
2ª carta ser uma Dama é
4
/51, pois o baralho
restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama.
P(A e B) = ?
P(A) =
4
/52
P(B|A) =
4
/51
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
4 x 4 → 16 = 0,006
52 51 2652
EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência,
qual a probabilidade de que: (não há reposição)
a) Ambas sejam “defeituosas” b) Ambas sejam de “qualidade”
P(A e B) = ?
P(A) =
4
/12
P(B|A) =
3
/11
4 x 3 = 0,090
12 11
P(A e B) = ?
P(A) =
8
/12
P(B|A) =
7
/11
8 x 7 = 0,4242
12 11
A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é
4
/12 e a 2ª é
3
/11, pois o
lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas.
A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidade é
8
/12 e a 2ª é
7
/11,
pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade.
EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo-se três bolas em sequência, qual a probabilidade
de que: (não há reposição).
a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta (ou seja, BBP)
A probabilidade de a 1ª bola ser branca é
7
/10 e a 2ª é
6
/9. A
probabilidade de a 3ª bola ser preta é
3
/8, pois a urna restante
tem 8 peças, 3 das quais são pretas.
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8
7 x 6 x 3 = 0,175
10 9 8
b) Duas sejam brancas e uma seja preta (ou seja: BBP, BPB ou PBB) = 3[BBP]
O evento sair “duas brancas e uma preta” pode ocorrer de três maneiras que
diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas: (BBP, BPB, PBB). Logo, a
probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de
uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP).
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8







8
3
x
9
6
x
10
7
3 = 0,525
c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP] + [BBB])
2 brancas 3 brancas
“Pelo menos duas brancas“ é a mesma coisa que “no
mínimo duas brancas”, ou seja, duas ou três brancas.
Então, calculamos duas brancas + três brancas.
3[BBP]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
3
/8
[BBB]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
5
/8







8
3
x
9
6
x
10
7
3 + 





8
5
x
9
6
x
10
7
= 0,8166
d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP] + 3[PPB])
0 branca 1 branca
No máximo uma branca é a mesma coisa que “ou
nenhuma branca ou uma branca”. Então, calculamos
nenhuma branca (todas pretas) + uma branca.
[PPP]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
1
/8
3[PPB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
7
/8






8
1
x
9
2
x
10
3
+ 






8
7
x
9
2
x
10
3
3 = 0,1833
e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB] + 3[PPB] + [PPP])
1 preta 2 pretas 3 pretas
3[PBB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
7
/9
P(C|B) =
6
/8
3[PPB]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
7
/8
[PPP]
P(A) =
3
/10
P(B|A) =
2
/9
P(C|B) =
1
/8







8
6
x
9
7
x
10
3
3 + 






8
7
x
9
2
x
10
3
3 + 





8
1
x
9
2
x
10
3
= 0,7083
MÉTODO ALTERNATIVO:
É mais prático usar o
evento complementar:
1 – BBB (nenhuma preta)
[BBB]
P(A) =
7
/10
P(B|A) =
6
/9
P(C|B) =
5
/8







8
5
x
9
6
x
10
7
1 = 0,7083
f) Todas sejam da mesma cor:
[PPP]+[BBB] = 0,30

Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes
É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência.
A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes.
 A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos independentes. Aqui associaremos a palavra “e”
com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”. A equação é : P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição
Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a
probabilidade de:
Obter o número 2 e ímpar ?
Pelo Diagrama de árvore:
(2,1), (2,3), (2,5)
3 = 8,33%
36
Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos:
A={2}
B={1,3,5}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ B = 3
→ S = 6
P(A e B) = P(A) x P(B)
1 x 3 = 3 = 8,33%
6 6 36
Obter um número par e ímpar ?
Pelo Diagrama de árvore
(2,1), (2,3), (2,5)
(4,1), (4,3), (4,5)
(6,1), (6,3), (6,5)
9 = 25%
36
Aplicando a regra da multiplicação, temos:
A={2,4,6}
B={1,3,5}
S={1,2,3,4,5,6}
→ A = 3
→ B = 3
→ S = 6
P(A e B) = P(A) x P(B)
3 x 3 = 9 = 25%
6 6 36
Esta regra pode ser estendida para qualquer número de eventos
independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)...
O resultado do evento B independe do resultado de A.
“São independentes”
Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos
degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que:
Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é
independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes.
a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS]
[SSS]
P(A) = 0,75
P(B) = 0,75
P(C) = 0,75
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)
0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218
b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF]
[FFF]
P(A) = 0,25
P(B) = 0,25
P(C) = 0,25
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)
0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156
c) Duas cirurgias sejam um sucesso (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF]
O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela
ordem dos resultados das cirurgias: (SSF, SFS, FSS). Logo, a probabilidade será a
soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas
maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF).
P(A) = 0,75
P(B) = 0,75
P(C) = 0,25
3 * (0,75*0,75*0,25) = 0,4218
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
S = {36}Evento A e Evento B

Teorema de Bayes (THOMAZ BAYES – 1701-1761 – MATEMÁTICO)
É uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder a pergunta: sabendo-se que o
evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provindo de X?
 Usamos o Teorema de Bayes para rever probabilidades com base em informação adicional obtida posteriormente. Uma idéia-chave
para se entender a essência do teorema é reconhecer que estamos trabalhando com eventos sequenciais, pelos quais novas
informações são obtidas para se rever a probabilidade do evento inicial. Nesse contexto, os termos probabilidade a priori e
probabilidade a posteriori são comumente usados.
 Uma probabilidade a priori é um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação
adicional. Uma probabilidade a posteriori é um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida
posteriormente. O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e pela equação de Bayes.
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes
As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de
peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada
da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina A?
Resolução: Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças
perfeitas e defeituosas. Denotamos P = peça perfeita e D = peça defeituosa
Pelo Diagrama de Árvore
A probabilidade da peça sair defeituosa,
seja da máquina A ou B, é 0,0305
(0,0130+0,0175), que é a probabilidade
total da peça sair defeituosa.
Se queremos saber a probabilidade de a
peça defeituosa ter sido produzida pela
máquina A, será:
0,0130 = 0,4262
0,0305
Enquanto que ter sido produzida pela
máquina B será:
0,0175 = 0,5738
0,0305
Pela equação de Bayes
A equação de Bayes é dada por
P(x) =
P(A1) . P(B|A1)
P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2)
Sendo o numerador a probabilidade condicionada
procurada, o denominador a probabilidade total
condicionada, podendo estender a P(An) . P(B|An).
Usando a equação de Bayes e as probabilidades do exemplo 1,
referente ao cálculo da peça defeituosa ter sido produzida pela
máquina A, temos:
P(A1) = 0,65 (peça ser produzida pela máquina A)
P(B|A1) = 0,02 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A)
P(A2) = 0,35 (peça ser produzida pela máquina B)
P(B|A2) = 0,05 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B)
P(x) =
(0,65) . (0,02)
= 0,4262
(0,65) . (0,02) + (0,35) . (0,05)
Exemplo 2. As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de peças de uma
empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 10 e 20. Se uma peça
defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?
O total de peças produzidas é igual a 550 (400+150), logo:
A
P(A1) = 0,727 (
400
/550) (peça ser produzida pela máquina A)
P(B|A1) = 0,025 (
10
/400) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A)
B
P(A2) = 0,272 (
150
/550) (peça ser produzida pela máquina B)
P(B|A2) = 0,133 (
20
/150) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B)
Logo, a probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela máquina B será:
P(x) =
P(A2) . P(B|A2)
P(A2) . P(B|A2) + P(A1) . P(B|A1)
P(x) =
(0,272) . (0,133)
= 0,6661
(0,272) . (0,133) + (0,727) . (0,025)
P(A) * (P|A) = 0,6370
P(A) *(D|A) = 0,0130
P(B) * (P|B) = 0,3325
P(B) * (D|B) = 0,0175
Peça
fabricada
0,65
0,35
máquina
A
máquina
B
Peça
perfeita
Peça
defeituosa
0,98
0,02
Peça
perfeita
Peça
defeituosa
0,95
0,05
+

Construindo modelos teóricos...
É possível criar um modelo teórico
que descreva como se espera que o
experimento se comporte?
VÍDEO
https://www.youtube.com/watch?v=taXzDnSvEyQ&list=TLgncEwsd32SIvhtOJR3ir4KnWzikk3-ov
CAPÍTULO 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E
MODELOS PROBABILÍSTICOS
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
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5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
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( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
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Lançar dois dados
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( 1, 1 )
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( 1, 3 )
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( 1, 5 )
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( 1, 1 )
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( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
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( 2, 2 )
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( 2, 4 )
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( 2, 2 )
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( 2, 4 )
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( 3, 3 )
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( 3, 3 )
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( 3, 5 )
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( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
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( 4, 6 )
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( 5, 2 )
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( 5, 6 )
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( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
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( 6, 2 )
( 6, 3 )
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( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
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3
4
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1
Probabilidade
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Soma dos dados
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/36
5
/36
4
/36
3
/36
2
/36
1
/36

VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um
experimento de probabilidade.
Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados
lançados simultaneamente:
Soma dos
dados “X”
f
Probabilidade
“P(x)”
2 1 1
/36
3 2 2
/36
4 3 3
/36
5 4 4
/36
6 5 5
/36
7 6 6
/36
8 5 5
/36
9 4 4
/36
10 3 3
/36
11 2 2
/36
12 1 1
/36
- =36 =1
Notas e comentários
A palavra “aleatório” indica que “X” é determinado pelo acaso. A variável aleatória é uma regra que associa um valor
numérico a cada resultado experimental possível.
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os
valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade,
denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória.
A principal vantagem de definir uma variável aleatória “X” e sua distribuição de probabilidade é que, uma vez que a
distribuição seja conhecida, torna-se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser
do interesse de um tomador de decisões.
É a lista de cada valor de
uma variável aleatória “X”
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
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3
4
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
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Lançar dois dados
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
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( 2, 2 )
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( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
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( 3, 5 )
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
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( 4, 2 )
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( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
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( 5, 1 )
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( 5, 3 )
( 5, 4 )
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( 5, 6 )
5
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( 5, 1 )
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( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
2
3
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5
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5
4
3
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1
Probabilidade
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Soma dos dados
6
/36
5
/36
4
/36
3
/36
2
/36
1
/36
Representação
gráfica da
distribuição
Distribuição de
probabilidades
Variáveis aleatórias(X)
Valor numérico de cada
experimento
frequências

Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses).
Definindo a variável aleatória “X” como o prazo para
conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as
probabilidades no diagrama de árvore, você poderá
determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para
conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação
para estabelecer as distribuições de probabilidades:
Conclusão do projeto
(em meses) “X”
f
Probabilidade “P(x)”
8 1 1
/9 = 0,11
9 2 2
/9 = 0,22
10 3 3
/9 = 0,33
11 2 2
/9 = 0,22
12 1 1
/9 = 0,11
- =9 =1
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos:
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55%
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77%
Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram
que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3
televisões e 12 casas possuem 4 televisões.
Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável
aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo:
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos:
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5%
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5%
Nº de
televisões “X”
f
(casas)
Probabilidade
“P(x)”
0 3
3
/200 = 0,015
1 38
38
/200 = 0,190
2 95
95
/200 = 0,475
3 52
52
/200 = 0,260
4 12
12
/200 = 0,060
- =200 =1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
8 9 10 11 12
0,11
0,22
0,33
0,22
0,11
Probabilidade
meses
Prazo para conclusão do projeto
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
0,015
0,19
0,475
0,26
0,06
Probabilidade
Número de televisões
Casas com televisões em um bairro

1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
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5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
VALOR ESPERADO E(X)
O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes.
Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes.
Então, podemos dizer que o conceito de Valor esperado aplicado em uma variável aleatória é equivalente à Média ponderada dos
possíveis valores que “X” pode receber, onde os pesos são as probabilidades associadas. É semelhante ao cálculo da Média de uma
Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula:
EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO
Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por
E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância.
E (X) =  X . P(x)
Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo
esperado para conclusão do projeto?
(em meses) X
P(x) X . P(x)
8 0,11 0,88
9 0,22 1,98
10 0,33 3,30
11 0,22 2,42
12 0,11 1,32
- =1  X.P(x) = 10
Valor esperado E(X)
Interpretação: Espera-se que o projeto seja concluído em 10 meses
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma:
E(X) = 8(0,11) + 9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses
Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados
simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados?
3
Soma dos
dados “X”
Probabilidade
“P(x)”
X . P(x)
2 0,0278 0,0556
3 0,0556 0,1667
4 0,0833 0,3333
5 0,1111 0,5556
6 0,1389 0,8333
7 0,1667 1,1667
8 0,1389 1,1111
9 0,1111 1,0000
10 0,0833 0,8333
11 0,0556 0,6111
12 0,0278 0,3333
- =1  X.P(x) = 7
Valor esperado E(X)
Interpretação: Espera-se que a soma dos dados seja 7.
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma:
E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) +
8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278) = 7
Valor esperado de “X”
Variáveis Aleatórias
Probabilidades associadas
x =
x =

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X).
 Embora o Valor esperado de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória descreva um resultado
comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados,
você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então:
FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO
VARIÂNCIA
S
2 =
 (x – EX)2
. P(x)
DESVIO PADRÃO
S = 2s
Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais:
etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para
conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão?
Então, a Variância é: S
2
= 1,32 e o Desvio padrão é: S = 2s → S = 32,1 → 1,15 meses
Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma:
S
2
=  (x – EX)
2
.P(x) → (8-10)
2
. (0,11) + (9-10)
2
. (0,22) + (10-10)
2
. (0,33) + (11-10)
2
. (0,22) + (12-10)
2
. (0,11) = 1,32
S = 32,1 → 1,15 meses
Interpretação do desvio padrão:
O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou
para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de:
(em meses) X
P(x) X . P(x) (X – EX)
2
. P(x)
8 0,11 0,88 ( 8–10)
2
. (0,11) = 0,44
9 0,22 1,98 ( 9–10)
2
. (0,22) = 0,22
10 0,33 3,30 (10–10)
2 .
(0,33) = 0
11 0,22 2,42 (11–10)
2 .
(0,22) = 0,22
12 0,11 1,32 (12–10)
2 .
(0,11) = 0,44
Total =1 EX = 10  = 1,32
Variáveis Aleatórias
Valor esperado
Probabilidades associadas
Variância
8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses
E(X)
8,85 11,15

MODELO BINOMIAL (JAKOB BERNOULLI 1654-1705)
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser
reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO.
 Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o
evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom.
Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada.
 A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição.
Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão)
FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos fatores
são números naturais consecutivos, denotado por x! Exemplos:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
30! = 30.29.28. ... .1
0! = 1
5! = 5.4.3! = 20
3! 3!
5! = 5.4.3! = 5
3! 4 3! 4
5! = 5.4.3! = 10
3! (5-3)! 3! (2)!
Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação.
Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL
P(x) = n! . S
x
. F
n - x
x! (n - x)!
Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos.
Fundamentação da equação: https://www.youtube.com/watch?v=V2sfnVikFXA
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial
Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A
cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes.
Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial
A probabilidade de sucesso em 1 paciente será:
P(x)= 3! . 0,75
1
. 0,25
3 – 1
≈ 0,141
1! (3-1)!
Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047)
A probabilidade de não ter sucesso será:
P(x)= 3! . 0,75
0
. 0,25
3 – 0
≈ 0,016
0! (3-0)!
Nota: x
0
= 1
1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen)
P(x) = n! . S
x
. F
n - x
x! (n - x)!
n = 3
x = 2
S = 0,75
F = 0,25 (evento complementar)
P(x)= 3! . 0,75
2
. 0,25
3 - 2
2! (3-2)!
P(x)= 0,422
S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422
0,75
0,75 S F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 +
S
0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 +
F
F
(S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047
S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 +
0,75
S0,25 F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047
F
0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047
F
F (F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016
Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de
0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso
com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141)
Usando a equação Binomial obtemos
o mesmo resultado pelo método do
Diagrama de árvore, de 0,422.
F = probabilidade de Fracasso
(evento complementar)
S = probabilidade de Sucesso
(evento procurado)
n tamanho da amostra
x nº sucessos na amostra

Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de
Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de:
a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso)
b) 28 estarem empregados
c) 27 estarem empregados
Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual a
probabilidade de saírem:
Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas?
Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes?
Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos?
*
1
/3 o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de 1
/3
Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5
peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa:
2 estejam defeituosas
n = 5 (tamanho da amostra)
x = 2 (nº sucessos da amostra)
S = 0,30 ( =
3
/10 a p peça ser defeituosa)
F = 0,70 (= 7
/10 a p peça ser perfeita)
P(x) = 5! __ . 0,30
2
. 0,70
5–2
≈ 0,3087
2! (5-2)!
4 estejam perfeitas
S = 0,70 ( =
7
/10 a p peça ser perfeita)
F = 0,30 (= 3
/10 a p peça ser defeituosa)
P(x) = 5! __ . 0,70
4
. 0,30
5–4
≈ 0,3602
4! (5-4)!
P(x) = n! . S
x
. F
n - x
x! (n - x)!
a) 5 estarem desempregados
n = 30
x = 5
S = 0,13
F = 0,87
P(x)= 30! . 0,13
5
. 0,87
30 - 5
5! (30-5)!
P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307
P(x) ≈ 0,1627
b) 28 estarem empregados
n = 30
x = 28
S = 0,87
F = 0,13
P(x)= 30! . 0,87
28
. 0,13
30-28
28! (30-28)!
P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169
P(x) ≈ 0,1489
c) 27 estarem empregados
n = 30
x = 27
S = 0,87
F = 0,13
P(x)= 30! . 0,87
27
. 0,13
30-27
27! (30-27)!
P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021
P(x) ≈ 0,1978
a) 2 bolas pretas?
n = 5
x = 2
S = 0,20 (
10
/50)
F = 0,80 (
40
/50)
P = 5! . 0,20
2
. 0,80
5–2
≈ 0,2048
2! (5-2)!
b) 4 bolas brancas?
n = 5
x = 4
S = 0,80 (
40
/50)
F = 0,20 (
10
/50)
P = 5! . 0,80
4
. 0,20
5 –4
≈ 0,4096
4! (5-4)!
S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara)
F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa)
P(x) = 5! __ . 0,50
3
. 0,50
5–3
≈ 0,3125
3! (5-3)!
S = 0,17 ( =
1
/6 a p de obter “4”)
F = 0,83 (= 5
/6 a p de não obter “4”)
P(x) = 6! __ . 0,17
2
. 0,83
6–2
≈ 0,2057
2! (6-2)!
S = 0,33 ( =
1
/3 a p de ganhar)*
F = 0,66 (= 2
/3 a p de não ganhar)
P(x) = 6! __ . 0,33
4
. 0,66
6–4
≈ 0,0774
4! (6-4)!
87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso)
Sucesso é o que se deseja estudar;
Fracasso é o que não se deseja estudar

Exemplo 8. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a
probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina:
a) Entre 3 e 5 parafusos estejam defeituosos, inclusive (ou seja: P3 + P4 + P5)
Neste caso, calcularemos a probabilidade de 3, 4 e 5 parafusos defeituosos. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Prob.)
3 parafusos defeituosos
n = 40
x = 3
S = 0,12
F = 0,88
P = 40! . 0,12
3
. 0,88
40–3
≈ 0,1507
3! (40-3)!
n = 40
x = 4
S = 0,12
F = 0,88
P = 40!_ . 0,12
4
. 0,88
40–4
≈ 0,1901
4! (40-4)!
n = 40
x = 5
S = 0,12
F = 0,88
P = 40! _ . 0,12
5
. 0,88
40–5
≈ 0,1867
5! (40-5)!
P (3 e 5, inclusive) = 0,1507 + 0,1901 + 0,1867 = 0,5275
b) Pelo menos dois parafusos defeituosos (ou seja: P2 + P3 + P4 + . . . + P40) Neste caso use: 1 - (P0 + P1)
Ao invés de calcularmos P2 + P3 + P4 + . . . + P40 é mais conveniente usarmos o método do evento complementar (1 – p), pois dá menos
trabalho. Então, calculamos 1 – (P0 +P1 )
nenhum parafuso defeituoso
n = 40
x = 0
S = 0,12
F = 0,88
P0 = 40! . 0,12
0
. 0,88
40–0
≈ 0,0060
0! (40-0)!
1 parafuso defeituoso
n = 40
x = 1
S = 0,12
F = 0,88
P1 = 40! . 0,12
1
. 0,88
40–1
≈ 0,0328
1! (40-1)!
Evento complementar
P (x ≥ 2) = 1 – (P0 + P1)
P = 1 – (0,0060 + 0,0328)
P = 0,9612
c) No máximo 3 parafusos defeituosos (ou seja: P0 + P1 + P2 + P3)
Neste caso, somamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + P3, Ou seja, aplicamos o método de adição de probabilidades.
nenhum parafuso
defeituoso
P0 = 0,0060
1 parafuso
defeituoso
P1 = 0,0328
2 parafusos
defeituosos
P2 = 0,0872
3 parafusos
defeituosos
P3 = 0,1507
Adição
P (x ≤ 3) = 0,0060+0,0328+0,0872+0,1507 = 0,2768
d) Pelo menos 39 parafusos de qualidade (ou seja: ... P39 + P40)
Ou seja, no mínimo 39 parafusos de qualidade. Então, somamos P39 + P40
39 parafusos de qualidade
n = 40
x = 39
S = 0,88
F = 0,12
P39 = 40! . 0,88
39
. 0,12
40–39
≈ 0,0328
39! (40-39)!
40 parafusos de qualidade
n = 40
x = 40
S = 0,88
F = 0,12
P1 = 40! . 0,88
40
. 0,12
40–40
≈ 0,0060
40! (40-40)!
Adição
P = P39 + P40
P = (0,0328 + 0,0060)
P = 0,0388
e) No máximo 39 parafusos de qualidade (ou seja: ...P0 + P1 + P2 + ... + P39)
Neste caso, somaríamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + ... + P39, Mas são muitos cálculos. Então, é mais conveniente usar o
método de evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – P40
P (x ≤ 39) = 1 – P40 → P = 1 – 0,0060 = 0,9940

Encontrando probabilidades Binomiais por meio do Excel
Você pode encontrar probabilidades Binomiais pelo EXCEL, bastando inserir os dados, conforme demonstrado abaixo. A figura
abaixo se refere ao exemplo 8 que acabamos de ver.
Ou, diretamente pela equação Binomial no excel (ex. 8, sair 3 defeituosos):
nº sucesso amostra
tamanho amostra
prob. Sucesso
falso, para não cumulativo (até 3)

MODELO DE POISSON (DENIS POISSON 1781-1840) (LÊ-SE POASSÓN)
É um experimento de probabilidade que calcula o NÚMERO DE OCORRÊNCIAS de um evento em um
DADO INTERVALO de TEMPO, DISTÂNCIA, ÁREA, VOLUME ou unidade similar.
 O esquema abaixo ajuda a melhor interpretar o experimento de Poisson.
 Regras: É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente.
 São exemplos: número de consultas a uma base de dados por minuto; número de falhas de um equipamento por hora;
número de erros de tipografia em um formulário; número de defeitos em um m
2
de piso cerâmico; número de buracos
em um asfalto por km; número de acidentes por mês em uma rodovia etc.
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE POISSON
P(x) = µ
x *
e
- µ
x !
µ = letra grega mi = Média
Nota: Algumas literaturas usam 
(lambda) no lugar de µ
Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes por mês.
Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado:
a) 4 acidentes ocorram na rodovia
b) 2 acidentes ocorram na rodovia
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia
Para calcular e
- µ
use a mesma tecla X
y
ou ^. Introduza 2,7182 X
y
- 3 = 0,0497
Encontre e na calculadora
Você pode usar o microsoft Excel para calcular probabilidades de Poisson. Veja abaixo (do exemplo 1)
a) 4 acidentes ocorram na rodovia
µ = 3
e = 2,7182
x = 4
P(x) = 3
4 .
2,7182
-3
= 0,168
4!
b) 2 acidentes ocorram na rodovia
µ = 3
e = 2,7182
x = 2
P(x) = 3
2 .
2,7182
-3
= 0,224
2!
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia
µ = 3
e = 2,7182
x = 0
P(x) = 3
0 .
2,7182
-3
= 0,0498
0!
Constante de Euler Venn 2,7182
Média do nº de ocorrências (baseada em histórico)
nº de ocorrências procurada
x x x x
← Intervalo de tempo, distância, área ou volume →
nº de ocorrências
do evento1 2 3 4...

Exemplo 2. Supondo que a Média do número de pessoas que acessam um caixa eletrônico de um banco durante
uma hora é 5. Determine a probabilidade de, no mesmo período, ocorrerem:
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico
b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico
a) Menos de 2 acessos ao caixa eletrônico (ou seja nenhum acesso ou um acesso: P0 + P1 )
Neste caso, calcularemos a probabilidade de P0 e P1. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Probabilidades)
Nenhum acesso ao caixa
µ = 5
e = 2,7182
x = 0
P0 = 5
0 .
2,7182
-5
= 0,0067
0!
1 acesso ao caixa eletrônico
µ = 5
e = 2,7182
x = 1
P1 = 5
1 .
2,7182
-5
= 0,0337
1!
Adição de Probabilidades
P(x < 2) = P0 + P1
P = 0,0067 + 0,0337 = 0,0404
b) Pelo menos 3 acessos ao caixa eletrônico (ou seja P3+P4+P5 +P6+P7+P8 ...)
“pelo menos 3 acessos ao caixa” é o mesmo que “no mínimo 3 acessos ao caixa”. Ao invés de calcularmos P3+P4+P5+... é mais
conveniente usarmos método do evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – (P0 + P1 + P2)
Nenhum acesso
ao caixa
P0 = 0,0067
1 acesso ao caixa
eletrônico
P1= 0,0337
2 acessos ao caixa eletrônico
µ = 5
e = 2,7182
x = 2
P2 = 5
2 .
2,7182
-5
= 0,0842
2!
Evento complementar
P (x ≥ 3) = 1 – (P0 + P1 + P2)
P = 1 – (0,0067+0,0337+0,0842)
P = 0,8753
Exemplo 3. Numa central telefônica chegam em média 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) 2 telefonemas ocorram em dois minutos?
b) 3 telefonemas ocorram em quatro minutos?
c) Nenhum telefonema ocorra em um minuto?
Nota: São 300 telefonemas/hora, em média.
Então são em média 5 telefonemas/minuto. (
300
/60 = 5)
Diretamente pela equação Poisson no excel (ex. 1, média 3, ocorrer 4 acidentes):
P(x) = µ
x .
e
- µ
x!
a) 2 telefonemas ocorram em dois
minutos?
µ= 10 telefonemas (5+5 em dois min)
e= 2,7182
x= 2 telefonemas
P = 10
2 *
2,7182
-10
= 0,002270
2!
b) 3 telefonemas ocorram em quatro
minutos?
µ= 20 telefonemas (5*4 em quatro min)
e = 2,7182
x = 3
P = 20
3 .
2,7182
–20
= 0,0000274
3!
c) Nenhum telefonema ocorra em
um minuto?
µ = 5 telefonemas (em um min)
e = 2,7182
x = 0
P = 5
0 .
2,7182
-5
= 0,00673
0!

Poisson como aproximação para a distribuição Binomial
Você pode utilizar a Distribuição de Poisson para fazer uma aproximação da Distribuição Binomial
quando n (tamanho da amostra) é grande e S (sucesso) é pequeno.
 Quando n é muito grande (acima de 100, por exemplo), as probabilidades binomiais ficam difíceis de serem calculadas,
como exemplo 0,12
100
. 0,88
100 - 5
. O cálculo direto é impraticável. Apelamos então para a aproximação de Poisson.
EQUAÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL
P(x) = (n.s)
x *
e
- (n . s)
x !
Note que substituímos a média µ da equação de Poisson pela média da distribuição Binomial (n . s). Para melhor entender o
modelo de aproximação vamos ver os exemplos 1 e 2, que comparam os dois métodos:
a) 3 parafusos estejam defeituosos
Pela distribuição Binomial
n = 40
x = 3
S = 0,12
F = 0,88
Pbin = 40! . 0,12
3
. 0,88
40–3
≈ 0,1507
3! (40-3)!
Poisson como aproximação da distribuição Binomial
n = 40
x = 3
S = 0,12
PPoisson ≈ bin = (40 * 0,12)
3
* 2,7182
–(40 * 0,12)
≈ 0,1517
3!
Análise dos resultados: Perceba pelo comparativo que a distribuição de Poisson pode ter uma boa aproximação da Distribuição
Binomial. A aproximação vai melhorando à medida que n vai se tornando maior e S vai se tornando menor.
a) 9 parafusos estejam defeituosos
Pela distribuição Binomial
n = 900
x = 9
S = 0,01
F = 0,99
Pbin = 900! . 0,01
9
. 0,99
900 – 9
≈ „Math ERROR‟
9! (900-9)! (0,1324 pelo Excel)
Poisson como aproximação da distribuição Binomial
n = 900
x = 9
S = 0,01
PPoisson ≈ bin = (900*0,01)
9
* 2,7182
–(900 * 0,01)
≈ 0,1317
9!
Análise dos resultados: Observe que o cálculo do exemplo 2 pelo método Binomial usando uma calculadora científica torna-se
impraticável. Pelo Excel o resultado Binomial é 0,1324, bem aproximado pelo método de Poisson. É importante ressaltar que
a variável aleatória de Poisson teoricamente se estende desde 0 até ∞ (infinito). No entanto, quando você utiliza a distribuição
de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial, a variável aleatória de Poisson — o número de sucessos dentre
n observações — não pode ser maior do que o tamanho da amostra, n.
VÍDEOS DISTRIBUIÇÃO POISSON
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=WGQYIDSSJLW
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=KGJMVCJWBFE
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=2UUDJFT6CYW
n = tamanho da amostra
s = Probabilidade de sucesso
procurada
Constante de Euler
Venn 2,7182
x = nº de sucessos da amostra

MODELO NORMAL (ABRAHAM DE MOIVRE 1667 - 1754 )
É usada para distribuições SIMÉTRICAS e possui diversas aplicações, como calcular as probabilidades de
PESOS e ALTURAS das pessoas, diâmetro e comprimento de peças em linhas de produção, tempo de vida
útil de produtos e diversas outras medições de pesquisas científicas.
 Aplicado para distribuições SIMÉTRICAS (Média=Moda=Mediana). Possui como parâmetro a MÉDIA e DESVIO PADRÃO.
 Também chamada de Curva Normal, Curva de Gauss e Curva em forma de Sino.
Para entender o conceito de uma Distribuição Normal, tomemos como exemplo a distribuição da vida útil de 340
lâmpadas produzidas pela PHILIPS:
Observe pela Distribuição Normal que o tempo de vida útil das lâmpadas:
 Possui uma elevação em seu centro e pontas que vão tanto para direita quanto para a esquerda;
 A Média, Mediana e Moda (1000 horas) encontram-se exatamente no meio da distribuição;
 A distribuição de valores menores que a Média (700, 800, 900) e maiores que a Média (1100, 1200, 1300) é simétrica,
o que significa que se você dobrá-la ao meio, suas partes serão como imagens refletidas por um espelho;
 Como a curva é simétrica em torno da Média, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média
ocorrem com igual probabilidade;
 A maioria dos dados é centralizada ao redor da média, de modo que quanto mais longe da média você se mover, cada
vez menos pontos de dados você vai encontrar em ambos os lados.
Analisando a variabilidade
Analise a figura abaixo. Veja que a maior parte da vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS varia de 700
horas até 1300 horas, com uma boa parte das lâmpadas com vida útil de 900 a 1100 horas. Pensando como
consumidor, você gostaria de se deparar com tamanha variabilidade quando for comprar um pacote de lâmpadas?
Veja que uma concorrente (OSRAM) irá tentar fabricar lâmpadas com vida útil menos variável; a vida útil terá
uma média de 1000 horas, mas suas lâmpadas terão uma vida útil mais consistente, variando de 920 a 1080
horas, com boa parte das lâmpadas com duração entre 980 e 1020 horas.
Curva NORMAL ou
Curva de GAUSS ou
Curva em forma de SINOMédia =
Moda = 1000 horas
Mediana =
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Quantidade
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas
produzidas pela OSRAM
PHILIPS
OSRAM
920 1080

Em uma distribuição Normal, o Desvio padrão tem um significado especial, pois determina a distância da Média
até um ponto dentro da distribuição, cada um com a mesma distância da Média. No caso abaixo, supomos (por
fins didáticos) que o Desvio padrão do tempo de vida útil das lâmpadas é s=100 horas.
ENCONTRANDO PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Quando se tem uma variável aleatória com distribuição normal pode-se obter a probabilidade de essa variável
assumir um valor em determinado intervalo, pela área sob a curva dentro dos limites do intervalo.
Exemplo 1. Seja X a variável aleatória que representa os tempos de vida útil das lâmpadas produzidas pela
PHILIPS Sendo a Média de vida útil das lâmpadas de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas, ache a
probabilidade de a lâmpada ter vida útil entre 1000 e 1150 horas, isto é, P(1000 < z < 1150).
PARA ACHAR A PROBABILIDADE, SIGA 2 PASSOS:
1º PASSO. Calcule o número de desvios padrão que o valor “1150” se distancia da média “1000”. Para isto,
utilizamos a equação abaixo, chamada “escore Z”.
EQUAÇÃO ESCORE Z
s
x
z x-

Calculando o escore Z, temos:
z = 1150 - 1000 = 1,50
100
O resultado indica que 1150 está distante 1,50 desvios
padrão da média. Use sempre 2 casas decimais. Veja
demonstração da área de Z no gráfico acima.
O escore Z é uma medida que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média.
A regra empírica
Na distribuição normal é possível determinar a posição
da maioria dos valores, usando as distâncias de 1, 2 ou 3
Desvios padrões da Média para estabelecer alguns
marcos. A regra que lhe permite fazer isso se chama
Regra empírica, que diz o seguinte:
Espera-se que cerca de 68,26% dos valores encontram-
se dentro de 1 desvio padrão da média;
(no exemplo, 240 lâmpadas (70+100+70).
Espera-se que 95,44% dos valores encontram-se dentro
de 2 desvios padrões da média;
(no exemplo, 320 lâmpadas: 40+70+100+70+40)
Espera-se que 99,74% dos valores encontram-se dentro
de 3 desvios padrões da média;
(no exemplo, 340 lâmpadas: 10+40+70+100+70+40+10)
Estes resultados são aproximações. A regra empírica
não pode ser aplicada às distribuições que não possuam
uma forma de montanha em seu centro.
Média
Variável aleatória procurada
Desvio padrão
Escore Z
Probabilidade procurada
P(1000 < Z < 1150)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Z= 1,50
P= 0,4332
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Quantidade
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
s=100
68,26%
95,44%
99,74%
S=100 S=100
-3S -2S -1S
x
1S 2S 3S

2º PASSO. Com o escore Z de “1,50”, use a Tabela de Distribuição Normal Padrão para encontrar a
probabilidade, como explicado abaixo
Na 1ª coluna encontramos “1,5”. Em seguida, encontramos na 1ª linha “0”, que é o último algarismo de “1,50”. Na
intersecção da linha e coluna encontramos 0,4332, que indica a probabilidade P(1000 < z < 1150) = 0,4332 ou 43,32%
Interpretação: espera-se que 43,32% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1150 horas
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
A área constante na tabela corresponde a área à direita (sinal positivo):
motivo da qual desconsideramos o sinal negativo no z-escore nas áreas à esquerda, pois a curva é simétrica em torno da
Média, ou seja, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com igual probabilidade. . A
tabela não é de distribuição acumulada. Vamos ver alguns exemplos adiante.
-3S -2S -1S 0 1S 2S 3S
Área = 0,5
-z +z

Exemplo 2. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1000).
Quando partimos da média calculamos apenas um escore Z. Para lado esquerdo o escore Z sempre terá sinal
negativo, que não será considerado, pois os dois lados são iguais em termos de probabilidades.
Interpretação: Espera-se que 34,13% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1100 horas.
Neste caso, calculamos dois escores Z e somamos as probabilidades:
.
Neste caso, calculamos dois escores Z (de 1000 a 1150; e de 1000 a 1050). Depois subtraímos as probabilidades:
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES
Z1 = 1150 - 1000 = 1,50
100 0,4332
--
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50
100 0,1915
Subtração probabilidades = 0,2417
EQUAÇÃO ESCORE Z
s
x
z x-

Calculando, temos:
z = 900 - 1000 = -1,00 *
100
Probabilidade: na tabela temos: 0,3413
*Desconsidere o sinal negativo do escore Z
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
z1 = 900 - 1000 = - 1,00*
100 0,3413
+
z2 = 1050 - 1000 = 0,50
100 0,1915
Soma de probabilidades = 0,5328
Z= -1,00
P(900 < Z < 1000)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
P= 0,3413
P(900 < Z < 1050)
P= 0,5328
Z2
=0,50
Z1= -1,00
P1=0,3413 P2=0,1915
700 800 900 1000 1100 1200 1300
P(1050 < Z < 1150)
P= 0,2417
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Z1=1,5 0
Z2= 0,50
PZ2=0,1915 PZ1=0,4332

Exemplo 5. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P( z < 850 horas)
Ou seja, ache a probabilidade de a vida útil da lâmpada ser menor que 850 horas. Neste caso, P1 = 0,5 (meia área). Daí,
calculamos Z2 e subtraímos as probabilidades:
P1 = (meia área)
0,5
--
Z2 = 850 - 1000 = -1,50
100 0,4332
Subtração probabilidades = 0,0668
Interpretação: Espera-se que 6,68% das lâmpadas tenham vida útil abaixo de 850 horas.
Exemplo 6. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio
padrão de 100 horas. O fabricante oferece uma garantia de 800 horas, isto é, trocar as lâmpadas que apresentem
falhas nesse período ou inferior. Fabrica 15.000 lâmpadas mensalmente. Quantas lâmpadas deverá trocar pelo uso da
garantia, mensalmente?
Interpretação: Constatamos que 2,28% (0,0228) das lâmpadas não atenderão a garantia. Então o fabricante deverá substituir
mensalmente: 15.000 x 0,0228 = 342 lâmpadas.
Z-ESCORE E VALOR DE “X” NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Na seção anterior você encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva
normal para um dado intervalo. Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor de x?
Encontrando o Z-ESCORE dada uma PROBABILIDADE
VÍDEOS DSTRIBUIÇÃO NORMAL
https://www.youtube.com/watch?v=ec9HWoY2kt8
Exemplo 7. Encontre o z- escore que corresponda à área de 0,2123 (21,23%) da área à direita?
Observando a Tabela de Distribuição Normal Padrão encontramos z-escore de 0,56 conforme destacado abaixo.
Z Último dígito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
P1 = (meia área)
0,5
--
Z2 = 800 - 1000 = - 2,00
00 0,4772
Subtração de probabilidades = 0,0228
Probabilidade procurada P( Z < 850)
Z1= -1,50
Área = 0,5
700 800 900 1000 1100 1200 1300
PZ2=0,0668
P2=0,1915
P1=0,4332
P2=0,1915
Probabilidade procurada P( Z < 800)
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Garantia de
800 horas

Existem situações nas quais interessa estudar a relação entre duas variáveis,
coletadas como pares ordenados (x,y), para resolver questões do tipo
“Existe relação entre o número de horas de estudo e as notas obtidas?”.
Problemas como esses são estudados pela análise de correlação linear
simples, onde determinamos o grau de relação entre duas variáveis. Se as
variáveis variam juntas, diz-se que as mesmas estão correlacionadas.
Capítulo 3
CORRELAÇÃO E
REGRESSÃO

Horas estudadas versus Notas obtidas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y(Notasobtidas)
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
INTRODUÇÃO
Existem situações nas quais interessa estudar a relação entre duas variáveis, coletadas como pares ordenados
(x,y), para resolver questões do tipo:
Variável x Variável y
Existe relação entre o número de horas de estudo... ...e as notas obtidas?
Quanto maior for a produção... ...maior será o custo total?
Existe relação entre o tabagismo... ...e a incidência de câncer?
Quanto maior a idade de uma casa... ...menor será seu preço de venda?
Existe relação entre o número de horas de treino... ...e os gols obtidos em uma partida de futebol?
Existe relação entre o nível de pressão arterial... ...com a idade das pessoas?
 Problemas como esses são estudados pela análise de correlação linear simples, onde determinamos o grau de
relação entre duas variáveis. Se as variáveis variam juntas, diz-se que as mesmas estão correlacionadas.
Correlação linear simples é uma técnica usada para analisar a relação entre duas variáveis.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
EXEMPLO 1. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe, pelo número de
horas de estudo (x) e as notas obtidas (y). Verifique se existe correlação por meio do diagrama de dispersão.
FONTE: dados fictícios
Número de horas de estudo
versus notas obtidas
Aluno X
(horas de estudo)
Y
(notas obtidas)
A 8h 9,0
B 2h 3,0
C 3h 4,0
D 4h 5,0
E 4,5h 6,0
F 6h 7,0
G 5h 7,0
H 7h 7,5
Diagrama de Dispersão
Representando os pares ordenados (x,y), obtemos diversos pontos grafados que denominamos diagrama de dispersão. Para
construí-lo, basta pontuar a interseção de cada eixo x,y. Por exemplo, o aluno D estudou 4h (eixo x) e obteve a nota 5,0 (eixo
y). Observe no diagrama uma linha vermelha pontilhada e o ponto de interseção. Esse diagrama nos fornece uma idéia
grosseira, porém útil, da correlação existente. Ao observar o diagrama como um todo, podemos afirmar que existe uma
correlação entre as variáveis x,y pois, quando x cresce, y também tende a crescer.
CORRELAÇÃO LINEAR
Os pontos grafados, vistos em conjunto,
formam uma elipse (trajetória, distribuição
dos pontos) em diagonal.
Podemos imaginar que, quanto mais fina for
a elipse, mais ela se aproximará de uma reta.
Dizemos então, que a correlação de forma
elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo,
por isso, denominada correlação linear.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y(Notasobtidas)
Ponto de interseção
(Aluno D)
Reta imaginária

Aumento do preço da refeição versus média clientes p/dia
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00
x (Preço refeição)
Y(médiadeclientesp/dia)
Assim, uma correlação é:
EXEMPLO 2. Consideremos na tabela abaixo os meses de Jan a Set, o aumento mensal do preço das refeições (x)
e a média do número de clientes ao mês (y). Verifique se existe correlação por meio do diagrama de dispersão.
FONTE: dados fictícios
Aumento do preço da refeição
versus média de clientes por mês
Mês X
(preço refeição)
Y
(média clientes)
Jan R$ 5,90 154
Fev R$ 8,50 139
Mar R$ 10,90 133
Abr R$ 13,20 128
Jun R$ 15,90 115
Jul R$ 18,50 99
Ago R$ 21,90 80
Set R$ 24,90 67
Diagrama de Dispersão
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON
Interpretar a correlação usando um diagrama de dispersão pode ser subjetivo (pessoal). Uma maneira mais precisa
de se medir o tipo e o grau de uma correlação linear entre duas variáveis é calcular o coeficiente de correlação.
Coeficiente de correlação é uma medida do grau de relação entre duas variáveis.
Os estatísticos criaram a equação ao lado para obter o grau de
correlação. Na verdade é chamado de coeficiente de Pearson, em
homenagem ao estatístico inglês Karl Pearson (1857-1936).
Onde:
r = coeficiente de correlação e n = tamanho da amostra
Uma direção para cima sugere que se:
- x aumenta,
- y tende a aumentar.
Uma direção para baixo sugere que se:
- x aumenta,
- y tende a diminuir.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe, pelo
número de horas de estudo (x) e as notas obtidas (y), calcule o coeficiente de correlação r.
Cálculo do r:
Interpretação:
O coeficiente de correlação r = 0,975 indica que o grau de relação entre as duas variáveis é “Muito forte”,
além de ser “Positiva” (pois x aumenta, y também aumenta). Então, podemos afirmar que, conforme
aumentam as horas de estudo, as notas obtidas também aumentam. Veja mais detalhes abaixo:
O grau de relação r pode variar de -1 até +1, conforme ilustrado abaixo:
Notas:
Correlação e causalidade.
O fato de duas variáveis serem fortemente correlacionadas não implica uma relação de causa e efeito entre elas. Um estudo
mais profundo é usualmente necessário para determinar se há uma relação causal entre as variáveis. As seguintes questões
devem ser consideradas ao pesquisador:
- Há uma relação direta de causa e efeito entre as variáveis?
- É possível que a relação entre duas variáveis seja uma coincidência?
Mais informações em Larson, 2010, capítulo 9.
Aluno X
(horas de estudo)
Y
(notas obtidas)
X
2
Y
2
XY
A 8h 9,0 64 81 72
B 2h 3,0 4 9 6
C 3h 4,0 9 16 12
D 4h 5,0 16 25 20
E 4,5h 6,0 20,25 36 27
F 6h 7,0 36 49 42
G 5h 7,0 25 49 35
H 7h 7,5 49 56,25 52,5
=39,5 =48,5 =223,25 =321,25 =266,5
x
y
x
y
r=0,975
Positiva e “Muito forte”
r = 0,824
r = 0
r = - 0,813
-0,9 -0,6 -0,3 0,3 0,6 0,9
Perfeita Nula Perfeita
Forte Fraca Muito Fraca Muito Fraca Fraca ForteMuito
forte
Muito
forte
Correlação linear NEGATIVA Correlação linear POSITIVA
( x aumenta, y diminui ) ( x aumenta, y aumenta )
-1 0 +1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (Horas de estudo)
Y(Notasobtidas)
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
INTRODUÇÃO
Após verificar se a correlação linear entre duas variáveis é significante, o próximo passo é determinar a equação
da linha que melhor modela os pontos grafados. Essa linha é chamada de linha de regressão (ou linha de melhor
ajuste). Portanto, a análise de regressão linear simples tem por objetivo obter a equação matemática do ajuste da
reta que representa o melhor relacionamento numérico linear entre as duas variáveis em estudo.
Ao se construir um diagrama de dispersão, não sabemos o comportamento da reta em relação aos pontos
grafados. Para tanto, devemos calcular o “ajustamento da reta aos pontos”. Eis alguns exemplos de diagramas de
dispersão com o ajustamento da reta aos pontos:
AJUSTAMENTO DA RETA AOS PONTOS GRAFADOS
Para ajustar a reta aos pontos grafados em um diagrama de dispersão, os estatísticos usam as seguintes equações:
1º - Calcular o Coeficiente angular a:
(dá a inclinação da reta)
Onde:
a = Coeficiente angular
2º - Calcular o Coeficiente linear b:
(ordena o ponto em que a reta corta o eixo)
b = ̅ - a̅
Onde:
b = Coeficiente linear
̅ = Média de y
̅ = Média de x
3º - Calcular o ajustamento da reta ̂:
̂ = aX + b
Onde:
̂ = Ajustamento da reta
X = É um valor arbitrário. (Ex.: nº 5)
b = Coeficiente linear
A Regressão Linear
determina o
ajuste da reta,
chamada de “Linha de
Regressão”

EXEMPLO DE APLICAÇÃO. Consideremos na tabela abaixo uma amostra formada por 8 alunos de uma classe, pelo
número de horas de estudo (x) e as notas obtidas (y), calcule a reta ajustada nos pontos grafados.
2º - Calcular o Coeficiente linear b:
b = - a
Calculando as Médias e , temos:
= 48,5 = 6,063 = 39,5 = 4,937
8 8
Então:
b = 6,063 – 0,958 x 4,937
b = 1,33
3º - Calcular o ajustamento da reta :
= aX + b
= 0,958 . 5 + 1,33
= 6,12
Nota: 5 é um valor arbitrário.
Para traçar a reta no diagrama de dispersão, basta determinar os pontos b, e o arbitrário:
Note que os pontos grafados estão muito próximos da reta. Isso significa que existe uma correlação
muito forte entre as duas variáveis em estudo
1º - Calcular o Coeficiente angular a:
a = 266,5 - (39,5) . (48,5)
8
223,25 - (39,5)
2
8
a = 0,958
Aluno X
(horas de estudo)
Y
(notas obtidas)
X
2
XY
A 8h 9,0 64 72
B 2h 3,0 4 6
C 3h 4,0 9 12
D 4h 5,0 16 20
E 4,5h 6,0 20,25 27
F 6h 7,0 36 42
G 5h 7,0 25 35
H 7h 7,5 49 52,5
=39,5 =48,5 =223,25 =266,5

É possível testar
afirmativas acerca de
populações?
CAPÍTULO 4
TESTE DE HIPÓTES

Conceitos introdutórios
TESTE DE HIPÓTESE é um procedimento usado para testar se a afirmação acerca de uma população é
verdadeira ou não, com base em dados amostrais.
Uma hipótese é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional. O teste de hipótese é tão somente uma regra de
decisão para ACEITAR ou REJEITAR uma hipótese qualquer (uma suposição, uma afirmação), com base nos elementos amostrais.
EXEMPLO. A FIAT afirma que o consumo de combustível do Pálio Fire é, em média, de 18 km/L. Uma revista
decide testar essa afirmação e analisa 50 veículos obtendo uma média de 17 km/L, que é diferente da informada
pelo fabricante.
 O resultado de 17km/L não garante que a afirmação do fabricante seja falsa, pois você está se baseando em dados amostrais. Para
haver esta garantia só realizando um censo (toda a população), o que é teoricamente impossível.
O que devemos avaliar, com auxílio do Teste de Hipótese, é se a afirmação é verdadeira ou não, com base nos dados amostrais.
Organização das hipóteses, Erros de decisão, Nível de significância e Tipos de testes
Organização das hipóteses. Com base no exemplo, podemos formular duas hipóteses: “Nula” e “Alternativa”. Na Hipótese Nula , diremos
que a média populacional é igual aquela que se supõe verdadeira; e na Hipótese Alternativa, que nasce de uma desconfiança, diremos que a
média populacional não será igual àquela tida como verdadeira. Ora, quando um valor A não é igual a um valor B, haverá três possibilidades:
1ª) A ≠ B ou 2ª) A > B ou 3ª) A < B. Estamos falando, obviamente, da Hipótese Alternativa (Ha). Então, resumindo, temos:
Hipótese Nula: H0 → sugere que a afirmação é verdadeira.
Hipótese Alternativa: Ha → sugere que a afirmação é falsa.
No exemplo,
temos que:
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ < 18 km/L
As hipóteses Nula e Alternativa sempre serão confrontadas. De todo o exposto, já podemos tirar algumas conclusões:
H0 será sempre de igualdade:
H0 : µ = 18 km/L
...e é aquela que será testada.
Ha será sempre de desigualdade:
Ha : µ ≠ 18 km/L
Ha: µ < 18 km/L
Ha : µ > 18 km/L
Nota: O que definirá se Ha trará um
sinal ≠ ou > ou < será o resultado
obtido na amostra.
Erros de decisão. Uma vez realizado o teste com a Hipótese Nula (H0), poderão advir dois resultados:
Decisão
correta
H0 é verdadeira, sendo, portanto, ACEITA.
H0 é falsa, devendo, pois, ser REJEITADA. → (ao rejeitar H0, obviamente aceitamos a Hipótese Alternativa Ha).
Entretanto, ao realizar um teste, o pesquisador pode errar de duas formas:
Erros de
decisão
H0 é verdadeira, mas será REJEITADA. → Chamamos de ERRO TIPO I.
(é o mesmo que condenar um inocente! O réu disse a verdade, mas seus argumentos foram rejeitados).
H0 é falsa, mas será ACEITA. → Chamamos de ERRO TIPO II.
(é o mesmo que inocentar um culpado! O réu mentia, mas seus argumentos foram aceitos).
Nível de significância α. Note que o erro Tipo I é pior pois condenar um inocente é algo terrível, e este erro o pesquisador deve evitar a todo
o custo! Porém, há sempre uma probabilidade de cometê-lo. Esta probabilidade é chamada de Nível de Significância α (alfa). Portanto:
O NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA α é a PROBABILIDADE de se cometer um ERRO TIPO I, devendo ser sempre a menor possível.
Normalmente, usamos um Nível de Significância de 10% (0,10); 5% (0,05); ou 1% (0,01). Mas pode-se usar qualquer α.
Tipos de Testes.
Usamos a curva normal (ou t) para realizar os testes, sendo três tipos possíveis, e o que será usado depende do sinal presente na hipótese alternativa Ha.
Teste Unilateral à esquerda Teste Unilateral à direita Teste Bilateral
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ < 18 km/L
α  5%
Este teste será usado quando se tem um valor
mínimo aceitável. Sinal usado em Ha: <.
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ > 18 km/L
α  5%
Este teste será usado quando se tem um valor
máximo aceitável. Sinal usado em Ha: >.
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ ≠ 18 km/L
α  5%
Será usado quando se tem um valor dentro de um
intervalo aceitável. Sinal usado em Ha: ≠.
TOMANDO A DECISÃO: A Região de rejeição (demonstrada no gráficos) é o conjunto de todos os valores da estatística de teste que nos fazem rejeitar a Hipótese
Nula (H0). Se a estatística de teste cair nesta região, diremos que a afirmativa do fabricante é falsa, o que fará com que rejeitemos a Hipótese Nula (H0).
Mas, se a estatística de teste cair na Região de aceitação, diremos que a afirmativa é verdadeira. O termo “estatística de teste” é feito por meio de cálculos que
serão apresentados a seguir. O nível de significância α  5% (demonstrado nos gráficos) é apenas um exemplo, pois podemos usar também outros níveis.
Região de
rejeição
α  0,05
(0,5-0,05=0,45)  Z=-1,65
18km/L
Região de
aceitação
0,95 Região de
rejeição
α  0,05
Z=+1,65  (0,5-0,05=0,45)
0,95
18km/L
Região de
aceitação Região de
rejeição
α  0,025
2
Z=-1,96 Z=+1,96  (0,95/2 = 0,4750)
0,95
18km/L
Região de
aceitação
Região de
rejeição
α 0,025
2

Teste de Hipótese para média (amostras grandes n > 30) (Distribuição Normal z)
Usamos a Distribuição Normal (z) para realizar o teste de hipótese para amostra maior que 30. Quando o desvio padrão é
conhecido, mesmo com amostra menor que 30, também podemos usar a Normal. Embora tenha 3 tipos de testes, na prática
aplicamos um ou outro, nunca os três conjuntamente. Mostraremos a aplicação dos três testes em problemas diferentes.
A estatística de teste
usada para média é:
(n > 30)
n
s
x
z


x = média amostral z = Estatística de teste
µ = média Hipotética (H0)
s = desvio padrão
EXEMPLO 1. TESTE UNILATERAL À ESQUERDA. A FIAT afirma que o consumo de combustível do Pálio Fire é, em média, de 18 km/L.
Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 50 veículos da mesma marca, obtendo uma média de 17 km/L com desvio padrão
de 3km/L. Testar a hipótese, contra a alternativa de que o consumo é menor que 18km/L, com Nível de Significância de 6%.
1º passo: Formular as hipóteses:
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ < 18 km/L
2º passo: Definir o tipo de teste a ser usado:
Como a média amostral foi 17km/L, temos um valor mínimo
aceitável. O sinal é <, logo, usamos o unilateral à esquerda.
3º passo: Encontrar escore z que estabelece os limites de
Rejeição/Aceitação: α=6% (0,06) | 0,5 – 0,06 = 0,44 → z = -1,56
Ao procurar 0,44 na tabela Normal, encontramos z = - 1,56 (como o
teste é “unilateral à esquerda”, o escore z será negativo).
4º passo: Desenhar as Regiões de Rejeição e de
Aceitação, em função do escore z (nível α) :
5º passo: Calcular a
estatística de teste:
n
s
x
z


50
3
1817
z

 = -2,35
6º passo: Verifique se a estatística de teste z caiu
na Região de rejeição:
7º e último passo: Tomada de decisão:
Note que a estatística de teste z caiu na Região
de rejeição. Então, você deverá REJEITAR A
HIPÓTESE NULA (Ho).
Ou seja, não se pode aceitar que o consumo médio de
combustível do Pálio Fire 1.0 é de 18 km/L, contra a
hipótese de que seja menor que este valor, com uma
probabilidade de erro de 6%.
EXEMPLO 2. TESTE UNILATERAL À DIREITA A FIAT afirma que o consumo de combustível do Pálio Fire é, em média, de 18 km/L. Uma
revista decide testar a afirmação e analisa 35 veículos da mesma marca, obtendo uma média de 18,5 km/L com desvio padrão de 2,5
km/L.. Testar a hipótese, contra a alternativa de que o consumo é maior que 18km/L, com Nível de Significância de 4%.
1º passo: Formular as hipóteses:
H0 : µ = 18 km/L
Ha : µ > 18 km/L
2º passo: Definir o tipo de teste a ser usado:
Como a média amostral foi 18,5km/L, temos um valor máximo
aceitável. O sinal é >, logo, usamos o unilateral à direita.
3º passo: Encontrar escore z que estabelece os limites de
Rejeição/Aceitação: α=4%(0,04) | 0,5 – 0,04 = 0,46 → z = +1,75
Ao procurar 0,46 na tabela Normal, encontramos z = +1,75 (como o
teste é “unilateral à direita”, z será positivo).
4º passo: Desenhar as Regiões de Rejeição e de
Aceitação, em função do escore z (nível α) :
5º passo: Calcular a
estatística de teste:
n
s
x
z


35
52
18518
z
,
, 
 = +1,18
6º passo: Verifique se a estatística de teste z caiu
na Região de rejeição:
7º e último passo: Tomada de decisão:
Note que a estatística de teste z não caiu na
Região de Rejeição. Então, você deverá ACEITAR
A HIPÓTESE NULA (Ho).
Ou seja, pode-se aceitar que o consumo médio de
combustível do Pálio Fire 1.0 é de 18 km/L, contra a
hipótese de que seja maior que este valor, com uma
probabilidade de erro de 4%.
Região de
rejeição
α  0,06
-1,56
18km/L
Região de
aceitação
0,94
Região de
rejeição
α  0,04
z=+1,75
0,96
18km/L
Região de
aceitação
Região de
rejeição
α  0,06
-2,35 -1,56
18km/L
Região de
aceitação
0,94
-3z -2z -1z 0 +1z +2z +3z
estatística de teste
(obtido no 5º passo)
Região de
rejeição
α  0,04
z=+1,75
0,96
18km/L
Região de
aceitação
z=+1,18
-3z -2z -1z 0 +1z +2z +3z
estatística de teste
(obtido no 5º passo)

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