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ENGENHARIA
                   ECONÔMICA I

                   ANÁLISE DE
                 INVESTIMENTOS


        Prof. Edson de Oliveira Pamplona
       Prof. José Arnaldo Barra Montevechi



                   2000




            OBJETIVO

Capacitar os participantes a analisar a
viabilidade econômica e financeira de
            Investimentos




                                             1
SUMÁRIO
1. Introdução
2. Matemática Financeira
3. Critérios de Decisão
4. Depreciação e Imposto de Renda
5. Financiamentos
6. Análise de Sensibilidade
7. Análise sob condições de inflação
6. Análise da Viabilidade de Projetos
   Industriais




             BIBLIOGRAFIA
   1. HIRSCHFELD, Henrique Engenharia Econômica e Análise de Custos,
   5_ ed. São Paulo: Atlas, 1992

   2. CASAROTTO, Nelson; KOPITTKE, Bruno H. Análise de
   Investimentos, São Paulo: Atlas, 1995.

   3. OLIVEIRA, J.A. N. - “Engenharia Econômica: Uma abordagem às
   decisões de investimento”, Mac Graw -Hill.

   4. PAMPLONA, Edson O. e MONTEVECHI, J. A. B. Engenharia
   Econômica I Apostila preparada para cursos da EFEI e FUPAI, 1997.

   5. REVISTAS: Engineering Economist, Industrial Engineering, Harvard
   Business Review e outras.




                                                                         2
INÍCIO DOS ESTUDOS
  SOBRE ENGENHARIA
      ECONÔMICA
    Estados Unidos em 1887,
    quando Arthur Wellington
     publicou seu livro: The
   Economic Theory of Railway
            Location.




ENGENHARIA ECONÔMICA
• Importantes para todos que precisam
  decidir sobre propostas tecnicamente
  corretas;
• Fundamentos podem ser utilizados tanto
  para empresas privadas como estatais;
• Todo fundamento se baseia na
  matemática financeira, que se preocupa
  com o valor do dinheiro no tempo.




                                           3
EXEMPLOS
• Efetuar o transporte de materiais
  manualmente ou comprar uma correia
  transportadora;
• Fazer uma rede de abastecimento de
  água com tubos de parede grossa ou fina;
• Substituição de equipamentos obsoletos;
• Comprar um carro a prazo ou à vista.




    PRINCÍPIOS BÁSICOS
• Devem haver alternativas de
  investimento;
• As alternativas devem ser expressas em
  dinheiro;
• Só as diferenças entre alternativas são
  relevantes;
• Sempre será considerado o valor do
  dinheiro no tempo;
• O passado geralmente não é considerado.




                                             4
CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO
     DE UM PROJETO

1. Critérios financeiros: disponibilidade de
  recursos;
2. Critérios econômicos: rentabilidade do
  investimento;
3. Critérios imponderáveis: fatores não
  convertidos em dinheiro;




2. Matemática Financeira




                                               5
2. Matemática Financeira
    “Não se soma ou subtrai quantias em
  dinheiro que não estejam na mesma data”
JUROS - Pagamento pelo uso do capital no tempo

 Salário         Fatores de Produção       Aluguel

           Trabalho              Terra



                      Capital

                                  Juros




           2. Matemática financeira
Juros Simples
                                   J=P.i.n
                                    F=P+J
    • J : Juros                   F=P+P.i.n
    • i : Taxa de juros
    • n : Número de Períodos
    • P : Principal
                             F=P(1+i.n)
    • F : Valor Futuro



                            F          F
       P          F




                                                     6
2. Matemática financeira
                                         • J : Juros
Juros compostos                          • i : Taxa de juros
                                         • n : Número de Períodos
                                         • P : Principal
        F1 = P ( 1 + i )                 • F : Valor Futuro
 F2 = F1 ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) 2
       F3 = P ( 1 + i ) 3



                                                                    F3
                                                    F2
F=P(1+i)n                     P         F1




            2. Matemática financeira
Comparando juros Simples co Compostos:
Suponha:
Principal = R$ 100000
Taxa de juros = 20% a. a.
Número de períodos = 3 anos
   160000

   150000

   140000

   130000
                                                           J. Simples

   120000

   110000

   100000
                0         1         2         3




                                                                         7
2. Matemática financeira
Comparando juros Simples co Compostos:
Suponha:
Principal = R$ 100000
Taxa de juros = 20% a. a.
Número de periodos = 3 anos
    180000
    170000
    160000
    150000
    140000                                       J. Simples
                                                 J. Compostos
    130000
    120000
    110000
    100000
                 0       1       2       3




        2. Matemática financeira

     Fluxo de Caixa

                                                     (+)
             0       1       2       3       n


                                                      (-)




                                                                8
2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre P e F
                                                      F

     P



         0                                        n


         F = P ( 1 + i ) n = P ( F/P, i , n )




      2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre P e F
                                                      F

     P



         0                                        n


         P = F ( 1 + i ) - n = F ( P/F, i , n )




                                                          9
2. Matemática financeira

EXEMPLO II.2
Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a
uma taxa de 3,6 % para um período de 35 dias. Qual o
valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação a
poupança esta aplicação é interessante?




        2. Matemática financeira
EXEMPLO II.2
SOLUÇÃO:
F=P(1+i)n            = 30.000 ( 1 + 0,036 ) 1
F = 31.080            JUROS = F - P = 1.080
I.R. (15%) = 0,15 x 1.080 = 162

JUROS LIQUIDOS = 1.080 - 162 = 918
 DE FATO TEMOS:              F = 30.918
 30.918 = 30.000 ( 1 + i) 1            i = 3,06%




                                                           10
2. Matemática financeira
 EXEMPLO II.2
 SOLUÇÃO:
  F = P ( 1 + i 35 dias) 1 (1)           F = P ( 1 + idiário) 35 (2)
  (1) = (2)
P ( 1 + i 35 dias) 1 = P ( 1 + idiário) 35
( 1 + 0,0306) 1 = ( 1 + idiário) 35                   idiário= 0,08615%
 ( 1 + i 30 dias) 1 = ( 1 + idiário) 30               imensal = 2,617%

Poupança para o dia 17/11                                 2,39633%




            2. Matemática financeira
    RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
    Relação entre P e A
        P                           A        A
                   A       A                         A



            0                                         n

      P = A ( 1 + i ) - 1 + A ( 1 + i ) - 2+ . . . + A ( 1 + i ) - n


       P = A [ ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + . . . + ( 1 + i ) -n]




                                                                          11
2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre P e A




       ( 1 + i )n − 1
 P = A            n            = A ( P/A , i , n )
       (1 + i) i 


       ( 1 + i )n i 
 A = P          n                = P ( A/P , i , n )
       ( 1 + i ) - 1




      2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A
                                                     F
               A       A       A        A       A



       0                                         n

  F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1


 F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]




                                                                    12
2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A




      ( 1 + i )n − 1
F = A                       = A ( F/A , i , n )
             i      


             i      
 A = F          n             = F ( A/F , i , n )
       ( 1 + i ) - 1




      2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Séries em gradiente                      (n - 1) G
                                    3G
                           2G
                      G
                                         ....

      0      1        2                         n


                 P = G ( P/G , i , n )
                 A = G ( A/G , i , n )
                 F = G ( F/G , i , n )




                                                      13
2. Matemática financeira
        Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
 Equivalência entre Taxas Efetivas

                              F
                                        F = P( 1 + i a ) 1

                       1 ano ou         F = P( 1 + i m ) 12
   P                   12 meses
                                   ( 1 + i a ) 1 = ( 1 + i m ) 12



    ( 1 + ia ) = ( 1 + i sem )2 = ( 1 + im )12 = ( 1 + i d )360




          2. Matemática financeira
  SÉRIES PERPÉTUAS
                     ( 1 + i ) n − 1
               P = A             n  
                     (1 + i) i 
                   ( 1 + i ) n − 1
 P =
        lim n →∞  ( 1 + i ) n i 
                A 
                                  
                                                        0

                   ( 1 + i )n         1            
P = A                           −                  
        lim n → ∞  ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n
                                                  i
                                                    
                                    1
                    P = A •
                                    i




                                                                    14
2. Matemática financeira
      Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente
  Taxa Nominal
 O período de capitalização é diferente do expresso na taxa

 Exemplos:
 • Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am
 • SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am


  12 % a.a.c.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m. = 12,68 % a.a.

    Nominal                        Efetiva        Efetiva




3. Análise de Alternativas de Investimentos
              Critérios para Análise
              Pay - Back                              CUI
                                                      DA
                                                      DO
        Benefício / Custo
     Valor Presente Líquido                                   E
                                                              X
                                                              A
               Valor Anual                                    T
                                                              O
    Taxa Interna de retorno                                   S




                                                                  15
3. Análise de Alternativas de Investimentos


 UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS DE
ENGENHARIA ECONÔMICA NAS
MAIORES EMPRESAS DO BRASIL




  Utilização de Critérios de Engenharia
                Econômica
                  Para poucos
                   ou nenhum
Para projetos
                    projeto
  acima de                                      Para todos os
                      2%
determinado
                                                  projetos
    valor                                           31%
    28%




    Para alguns
      tipos de                  Para a maioria
      projetos                   dos projetos
       12%                          27%




                                                                16
Critério Principal utilizado

           Taxa de        Outros        Urgência
           retorno          10%           3%
           contábil
              7,5%
                                                                       TIR
                                                                       49%
   VPL ou
assemelhado
    11%
           Payback com
                                     Payback sem
              atualização
                                     atualização
                  14%
                                         5%




            Critério Complementar utilizado

                          Urgência                 TIR
                              13%                  16%
                                                              Payback sem
       Outros
                                                               atualização
         15%
                                                                   9%



Taxa de retorno
   contábil
    7,5%                                                 Payback com
                       VPL ou                            atualização
                     assemelhado                            23%
                        20%




                                                                             17
3. Análise de Alternativas de Investimentos
             Pay - Back
É o Tempo de Recuperação do Investimento
                           500 500
Exemplo
                    300
              200

                                      T = 3 anos



     1.000




3. Análise de Alternativas de Investimentos
             Pay - Back
Erros                     500 500
                    300
             200
                                      T = 3 anos


    1.000
             500                500
                    300
                          200          T = 3 anos


    1.000      O segundo investimento é melhor
               mas o método pay-back falha




                                                    18
3. Análise de Alternativas de Investimentos
             Pay - Back
                                                   500
Outro Erro                500
                    300
              200

                                      T = 3 anos
     1.000
             500                500
                    300
                          200         T = 3 anos

             Aparentemente o primeiro investimento
    1.000
             é melhor mas o método pay-back falha




3. Análise de Alternativas de Investimentos
  Taxa Mínima de Atratividade - TMA

É a taxa a partir da qual se aceita investir

Conceitos:
1. TMA- Maior taxa “sem risco” do mercado


        2. TMA- Custo do Capital

                    Mais Aceito




                                                         19
3. Análise de Alternativas de Investimentos
  Taxa Mínima de Atratividade - TMA
   2. TMA- Custo do Capital
      Ativo                   Passivo

                              Circulante:
    Circulante:                                         15 %
                         Fornecedores, Valores
Disponível, Estoques,     a pagar a curto prazo
      Clientes                                                 18
                         Exigível a longo prazo:        17 %
                             Financiamentos
                                                               %
    Permanente:
                          Patrimônio Líquido:
Máq., Equip., Veículos                                  22 %
                                Capital,
Terrenos, Construções
                           Lucros Acumulados




 Taxas mínimas de atratividade adotadas

             TMA=20%                        TMA=10%
               16%                                21%




   TMA=15%                                          TMA=12%
      37%                                               26%




      Média das respostas: TMA = 16% ao ano




                                                                    20
3. Análise de Alternativas de Investimentos
            Valor Presente Líquido


        0
              1       2       3          n
                                         Se VPL positivo:
                          VPL
                                         ATRATIVO
                  0
                              1    2     3            n




3. Análise de Alternativas de Investimentos
 Valor Presente Líquido - Exemplo
                                              2.000
Reforma:
Investimento = $ 10.000
Redução de custos = $ 2.000                    VIÁVEL
n = 10 anos
                          VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, 8, 10)
Aquisição:                              = 3420          10.705
Investimento = $ 35.000
                                             4.700
Venda Equip. = $ 5.000
Ganhos = $ 4.700
Valor Residual = $ 10.705                    VIÁVEL
                                           Melhor opção
TMA= 8 %              VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , 8%, 10) +
                          10.705 (P/F, 8%, 10) = 6.496




                                                                 21
3. Análise de Alternativas de Investimentos
        Valor Anual - Exemplo

           2.000
                                       VIÁVEL

            VAnual = - 10.000(A/P, 8%, 10) + 2.000
                          = 509,7
10.000            10.705
       4.700                      VIÁVEL
                                Melhor opção
          VPL = - 30.000(A/P, 8%, 10) + 4.700 +
              10.705 (A/F, 8%, 10) = 968,1
30.000




3. Análise de Alternativas de Investimentos
           Taxa Interna de Retorno
      É a taxa que iguala o retorno ao investimento
      É a taxa que iguala o Valor Presente a zero
                                       VPL

                                                      TIR

  0
       1                                                    i
              2       3            n
           VPL = - Invest. + Resultados (P/A, i, n)




                                                                22
3. Análise de Alternativas de Investimentos
 Taxa Interna de Retorno - Exemplo

Reforma:
            2.000


             VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10)
   10.000    0 = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10)
             (P/A, i, 10) = 10.000 / 2.000
             (P/A, i, 10) = 5               VIÁVEL

             Da tabela: TIR = 15,1 % > TMA




3. Análise de Alternativas de Investimentos
 Taxa Interna de Retorno - Exemplo
                      10.705
Aquisição: 4.700


            VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , i%, 10) +
   30.000       10.705 (P/F, i%, 10)

            P/ i = 13 %    VPL = - 1.343
            P/ i = 11 %    VPL = + 1.449
            P/ i = 12 %    VPL =       3
                                           VIÁVEL
            TIR = 12 % > TMA




                                                      23
3. Análise de Alternativas de Investimentos
   Taxa Interna de Retorno - Exemplo

Reforma:      2.000
                                     TIR = 15,1 %
                                     VPL = 3420
                                   Qual a Melhor ?
   10.000
Aquisição:                  10.705
             4.700                   TIR = 12 %
                                     VPL = 6496


   30.000




 3. Análise de Alternativas de Investimentos
    Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental

Aquisição - Reforma:
                         10.705                      2.000
                 4.700            Menos

                                            10.000
        30.000
                                          10.705
                             2.700
    Melhor Opção:
     Aquisição
                                     TIR = 10,7 % > TMA
                  20.000




                                                             24
3. Análise de Alternativas de Investimentos
  Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental


   VPL
                       Ponto de Fischer
   6496


   3520
                                15,1
                                 %
                                          i

           TMA                                Reforma
            8% 10,7    12
                %      %                  Aquisição




   FLUXOS COM MAIS DE
  UMA INVERSÃO DE SINAL




                                                        25
0
                          1 INVERSÃO DE SINAL
    1   2   3         n



                VPL

                                TIR


                                      i




0
                          1 INVERSÃO DE SINAL
    1   2   3         n



                VPL

                                TIR


                                      i




                                                26
0
                                  2 INVERSÕES DE SINAL
    1   2     3               n


                      VPL

                                          TIR 2
                                  TIR 1


                                                    i




0
                                  3 INVERSÕES DE SINAL
    1   2         3           n


        VPL
                        TIR 2             TIR 3

                      TIR 1


                                              i




                                                         27
QUAL TIR UTILIZAR?



        OUTRO ASPECTO DA TIR
           QUE SE DEVE TER
              CUIDADO!




                               10.000
1.600


0
                                2 INVERSÕES DE SINAL
              1            2



            10.000

0 = 1.600 - 10.000 x (1 + i)-1 + 10.000 x (1 + i)-2

               i1 = 25% e i2 = 400%




                                                       28
10.000
1.600


0

                 1               2



        10.000               -10.000 + 1.600 x (1 + 0,2) = -8.080




                                     10.000



0

                 1               2

                     8.080


             0 = -8.080 - 10.000 x (1 + i)-1


                        i = 23,8%




                                                                    29
CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS



                A. VIDAS DIFERENTES

                B. VIDAS PERPÉTUAS
                C. RESTRIÇÕES FINANCEIRAS
                (MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS)




A. Vidas Diferentes
EXEMPLO III.5                                     Seria a melhor
          Máquina X                                   opção!
 0         1                         12
                                          VPX = -6000-4000(P/A, 12%,12)

                       4000                      VPX = -30777

         6000                                        2800
                         Máquina Y
     0          1                                     18


                              2400

         14000      VPY= -14000-2400(P/A, 12%,18)+2800(P/F,12%,18)
                              VPY= -31035




                                                                          30
A. Vidas Diferentes
     EXEMPLO III.5
                                 MMC (12, 18) = 36

            Máquina X
 0      1                   12                 24                   36
              4000                    4000                 4000

     6000                    6000               6000



     VPX = -6000[1+(P/F,12%,12)+(P/F,12%,24)]-4000(P/A, 12%,36)
            VPX = -40705




A. Vidas Diferentes

     EXEMPLO III.5

                                                             2800
                                      2800
                Máquina Y        18
 0      1                                                           36
                     2400                           2400
      14000                            14000


            VPY= -14000[1+(P/F, 12%, 18)]-2400(P/A, 12%,36)+
                   +2800[(P/F,12%,18)+(P/F,12%,36)]


                                 VPY= -35070




                                                                         31
A. Vidas Diferentes
    EXEMPLO III.5
      Máquina X
0       1                   12                       24                       36
                 4000                    4000                      4000

    6000                        6000                    6000

                  VPX = -40705
                                                                      2800
                                          2800
                    Máquina Y     18
    0       1                                                                  36
                        2400                                2400

        14000                             14000                A melhor
                                   VPY= -35070                  opção!




                               B. Vidas Perpétuas
                                           ( 1 + i )n − 1
                         P =
                               lim n → ∞  ( 1 + i ) n i 
                                        A 
                                                         
                                                          

                           ( 1 + i )n         1                         1
    P = A
                lim n → ∞  ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n i 
                          
                          
                                         −
                                                        
                                                        
                                                               P = A •
                                                                          i

    Exemplo:
    Suponha que um investimento de $ 100.000 gere retornos anuais de
    $ 25.000. Para uma taxa mínima de 20 % ao ano, qual o VPL para
    vida de:
    a) 10 anos
    b) 50 anos
    c) vida infinita




                                                                                    32
B. Vidas Perpétuas
                                  VPL
Solução:      25.000




    100.000
                                                        50   Vida

A) 10 anos:
      VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 10) = 4811,80

B) 50 anos:
      VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 50) = 24.986,26

C) infinito:
      VPL = -100.000 + 25.000 x (1 / 0,2) = 25.000,00




                  B. Vidas Perpétuas
Problema 6 (pág. III.17)




                                                                    33
C. Restrições Financeiras

Alternativas mutuamente exclusivas
• No sentido técnico
• No sentido financeiro
Exemplo:

   Alternativa Investimento Benefícios TIR VPL
                  Inicial    Anuais
        A         10.000      1.628    10 % 1.982
         B             20.000     3.116     9 % 2.934
         C             50.000     7450      8 % 4.832

  Vida esperada: 10 anos
  TMA: 6 % ao ano
  Capital disponível: $ 75.000




                C. Restrições Financeiras
 Solução
     Pacote     Alternativas Investimento    VPL
       1            Nenhuma      (75.000)    Zero
       2                A        10.000      1.982
       3                B        20.000      2.934
       4                C        50.000      4.832
       5               A, B      30.000      4.916
       6               A, C      60.000      6.814
       7               B, C      70.000      7.766
       8             A, B, C     80.000      9.748




                                                        34
C. Restrições Financeiras
Problema:
                             Investimento       Retorno   VPL
Departamento de Produção:
         E1                      2000               275   - 310
         E2                      4000               770     731
Departamento de qualidade:
         F1                      4000           1.075     2605
         F2                      8000           1.750     2753
Departamento de expedição:
         G1                      4000           1.100     2759




              C. Restrições Financeiras
 Solução:
 a) Só as melhores: E1, F2, G1
 b)

 Pacote Alternativas   Investimento         VPL
   1       E2, F1          8.000            3.336
   2       E2, F2         12.000            2.484
   3       F1, G1          8.000            5.358
   4       F2, G1         12.000            5.512
   5     E2, F1, G1       12.000            6.095
   6     E2, F2, G1       16.000            6.243




                                                                  35

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Ee analise investimento

  • 1. ENGENHARIA ECONÔMICA I ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Prof. Edson de Oliveira Pamplona Prof. José Arnaldo Barra Montevechi 2000 OBJETIVO Capacitar os participantes a analisar a viabilidade econômica e financeira de Investimentos 1
  • 2. SUMÁRIO 1. Introdução 2. Matemática Financeira 3. Critérios de Decisão 4. Depreciação e Imposto de Renda 5. Financiamentos 6. Análise de Sensibilidade 7. Análise sob condições de inflação 6. Análise da Viabilidade de Projetos Industriais BIBLIOGRAFIA 1. HIRSCHFELD, Henrique Engenharia Econômica e Análise de Custos, 5_ ed. São Paulo: Atlas, 1992 2. CASAROTTO, Nelson; KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos, São Paulo: Atlas, 1995. 3. OLIVEIRA, J.A. N. - “Engenharia Econômica: Uma abordagem às decisões de investimento”, Mac Graw -Hill. 4. PAMPLONA, Edson O. e MONTEVECHI, J. A. B. Engenharia Econômica I Apostila preparada para cursos da EFEI e FUPAI, 1997. 5. REVISTAS: Engineering Economist, Industrial Engineering, Harvard Business Review e outras. 2
  • 3. INÍCIO DOS ESTUDOS SOBRE ENGENHARIA ECONÔMICA Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro: The Economic Theory of Railway Location. ENGENHARIA ECONÔMICA • Importantes para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas; • Fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais; • Todo fundamento se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. 3
  • 4. EXEMPLOS • Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora; • Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos de parede grossa ou fina; • Substituição de equipamentos obsoletos; • Comprar um carro a prazo ou à vista. PRINCÍPIOS BÁSICOS • Devem haver alternativas de investimento; • As alternativas devem ser expressas em dinheiro; • Só as diferenças entre alternativas são relevantes; • Sempre será considerado o valor do dinheiro no tempo; • O passado geralmente não é considerado. 4
  • 5. CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO DE UM PROJETO 1. Critérios financeiros: disponibilidade de recursos; 2. Critérios econômicos: rentabilidade do investimento; 3. Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro; 2. Matemática Financeira 5
  • 6. 2. Matemática Financeira “Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam na mesma data” JUROS - Pagamento pelo uso do capital no tempo Salário Fatores de Produção Aluguel Trabalho Terra Capital Juros 2. Matemática financeira Juros Simples J=P.i.n F=P+J • J : Juros F=P+P.i.n • i : Taxa de juros • n : Número de Períodos • P : Principal F=P(1+i.n) • F : Valor Futuro F F P F 6
  • 7. 2. Matemática financeira • J : Juros Juros compostos • i : Taxa de juros • n : Número de Períodos • P : Principal F1 = P ( 1 + i ) • F : Valor Futuro F2 = F1 ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) 2 F3 = P ( 1 + i ) 3 F3 F2 F=P(1+i)n P F1 2. Matemática financeira Comparando juros Simples co Compostos: Suponha: Principal = R$ 100000 Taxa de juros = 20% a. a. Número de períodos = 3 anos 160000 150000 140000 130000 J. Simples 120000 110000 100000 0 1 2 3 7
  • 8. 2. Matemática financeira Comparando juros Simples co Compostos: Suponha: Principal = R$ 100000 Taxa de juros = 20% a. a. Número de periodos = 3 anos 180000 170000 160000 150000 140000 J. Simples J. Compostos 130000 120000 110000 100000 0 1 2 3 2. Matemática financeira Fluxo de Caixa (+) 0 1 2 3 n (-) 8
  • 9. 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre P e F F P 0 n F = P ( 1 + i ) n = P ( F/P, i , n ) 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre P e F F P 0 n P = F ( 1 + i ) - n = F ( P/F, i , n ) 9
  • 10. 2. Matemática financeira EXEMPLO II.2 Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 3,6 % para um período de 35 dias. Qual o valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação a poupança esta aplicação é interessante? 2. Matemática financeira EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO: F=P(1+i)n = 30.000 ( 1 + 0,036 ) 1 F = 31.080 JUROS = F - P = 1.080 I.R. (15%) = 0,15 x 1.080 = 162 JUROS LIQUIDOS = 1.080 - 162 = 918 DE FATO TEMOS: F = 30.918 30.918 = 30.000 ( 1 + i) 1 i = 3,06% 10
  • 11. 2. Matemática financeira EXEMPLO II.2 SOLUÇÃO: F = P ( 1 + i 35 dias) 1 (1) F = P ( 1 + idiário) 35 (2) (1) = (2) P ( 1 + i 35 dias) 1 = P ( 1 + idiário) 35 ( 1 + 0,0306) 1 = ( 1 + idiário) 35 idiário= 0,08615% ( 1 + i 30 dias) 1 = ( 1 + idiário) 30 imensal = 2,617% Poupança para o dia 17/11 2,39633% 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre P e A P A A A A A 0 n P = A ( 1 + i ) - 1 + A ( 1 + i ) - 2+ . . . + A ( 1 + i ) - n P = A [ ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + . . . + ( 1 + i ) -n] 11
  • 12. 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre P e A  ( 1 + i )n − 1 P = A n  = A ( P/A , i , n )  (1 + i) i   ( 1 + i )n i  A = P n  = P ( A/P , i , n )  ( 1 + i ) - 1 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre F e A F A A A A A 0 n F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1 F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ] 12
  • 13. 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Relação entre F e A  ( 1 + i )n − 1 F = A  = A ( F/A , i , n )  i   i  A = F n  = F ( A/F , i , n )  ( 1 + i ) - 1 2. Matemática financeira RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA Séries em gradiente (n - 1) G 3G 2G G .... 0 1 2 n P = G ( P/G , i , n ) A = G ( A/G , i , n ) F = G ( F/G , i , n ) 13
  • 14. 2. Matemática financeira Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Equivalência entre Taxas Efetivas F F = P( 1 + i a ) 1 1 ano ou F = P( 1 + i m ) 12 P 12 meses ( 1 + i a ) 1 = ( 1 + i m ) 12 ( 1 + ia ) = ( 1 + i sem )2 = ( 1 + im )12 = ( 1 + i d )360 2. Matemática financeira SÉRIES PERPÉTUAS  ( 1 + i ) n − 1 P = A n   (1 + i) i   ( 1 + i ) n − 1 P = lim n →∞  ( 1 + i ) n i  A     0  ( 1 + i )n 1  P = A  −  lim n → ∞  ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n  i  1 P = A • i 14
  • 15. 2. Matemática financeira Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Taxa Nominal O período de capitalização é diferente do expresso na taxa Exemplos: • Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am • SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am 12 % a.a.c.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m. = 12,68 % a.a. Nominal Efetiva Efetiva 3. Análise de Alternativas de Investimentos Critérios para Análise Pay - Back CUI DA DO Benefício / Custo Valor Presente Líquido E X A Valor Anual T O Taxa Interna de retorno S 15
  • 16. 3. Análise de Alternativas de Investimentos UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA NAS MAIORES EMPRESAS DO BRASIL Utilização de Critérios de Engenharia Econômica Para poucos ou nenhum Para projetos projeto acima de Para todos os 2% determinado projetos valor 31% 28% Para alguns tipos de Para a maioria projetos dos projetos 12% 27% 16
  • 17. Critério Principal utilizado Taxa de Outros Urgência retorno 10% 3% contábil 7,5% TIR 49% VPL ou assemelhado 11% Payback com Payback sem atualização atualização 14% 5% Critério Complementar utilizado Urgência TIR 13% 16% Payback sem Outros atualização 15% 9% Taxa de retorno contábil 7,5% Payback com VPL ou atualização assemelhado 23% 20% 17
  • 18. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Pay - Back É o Tempo de Recuperação do Investimento 500 500 Exemplo 300 200 T = 3 anos 1.000 3. Análise de Alternativas de Investimentos Pay - Back Erros 500 500 300 200 T = 3 anos 1.000 500 500 300 200 T = 3 anos 1.000 O segundo investimento é melhor mas o método pay-back falha 18
  • 19. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Pay - Back 500 Outro Erro 500 300 200 T = 3 anos 1.000 500 500 300 200 T = 3 anos Aparentemente o primeiro investimento 1.000 é melhor mas o método pay-back falha 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Mínima de Atratividade - TMA É a taxa a partir da qual se aceita investir Conceitos: 1. TMA- Maior taxa “sem risco” do mercado 2. TMA- Custo do Capital Mais Aceito 19
  • 20. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Mínima de Atratividade - TMA 2. TMA- Custo do Capital Ativo Passivo Circulante: Circulante: 15 % Fornecedores, Valores Disponível, Estoques, a pagar a curto prazo Clientes 18 Exigível a longo prazo: 17 % Financiamentos % Permanente: Patrimônio Líquido: Máq., Equip., Veículos 22 % Capital, Terrenos, Construções Lucros Acumulados Taxas mínimas de atratividade adotadas TMA=20% TMA=10% 16% 21% TMA=15% TMA=12% 37% 26% Média das respostas: TMA = 16% ao ano 20
  • 21. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Valor Presente Líquido 0 1 2 3 n Se VPL positivo: VPL ATRATIVO 0 1 2 3 n 3. Análise de Alternativas de Investimentos Valor Presente Líquido - Exemplo 2.000 Reforma: Investimento = $ 10.000 Redução de custos = $ 2.000 VIÁVEL n = 10 anos VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, 8, 10) Aquisição: = 3420 10.705 Investimento = $ 35.000 4.700 Venda Equip. = $ 5.000 Ganhos = $ 4.700 Valor Residual = $ 10.705 VIÁVEL Melhor opção TMA= 8 % VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , 8%, 10) + 10.705 (P/F, 8%, 10) = 6.496 21
  • 22. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Valor Anual - Exemplo 2.000 VIÁVEL VAnual = - 10.000(A/P, 8%, 10) + 2.000 = 509,7 10.000 10.705 4.700 VIÁVEL Melhor opção VPL = - 30.000(A/P, 8%, 10) + 4.700 + 10.705 (A/F, 8%, 10) = 968,1 30.000 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno É a taxa que iguala o retorno ao investimento É a taxa que iguala o Valor Presente a zero VPL TIR 0 1 i 2 3 n VPL = - Invest. + Resultados (P/A, i, n) 22
  • 23. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno - Exemplo Reforma: 2.000 VPL = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) 10.000 0 = - 10.000 + 2.000 (P/A, i, 10) (P/A, i, 10) = 10.000 / 2.000 (P/A, i, 10) = 5 VIÁVEL Da tabela: TIR = 15,1 % > TMA 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno - Exemplo 10.705 Aquisição: 4.700 VPL = - 30.000 + 4.700 (P/A , i%, 10) + 30.000 10.705 (P/F, i%, 10) P/ i = 13 % VPL = - 1.343 P/ i = 11 % VPL = + 1.449 P/ i = 12 % VPL = 3 VIÁVEL TIR = 12 % > TMA 23
  • 24. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno - Exemplo Reforma: 2.000 TIR = 15,1 % VPL = 3420 Qual a Melhor ? 10.000 Aquisição: 10.705 4.700 TIR = 12 % VPL = 6496 30.000 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental Aquisição - Reforma: 10.705 2.000 4.700 Menos 10.000 30.000 10.705 2.700 Melhor Opção: Aquisição TIR = 10,7 % > TMA 20.000 24
  • 25. 3. Análise de Alternativas de Investimentos Taxa Interna de Retorno -Análise Incremental VPL Ponto de Fischer 6496 3520 15,1 % i TMA Reforma 8% 10,7 12 % % Aquisição FLUXOS COM MAIS DE UMA INVERSÃO DE SINAL 25
  • 26. 0 1 INVERSÃO DE SINAL 1 2 3 n VPL TIR i 0 1 INVERSÃO DE SINAL 1 2 3 n VPL TIR i 26
  • 27. 0 2 INVERSÕES DE SINAL 1 2 3 n VPL TIR 2 TIR 1 i 0 3 INVERSÕES DE SINAL 1 2 3 n VPL TIR 2 TIR 3 TIR 1 i 27
  • 28. QUAL TIR UTILIZAR? OUTRO ASPECTO DA TIR QUE SE DEVE TER CUIDADO! 10.000 1.600 0 2 INVERSÕES DE SINAL 1 2 10.000 0 = 1.600 - 10.000 x (1 + i)-1 + 10.000 x (1 + i)-2 i1 = 25% e i2 = 400% 28
  • 29. 10.000 1.600 0 1 2 10.000 -10.000 + 1.600 x (1 + 0,2) = -8.080 10.000 0 1 2 8.080 0 = -8.080 - 10.000 x (1 + i)-1 i = 23,8% 29
  • 30. CIRCUNSTÂNCIAS ESPECÍFICAS A. VIDAS DIFERENTES B. VIDAS PERPÉTUAS C. RESTRIÇÕES FINANCEIRAS (MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS) A. Vidas Diferentes EXEMPLO III.5 Seria a melhor Máquina X opção! 0 1 12 VPX = -6000-4000(P/A, 12%,12) 4000 VPX = -30777 6000 2800 Máquina Y 0 1 18 2400 14000 VPY= -14000-2400(P/A, 12%,18)+2800(P/F,12%,18) VPY= -31035 30
  • 31. A. Vidas Diferentes EXEMPLO III.5 MMC (12, 18) = 36 Máquina X 0 1 12 24 36 4000 4000 4000 6000 6000 6000 VPX = -6000[1+(P/F,12%,12)+(P/F,12%,24)]-4000(P/A, 12%,36) VPX = -40705 A. Vidas Diferentes EXEMPLO III.5 2800 2800 Máquina Y 18 0 1 36 2400 2400 14000 14000 VPY= -14000[1+(P/F, 12%, 18)]-2400(P/A, 12%,36)+ +2800[(P/F,12%,18)+(P/F,12%,36)] VPY= -35070 31
  • 32. A. Vidas Diferentes EXEMPLO III.5 Máquina X 0 1 12 24 36 4000 4000 4000 6000 6000 6000 VPX = -40705 2800 2800 Máquina Y 18 0 1 36 2400 2400 14000 14000 A melhor VPY= -35070 opção! B. Vidas Perpétuas  ( 1 + i )n − 1 P = lim n → ∞  ( 1 + i ) n i  A      ( 1 + i )n 1  1 P = A lim n → ∞  ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n i    −   P = A • i Exemplo: Suponha que um investimento de $ 100.000 gere retornos anuais de $ 25.000. Para uma taxa mínima de 20 % ao ano, qual o VPL para vida de: a) 10 anos b) 50 anos c) vida infinita 32
  • 33. B. Vidas Perpétuas VPL Solução: 25.000 100.000 50 Vida A) 10 anos: VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 10) = 4811,80 B) 50 anos: VPL = -100.000 + 25.000 (P/A, 20%, 50) = 24.986,26 C) infinito: VPL = -100.000 + 25.000 x (1 / 0,2) = 25.000,00 B. Vidas Perpétuas Problema 6 (pág. III.17) 33
  • 34. C. Restrições Financeiras Alternativas mutuamente exclusivas • No sentido técnico • No sentido financeiro Exemplo: Alternativa Investimento Benefícios TIR VPL Inicial Anuais A 10.000 1.628 10 % 1.982 B 20.000 3.116 9 % 2.934 C 50.000 7450 8 % 4.832 Vida esperada: 10 anos TMA: 6 % ao ano Capital disponível: $ 75.000 C. Restrições Financeiras Solução Pacote Alternativas Investimento VPL 1 Nenhuma (75.000) Zero 2 A 10.000 1.982 3 B 20.000 2.934 4 C 50.000 4.832 5 A, B 30.000 4.916 6 A, C 60.000 6.814 7 B, C 70.000 7.766 8 A, B, C 80.000 9.748 34
  • 35. C. Restrições Financeiras Problema: Investimento Retorno VPL Departamento de Produção: E1 2000 275 - 310 E2 4000 770 731 Departamento de qualidade: F1 4000 1.075 2605 F2 8000 1.750 2753 Departamento de expedição: G1 4000 1.100 2759 C. Restrições Financeiras Solução: a) Só as melhores: E1, F2, G1 b) Pacote Alternativas Investimento VPL 1 E2, F1 8.000 3.336 2 E2, F2 12.000 2.484 3 F1, G1 8.000 5.358 4 F2, G1 12.000 5.512 5 E2, F1, G1 12.000 6.095 6 E2, F2, G1 16.000 6.243 35