Análise de Dados na Física - Gráficos

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Análise de Dados - Gráficos. Aplicados à Física - Gráficos da Cinemática.

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Análise de Dados na Física - Gráficos

  1. 1. ANÁLISE DE DADOS – GRÁFICOS. Aplicados à Física 1 Tuba Física: http://tubafisica.blogspot.c om Função constante Se a velocidade não varia, neste caso, ela é sempre zero, logo a aceleração também é igual a zero (a = 0). Toda função f: → , definida por f(x) = c, com Eis os gráficos da posição, da velocidade e da c , é denominada função constante. aceleração em função do tempo: Exemplos: Gráfico da posição em função do tempo a) y = f(x) = 5 b) y = f(x) = 0 c) y = f(x) = -8 O gráfico da função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eixo x, passando pelo ponto (0, c). No exemplo (a), c= 5, o gráfico, então, fica: Gráfico da velocidade em função do tempo No exemplo (b), c= 0, o gráfico, então, fica: Gráfico da aceleração em função do tempo No exemplo (c), c= -8, o gráfico, então, fica: b) Corpo em moviment o unif orme Considere um corpo em movimento retilíneo uniforme, com uma velocidade constante de 25 m/s. A função constante aparece na relação entre a velocidade e o tempo de um movimento retilíneo uniforme, quando, então, a velocidade é constante e Função constante na FÍSICA diferente de zero. Como aqui a velocidade é constante, 25 m/s, seu valor Vejamos exemplos de função constante aplicada à não varia, a aceleração será igual a zero (a = 0). Cinemática: Eis os gráficos da velocidade e da aceleração em a ) Corpo em repouso função do tempo: Considere um corpo em repouso situado na posição Gráfico da velocidade em função do tempo d= 12 m. Se ele permanece em repouso, sua posição não varia ao longo do tempo, então sua velocidade é igual a zero (v = 0). A equação horária da posição deste corpo é uma função constante: d = 12 . Observe que y = d e x = t; o tempo não aparece na equação porque a posição não muda à medida que o tempo passa.
  2. 2. Gráfico da aceleração em função do tempo f(x) decrescente: 2 No movimento uniforme, a equação da posição em função do tempo é descrita por uma função polinomial de 10 grau (próximo tópico). Função polinomial do 1 0 grau É toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a , b e a ≠ 0, definida para todo x real. Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto a e b são Função do 10 grau na FÍSICA denominadas coeficientes. Vejamos exemplos de função de 10 grau aplicada à Exemplos: Cinemática: f(x) = 2x + 3 (a = 2 e b = 3) a ) Corpo em movimento uniforme y = -3x (a = -3 e b = 0) f(x) = 5x – 4 (a = 5 e b = -4) Considere um corpo em movimento retilíneo uniforme, com uma velocidade constante de 8 m/s. Gráfico de uma função do 10 grau Suponha que a posição inicial do corpo seja igual a 10 m (d0 = 10 m). Da cinemática, sabemos que a posição O gráfico de uma função de 10 grau é sempre uma em função do tempo deste corpo em movimento reta inclinada (uma reta horizontal, paralela ao eixo uniforme, quando o instante inicial é igual a zero x, representa uma função constante). A reta inclinada (t0 = 0), é dada pela equação pode representar uma função crescente ou decrescente. d = v.t + d0 f(x) crescente: que representa uma função do 10 grau (y = ax + b). Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo) Coeficientes: a = v (velocidade) e b = d0 (posição inicial) Logo, para este movimento temos a seguinte equação horária da posição d = 8.t + 10 Eis o gráfico da posição em função do tempo deste movimento uniforme: Gráfico da posição em função do tempo
  3. 3. b) Corpo em moviment o uniforme - ment e va ria do 3 Se ao invés de possuir uma velocidade constante, ela variar uniformemente, então a aceleração será constante e diferente de zero. Teremos, então, um movimento retilíneo uniformemente variado. Obteremos, para o gráfico da posição em função do tempo, uma parábola (será visto no tópico sobre função polinomial de 20 grau). A velocidade em função do tempo de um movimento uniformemente variado é dada por uma função do 10 grau (y = a.x + b) e é escrita assim v = a.t + v0 Variáveis: y → v (velocidade) e x → t (tempo) Função do 20 grau na FÍSICA Coeficientes: a = a (aceleração) e b = v0 (velocidade inicial) Nos exemplos de cinemática anteriores, faltou mostrar o gráfico da posição em função do tempo do Considere um corpo com aceleração constante igual a movimento retilíneo uniformemente variado (a 3 m/s2, sendo que sua velocidade inicial é igual a velocidade variando com aceleração constante). 12 m/s. Logo, a equação horária da velocidade deste movimento é a ) Corpo em movimento uniforme - v = 3.t + 12 ment e va ria do Considere um corpo em movimento retilíneo Eis o gráfico da velocidade em função do tempo deste uniformemente variado, com uma aceleração movimento uniformemente variado: constante de 4 m/s2. Suponha que a posição inicial do corpo seja igual a 10 m (d0 = 14 m) e sua velocidade inicial, v0 = 22 m/s. Da cinemática, sabemos que a posição em função do tempo deste corpo em movimento uniformemente variado, quando o instante inicial é igual a zero (t0 = 0), é dada pela equação a 2 d .t v 0 .t d0 2 que é uma função de 20 grau (y = a.x2 + b.x +c). Função polinomial do 20 grau Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo) Coeficientes: a = a/2 (aceleração/2); b = v0 (veloci- Função polinomial do 20 grau ou função quadrática é dade inicial) e c = d0 (posição inicial) toda função polinomial representada pela fórmula matemática y = f(x) = a.x2 + b.x +c, com a, b, c , Logo, para este movimento temos a seguinte equação a ≠ 0, definida para todo x real. As letras x e y são as horária da posição variáveis, enquanto a, b e c são denominadas d = 2.t2 + 22.t + 14 coeficientes. Eis o gráfico da posição em função do tempo deste Exemplos: movimento uniformemente variado: a) f(x) = x2 – 2x – 3 (a = 1, b = -2, c = -3) Gráfico da posição em função do tempo b) f(x) = x2 – 9 (a = 1, b = 0, c = -9) c) f(x) = 6x2 (a = 6, b = 0, c = 0) d) f(x) = -4x2 + 2x (a = -4, b = 2, c = 0) O gráfico de uma função do 20 grau é uma curva aberta chamada parábola. Vamos observar, então, o gráfico da função do exemplo (a): f(x) = x2 – 2x – 3 .
  4. 4. Seno, cosseno e tangente (II) 4 Considere um triângulo retângulo com um dos ângulos igual a θ. O lado a é a hipotenusa, o lado b é 90º < θ < 180º o cateto oposto ao ângulo e o lado c é o cateto adjacente ao ângulo, como mostra a figura abaixo: (III) O seno, o cosseno e a tangente desse ângulo θ θ = 90º (respectivamente, sem θ, cos θ e tg θ) são definidos da seguinte forma: cateto oposto b senθ hipotenusa a cateto adjacente c cos θ Verifica-se, facilmente, que, se r é paralela ao eixo x, hipotenusa a sua inclinação será zero, ou seja: cateto oposto b tg θ (IV) cateto adjacente c Exemplo: Calcule a tangente do ângulo θ no θ = 0º triângulo retângulo da figura, sendo que a hipotenusa é igual a 5, o cateto oposto é igual a 3 e o cateto adjacente é igual a 4. b 3 tg θ 0,75 c 4 Logo, tg θ = 0,75 Coeficiente angular de uma reta Consultando uma tabela trigonométrica, concluímos Considere uma reta de inclinação θ. que tg θ = 0,75 corresponde a um ângulo θ = 36,9º. Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real a que expressa a tangente Inclinação de uma reta trigonométrica de sua inclinação θ, ou seja: A figura abaixo nos mostra uma reta r, não paralela ao a = tg θ eixo x (inclinada em relação a esse eixo). Já vimos que uma reta em um gráfico representa uma Seja θ o menor ângulo que a reta forma com o eixo x, função de 1º grau do tipo y = a.x + b. O coeficiente a medido do eixo para r no sentido anti-horário. é exatamente o coeficiente angular da reta. A medida do ângulo θ é chamada inclinação da reta r. Podem ocorrer, então, três situações: Da Trigonometria, sabemos que: Se θ = 0º tg θ = 0 a = 0 (figura IV) (I) Se 0º < θ < 90º tg θ > 0 a > 0 (figura I) Se 90º < θ < 180º tg θ < 0 a < 0 (figura II) 0º < θ < 90º Se θ = 90º tg θ → ∞ a → ∞ (figura III) Neste último caso, diz-se que a tangente de θ ou a tendem ao infinito (a reta, então, é vertical, paralela ao eixo y).
  5. 5. No exemplo a seguir, mostramos como calcular o Calculando o valor de a, temos coeficiente angular de uma reta r, se conhecermos 5 19 4 15 dois de seus pontos. a tg θ 5 obtemos, a = 5. 3 0 3 Cálculo do coeficiente angular da reta A reta cruza o eixo y no ponto A, de ordenada y0 = 4. Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta Logo, a equação desta reta, a qual descreve uma r que passa por dois pontos A(x 0, y0) e B(x1, y1), estes função d0 1º grau, é dada por dois pontos determinam a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem um dos ângulos agudos igual a θ, y = 5x + 4 que é a inclinação da reta (como mostra a figura). Vamos agora, aplicar estes conhecimentos de Trigonometria e Geometria Analítica na Física. Análise do gráfico de uma reta na Física – Cinemática e assuntos gerais Exemplo 1 Calcular a velocidade do corpo, dado o gráfico da posição em função do tempo abaixo, e achar a Pelo gráfico, observamos que a medida do cateto equação horária da posição deste movimento. oposto ao ângulo é dada por y1 – y0 e a medida do cateto adjacente ao ângulo é dada por x1 – x0. É sempre a variável final menos a variável inicial, ou seja, o ponto B menos o ponto A (para a abscissa x e a ordenada y). Sabendo que o coeficiente angular a é dado por: a = tg θ; e que a tangente de θ é igual ao cateto oposto pelo cateto adjacente. Então, temos: y1 y0 a tg θ x1 x0 Temos o gráfico de uma reta, que representa uma Este será o valor de a na equação da reta: y = a.x + b. função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é o gráfico de um E qual é o valor de b? movimento uniforme. Logo, a equação horária da posição é uma função do 1º grau: d = v.t + d0. O valor de b, que é chamado de coeficiente linear da O coeficiente linear b é a posição inicial d0, que é a reta, é determinado pela ordenada do ponto onde a ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste reta cruza o eixo y. No gráfico acima, a reta cruza o caso, o eixo d. Então, eixo y no ponto de ordenada y0 . d0 = 10 m. Exemplo: O coeficiente angular a é a velocidade do corpo v, que O gráfico abaixo mostra uma reta r que passa por dois é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta). pontos A (0, 4) e B (3, 19). x0 = 0 x1 = 3 y0 = 4 y1 = 19
  6. 6. Calculando o valor de v, temos v a 6 50 10 40 a v tg θ 8 então, v = 8 m/s. t 5 0 5 ∆v = v1 – v0 = 27 – 12 = 15 Lembre-se que a velocidade, para um movimento uniforme, é igual à variação da posição pelo intervalo ∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5 de tempo: v 15 a 3 a = 3 m/s2 d t 5 v t Que é o mesmo resultado verificado acima. ∆d = d1 – d0 = 50 – 10 = 40 Finalmente, a equação horária da posição obtida é: ∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5 v = 3.t + 12 d 40 v 8 v = 8 m/s t 5 Assim, podemos aplicar os conhecimentos de Que é o mesmo resultado verificado acima. Funções, Trigonometria e de Geometria Analítica em várias situações da Física, nas quais a construção de Finalmente, a equação horária da posição obtida é: um gráfico resulte em uma reta no plano cartesiano. d = 8.t + 10 Exemplo 2 Recado Calcular a aceleração do corpo, dado o gráfico da Tudo o que foi visto aqui não pode ser assimilado com velocidade em função do tempo abaixo, e achar a uma simples “olhadela”. É necessário concentração e equação horária da velocidade deste movimento. muito raciocínio, para que as equações e os gráficos não se tornem elementos confusos e desconexos. Antes disso, é preciso treinar aquela matemática bem básica, aquela do Ensino Fundamental. Deve-se começar “por baixo” (tabuada, por exemplo) e ir aumentando o nível de dificuldade, até se chegar na matemática do terceiro ano do Ensino Médio. Porém, depois de assimilado o conteúdo deste texto – isso exige dedicação – você terá desenvolvido uma habilidade razoável na interpretação de gráficos na Temos, novamente, o gráfico de uma reta, que Física e outras ciências; e terá mais chances de representa uma função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é pontuar nas questões do ENEM que exigem raciocínio o gráfico de um movimento uniformemente lógico (acontece que todas as questões exigem). variado. Logo, a equação horária da velocidade descreve uma função do 1º grau: v = a.t + v0. O coeficiente linear b é a velocidade inicial v0, que é a BOA SORTE! ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste caso, o eixo v. Então, v0 = 12 m/s. O coeficiente angular a é a aceleração do corpo a, que é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta). Calculando o valor de a, temos 27 12 15 2 a tg θ 3 então, a = 3 m/s . 5 0 5 Lembre-se que a aceleração, para um movimento uniformemente variado, é igual à variação da velocidade pelo intervalo de tempo:

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