O documento discute os fundamentos básicos da matemática financeira. Apresenta conceitos como capital, juros, montante e taxa de juros. Explica os sistemas de juros simples e compostos e como calcular cada um. Também aborda operações de desconto e os conceitos de taxa nominal, efetiva e equivalente. O objetivo é fornecer uma introdução sobre esses tópicos fundamentais da matemática financeira.
Livro pdf - Fundamentos da Contabilidade - Prof MSc Uanderson Rébula
Fundamentos da Matemática Financeira
1. -1-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Fundamentos Básicos da
MATEMÁTICA FINANCEIRA
%
$
0,01%
R$ 5.000
juros
TEMPO
Prof. Uanderson Rebula de Oliveira
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EMENTA.
Capital, juros, montante, taxa de juros. Sistemas de juros simples. Operações de desconto
Sistemas de juros compostos. Taxa nominal, efetiva e equivalente. Valor do dinheiro no tempo.
Taxa mínima de atratividade versus inflação. Diagrama de fluxo de caixa. Análise do fluxo de
caixa através do Payback Simples e Descontado. Análise do fluxo de caixa através do Valor
Presente Líquido
OBJETIVO.
Compreender os conceitos e os princípios fundamentais da Matemática Financeira para resolver
problemas que envolvam juros simples, compostos, desconto de títulos; Compreender o que é e
para que serve um fluxo de caixa; Saber a diferença do dinheiro em deferentes épocas; Avaliar a
viabilidade de um investimento através do Valor Presente Líquido e Payback.
Produção Industrial e Automotiva
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA
Mestrando em Engenharia (ênfase Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC
Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC
Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do
Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso
de férias). Palestrante para Administradores (graduação). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração
de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística
Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos,
Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na
CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de
Siderurgia.
Fundamentos Básicos da
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Campus Resende
2010
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
NOTA DO PROFESSOR
No mundo atual, extremamente complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo o
momento no nosso cotidiano.
Precisamos ficar atentos, pois utilizamos diariamente inúmeras operações para tomarmos
algumas decisões em relação ao dinheiro. São empréstimos, compra e venda, pagamentos de tarifas de
luz, água, impostos, aplicações em bancos, tudo isso relacionado com a economia do país.
É possível citar, também, as decisões importantes que tomamos quanto aos financiamentos para
a aquisição de carros, casas, terrenos etc e aos financiamentos que as empresas fazem para aquisição
de máquinas, equipamentos etc.
A oscilação do preço do financiamento representado pela elevação ou queda das taxas de juros,
o estabelecimento de prazos para a conclusão das operações de financiamento e de investimento, o
risco inerente a cada decisão são problemas financeiros latentes de solução.
A Matemática Financeira oferece o instrumental ideal para lidar com os fatos citados. Há extrema
necessidade das pessoas em geral e, especificamente da classe estudantil, tomarem conhecimento
desse poderoso instrumental para auxiliá‐los no entendimento e nas respostas a tais questões.
O conhecimento básico das operações de financiamento e investimento habilita o cidadão a
escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐determinado.
O objetivo desta apostila é apresentar de forma simples e objetiva os fundamentos básicos da
Matemática Financeira. Trata‐se de um estudo introdutório visando principalmente a sua utilização
como apoio no curso, especialmente a disciplina “Gestão Financeira de Empresas”, cujos estudantes
precisam no exercício de suas atividades dos conhecimentos básicos da matéria.
Uanderson Rebula
4. -4-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
“No mundo atual, complexo e globalizado,
as questões financeiras surgem a todo
instante no cotidiano da população”.
Bernardo Scisú
5. “Atualmente, todos – estudantes e professores – procuram o Udemy porque é a
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Fonte: Jornal do Brasil
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6. Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
Sumário
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, 7
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO, 10
1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS, 15
1.3.1 Conceito de juros simples, 15
1.3.2 Conceito de juros compostos, 15
1.3.3 Cálculo dos juros simples, 16
1.3.4 Cálculo dos juros compostos, 19
1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO, 21
1.4.1 Desconto simples, 21
1.4.2 Desconto composto, 22
1.5 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE, 23
UNIDADE 2 – FLUXO DE CAIXA
2.1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO, 26
2.2. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA, 27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 28
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
“A matemática financeira surge como um método para avaliar
alternativas e ajudar os cidadãos nas decisões. O conhecimento
básico das operações de financiamentos e investimentos habilita o
cidadão a escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐
determinado”.
Bernardo Sicsú
Economista, Especialista em Finanças e Mestre em Administração Financeira.
Unidade 1
FUNDAMENTOS DA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Segundo Halfeld (2008) os livros de Economia ensinam que há três fatores essenciais para a produção:
• TRABALHO: A remuneração exigida por aquele que fornece trabalho é o SALÁRIO.
• TERRA: Quem tem terra ou prédios exige um ALUGUEL para emprestá‐lo.
• CAPITAL: A remuneração exigida por aquele que empresta dinheiro é o JURO.
Os fatores de produção são elementos básicos utilizados na produção de bens (como carros, móveis, aço,
eletrodomésticos etc.), e serviços (como telefonia, comunicação, manutenção, etc.). Esses fatores têm influencia
direta na produção, os quais são utilizados para satisfazer as nossas necessidades.
Assim, podemos visualizar a remuneração dos fatores de produção na figura abaixo:
Capital x JURO – surgimento
O conceito do fator de produção Capital x JURO surgiu com a criação de pequenas firmas que se comprometiam a
guardar o dinheiro das pessoas. Nasciam, portanto, os primeiros “bancos”. Num espaço de tempo relativamente
curto, acumulou‐se nos cofres dos bancos imensa quantidade de dinheiro.
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não a consumiam imediatamente, os banqueiros
foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Era pouco provável que todos os
proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exigissem a devolução imediata de todo seu dinheiro.
Assim, os bancos emprestavam parte deste dinheiro a quem pedisse, sob a condição de devolução num prazo
determinado, com o propósito de obter alguma
vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado,
era entregue, no vencimento do prazo estipulado,
uma soma adicional, denominada “juro”.
Desta forma, o homem percebeu existir estreita
relação entre o dinheiro e o tempo (prazo). Toda
transação financeira previa quando (datas de
início e término da operação) e por quanto tempo
(duração da operação) se dava a cessão (o
empréstimo) do capital (dinheiro). Este prazo era
expresso em determinada unidade de tempo (dia,
mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).
A instituição bancária foi o elemento propulsor do
surgimento de um tratamento matemático na
Economia, que exigia um cálculo específico,
considerando o juro e o tempo, e o
desenvolvimento de um aspecto particular da
matemática: a Matemática Financeira.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.
• Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
• Não é necessário esperar o tempo passar para saber o resultado de uma operação financeira, basta
executar determinados cálculos matemáticos para antecipar o resultado!
• O que se conhece como Matemática Financeira está muito mais próximo das pessoas do que se imagina.
A Matemática Financeira faz parte do nosso dia a dia.
Aplicações atuais da Matemática Financeira
Atualmente a Matemática Financeira possui diversas aplicações no sistema econômico, algumas situações estão
presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa pela caixa econômica federal, financiamentos
de carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações na caderneta de
poupança, CDB’s, investimentos em bolsas de valores, cálculos das taxas de inflação (perda do poder de compra)
entre outras situações.
Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros, considerando o fato
“tempo”. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas
de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença
damos o nome de juros.
A matemática financeira também é utilizada na análise de investimentos (Engenharia Econômica), pois busca
ajudar na decisão de onde um valor deve ser aplicado, considerando estritamente a rentabilidade que
determinada operação resultará. Veremos este assunto em “Gestão Financeira de Empresas”.
Fundamentos do uso da Matemática Financeira pelas empresas. Os conceitos abaixo são interessantes.
PRÁTICA DAS PESSOAS FÍSICAS:
APLICAR O DINHEIRO na aquisição de BENS que NÃO GERAM DINHEIRO; pelo contrário,
tiram o dinheiro da conta bancária, como CARROS DE LUXO, CASA NA PRAIA etc. (ou
seja: CRIAR DESPESAS);
TOMAR DINHEIRO EMPRESTADO de um banco e pagá‐lo, ao LONGO do TEMPO, para
“COBRIR” as DESPESAS ou contrair “MAIS DESPESAS”.
COMPRAR ou VENDER a VISTA/a PRAZO SEM uma análise financeira de qual opção é
mais vantajosa.
Ex.: Se eu aplicar R$ 1.000 na caderneta de poupança por três anos, com juros de 7% ao ano, qual o
valor total que receberei no final da aplicação? Eu não preciso esperar três anos para saber o valor
total, basta efetuar simples cálculos oferecidos pela matemática financeira!
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
PRÁTICA DAS EMPRESAS:
APLICAÇÕES FINANCEIRAS
Ao invés de contrair despesas, APLICAR O DINHEIRO EM UM BANCO, por exemplo,
para que, APÓS ALGUM TEMPO, obtenham rendimentos (juros);
INVESTIMENTOS
APLICAR O DINHEIRO EM IMÓVEIS DE RENDA, SISTEMAS PRODUTIVOS, BOLSA DE
VALORES, investirem em outras empresas etc. para que APÓS ALGUM TEMPO
obtenham rendimento;
FINANCIAMENTOS
COMPRAR MÁQUINAS, equipamentos etc. parcelado e pagar ao LONGO DO TEMPO.
“Pagar com o próprio lucro” obtido na operação;
EMPRÉSTIMOS
Tomar dinheiro emprestado e aplicar na empresa e dar prosseguimento ou expansão
das operações, e pagar ao LONGO DO TEMPO.
Efetuar compras ou vendas a vista/a prazo com análise financeira da opção mais
vantajosa.
Como se vê, as empresas realizam a todo o momento operações financeiras que são as aplicações financeiras, os
investimentos, financiamentos e empréstimos; e se envolvem com operações de compras e vendas a prazo/ a vista.
Observe que todas essas operações envolvem tempo. A figura abaixo pode esclarecer as operações financeiras que
envolvem as empresas:
Considerações finais
No quesito “TEMPO” tanto as empresas como as pessoas físicas necessitam de uma ferramenta precisa e eficaz
para auxiliá‐las nos cálculos para TOMADA DE DECISÕES.
Todo investidor busca a melhor rentabilidade de seus recursos, e para que se possa medir o seu retorno faz‐se
necessária a aplicação de cálculos financeiros que possibilitam a tomada de decisão e a gestão financeira das
empresas.
A Matemática Financeira surge como um MÉTODO para AVALIAR ALTERNATIVAS e ajudar na TOMADA DE
DECISÃO.
Diante das situações acima, podemos observar que o estudo da Matemática Financeira, com todas as suas
fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de urna certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo,
isto é, dos juros. Portanto: PALAVRA CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: “JUROS”.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS e PRAZO
O que estudaremos agora faz parte do nosso vocabulário habitual com as mais diversas
instituições bancárias, seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou solicitar um
empréstimo; também no nosso dia a dia, seja na hora de comprar ou vender um carro,
eletrodoméstico etc.
Para aplicação da Matemática Financeira precisamos entender algumas definições
importantes, tais como: capital, montante, juros, taxas de juros e prazo. Mencionamos aqui
para alinharmos estes conceitos. Para isto, vamos utilizar três exemplos práticos com situações
diferentes, como segue:
EXEMPLO 1 – CASO DE INVESTIMENTO
UM INVESTIMENTO DE R$100 RETORNOU R$140 AO SEU INVESTIDOR APÓS 6 MESES.
CAPITAL1
é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$100.
MONTANTE2
é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$140
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$40 ($140–$100).
TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.
No exemplo seria $40 = 0,40 ou 40% em 6 meses. CAPITAL
$100
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seriam 6 meses.
O EXEMPLO 1 PODE SER FACILMENTE VISUALIZADO ATRAVÉS DA FIGURA ABAIXO:
Esses são os conceitos básicos em Matemática Financeira.
___________________
1 Alguns autores definem capital como “valor presente”, “valor inicial”, “capital inicial”, “valor atual” ou “principal”.
2 Alguns autores definem montante como “valor futuro” ou “valor final”, “capital final”.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EXEMPLO 2 – CASO DE EMPRÉSTIMO
EMPRÉSTIMO BANCÁRIO DE R$10, COM DEVOLUÇÃO DE R$15 APÓS 1 ANO.
CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$10.
MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$15
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$5 (R$15–R$10).
TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.
No exemplo seria $5 = 0,50 ou 50% em 1 ano. CAPITAL
$10
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 1 ano
EXEMPLO 3 – CASO DE COMPRA A PRAZO
Um PEN DRIVE custa à vista R$100 ou a prazo em 6x de R$20, totalizando R$120.
CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $100.
MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $120 ($100+$20)
JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $20 ($120–$100).
TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.
No exemplo seria $20 = 0,20 ou 20% em 6 meses. CAPITAL.
$100
PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 6 meses.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES – JUROS E TAXAS DE JUROS
JUROS
JURO É O VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. Também conceituado por diversos autores como o
“ALUGUEL QUE DEVE SER PAGO PELO USO DO DINHEIRO”; “REMUNERAÇÃO DO CAPITAL APLICADO”;
“RENDIMENTO DE UMA OPERAÇÃO”.
JUROS = MONTANTE – CAPITAL
JUROS = $120 – $100
JUROS = $20
TAXA DE JUROS
É a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO. Portanto, uma taxa de juros revela o acréscimo de valor do
dinheiro em certo tempo, devido a concessão do uso deste dinheiro.
ABREVIATURAS PARA PRAZOS E TAXAS DE JUROS
Para facilitar a representação é usual no mercado a abreviatura dos prazos e taxas, a saber:
Taxa e abreviatura SIGNIFICADO
5% a.d. Significa uma taxa de juros de 5% ao dia.
5% a.m. Significa uma taxa de juros de 5% ao mês.
5% a.s. Significa uma taxa de juros de 5% ao semestre.
5% a.a. Significa uma taxa de juros de 5% ao ano.
FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA DAS TAXAS DE JUROS:
O MERCADO financeiro APRESENTA as taxas na FORMA PERCENTUAL (0,3% a.d.; 20% a.a.).
Porém, para efetuar os CÁLCULOS, opera‐se na FORMA UNITÁRIA (0,003, 0,20) Veja abaixo:
APRESENTADA CALCULADA
FORMA PERCENTUAL
TRANSFORMAÇÃO
FORMA UNITÁRIA
0,3% a.d. 0,3
/100 0,003
0,45% a.m. 0,45
/100 0,0045
2% a.s. 2
/100 0,02
20% a.a. 20
/100 0,20
ALTERAÇÃO PRÁTICA entre FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA:
Forma percentual para UNITÁRIA
FORMA PERCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA
0,3% 0,3
/100 0,003
Ou pular duas casas decimais para
ESQUERDA
Forma unitária para PERCENTUAL
FORMA UNITÁRIA TRANSFORMAÇÃO FORMA PERCENTUAL
0,02 0,02
x 100 2%
Ou pular duas casas decimais para
DIREITA
DO EXEMPLO 3 (pág. 11)
EXEMPLO
O juro de um capital de $1.000
aplicado a taxa de 20% a.a. será:
$1.000 x 0,20 = $200
15. -13-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EXERCÍCIO 1 - EXERCITANDO OS CONCEITOS...
1. Observe a propaganda ao lado e informe:
Qual o capital?___________________________________________
Qual o valor do montante? _________________________________
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________
Qual a taxa de juro?_______________________________________
Qual o prazo?____________________________________________
2. Observe a propaganda ao lado e informe:
Qual o capital?___________________________________________
Qual o valor do montante? _________________________________
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________
Qual a taxa de juro?_______________________________________
Qual o prazo?____________________________________________
3. Um Fusca estava sendo vendido à vista pelo valor de R$8.000. Robervaldo comprou a prazo
pagando um valor total de $ 9.500, após 12 meses.
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
4. Para um empréstimo de $500 foram pagos, além do valor do empréstimo, mais $70 de acréscimo,
após 6 meses.
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
5. A quantia de $2.000 foi aplicada em um banco e, após 1 mês, retornou ao investidor $2.040:
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
R$718,80
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
6. Numa aplicação na caderneta de poupança obtive um rendimento de $200 em 6 meses. Sabendo‐se
que o valor aplicado foi de $1.600, informe:
Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
7. Qual foi o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de $1.225 e
que gerou um montante de $1.487?
_____________________________________________________________________________________
8. Qual o valor do investimento em um banco que gerou um resgate de $1.500, sabendo‐se que o
rendimento desta aplicação foi de $378?
_____________________________________________________________________________________
9. Converta as taxas a seguir da forma percentual para a forma unitária, e vice‐versa:
a) 25%___________ b) 5%___________ c) 1,5%___________ d) 0,5%__________ e) 0,18%___________
f) 0,16___________ g) 0,0034___________ h) 0,07___________ i) 0,5__________ j) 0,65____________
17. -15-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
A partir de agora passaremos a explorar o tema “JURO” com mais profundidade. No Mercado
Financeiro existem 2 tipos de juros: os juros “simples” e “compostos”.
1.3.1 CONCEITO DE JURO SIMPLES
É AQUELE CALCULADO SOMENTE SOBRE O CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO.
EXEMPLO A:
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À
TAXA DE JUROS SIMPLES DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?
Mês CAPITAL INÍCIO EMPREGADO JUROS MONTANTE (ou valor futuro)
1º 10.000 500 (10.000 x 0,05) 10.500 (10.000+500)
2º 500 (10.000 x 0,05) 11.000 (10.500+500)
3º 500 (10.000 x 0,05) 11.500 (11.000+500)
Observe que os juros foram calculados somente sobre o CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO
($10.000); isso quer dizer que os JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS SOBRE UM ÚNICO VALOR.
Nesse caso, os juros são simples e que o valor a ser pago no final do 3º mês é de $11.500.
Juros simples são largamente usados em países em que a inflação (perda do poder de compra) é muito baixa, ou
em contextos em que as taxas de juros anuais são muito pequenas, pois nestes casos, a perda ao longo dos tempos
é relativamente insignificante. (SANTOS, 2001, p. 14).
1.3.2 CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS
É AQUELE CALCULADO SEMPRE SOBRE O MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR.
EXEMPLO B:
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À
TAXA DE JURO COMPOSTO DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?
Mês CAPITAL JUROS MONTANTE (ou valor futuro)
1º 10.000 500 (10.000 x 0,05) 10.500 (10.000 + 500)
2º 10.500 525 (10.500 x 0,05) 11.025 (10.500 + 525)
3º 11.025 551 (11.025 x 0,05) 11.576 (11.025 + 551)
Observe que os juros dos meses 2º e 3º ($525 e $551) foram calculados sobre o MONTANTE DO
PERÍODO ANTERIOR ($10.500 e $11.025, respectivamente). Daí afirmamos que neste regime são
calculados “JUROS SOBRE JUROS”. Nesse caso, o valor a ser pago no 3º mês é de $11.576,
superior ao calculado pelos juros simples.
Juros compostos são largamente usados no Mercado Financeiro. Um exemplo é a caderneta de poupança, em
que você aplica seu dinheiro e, após um mês, já apresente o capital acrescido de juros. Observe que a partir do 1º
mês, mesmo que você não aplique nada mais, continuará rendendo juros sobre o montante do período anterior.
NOTAS:
O crescimento do dinheiro ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO.
Chamamos de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO a maneira como os juros evoluem ao longo do
tempo, podendo ser REGIME de JUROS SIMPLES e REGIME de JUROS COMPOSTOS.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EXERCÍCIO 2 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE SISTEMAS DE JUROS.
1. Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o montante no final
de cada período pelos sistemas de juros simples e compostos.
1.a. Sistema de Juros Simples:
Mês CAPITAL no INÍCIO JUROS MONTANTE (ou valor futuro)
1
2
3
1.b. Sistema de Juros Compostos:
Mês CAPITAL JUROS MONTANTE (ou valor futuro)
1
2
3
1.3.3 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES:
A Matemática Financeira utiliza determinadas “FÓRMULAS PADRÃO” para cálculo de juros. A
forma de cálculo que estudamos foi apenas para entendimento do conceito.
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES são:
ELEMENTOS FÓRMULAS
c = capital
M = montante J = c.n.i
J = juros e/ou
i = taxa de juro unitária M = c(1 + i.n)
n = prazo
EXEMPLO – CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO A (pág. 15)
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao
mês. Qual o MONTANTE a pagar?
CÁLCULO DETALHADO
C = 10.000 M = c(1 + i.n)
M = ? M = 10.000 (1 + 0,05.3)
i = 5% → 0,05 M = 10.000 (1 + 0,15)
n = 3 meses M = 10.000 (1,15)
M = 11.500
Observe que M=11.500 é o mesmo resultado do exemplo A, da página 15, quando fizemos passo a passo.
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a. (pág. 16)
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final
do período pelo sistema de juros simples.
CÁLCULO
C = 1.000 M = c(1 + i.n)
M = ? M = 1.000 (1 + 0,1.3)
i = 10% → 0,10 M = 1.000 (1,3)
n = 3 meses M = 1.300
EXEMPLO 3
Apliquei $2.000 à taxa de juros simples de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?
CÁLCULO
C = 2.000
J = ? J = c.n.i
i = 6% → 0,06 J = 2.000 . 2 . 0,06
n = 2 anos J = 240
EXEMPLO 4
A que TAXA DE JUROS simples foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro?
CÁLCULO
C = 2.000 J = c.n.i
J = 240 240 = 2.000 . 2 . i
i = ? 240 = 4000i
n = 2 anos i = 0,06 ou 6%
EXEMPLO 5
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.
no regime de juro simples?
CÁLCULO
C = ? M = c(1 + i.n)
M = 15.000 15.000 = c(1 + 0,08.3)
i = 8% → 0,08 15.000 = 1,24c
n = 3 anos C = 12.096
EXEMPLO 6
Um comerciante, após uma consulta de preços para a aquisição de um carro, recebeu a seguinte
proposta: pagamento à vista de $15.000 ou 18.000, após 2 meses. Qual é a TAXA DE JUROS simples?
CÁLCULO
C = 15.000 M = c(1 + i.n)
M = 18.000 18.000 = 15.000(1 + i.2)
i = ? 18.000 = 15.000 + 30.000i
n = 2 meses 18.000 ‐ 15.000 = 30.000i
3.000 = 30.000i
i= 0,10 ou 10%
EXEMPLO 7
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros simples de 5% a.m.
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800?
CÁLCULO
C = 6.000 M = c(1 + i.n)
M = 7.800 7.800 = 6.000 (1 + 0,05.n)
i = 5% → 0,05 7.800 = 6.000 + 300n)
n = ? 7.800 ‐ 6.000 = 300n
1.800 = 300n
n = 6 meses
20. -18-
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EXERCÍCIO 3 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS SIMPLES
1 ‐ Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses à taxa de 1,5% a.m., para obtermos $441 de juro? (CRESPO, p88)
C= $9.800
2 ‐ Tomou‐se emprestada a importância de $1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 30% a.a.
Qual será o valor do juro a ser pago? (CRESPO, p81).
j=$720
3 ‐ Calcule o Capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à
taxa de 3,5% a.m. para se conseguir um Montante de $190. (SICSÚ, p9).
C = $148
4 ‐ Temos um capital de $12.000 e o aplicamos a uma taxa de juros de simples de 2,4% a.m. Qual o valor a ser
resgatado ao final de 10 meses? (SENAC, p21).
M = 14.480
5 ‐ Qual o capital que, aplicado por 1 ano e 6 meses (18 meses), à taxa 1,2% a.m., rendeu $19.008? (CRESPO, p88).
C=$88.000
6 ‐ Um investidor aplicou $200 por 4 meses à taxa de juros simples 1% a.m. Qual o montante? (Adapt. SICSÚ, p.15).
M = $208
7 ‐ Se, ao final de 4 meses, Luís deve pagar $ 1.200 por um empréstimo, à taxa de juros simples de 3% a.m., qual
foi o valor do seu empréstimo? (SENAC, p13).
C = 1.071
8 ‐ Quantos meses são necessários para se obter um montante de $7.000, sabendo‐se que o capital investido foi
de $5.000 à taxa de juros simples de 4% a.m. (PROFESSOR).
n = 10 meses
21. -19-
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1.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS:
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS são:
ELEMENTOS FÓRMULAS Usadas para:
c = capital
M = montante M = c (1 + i)n
M, c, j
J = juros * i = (M
/c) 1/n
‐ 1 i
i = taxa de juro unitária * n = log(M
/c) ÷ log(1+i) n
n = prazo
EXEMPLO 1– CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO B (pág. 15)
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 5% ao
mês. Qual o MONTANTE a pagar?
CÁLCULO DETALHADO
C = 10.000 M = c (1 + i)n
M = ? M = 10.000 (1 + 0,05)3
i = 5% → 0,05 M = 10.000 (1,05)3
n = 3 meses M = 10.000 (1,1576)
M = 11.576
Observe que M=11.576 é o mesmo resultado do exemplo B, da página 15, quando fizemos passo a passo.
EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.b. (pág. 16)
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final
do período pelo sistema de juros compostos.
CÁLCULO
C = 1.000 M = c (1 + i)n
M = ? M = 1.000 (1 + 0,1)3
i = 10% → 0,10 M = 1.000 (1,1)3
n = 3 meses M = 1.331
EXEMPLO 3
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.
no regime de juro composto?
CÁLCULO
c = ? M = c (1 + i)n
M = 15.000 15.000 = c(1 + 0,08)3
i = 8% → 0,08 15.000 = 1,2597c
n = 3 anos C = 11.907
EXEMPLO 4
Apliquei $2.000 à taxa de juros composta de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?
CÁLCULO
c = 2.000 M = c (1 + i)n
J = ? M = 2000 (1 + 0,06)2
i = 6% → 0,06 M = 2000 (1,06)2
n = 2 anos M = 2247
J=M‐C → 2247‐2000 → J=247
____________
*SENAC, 2008, p.18
Para calcular (1,05)3
basta dispor
de uma calculadora eletrônica
que apresente a tecla Xy
ou ^.
Procedimento:
Introduza 1,05 Xy
3 = 1,1576
22. -20-
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EXEMPLO 5
A que TAXA DE JUROS composta foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de
juro?
CÁLCULO
c = 2.000 i = (M
/c) 1/n
‐ 1
M = 2240 i = (2240
/2000) 1/2
‐ 1
i = ? i = (1,12) 1/2
‐ 1
n = 2 anos i = (1,12) 0,5
‐ 1
i = 1,0583 – 1 → 0,058 ou 5,8%
EXEMPLO 6
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros composto de 5% a.m.
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800?
CÁLCULO
n = log(M
/c) ÷ log(1+i)
c = 6.000 n = log(7800
/6000) ÷ log(1+0,05)
M = 7.800 n = log(1,3) ÷ log(1,05)
i = 5% → 0,05 n = 0,1139 ÷ 0,0211
n = ? n = 5,4 meses
0,4 x 30 = 12 dias
5 meses e 12 dias
Usamos o logaritmo “log” para calcular períodos. No exemplo acima basta clicar
na calculadora eletrônica Log 1,3 = 0,1139 e Log 1,05 = 0,211
___________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 4 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS
1‐ Luis Inácio toma emprestado do Banco Real $15.000 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juro composto de 3% ao
mês. Qual o MONTANTE a pagar?
2‐ Apliquei $3.000 no banco a uma taxa de 5% a.m. durante 8 meses. Determine o MONTANTE no final do
período pelo sistema de juros compostos.
3‐ Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $30.000 daqui a 5 anos, a uma taxa de 12% a.a. no
regime de juro composto?
4 ‐ Apliquei $25.000 à taxa de juros composta de 14 % a.a. por 7 anos. Quanto de JUROS recebi?
5‐A que taxa de juros composta foi empregado o capital de $5.000 que rendeu em 4 anos $1.000 de juro?
6‐ Fiz um empréstimo bancário de $55.000 pelo prazo de 7 anos, à taxa de juro composto de 3% a.a. Qual o
montante a pagar?
7‐ Apliquei $100.000 em títulos do governo federal a uma taxa de 0,9% a.m. durante 11 meses. Determine o
montante no final do período pelo sistema de juros compostos.
8‐ Quanto preciso hoje para ter um montante de $90.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 9% a.a. no regime de
juro composto?
23. -21-
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1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO
A QUANTIA A SER ABATIDA DO MONTANTE, QUANDO O PAGAMENTO É FEITO ANTES DO DIA DO
VENCIMENTO É DENOMINADA DESCONTO.
• Todo título de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques etc.) tem uma data de vencimento; porém,
o devedor pode realizar o pagamento antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado
desconto. Portanto, quando o devedor efetua o pagamento antes do dia predeterminado, ele se beneficia
(tem uma recompensa) com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro
durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
• A operação consiste na aplicação de uma taxa de juros, denominada taxa de desconto, sobre o montante,
durante um determinado período, reduzindo‐lhe o valor.
• Ora, o credor pode precisar do dinheiro antes da data de vencimento do título e para isso ele concede um
desconto sobre o valor que ele tenha a receber.
• Regra fundamental: A TAXA DE DESCONTO INCIDE SOBRE O MONTANTE.
Basicamente, existem dois sistemas de descontos: Desconto simples e Desconto composto.
1.4.1 Desconto Simples
O desconto comercial simples pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:
ELEMENTOS FÓRMULA BÁSICA
D = valor do desconto
M = Montante (ou valor nominal) D = M * i *n
i = taxa de desconto unitária
n = prazo ou tempo
Exemplo 1. Qual o desconto simples de um título no valor de R$ 50.000 se ele for pago 2 meses antes do
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual?
D = ? D = M * i *n
M = 50.000 D = 50.000 * 0,05 * 2
i = 5% → 0,05 D = 5.000
n = 2 meses
Valor atual = M‐D
Valor atual = 50.000 – 5.000 = 45.000
24. -22-
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Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um
desconto simples com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual?
D = ? D = M * i *n
M = 10.000 D = 10.000 * 0,035 * 3
i = 3,5% → 0,035 D = 1.050
n = 3 meses
Valor atual = M‐D | Valor atual = 10.000 – 1.050 = 8.950
1.4.2 Desconto Composto
O desconto racional composto é utilizado basicamente em operações de longo prazo. Pode ser calculado
aplicando a seguinte expressão matemática:
ELEMENTOS FÓRMULA BÁSICA
Va = valor atual
M = Montante (ou valor nominal) Va = M
i = taxa de desconto unitária (1+ i)n
n = prazo ou tempo
Exemplo 1. Qual o desconto composto de um título no valor de R$ 50.000 se ele for pago 2 meses antes do
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual?
Va = ? Va = M
M = 50.000 (1+ i)n
i = 5% → 0,05 Va = 50.000 = 45.351
n = 2 meses (1+0,05)2
Valor atual = 45.351 | Desconto = 50.000 – 45.351 = 4.649,
Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um
desconto composto com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual?
Va = ? Va = M
M = 50.000 (1+ i)n
i = 3,5% → 0,035 Va = 10.000 = 9.019,
n = 3 meses (1+0,035)3
Valor atual = 9.019 | Desconto = 10.000 – 9.019 = 981,
_____________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 5 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE DESCONTOS
1. Qual o desconto simples e composto de um título no valor de R$ 40.000 se ele for pago 4 meses antes do
vencimento à uma taxa de 4 % a.m.? Quais os valores atuais?
2. Um título de $80.000 vence daqui a 6 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto
com taxa de 2% ao mês. Qual o valor de desconto simples e composto? Quais os valores atuais?
3. Determine o valor atual de um título de $800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de
2% a.m.. Considerar simples e composto. (Crespo, p.128).
4. Qual o desconto que um título de $5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de
2,5% a.m. Considerar simples e composto. (Crespo, p. 128)
25. -23-
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1.5 TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE
Taxa efetiva
É aquela em que a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de
capitalização.
Exemplos:
1% ao mês com capitalização mensal 7% ao ano com capitalização anual
Taxa Nominal
É aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos
de capitalização.
Exemplos:
3% ao mês com capitalização anual 12% ao ano com capitalização mensal
Taxa Equivalente
É aquela que, no regime de juros compostos, ao ser aplicada ao mesmo capital, num mesmo intervalo
de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo:
1% ao mês é equivalente a 12,68% ao ano.
Informar a um poupador que um título rende 12% a.a. ou 1% a.m. não está correto. Na realidade, 1%
a.m. equivale a 12,68% a.a, em função dos juros compostos.
Informar ao poupador que um título rende 36% a.a. ou 3% a.m. também não procede. Na realidade,
36% a.a. é o mesmo que 2,6% a.m.
O comerciante quando diz ao prestamista que a taxa de juros será 4% ao mês ou 48% ao ano, está
dando uma falsa informação. Na verdade, 4% ao mês equivale a 60,1% ao ano.
A equivalência das taxas indica uma simples mudança na unidade de contagem do tempo da operação.
Expressões matemáticas básicas e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas são:
ELEMENTOS FÓRMULAS RELACIONADAS
ia tx anual Ib tx bimestral
is tx semestral im tx mensal (1+ia)1
=> (1+is)2
=> (1+it)4
=> (1+ib)6
=> (1+im)12
=> (1+id)360
it tx trimestral id Tx dária
(1+ia)1
→ Um ano (1+ib)6
→ Um ano têm 6 bimestres
(1+is)2
→ Um ano têm 2 semestres (1+im)12
→ Um ano têm 12 meses Considerando que:
(1+it)4
→ Um ano têm 4 trimestres (1+id)360
→ Um ano têm 360 dias
Observe que essas fórmulas se relacionam. Assim, se eu quero saber a taxa anual e tenho a taxa mensal, usarei a
seguinte expressão: (1+ia)1
=> (1+im)12
. Caso eu tenha a taxa anual e queira saber a taxa mensal, usarei a mesma
expressão.
Portanto, podemos montar uma tabela orientativa, com as seguintes fórmulas relacionadas:
Ano para mês → (1+ia)1
=> (1+im)12
Ano para bimestre → (1+ia)1
=> (1+ib)6
Ano para semestre → (1+ia)1
=> (1+is)2
Ano para dia → (1+ia)1
=> (1+id)360
Ano para trimestre → (1+ia)1
=> (1+it)4
26. -24-
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Exemplo 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 1%
ao mês?
(1+ia)1
=> (1+im)12
ia = ? (1+ia) = (1+0,01)12
im = 1% → 0,01 ia = 1,0112
‐ 1
ia = 0,1268 ou 12,68%
Exemplo 2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a
12,68% ao ano?
(1+ia)1
=> (1+im)12
ia = 12,68% → 0,1268 (1+0,1268)1
= (1+im)12
im = ? (1,1268)
1/12
– 1
=
im
im = 0,0099 ou 1%
Exemplo 3. Qual a taxa anual de juros equivalente a 3%
ao mês?
(1+ia)1
=> (1+im)12
ia = ? (1+ia) = (1+0,03)12
im = 3% → 0,03 ia = 1,0312
‐ 1
ia = 0,4257 ou 42,57%
Exemplo 4. Qual a taxa mensal de juros equivalente a
36% ao ano?
(1+ia)1
=> (1+im)12
ia = 36% →0,36 (1+0,36)1
= (1+im)12
im = ? (1,36)
1/12
– 1
=
im
im = 0,026 ou 2,6%
Exemplo 5. Qual a taxa semestral de juros equivalente
a 12% ao ano?
(1+ia)1
=> (1+is)2
ia = 12% → 0,12 (1+0,12)1
= (1+is)2
is = ? 1,12 1/2
– 1 = is
is = 0,0583 ou 5,83%
Exemplo 6. Qual a taxa trimestral de juros equivalente
a 30% ao ano?
(1+ia)1
=> (1+it)4
ia = 30% → 0,30 (1+0,3)1
= (1+it)4
it = ? (1,3)
1/4
– 1
=
im
it = 0,0677 ou 6,77%
Exemplo 7. Qual a taxa mensal de juros equivalente a
40% ao semestre?
(1+is)2
=> (1+im)12
im = ? (1+0,4)2
= (1+im)12
is = 40% →0,40 (1,4)2/12
‐ 1 = im
im = 0,0576 ou 5,75%
Nota: A taxa equivalente também pode ser obtida pela
fórmula abaixo, desde que partindo de uma taxa maior para
uma menor (por exemplo, ano para mês ou mês para dia):
ieq = (1+i)
n/360
‐ 1
ieq = taxa equivalente procurada.
i = taxa dada.
n = quant. dias da taxa procurada.
Ex.Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano?
ieq = (1+i)
n/360
– 1
ieq = (1+0,36)
30/360
– 1
ieq = 2,6% a.m.
EXERCÍCIO 6 - EXERCITANDO CONCEITOS DE TAXAS EQUIVALENTES
1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 4% ao mês?
2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 47% ao ano?
3. Qual a taxa semestral de juros equivalente a 18% ao ano?
4. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 25% ao ano?
5. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 35% ao semestre?
27. -25-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Em Finanças, o fluxo de caixa (designado em inglês por "cash
flow"), refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por
uma empresa durante um período de tempo definido, algumas
vezes ligado a um projeto específico.
Unidade 2
FLUXO DE CAIXA
28. -26-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
2.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
“Tempo é dinheiro”. Sem sombra de dúvida, o dinheiro tem valor no tempo.
Deve‐se ter em mente que o capital (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes em datas
diversas. Esta idéia é de fundamental importância.
Inflação
A disponibilidade de R$100,00 hoje não é equivalente a se ter R$100,00 daqui a
um ano. Pois o que se compra hoje com este valor, pode não ser mais adquirido
daqui a um ano com a mesma quantia, em decorrência da inflação (perda do
poder de compra)
Para países com economias inflacionárias históricas, como é o caso brasileiro, este fato é de fácil
aceitação. Mesmo que se desconsiderem os efeitos da inflação, a concepção permanece.
Aplicações no mercado financeiro
Imagine a questão por outra ótica: R$100,00 hoje, podem ser aplicados no
mercado financeiro a uma taxa de juros de 10% a.a., por exemplo. Daqui a
um ano, a pessoa terá um saldo de R$110,00. Portanto, diferente de
R$100,00 iniciais. Pela mesma razão, um empresário investe um determinado
capital numa oportunidade de negócio, esperando que, após algum tempo,
haja um montante de capital superior ao inicialmente investido
No mercado financeiro, R$100,00 hoje será igual R$100,00 daqui a um ano, somente se permanecer
guardado num cofre ou depositado em conta corrente não remunerada de um banco comercial. Nesta
segunda situação, é ignorar a possibilidade de se aplicar o valor em operações financeiras, como:
caderneta de poupança, certificado de depósito bancário, fundo de renda fixa, entre outras, pelo prazo
de um ano.
Portanto, um capital numa data terá o mesmo valor em outra data somente não havendo alternativa de
investimento. Em países com escassez de recursos financeiros e uma infra‐estrutura deficiente, isso é
particularmente mais verdadeiro. Em outras palavras, nessa situação, haverá uma demanda superior à
oferta de capital. Em conseqüência, geralmente ocorre uma disposição para tomar dinheiro por
empréstimo, mediante o pagamento de juro.
De outra forma: uma pessoa dispõe de um dado capital:
Numa data futura, espera ter:
29. -27-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
2.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
Na verdade, de uma forma ligeira já vimos alguns fluxos de caixa nesta apostila, mas não conforme as
regras da Matemática Financeira. O conceito de fluxos de caixa é muito ilustrativo e vale a pena estudá‐
lo, já que todas as operações financeiras podem ser representadas por eles de uma forma simples,
elegante e sintética.
A palavra fluxo nos dá a idéia de movimento. A palavra caixa contém a idéia de capital, de dinheiro.
Assim, uma possível expressão sinônima para fluxo de caixa seria MOVIMENTO DE CAPITAL. O
movimento de capital a cada período, então, é considerado um fluxo de caixa. Assim, ao longo de um
certo prazo, poderemos ter vários fluxos de caixa, o que representaremos através de um diagrama de
fluxos de caixa.
Vamos ilustrar um diagrama de fluxo de caixa com exemplo de um investimento de $100, que retornou
$150, após 6 meses:
Observe que, de uma forma geral, um diagrama é composto de uma linha horizontal ‐ a linha do tempo ‐ que
mostra os períodos relevantes para o mesmo. Nestes períodos, temos flechas verticais que sinalizam os fluxos,
respeitando‐se a seguinte convenção:
evento que significa saída de caixa (investimento) arbitrar‐se negativo e o representa por seta
descendente (para baixo ↓);
evento que significa entrada de caixa (direito) são representados por setas ascendentes (para cima ↑).
O fluxo de caixa também pode ser representado da seguinte forma:
Período Saídas Entradas
JAN $100
FEV ‐
MAR ‐
ABR ‐
MAI ‐
JUN ‐
JUL $150
30. -28-
Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COLI, Luis Eurico Junqueira. Textos acadêmicos: Matemática financeira.
Lavras: MG. UFLA/FAEPE, 2004. 213p.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. 11 ed.
São Paulo: Saraiva, 1996. 238 p.
HALFELD, Mauro. Investimentos: como administrar melhor seu dinheiro.
3 ed. São Paulo: Fundamento, 2008. 167p.
MARTINS, José Pio. Educação financeira ao alcance de todos. São Paulo:
Fundamento, 2004. 104 p.
MINELLO, Roberto; RODRIGUES, Marcelo. Matemática financeira e
comercial. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009. 280 p.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 427 p.
SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira com a calculadora HP12. São Paulo: Villipress, 2001. 135p
SENAC. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SENAC Nacional, 2008. 88p.
SICSÚ, Bernardo. Fundamentos da Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Fundo de cultura, 2004. 88 p.
32. Prof. Uanderson Rébula. Doutorando em
Engenharia. Professor universitário. Vivência
de 21 anos em ambiente industrial.
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