O documento discute o Método dos Volumes Finitos para resolver problemas de valor de contorno e minimização. O método discretiza o domínio em subdomínios e aproxima as soluções das equações diferenciais parciais usando funções polinomiais de forma por subdomínio. Isto gera um sistema linear esparso cuja solução fornece os valores nodais da solução aproximada.

1. Universidade Federal do ABC
Aula 5
O Método dos Volumes Finitos
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
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2. Método dos volumes finitos (MVF)
Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas.
Problemas de Condições de
Contorno
Problemas de
Minimização
⊕ o funcional contém derivadas de ordem inferior
⊕ soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis
⊕ condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados
⊖ às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais
Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)
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3. Teoria 1: minimização de problemas 1D
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4. Condição necessária em um dos extremos
arbitrária
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5. Lemma de Du Bois Reymond
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6. Exemplo: eq. Poisson 1D
Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização
Euler-Lagrange
condição de contorno essencial
condição de fronteira natural
Equação de Poisson: a solução
minimiza o functional
em (0, 1)
cond. contorno Dirichlet
cond. contorno Neumann
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7. Exemplo: eq. Poisson 2D
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8. Exemplo: eq. Poisson 2D
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9. O Método de Rayleigh-Ritz
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10. Exemplo: eq. Poisson 1D
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11. Exemplo: má escolha das funções de base
Considere a base polinomial
•A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é
bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros
de arredondamento.
• Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.
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12. Fundamento do Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem
sistemática para a geração de trechos de funções
polinomiais de base com propriedades favoráveis.
O domínio computacional W é subdividido em um
número de subdomínios K, chamados de
elementos:
A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um
conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum.
O subespaço de elementos finitos Vh é composto por trechos de funções polinomiais,
tipicamente da forma
Qualquer função v  Vh é unicamente determinada por um número finito de graus
de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós).
Cada função de base ji representa exatamente um grau de liberdade e tem uma
estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.
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13. Aproximação via elementos finitos
Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde
K é um subconjunto fechado de W
P é o espaço polinomial para as funções de forma
S é o conjunto de graus de liberdade locais
Funções de base possuem a propriedade
Solução aproximada: os valores nodais u1,. . . , uN pode ser calculada pelo método de Ritz
desde que exista um problema de minimização equivalente.
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14. Exemplo: eq. Poisson 1D
Encontrar os valores nodais u1,. . . , uN que minimizam o funcional
Funções base locais para
Solução aproximada para x  ei
contínua e linear por partes
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15. Exemplo: eq. Poisson 1D
O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde
Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma
regra de quadratura)
Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme
Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!
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16. Existência de um problema de minimização
As condições suficientes para que uma EDP eliptica
seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são:
• O operador L deve ser linear.
• O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico)
para todos os u,v admissíveis.
• O operador L deve ser definido positivo
Neste caso, a única solução u minimiza o funcional
ao longo do conjunto de funções admissíveis.
Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar
origem a outros termos do funcional a ser minimizado.
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17. Exemplo: eq. Poisson 1D
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18. Método dos Mínimos Quadrados
corresponde a uma derivada do EDP inicial.
• requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional.
• faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem
Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são
simétricos
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19. Formulação via resíduos ponderados
Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste.
Seja
a solução de
O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero.
Funções de teste
Formulação fraca: encontrar u  V0 tal que
onde
Integração por partes:
é uma forma bilinear e
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20. Discretização de elementos finitos
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21. Exemplo: eq. Poisson 1D
Problema de valor de contorno
Formulação fraca
Integração por partes
Solução aproximada
Problema contínuo
Problema discreto
(método de Galerkin)
Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde
Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização
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22. Exemplo: eq. Poisson 2D
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23. Exemplo: eq. Poisson 2D
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