Analise dimensional

Análise Dimensional Semelhança

Análise Dimensional e Semelhança

1

Análise Dimensional
Análise dimensional é um meio para simplificação
de
um
problema
físico
empregando
a
homogeneidade dimensional para reduzir o número
das variáveis de análise.
A análise dimensional é particularmente útil para:
- Apresentar e interpretar dados experimentais;
- Resolver problemas difíceis de atacar com solução
analítica;
- Estabelecer a importância relativa de um
determinado fenômeno;
- Modelagem física.


2

Dimensões primárias
massa
comprimento
tempo
temperatura

M
L
T
θ

[kg]
[m]
[s]
[K]

Dimensões de grandezas derivadas

Geometria

Cinemática

Dinâmica

Propriedades
dos Fluidos

Grandeza
Área
Volume
Velocidade
Velocidade Angular
Vazão
Fluxo de massa
Força
Torque
Energia
Potência
Pressão
Densidade
Viscosidade
Viscosidade Cinemática
Tensão superficial
Condutividade Térmica
Calor Específico

Símbolo Dimensão
A
L2
V
L3
U
LT-1
ω
T-1
Q
L3T-1
&
MT-1
m
F
MLT-2
T
ML2T-2
E
ML2T-2
P
ML2T-3
p
ML-1T-2
ρ
ML-3
μ
ML-1T-1
ν
L2T-1
σ
MT-2
k
MLT-3θ
CP, CV
L2T-2θ-1


3

Semelhança
Problemas em Engenharia (principalmente na área
de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos
aplicando-se
exclusivamente
análise
teórica.
Portanto, utilizam-se com freqüência estudos
experimentais.
Métodos analíticos nem sempre são satisfatórios:
- Limitações devido às simplificações necessárias
para resolver as equações;
Análise
detalhada
com
grande
complexidade/custo;
Muito do trabalho experimental é feito com o
próprio equipamento ou com réplicas exatas.
Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia
é realizada utilizando-se modelos em escala.
No entanto, sem planejamento e organização, os
procedimentos experimentais podem:
- Consumir muito tempo;
- Não ter objetividade;
- Custarem muito.


4

Utilização de modelos em escala
- Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);
- Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de
trabalho;
- Os resultados podem ser extrapolados;
- Podem-se utilizar modelos reduzidos
expandidos (dependendo da conveniência);

ou

As comparações são realizadas entre o PROTÓTIPO
(avião, navio) em escala real e o MODELO em
escala reduzida ou aumentada.


5

Comparação entre Protótipo e Modelo
Para ser possível esta comparação e conseqüente a
utilização dos resultados do modelo ao protótipo é
indispensável que os conjuntos de condições sejam
FISICAMENTE SEMELHANTES.
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que
envolve uma variedade de tipos de semelhança.

Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica


6

Semelhança de forma. A propriedade característica
dos
sistemas
geometricamente
semelhantes
(modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer
comprimento no modelo e o seu comprimento
correspondente no protótipo é uma constante. Esta
razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.
A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio
para que um modelo possa corresponder a um dado
protótipo.
Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica
perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global
do modelo tem que ser semelhante à do protótipo,
como também a rugosidade das superfícies deveria
ser geometricamente semelhantes.


7

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em
escala reduzida não pode ser obtida de acordo com
o fator de escala – problema de construção/de
material/de acabamento das superfícies do modelo.
Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos
rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um
pó excessivamente fino para representar o
sedimento.
No caso de protótipos muito grandes, o recurso de
modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre
os comprimentos na horizontal e na vertical) é
inevitável.


8

Semelhança
movimento,
semelhança
geométrica) e

cinemática é a semelhança do
o
que
implica
necessariamente
de
comprimentos
(semelhança
semelhança de intervalos de tempo.

Comprimento no protótipo

Tempo no protótipo

Comprimento no
modelo

Tempo no modelo

Velocidade (aceleração) no protótipo

Velocidade (aceleração)
no modelo

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário.
O firmamento é reproduzido de acordo com um
certo fator de escala de comprimento e, ao copiar
os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão
fixa de intervalos de tempo e, portanto, de
velocidades e acelerações.


9

Escoamentos que possuem semelhança cinemática,
os padrões formados pelas linhas de corrente são
geometricamente semelhantes.

Protótipo

Modelo

Uma vez que as fronteiras do escoamento
correspondem a linhas de correntes, só é possível
obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista
cinemático,
em
fronteiras
geometricamente
semelhantes.


10

No entanto, esta condição não é suficiente para
assegurar a semelhança geométrica dos padrões
das linhas de corrente a uma distância significativa
das fronteiras.

Protótipo

Modelo

A semelhança geométrica nas fronteiras é uma
condição necessária, mas não suficiente para haver
semelhança cinemática dos escoamentos.


11

Semelhança Dinâmica
Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças.
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes
quando os valores absolutos das forças, em pontos
equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão
fixa.
As forças que determinam o comportamento dos
fluidos têm várias origens:
1.

Forças devidas às diferenças de pressão;

≈ ΔpL2
2.

Forças resultantes da ação da viscosidade;

3.

Forças devido à tensão superficial;

4.

Forças elásticas;

≈ μUL
≈ σL

≈ KL2
5.

Forças de inércia.

≈ ρL2U 2
6.

Forças devido à atração gravitacional

≈ ρL3 g


12

Grupos Adimensionais
Grupo
Nome
Adimensional
Número de
ULρ
Reynolds

forças

Símbolo
habitual

Força de Inércia
Força Viscosa

Re

Número de
Froude

Força de Inércia
Força da gravidade

Fr

Número de
Weber

Força de Inércia
Força de tensão superficial

We

Número de
Mach

Força de Inércia
Força elástica

M

μ

U

(Lg )

1
2

⎛ Lρ ⎞
U⎜
⎟
⎝σ ⎠
U
c

Razão
das
representadas

1
2


13

Semelhança
Cinemática

Semelhança
Dinâmica

- das formas
- das linhas de corrente
- das linhas de força


14

Determinação de Grupos Adimensionais
em um Problema Físico
Teorema dos Pi de Buckingham
Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma
função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a
seguinte relação:

q1 = f (q 2 , q3 ,..., q n )
(1)
Pode-se expressar esta mesma relação de uma forma alternativa:

g (q 2 , q3 ,..., q n ) = 0
(2)
O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação
entre n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros
podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais,
ou parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue:

G (Π 1 , Π 2 ,..., Π n −m ) = 0
Π 1 = G1 (Π 2 , Π 3 ,..., Π n − m )


15

Determinação dos Grupos Pi
Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue um
roteiro descrito a seguir:
PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o
número de parâmetros envolvidos;
PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões
primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias
presentes no problema;
PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em
conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para
que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a
possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros
independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes,
m, deve ser considerado ao invés de r;
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os
parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros
parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o
número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros
menos o número de dimensões primárias presentes no problema (nr), a não ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações
dimensionais deverá ser (n-m);
PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais;
PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional.


16

Estudo de Modelos
Uma vez determinadas a importância dos números adimensionais e a
metodologia para sua determinação em um problema físico, pode-se
estudar como estes números (ou grupos) adimensionais podem ser
utilizados para a prática de engenharia.
O teorema dos Pi de Buckingham torna possível determinar quais são
os grupos adimensionais importantes para o problema e predizer a
relação funcional entre eles.
Considere o caso onde foram determinados 2 parâmetros
adimensionais, relacionados pela seguinte equação funcional:

Π1 = f (Π 2 )
A semelhança dinâmica entre modelo e protótipo (objeto em escala
real), geometricamente semelhantes, ocorrerá se:

(Π 2 )MODELO = (Π 2 )PROTOTIPO
Neste caso, esta igualdade garante que:

(Π1 )MODELO = (Π1 )PROTOTIPO
As grandes dificuldades surgem quando o problema físico apresenta 3
ou mais grupos adimensionais. Considerando um problema com 3
números adimensionais:

Π1 = f (Π 2 , Π 3 )
Para se ter

(Π1 )MODELO = (Π1 )PROTOTIPO
É

necessário

garantir
simultaneamente:

que

as

seguintes

situações

ocorrerão


17

Em muitas situações práticas não é possível atender as equações
acima simultaneamente. Porém, a natureza intrépida de um(a)
engenheiro(a) não impede que, ainda nestas situações, o problema
físico seja analisado.
Nestas situações, conhecidas como Semelhança Incompleta, deparase com problemas intrínsecos da mudança de escala. No caso da
análise de escoamentos, a redução da escala entre modelo e
protótipo é responsável por duas situações muito comuns:
1. Em casos de escoamento de água com superfície livre, pode não
ser possível compatibilizar a exigência da igualdade de número de
Reynolds e de número de Froude. Como, geralmente, a água é o
líquido mais conveniente para a realização destes testes, a garantia
de semelhança geométrica pode levar a adoção de velocidades no
modelo que faça com que o regime de escoamento torne-se laminar,
enquanto o protótipo opera em regime turbulento;
2. A rugosidade relativa

ε

pode não ser possível de ser atendida no
L
modelo. Uma vez que L do modelo é reduzida, a rugosidade
superficial requerida pode tornar-se impossível de ser atingida.


18

Exemplo prático 1

Disponível no Livro Fox & MacDonald (5ª Ed.).

Semelhança Incompleta entre o Modelo e o Protótipo de uma fragata
Os testes em um modelo de navio, em escala 1:80, indicaram que o
escoamento apresentou-se laminar (deveria ser turbulento). Isto
ocorreu porque não foi possível atender a igualdade do número de
Reynolds (situação do problema 1, discutido anteriormente). O fato
da não coincidência dos regimes de escoamento faz com que haja
uma grande discrepância das espessuras das camadas limite e, por
conseqüência, do coeficiente de arrasto hidrodinâmico. Para que fosse
possível a estimativa da resistência viscosa, a partir do Modelo, foi
necessário o uso de um artifício.
Da teoria da Camada Limite, estimou-se a espessura da camada
limite ao longo do casco do navio (Protótipo). Considerando-se a
redução da escala, estimou-se a espessura da camada limite no
Modelo. Como o escoamento no Modelo era laminar, perturbou-se a
camada limite de forma a atingir a espessura que garantisse
similaridade geométrica com o Protótipo. Esta perturbação foi
realizada acrescentando-se protuberâncias ao longo do Modelo.
Ao assumir que existe semelhança dinâmica quando há semelhança
geométrica entre a espessura da camada limite do Modelo e do
Protótipo, foi possível estimar o coeficiente de arrasto hidrodinâmico
do navio em estudo.
Para se avaliar o impacto do regime de escoamento no coeficiente de
arrasto hidrodinâmico, observe os dados obtidos a partir do modelo
com a camada limite não perturbada (à esquerda) e com a camada
limite perturbada (à direita).


19

Camada limite não perturbada

Camada limite perturbada


20

Resistência ao Escoamento em Navios
A partir da análise dimensional e considerando algumas
simplificações, a resistência ao escoamento de um navio na água é
dada por:

F = ρ .u.2 l 2 . f (Re, Fr )
Onde ρ é a massa específica da água [kg.m-3], u é a velocidade de
deslocamento do navio [m.s-1], l é o comprimento do navio na linha
de água [m], Re é o número de Reynolds e Fr é o número de
Froude.
A semelhança das forças viscosas (representadas pelo Re) e a
semelhança das forças de gravidade (representadas por Fr) não
podem ser observadas de forma simultânea. Portanto, faz-se a
suposição de que a resistência ao escoamento de um navio é a soma
de três parcelas distintas:
a) Resistência devido à geração de ondas;
b) Arrasto viscoso;
c) Arrasto devido à formação de turbilhões.
Admite-se que a parcela (a) não é influenciada pela viscosidade
(independe de Re). A parcela (c) não é simples de se avaliar, mas
sabe-se que possui pouca influência de Re. Portanto, aglutinam-se as
parcelas (a) e (c).
Desta forma, F é a soma de duas funções, uma dependente de
Reynolds e outra dependente de Froude: F = f1 (Re) + f 2 ( Fr )
Onde f1 é a força de arrasto viscoso e f 2 é chamada de
resistência residual.


21

Exercício Proposto
Um navio com 125 m de comprimento (na linha de água) e com uma
área molhada de 3500 m2, vai ser arrastado em água salgada à
velocidade de 10 m/s. Um modelo em escala de 1:25 vai ser
ensaiado para determinar a resistência ao movimento. A resistência
total do Modelo (em água doce) é 54,2 N. Determinar a resistência
total no protótipo.
Dados:
1. Força de Arrasto Viscoso: FV =
Onde

CF é o
0,075
CF =
(log10 Re− 2)2

coeficiente

1
ρ .u 2 . A.CF
2

de

arrasto

viscoso,

definido

por:

2.

Viscosidade cinemática da água doce: ν =1,235x10-6 m2s-1
Massa Específica da água doce: ρ =1000 kg.m-3

3.

Viscosidade cinemática da água salgada: ν =1,188x10-6 m2s-1
Massa Específica da água salgada: ρ =1025 kg.m-3


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