Equação do 2º grau resolução.pptx

MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º Ano
Equação do 2º grau
resolução

MATEMÁTICA, 9º Ano
Equação do 2º grau resolução
Tem-se observado que uma abordagem das equações do segundo grau
apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por provocar
dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como método único
e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver o problema.
Assim, é recomendável que, nessa etapa, os alunos sejam incentivados a
resolver equações de segundo grau utilizando a fatoração e o processo de
completar quadrados, que, além de serem métodos eficazes podem dar
significado à fórmula de Bhaskara. (Base Curricular Comum para as redes públicas do estado de
Pernambuco , Matemática, 2008, página 99.)
BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICAS DO ESTADO DE
PERNAMBUCO - MATEMÁTICA
No trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como a formulação e
a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas,
variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (PCN,
terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)
CONTEÚDOS PROPOSTOS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO QUARTO CICLO:

RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU
SINTAM-SE TODOS CONVIDADOS A RESOLVER ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
VOCÊS SÃO CAPAZES DE ME
RESPONDER QUAL É O NÚMERO QUE
ELEVADO AO QUADRADO DÁ 25?
PENSARAM NO NÚMERO 5 NÃO FOI?
PARABÉNS!!!!
EXISTE OUTRO NÚMERO QUE
RESPONDE A ESSA PERGUNTA
SABIAM?
É O NÚMERO -5, OBSERVEM:
VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO
DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO
TEMOS A EQUAÇÃO:
X² = 25
PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25
PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25
OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA
EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA
INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO 2º
GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI COMO
SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS.

OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA
NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0
RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA É
O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A
EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA.
VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA:
x² - 25 = 0
Adicionando + 25 aos dois membros
x² - 25 + 25 = 0 + 25
x² = 25
Extraindo a raiz nos dois membros
√x² = ± √25
x = ± 5
Logo temos:
X’ = - 5 ou X” = + 5
De modo geral, uma equação do tipo
x² = c, em que c ≥ 0, tem como
raízes √c e -√c
OBSERVE QUE AS RAÍZES
ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS.
Geralmente identificamos a primeira raiz por x’(lê-se
xis linha) e a segunda por x” (lê-se xis duas linhas).

AGORA OBSERVE COM ATENÇÃO:
QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0?
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:
X² + 36 = 0
Adicionando – 36 aos dois membros
X² + 36 - 36 = 0 - 36
X² = - 36
√x² = ± √-36
Não existe no conjunto dos números reais, ou
seja, não existe um número real cujo quadra-
do é um número negativo.
X = √-36
Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
VEJA AINDA ESSA OUTRA EQUAÇÃO:
2X² - 18 = 0 RESOLVENDO-A TEMOS:
2X² - 18 + 18 = 0 + 18 Adicionando + 18
aos dois membros
2X² = 18
Dividindo os dois
membros por 2
2X² = 18
2 2
X² = 9
Extraindo a raiz nos dois membros
Extraindo a raiz nos dois
membros
√x² = ± √9
X1 = - 3 ou X2 = + 3
Observe que podemos indicar
também a primeira e a
segunda raiz da equação por X1
e X2, respectivamente.
De modo geral, uma equação
do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0,
pode ser transformada na
equação ax² = - c, e esta em
x² = - c .
a

VAMOS TENTAR RESOLVER O SEGUINTE PROBLEMA :
Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar um
terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse modo, ele
ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a medida do lado do
terreno de formato quadrado de Luís?
REPRESENTANDO O NOVO
TERRENO DE LUÍS POR UMA
FIGURA :
Problema extraído do livro de Matemática: Bianchini/Edwaldo Bianchini, 7 ed.,São Paulo, Moderna, 2011, página 115.
X
X
90 m²
EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:
X²
A área do terreno
na forma de um
quadrado
corresponde a X².
Luís pretende
comprar um
terreno de 90 m²
Após a compra
Luís ficará com
um terreno de
414 m².
X² + 90 = 414
X² + 90 = 414

X² + 90 = 414
Adicionando - 90 aos dois membros
X² + 90 - 90 = 414 - 90
X² = 324
√X² = ± √324
X = ± 18
X’ = - 18 OU X’’ = + 18
Extraindo as raízes nos dois membros
COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM
NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:
O LADO DO QUADRADO
MEDE 18 m.
OBSERVE QUE A
EQUAÇÃO X² + 90 = 414
FOI REDUZIDA AO TIPO
X² = C

AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0
QUAIS SÃO SUAS RAÍZES?
INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS:
X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro:
Colocando o fator comum em
evidência.
X.( X – 4) = 0
Qual a condição necessária
para que o produto entre
dois ou mais fatores seja
igual?
UM DOS FATORES DEVE
SER IGUAL A ZERO!!!!!
LOGO TEMOS:
X = 0
X – 4 = 0
OU
Adicionando + 4
aos dois membros
X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4
PORTANTO AS RAÍZES SÃO:
X’ = 0 OU X’’= 4

RESOLVA O PROBLEMA:
Jeny deseja construir dois
pomares, uma na forma de
um losango e o outro na
forma de um paralelogramo
conforme indicam as figuras
ao lado:
Admitindo que a diagonal
maior do losango mede 3x e
a menor 2x e que o
paralelogramo mede de
altura 2x e sua base mede
x + 5.
Para que Jeny construa esses pomares com áreas
iguais, qual deve ser o valor de x?
Para iniciarmos a resolução do problema
devemos lembrar de como se calcula as áreas do
losango e do paralelogramo.
Área do losango: A = D . d
2
Área do Paralelogramo: A = B . h
D= diagonal maior
d = diagonal menor
B = base
h = altura
VAMOS AGORA
EQUACIONAR O
PROBLEMA.

PARA QUE OS POMARES
TENHA ÁREAS IGUAIS
ADMITIMOS:
ÁREA DO LOSANGO ÁREA DO PARALELOGRAMO
=
LOGO: D . d
2
B . h
=
PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA SABEMOS QUE:
D = 3x d = 2x B = x + 5 h = 2x ENTÃO:
3X . 2X = (X + 5) . 2X
2
Resolvendo a operação indicada no numerador
Aplicando a propriedade distributiva
da multiplicação em relação a adição
no segundo membro.
6X² = 2x² + 10x
2
Simplificando a fração
3x² = 2x² + 10x
Adicionando -2x² - 10x aos dois membros
3x² - 2x² - 10x = 2x² + 10x - 2x² - 10x
Resolvendo as operações indicadas
x² - 10x = 0
Fatorando o primeiro membro:
Colocando o fator comum em
evidência.
x . ( x – 10) = 0

X – 10 + 10 = 0 + 10
Adicionando + 10 aos
dois membros e
resolvendo as operações
indicadas
X = 10
x . ( x – 10) = 0
A condição necessária para
que o produto entre dois
ou mais fatores seja igual a
zero é que um deles deve
ser igual a zero.
LOGO TEMOS:
X = 0
X – 10 = 0
OU
COMO AS MEDIDAS DAS DIMENSÕES DO
LOSANGO E DO PARALELOGRAMO DEVEM SER UM
NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:
Para que Jeny construa esses
pomares com áreas iguais, o
valor de x deve ser 10.

De modo geral, uma equação do tipo ax² + b = 0,
quando fatorada, recai na equação x.(ax + b) = 0.
ax² + bx = 0 = x.(ax + b) = 0
x’ = 0
ax + b = 0 x’’ = - b , com a≠0
a

QUERO VER AGORA SE VOCÊS CONSEGUEM
RESOLVER ESSA EQUAÇÃO:
(X + 1)² = 16
Resolvendo mentalmente:
Pense em um número que elevado ao
quadrado é igual a 16.
4 e -4 elevados ao
quadrado é igual a 16.
PARABÉNS!!!!!! É ISSO MESMO!!!!!
Assim temos: X + 1 = 4 ou X + 1 = - 4
X + 1 = 4
Adicionando - 1 aos
dois membros e
resolvendo a
operação indicada no
segundo membro.
X + 1-1 = 4-1
X = 3 Aplicando o mesmo
procedimento
anterior.
X + 1-1 = - 4-1
X = - 5
Logo 3 e – 5 são as raízes da equação
(x + 1)² = 16:
verificação:
( 3 + 1)² = 4² = 16
( -5 + 1)² = (-4)² = 16

AGORA VEJA QUE CURIOSO:
Desenvolvendo o binômio do primeiro
membro da equação (X + 1)² = 16
temos:
( X + 1)² = ( X + 1). ( X + 1) = 16
X² + 2X + 1 = 16
Adicionando - 16 aos
dois membros
X² + 2X + 1 - 16 = 16 - 16
X² + 2X - 15 = 0
Observa que (x+1)² é um dos
produtos notáveis (quadrado
da soma de dois números
quaisquer) e também pode
ser resolvido de maneira
prática: quadrado do
primeiro, mais duas vezes o
produto do primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do
segundo.
Assim a equação (X+1)² = 16 é igual
a equação X² + 2X - 15 = 0
Logo 3 e – 5 são raízes das
duas equações
Verificação da equação
X² + 2X - 15 = 0
3² + 2. 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0
(-5)² + 2. (-5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0
Quais são as raízes
da equação dada?
Agora resolvam em seu
caderno, com o auxílio
do professor, a equação:
(2x + 6)² = 36
As raízes são 0 e -6
PARABÉNS!!!!!!!!!
VAMOS VER OUTRO MODO DE RESOLVER A
EQUAÇÃO ( X + 1)² = 16 :

( X + 1)² = 16
Extraindo as raízes
nos dois membros
√( X + 1)² = ± √16
X + 1 = ± 4
X + 1 = 4
X + 1 = - 4
X + 1 - 1 = 4 - 1
X + 1 - 1 = - 4 - 1
X = 3
X = - 5
Logo as raízes
são 3 e - 5
De modo geral, para encontrar as raízes de equações do
tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 fazemos:
ax + b = √k x = - b + √k
a
ax + b = - √k x = - b - √k
a

Problema envolvendo uma equação do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 :
Petrúcio Filho desenhou a planta de um terreno em
forma de um quadrado, conforme figura abaixo, e
propôs o seguinte desafio a seu irmão Petrus:
Sabendo que a área do terreno é
de 81 m², qual é a medida dos
lados desse terreno?
x + 6
x + 6
Equacionando o problema:
Como a área do terreno é
de 81 m² temos:
Lembre-se: para calcular a área de um quadrado basta elevar um dos lados ao quadrado.
( x + 6)² = 81
nos dois membros
√( X + 6)² = ± √81
X + 6 = ± 9
X + 6 = 9
X + 6 = - 9
X + 6 - 6 = 9 - 6
X + 6 - 6 = - 9 - 6
X = 3
X = - 15
As raízes da equação (x + 6)² = 81
são 3 e – 15, mas apenas 3 satisfaz
o problema:
O lado do quadrado mede x + 6,
substituindo as raízes encontradas
temos:
3+ 6 = 9
-15 + 6 = - 9
Como a medida do
lado do quadrado
deve ser um
número positivo,
Petrus conclui:
O quadrado tem lados
medindo 9 metros.

OBSERVE ATENTAMENTE A MULTIPLICAÇÃO ABAIXO:
( x + a ) . ( x + b ) Multiplicando os binômios temos:
x² + bx + ax + a.b
Fatorando: colocando o fator
comum em evidência
x² + ( a + b ) . x + ab
Podemos observar que:
( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
Dizemos que ( x + a ) . ( x + b )
é a forma fatorada da
expressão x² + ( a + b). x + ab
Fatorar significa escrever uma adição
algébrica na forma de uma multiplicação.
Observe que na expressão x² + ( a + b). x + ab
o coeficiente de x é dado pela soma a + b e o
terceiro termo que é independente da
incógnita x, é dado pelo produto a.b
Utilizando a observação acima, escreva a
expressão x² + 6x + 9 na forma fatorada.
Como o coeficiente de x da
expressão x² + ( a + b). x + ab é
dado pela soma a + b e o termo
independente da incógnita x, é
dado pelo produto a.b , temos:
a + b = 6 e a . b = 9
Calculando mentalmente
encontramos: a = 3 e b = 3
Então:
x² + 6x + 9
( x + 3 ) . ( x + 3)
Como ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
3 + 3 3 . 3
VAMOS AGORA
UTILIZAR ESSE
MODO DE FATORAR
PARA RESOLVER
ALGUMAS
EQUAÇOES DO 2º
GRAU:
Observe que x² + 6x + 9
é um trinômio
quadrado perfeito:
x² + 6x + 9 = ( x + 3)²

Resolva a equação x² + 10x + 25 = 0
Já sabemos que ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab
Então: a + b = 10 e a . b = 25
Calculando mentalmente: a = 5 e b = 5
Logo, x² + 10x + 25 = ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
1º modo de resolução:
( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
x + 5 = 0 x + 5 = 0
ou
x + 5 - 5 = 0 - 5 x + 5 - 5 = 0 - 5
X’ = - 5 X’’ = - 5
Para que o produto entre dois fatores seja igual a
zero, um dos fatores deve ser zero
2º modo de resolução:
( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0
( x + 5 )² = 0
nos dois membros
√( x + 5)² = ± √0
( x + 5 ) = ± 0
x + 5 = 0
x + 5 - 5 = 0 - 5
x = - 5
Tem duas soluções
iguais, logo:
São duas soluções iguais
Logo as raízes são x’ = - 5 ou x ‘’ = - 5
VEJAMOS MAIS UMA EQUAÇÃO:
Verificação: (-5)² + 10 . (-5) + 25 = 25 – 50 + 25 = 0
Perceba que essa equação é da forma
ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = 10 e c = 25.

Resolva a equação x² - 8x + 16 = 81:
x² - 8x + 16 = 81
Observe que x² - 8x + 16 é um trinômio quadrado
perfeito e tem a seguinte fatoração: ( x – 4 )²
Logo x² - 8x + 16 = ( x – 4 )² = 81
( x – 4 )² = 81
√( X - 4)² = ± √81
x – 4 = + 9 x – 4 = - 9
ou
Adicionando + 4 aos dois membros
x – 4 + 4 = + 9 + 4 x – 4 + 4 = - 9 + 4
x’ = 13 x’’ = - 5
Extraindo as raízes nos dois membros
Verificação:
13² - 8 . 13 + 16 = 169 – 104 + 16 = 65 + 16 = 81
(-5)² - 8.(-5) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81
Lembrem-se dos produtos notáveis: quadrado da
soma de dois números quaisquer e quadrado da
diferença de dois números quaisquer:
( a + b )² = a² + 2ab + b²
( a – b )² = a² - 2ab + b²
Lembre-se também como esses produtos notáveis
são fatorados de maneira prática:
√a² + 2ab + √b²
( a + b )²
VAMOS CONTINUAR
RESOLVENDO EQUAÇÕES:

Quais são as raízes da equação 9x² + 24x + 16 = 169:
Observe que 9x² + 24x + 16 é um trinômio quadrado
perfeito que corresponde ao produto notável
quadrado da soma de dois números onde fatorando
temos :
√9x² + 24x + √16
( 3x + 4 )² = 169
√( 3X + 4)² = ± √169
Extraindo as
raízes nos dois
membros
3x + 4 = ± 13
3x + 4 = + 13 ou 3x + 4 = - 13
3x + 4 = + 13 Adicionando
– 4 aos dois
membros
3x + 4 - 4 = + 13 - 4
3x = 9
Multiplicando
os dois
membros por
13
1 . 3x = 9 . 1
3 3
3x = 9
3 3
x = 3
Aplicando o mesmo
procedimento em
3x + 4 = - 13, temos
x = - 17
3
Logo as raízes da equação original são
x’ = 3 ou x’’ = - 17
3
Observação: Faça a verificação em seu caderno

Vamos agora resolver uma equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0
utilizando o Método de Completar Quadrados criado pelo matemático árabe
Al-Khowarizmi.
Considere a equação x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x + 8 = 0
x² + 6x + 8 - 8 = 0 - 8
x² + 6x = - 8
Adicionando 9 aos dois membros para
formar um Trinômio Quadrado Perfeito no
primeiro membro
x² + 6x + 9 = - 8 + 9
Trinômio quadrado perfeito
( x + 3 )² = 1
√( X + 3)² = ± √1
x + 3 = 1
x + 3 = -1
x + 3 – 3 = 1 - 3 x = -2
x + 3 – 3 = -1 - 3 x = -4
Logo as
raízes são:
x’ = -2 ou
x’’ = -4
Dica: Para entender melhor esse método de
completar quadrados ver sua interpretação
geométrica no site
http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br
/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-
quadrados.html

Vamos resolver o seguinte problema:
Em um triângulo ABC, a medida da
altura relativa à base BC excede a
medida de BC em 1 cm. Esse triângulo
tem 15 cm² de área.
Qual a medida desse altura?
Equacionando o problema:
Vamos representar a medida, em
centímetros, da altura relativa a BC
por h e a medida de BC por h – 1.
A
B h - 1 C
h
Área de um triângulo=
= base . altura
2
Então temos:
15 = (h – 1) . h
2
Vamos simplificar essa expressão
Problema retirado do livro MATEMÁTICA Ideias e desafios, de Iracema e Dulce, 17ª Edição, página 90, Saraiva, Sâo Paulo, 2012

15 = (h – 1) . h
2
Multiplicando os dois membros por 2 e
simplificando
15. 2 = (h – 1) . h . 2
2
Aplicando a propriedade distributiva
da multiplicação em relação a
subtração)
30 = (h – 1) . h
30 = h² - h
30 – 30 = h² – h – 30
h² – h – 30 = 0
Equação do 2º grau completa
Resolvendo as operações indicadas
Vamos resolver a equação h² – h – 30 = 0 utilizando uma
fórmula de um famoso matemático Hindu chamado Bhaskara.
Para resolver a equação ax² + bx + c = 0, com
a ≠ 0 usamos a fórmula de Bhaskara:
x = - b ± √ b² - 4.a.c
2.a
ou
x = - b ± √∆ , em que ∆ = b² - 4.a.c
2.a
Uma condição para a existência de soluções reais é que o
discriminante da equação seja maior ou igual a zero. Logo:
Observação: A expressão
b² - 4ac representada
pela letra grega delta(∆)
é chamada discriminante
da equação
∆ < 0, então a equação NÃO POSSUI RAIZ REAL
∆ > 0, então a equação tem DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES
∆ = 0, então a equação DUAS RAÍZES REAIS IGUAIS

h² – h – 30 = 0 Observe que a = 1, b = -1 e c = - 30
x = - b ± √∆
2.a
Inicialmente vamos
calcular o valor de nosso
discriminante (∆):
∆ = b² - 4.a.c TEMOS
Substituindo os coeficientes a, b e
c por seus respectivos valores
∆ = (-1)² - 4. 1 .(- 30)
∆ = 1 + 120 = 121 Resolvendo as operações indicadas
∆ > 0, a equação possui DUAS RAÍZES DIFERENTES
APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:
Substituindo a, b e ∆
por seus respectivos
valores
x = - (-1) ± √121
2.1
Resolvendo as
operações indicadas
x = 1 ± 11
2 ASSIM:
x’ = 1 + 11
2
x’’ = 1 - 11
2
ou
x’ = 12 = 6
2
x’’ = - 10 = - 5
2
As raízes da equação são x’ = 6 ou
x” = - 5
Como h representa a medida de
uma altura, logo h > 0.
Portanto, a raiz -5 não é
conveniente.
Conclusão: O triângulo
ABC tem 6 cm de altura
Observação: Faça a
verificação em seu
caderno.

VAMOS RESOLVENDO ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS UTILIZANDO A
FÓRMUÇA DE BHASKARA:
A) X² + 14X + 49 = 0
APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:
x = - b ± √∆
2.a
x = - 14 ± √0
2.1
x = -14 ± 0
2
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (14)² - 4. 1 . 49
∆ = 196 - 196 = 0
∆ = 0, a equação possui DUAS RAÍZES IGUAIS
Observe que a = 1, b = 14 e c = 49
Inicialmente vamos calcular o valor de nosso
discriminante (∆):
x = -14 = - 7
2
Logo as raízes são x’ = -7 ou x” = -7, ou seja, a
equação tem uma única raiz real: x = -7
B) -5X² + 12X - 14 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (12)² - 4. (-5) . -14
∆ = 144 - 280 = -136
∆ < 0, a equação NÃO
TEM COMO SOLUÇÃO
UM NÚMERO REAL

Vamos agora resolver uma equação do 2ª grau utilizando um método
criado por um matemático Francês chamado Albert Girard
Albert Girard(1595-1632) demonstrou em seu livro Invention nouvelle em l’algèbra a
relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação:
1ª Relação: SOMA DAS RAÍZES 2ª Relação: PRODUTO DAS RAÍZES
X’ + X” = - b ou S = - b .
a a
Observação: Ver demonstração dessas relações no site
http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm
X’ . X” = c ou P = c .
a a
Observe que quando o a = 1 temos X’ + X” = - b e X’ . X” = C
Vamos resolver a equação 2x² - 10x + 12 = 0 utilizando as relações
de Girard:

Na equação 2x² - 10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c = 12
Segundo Girard:
X’ + X” = - b....
a e
X’ . X” = c ..
a
Assim:
X’ + X” = - (-10)....
2 X’ + X” = 5..
X’ . X” = 12 ..
2 X’ . X” = 6..
Podemos encontrar as raízes da
equação interpretando essas duas
expressões encontradas:
X’ + X” = 5.. X’ . X” = 6..
As expressões nos mostram que
existem dois números que
somados dá 5 e multiplicados dá 6
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?
Os números são 2 e 3 PARABÉNS!!!
Assim as raízes são x’= 2 ou x”= 3
VERIFICAÇÃO:
2. 2² - 10 . 2 + 12 = 8 – 20 + 12 = 0
2. 3² - 10 . 3 + 12 = 18 – 30 + 12 = 0

Vamos resolver a equação x² + 8x + 15 = 0 utilizando as relações de
Girard:
X’ + X” = - b....
a e
X’ . X” = c ..
a
Assim:
X’ + X” = - 8....
1 X’ + X” = - 8
X’ . X” = 15 ..
1 X’ . X” = 15
Na equação x² + 8x + 15 = 0 temos a = 1, b = 8 e c = 15
As expressões nos mostram que
existem dois números que somados
dá - 8 e multiplicados dá 15
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?
Os números são -3 e - 5
Assim as raízes são x’= - 3 ou x”= -5
VERIFICAÇÃO:
(-3)² + 8 . (-3) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0
(-5)² + 8 . (-5) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:
1)Resolva as seguintes equações:
a) X² - 225 = 0
b) X² + 19 = 100
c) 3X² - 13 = 35
2) Determine as raízes
destas equações:
a) X² - 8X = 0
b) 2X² + 10X = 0
c) 3t² - t = 0
3)Determine os valores reais de x
que verificam as equações:
a) (X + 3)² = 64
b) (X - 5)² = 121
c) (X + 11)² = 324
4) Resolva a equação x² - 10x + 21 = 0
utilizando:
a) Fatoração
b) Completamento de quadrado
c) Fórmula de Bhaskara
d) Relação de Girard

GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:
1) :
a) x’= -15 ou x”= 15
b) x’= -9 ou x”= 9
c) x’= -4 ou x”= 4
2)
a) x’= 0 ou x”= 8
b) x’= 0 ou x”= -5
c) t’= 0 ou t”= 13
3
a) x’= 5 ou x”= -11
b) x’= 16 ou x”= -6
c) x’= 7 ou x”= -29
4) x’= 3 ou x”= 7

SUGESTÃO DE ATIVIDADE
PESQUISA NA INTERNET:
Pesquisar problemas em disciplina como Física, Química e Biologia
que utilizem em suas resoluções equações do 2º grau como
ferramenta.
Observação: Os físicos estabelecem leis que podem determinar a
altura h que um objeto atingi em cada instante t, e utilizam a
fórmula h = vt – gt² , onde h = altura, v = velocidade inicial do corpo,
2
g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido.
Considerando h= 20m, v = 25m/s e g= 10m/s² temos:
20 = 25 – 10t² que simplificando é igual a t² – 5t + 4 = 0
2 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

BIBLIOGRAFIA
-Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, 2012.
-PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)
-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes,
2010.
-Iracema Mori, Dulce Satiko Onaga,Matemática: ideias e desafios, 9º ano,17.ed.-São Paulo: Saraiva, 2012.
-Mazzieiro, Alceu dos Santos, Descobrindo e aplicando a matemática: 9º ano,Belo Horizonte: Dimensão,
2012.
-Projeto Araribá, matemática obra coletiva, 8ª série, 1 ed.,São Paulo, Moderna, 2006.
-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 8ª série, São Paulo, FTD, 2000.
-Bonjorno, José Roberto, Matemática: fazendo a diferença, 8ª série, 1 ed, São Paulo, FTD, 2006.
-Giovanni, José Ruy, Matemática pensar e descobrir: o + novo, 8ª série ,São Paulo, FTD, 2002.
-www.somatematica.com.br
-http://tvescola.mec.gov.br/
- http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm
-www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html
-http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-
quadrados.html

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