Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
SISTEMAS LINEARES

2. SISTEMAS LINEARES
1
01. (Fuvest 2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao
valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos:
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco.
- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco.
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco.
- 4 colheres de arroz + 1 bife.
Note e adote:
1 colher de arroz
1 colher de
azeite
1 bife
Massa de
alimento (g)
20 5 100
% de umidade +
macronutriente
minoritário +
micronutrientes
75 0 60
% de
macronutriente
majoritário
25 100 40
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações:
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45.
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato.
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão
número de pontos do lipídeo
número de pontos do carboidrato
é 1,5.
É correto o que se afirma em
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
02. (Famerp 2020) Seja k um número real e
y kx 14
y x 28
= +


= +

um sistema de equações nas incógnitas x e y. Os valores
de k para que a solução gráfica desse sistema pertença ao interior do terceiro quadrante do plano cartesiano são
dados pelo intervalo
a) 1 k 0
− < < b)
1
k 1
2
< < c)
1
1 k
2
− < < − d)
1
k
2
< − e) k 1
<

3. SISTEMAS LINEARES
2
03. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma.
Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros
dois destinos conjuntamente. Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade
das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?
a) 26
b) 38
c) 42
d) 62
e) 68
04. (Fac. Albert Einstein 2019) Fabiana é representante de vendas de um fabricante de glicerina. A tabela descreve as
formas de fornecimento do produto, o preço e a comissão de Fabiana.
Tipo de embalagem Quantidade Preço Comissão
Bombona pequena 50 mL R$ 300,00 R$ 18,00
Bombona grande 200 mL R$ 950,00 R$ 47,50
Container 1.000 mL R$ 5.200,00 R$ 260,00
Na segunda quinzena de novembro, as vendas feitas por Fabiana totalizaram R$ 50.100, gerando uma comissão de
R$ 2.565,00. Dado que, nessa quinzena, o número de bombonas grandes vendidas foi dez vezes o número de
containers vendidos, a quantidade total de glicerina vendida nessa quinzena foi igual a
a) 9.600 L.
b) 10.000 L.
c) 9.000 L.
d) 31.000 L.
e) 31.600 L.
05. (Famema 2019) Em um grupo de 150 estudantes, 25% das mulheres e 50% dos homens falam espanhol.
Sabendo que 34% dos estudantes desse grupo falam espanhol, o número de mulheres desse grupo que falam
espanhol é
a) 38.
b) 51.
c) 45.
d) 24.
e) 54.
06. (Fac. Albert Einstein 2018) Um parque tem 3 pistas para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 2 voltas na pista X, 3
voltas na pista Y e 1 volta na pista Z, tendo caminhado um total de 8.420 metros. João deu 1 volta na pista X, 2
voltas na pista Y e 2 voltas na pista Z, num total de 7.940 metros. Marcela deu 4 voltas na pista X e 3 voltas na
pista Y, num total de 8.110 metros. O comprimento da maior dessas pistas, excede o comprimento da menor em
a) 1.130 metros
b) 1.350 metros
c) 1.570 metros
d) 1.790 metros

4. SISTEMAS LINEARES
3
07. (Unicamp 2018) Sabendo que k é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y,
x ky 1
,
x y k.
+ =


+ =

É correto afirmar que esse sistema
a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k.
c) não tem solução se k 1.
=
d) tem infinitas soluções se k 1.
≠
08. (Famerp 2018) As figuras indicam uma sequência de empilhamentos de cubos de 3
1cm . Da primeira pilha em
diante, os volumes das pilhas, em 3
cm , são iguais a 1, 5,14, 30, 55, e assim sucessivamente.
Sabe-se que a soma 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 x
+ + + + + +
 é um polinômio do terceiro grau, dado por 3 2
P(x) mx nx px,
= + +
com m, n e p racionais. Portanto, P(1) 1,
= P(2) 5,
= P(3) 14,
= P(4) 30
= e assim por diante. Nas condições dadas, m
é igual a
a)
1
2
b)
5
6
c)
2
3
d)
1
6
e)
1
3
09. (Famema 2017) Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na
farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de
esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de algodão e R$ 1,00 a mais
que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o valor do troco recebido
foi
a) R$ 0,50.
b) R$ 1,00.
c) R$ 1,50.
d) R$ 2,50.
e) R$ 2,00.

5. SISTEMAS LINEARES
4
10. (Unicamp 2017) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x,
y e z :
x y a,
z y 1,
− =


− =

e
x y 2,
y z b.
+ =


+ =

Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar
corretamente que
a) a b 0.
− =
b) a b 1.
+ =
c) a b 2.
− =
d) a b 3.
+ =
11. (Unicamp 2017) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2
2 cm , 2
3 cm e 2
4 cm . O volume desse
paralelepípedo é igual a
a) 3
2 3 cm .
b) 3
2 6 cm .
c) 3
24 cm .
d) 3
12 cm .
12. (Fuvest 2017) João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias,
cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par
custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há
25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo
R$ 150,00 é igual a
a) 46
b) 45
c) 44
d) 43
e) 42
13. (Unicamp 2016) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w,
x y 1,
y z 2,
w z 3.
− =


+ =

 − =

. Logo, a soma x y z w
+ + +
é igual a
a) 2.
−
b) 0.
c) 6.
d) 8.

6. SISTEMAS LINEARES
5
14. (Insper 2016) No plano cartesiano 0xy, equações lineares com duas incógnitas, do tipo ax by c,
+ =representam
retas. Já em relação a um sistema de coordenadas cartesianas 0xyz no espaço, equações lineares com três incógnitas
representam planos.
Por exemplo, na figura acima, pode-se ver a representação da equação 2x y z 4
+ + = em relação ao sistema de
coordenadas 0xyz.
A solução gráfica de um sistema de equações lineares 3 3
× é a região do espaço correspondente à intersecção dos
planos definidos pelas três equações lineares que compõem o sistema. Sendo assim, das representações gráficas
numeradas acima, correspondem a sistemas lineares 3 3
× com infinitas soluções apenas
a) 5, 7 e 8
b) 1, 3 e 7
c) 4, 6 e 8
d) 2, 5 e 7
e) 1, 2, 3, 5 e 7

7. SISTEMAS LINEARES
6
15. (Fac. Albert Einstein - 2016) Saulo sacou R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Banco num dia em que este caixa
emitia apenas cédulas de R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos modos poderiam ter sido distribuídas as cédulas que Saulo
recebeu?
a) 6
b) 7
c) 8
d) Mais do que 8
16. (Fac. Albert Einstein 2016) Juntas, Clara e Josefina realizaram certo trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora,
R$ 8,00 a mais do que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, receberam o total de R$ 1760,00, a parte
dessa quantia que coube a Clara foi
a) R$ 660,00.
b) R$ 770,00.
c) R$ 990,00.
d) R$ 1100,00.
17. (Insper 2016) Matrizes de Vandermonde são matrizes quadradas em que os elementos ao longo de cada linha
formam progressões geométricas de primeiro termo igual a 1, não necessariamente com a mesma razão para cada
linha. Por exemplo, a matriz B a seguir, de ordem 4 é de Vandermonde:
1 5 25 125
1 3 9 27
B 1 3 9 27
1 1 1
1
2 4 8
 
 
 
=  
− −
 
 
 
 
Seja V uma matriz de Vandermonde de ordem 3 em que a PG formada com os elementos da 1ª linha tem razão 2, a
PG formada com os elementos da 2ª linha tem razão 3 e a PG formada com os elementos da 3ª linha tem razão 2.
−
Considere a matriz X, do tipo 3 1,
× tal que
a
V X b ,
c
 
 
⋅ =
 
 
 
sendo a, b e c constantes reais. O valor do elemento que
ocupa a 2ª linha de X é necessariamente igual a
a) 1.
b)
a c
.
2
+
c) 0.
d)
a c
.
4
−
e) b c.
+

8. SISTEMAS LINEARES
7
18. (Unesp 2015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de
flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles
estão com os respectivos preços.
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa
a) R$ 15,30.
b) R$ 16,20.
c) R$ 14,80.
d) R$ 17,00.
e) R$ 15,50.
19. (Unicamp 2015) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z
x 2y 3z 20
7x 8y mz 26,
+ + =


+ − =

onde m é um número real.
Sejam a b c
< < números inteiros consecutivos tais que (x,y,z) (a,b,c)
= é uma solução desse sistema. O valor de m
é igual a
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
20. (Mackenzie 2015) Um teste de matemática tem questões valendo 1 ponto, 2 pontos e 3 pontos. Se um estudante
obteve 55 pontos em 30 questões desse teste e acertou 5 questões de 2 pontos a mais do que o número de
questões de 1 ponto que ele acertou, o número de questões de 3 pontos, respondidas corretamente por ele, foi
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
GABARITO
1 - E 2 - B 3 - D 4 - B 5 - D
6 - A 7 - A 8 - E 9 - B 10 -D
11 - B 12 - B 13 - D 14 - A 15 - C
16 - D 17 - D 18 - A 19 - A 20 - E