Engenharia economica avancada introdução

ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA
INTRODUÇÃO – MATERIAL DE APOIO

ÁLVARO GEHLEN DE LEÃO
gehleao@pucrs.br

Engenharia Econômica Avançada

1

1 Introdução à Engenharia Econômica
A engenharia, inserida dentro do contexto de escassez de recursos, pode aplicar
técnicas de análise de projetos de investimento a fim de racionalizar o emprego
dos recursos de capital.
Estas técnicas fazem parte do escopo da engenharia econômica, que utiliza a
matemática financeira como ferramenta básica de avaliação do valor do dinheiro
no tempo.
A visualização de um projeto de investimento pode ser realizada através de
uma representação gráfica denominada diagrama de fluxo de caixa.
Um diagrama de fluxo de caixa de um projeto de investimento é composto de
uma escala horizontal na qual se representam com valores positivos as entradas
de caixa e com valores negativos o investimento de capital e as saídas de caixa –
vide figura 1.
Entradas de Caixa

0

1

2

Investimento
de Capital

3

4

5

6

7

n

períodos

Saídas de Caixa

Figura 1 – Diagrama de Fluxo de Caixa de um Projeto de Investimento

© 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br


2

Os principais recursos considerados para análise de projetos de investimento e a
respectiva remuneração por período de tempo são apresentados na tabela 1.
Tabela 1 – Remuneração dos Recursos por Período de Tempo
Recursos

Remuneração por Período de Tempo

Humanos

Salário

Físicos

Aluguel

Capital

Juros

Os juros são, portanto, o pagamento pela oportunidade de dispor de um capital
durante um determinado período de tempo.

2 Juros e Taxas de Juros
Nas próximas seções são apresentados os conceitos de juros e taxas de juros.

2.1 Juros Simples
Na modalidade de juros simples apenas o valor emprestado rende juros, ou
seja, os juros são diretamente proporcionais ao valor emprestado.

Jn = P × i × n

Fn = P + Jn = P × (1+ i × n)
P = valor emprestado no instante 0
i = taxa de juros periódica
n = número de períodos

Jn = juros acumulados até o instante n
Fn = montante após n períodos


3

2.2 Juros Compostos
Na modalidade de juros compostos, após cada período de capitalização, os
juros, quando não pagos, são adicionados ao valor emprestado, compondo um
novo saldo devedor, e passam a render juros também, ou seja, os juros são
proporcionais ao saldo devedor em cada período.

(

)

Jn = P × (1+ i)n − 1

Fn = P + Jn = P × (1 + i)n
P = valor emprestado no instante 0
i = taxa de juros periódica
n = número de períodos

Jn = juros acumulados até o instante n
Fn = montante após n períodos



4

Problema 1 – Juros Simples e Juros Compostos
Supor um empréstimo (P) de $ 1.000, durante (n) 5 meses, a uma taxa de juros (i)
de 10% ao mês. Calcular os juros mensais, os juros acumulados ( Jn ) e o montante
( Fn ) ao final de cada mês, nas modalidades de juros simples e de juros compostos.
Tabela 2 – Juros Simples e Juros Compostos
Juros Simples

Juros Compostos

Mês

Juros

Juros

Montante

Juros

Juros

Montante

(n)

Mensais

( Jn )

( Fn )

Mensais

( Jn )

( Fn )

0

1.000,00

1.000,00

1

100,00

100,00

1.100,00

100,00

100,00

1.100,00

2

100,00

200,00

1.200,00

110,00

210,00

1.210,00

3

100,00

300,00

1.300,00

121,00

331,00

1.331,00

4

100,00

400,00

1.400,00

133,10

464,10

1.464,10

5

100,00

500,00

1.500,00

146,41

610,51

1.610,51

Modalidade de Juros Simples
Juros acumulados ( J5 ) até o final do mês 5.

J5 = P × i × n = 1.000 × 0,10 × 5 = 500,00
Montante ( F5 ) a ser pago no final do mês 5.

F5 = P + J5 = P × (1 + i × n) = 1.000 × (1 + 0,10 × 5) = 1.500,00



5

Modalidade de Juros Compostos
Juros acumulados ( J5 ) até o final do mês 5.

(

)

(

)

J5 = P × (1 + i)n − 1 = 1.000 × (1 + 0,10 )5 − 1 = 610,51
Montante ( F5 ) a ser pago no final do mês 5.

F5 = P + J5 = P × (1 + i)n = 1.000 × (1 + 0,10 )5 = 1.610,51

Pode-se elaborar uma planilha contendo as expressões para o cálculo dos juros
acumulados ( Jn ) e do montante ( Fn ) a ser pago ao final de um determinado período
(n), considerando o valor do empréstimo (P) e a taxa de juros (i) periódica.



6

2.3 Taxas de Juros – Períodos de Aplicação e de Capitalização
Uma taxa de juros deve conter informações que permitam identificar os seus
períodos de aplicação e de capitalização.
O período de aplicação estabelece o tempo de duração da incidência da taxa de
juros sobre o capital imobilizado e o período de capitalização define a periodicidade
de ocorrência da acumulação dos juros.

2.4 Taxas de Juros Nominais e Taxas de Juros Efetivas
A taxa de juros é considerada efetiva quando o período de aplicação e o período
de capitalização coincidem; caso contrário, a taxa será dita nominal. Assim, por
exemplo:

−

taxa de juros efetiva – 8,75% ao trimestre com capitalização trimestral;

−

taxa de juros nominal – 24% ao ano com capitalização mensal.

Nos problemas envolvendo taxas de juros, adotar-se-á a convenção – a.x. c.y. =
aplicação durante o período x com capitalização a cada período y –, onde os
períodos x e y são designados pelas letras: (a) ano, (s) semestre, (t) trimestre, (b)
bimestre, (m) mês, e (d) dia.
Assim sendo, a taxa de juros de 35% a.a. c.t. é igual a 35% ao ano com
capitalização trimestral.
Para o período de capitalização y pode ser utilizada também a capitalização
contínua (c), indicando que os juros são capitalizados continuamente.
O desenvolvimento da matemática financeira e da engenharia econômica baseiase em taxas de juros efetivas, assim que as taxas de juros nominais devem ser
convertidas em taxas de juros efetivas para sua correta aplicação.



7

2.5 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização
Para conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo
período de capitalização a expressão a ser utilizada é:

iNOM = a.x. c.y. ⇒ iEFE = a.y. c.y.

iEFE =

iNOM
N

N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal

Problema 2 – Conversão de Taxas de Juros
Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período
de capitalização.
Tabela 3 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização
Taxa de Juros

Períodos de Composição = N

Nominal

Taxa de Juros
Efetiva

24% a.a. c.m.

12

2,00% a.m. c.m.

35% a.a. c.t.

4

8,75% a.t. c.t.

15% a.m. c.d.

30

0,50% a.d. c.d.

iEFE =

iNOM 0,24
=
= 2,00 % a.m. c.m.
N
12

iEFE =

iNOM 0,35
=
= 8,75 % a.t. c.t.
N
4

iEFE =

iNOM 0,15
=
= 0,50 % a.d. c.d.
N
30



8

2.6 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação
Para converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo
período de aplicação utiliza-se a seguinte expressão:

iNOM = a.x. c.y. ⇒ iEFE = a.x. c.x.

N

iEFE

⎛ i
⎞
= ⎜1 + NOM ⎟ − 1
N ⎠
⎝

N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal

Problema 3 – Conversão de Taxas de Juros
Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período
de aplicação.
Tabela 4 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação
Taxa de Juros

Períodos de Composição = N

Nominal

Taxa de Juros
Efetiva

24% a.a. c.m.

12

26,82% a.a. c.a.

35% a.a. c.t.

4

39,87% a.a. c.a.

15% a.m. c.d.

30

16,14% a.m. c.m.

N

12

N

4

N

30

iEFE

⎛ i
⎞
⎛ 0,24 ⎞
= ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 +
⎟ − 1 = 26,82 % a.a. c.a.
N ⎠
12 ⎠
⎝
⎝

iEFE

⎛ i
⎞
⎛ 0,35 ⎞
= ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 +
⎟ − 1 = 39,87 % a.a. c.a.
N ⎠
4 ⎠
⎝
⎝

iEFE

⎛ i
⎞
⎛ 0,15 ⎞
= ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 +
⎟ − 1 = 16,14 % a.m. c.m.
N ⎠
30 ⎠
⎝
⎝



9

Pode-se elaborar uma planilha para conversão de taxas de juros nominais em
taxas de juros efetivas, conforme ilustração a seguir.

2.7 Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua
Em uma taxa de juros nominal com capitalização contínua, N tende para um
valor infinito e, portanto, a sua conversão para uma taxa de juros efetiva
equivalente deve ser realizada pela expressão:

iNOM = a.x. c.c. ⇒ iEFE = a.x. c.x.

N

iEFE

⎛ i
⎞
= lim ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = eiNOM − 1
N→ ∞
N ⎠
⎝

Problema 4 – Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua
Uma taxa de juros nominal de 24% a.a. c.c. equivale a uma taxa de juros efetiva
de 27,12% a.a. c.a., pois

iEFE = eiNOM − 1 = e 0,24 − 1 = 0,2712 = 27,12%


10

2.8 Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes
A conversão entre taxas de juros efetivas de períodos diferentes pode ser
obtida a partir da seguinte expressão:
Q

iEFE a = (1 + iEFE b ) − 1
Q = quantidade de períodos b existentes no período a

Problema 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas
Converter uma taxa de juros efetiva de 12% ao bimestre em taxas de juros
efetivas semestrais e anuais.

Considerando

iB = 12% a.b. c.b., tem-se que:
Q

3

iS = (1+ iB ) − 1 = (1+ 0,12) − 1 = 40,49% a.s. c.s.



Q

11

6

i A = (1 + iB ) − 1 = (1 + 0,12 ) − 1 = 97,38% a.a. c.a.

A tabela 5 apresenta uma síntese dos resultados obtidos.
Tabela 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes
Período

Q

Bimestral

Taxa Efetiva
12,00 % a.b. c.b.

Semestral

3

40,49 % a.s. c.s.

Anual

6

97,38 % a.a. c.a.



12

Problema 6 – Conversão de Taxas de Juros de Períodos Diferentes
Converter uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização bimestral em uma
taxa de juros efetiva semestral. Para converter uma taxa de juros nominal em uma
taxa de juros efetiva em que os períodos de aplicação e capitalização não
coincidem deve-se, inicialmente, converter a taxa de juros nominal em uma taxa de
juros efetiva de mesmo período de aplicação ou de mesmo período de capitalização
e, em seguida, converter na taxa de juros efetiva desejada. Assim:

iNOM = 60 % a.a. c.b. (N = 6)
Conversão de taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período
de capitalização:

iEFE =

iNOM 0,60
=
= 0,10 = 10 % a.b. c.b.
N
6



13

Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes:
Q

iEFE a = (1 + iEFE b ) − 1
Conversão de uma taxa de juros efetiva bimestral em uma taxa de juros efetiva
semestral:
Q

iS = (1 + iB ) − 1, onde Q = 3
3

iS = (1 + 0,10 ) − 1 = 0,3310 = 33,10 % a.s. c.s.

A taxa de juros efetiva semestral de 33,10% é equivalente à taxa de juros
nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral.



14

3 Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa
A partir da representação de um projeto de investimento através de um diagrama
de fluxo de caixa podem ser determinadas as relações de equivalência, permitindo
a transformação de um determinado fluxo de caixa em outro equivalente.
Para aplicação das relações de equivalência a periodicidade do fluxo de caixa
deve coincidir com a periodicidade da taxa de juros efetiva.

3.1 Equivalência entre Valor Presente e Valor Futuro
A equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro) permite resolver, por
exemplo, o problema de determinação do valor P a ser investido, a uma taxa de
juros efetiva i, para obtenção de um montante F após n períodos.

F

0

1

2

3

n

P
Figura 2 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Valor Futuro
n

F = P × (1 + i)

⎛ F ⎞
log⎜ ⎟
⎝ P ⎠
n=
log(1 + i)


P = F×

i=n

1
(1 + i)n

F
−1
P


15

3.2 Equivalência entre Série Uniforme e Valor Futuro
A equivalência entre U (série uniforme) e F (valor futuro) permite, por exemplo,
definir o valor dos depósitos programados U para possibilitar uma retirada futura F,
onde n é o número de depósitos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de
mesma periodicidade da série de depósitos.

F

0

1

2

3

n

U
Figura 3 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Série Uniforme e Valor Futuro

(1 + i)n − 1
F = U×
i

U = F×

i
(1 + i)n − 1

⎛ i × F ⎞
log⎜1 +
⎟
U ⎠
⎝
n=
log(1 + i)



16

3.3 Equivalência entre Valor Presente e Série Uniforme
A equivalência entre P (valor presente) e U (série uniforme) permite resolver o
problema de determinação de parcelas mensais U, onde n é o número de
pagamentos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma
periodicidade da série uniforme.

P

0

1

2

3

n

U
Figura 4 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Série Uniforme

n

i × (1 + i)
U = P×
(1 + i)n − 1

(1 + i)n − 1
P = U×
n
i × (1 + i)
⎛ U ⎞
log⎜
⎟
⎝ U − i × P ⎠
n=
log(1 + i)



17

3.4 Utilização de Planilhas Eletrônicas
Nesta seção apresenta-se, de forma sucinta, uma orientação para utilização de
planilhas eletrônicas para solução de problemas de equivalência de capitais em
um fluxo de caixa.
Podem ser utilizadas as funções financeiras contidas na planilha Excel para
determinação de P (valor presente), F (valor futuro), U (série uniforme), n (número
de capitalizações ou prazo total da operação) e i (taxa de juros periódica),
empregando-se as sintaxes a seguir apresentadas:

−

cálculo de P: VP (i; n; U; F; tipo)

−

cálculo de F: VF (i; n; U; P; tipo)

−

cálculo de U: PGTO (i; n; P; F; tipo)

−

cálculo de n: NPER (i; U; P; F; tipo)

−

cálculo de i: TAXA (n; U; P; F; tipo; estimativa)

O significado dos argumentos dessas funções é:

−

P = valor do capital no instante inicial 0

−

F = valor do capital no instante final n

−

U = valor da série de n pagamentos periódicos de 1 a n

−

n = número de capitalizações ou prazo total da operação

−

i = valor da taxa de juros efetiva e periódica

−

tipo = série de pagamentos antecipados (1) ou postecipados (0)

−

estimativa = valor estimado da taxa de juros

Os valores monetários devem ser informados com seus sinais, (+) ou (–), e o
resultado monetário terá o sinal que anula a soma dos capitais equivalentes em um
instante qualquer.



18

Na ilustração abaixo se apresenta a sugestão de uma calculadora elaborada a
partir das funções financeiras da planilha Excel.

Nas células B2, B3, B4, B5, B6, B7 e B8 são registrados os dados de entrada e
nas células C2, C3, C4, C5 e C6 são obtidos os resultados, a partir da seguinte
sintaxe:

−

cálculo de P: C2 = SE (B2 = ”?”; VP (B6 ;B5 ;B4 ;B3 ;B7); ” ”)

−

cálculo de F: C3 = SE (B3 = ”?”; VF (B6; B5; B4; B2; B7); ” ”)

−

cálculo de U: C4 = SE (B4 = ”?”; PGTO (B6; B5; B2; B3; B7); ” ”)

−

cálculo de n: C5 = SE (B5 = ”?”; NPER (B6; B4; B2; B3; B7); ” ”)

−

cálculo de i: C6 = SE (B6 = ”?”; TAXA (B5; B4; B2; B3; B7; B8); ” ”)



19

Problema 7 – Financiamento de Automóvel
Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através de um
financiamento em 24 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao
final de cada mês. Considerando que o pagamento máximo mensal que você pode
admitir é de $ 600 e que você pode dar uma entrada de $ 7.000, qual é o valor do
automóvel que você poderá adquirir dado que a taxa de juros é de 12% ao ano com
capitalização mensal?

Valor do Automóvel = V = E + P = ?
i = 12 % a.a. c.m.

0

1

2

3

n = 24

meses

U = 600
E = 7.000
Figura 5 – Diagrama de Fluxo de Caixa
Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de
capitalização:

iEFE =

iNOM 0,12
=
= 0,01 = 1% a.m. c.m.
N
12



20

P=?
i = 1 % a.m. c.m.

0

1

2

3

n = 24

meses

U = 600
Aplicando a relação de equivalência entre P e U:

(1 + i)n − 1 = 600 × (1 + 0,01)24 − 1
P = U×
n
0,01× (1 + 0,01)24
i × (1 + i)

= 12.746,03

Valor do Automóvel = V = E + P = 7.000 + 12.746,03 = 19.746,03.



21

Problema 8 – Plano de Aposentadoria
Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito
inicial de $ 1.200 e deposite $ 50 ao final de cada mês nos próximos 30 anos. Qual o
montante acumulado, considerando que a conta remunera os depósitos com uma
taxa de juros de 9% ao ano com capitalização mensal?

F = F' + F" = ?
i = 9 % a.a. c.m.

0

1

2

3

n = n' = n" = 360 meses

U" = 50
P' = 1.200
capitalização:

iEFE =

iNOM 0,09
=
= 0,0075 = 0,75% a.m. c.m.
N
12



22

F = F' + F" = ?
i = 0,75 % a.m. c.m.

0

1

2

3

n = n' = n" = 360 meses

U" = 50
P' = 1.200
Cálculo de F' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e P):
n'

F' = P'×(1 + i) = 1.200 × (1 + 0,0075 )360 = 17.676,69



23

Cálculo de F'' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e U):

(1 + i)n" − 1 = 50 × (1 + 0,0075)360 − 1 = 91.537,17
F" = U"×
i

0,0075

Pode-se calcular diretamente o valor de F = F' + F'' = 17.676,69 + 91.537,17,
utilizando os valores de P' e U'' de forma simultânea, pois o valor de n = n' = n''.

Você disporá de um montante de $ 109.213,87 quando se aposentar daqui a 30
anos.



24

Problema 9 – Caderneta de Poupança
Você depositou $ 8.000 em uma caderneta de poupança que rende juros com
uma taxa de 6% ao ano com capitalização mensal. Se você retirar $ 1.000 ao final
de cada ano, em quanto tempo os recursos se esgotarão?

i = 6% a.a. c.m.
U = 1.000

0

1

2

3

n=?

anos

P = 8.000
Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de aplicação:
N

iEFE

12

⎛ i ⎞
⎛ 0,06 ⎞
= ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 +
⎟ − 1 = 0,0617 = 6,17 % a.a. c.a
N ⎠
12 ⎠
⎝
⎝



25

i = 6,17 % a.a. c.a.
U = 1.000

0

1

2

3

n=?

anos

P = 8.000
Aplicando as relações de equivalência entre P e U, calcula-se n:

1.000
⎛
⎞
⎛ U ⎞
log⎜
⎟
⎟ log⎜
⎝ U − i × P ⎠ =
⎝ 1.000 − 0,0617 × 8.000 ⎠ = 11,36 anos
n=
log(1 + i)
log(1 + 0,0617)

Ou seja, é permitida a retirada de 11 parcelas anuais de $ 1.000.



26

A questão pendente: qual é o valor residual no 11° ano ?
Calcula-se, inicialmente, o valor P' que deveria ter sido depositado para que
apenas 11 retiradas anuais de $ 1.000 pudessem ser efetuadas.
i = 6,17 % a.a. c.a.
U' = 1.000

0

1

2

3

n' = 11

anos

P' = ?

Aplicando a relação de equivalência entre P e U, obtém-se:

(1 + i)n' − 1 = 1.000 × (1 + 0,0617)11 − 1 = 7.818,75
P' = U'×
n'
11
i × (1 + i)
0,0617 × (1 + 0,0617 )



27

Calcula-se, então, o P'' extra que foi depositado e, em seguida, o F'' residual:
P'' = P – P' = 8.000 – 7.818,75 = 181,25

F'' = ?
i = 6,17 % a.a. c.a.

0

1

2

3

n'' = 11

anos

P'' = 181,25
Aplicando a relação de equivalência entre F e P, obtém-se F'' residual:
n' '

F" = P"×(1 + i) = 181,25 × (1 + 0,0617 )11 = 350,19



28

Problema 10 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa
Você pretende adquirir um computador através de um financiamento em 18
parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.
Considerando que o máximo pagamento mensal que você pode admitir é de $
240, determinar o mínimo valor da entrada para que você possa adquirir um
computador no valor de $ 5.000, através de um financiamento com taxa de juros de
9% ao trimestre com capitalização mensal.
A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 10.



29

Problema 11 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa
Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito
inicial de $ 2.000 e que você pretende dispor de $ 85.000 daqui a 20 anos.
Calcular o valor dos depósitos iguais e consecutivos a serem realizados ao
final de cada um dos próximos 40 semestres, considerando que a conta de
aposentadoria remunera os depósitos com uma taxa de juros de 8% ao ano com
capitalização mensal.



30

4 Sistemas de Amortização de Financiamentos
Para que um projeto de investimento possa ser realizado é necessário que haja
disponibilidade de recursos, sejam eles próprios ou de terceiros. No caso de
insuficiência de recursos próprios pode-se recorrer a um financiamento.
O valor do financiamento – o principal – deve ser restituído juntamente com a
remuneração do capital – os juros – à instituição financeira que o concedeu. A
forma como o principal é devolvido, acrescido de juros, constitui o sistema de
amortização de um financiamento.
Considere um sistema de amortização de um financiamento, a ser liquidado ao
final do período n.
P = SD 0

SD

t -1 SD t
AM

0

1

2

t -1

AM

t -1
AM t

n

t

n

Jn
J

t -1

An
Jt

A

t -1
At

Figura 13 – Sistema de Amortização de um Financiamento
As expressões para o cálculo do saldo devedor ao final do período
juros

Jt , da amortização AMt

e do pagamento

SD t ,

dos

A t , em cada instante t, são:

SDt = SDt −1 − AMt
Jt = SDt −1 × i
A t = AMt + Jt
No último instante n, o saldo devedor

SDn = 0 e a amortização AMn = SDn−1.



31

4.1 Sistema de Amortizações Constantes
O Sistema de Amortizações Constantes é utilizado nos financiamentos de
longo prazo, principalmente para aquisição de bens duráveis.
O valor da amortização AM é constante para um financiamento P e um prazo n e
é calculado por

AM =

P = SD 0

0

P
.
n

SD

1

SD t

t -1

2

t -1

t

AM

n

AM

AM
J t -1
A t -1

At
A

Jt
At

t -1

Figura 14 – Sistema de Amortizações Constantes

As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período
juros

Jt

e do valor do pagamento

At

SD t ,

dos

em cada instante t são:

SD t = SD t −1 − AM
Jt = SD t −1 × i
A t = AM + Jt

SDn = 0 e a amortização AM = SDn−1.



32

Problema 12 – Sistema de Amortizações Constantes
Supor um financiamento com as seguintes características: principal de $ 50.000,
taxa de juros efetiva de 8% ao ano e pagamento em parcelas anuais, ao final de
cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das
amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes, bem como o saldo devedor
ao final de cada período.
Tabela 6 – Sistema de Amortizações Constantes
At

t

Jt

AM

0

SDt
50.000,00

14.000,00

1

4.000,00

10.000,00

40.000,00

13.200,00

2

3.200,00

10.000,00

30.000,00

12.400,00

3

2.400,00

10.000,00

20.000,00

11.600,00

4

1.600,00

10.000,00

10.000,00

10.800,00

n=5

800,00

10.000,00

0,00




33

4.2 Sistema de Pagamento Periódico de Juros
Nesse sistema de amortização, denominado Sistema Americano, em cada
parcela são pagos apenas os juros sobre o saldo devedor durante o período de
financiamento.
O saldo devedor é amortizado integralmente na última parcela e, portanto, não
se altera ao longo do período de financiamento.
P = SD 0

SD

t -1

SD t

t
0

1

2

n

t -1
Jt

Jn

At
AM n = SD 0

A n = AM n + J n

Figura 15 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros
As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período
juros

Jt

e do valor da parcela

At

SD t ,

dos

em cada instante t ≠ n, são as seguintes:

Jt = SD t −1 × i
A t = Jt
SD t = SD t −1
onde

AMn = SD0

e

SDn = 0

Jn = SDn −1 × i = SD0 × i .


e a parcela

An = AMn + Jn ,


34

Problema 13 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros
cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor das parcelas, dos juros e das
amortizações pelo Sistema de Pagamento Periódico de Juros, bem como o saldo
devedor ao final de cada período.
Tabela 7 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros
At

t

J

AMt

0

SDt
50.000,00

4.000,00

1

4.000,00

0,00

50.000,00

4.000,00

2

4.000,00

0,00

50.000,00

4.000,00

3

4.000,00

0,00

50.000,00

4.000,00

4

4.000,00

0,00

50.000,00

54.000,00

n=5

4.000,00

50.000,00

0,00




35

4.3 Sistema de Amortização com Prestações Uniformes
O Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, utilizado nas compras
a prazo de bens de consumo, constitui-se em uma série uniforme de n pagamentos
de valor U para a liquidação de um financiamento P.
O valor das prestações uniformes U é determinado a partir da relação de
equivalência entre U e P.

n

i × (1 + i)
U = P×
(1 + i)n − 1
Assim, o valor do pagamento

U = AMt + Jt

é uma constante em qualquer

instante t, para uma determinada taxa de juros i e um prazo n, dado um
financiamento P e, portanto,

U = AMt −1 + Jt −1 = AMt + Jt = AMt +1 + Jt +1
P = SD 0

SD

t -1 SD t
AM

0

1

2

t -1

t

t -1

n

J
U

t -1

U

Figura 16 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes


AM t

Jt

U


36

As relações utilizadas para determinar o saldo devedor no final do período
os juros

Jt

e a amortização

SD t ,

AMt em cada instante t são:

Jt = SD t −1 × i
SD t = SD t −1 − AMt
k

AMt + k = AMt × (1 + i)





37

Problema 14 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes
cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das
amortizações pelo Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, bem como o
saldo devedor ao final de cada período.
Tabela 8 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes
U

t

Jt

AMt

0

SDt
50.000,00

12.522,82

1

4.000,00

8.522,82

41.477,18

12.522,82

2

3.318,17

9.204,65

32.272,53

12.522,82

3

2.581,80

9.941,02

22.331,51

12.522,82

4

1.786,52

10.736,30

11.595,21

12.522,82

n=5

927,61

11.595,21

0,00




38

Um determinado financiamento será liquidado em (n) 12 parcelas mensais, iguais
e consecutivas (U), a serem pagas ao final de cada mês. Sabe-se que a quinta
amortização ( AM5 ) será de $ 32.974,25 e a oitava amortização ( AM8 ) será de $
40.394,87. Determinar o valor financiado (P) e a taxa de juros (i) praticada.
P=?
i=?
AM
0

1

5

5

AM 8

n = 12

8

J

U

5

U

J8

U

Sabe-se que:

AM5 = 32.974,25
AM8 = 40.394,87
Utilizando

a

expressão

k

AMt +k = AMt × (1 + i)

e

considerando

t = 5, k = 3, t + k = 8 , calcula-se a taxa de juros (i) praticada:
3

AM8 = AM5 × (1 + i)

3

40.394,87 = 32.974,25 × (1 + i)
i = 7% a.m. c.m.


que


39

Além disso,


Jn = SDn−1 × i e U = AMn + Jn .

Para n = 12 , pode-se calcular o valor das prestações uniformes (U):
7

7

AM12 = AM5 × (1 + i) = 32.974,25 × (1 + 0,07 ) = 52.949,43
AMn = SDn−1 ⇒ AM12 = SD11 = 52.949,43
J12 = SD11 × i = 52.949,43 × 0,07 = 3.706,46

U = AMn + Jn = AM12 + J12 = 52.949,43 + 3.706,46 = 56.655,89
Calcula-se, finalmente, o valor financiado (P):

(1 + i)n − 1 = 56.655,89 × (1 + 0,07 )12 − 1
P = U×
n
12
i × (1 + i)
0,07 × (1 + 0,07 )

= 450 .000,00

A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação da taxa de juros
praticada e do valor financiado.

O valor financiado será de $ 450.000, com taxa de juros de 7% ao mês.



40

Um financiamento de $ 150.000 será realizado com taxa de juros de 24% ao
semestre com capitalização mensal. Este financiamento será liquidado através de
parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.
Sabendo-se que os juros relativos ao sétimo mês (J7 ) são de $ 4.176,46, pede-se
determinar o prazo total de pagamento (n) e o saldo devedor ao final do décimo mês

(SD10 ) .

P = 150.000,00
J7 = 4.176,46
iNOM = 24% a.s. c.m. (N = 6)
capitalização:

iEFE =

iNOM 0,24
=
= 0,04 = 4% a.m. c.m.
N
6

P = 150.000
SD

10

=?

AM
0

1

7

10

AM

1

7

n=?

J

1

J = 4.176,46
7

U
i = 4% a.m. c.m.
U

U




41

Pode-se calcular o valor dos juros a serem pagos ao final do primeiro mês:

P = SD0 = 150.000,00
J1 = SD0 × i = 150.000 × 0,04 = 6.000,00
A seguir calcula-se o valor da amortização
O

valor

da

prestação

uniforme

é

AM1 ao final do primeiro mês.

U = AM1 + J1 = AM7 + J7 ,

onde

AM7 = AM1 × (1 + i)6 , J1 = 6.000,00 e J7 = 4.176,46 .
Assim,

AM1 + J1 = AM1 × (1 + i)6 + J7
AM1 + 6.000 = AM1 × (1 + 0,04 )6 + 4.176,46
AM1 = 6.873,00
Então,

U = 6.873 + 6.000 = 12.873,00
Calcula-se, finalmente, o prazo total de pagamento (n), aplicando as relações de
equivalência entre P e U:

12.873
⎛
⎞
⎛ U ⎞
log⎜
⎟
⎟ log⎜
⎝ U − i × P ⎠ =
⎝ 12.873 − 0,04 × 150.000 ⎠ = 16 meses
n=
log(1 + i)
log(1 + 0,04 )
Passa-se, então, ao cálculo do saldo devedor ao final do décimo mês.
Inicialmente, calcula-se o valor dos juros pagos no décimo primeiro mês.
Sabendo-se que

U = AM11 + J11, onde AM11 = AM1 × (1 + i)10 , então

U = AM1 × (1 + i)10 + J11
12.873 = 6.873 × (1 + 0,04 )10 + J11
J11 = 2.699,28


Calcula-se, então, o saldo devedor ao final do décimo mês

42

(SD10 ) :

J11 = SD10 ! i
2.699,28 = SD10 ! 0,04
SD10 = 67.482,03
A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação do prazo total de
pagamento e do saldo devedor ao final do décimo mês.

O financiamento será liquidado em 16 pagamentos mensais e o saldo devedor ao
final do décimo mês será de 67.482,03.



43

Um financiamento de $ 280.000 será realizado com taxa de juros efetiva de 8%
ao mês. Este financiamento será liquidado através de parcelas mensais, iguais e
consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.
Sabendo-se que o saldo devedor após o pagamento da sétima parcela (SD7 )
será de $ 163.770,62, pede-se determinar o prazo total de pagamento (n) e o valor
dos juros pagos na décima parcela (J10 ) .



44

4.4 Sistemas de Amortização com Prestações Irregulares
Problema 18 – Financiamento de Imóvel
Uma imobiliária oferece um imóvel, cujo valor é de € 50.000. Dado que você não
dispõe de toda esta quantia para pagamento à vista, a imobiliária lhe apresenta a
seguinte forma de pagamento para aquisição do imóvel.
Pagamento em Reais (R$) de 60% do valor do imóvel, em três parcelas iguais,
pagáveis em Reais, em 30, 90 e 120 dias, com uma taxa de juros de 21% ao
trimestre capitalizados mensalmente. O restante do valor do imóvel deverá ser pago
em Pesos Uruguaios (PU$), com uma entrada – hoje – de PU$ 300.000 e mais
duas parcelas, pagáveis em Pesos Uruguaios, em 60 e 150 dias, com uma taxa de
juros efetiva de 5% ao mês. O valor da parcela em 60 dias deve ser igual ao dobro
do valor da parcela em 150 dias.
Considerar que os meses possuem 30 dias, e que hoje há uma equivalência de
€ 1,00 = R$ 3,00 = PU$ 36,00.
Determinar o fluxo de caixa da forma de pagamento que lhe foi apresentada.
Pagamento em Reais de 60% de € 50.000 = € 30.000, equivalentes, hoje – no
instante 0 –, à R$ 90.000, com financiamento a uma taxa de juros de 21% a.t. c.m.
P' = 90.000
i = 21 % a.t. c.m.

meses
0

1

2

A1

3
A3

4
A4

Figura 19 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais



45

capitalização:

iEFE =

iNOM 0,21
=
= 0,07 = 7% a.m. c.m.
N
3

Cálculo do valor das parcelas

A1 = A 3 = A 4 = S em 30, 90 e 120 dias

P' = 90.000
i' = 7 % a.m. c.m.

meses
0

1

2

A1

3
A3

4
A4


P' =

A1
A3
A4
+
+
(1 + i' )1 (1 + i' )3 (1 + i' )4

90.000 =

S
S
S
+
+
⇒ S = 35.802,76
(1 + 0,07 )1 (1 + 0,07 )3 (1 + 0,07)4

Assim,

A1 = A 3 = A 4 = S = R$ 35.802,76



46

A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos.

Pagamento em Pesos Uruguaios de 40% de € 50.000 = € 20.000, equivalentes
hoje – no instante 0 –, à PU$ 720.000, com uma entrada de PU$ 300.000.
Cálculo do valor a ser financiado, em Pesos Uruguaios:

P" = 720.000 − 300.000 = 420.000

A 2 = 2 × A 5 , em 60 e 150 dias:

P" = 420.000
i" = 5 % a.m. c.m.

meses
0

1

2

3

4

5
A5

A2
Figura 21 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Pesos Uruguaios



P" =

47

A2
A5
+
(1 + i" )2 (1 + i" )5

Considerando

A 2 = 2 × A 5 = T , tem-se que A 2 = T

e

A5 =

T
.
2

Assim,

T
T
2
420.000 =
+
⇒ T = 323.377,28
2
(1 + 0,05 )
(1 + 0,05 )5
Então,

A2 = T = PU$ 323.377,28
A5 =

T
= PU$ 161.688,64
2




48

Problema 19 – Financiamento de Equipamento
Você pretende adquirir um equipamento importado, cujo preço é de R$ 90.000.
Dado que você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, a importadora lhe
apresenta duas opções de pagamento.
Considerar que:

−

os meses possuem 30 dias;

−

hoje há uma equivalência de US$ 1,00 = R$ 2,00.

Apresentar o fluxo de caixa das duas opções de pagamento, em sua
respectiva moeda.
Opção 1 (Pagamento em Reais – R$): uma entrada de R$ 15.000 e o restante
financiado em duas parcelas, pagáveis em Reais em 30 e 90 dias. Na parcela em 30
dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 70% do valor
financiado. Na parcela em 90 dias é pago o restante da dívida. O financiamento é
realizado com uma taxa de juros de 15% ao trimestre capitalizados mensalmente.
Cálculo do valor a ser financiado, em Reais: P = 90.000 – 15.000 = 75.000.

P = 75.000
i = 15 % a.t. c.m.

meses
0

1

2

3
A3

A1



49

Taxa de juros do financiamento em reais:

iNOM = 15% a.t. c.m. (N = 3)
capitalização:

iEFE =

iNOM 0,15
=
= 0,05 = 5% a.m. c.m.
N
3

A1 e A 3 em 30 e 90 dias:


P = 75.000
SD 1

i = 5 % a.m. c.m.

meses
0

1

2

3
A3

A1

A1 = AM1 + J1 = 70% × P + i × P
A1 = 0,70 × 75.000 + 0,05 × 75.000 = 52.500 + 3.750 = 56.250
SD1 = P − AM1 = 75.000 − 52.500 = 22.500
A 3 = SD1 × (1 + i)2 = 22.500 × (1 + 0,05 )2 = 24.806,25



50


Opção 2 (Pagamento em Dólares Americanos – US$): uma entrada de US$
27.000 e o restante em duas parcelas iguais, pagáveis em Dólares Americanos em
120 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 3% ao mês.
Pagamento em Dólares Americanos de R$ 90.000 = US$ 45.000.
Cálculo do valor a ser financiado, em Dólares Americanos:

P' = 45.000 − 27.000 = 18.000
F' = P"
P' = 18.000

i = 3 % a.m. c.m.
4

0

1

2

5

meses

3
U"

Figura 24 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Dólares Americanos


51

Cálculo do saldo devedor atualizado em 90 dias:

F' = P' × (1 + i)n' = 18.000 × (1 + 0,03)3 = 19.669,09

P" = F' ⇒ P" = 19.669,09

A 4 = A 5 = U" em 120 e 150 dias:

n"

2

i × (1 + i)
0,03 × (1 + 0,03 )
U" = P"×
= 19.669,09 ×
= 10 .279,28
n"
(1 + i) − 1
(1 + 0,03 )2 − 1



52

Problema 20 – Sistemas de Amortização de Financiamentos
Você pretende adquirir um equipamento, cujo preço é de $ 80.000. Dado que
você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, o fabricante lhe apresenta
quatro alternativas de financiamento.
Considerar que os financiamentos são realizados com uma taxa de juros
efetiva de 9% ao mês. Considerar, ainda, que os meses possuem 30 dias. Calcular
os valores a serem pagos nas quatro opções alternativas.
Opção A: uma entrada de 30% do valor do equipamento e o restante financiado
em três parcelas, pagáveis em 30, 120 e 150 dias. Na parcela em 30 dias se paga
juros sobre o saldo devedor mais amortização de 60% do valor financiado. Nas
parcelas em 120 dias e em 150 dias é pago o restante da dívida. O valor da
parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 150 dias.
Opção B: sem entrada, com um financiamento em três parcelas, pagáveis em
30, 90 e 180 dias. Na parcela em 30 dias são pagos juros sobre o saldo devedor.
Na parcela em 90 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de
40% do saldo devedor. Na parcela em 180 dias é liquidado o financiamento.
Opção C: sem entrada, com um financiamento em quatro parcelas, pagáveis em
60, 90, 150 e 180 dias. Na parcela em 60 dias são pagos juros sobre o saldo
devedor. O valor da parcela em 90 dias é igual ao dobro do valor da parcela em 60
dias. O financiamento é liquidado com duas parcelas iguais, pagas em 150 dias e
em 180 dias.
Opção D: uma entrada de 20% do valor do equipamento e o restante financiado
em três parcelas, pagáveis em 60, 120 e 180 dias. O valor da parcela em 60 dias é
igual à metade do valor da parcela em 180 dias. O valor da parcela em 120 dias é
igual ao triplo do valor da parcela em 180 dias. Na parcela em 180 dias é liquidado
o financiamento.



A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção A.

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção B.


53


A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção C.

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção D.


54

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