O documento explica o método de completar quadrados, mostrando graficamente como transformar um polinômio de segundo grau em uma forma quadrática perfeita. Através de dividir termos e somar áreas de retângulos e quadrados, chega-se à solução do problema proposto.

1. Método de Completar Quadrados

2.  Transforma o primeiro monômio
(que acompanha o termo “x²”) e já
x +5
apresenta a área de um quadrado
(lado lado).
x x² +5x
 Divide o segundo monômio (que
acompanha “x”) por 2, formando assim
+5 +5x +25
o lado que representa a largura de um
retângulo. Teremos aí dois retângulos.
Em seguida, define a área de cada
retângulo.
 Por fim, para completar o quadrado maior,
põe um pequeno quadrado que preenche o
espaço vazio e calcula sua área.

3.  Perceba que o lado do quadrado ficou (x + 5). Se quisermos
achar a área desse quadrado é só fazer: lado lado, que no
nosso caso é o que está dentro do quadrado.
 Note que a área dos dois retângulos tem termos semelhantes
(x). Por isso, devem ser somados: +5x + (+5x) = +10x.
Assim, a área do quadrado é x² + 10x + 25.
 Retomamos então a primeira equação e pomos o termo que
não possui incógnita para o 2º membro (depois do igual)
lembrando de mudar a operação (+ para –): x² +10x = –25

4.  Como x² + 10x + 25 = (x + 5)², podemos dizer que:
(x + 5)² – 25 = –9
(x + 5)² = –9 + 25
(x + 5)² = 16
 Assim...
S = {–9, –1}

5.  Transforma o primeiro monômio
(que acompanha o termo “x²”) e já
x -7,5
apresenta a área de um quadrado
(lado lado).
x x² -7,5x
 Divide o segundo monômio (que
acompanha “x”) por 2, formando assim
-7,5 -7,5x 56,25
o lado que representa a largura de um
retângulo. Teremos aí dois retângulos.
Em seguida, define a área de cada
retângulo.
 Por fim, para completar o quadrado maior,
põe um pequeno quadrado que preenche o
espaço vazio e calcula sua área.

6.  Perceba que o lado do quadrado ficou (x – 7,5). Se quisermos
achar a área desse quadrado é só fazer: lado lado, que no
nosso caso é o que está dentro do quadrado.
 Note que a área dos dois retângulos tem termos semelhantes
(x). Por isso, devem ser somados: –7,5x + (–7,5x) = –15x.
Assim, a área do quadrado é x² – 15x + 56,25.
 Retomamos então a primeira equação e pomos o termo que
não possui incógnita para o 2º membro (depois do igual)
lembrando de mudar a operação (+ para –): x² – 15x = –54

7.  Como x² – 15x + 56,25 = (x – 7,5)², podemos dizer que:
(x – 7,5)² – 56,25 = –54
(x – 7,5)² = –54 + 56,25
(x – 7,5)² = 2,25
 Assim...
S = { 6, 9}