Matematica financeira regular 7

CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR
PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
AULA 07 – EQUIVALÊNCIA COMPOSTA
Olá, amigos!
Como já é de praxe, comecemos nossa aula resolvendo as questões pendentes do
nosso...
... Dever de Casa
01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo
prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da
aplicação ao final do prazo era de:
a) $ 16.590 d) $ 16.705
b) $ 16.602 e) $ 16.730
c) $ 16.698

Sol.: Estamos diante de um enunciado inequívoco! Ou seja, não há como não identificarmos o
assunto da questão, uma vez que ele é expresso na leitura: convenção linear!
Aprendemos que a convenção linear é apenas um método alternativo para
trabalharmos operações de Juros Compostos! Já conhecemos também a equação que resolverá
este problema:
M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)

Se bem estivermos lembrados, a única exigência da fórmula acima é que as duas partes
do tempo – a inteira e a quebrada – estejam, ambas, na mesma unidade da taxa!
Ora, a taxa fornecida pelo enunciado é anual (15% a.a.) e o tempo é de 3 anos e 8
meses. Transformando 8 meses para a unidade anual, chegaremos a uma fração: (8/12) anos.
Se quisermos ainda mais simplificar esta fração, diremos que: (8/12)=(2/3).
Assim, uma vez cumprida a exigência, aplicaremos a fórmula e chegaremos ao seguinte:
M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)]
M=16.729,63 ≅ 16.730,00 Resposta!

02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao
mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os
juros da aplicação, usando a convenção linear.
a) R$ 110,00 d) R$ 114,58
b) R$ 113,48 e) R$ 115,00
c) R$ 114,47

Sol.: Mais uma questão de convenção linear!
O diferencial deste enunciado é que não foi fornecido (de bandeja) o tempo da
aplicação. Apenas foram ditos o dia do início e o dia do final! Teremos que fazer a contagem do
tempo! Já sabemos fazer isso. Vejamos:
Fevereiro = 30 dias 20 dias usados na operação (30-10=20)
Março = 30 dias 30 dias usados na operação (mês do miolo)
Abril = 30 dias 30 dias usados na operação (mês do miolo)
Maio = 30 dias 30 dias usados na operação (copiar-colar)
Total: 110 dias = 3 meses e 20 dias

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Se estivermos bem lembrados, usamos acima da mesma maneira que aprendemos
para contar os dias nos Juros Simples Exatos. Lembrados? A diferença é que aqui não estamos
falando em Juros Exatos, de sorte que todos os meses do ano têm 30 dias. Viram isso?
Pois bem! Continuando o trabalho com a convenção linear, diremos que:
3 meses e 20 dias = 3 meses e (20/30)meses = 3 meses e (2/3) de mês.
Assim, já temos definidas as duas partes do tempo (inteira e quebrada), e ambas na
mesma unidade da taxa, de sorte que já podemos aplicar a fórmula da Convenção Linear.
Teremos:
M=1000.(1+0,03)3.[1+0,03x(2/3)] = 1000x1,092727x1,02
M=1.114,58
Conhecendo o Montante e o Capital, já podemos dizer que:
J=M-C J=114,58 Resposta!

03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois
períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação
ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.
a) 150% d) 160%
b) 157,74% e) 162%
c) 158,4%

Sol.: Essa questão é de convenção linear, mas pediu o cálculo de um elemento como
porcentagem de outro. Já aprendemos qual o artifício a utilizar em casos assim: atribuiremos o
valor 100 (cem) ao elemento de referência, neste caso, o capital.
Os dados da questão são, pois, os seguintes:
C=100, ; n=2,5 períodos ; i=20% ao período ; M=?
Uma vez que as duas partes do tempo (2 períodos + 0,5 período) já estão na mesma
unidade da taxa, resta-nos aplicar a fórmula da convenção linear. Teremos:
M=100.(1+0,20)2.[1+0,20x0,5)] = 100x1,44x1,10
M=158,40
Como a questão quer o Montante como porcentagem do capital, e como chamamos o
capital de 100, basta dizer agora que:
M=158,40% (do Capital) Resposta!

04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à
taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de
quinze meses usando a convenção linear.
a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00
b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00
c) R$ 151.772,00

Sol.: Vocês já viram que convenção linear é um dos assuntos mais presentes em prova de
matemática financeira! Não viram? Pois bem! É uma questãozinha que a gente não pode errar
nem de jeito nenhum!
Neste enunciado, por exemplo, tudo o que precisaríamos fazer era dizer:


15 meses = 12 meses + 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre
Pronto! Só isso! E uma vez que as duas partes do tempo já estão na mesma unidade da
taxa, resta-nos aplicar a equação da Convenção Linear. Teremos:
M=100000.(1+0,18)2.[1+0,18x0,5)] = 100.000x1,3924x1,09
M=151.771,60 ≅ 151.772, Resposta!

05. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à
taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses,
usando a convenção linear para cálculo do montante.
a) 22,5% d) 26,906%
b) 24% e) 27,05%
c) 25%

Sol.: Nesta solução, chamaremos o capital (elemento de referência) de 100 (cem), e diremos
que 15 meses é o mesmo que 2 semestres + 0,5 semestre. (Igual à questão anterior)!
Fazendo isso, e aplicando a equação da convenção linear, teremos:
M=100.(1+0,10)2.[1+0,10x0,5)] = 100x1,21x1,05
M=127,05
Mas não queremos o montante, e sim os juros! Assim:
J=M-C J=27,05
E como porcentagem do Capital, diremos que:
J=27,05% Resposta!

06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$
10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês.
Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o
desconto racional composto. Despreze os centavos.
a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00
b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00
c) R$ 11.363,00

Sol.: O enunciado começa afirmando que um título foi descontado por tanto. O que vem a ser
esse tanto? Ora, aprendemos na aula passada que valor descontado é sinônimo de valor atual.
Assim, temos que R$10.000 é o valor atual.
De resto, a leitura da questão revelou-nos tudo o que precisamos saber acerca desta
operacao de desconto, ao falar em desconto racional composto!
O regime é o composto, e a modalidade é o desconto por dentro!
Aprendemos que a exigência das fórmulas do desconto composto é a já mais que famosa
exigência universal da matemática financeira: taxa e tempo na mesma unidade. Aqui a taxa
fornecida é mensal (3% ao mês) e o tempo também (4 meses). Assim, aplicaremos a equação
do desconto composto racional, e teremos que:
N=A.(1+i)n
N=10000.(1+0,03)4
O parêntese acima é o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira.
Enfim, teremos que:

N=10.000x1,125508
N=11.255,08 Resposta!

07. (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes
do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi
aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os
centavos, se houver).
a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00
b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00
c) R$ 4.928,00

Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operação de desconto
composto por dentro. E também aqui falou-se que um título foi descontado por uma
determinada quantia. Esta será, conforme já sabemos, o valor atual.
Na pergunta, a questão nos pediu que obtenhamos o valor de face. Ora, valor de face é
um dos sinônimos de valor atual.
Enfim, verificamos que o enunciado já nos forneceu taxa e tempo na mesma unidade,
restando-nos o trabalho de aplicar a equação diretamente. Teremos:
N=A.(1+i)n
N=4400.(1+0,03)4
O parêntese acima é o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira.
Enfim, teremos que:
N=4.400x1,125508
N=4.952, Resposta!

08. (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e
vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros
compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do
resgate:
a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00
b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00
c) $ 748.573,00

Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operação de desconto
composto por dentro. E também aqui se falou que um título foi descontado por uma
determinada quantia. Esta será, conforme já sabemos, o valor atual.
A leitura também nos mostra que taxa e tempo já estão na mesma unidade. Assim,
aplicando a equação do desconto composto por dentro, teremos:
N=A.(1+i)n
A=N/(1+i)n A=1.000.000/(1+0,10)3
A=1.000.000/1,331
Na verdade, o que essa questão está perguntando é: você sabe dividir?
Sempre que o resultado de uma divisão for a resposta da questão, colocaremos um olho
na conta e o outro olho nas opções de resposta! (Lembrados disso?). Teremos:
A=751.314,80 Resposta!


09. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta)
dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto.
Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido
recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final)
Dados: (1,84)1/3= 1,22538514
(1,84)1/4= 1,1646742
(1,84)1/6= 1,10697115

a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00
b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00
c) $ 446.728,00

Sol.: Antes de analisarmos o enunciado, uma observação importante: sempre que a questão
apresentar alguns dados adicionais (normalmente três), é quase certo que um deles será
empregado na resolução!
Estou dizendo isso, porque é muito comum (muito mesmo!) que o aluno simplesmente
ignore os dados adicionais, como se eles nem existissem! Existem sim! E estão ali por um bom
motivo: o de facilitar na solução do problema.
Agora repare: o enunciado fornece três dados adicionais, mas você só vai usar um.
Mas, professor, se eu só vou usar um, por que o enunciado me dá três? Porque se ele desse só
um, você já saberia qual iria utilizar!
Pois bem, passemos à análise: falou-se em desconto racional composto! Pronto! Já
sabemos tudo sobre essa questão! E está-se pedindo o cálculo do valor líquido. Ora, valor
líquido é sinônimo de valor atual (assim como de valor descontado)!
A equação que usaremos é a seguinte:
N=A.(1+i)n
Isolando o valor atual, teremos:
A=N/(1+i)n
O que resta ser feito é colocar taxa e tempo na mesma unidade. Agora olharemos para
os dados adicionais. Todos eles trazem um parêntese elevado a um expoente.
Ora, é o parêntese famoso do denominador da fórmula.
Nos três dados adicionais, temos (1,84) dentro do parêntese, e elevado a uma fração!
Ora, temos que: (1,84)=(1+0,84)
Vendo isso, já temos elementos suficientes para deduzir que a questão quer que
trabalhemos com a unidade anual, uma vez que a taxa da operação é de 84% ao ano!
Pois bem! Transformando 60 dias para uma fração de ano, teremos que:
60 dias = 2 meses = (2/12) ano = (1/6) ano
Pronto! Aplicando a fórmula, teremos:
A=N/(1+i)n A=500.000/(1+0,84)1/6
A=500.000/1,106971
A=451.682, Resposta!

É isso! Agora, passaremos a tratar do assunto de hoje, por sinal um assunto facílimo: a
Equivalência Composta de Capitais! Adiante!


# Equivalência Composta de Capitais:
Amigos, aqui damos início a um dos assuntos mais fáceis do nosso Curso, e também um
dos mais cobrados em prova! (Já pensou? Duas notícias boas, assim, uma atrás da outra!).
Pois bem! Já aprendemos, no estudo do regime simples, a identificar uma operação de
Equivalência de Capitais. Estamos ainda lembrados disso? Caso tenhamos esquecido, é o
seguinte: uma questão será de Equivalência quando:
Houver duas formas de pagamento para um mesmo bem;
Houver uma situação de empréstimo (e devolução).
Basicamente isso!
E se vocês estiverem reavivando a memória, existe um passo-a-passo, por meio do qual
podem ser resolvidas todas as questões de Equivalência.
Outra boa notícia: a tal receita (o passo-a-passo) da Equivalência Composta é a mesma
da Equivalência Simples, com alguns facilitadores! Ou seja, a resolução de um problema de
equivalência composta é mais fácil ainda que uma de equivalência simples.
Vamos aprender por meio de um exemplo. Ok? Vamos lá!

# Exemplo: João fez uma compra hoje, comprometendo-se a pagar R$1000 (mil reais)
daqui a trinta dias, e mais R$2000 (dois mil reais) daqui a sessenta dias. Por não
dispor de numerário suficiente, deseja substituir essa forma original de pagamento
por uma nova, que consiste em duas parcelas iguais, a serem pagas nas datas
noventa e cento e vinte dias. Considerando na operação uma taxa de juros compostos
de 10% ao mês, determine o valor das novas parcelas.
Sol.: Nosso primeiro passo será o de identificar o assunto da questão. Vemos que este
enunciado não ofereceu maiores dificuldades: havia uma forma original de pagamento de um
bem, a qual será alterada por outra maneira de se pagar por aquela compra. Basta isso, para
termos certeza de estar diante de uma questão de Equivalência de Capitais.
Ora, não podemos jamais começar a resolver essa questão, antes de termos certeza de
estar trabalhando no regime simples ou no regime composto. Aqui não houve problema neste
sentido, pois a palavra composto apareceu expressamente no enunciado!
Conclusao: estamos diante de uma questão de Equivalência Composta! (Excelente
negócio para nós!).
Vamos dar início ao passo-a-passo!
1º) Desenharemos a questão:

2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m

2º) Definiremos quais as parcelas do desenho acima são referentes à primeira obrigação
(primeira forma de pagamento) e quais são referentes à segunda obrigação (segunda forma de
pagamento). Teremos:



2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m
(I) (I) (II) (II)

3º) Este passo consiste em colocar taxa e tempos na mesma unidade. Observem que, no
nosso exemplo, este passo já veio pronto: a taxa é mensal (10%a.m.) e os tempos estão em
meses.
4º) Em seguida, temos que identificar o regime da operação. E nos lembraremos que
toda questão de equivalência se resolve por meio de operações de desconto!
Aqui surge o primeiro facilitador deste assunto: na Equivalência Composta,
trabalharemos sempre com operações de desconto composto racional (por dentro)!
5º) Finalmente, resta-nos agora localizar a data focal.
E estamos diante do segundo facilitador: aqui, na Equivalência Composta, a escolha da
data focal é livre! Ou seja, diferentemente do que ocorre na equivalência simples, na
equivalência composta qualquer data serve para ser a data focal.
Sugestão: embora esta escolha seja livre, convém muitíssimo que você adote, como
data focal, aquela data mais à direita do desenho!
E por que isso? Porque assim, trocaremos divisões por multiplicações!
Assim, teremos:
2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m
(I) (I) (II) (II)
DF

Agora vejamos o salto da Equivalência Composta!
Nosso próximo passo seria qual? Seria projetar todas as parcelas do desenho, uma por
uma, para a data focal.
Ora, uma vez que a data focal está localizada à direita, o que faremos para projetar um
valor qualquer para uma data posterior? Multiplicaremos este valor pelo parêntese famoso! Só
isso! (É o que equivale a uma operação de juros compostos, que, por sinal, é irmão do desconto
composto por dentro!).
Sabendo disso, já podemos saltar para a Equação de Equivalência, que é nossa velha
conhecida. É a seguinte:

Σ(I)df = Σ(II)df
Aplicando a equação acima, teremos:
1000.(1+0,10)3 + 2000.(1+0,10)2 = X.(1+0,10)1 + X

Uma equação e uma variável. É sempre assim que termina toda questão de equivalência
de capitais. A variável é aquilo que está sendo perguntado pelo enunciado!
Teremos:
X + 1,1X = 1.331 + 2.420
2,1X = 3.751
X = 1.786, Resposta!

Viram como é fácil?
A sugestão de adotar como data focal a data mais à direita do desenho é muito
interessante! Facilita a feitura da equação de equivalência! Basta multiplicar cada valor pelo
parêntese famoso, e só!
Pronto! Já sabemos TUDO a respeito da Equivalência Composta de Capitais.
Já estamos aptos a resolver questões de provas passadas. Ok?
Seguem, portanto, as questões do nosso...

... Dever de Casa

62. (TCDF-95) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A
primeira terá o valor de $ 2.000,00 , no vencimento, daqui a seis meses; a
segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de $4.400,00.
Considerando a taxa de juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente, se
o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui
a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de:
a) $ 6.420,00 d) $ 6.620,00
b) $ 6.547,00 e) $ 6.680,00
c) $ 6.600,00

63. (ESAF) João tem um compromisso representado por duas promissórias: uma de
$ 200.000,00 e outra de $ 150.000,00 , vencíveis em quatro e seis meses,
respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas
estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um
único a vencer em dez meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de
5% a.m., o valor da nova nota promissória é de:
a) $ 420.829, c) $ 445.723,
b) $ 430.750, d) $ 450.345,

64. (Fiscal de Trib.-CE) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, em
quanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. A taxa de juros
compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da
dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses.
desprezando os centavos.
a) R$ 48.800,00 d) R$ 40.039,00
b) R$ 49.167,00 e) R$ 50.000,00
c) R$ 49.185.00


65. (AFRF 2005 ESAF) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista
ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo
está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$
400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da
compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com
vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem
considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 220.237,00 d) R$ 275.412,00
b) R$ 230.237,00 e) R$ 298.654,00
c) R$ 242.720,00

66. (AFC/STN 2005 ESAF) Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros
compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00
vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do
oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A
taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o
cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os
centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:
a) R$ 2.535,00 d) R$ 1.957,00
b) R$ 2.100,00 e) R$ 1.933,00
c) R$ 2.153,00

É isso!
Um forte abraço a todos! Bons estudos!


Matematica financeira regular 7

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