Livro pdf - Estatística e Probabilidade: exercícios resolvidos - Prof. MSc. Uanderson Rébula

Caderno de exercícios
Estatística Uanderson Rebula
CADERNODEEXERCÍCIOS
RESOLUÇÕES

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Maria Eunice Souza Madriz
Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia
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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
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Interpretação de Gráficos
1. O gráfico abaixo apresenta as vendas das filiais de uma empresa de calçados no mês de março de 2011.
Se as vendas da filial Norte totalizaram um valor de R$ 9 milhões, o valor total
das vendas de toda a região, ou seja, da empresa, em março, foi de:
a) 100 milhões
b) 80 milhões
c) 50 milhões
d) 45 milhões
e) 40 milhões
9 milhões ----- 18%
X milhões ------ 100%
X = 50 milhões
2. (ENADE) A legislação de trânsito brasileira considera que o condutor de um veículo está dirigindo alcoolizado quando o teor alcoólico de
seu sangue excede 0,6 gramas de álcool por litro de sangue. O gráfico abaixo mostra o processo de absorção e eliminação do álcool quando
um indivíduo bebe, em um curto espaço de tempo, de 1 a 4 latas de cerveja.
Considere as afirmativas a seguir.
I. O álcool é absorvido pelo organismo muito mais lentamente do
que é eliminado. Errado! É absorvido mais rápido. Ver eixo y
II. Uma pessoa que vá dirigir imediatamente após a ingestão da
bebida pode consumir, no máximo, duas latas de cerveja. Certo!
Se ele tomar 3 latas de cerveja, vai ter 0,7g/litro de álcool no
sangue, e o limite é 6 g/litro!
III. Se uma pessoa toma rapidamente quatro latas de cerveja, o álcool
contido na bebida só é completamente eliminado após se
passarem cerca de 7 horas da ingestão. Certo! Até 7 horas ainda
há álcool no sangue!
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
(A) II, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
3. (Puccamp-SP) Dentre os resíduos industriais, destaca-se a emissão de gás carbônico, que causa o efeito estufa. O gráfico mostra como se
distribuía a produção desse poluente em 1996.
Se a produção dos países desenvolvidos era de 3,2 bilhões de
toneladas, a produção dos países em desenvolvimento, em bilhões
de toneladas, deve ser estimada em cerca de
a) 3,1
b) 2,2
c) 1,4
d) 1,1
e) 1,05
3,2 bilhões -------- 50%
X bilhões ---------- 35% (aproximadamente)
X = 2,24  resposta b)
4. O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego em São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese.
Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de desemprego na
Grande São Paulo ocorreu no período de
Note que 18,8 – 15,9 = 2,9, é o maior valor!!
a) 1985 a 1986
b) 1995 a 1996
c) 1997 a 1998
d) 2001 a 2002
e) 2000 a 2001
20,4
17,718,6
20,3
18,8
15,915,9
13,515,3
16,115,5
13,1
10,6
10,3
10,4
8,9
11,6
14,2
0
5
10
15
20
25
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Anos
Porcentagem
Oeste
33%
Leste
22%
Norte
18%
Sul
27%

5. (ENEM – 2012 – CADERNO ROSA – QUESTÃO 144). O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a
seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram,
respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em
2011 foram
a) março e abril.
b) março e agosto.
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro.
e) junho e agosto.
6. (ENEM – 2012 – CADERNO CINZA – QUESTÃO 178). O gráfico em linhas abaixo fornece os valores das ações da empresa XPN, no período
das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.
Neste dia, cinco investidores compraram e
venderam o mesmo volume de ações,
porém em horários diferentes, de acordo
com a tabela abaixo.
Investidor
Hora da
compra
Hora da
venda
1 10:00 15:00
2 10:00 17:00
3 13:00 15:00
4 15:00 16:00
5 16:00 17:00
Com relação ao capital adquirido
na compra e venda das ações,
qual investidor fez o melhor
negócio?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. (ENADE-2008 - ENGENHARIA) Apesar do progresso verificado nos últimos anos, o Brasil continua sendo um país em que há uma grande
desigualdade de renda entre os cidadãos. Uma forma de se constatar este fato é por meio da Curva de Lorenz, que fornece, para cada valor
de x entre 0 e 100, o percentual da renda total do País auferido pelos x% de brasileiros de menor renda.
Por exemplo, na Curva de Lorenz para 2004, apresentada ao lado,
constata-se que a renda total dos 60% de menor renda representou
apenas 20% da renda total. De acordo com o mesmo gráfico, o
percentual da renda total correspondente aos 20% de maior renda
foi, aproximadamente, igual a
a) 20%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 60%.
e) 80%.
% de brasileiros de menor renda
8 - Uma universidade realizou um levantamento sobre a origem dos 4 800 novos alunos ingressantes. Os dados encontram-se resumidos nos
gráficos seguintes:
Com base nos gráficos, responda:
a.Qual é o número de calouros
procedentes do interior?
b.Qual é o número de alunos da capital
que estudaram nos dois tipos de escola
(pública e particular)?
a - 4800 x 0,25 = 1200
b – Capital = 65%  4800 x 0,65 = 3120
3120 x 25% = 780
Tempo (em horas)
60% menor renda
20%rendatotal
20% maior renda
rendatotal
60%rendatotal
Este gráfico corresponde a 100% dos 65%!
Veja o título dele!

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA
1. Uma loja de produtos de informática resolveu fazer uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles.
Para tanto, selecionou uma amostra de 25 clientes, sendo as idades mostradas abaixo. Faça as questões a) a e)
Idades dos clientes (em anos)
12 13 14 15 14
13 12 15 16 16
14 13 13 12 13
13 14 14 13 14
12 14 15 14 12
a) Construa a tabela de distribuição de frequência f, fr(%), Fa e FRa(%).
b) Construa um histograma da distribuição de frequência.
c) Qual a idade mais frequente, segundo a amostra?____14 anos___________________
d) Quantos clientes têm idade até 14 anos?_____20 clientes__________________________
e) Qual a porcentagem de clientes com idade maior que 13 anos?___52%_(32%+12%+8%)___
Idade dos
clientes
f Fr(%) Fa FRa(%)
12 5 20% 5 20%
13 7 28% 12 48%
14 8 32% 20 80%
15 3 12% 23 92%
16 2 8% 25 100%
- f= 100% - -
Desenhe o Histograma aqui
2. Considerando a distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços (R$) de um produto em lojas pesquisadas em Resende no
ano de 2001. Construa uma tabela de frequências fr(%), Fa e FRa(%).
Preços Nº lojas Fr(%) Fa FRa(%)
R$50 2 10% 2 10%
R$51 5 25% 7 35%
R$52 6 30% 13 65%
R$53 6 30% 19 95%
R$54 1 5% 20 100%
- 20 100% - -
Informe:
a) O nº total de lojas pesquisadas_______20_________________________
b) O nº de lojas com preço até R$52_______13_______________________
c) A % de lojas com preço de $53?________30%________________________
d) O nº de lojas com preço menor que R$52_______7_________________
e) A % de lojas com preço maior que R$53?________5%________________
f) O nº de lojas com preço entre R$52 e R$53______12__(6+6)______________
g) A % de lojas com preço entre R$52 e R$54______65% (30%+30%+5%)______
3. Um dado foi lançado 50 vezes, obtendo os seguintes resultados
Face 1 2 3 4 5 6
f 8 7 12 10 8 5
a) Qual a frequência com que saiu a face 3?____12______________________
b) Qual a porcentagem de saída da face 6?______10%_(5/50 x 100)_________
c) Qual a frequência de saída acumulada até 4?____37__(8+7+12+10)_______
d) Qual a frequência com que saiu a face 5?_____8___________________
e) Qual porcentagem de saída acumulada até a face 2?__30%_(8+7/50 x 100)____
f) Qual porcentagem de saída acumulada até a face 3?__54%_(8+7+12/50 x 100)__
8
7
6
5
4
3
2
1
0
12 13 14 15 16

4. Um professor aplicou uma prova de Estatística para alunos do determinado curso, corrigiu-as, organizou as notas e construiu o histograma
demonstrado abaixo.
Fonte: dados fictícios
Considere as afirmativas a seguir.
I. A porcentagem de alunos com nota 7,0 é 8%. V, pois (2/25 x 100) = 8%
II. O número de alunos com notas até 5,0 é 4. F (correto é 13) (9+4)
III. A porcentagem de alunos com nota maior que 6,0 é 36%. V, pois
(2+1+6/25 x 100) = 36%
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
5. Analise o histograma abaixo, relativo aos pesos (em kg), dos empregados de uma empresa.
Com base nos dados, determine: Total frequencias = 90 (15+10+20+25+15+5)
a) O número de pessoas que pesam 80 kg_____20_____________________
b) A porcentagem de pessoas que pesam no máximo 80kg _50%_(15+10+20/90) x 100____
c) O número de pessoas que pesam abaixo de 80 kg ____25_(15+10)________
d) A porcentagem de pessoas que pesam 90 kg 16,66% (15/90 * 100)_____
e) O número de pessoas que pesam no mínimo 80 kg _65 (20+25+15+5)___
f) A porcentagem de pessoas que pesam acima de 75 kg 72,22% (20+25+15+5/90*100)
g) O número de pessoas analisadas __90___
h) A porcentagem de pessoas que pesam 70 kg e 75 kg 27,77%_(15+10/90*100)__
i) A porcentagem de pessoas que pesam 85 kg ou menos 77,77% (15+10+20+25/90*100)
6. (UF-GO) Uma pesquisa mostrou que a uma semana das inscrições para os principais vestibulares, muitos candidatos ainda estavam
indecisos em relação ao curso pretendido, como mostra a tabela abaixo.
Forma de decisão sobre o curso De acordo com os dados, o número de candidatos que decidirão pelo curso
de teste vocacional (aptidão) representa, entre os indecisos
a) 1,3%
b) 9,85%
c) 10,15%
d) 11,9%
e) 13,2%
% entre os indecisos  4,9+4,0+1,3+1,3+0,9+0,4+0,4 = 13,2%
Então, 13,2 % representa o total de indecisos, e 1,3% os
que farão teste vocacional. Logo:
13,2% --- 100%
1,3% ---- x% x = 9,848 ~ 9,85%
Respostas %
Já decidiu 86,8
Pesquisando melhor sobre os cursos 4,9
Não sabe 4,0
Decidirá na hora da inscrição 1,3
Fazendo Teste vocacional (aptidão) 1,3
Ainda pesquisando mercado de trabalho 0,9
Decidirá em conjunto com os pais 0,4
Decidirá pelo Guia do vestibulando 0,4
7. Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:
Candidato
Porcentagem do
total de votos
Número de
votos
O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:
a) 191
b) 184
c) 188
d) 178
e) 182
José Silva 26% (vencedor)
João Martins 24%
Mário Adão 22%
Nulo ou branco X = 28% 196
100%
9
?
3
2
1
6
0
2
4
6
8
10
12
Númerodealunos
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Notas
Desempenho dos alunos
na prova de Estatística
15
10
?
25
?
5
0
10
20
30
Nºempregados
70 75 80 85 90 95
Pesos (Kg)
Pesos dos empregados
∑f = 25
∑f = 90
Indecisos
X = 100% - (26%+24%+22%) = 28%
28% ----196
26% ---- Y
Y = 182

8. Complete as distribuições de frequência abaixo
Nº de defeitos nas máquinas em um mês Nº de peças com defeito em um dia
Tipo f Fr(%) Fa FRa(%)
Máquina A 35 29,17% 35 29,17%
Máquina B 12 10% 47 39,17%
Máquina C 22 18,33% 69 57,5%
Máquina D 45 37,5% 114 95%
Máquina E 6 5% 120 100%
- f=120 100% - -
T f Fr(%) Fa FRa(%)
Peça A 1 5% 1 5%
Peça B 5 25% 6 30%
Peça C 9 45% 15 75%
Peça D 2 10% 17 85%
Peça E 3 15% 20 100%
- f=20 100% - -
9. (ENEM – 2012 – CADERNO CINZA – QUESTÃO 140). Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas
por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de
semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.
Rotina Juvenil
Durante
a
semana
No fim
de
semana
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem
entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas
atividades escolares?
a) 20
b) 21
c) 24
d) 25
e) 27
5 horas segunda + 5 horas terça +...+5 horas sexta = 25
horas/semana.
1 hora sábado + 1 hora domingo = 2 horas/fim de semana
Logo, o total semanal é 25 + 2 = 27 horas, letra e)
Assistir à televisão 3 3
Atividades domésticas 1 1
Atividades escolares 5 1
Atividades de lazer 2 4
Descanso, higiene e alimentação 10 12
Outras atividades 3 3
10. Considere a tabela abaixo, referente a um conjunto de 40 peças que foram coletadas para análise no laboratório de qualidade.
11. Os salários mensais, em R$, dos 20 funcionários de uma empresa são listados abaixo. Resolva as questões de a) a f)
720 720 800 840
760 720 760 800
720 760 800 840
840 720 720 840
680 760 800 720
a) Construa a tabela de distribuição de frequência f e FRa.
b) Construa um histograma.
c) Qual o salário mais frequente?_______R$720_________________________
d) Quantos funcionários recebem até R$840?___20___________________
e) Qual a % de funcionários com salários até R$760?____60% (1+7+4/20*100)_______
f) Quantos funcionários recebem entre R$760 e R$800?__8 (4+4)____________
f Fa
680  1 1
720  7 8
760  4 12
800  4 16
840  4 20
Tamanho das
peças (mm)
%
Acumulado
A frequência absoluta da peça com
tamanho de 174 mm é
a) 8
b) 10
c) 13
d) 26
e) 36
A % acumulada mostra 65% para 90%, então
a frequência relativa (fr%) é 25% de peças
com 174mm.
25% do total de 40 peças = 10 peças
156 32,5%
162 45%
168 65%
174 90%
180 100%
fr(%)=25%

Agrupamento em classes
1. Numa amostragem de 40 alunos da escola A, as estaturas (em cm) da tabela são as seguintes:
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
a) Construa as classes com intervalo 
b) Construa a tabela – f, fr (%), Fa, FRa (%) e Xi.
c) Elabore o histograma e o polígono de frequência.
d) Elabore a ogiva.
Distribuição de freqüência das estaturas de 40 alunos da escola A
Histograma e Polígono de frequência Ogiva
150 154 158 162 166 170 174 150 154 158 162 166 170 174
Perguntas
a) Qual a quantidade de classes (i)___6___________
b) Qual a amplitude de classe (h)?______4________
c) Qual a amplitude total da distribuição (AT)?__174-150 = 24_
d) Qual a amplitude amostral (AA)?_ 173 – 150 = 23____
e) Qual o limite superior da quinta classe?___170______
f) Qual o limite inferior da terceira classe?___158_______
g) Qual o ponto central da quarta classe?_______164____
h)Existem quantos alunos entre o intervalo 150 cm e 158 cm?_13
i)Qual a frequência da quinta classe?__5_______________
j)Qual a frequência acumulada da quinta classe?__37_______
k)Qual a frequência relativa da segunda classe?____22,5%____
l) qual a frequência relativa acumulada da quarta classe?__80%_____
2. Em uma distribuição de frequência agrupada, qual será a amplitude de classe para um conjunto de 60 elementos, sabendo-se que o menor
valor desse conjunto é 1000 e o maior valor é 1600? R = 75 1600-1000 / raiz de 60 = 75
Cálculo do intervalo de classe
Cálculo quantidade classes (i)
n = 40. Raiz de 40 = 6,32 ~ 6 classes
Cálculo tamanho intervalo classe (h)
h = maior valor – menor valor
i
h = 173 – 150 = 3,83 ~ 4
6
i Estaturas (cm) f Fr(%) Fa FRa(%) Xi
1 150  154 4 10% 4 10% 152
2 154  158 9 22,5% 13 32,5% 156
3 158  162 11 27,5% 24 60% 160
4 162  166 8 20% 32 80% 164
5 166  170 5 12,5% 37 92,5% 168
6 170  174 3 7,5% 40 100% 172
f=40 100% - -
12
10
8
6
4
2
0
4
9
11
8
5
3
40
35
30
25
20
15
10
5
0
4 9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40

3. Um Analista de produção quer saber o tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir certa peça. Para tanto, observou 80
trabalhadores por vários dias, fez suas anotações e construiu o histograma abaixo.
a) Quantos trabalhadores produziram a peça em menos de 40 minutos?
5%+12,5%+22,5%+37,5% = 77,5% de 80 = 62
b) Quantos trabalhadores produziram a peça entre 35 e 50 minutos?
37,5%+17,5%+5% = 60% de 80 = 48
c) Determine a porcentagem de trabalhadores que produziram as peças até a
3ª classe.
1ª classe é 20  25; 2ª classe é 25  30; 3ª classe é 30  35;
Como a pergunta é até a 3ª classe, então: 5%+12,5%+22,5% = 40%
d) Qual o ponto médio da 5ª classe?
5ª classe é 40  45, então: 40+45/2 = 42,5
4 – Adaptado Petrobrás/2011) O histograma abaixo se refere às velocidades registradas dos veículos em uma rodovia. Os pontos médios das
classes inicial e final são 75 e 125, respectivamente. Todas as classes têm a mesma amplitude. Com Base nisto, calcule:
a) O numero de veículos registrados___4+5+8+10+7+6 = 40_________________
b) A amplitude total (AT) da distribuição 130 – 70 = 60__________
c) O intervalo com maior frequência 100  110 pois tem f = 10_____
d) A frequência do intervalo 110  120 7___
e) O nº veículos com velocidades a partir de 100 km/h 10+7+6=23__
f) % veículos velocidades abaixo 110 km/h 10+8+5+4/40*100 = 67,5%
g) A frequência acumulada até o 3º intervalo
1ª classe ou intervalo = 70  80; 2º intervalo é 80  90 e 3º intervalo é
90  100, então: 4+5+8 = 17
5. Considere o histograma abaixo
Após exame dos dados, pode-se afirmar que: I. o intervalo de classe que tem
maior frequência relativa é 100  120; II. o número total de elementos
observados é 139; III. A frequência do intervalo 70  80 é 21; IV. Os
intervalos 80  90 e 90  100 têm a mesma frequência acumulada.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas II e III são verdadeiras.
b) A I, II e IV são falsas.
c) Apenas III e IV são verdadeiras.
d) Todas as afirmativas são verdadeiras.
O item I é falso, pois o intervalo que tem maior frequência é
100  110
4
5
8
10
7
6
0
2
4
6
8
10
12
Quantidadedeveículos
Resultadosdosregistrosde um radar
75 125
Velocidade (Km/h)
5%
12.5%
22.5%
37.5%
17.5%
5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Porcentagem
Produção de peça
20 25 30 35 40 45 50
Tempo (minutos)
1ª classe 2ª... 3ª... 4ª... 5ª classe
0
5
10
15
20
25
30
40 60 80 100 120 140 160

6. Considerando as tabelas abaixo, confeccione, para cada uma, o histograma, polígono de frequência e a ogiva
a)
i Pesos (Kg) f Fa
1 40  44 2 2
2 44  48 5 7
3 48  52 9 16
4 52  56 6 22
5 56  60 4 26
f=26
b)
i Estaturas (cm) f Fa
1 150  156 1 1
2 156  162 5 6
3 162  168 8 14
4 168  174 13 27
5 174  180 3 30
f=30
Histograma e Polígono de frequência Histograma e Polígono de frequência
Ogiva Ogiva
7. Os números abaixo representam os pesos (em kg) de peças selecionadas para análise de qualidade. Construa a distribuição de frequência
f com intervalo 
i = Raiz 30 = 5,47 ~5
h = 32 – 8 / 5 = 4,8 ~5
i Pesos (Kg) f
1 8  13 4
2 13  18 9
3 18  23 6
4 23  28 4
5 28  33 7
f=30
40 44 48 52 56 60 Pesos (kg)
30
25
20
15
10
5
0
2
7
16
22
26
40 44 48 52 56 60 Pesos (kg)
10
8
6
4
2
0
150 156 162 168 174 180 Estaturas (cm)
15
12
9
6
3
0
150 156 162 168 174 180 Estaturas (cm)
30
25
20
15
10
5
0
1
6
14
27
30

MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média simples
1) 850+900+...+45000 / 7
2) 3.532.051+...+3.201.327 / 5
4.1 x = 3240+243 / 80 + 1 = 43
4.2 x = 1540 + 12 + 8 / 55+ 2 = 27,36
4.3 9 = 270 + X / 45 + 1 = 144 Observação: (Média é 9 pois o número 6 aumentou em 50%) (270 pois 45*6 = 270)
4.4 25 = 390 – X / 15 – 1 = 40 Observação (15 – 1 pois retirou-se um número) (390 pois 15 * 26 = 390)
4.5 29 = ∑x  ∑x=29n  30 = 29n - 24  30 (n - 1) = 29n – 24  30n - 30 = 29n – 24  n = 30 - 24  6
n n - 1
4.6. 15.000.000 = ∑x  ∑x = 135.000.000 media= 135.000.000 – (7.000.000 + 5.000.000) + (2.500.000 x 5) = 11.291.666
9 9 (– 2 + 5)
Média ponderada
1. (5,0 x 3)+ (9,5 x 1) + (2,0 x 4) + (8,5 x 2) = 5 (arredondado)
3+1+4+2
2) (2,50 x 32)+ (2,00 x 13) + (1,40 x 5) = 2,26
32+13+5
3) (1,20 x 500)+ (1,60 x 200) + (1,05 x 900)) = 1,16
500+200+900
4) (200 x 20)+ (300 x 30) + ...+ (5000 x 5) = 682
20+30+20+10+5
1) (300 x 8) + (340 x 32) = 332
8 + 32
2) (14.900 x 3) + ...+(11200 x 18) = 14.035,5
3+8+2+18
Média de distribuição de frequência
1. Calcule a média das distribuições de frequências abaixo:
a) Pesos de 26 alunos R = 50,77kg
Resolução
(42*2)+(46*5)+...+(58*4) = 50,77
26
42 é o ponto médio (40+44/2)
Pesos (Kg) f
40  44 2
44  48 5
48  52 9
52  56 6
56  60 4
f=26
b) Pesos de 30 peças coletadas para análise R = 47,67kg
Resolução
(40*3)+(45*5)+...+(53*5) = 47,67
30
Pesos
(Kg)
f
40 3
45 5
47 10
50 7
53 5
f=30
2.
2
4
5
7
9
3
0
2
4
6
8
10
12
Quantidadededias
Registros das temperaturas de Resende -julho
15 18 21 24 27 30 33
Temperaturas (°C)
Resolução
(16,5*2)+(19,5*4)+...+(31,5*3) = 25,1
2+4+5+7+9+3

3)
5) Ponto médio de classe  10+19/2 = 14,5 e assim por
diante para demais classes. Logo
(14,5 x 32) + ( 24,5 x 39) +...+(54,5 x 4) = 25,70
32+39+18+7+4
6) (1 x 10) + (2 x 25) + ...+ (6 x 5) = 235 x R$4 = 940,00
7)
adiciona-se 20% para cada classe adiante, logo
1ª classe 180
2ª classe 180 x 1,2 = 216
3ª classe 216 x 1,2 = 259
4ª classe 259 x 1,2 = 311
5ª classe 311 x 1,2 = 373
1,2 significa acréscimo de 20% ao valor
($180 x 34) + ($216 x 41) + ($259 x 35) + ($311 x 22) + (373 x 18) = 250,73
34+41+35+22+18
Nota: não há problemas se os seus resultados forem aproximados.
8) Perceba que a coluna fornece as frequências relativas acumuladas. Terá que encontrar a frequência relativa de cada
um. Depois inicie o processo de cálculo da média normalmente.
Com as frequências relativas, ficará assim:
(156 x 32,5) + (162 x 12,5) +...+ (180 x 10) / 100 = 166,1 mm
Você também pode achar as frequências absolutas e calcular a média a
partir dela. Mas dá mais trabalho. Neste caso, na média, terá que dividir
por 40, e não por 100 (como feito anteriormente)
32,5% de 40 peças = 13
12,5% de 40 peças = 5 e assim por diante
Tamanho das
peças (mm)
fr
% acumulado
156 32,5% 32,5%
162 12,5 45%
168 20% 65%
174 25% 90%
180 10% 100%
5%
12.5%
22.5%
37.5%
17.5%
5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Porcentagem
Produção de peça
20 25 30 35 40 45 50
Tempo (minutos)
Resolução
(22,5*5) + (27,5 * 12,5) +...+ (47,5 * 5) = 35,75
5%+12,5%+22,5% + ...+5% = 100%
Também pode ser resolvido transformando a % em números
absolutos. Ex. 5% de 80 = 4; 12,5% de 80 = 10. Neste caso o
produto será dividido por 80, que é o total, e não por 100%
22,5 é o ponto médio de classe (20+25)/2 e assim por diante
4) (70 * 2) + (80 * 3) + ... + (110 * 2) = 90
2+3+5+3+2 = 90

Mediana
1.Determine o salário mediano dos empregados de uma empresa: $1300 $850 $1050 $45.000 $1200 $1000 $900 R = $1050
Quantidade de dados (n) = 7, então: Impar  P= n+1/2  7+1/2 = 4ª posição. A mediana está na 4ª posição.
Ordenando os valores do menor para maior  850 900 1000 1050 1200 1300 45000  Md = 1050
2.Determine a idade mediana dos alunos de uma Universidade: 52 19 45 22 50 25 20 23 R = 24
Quantidade de dados (n) = 8, então: par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=8/2= 4ª posição e P2=5ª posição
Ordenando os valores do menor para maior  19 20 22 23 25 45 50 52. Fazendo a média  23+25/2  Md = 24
3.Encontre a mediana das distribuições de frequência, abaixo
a) Pesos de 30 peças coletadas para análise R = 47 kg
Pesos
(Kg)
f
40 3
45 5
47 10
50 8
53 5
f=31
b) Pesos de 26 alunos da turma A R = 50,66 kg
i Pesos (Kg) f
1 40  44 2
2 44  48 5
3 48  52 9
4 52  56 6
5 56  60 4
f=26
4. O histograma abaixo apresenta os registros das velocidades dos veículos que transitaram na rodovia presidente Dutra, em um sábado,
entre 21h00minhs e 23h00minhs. Qual a velocidade mediana desses veículos? R = 90 km/h
5. Analise o histograma abaixo. No mês de julho, qual foi a temperatura mediana em Resende? R = 25,71 °C
2
4
5
7
9
3
0
2
4
6
8
10
12
Quantidadededias
Clima em Resende -julho
15 18 21 24 27 30 33
Temperaturas (°C)
70 80 90 100 110
Velocidades (Km/h)
Distribuição de frequências com classes. Logo
n/2 = 26/2 = 13ª posição.
Acumulando as frequências até 13ª, a Md está
na 3ª classe. Logo:
9
4*7-
2
26
Md






 48
Md = 48 + 2,66 = 50,66kg
Distribuição de frequências sem
classes, logo:
f = n = 31 → ímpar
2
1n
P

 →
2
131 = 16ª
A Me está na 16ª posição. Logo,
acumulando as frequencias até
16ª, temos:
3+5+10  Md = 47kg
Distribuição de frequências sem classes, logo:
f = n = 15 → ímpar
2
1n
P

 →
2
115  = 8ª posição
A Me está na 8ª posição. Logo, acumulando as
frequências até 8º, temos:
2+3+5  Md = 90km/h
Distribuição de frequências com classes. Logo
n/2 = 30/2 = 15ª posição.
Acumulando as frequências, a Md está na 4ª classe.
Logo:
7
3*11-
2
30
Md






 24
Md = 24 + 1,71 = 25,71°C

6. (ENEM – 2012 – CADERNO ROSA – QUESTÃO 171) O gráfico abaixo apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o
Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.
BRASIL – Comportamento do emprego formal no período de janeiro a outubro de 2010 – CAGED Com base no gráfico, o valor da parte inteira da
mediana dos empregos formais surgidos no
período é
A 212 952.
B 229 913.
C 240 621.
D 255 496.
E 298 041.
Quantidade de dados (n) = 10, então: par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=10/2= 5ª posição e P2=6ª posição
Ordenando os valores do menor para maior: 181.419 | 181.796 | 204.284 | 209.425 | 212.952 | 246.875 | 266.415 | 298.041 |299.415 | 305.068
Fazendo a média  212.952+246.875/2  Md = 229.913,5, letra B
7. Analise o histograma abaixo. Qual o número de salários mínimo mediano que as famílias de Resende recebem, mensalmente? R = 5,75
8. Os valores ordenados abaixo se referem ao número de desistências mensais de reservas solicitadas a uma companhia aérea.
48 – 52 – 58 – 63 – 68 – x – 76 – 82 – y – 96 – 98 - 102
Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75, quais os valores de x e y? R -> x = 70 e y = 87
Os valores estão ordenados, e n = 12. Então a Md está na 6ª e 7ª posição. Sabendo que a Md é 73 e fazendo a média de x e 76, temos:
Md = x + 76  73 = x + 76  x = 70
2 2
Média = ∑x  ∑x = 48+52+58+63+68+70+76+82 + .y. + 96+98+102 = 813  75 = 813 + y = 87
n 12
9. Um lote contém 2000 parafusos sendo que o peso mediano é de 100g. Em termos de mediana, esses valores indicam que
a) Todos os parafusos têm peso igual a 100g.
b) A maioria dos parafusos tem peso aproximado de 100g.
c) Metade dos parafusos tem peso abaixo de 100g. É apenas interpretação da mediana!
d) 50% dos parafusos têm peso exatamente de 200g.
e) 1000 parafusos pesam 50g.
10. A tabela ao lado informa o número de defeitos, por peça,
encontrados durante uma inspeção feita em um lote de 80 peças
que chegou a um porto.
Número de defeitos por peça 0 1 2 3 4
Número de peças 12 20 24 16 8
a. Considerando o número de defeitos por peça, qual é a mediana dos valores encontrados? R = 2
b. Qual será a nova mediana se forem acrescentadas a esse lote 18 peças, cada uma com exatamente 1 defeito? R = 1
a)Trata-se de Md de distribuição de frequência sem classe. Logo: f = 12+20+24+16+8 = 80 → par. Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1
P1= 80/2 = 40ª e P2 = 41ª. Acumulando as frequências até 40ª e 41ª, temos: 12+20+24  Md = 2
b)Neste caso, o Número de defeitos por peça “1” passa de f = 20 para f=20+18 = 38. Logo: f = 12+38+24+16+8 = 98 → par.
Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1  P1 = 98/2 = 49ª e P2 = 50ª  Acumulando as frequências até 49ª e 50ª, temos: 12+38  Md = 1
Resp. 6 B 9 c)
.
36
32
24
19
12
5
0
10
20
30
40
50
Quantidadefamílias
Renda mensal de familias emResende
2 4 6 8 10 12 14
Nº de salários mínimos
Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 128/2 = 64ª posição.
Acumulando as frequências até 64ª (36+32), a Md está na 2ª classe.
Logo:
32
2*36-
2
128
Md






 4
Md = 4 + 1,75 = 5,75 salários mínimo

MAIS EXERCÍCIOS DE MEDIANA PARA REFORÇAR APRENDIZADO (NÃO É NECESSÁRIO APRESENTAR COMO PARTE DO TRABALHO)
11.A tabela abaixo apresente os salários dos empregados da Prefeitura de Resende. Determine o salário mediano. R = $865
Salários(R$) f Fa
780 20 20
950 8 28
1000 5 33
1400 7 40
12.Calcule a mediana das estaturas dos funcionários de uma empresa. R = 168,46 cm
i Estaturas (cm) f Fa
1 150  156 1 1
2 156  162 5 6
3 162  168 8 14
4 168  174 13 27
5 174  180 3 30
13.Com base no gráfico abaixo, qual a estatura mediana dos alunos da AEDB? R = 166,77 cm
14.Com base no gráfico abaixo, qual a estatura mediana dos alunos da AEDB? R = 170 cm
155 160 165 170 175 180
Estaturas (cm)
150 155 160 165 170 175 180
Estaturas (cm)
Distribuição de frequências sem classes, logo: f = n = 40 → par.
P1 = n/2 e P2 = sucede P1  P1 = 40/2 = 20ª posição e P2 = 21ª posição
A Me está na 20ª e 21ª posição. Logo, acumulando as frequências até 20ª e 21ª, temos: 780 está na 20ª
posição e 950 está na 21ª posição. Então, calcula-se a média deles: 780+950 = 865
2
Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 30/2 = 15ª posição.
Acumulando as frequências até 15ª (1+5+8+13), a Md está na 4ª classe.
Logo:
13
6*14-
2
30
Md






168
Md = 168 + 0,46 = 168,46 cm
Distribuição de frequências com classes.
Logo n/2 = 103/2 = 51,5ª ~ 52 posição. (0,5 ou mais, arredondar para maior)
Acumulando as frequências até 52ª (8+16+19+24), a Md está na 4ª classe.
Logo:
24
5*43-
2
103
Md






165 Nota Fa ant é 43 pois 8+16+19
Md = 165 + 1,77 = 166,77 cm
Distribuição de frequências sem classes, logo:
f = n = 103 → ímpar
2
1n
P

 →
2
1103  = 52ª posição
A Me está na 52ª posição. Logo, acumulando
as frequências até 52º, temos:
8+16+19+24  Md = 170cm

Moda
1.Determine o salário modal dos empregados de uma empresa, abaixo:
$1300 $850 $1050 $45.000 $1200 $1000 $1300 $900 R= 1300 1300 é o valor que mais se repete
2.Determine a idade modal dos alunos de uma Universidade, abaixo:
52 19 45 22 50 25 20 23 19 52 R = 19 e 52 19 e 52 foram os valores que mais se repetem
3. Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. (moda bruta e moda de Czuber quando tiver classes)
a) Pesos de 26 alunos da turma A
Determine o peso modal dos alunos.
R = bruta 50kg
Czuber 50,28kg
i Pesos (Kg) f
1 40  44 2
2 44  48 5
3 48  52 9
4 52  56 6
5 56  60 4
f=26
b) Peso de 31 peças coletadas para
análise da qualidade
Determine o peso modal das peças.
R = 47 kg
Distribuição de frequência sem classes.
Não é necessário cálculo. Basta
identificar o peso de maior frequência.
i Pesos (Kg) f
1 40 3
2 45 5
3 47 10
4 50 8
5 53 5
f=31
4.Determine a temperatura modal do histograma (bruta e de Czuber) R = bruta 28,5ºC Czuber 27,75°C
5.Determine a velocidade modal do histograma abaixo R = 90km/h
70 80 90 100 110
Velocidade (Km/h)
2
4
5
7
9
3
0
2
4
6
8
10
12
Quantidadededias
15 18 21 24 27 30 33
Temperaturas (°C)
Classe modal é a de maior frequência, logo é a 3ª classe.
Moda Bruta = 48+52/2 = 50 kg
h
2D1D
1D
CzuberMo *

 
4*
34
4
48

CzuberMo = 48 + 2,28  50,28kg
(D1=4, pois 9-5 = 4) (D2=3, pois 9-6=3)
(h = 4, pois é a amplitude da classe modal)
Moda Bruta = 27+30/2 = 28,5
h
2D1D
1D
CzuberMo *

 
3*
62
2
27

CzuberMo = 24 + 0,75  27,75
(D1=2 pois 9-7 = 2) (D2=6 pois 9-3=6)
(h = 3 pois é a amplitude da classe modal)
h
Distribuição de frequência sem classes. Não é necessário
cálculo. Basta identificar a velocidade de maior
frequência, no caso Mo = 90 km/h

6. Considere a distribuição abaixo, relativa ao tempo que os empregados de uma empresa levam para produzir uma peça.
Pode-se dizer que a Moda de Czuber será, aproximadamente
a) 35 minutos
b) 37 minutos
c) 40 minutos
d) 43 minutos
e) 45 minutos
Simplesmente representar graficamente e observar o valor mais próximo
da seta. Veja apostila (pág, 32), tem um exemplo com explicações.
7.Determine a moda do histograma abaixo (Moda bruta e de Czuber) R = moda bruta = 3 salários mínimos Moda Czuber= 3,8 salários mínimos
8. Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. (moda bruta e moda de Czuber quando tiver classes)
a) Estaturas de 30 funcionários
de uma empresa.
Determine a estatura modal.
R = bruta 171 cm
Czuber 170 cm
i Estaturas (cm) f
1 150  156 1
2 156  162 5
3 162  168 8
4 168  174 13
5 174  180 3
f=30
b) Tamanho de 41 peças coletadas
para análise da qualidade.
Determine o tamanho modal das peças.
R = 156 mm.
Caso de DF sem classes. Então, basta
identificar a classe de maior frequencia
i (mm) f
1 156 13
2 162 5
3 168 8
4 174 11
5 180 4
f=41
9. Considere a distribuição abaixo, relativa ao tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir uma peça.
Pode-se dizer que a Moda de Czuber será, aproximadamente
a) 25,1 minutos
b) 27,2 minutos
c) 29,9 minutos
d) 30,3 minutos
e) 33,4 minutos
25,1 não pode ser o resultado, pois está muito próximo de 25. Então, tem
que ser 27,2. Descarte c), d) e e) pois estão acima de 30.
0
2
4
6
8
10
12
Númerodeoperários
Produção de peças
5 15 25 35 45 55 65
Tempo (minutos)
Númerodeoperários
Produção de peças
5 15 25 35 45 55 65
Tempo (minutos)
36
32
24
19
12
5
0
10
20
30
40
50
Quantidadefamílias
Renda mensal de familias emResende
2 4 6 8 10 12 14
Moda Bruta = 2+4/2 = 3 salários mínimo
h
2D1D
1D
CzuberMo *

 
2*
436
36
2

CzuberMo = 2 + 1,8  3,8 salários
(D1=36 pois 36-0=362) (D2=4 pois 36-32=4)
h
Classe modal é a de maior frequência, logo é a 4ª
classe. Moda Bruta = 168+174/2 = 171
h
2D1D
1D
CzuberMo *

 
6*
105
5
168

CzuberMo = 168 + 2  170
(D1=5 pois 13-8=5) (D2=10 pois 13-3=10)

MEDIDAS DE ORDENAMENTO
Quartil
1. Calcule e interprete Q1 e Q3 para todas as distribuições abaixo
Pesos dos alunos da turma A
i Pesos (Kg) f
1 40  44 2
2 44  48 5
3 48  52 9
4 52  56 6
5 56  60 4
Pesos de peças coletadas
i Pesos (Kg) f
1 40 3
2 45 5
3 47 10
4 50 7
5 53 5
Estaturas dos funcionários
de uma empresa.
i Estaturas (cm) f
1 150  156 1
2 156  162 5
3 162  168 8
4 168  174 13
5 174  180 3
Tamanho de peças coletadas
para análise.
i (mm) f
1 156 13
2 162 5
3 168 8
4 174 10
5 180 4
Salários dos empregados da Volkswagen de Resende
i Salários (R$) f
1 500  700 8
2 700  900 20
3 900  1100 7
4 1100  1300 5
Salários dos empregados da Prefeitura
i Salários (R$) f
1 780 20
2 950 8
3 1000 5
4 1400 7
2. Calcule o 1º quartil e 3º quartil da distribuição abaixo. R = Q1 = R$630 e Q3 = R$ 873
SEM NECESSIDADE DE RESOLUÇÃO. SEM DÚVIDAS
DOS ALUNOS

Decil
1.Calcule e interprete D1, D3, D6 e D9 para todas as distribuições
a)Pesos dos alunos da turma A
i Pesos (Kg) f
1 40  44 2
2 44  48 5
3 48  52 9
4 52  56 6
5 56  60 4
f=26
b)Estaturas dos funcionários de uma empresa.
i Estaturas (cm) f
1 150  156 1
2 156  162 5
3 162  168 8
4 168  174 13
5 174  180 3
f=30
DOS ALUNOS

Percentil
1.Calcule e interprete P27, P36, P45 e P82 para todas as distribuições
a)Pesos dos alunos da turma A
i Pesos (Kg) f
1 40  44 2
2 44  48 5
3 48  52 9
4 52  56 6
5 56  60 4
f=26
b)Estaturas dos funcionários de uma empresa.
i Estaturas (cm) f
1 150  156 1
2 156  162 5
3 162  168 8
4 168  174 13
5 174  180 3
f=30
DOS ALUNOS

Juntando e interpretando as Medidas de Ordenamento...
1) O 2º Quartil é uma medida estatística que coincide com
a) O 20º Percentil.
b) A mediana. (2 quartil e mediana = 50%)
c) O 2º Decil.
d) A média de 20 dados.
e) O 20º Decil.
2) O 3º Quartil é uma medida estatística que coincide com
a) O 75º Percentil. (3 quartil e 75 percentil = 75%)
b) O 25º Decil.
c) A mediana.
d) O 30º Percentil.
e) O 50º Decil.
3) O 7º Decil é uma medida estatística que coincide com
a) O 70º Quartil.
b) A moda.
c) O 7º Quartil.
d) O 30º Decil.
e) O 70º Percentil. (7 decil e 70 percentil = 70%)
4) O 25º Percentil é uma medida estatística que coincide com
a) O 7º Quartil.
b) O 2º Decil.
c) A média e mediana.
d) O 1º Quartil. (1 quartil e 25 percentil = 25%)
e) O 75º Decil.
5) O 50º Percentil é uma medida estatística que coincide com
a) O 5º Decil e o 2º Quartil. (todos eles = 50%)
b) O 3º Quartil e o 25º Decil.
c) A média, a mediana e a moda.
d) O 2º Quartil e o 25º Decil.
e) O 15º Decil e o 5º Quartil.
6) Um conjunto de dados apresentou as seguintes medidas:
média=95
moda=50
5º Percentil=22
1º quartil=82
3º Decil=85
mediana=105
3º Quartil=158
80ª Percentil=165
É correta afirmar que:
a.50% dos dados se encontram abaixo de 82.
105
b.80% dos dados se encontram acima de 165.
abaixo
c.25% dos dados se encontram acima de 158.
Correto!
d.3% dos dados se encontram abaixo de 85.
Não há medida que representa 3% no
conjunto de medidas apresentado
e.5% dos dados se encontram acima de 22.
abaixo
7) As medidas estatísticas abaixo que se coincidem são:
a) 3º Quartil e o 25º Percentil.
b) 1º Decil e o 25º Percentil.
c) 2º Quartil e o 50º Decil.
d) 4º Quartil e o 45º Percentil.
e) 75º Percentil e o 3º Quartil. (todos = 75%)
8) A medida estatística que será maior que o 3º Quartil (75%) é o
a) 7º decil. (70%)
b) 2º quartil. (20%)
c) 76º Percentil.
d) 4º Decil. (40%)
e) 8º Percentil. (8%)
9)O gráfico abaixo mostra a renda média mensal das famílias
brasileiras e a sua desigual distribuição entre a população do pais.
Qual é a renda familiar média mensal dos 10% mais pobres?
10% mais pobre = R$96, pois 1º decil = 10%.
10)Analise o gráfico abaixo e complete as afirmações seguintes.
a. A metade mais pobre de toda a população brasileira
detém____14,4______% de toda a renda do país.
1%+2,5%+3%+3,4%+4,5%
b. Os 20% mais ricos de toda a população
concentram___62,6____% de toda a renda do país.
15,7%+46,9%
c. O intervalo compreendido entre o 4º e o 8º decil
reúne___30,9_______% da renda nacional.
3,4%+4,5%+5,7%+7,3%+10%
Gabarito: 1)b 2)a 3)e 4)d 5)a 6)c 7)e 8)c 9)
96 10) a.14,4% b. 62,6% c. 30,9%

11) Medida de Ordenamento a partir do Histograma. Um Analista de uma grande empresa fez vários empréstimos bancários ao longo do
ano de 2011, com intuito de reforçar seu caixa para cobrir compromissos em vencimento. O recurso foi utilizado para sustentar as operações
do dia a dia. O número de empréstimos, bem como suas faixas de valores, é apresentado na tabela abaixo:
Com base nos dados, determine:
a) O 6º decil R = R$15,85
b) O 3º quartil R = R$19,45
c) O 25º percentil R = R$12,35
d) O 2º decil R = R$11,73
e) O 95º percentil R = R$27
QUESTÃO EXTRA!!
A resposta é a letra A
15
28
11
8
6
2
0
10
20
30
40
Númerodeempréstimos
Empréstimos bancários
8 12 16 20 24 28 32
Valores (em mil R$)
DOS ALUNOS

MEDIDAS DE VARIAÇÃO
Variância, Desvio padrão e Coeficiente de variação
1.Durante o ano letivo de 2011, as notas de Luis Fabiano e Dunga tiraram estão listadas abaixo.
Aluno Notas a) Calcule e interprete o Desvio padrão das notas de cada aluno.
b) Calcule e interprete o Coeficiente de variação de cada aluno.
c) Qual o aluno com menor variação?
Luis Fabiano 5,5 9,0 8,5 7,0
Dunga 4,0 9,5 6,5 10
Cálculo do Luis Fabiano Resp.: S = 1,58 Cv=21,06%
Média = 5,5+9,0+8,5+7,0 / 4 = 7,5
variância = (5,5-7,5)
2
+ (9,0-7,5)
2
+ (8,5-7,5)
2
+ (7,0-7,5)
2
/ 4-1 = 2,49  raiz = 1,58
A maioria dos dados se encontra entre +-1,58 em torno da média 7,5
Cv = 1,58/7,5*100 = 21,06% (moderada variação)
Cálculo do Dunga Resp.: S = 2,79 Cv=37,2%
Use o mesmo método da questão anterior
2. Se a variação de uma série de dados é igual 4, então, o desvio padrão será igual a (basta extrair a raiz de 4)
a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 0,4
3. Se as estaturas dos alunos da escola A tem média de 175cm com desvio padrão de 5cm, então, pode-se afirmar que
a) A maioria dos alunos tem estatura maior que 180cm.
b) 50% dos alunos têm estatura abaixo de 170cm.
c) A maioria dos alunos tem estatura entre 170cm e 180cm (a maioria dos os dados estão variando em +-5 cm em torno de média 175cm
d) As estaturas variam em torno de 14,22%, em relação à média.
e) 35% dos alunos têm estatura acima de 180 cm.
4. Um Analista está interessado em verificar a variabilidade do tempo (em dias) de entrega de um produto ao cliente. Foram observados 25
dias de entrega produzindo os resultados: Média = 22 dias e Variância de 4 dias. Os resultados indicam que
a) Há pouca variação de dias.
b) A variação é de 18,18%.
c) Há moderada variação de dias.
d) A variação é maior que 10%.
e) Há muita variação de dias.
5. Uma série de idades possui 10 elementos. O valor do somatório do quadrado das diferenças é de 36. O desvio padrão dessa série é
a) 2,00 b) 1,90 c) 4,00 d) 3,60 e) 2,50
Raiz variância de 4  2
2/22 * 100 = 9,09%  pequena/pouca/baixa variação
Raiz de 36 / 10-1 = 2

6. De duas máquinas industriais, A e B, foram extraídas 600 peças que apresentaram as estatísticas descritas na tabela.
máquina média variância
A 3,5kg 0,250kg
B 3,6kg 0,225kg
Com base nos dados, podemos afirmar que
a) A máquina B apresenta menor coeficiente de variação que A.
b) A maioria das peças da máquina A está dentro do intervalo de 3,25 kg e 3,75kg.
c) O desvio padrão da máquina B é menor que 0,300kg.
d) O coeficiente de variação da máquina A é 7,14%.
e) A máquina B apresenta moderada variação de pesos.
7. Em cinco testes, uma turma A obteve média 63,2 com variância de 9,61. Outra turma B obteve média 78,5 com desvio padrão de 5,5. Qual
das duas turmas é mais consistente?
8. Os pesos das peças produzidas por uma empresa têm média de 50 kg e desvio padrão de 5kg. Então, o Coeficiente de variação será igual a
a) 55%. b) 1000%. c) 10%. d) 45%. e) 0,1%
5/50*100 = 10%
9. A tabela abaixo apresenta o comprimento de peças coletadas por lotes, para análise no laboratório de qualidade.
Lote Comprimento das peças (mm) a) Calcule e interprete o desvio padrão de cada lote.
b) Sabendo-se que serão aprovados para venda os lotes com coeficiente de variação
menor que 0,08, qual (is) o(s) lote(s) aprovado(s)?
A 55 58 50 53 54
B 49 52 56 50 63
Cálculo do Lote A Resp.: S = 2,92 Cv=5,40%
Mesmo método da questão 1
Cálculo do Lote B Resp.: S = 5,70 Cv=10,56%
Mesmo método da questão 1
Resp. 2 d); 3 c); 4 a) 5 a)
6 a); 7 – turma A; 8 c)
Raiz de 0,250 = 0,50 CVa = 0,5/3,5*100 = 14,28% pouca variação
Raiz de 0,225 = 0,47 CVb = 0,47/3,6*100 = 13,05% pouca variação
Raiz de 9,61 = 3,1 CVa = 3,1/63,2*100 = 4,90% pouca variação
CVb = 5,5/78,5*100 = 7,00% pouca variação
Mais consistente é aquela que tem menor variação, então turma A

Desvio padrão de distribuição de frequência
1. Ache o desvio padrão da distribuição de frequência abaixo
Pesos de 26 alunos da turma A
R = x = 50,77kg
S2
= 21,78
S = 4,66
Pesos (Kg) f
40  44 2
44  48 5
48  52 9
52  56 6
56  60 4
f=26
2. Um Analista quer saber a variação de tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir certa peça. Para tanto, observou os
trabalhadores por vários dias, fez suas anotações e construiu o histograma abaixo
Sabendo-se que a média desta distribuição é 21,67 minutos, então
a) Há moderada variação de tempo para produção a peça.
b) Em termos de desvio padrão, a maioria dos tempos de produção está dentro
do intervalo de 20 minutos e 23,5 minutos.
c) A variação é de aproximadamente 6%, em relação à média. certa
d) A variância está entre 1,05 minutos e 3,15 minutos. certa
e) O desvio padrão é maior que a variância.
Resp nº. 2 - Desvio padrão = 1,29 e Cv =5,95%, portanto, a resposta é a letra c)
8
23
11
7
4
2
0
5
10
15
20
25
30
Númerodeoperários
Tempo para produzir uma peça
20 21 22 23 24 25
Tempo aproximado (minutos)
Use o ponto médio de classe
Média  (42 * 2) +...+ (58 * 4) = 50,77
26
Variância  (42 – 50,77)2
* 2 +...+ (58 – 50,77)2
* 4 = 21,78  desvio padrão = raiz = 4,66
26-1
Média  (20 * 8) +...+ (25 * 2) = 21,67 (não é necessário calcular pois já dei a resposta
55
Variância  (20 – 21,67)2
* 8 +...+ (25 – 21,67)2
* 2 = 1,6641  desvio padrão = raiz = 1,29
55-1
Cv = 1,29/21,67 * 100 = 5,95% (pouca/pequena/baixa variação)

3. Seja a distribuição
xi f
10 7
30 15
50 4
70 9
Quanto à homogeneidade da distribuição, podemos afirmar que
a) A variância é aproximadamente 22.
b) A distribuição é pouco dispersa.
c) O desvio padrão é a raiz quadrada de um valor próximo de 477,42.
d) A maioria dos dados está dentro dos intervalos de 35 a 40.
e) O desvio padrão é de 56%.
4. Calcule o Coeficiente de Variação do Histograma abaixo Resp. x = 25,1 S = 4,30 e Cv = 17,13%
5. Seja a distribuição
Assinale a alternativa correta, referente à distribuição ao lado:
a) A média é 89.
b) O desvio padrão é aproximadamente 12.
c) A variância é 1255.
d) O coeficiente de variação é 67%.
e) A variação de dados é baixa.
Use o mesmo método da questão 1 e 2.
Resp. 3 - Média = 38,57; desvio padrão = 21,85 e Cv= 56,65%, portanto, letra c).
Resp. 5 b)
2
4
5
7
9
3
0
2
4
6
8
10
12
Quantidadededias
15 18 21 24 27 30 33
Temperaturas (°C)
Média  (10 * 7) +...+ (70 * 9) = 38,57
55
Variância  (10 – 38,57)2
* 7 +...+ (70 – 38,57)2
* 9 = 477,42  Desvio padrão = raiz = 21,85
55-1
Cv = 21,85/38,57 * 100 = 56,65% (muita/grande variação)
Ache os pontos médios de classe e depois calcule a Média  (16,5 * 2) +...+ (31,5 * 3) = 25,1
30
Variância  (16,5 – 25,1)2
* 2 +...+ (31,5 – 25,1)2
* 3 = 18,49  Desvio padrão = raiz = 4,30
30-1
Cv = 4,30/25,1 * 100 = 17,13% (moderada variação)

MAIS EXERCÍCIOS DE DESVIO PADRÃO (REFORÇAR O APRENDIZADO). NÃO É NECESSÁRIO APRESENTAR COMO PARTE DO TRABALHO
6) O histograma abaixo apresenta o número de salários mínimos que as famílias de Resende recebem mensalmente:
8) Ache o desvio padrão das estaturas de 30 funcionários de uma
empresa
R = x = 167,40 cm S2
= 36,24 S = 6,02
Estaturas (cm) f
150  156 1
156  162 5
162  168 8
168  174 13
174  180 3
f=30
9) Ache o desvio padrão do tamanho de 40 peças coletadas
para análise.
R = x = 166,1 mm S2
= 72,72 S = 8,52
(mm) f
156 13
162 5
168 8
174 10
180 4
f=40
Qual o desvio padrão do nº de salários mínimo que as famílias
recebem, mensalmente?
Resp.: x = 6,28 S = 2,9236
32
24
19
12
5
0
10
20
30
40
50
Quantidadedefamílias
Renda mensalde familias em Resende
2 4 6 8 10 12 14
7) Calcule o Coeficiente de Variação velocidades do gráfico
acima. Resp.: x = 90 S = 12,54 Cv = 13,93%
2
3
5
3
2
0
2
4
6
8
Quantidadedeveículos
Resultados dos veículos registrados por um radar
70 80 90 100 110
Velocidade (Km/h)

MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE
Assimetria
5. Analisando a curva abaixo marque a resposta correta
a) a curva é simétrica.
b) a curva é assimétrica negativa. (negativa sempre é “ à esquerda”)
c) a curva é assimétrica nula.
d) a curva é simétrica positiva e a média é igual a moda.
e) a curva é assimétrica à direita.
6. Quando temos uma distribuição assimétrica à esquerda.
a) A média é menor que a moda. (Essa regra sempre ocorrerá para assimétrica esquerda, para entender tem que ler apostila teoria)
b) A média é maior que a mediana.
c) A moda é menor que a média.
d) A mediana é maior que a moda.
e) A média é maior que a moda.
7. Considere os dados abaixo e marque a única correta
a) Se As 0,24 > 0 Distribuição assimétrica positiva.
b) Se As 0,24 < 0 Distribuição simétrica.
c) Se As 0,24 < 0 Distribuição assimétrica positiva.
d) Se As 0,24 > 0 Distribuição assimétrica negativa.
e) Se As 0,24 = 0 Distribuição assimétrica positiva.
R = 0,258
R = 0,283
R = 0,364 (com mediana) 0,456 (com moda)
R = 0,021
Média = 74,05 kg
Moda = 73,8 kg
Desvio padrão = 11,57 hg
Resp.; 5 b) ; 6a) 7a)
A  52-52 = 0 = simétrica
B  45-50 = -5 = assimétrica negativa esquerda
C  48-46 = +2 = assimétrica positiva direita
3 (48,1 – 47,9) = 0,283
2,12
(33,18 – 27,50) = 0,456
12,45
Assimetria positiva
direita moderada
(74,05 – 73,8) = 0,021
11,57
Assimetria positiva
direita fraca

CURTOSE
USE ESTA FÓRMULA
3. Na figura a seguir as curvas numeradas de 1 a 3 são respectivamente denominadas
a) Leptocúrtica, Platicúrtica e Mesocúrtica.
b) Leptocúrtica, Mesocúrtica e Platicúrtica.
c) Mesocúrtica, Platicúrtica e Leptocúrtica.
d) Mesocúrtica, Leptocúrtica e Platicúrtica.
e) Platicúrtica, Mesocúrtica e Leptocúrtica.
Resposta  4 a)
R = 0,252; 0,263; 0,287
R = 0,258
1º quartil = 66
3º quartil = 82,5
Percentil 90 = 90
Percentil 10 = 58

Multiplicação de Probabilidade com Eventos dependentes P(A e B) = P(A) x P(B|A)
1. Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho, sem reposição. Qual a probabilidade de selecionar:
a. Um valete e um ás? R = 0,006 (4/52 * 4/51)
b. Ambas sejam carta de copas? R = 0,0588 (13/52 * 12/51)
c. Um rei e uma figura? R = 0,01659 (4/52 * 11/51)
2. Sabe-se pelo histórico que, em um lote de 40 peças produzidas, 35 são de qualidade e 5 são defeituosas. Se um Analista Industrial retira
duas peças em sequência desse lote, sem reposição, qual a probabilidade que:
a. Ambas sejam de qualidade. R = 0,7628 (35/40 * 34/39)
b. Ambas sejam defeituosas. R = 0,0128 (5/40 * 4/39)
3. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo-se três bolas em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de que:
a. As duas primeiras sejam verdes e a terceira seja amarela; R = 0,1607 (VVA)  (10/16 * 9/15 * 6/14)
b. Duas sejam verdes e uma seja amarela; R = 0,4821 3(VVA)  3(10/16 * 9/15 * 6/14)
c. Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6964 3(VVA)+(VVV)
d. No máximo uma seja verde; R = 0,3036 (AAA)+3(AAV)
e. Pelo menos uma seja amarela; R = 0,7857 3(VVA)+3(VAA)+(AAA) ou 1-VVV
f. Todas sejam da mesma cor; R = 0,25 (VVV)+(AAA)
g. No máximo duas sejam amarelas R = 0,9643 (VVV)+3(VVA)+3(VAA) ou 1-AAA
4. Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram o tempo afirmado pelo fabricante. Quatro lâmpadas falham no teste. Três lâmpadas
são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que:
a. Todas tenham falhado no teste; R = 0,0181 (FFF)
b. Pelo menos duas tenham falhado no teste; R = 0,2363 3(FFP)+(FFF)
c. No máximo uma tenha falhado no teste; R = 0,7636 (PPP)+3(PPF)
d. Pelo menos duas tenham passado no teste; R = 0,7636 3(PPF)+(PPP)
5. Um centro de distribuição (armazém) recebe carregamentos de um produto de três fábricas diferentes A, B e C, nas quantidades a seguir:
50, 35 e 25, respectivamente. Um produto é selecionado três vezes, cada vez sem reposição. Encontre a probabilidade de que os três
produtos tenham vindo da fábrica C. R = 0,0106 25/110 x 24/109 x 23/108
6. De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram-se 4 pessoas, sem reposição, para formar uma comissão. Qual a probabilidade de:
a. Pelo menos uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,8978 1- (HHHH)
b. Uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,3632 4(MHHH)
c. Haver pessoas dos dois sexos na comissão? R = 0,8833 1 - (HHHH)+(MMMM)
7. Um médico dá ao paciente uma chance de 60% de sobrevivência a uma cirurgia para colocação de marca passo depois de ter sofrido um
ataque cardíaco. Se o paciente sobrevive à cirurgia, ele tem 25% de chances de que o problema cardíaco seja curado. Encontre a
probabilidade de que o paciente:
a. Sobreviva à cirurgia e o coração seja curado. R = 0,15 0,6 x 0,25
b. Sobreviva à cirurgia e o coração não seja curado. R = 0,45 0,6 x 0,75
8. Em uma amostra de 1000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que:
a) Ambas sejam canhotas R = 0,0142 (120/1000 * 119/999)
b) Pelo menos uma seja canhota R = 0,2258 2(120/1000 * 880/999) + (120/1000 * 119/999)
9. Uma lote contém 10 peças de qualidade e 2 com defeitos. Extraindo-se duas peças em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de
que:
a. Pelo menos uma seja defeituosa; R = 0,3182 2(DQ)+(DD)
b. No máximo uma seja defeituosa; R = 0,9848 (QQ)+2(DQ)

A B
Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes P(A e B) = P(A) x P(B)
1. Ao lançar dois dados, qual a probabilidade de obter:
a) O número 2 e maior que 4? R = 5,55% (1/6 * 2/6)
b) Um número menor que 3 e maior que 2? R = 22,22% (2/6 * 4/6)
c) Obter um número maior que 5 e menor que 6? R = 13,88% (1/6 * 5/6)
2. De dois baralhos de 52 cartas, cada, retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a
probabilidade de:
a) Obter um Rei e um 5 de paus? R = 0,14% (4/52 * 1/52)
b) Obter um Valete e um Ás? R = 0,59% (4/52 * 4/52)
c) Obter uma figura e uma dama? R = 1,77% (12/52 * 4/52)
3. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 65% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3
pacientes. Encontre a probabilidade que:
a) As três cirurgias sejam um sucesso; R = 0,2746 (SSS)  (0,65*0,65*0,65)
b) As três cirurgias sejam um fracasso; R = 0,0429 (FFF)  (0,35*0,35*0,35)
c) Duas cirurgias sejam um sucesso; R = 0,4436 3(SSF) + (SSS)  3(0,65*0,65*0,35) + (0,65*0,65*0,65)
d) Pelo menos uma cirurgia seja um fracasso. R = 0,7254 3 (FSS)+3(FFS)+(FFF) OU 1 – (SSS)
4. Uma urna A contém 3 bolas brancas e 6 pretas. Uma urna B contém 5 bolas brancas e 2 pretas.
Uma bola é retirada de cada urna, simultaneamente. Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas das urnas A e B
serem, respectivamente, branca e preta? R = 9,52% (3/9) * (2/7)
5. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo-se três bolas, com reposição, qual a probabilidade de que:
a. Duas sejam verdes; R = 0,4395 3(VVA)  3(10/16*10/16*6/16)
b. Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6836 3(VVA)+(VVV)  3(10/16*10/16*6/16) + (10/16*10/16*10/16)
c. Todas sejam amarelas; R = 0,0527 (AAA) (6/16*6/16*6/16)
d. No mínimo duas sejam amarelas. R = 0,3164 3(AAV)+ (AAA)  3(6/16*6/16*10/16) + (6/16*6/16*6/16)
e. No máximo uma seja amarela. R = 0,6836 (VVV)+3(AVV)
Nota: “COM REPOSIÇÃO”. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira-se uma bola, verifica-se a cor, coloca-se novamente a bola na caixa, retira-
se novamente uma bola, verifica-se a cor, coloca-se de volta na caixa, até que se completem as três extrações. Este tipo de ocorrência torna esses eventos
independentes.
6. Dois amigos são caçadores. Sabe-se que um deles tem 45% de chance de acertar qualquer caça, enquanto o outro tem 60%. Se os dois
foram caçar em uma floresta, qual a probabilidade de: A – acertar E - errar
a. Ambos acertarem na caça. R = 0,27 0,45*0,60
b. Nenhum acertar na mesma caça. R = 0,22 0,55*0,40
c. Apenas um acertar na caça. R = 0,51 (0,45*0,40) + (0,55*0,60)
d. A caça ser atingida. R = 0,78 (AE) + (EA) + (AA) (0,45*0,40)+(0,55*0,60)+(0,45*0,60) ou 1 – (EE), que é 1 – (0,55*0,40)
7. Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retira-se 5 peças, com reposição, da produção dessa
máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de:
a. Pelo menos quatro sejam boas? R = 0,9185 5(BBBBR)+(BBBBB)
b. Pelo menos uma seja defeituosa? R = 0,4095 1 - (BBBBB)  1 - 0,9
5
c. Uma seja boa? R = 0,00045 5(BRRRR)
d. No mínimo uma seja boa? R = 0,99999 1 - (DDDDD)  1 - 0,10
5
8. Uma moeda é jogada e um dado é lançado. Encontre a probabilidade de se obter uma coroa e o número 2. R = 0,0833
9. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é de
2
/5; a de sua mulher é de
2
/3 . Determinar a probabilidade de que,
daqui a 30 anos: SEJA V - VIVO e M - MORTO
a. Ambos estejam vivos; R = 0,2666 (V V)  2/5 * 2/3
b. Nenhum esteja vivo; R = 0,20 (M M)  3/5 * 1/3
10. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2
bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna simultaneamente. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas das
urnas A e B e C serem, respectivamente:

A B Ca) Todas sejam verdes? R = 1,23% (2/9) * (1/8) * (4/9)
b) preta e verde e branca? R = 1,23% (4/9) * (1/8) * (2/9)
c) branca e verde e preta? R = 1,38% (3/9) * (1/8) * (3/9)
11. Dois profissionais fazem test drive de alto risco nos veículos fabricados. A probabilidade de a 1ª capotar é de 32% e a probabilidade de o
2ª capotar é de 8%. Se os dois fazem o test com os veículos, qual a probabilidade de:
C – capotar N – não capotar
a. Ambos capotarem; R = 0,0256 (CC) 0,32x 0,08
b. Apenas um capotar; R = 0,3488 (CN)+(NC) (0,32*0,92)+(0,08*0,68)
c. Ninguém capotar; R = 0,6256 (NN) 0,68x0,92
d. Ocorrer capotamento. R = 0,3744 (CN) + (NC) + (CC) (0,32*0,92)+ (0,68*0,08) +(0,32*0,08) ou 1 – (NN), que é 1-(0,68*0,92)
12. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em
uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a
probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a
a) 0,624.
b) 0,064.
c) 0,216.
d) 0,568.
e) 0,784  seja “V” VENDER e “N” NÃO VENDER  3(VNN) + 3(VVN) + (VVV) ou 1 – (NNN)

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Uanderson Rébula de Oliveira

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