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Proposta de prova-modelo
Matemática A
12.O
ANO DE ESCOLARIDADE
Duração: (Caderno 1 + Caderno 2): 150 minutos. Tolerância: 30 minutos
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
2
Caderno 1: 75 minutos. Tolerância:15 minutos
(é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas,
o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as
justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente
sempre o valor exato
1. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio r .
Sabe-se que:
  
AB é um diâmetro da circunferência;
 Os pontos C e D pertencem à circunferência;
  é a amplitude, em radianos, do ângulo BDC com
0 ,
2


 
 
 
.
O comprimento da corda  
BC é igual a:
(A) 2 sin
r (B)  
2 sin 2
r
(C) sin
r (D)  
sin 2
r
2. Considere um departamento de uma empresa onde trabalham oito homens e doze mulheres. Neste
departamento vão ser escolhidos, entre todos os trabalhadores, dois homens e três mulheres para
desempenharem tarefas distintas. Qualquer um dos vinte trabalhadores pode desempenhar qualquer
uma das cinco tarefas.
De quantas maneiras pode ser feita a escolha dos cinco trabalhadores e a distribuição das respetivas
tarefas?
(A) 73 920 (B) 6160
(C) 739 200 (D) 8 870 400

O
A B
C
D
r
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
3
3. Na figura, está representada, num referencial
ortonormado xOy , a circunferência de equação
2 2
4
x y
  .
Sabe-se que:
 A e B são os pontos da circunferência de
ordenadas positivas e abcissas
8
5
e
8
5
 ,
respetivamente;
 a reta r é tangente à circunferência no ponto A;
  é a amplitude, em radianos, do ângulo formado pelos vetores OA e OB .
3.1. Qual das equações seguintes define a reta r ?
(A)
4 16
3 5
y x
   (B)
4 10
3 3
y x
  
(C)
3 5
4 2
y x
   (D)
3 12
4 5
y x
  
3.2. Determine tan .
4. O núcleo de remo de uma escola C+S, formado por sete alunos do ensino básico e catorze do
secundário, vai escolher a equipa para participar numa prova de Quatro com Timoneiro.
Sabe-se que o timoneiro é o aluno do ensino básico com menos peso. Os quatro remadores serão
escolhidos entre os restantes.
Se a escolha for feita por sorteio, qual é a probabilidade de entre os escolhidos haver pelo menos
um remador de cada nível de ensino?
Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às décimas.
5. Na figura está representado, no plano complexo, o quadrado  
OABC (O é a origem do
referencial), bem como o ponto D de coordenadas  
5 , 0 .
Sabendo que 7
AD  e que a amplitude do ângulo DOA é igual a
3

radianos, mostre que o ponto C é o afixo do número
complexo 4 3 4i
z    .
Sugestão: Comece por calcular OA recorrendo ao teorema
de Carnot.
O
A
B
x
y
8
5
8
5


r
O
A
B
C
D
3

Re z
Imz
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
4
6. Na figura está representado, em referencial
ortonormado Oxyz , o prisma quadrangular regular
 
ABCDEFGH (o vértice D não é visível).
Sabe-se que:
 O ponto E tem coordenadas  
4,14 ,16 ;
 O plano ABC pode ser definido pela
equação 8 4 10 0
x y z
    ;
6.1. Defina por uma equação vetorial a reta AE .
6.2. Determine as coordenadas do ponto A.
6.3. Escolhem-se, ao acaso, três vértices distintos do prisma. Qual é a probabilidade de o plano
definido por esses três vértices conter uma face do prisma?
(A)
3
28
(B)
1
14
(C)
3
8
(D)
3
7
7. Seja f uma função diferenciável em ℝ e seja g a função definida em ℝ por    
2
g x f x
 .
Admita que a reta r de equação y mx b
  é tangente ao
gráfico da função f no ponto de abcissa a .
Mostre que a reta t , tangente ao gráfico da função g no
ponto de abcissa
2
a
, pode ser definida pela equação
2
y mx b
  .
Fim do Caderno 1
COTAÇÕES (Caderno 1)
Item
Cotação (em pontos)
1. 2. 3.1. 3.2. 4. 5. 6.1. 6.2. 6.3. 7.
8 8 8 11 11 12 10 12 8 12 100
A
B
C
E
F
G
H
z
O
y
x
2
a a x
O
y
f
g
r
t
b
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
5
Caderno 2: 75 minutos. Tolerância:15 minutos
(não é permitido o uso de calculadora)
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de
respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
8. Considere a função g , de domínio ℝ , definida, para determinado número real k , por:
 
1
2 e
2
x
k x
g x



Determine o valor de k sabendo que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 passa na
origem do referencial.
9. Considere a sucessão  
n
u de termo geral    
2 2
log 2 1 log 2
n
u n n
   
O valor de lim n
u é:
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 
10. Sabe-se que f é uma função real de variável real tal que
   
 
0
0
lim 2
sin 2
x
f x f
x


 .
Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
(A)  
0 1
f  
(B)  
0 2
f  
(C)  
0 4
f  
(D)  
0
f é um extremo relativo de f
11. Seja h , a função de domínio  
1,
   , definida por  
( ) 1 ln 1
h x x x
    .
11.1. Verifique se o gráfico da função h admite assíntota não vertical.
11.2. Estude a função h quanto ao sentido da concavidade do gráfico e quanto à existência de
pontos de inflexão.
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
6
12. Considere a função f , de domínio  
,
  , definida por      
2 cos 2 sin 2
f x x x x
  .
12.1. Determine
 
0
lim
x
f x
x

.
12.2. Estude a função f quanto à monotonia e determine, caso existam, os extremos relativos.
13. Considere a sucessão  
n
u definida por:
1
1
2
3 2 , qualquer que seja
n n
u
u u n




 
 ℕ
Relativamente a esta sucessão qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)  
n
u é monótona crescente
(B) Sendo n
S a soma dos n primeiros termos de  
n
u então lim n
n
S

 
(C)  
n
u é convergente
(D) lim n
u  
14. De uma progressão aritmética,  
n
a , sabe-se que o primeiro termo é igual a 10 e que a soma dos
primeiros 101 termos é igual a zero.
Determine uma expressão do termo geral desta sucessão.
15. Seja z um número complexo não nulo, cujo afixo, no plano complexo, pertence ao segundo
quadrante e à bissetriz dos quadrantes pares.
Qual dos seguintes pode ser um valor de n ℕ para o qual  
i
n
z é um número real positivo?
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12
Fim da prova
COTAÇÕES (Caderno 2)
Item
Cotação (em pontos)
8. 9. 10. 11.1. 11.2. 12.1. 12.2. 13. 14. 15.
12 8 8 11 12 10 12 8 11 8 100
TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
7
Formulário
Geometria
Comprimento de um arco de circunferência: r

( – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;
r – raio)
Áreas de figuras planas
Polígono regular: Semiperímetro Apótema

Setor circular:
2
2
r

( – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: r g

(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica: 2
4 r

(r – raio)
Volumes
Pirâmide: 1
3
Área da base Altura
 
Cone: 1
3
Área da base Altura
 
Esfera: 3
4
3
r
 (r – raio)
Progressões
Soma dos n primeiros termos de uma progressão (un):
Progressão aritmética: 1
2
n
u u
n


Progressão geométrica:
1
1
1
n
r
u
r



Trigonometria
 
sin sin cos sin cos
a b a b b a
  
 
cos cos cos sin sin
a b a b a b
  
sin sin sin
A B C
a b c
 
2 2 2
2 cos
a b c bc A
  
Complexos
     
i i
cis cis ou e e
n
n n n n
n  
     
 
2
i
2
cis cis ou e e
k
n
n
n
n n
k
n



    
 
 
 
 
 
 
 
 
0 ... 1 e
k , , n n
  ℕ
Probabilidades
1 1 n n
p x p x
  
   
2 2
1 1 n n
p x p x
  
   
Se X é  
N ,
  , então:
  0 6827
P X ,
   
    
 
2 2 0 9545
P X ,
   
    
 
3 3 0 9973
P X ,
   
    
Regras de derivação
 
u v ' u' v'
  
 
u v ' u' v u v'
 
2
u u' v u v'
v v
 
 

 
 
   
1
n n
u ' n u u' n

 ℝ
 
sin cos
u ' u' u

 
cos sin
u ' u' u
 
  2
tan
cos
u'
u '
u

 
e e
u u
u'
 
   
 
In  1
u u
a u' a a a 
  ℝ
 
In
u'
u
u
 
   
 
log  1
In
a
u'
u a
u a

  ℝ
Limites notáveis
1
lim 1 e
n
n
 
 
 
 
 
nℕ
0
sin
lim 1
x
x
x


0
e 1
lim 1
x
x x



In
lim 0
x
x
x


 
e
lim
x
p
x
p
x

  ℝ
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
8
Proposta de resolução
Caderno 1
1. Como os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a
mesma amplitude, temos que BAC BDC 
  .
Por outro lado, dado que um ângulo inscrito numa semicircunferência é
um ângulo reto, o triângulo  
ABC é retângulo em C .
Logo, sin sin 2 sin
2
BC BC
BC r
r
AB
  
    
Resposta: (A)
2. 8 12
2 3 5! 739 200
C C
  
Número de maneiras de distribuir as funções pelos 5 trabalhadores escolhidos
Número de maneiras de escolher três mulheres entre as 12
Número de maneiras de escolher dois homens entre os 8
Resposta: (C)
3. 2 2
4
x y
 
Se
8
5
x   vem
2
2 2 2
8 64 36 6
4 4
5 25 25 5
y y y y
 
          
 
 
Logo,
8 6
,
5 5
A
 
 
 
e
8 6
,
5 5
B
 

 
 
.
3.1.
8 6
,
5 5
OA A O
 
    
 
Declive de OA
6
6 3
5
8 8 4
5
  
Como a reta r é perpendicular a OA , o seu declive é
4
3
m   .
A reta r tem declive
4
3
m   e passa no ponto
8 6
,
5 5
A
 
 
 
.
Uma equação de r é
6 4 8 4 32 6 4 10
5 3 5 3 15 5 3 3
y x y x y x
 
            
 
 
Resposta: (B)

O
A B
C
D
r

Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
9
3.2.
8 6
,
5 5
OB B O
 
   
 
 
2
OA OB
  (raio da circunferência)
8 6 8 6 64 36 28
, ,
5 5 5 5 25 25 25
OA OB
   
        
   
   
 
28
28 7
25
cos cos ,
2 2 4 25 25
OA OB
OA OB
OA OB



      
 

ɵ
2 2 2
2
1 1 625
1 tan 1 tan tan 1
49 49
7
625
25
  
        
 

 
 
2
2
1
1 tan
cos


 
2 576 24
tan tan
49 7
 
    
Como cos 0
  ,  é do 2.º quadrante. Logo,
24
tan
7
   .
4. Os quatro remadores serão escolhidos entre 20 elementos, sendo seis do ensino básico e catorze do
secundário.
O número de casos possíveis é dado por: 20
4 4845
C 
Número de casos favoráveis:
6 14 6 14 6 14
3 1 2 2 1 3 20 14 15 91 6 364 3829
C C C C C C
           
ou
20 6 14
4 4 4 4845 15 1001 3829
C C C
     
A probabilidade pedida é dada por:
3829
0,7903 79,0%
4845
  
P
5. Aplicando o teorema de Carnot ao triângulo  
ODA , com
7
AD  , 5
OD  e OA a
 temos:
2 2 2
7 5 2 5 cos
3
a a

      
2 1
49 25 2 5
2
a a
       
2
0 25 49 5
a a
     
2
5 24 0
a a
    
5 25 4 24 5 121
2 2
a a
   
    
5 11
3 8
2
a a a

      
6 14 20
4 0 4
0 4
B S
3 1
2 2
1 3
O
A
B
C
D
3

Re z
Im z
7
5
a
2

Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
10
Como 0
a  , temos 8
OA a
  .
O ponto A é o afixo do número complexo cujo módulo é igual a 8 e cujo argumento é
3

.
Logo, como 8
OC OA
  e
2 3
3 2 6 6
DOC
     
    , C é o afixo do número complexo cujo
módulo é igual a 8 e cujo argumento é
6

.
Portanto,
i
6
5 5
8e 8 cos isin 8 cos isin
6 6 6 6
z

 
   
     
         
     
 
     
 
3 1
8 cos isin 8 i 4 3 4i
6 6 2 2
 
 
 
        
 
   
   
6.  
4,14,16
E ; : 8 4 10 0
ABC x y z
    ;
6.1. A reta AE passa no ponto  
4,14,16
E e é perpendicular ao plano ABC .
O vetor de coordenadas  
1, 8, 4
  é perpendicular ao plano ABC . Logo é um
vetor diretor da reta AE .
Equação vetorial da reta AE :      
, , 4,14,16 1, 8, 4 ,
x y z k k
    ℝ .
6.2. A reta AE interseta o plano ABC no ponto A.
     
, , 4,14,16 1, 8, 4 ,
x y z k k
     
ℝ
   
, , 4 ,14 8 ,16 4 ,
x y z k k k k
     ℝ
Logo, qualquer ponto da reta AE é da forma  
4 , 14 8 , 16 4 ,
k k k k
   ℝ
O ponto A é o ponto da reta AE que pertence ao plano ABC . Logo, as suas coordenadas
satisfazem a equação 8 4 10 0
x y z
    , ou seja:
     
4 8 14 8 4 16 4 10 0
k k k
       
4 112 64 64 16 10 0
k k k
        
81 162 2
k k
   
Portanto, o ponto A tem coordenadas  
4 2, 14 8 2, 16 4 2
     , ou seja,  
6, 2, 8
A 
6.3. Número de casos possíveis: 8
3 56
C 
Número de casos favoráveis: 4
3
6 6 4 24
C
    (O prisma tem 6 faces e os quatro vértices
de cada face definem o mesmo plano)
24 3 8 3
56 7 8 7
P

  

Resposta: (D)
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
11
7. Ponto de tangência da reta r :  
, ( )
R a f a
Como o ponto  
, ( )
a f a também pertence à reta :
r y mx b
  vem  
f a ma b
  (1)
Declive da reta r :  
m f a


Ponto de tangência da reta t : ,
2 2
a a
T g
 
 
 
 
 
 
sendo  
2
2 2
a a
g f f a
   
  
   
   
Logo, T tem coordenadas , ( )
2
a
f a
 
 
 
.
Declive da reta t :
2
a
g
 
 
 
         
(2 ) 2 2 2 2
g x f x x f x f x
 
  
  
 
2 2 2 2
2 2
a a
g f f a m
   
  
   
   
   
Portanto, a reta t passa no ponto de coordenadas , ( )
2
a
f a
 
 
 
e tem declive 2m .
A reta t pode ser definida por:
   
2 2 2
2 2
a a
y f a m x y mx m f a
 
         
 
 
2 2
y mx ma ma b y mx b
       
Logo, a reta t , tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa
2
a
, pode ser definida pela
equação 2
y mx b
  .
 
Em (1), vimos que:
 
f a ma b
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
12
Caderno 2
8. Seja y mx b
  a equação reduzida da reta t , tangente ao gráfico de g
no ponto de abcissa 1.
Sabemos que:
 
1
m g

0
b  , dado que a reta t passa na origem do referencial.
   
1
1 1 1
2 e
e 0 e e
2 2
x
x x x
k x k
g x x x x

  
 
 
   
 
      
   
 
 
 
1 1 1
e e 1 e
  
  
x x x
x x
    1 1
1 1 1 e 2
m g 

   
A equação da reta t é 2
y x
 .
O ponto de tangência tem abcissa 1 e também pertence à reta t . Logo, a ordenada desse ponto é
2 1 2
y    .
Como o ponto de tangência, de coordenadas  
1, 2 , pertence ao gráfico de g , temos que:
 
1 1
2 1 e 2
1 2 2 2 2 4 2
2 2
k k
g k k

   
         
9.    
 
2 2
lim lim log 2 1 log 2
n
u n n

      
 
2 2
2 1
lim log log 2 1
2

 
  
 

 
n
n
dado que
2 1 2
lim lim 2
2
n n
n n

 

Resposta: (B)
10.
   
 
   
 
0 0
0 0
lim 2 lim 2
sin 2 sin 2
x x
f x f f x f x
x x x
 
 
 
    
 
 
 
   
 
0 0
0
lim lim 2
0 sin 2
x x
f x f x
x x
 

   

 
 
0
1
0 lim 2
sin 2


   
x
f
x
x
 
 
0
1
0 2
sin 2
2lim
2
x
f
x
x


   
2
Se 0 , 0
y x
x y

 
 
0
1
0 2
sin
2lim
y
f
y
y


   
 
1
0 2
2 1
f 
   

 
0 4
f 
 
Resposta: (C)
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
13
11.  
( ) 1 ln 1
h x x x
   
11.1. Dado que  
1,
h
D     apenas poderá existir assíntota não vertical quando
x   .
Seja y mx b
  a equação dessa assíntota, caso exista.
   
1 ln 1 ln 1
( ) 1
lim lim lim

 
 

 
  
     
     
 
 
x x x
x x x
h x x
m
x x x x x
 
1
ln 1
ln 1
1
lim 1 lim 0 1 lim

 
 

 
  
 
 

 
 
  
 
      
x x x
x
x x
x x x
1 1
ln ln 1 ln 1
ln
1 lim 1 lim lim
  
   
  
   
   
       
x x x
x
x
x x
x x x
1 0 0 1
     
   
lim ( ) lim 1 ln 1
x x
b h x mx x x x
 
         
 
 
lim 1 ln 1 1
x
x

         
 
Como b ℝ , o gráfico de h não tem assíntotas não verticais.
11.2.  
 
1 1
( ) 1 ln 1 0 1 1
1 1
x
h x x x
x x



            
   
   
2 2
1 1 1
( ) 1 0
1 1 1
h x
x x x
 
 
      
 

   
 
 
2
1
0 , 1,
1
x
x
     

Como    
0 , 1,
h x x
       , podemos concluir que o gráfico da função h tem a
concavidade voltada para cima em todo o domínio e que, portanto, não tem pontos de
inflexão.
12.      
2 cos 2 sin 2
f x x x x
 
12.1.
         
0
0
0 0 0
2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2
lim lim lim
x x x
f x x x x x x x
x x x x
 
 
 
  
  
   
 
 
 
   
0 0 0
sin 2 sin 2
lim 2cos 2 lim 2 1 2lim
2
x x x
x x
x
x x
  
       
 
2
Se 0 , 0
y x
x y

 
0
sin
2 2lim 2 2 1 0
y
y
y

     
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
14
12.2.          
2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2
f x x x x x x x
  
           
     
         
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
x x x x x x

 
     
 
       
2cos 2 2 2 sin 2 2cos 2
x x x x x

     
 
     
2cos 2 2 2sin 2 2cos 2
x x x x
    
 
4 sin 2
x x
 
     
0 4 sin 2 0
f x x x x
         
   
4 0 sin 2 0 2 2
x x x
           
 
   
0 2 , 2 2
x x k k x
           
ℤ
0 2 2 2 2 0 2 2 2
x x x x x x
                 
0
2 2
x x x x x
 
            
     
2 cos 2 sin 2 2
f            
   
cos sin
2
f

 
       
 
 
     
0 0cos 0 sin 0 0
f   
   
cos sin
2
f

 
      
 
 
     
2 cos 2 sin 2 2
f        
x 
2

 0
2


f  0 + 0  0  0 + 0
f 2
  ր  ց 0 ց  ր 2
Mín. Máx. Mín. Máx.
A função f é estritamente crescente em ,
2

 
 
 
 
e em ,
2

 

 
 
e é estritamente
decrescente em ,
2 2
 
 

 
 
.
A função f admite mínimos relativos iguais a 2π
 e a  para x   e
2
x

 ,
respetivamente, e admite máximos relativos iguais a π e a  para
2
x

  e x   ,
respetivamente.
Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano
15
13.
1
1
1 1
2
2
2
3 2 , ,
3
n n n n
u
u
u u n u u n
 



 

 
     
 

ℕ ℕ
Logo,  
n
u é uma progressão geométrica de razão
2
3
r  com 1 2
u  . Assim,
1
2
2
3
n
n
u

 
  
 
.
1
2
lim lim 2 2 0 0
3
n
n
u

 
 
    
 
 
 
 
 
 
n
u é convergente.
Resposta: (C)
14. 1 10
a 
 
101 1 101 1 10 100
a a r r
     
1 101
101 1 101
0 101 0 0
2
a a
S a a

        1 101
10 e 10 100
  
a a r
10 10 100 0
r
    
20 1
100 20
100 5
r r r
        
 
1 1
n
a a n r
   
 
1 1 1 1 51
10 1 10
5 5 5 5 5
n n n
a n a n a n
 
            
 
 
1 51
5 5
n
a n
  
15.
3
i
4
e


z r
       
3
3 3 i
i i i
2 4
4 2 4
i i e e e e
n
n
n
n
z r r r
 
 
   
 
 
    
  5
i i i
4 4 4
e e e
n n
n
n n
r r r
  

  
 
i
n
z é um número real positivo
5
2
4
n
k k

     
ℤ
5 8
2 5 8
4 5
           
ℤ ℤ ℤ
n k
k k n k k n k
n ℕ se 5,10,15, 20,...
k 
Portanto, 8,16, 24, 32,...
n 
Resposta: (B)
z
Rez
Imz
4

O

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  • 1. Proposta de prova-modelo Matemática A 12.O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: (Caderno 1 + Caderno 2): 150 minutos. Tolerância: 30 minutos
  • 2. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 2 Caderno 1: 75 minutos. Tolerância:15 minutos (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato 1. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio r . Sabe-se que:    AB é um diâmetro da circunferência;  Os pontos C e D pertencem à circunferência;   é a amplitude, em radianos, do ângulo BDC com 0 , 2         . O comprimento da corda   BC é igual a: (A) 2 sin r (B)   2 sin 2 r (C) sin r (D)   sin 2 r 2. Considere um departamento de uma empresa onde trabalham oito homens e doze mulheres. Neste departamento vão ser escolhidos, entre todos os trabalhadores, dois homens e três mulheres para desempenharem tarefas distintas. Qualquer um dos vinte trabalhadores pode desempenhar qualquer uma das cinco tarefas. De quantas maneiras pode ser feita a escolha dos cinco trabalhadores e a distribuição das respetivas tarefas? (A) 73 920 (B) 6160 (C) 739 200 (D) 8 870 400  O A B C D r
  • 3. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 3 3. Na figura, está representada, num referencial ortonormado xOy , a circunferência de equação 2 2 4 x y   . Sabe-se que:  A e B são os pontos da circunferência de ordenadas positivas e abcissas 8 5 e 8 5  , respetivamente;  a reta r é tangente à circunferência no ponto A;   é a amplitude, em radianos, do ângulo formado pelos vetores OA e OB . 3.1. Qual das equações seguintes define a reta r ? (A) 4 16 3 5 y x    (B) 4 10 3 3 y x    (C) 3 5 4 2 y x    (D) 3 12 4 5 y x    3.2. Determine tan . 4. O núcleo de remo de uma escola C+S, formado por sete alunos do ensino básico e catorze do secundário, vai escolher a equipa para participar numa prova de Quatro com Timoneiro. Sabe-se que o timoneiro é o aluno do ensino básico com menos peso. Os quatro remadores serão escolhidos entre os restantes. Se a escolha for feita por sorteio, qual é a probabilidade de entre os escolhidos haver pelo menos um remador de cada nível de ensino? Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às décimas. 5. Na figura está representado, no plano complexo, o quadrado   OABC (O é a origem do referencial), bem como o ponto D de coordenadas   5 , 0 . Sabendo que 7 AD  e que a amplitude do ângulo DOA é igual a 3  radianos, mostre que o ponto C é o afixo do número complexo 4 3 4i z    . Sugestão: Comece por calcular OA recorrendo ao teorema de Carnot. O A B x y 8 5 8 5   r O A B C D 3  Re z Imz
  • 4. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 4 6. Na figura está representado, em referencial ortonormado Oxyz , o prisma quadrangular regular   ABCDEFGH (o vértice D não é visível). Sabe-se que:  O ponto E tem coordenadas   4,14 ,16 ;  O plano ABC pode ser definido pela equação 8 4 10 0 x y z     ; 6.1. Defina por uma equação vetorial a reta AE . 6.2. Determine as coordenadas do ponto A. 6.3. Escolhem-se, ao acaso, três vértices distintos do prisma. Qual é a probabilidade de o plano definido por esses três vértices conter uma face do prisma? (A) 3 28 (B) 1 14 (C) 3 8 (D) 3 7 7. Seja f uma função diferenciável em ℝ e seja g a função definida em ℝ por     2 g x f x  . Admita que a reta r de equação y mx b   é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a . Mostre que a reta t , tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 2 a , pode ser definida pela equação 2 y mx b   . Fim do Caderno 1 COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos) 1. 2. 3.1. 3.2. 4. 5. 6.1. 6.2. 6.3. 7. 8 8 8 11 11 12 10 12 8 12 100 A B C E F G H z O y x 2 a a x O y f g r t b
  • 5. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 5 Caderno 2: 75 minutos. Tolerância:15 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida. 8. Considere a função g , de domínio ℝ , definida, para determinado número real k , por:   1 2 e 2 x k x g x    Determine o valor de k sabendo que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 passa na origem do referencial. 9. Considere a sucessão   n u de termo geral     2 2 log 2 1 log 2 n u n n     O valor de lim n u é: (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D)  10. Sabe-se que f é uma função real de variável real tal que       0 0 lim 2 sin 2 x f x f x    . Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A)   0 1 f   (B)   0 2 f   (C)   0 4 f   (D)   0 f é um extremo relativo de f 11. Seja h , a função de domínio   1,    , definida por   ( ) 1 ln 1 h x x x     . 11.1. Verifique se o gráfico da função h admite assíntota não vertical. 11.2. Estude a função h quanto ao sentido da concavidade do gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
  • 6. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 6 12. Considere a função f , de domínio   ,   , definida por       2 cos 2 sin 2 f x x x x   . 12.1. Determine   0 lim x f x x  . 12.2. Estude a função f quanto à monotonia e determine, caso existam, os extremos relativos. 13. Considere a sucessão   n u definida por: 1 1 2 3 2 , qualquer que seja n n u u u n        ℕ Relativamente a esta sucessão qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A)   n u é monótona crescente (B) Sendo n S a soma dos n primeiros termos de   n u então lim n n S    (C)   n u é convergente (D) lim n u   14. De uma progressão aritmética,   n a , sabe-se que o primeiro termo é igual a 10 e que a soma dos primeiros 101 termos é igual a zero. Determine uma expressão do termo geral desta sucessão. 15. Seja z um número complexo não nulo, cujo afixo, no plano complexo, pertence ao segundo quadrante e à bissetriz dos quadrantes pares. Qual dos seguintes pode ser um valor de n ℕ para o qual   i n z é um número real positivo? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 Fim da prova COTAÇÕES (Caderno 2) Item Cotação (em pontos) 8. 9. 10. 11.1. 11.2. 12.1. 12.2. 13. 14. 15. 12 8 8 11 12 10 12 8 11 8 100 TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200
  • 7. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 7 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: r  ( – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio) Áreas de figuras planas Polígono regular: Semiperímetro Apótema  Setor circular: 2 2 r  ( – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r g  (r – raio da base; g – geratriz) Área de uma superfície esférica: 2 4 r  (r – raio) Volumes Pirâmide: 1 3 Área da base Altura   Cone: 1 3 Área da base Altura   Esfera: 3 4 3 r  (r – raio) Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão (un): Progressão aritmética: 1 2 n u u n   Progressão geométrica: 1 1 1 n r u r    Trigonometria   sin sin cos sin cos a b a b b a      cos cos cos sin sin a b a b a b    sin sin sin A B C a b c   2 2 2 2 cos a b c bc A    Complexos       i i cis cis ou e e n n n n n n           2 i 2 cis cis ou e e k n n n n n k n                         0 ... 1 e k , , n n   ℕ Probabilidades 1 1 n n p x p x        2 2 1 1 n n p x p x        Se X é   N ,   , então:   0 6827 P X ,            2 2 0 9545 P X ,            3 3 0 9973 P X ,          Regras de derivação   u v ' u' v'      u v ' u' v u v'   2 u u' v u v' v v              1 n n u ' n u u' n   ℝ   sin cos u ' u' u    cos sin u ' u' u     2 tan cos u' u ' u    e e u u u'         In 1 u u a u' a a a    ℝ   In u' u u         log 1 In a u' u a u a    ℝ Limites notáveis 1 lim 1 e n n           nℕ 0 sin lim 1 x x x   0 e 1 lim 1 x x x    In lim 0 x x x     e lim x p x p x    ℝ
  • 8. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 8 Proposta de resolução Caderno 1 1. Como os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma amplitude, temos que BAC BDC    . Por outro lado, dado que um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto, o triângulo   ABC é retângulo em C . Logo, sin sin 2 sin 2 BC BC BC r r AB         Resposta: (A) 2. 8 12 2 3 5! 739 200 C C    Número de maneiras de distribuir as funções pelos 5 trabalhadores escolhidos Número de maneiras de escolher três mulheres entre as 12 Número de maneiras de escolher dois homens entre os 8 Resposta: (C) 3. 2 2 4 x y   Se 8 5 x   vem 2 2 2 2 8 64 36 6 4 4 5 25 25 5 y y y y                  Logo, 8 6 , 5 5 A       e 8 6 , 5 5 B        . 3.1. 8 6 , 5 5 OA A O          Declive de OA 6 6 3 5 8 8 4 5    Como a reta r é perpendicular a OA , o seu declive é 4 3 m   . A reta r tem declive 4 3 m   e passa no ponto 8 6 , 5 5 A       . Uma equação de r é 6 4 8 4 32 6 4 10 5 3 5 3 15 5 3 3 y x y x y x                    Resposta: (B)  O A B C D r 
  • 9. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 9 3.2. 8 6 , 5 5 OB B O           2 OA OB   (raio da circunferência) 8 6 8 6 64 36 28 , , 5 5 5 5 25 25 25 OA OB                        28 28 7 25 cos cos , 2 2 4 25 25 OA OB OA OB OA OB              ɵ 2 2 2 2 1 1 625 1 tan 1 tan tan 1 49 49 7 625 25                    2 2 1 1 tan cos     2 576 24 tan tan 49 7        Como cos 0   ,  é do 2.º quadrante. Logo, 24 tan 7    . 4. Os quatro remadores serão escolhidos entre 20 elementos, sendo seis do ensino básico e catorze do secundário. O número de casos possíveis é dado por: 20 4 4845 C  Número de casos favoráveis: 6 14 6 14 6 14 3 1 2 2 1 3 20 14 15 91 6 364 3829 C C C C C C             ou 20 6 14 4 4 4 4845 15 1001 3829 C C C       A probabilidade pedida é dada por: 3829 0,7903 79,0% 4845    P 5. Aplicando o teorema de Carnot ao triângulo   ODA , com 7 AD  , 5 OD  e OA a  temos: 2 2 2 7 5 2 5 cos 3 a a         2 1 49 25 2 5 2 a a         2 0 25 49 5 a a       2 5 24 0 a a      5 25 4 24 5 121 2 2 a a          5 11 3 8 2 a a a         6 14 20 4 0 4 0 4 B S 3 1 2 2 1 3 O A B C D 3  Re z Im z 7 5 a 2 
  • 10. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 10 Como 0 a  , temos 8 OA a   . O ponto A é o afixo do número complexo cujo módulo é igual a 8 e cujo argumento é 3  . Logo, como 8 OC OA   e 2 3 3 2 6 6 DOC           , C é o afixo do número complexo cujo módulo é igual a 8 e cujo argumento é 6  . Portanto, i 6 5 5 8e 8 cos isin 8 cos isin 6 6 6 6 z                                        3 1 8 cos isin 8 i 4 3 4i 6 6 2 2                          6.   4,14,16 E ; : 8 4 10 0 ABC x y z     ; 6.1. A reta AE passa no ponto   4,14,16 E e é perpendicular ao plano ABC . O vetor de coordenadas   1, 8, 4   é perpendicular ao plano ABC . Logo é um vetor diretor da reta AE . Equação vetorial da reta AE :       , , 4,14,16 1, 8, 4 , x y z k k     ℝ . 6.2. A reta AE interseta o plano ABC no ponto A.       , , 4,14,16 1, 8, 4 , x y z k k       ℝ     , , 4 ,14 8 ,16 4 , x y z k k k k      ℝ Logo, qualquer ponto da reta AE é da forma   4 , 14 8 , 16 4 , k k k k    ℝ O ponto A é o ponto da reta AE que pertence ao plano ABC . Logo, as suas coordenadas satisfazem a equação 8 4 10 0 x y z     , ou seja:       4 8 14 8 4 16 4 10 0 k k k         4 112 64 64 16 10 0 k k k          81 162 2 k k     Portanto, o ponto A tem coordenadas   4 2, 14 8 2, 16 4 2      , ou seja,   6, 2, 8 A  6.3. Número de casos possíveis: 8 3 56 C  Número de casos favoráveis: 4 3 6 6 4 24 C     (O prisma tem 6 faces e os quatro vértices de cada face definem o mesmo plano) 24 3 8 3 56 7 8 7 P      Resposta: (D)
  • 11. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 11 7. Ponto de tangência da reta r :   , ( ) R a f a Como o ponto   , ( ) a f a também pertence à reta : r y mx b   vem   f a ma b   (1) Declive da reta r :   m f a   Ponto de tangência da reta t : , 2 2 a a T g             sendo   2 2 2 a a g f f a                Logo, T tem coordenadas , ( ) 2 a f a       . Declive da reta t : 2 a g                 (2 ) 2 2 2 2 g x f x x f x f x           2 2 2 2 2 2 a a g f f a m                    Portanto, a reta t passa no ponto de coordenadas , ( ) 2 a f a       e tem declive 2m . A reta t pode ser definida por:     2 2 2 2 2 a a y f a m x y mx m f a                 2 2 y mx ma ma b y mx b         Logo, a reta t , tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 2 a , pode ser definida pela equação 2 y mx b   .   Em (1), vimos que:   f a ma b
  • 12. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 12 Caderno 2 8. Seja y mx b   a equação reduzida da reta t , tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1. Sabemos que:   1 m g  0 b  , dado que a reta t passa na origem do referencial.     1 1 1 1 2 e e 0 e e 2 2 x x x x k x k g x x x x                                1 1 1 e e 1 e       x x x x x     1 1 1 1 1 e 2 m g       A equação da reta t é 2 y x  . O ponto de tangência tem abcissa 1 e também pertence à reta t . Logo, a ordenada desse ponto é 2 1 2 y    . Como o ponto de tangência, de coordenadas   1, 2 , pertence ao gráfico de g , temos que:   1 1 2 1 e 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 k k g k k                9.       2 2 lim lim log 2 1 log 2 n u n n           2 2 2 1 lim log log 2 1 2            n n dado que 2 1 2 lim lim 2 2 n n n n     Resposta: (B) 10.             0 0 0 0 lim 2 lim 2 sin 2 sin 2 x x f x f f x f x x x x                        0 0 0 lim lim 2 0 sin 2 x x f x f x x x             0 1 0 lim 2 sin 2       x f x x     0 1 0 2 sin 2 2lim 2 x f x x       2 Se 0 , 0 y x x y      0 1 0 2 sin 2lim y f y y         1 0 2 2 1 f         0 4 f    Resposta: (C)
  • 13. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 13 11.   ( ) 1 ln 1 h x x x     11.1. Dado que   1, h D     apenas poderá existir assíntota não vertical quando x   . Seja y mx b   a equação dessa assíntota, caso exista.     1 ln 1 ln 1 ( ) 1 lim lim lim                            x x x x x x h x x m x x x x x   1 ln 1 ln 1 1 lim 1 lim 0 1 lim                                 x x x x x x x x x 1 1 ln ln 1 ln 1 ln 1 lim 1 lim lim                           x x x x x x x x x x 1 0 0 1           lim ( ) lim 1 ln 1 x x b h x mx x x x                 lim 1 ln 1 1 x x              Como b ℝ , o gráfico de h não tem assíntotas não verticais. 11.2.     1 1 ( ) 1 ln 1 0 1 1 1 1 x h x x x x x                         2 2 1 1 1 ( ) 1 0 1 1 1 h x x x x                       2 1 0 , 1, 1 x x        Como     0 , 1, h x x        , podemos concluir que o gráfico da função h tem a concavidade voltada para cima em todo o domínio e que, portanto, não tem pontos de inflexão. 12.       2 cos 2 sin 2 f x x x x   12.1.           0 0 0 0 0 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 lim lim lim x x x f x x x x x x x x x x x                           0 0 0 sin 2 sin 2 lim 2cos 2 lim 2 1 2lim 2 x x x x x x x x              2 Se 0 , 0 y x x y    0 sin 2 2lim 2 2 1 0 y y y       
  • 14. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 14 12.2.           2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 f x x x x x x x                                2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 x x x x x x                    2cos 2 2 2 sin 2 2cos 2 x x x x x                2cos 2 2 2sin 2 2cos 2 x x x x        4 sin 2 x x         0 4 sin 2 0 f x x x x               4 0 sin 2 0 2 2 x x x                   0 2 , 2 2 x x k k x             ℤ 0 2 2 2 2 0 2 2 2 x x x x x x                   0 2 2 x x x x x                      2 cos 2 sin 2 2 f                 cos sin 2 f                      0 0cos 0 sin 0 0 f        cos sin 2 f                     2 cos 2 sin 2 2 f         x  2   0 2   f  0 + 0  0  0 + 0 f 2   ր  ց 0 ց  ր 2 Mín. Máx. Mín. Máx. A função f é estritamente crescente em , 2          e em , 2         e é estritamente decrescente em , 2 2          . A função f admite mínimos relativos iguais a 2π  e a  para x   e 2 x   , respetivamente, e admite máximos relativos iguais a π e a  para 2 x    e x   , respetivamente.
  • 15. Proposta de prova-modelo – Matemática A 12.º ano 15 13. 1 1 1 1 2 2 2 3 2 , , 3 n n n n u u u u n u u n                    ℕ ℕ Logo,   n u é uma progressão geométrica de razão 2 3 r  com 1 2 u  . Assim, 1 2 2 3 n n u         . 1 2 lim lim 2 2 0 0 3 n n u                       n u é convergente. Resposta: (C) 14. 1 10 a    101 1 101 1 10 100 a a r r       1 101 101 1 101 0 101 0 0 2 a a S a a          1 101 10 e 10 100    a a r 10 10 100 0 r      20 1 100 20 100 5 r r r            1 1 n a a n r       1 1 1 1 51 10 1 10 5 5 5 5 5 n n n a n a n a n                    1 51 5 5 n a n    15. 3 i 4 e   z r         3 3 3 i i i i 2 4 4 2 4 i i e e e e n n n n z r r r                    5 i i i 4 4 4 e e e n n n n n r r r          i n z é um número real positivo 5 2 4 n k k        ℤ 5 8 2 5 8 4 5             ℤ ℤ ℤ n k k k n k k n k n ℕ se 5,10,15, 20,... k  Portanto, 8,16, 24, 32,... n  Resposta: (B) z Rez Imz 4  O