Análise Matemática I

ANÁLISE
MATEMÁTICA
I C
Prática
Departamento de Matemática
FCT/UNL
2008/2009
Maria do Céu Soares et al.

Estes apontamentos destinam-se aos alunos de Análise Matemática I da FCT-UNL e não
têm qualquer objectivo comercial.

Colaboradores:
Diogo Pinheiro
Nelson Chibeles Martins (co-autor dos capítulos 1 e 2)
Filipe Marques (co-autor do capítulo 3)
Manuela Pedro (co-autora dos capítulos 5 e 6)
Lourdes Afonso (co-autora do capítulo 8)
Lídia Lourenço (co-autora do capítulo 9)
Carmo Brás (co-autora do capítulo 10)

Índice
1 Noções Topológicas 1
1.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Indução Matemática 11
3 Sucessões de números reais 17
4 Limites, Continuidade e Cálculo Diferencial 31
5 Teoremas fundamentais (Rolle,Lagrange e Cauchy). Indeterminações. 45
i

6 Teorema de Taylor, Fórmula de Taylor e Aplicações 53
7 Estudo de funções 63
8 Primitivação 73
9 Cálculo Integral. Áreas de ﬁguras planas 89
10 Integrais impróprios 107
ii

1Noções Topológicas
1.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Considere os conjuntos
A = [0, 2[,
B = {0, 1, 2, 3},
C = Q,
D = x ∈ R : x =
n
n + 1
, n ∈ N .
Para cada um destes conjuntos, determine:
(a) o interior;
(b) a fronteira;
(c) o exterior;
(d) a aderência;
(e) o derivado;
(f) o conjunto dos pontos isolados;
(g) o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes, caso existam;
(h) o supremo e o ínﬁmo, caso existam;
(i) o máximo e o mínimo, caso existam.
2. Considere o seguinte conjunto:
E = {x ∈ R : |x − 3| ≥ 2} ∩ [−2, 8].
(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de E.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de E.
(c) Indique, justiﬁcando, se E é um conjunto limitado.
1

F = x ∈ N : x2
− 5x + 9 > 3 ∩ x ∈ R : x2
− 7x − 1 ≤ 7 .
(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de F.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de F.
(c) Indique, justificando, se F é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
G = x ∈ R : x = 1 + 2 sin
π
n + 1
, n ∈ N ∪ x ∈ R :
x − 2
x + 1
> 0 .
(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de G.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de G.
(c) Indique, justificando, se G é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
H = x ∈ Q : x2
< 9 ∪ x ∈ R Q : x2
− 2x − 5 ≤ 0 .
(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de H.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de H.
(c) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-
junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de H.
I = x ∈ N : x2
− 5x + 9 > 3 .
(a) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de I.
(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-
junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de I.
(c) Indique, justificando, se I é um conjunto limitado.
J = {x ∈ R : |x + 3| > |x + 1|} {−1}.
(a) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e o conjunto dos
pontos isolados de J.
(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-
junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de J.
(c) Indique, justificando, se J é um conjunto aberto, fechado ou limitado.
2

1.2 Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Considere os conjuntos A e B deﬁnidos por:
A = x ∈ R :
log(x)
x − 4
> 0 ,
B = x ∈ [−1, 1] : 0 < | arcsin(x)| ≤
π
4
.
(a) Exprima A e B na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine, para os conjuntos A e B, a aderência, o derivado, o conjunto dos majo-
rantes e o conjunto dos minorantes.
(c) Considere C = A ∪ B e D = A ∩ B. Exprima C e D na forma de intervalo ou união
de intervalos.
(d) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjunto dos
minorantes dos conjuntos C e D.
2. Considere a função f real de variável real deﬁnida por f(x) =
1
log(x2 − 9)
e seja A o seu
domínio. Considere, também, o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |x + 1| < 1} .
(b) Averigue se A ∩ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
(d) Averigue se A ∪ B e A ∩ B são conjuntos limitados.
A = x ∈ R : | arctan(x)| ≤
π
4
,
B = {x ∈ R : (x − 1)(x + 3) ≤ 0} .
(b) Determine o interior, a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjunto
dos minorantes de A ∩ B.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto fechado ou limitado.
(d) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado do conjunto
A ∩ (R Q).
A = x ∈ R :
x
1 − |x|
< 0 ,
B = x ∈ R : x =
n
2n + 1
, n ∈ N .
3

(a) Exprima A na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dos
majorantes de A ∪ B.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
(d) Averigue se A ∩ B é um conjunto limitado.
log(1 − x2
)
x
, e designe por
A o seu domínio. Considere o subconjunto de R:
B = x ∈ R : x = 2 +
1
n
, n ∈ N .
(a) Determine A.
(b) Determine a fronteira e o derivado de A ∩ Q.
(c) Determine o interior, a fronteira, a aderência e o derivado de B.
(d) Relativamente ao conjunto A ∪ B, determine o conjunto dos minorantes, o conjunto
dos majorantes e, se existirem, o supremo, o máximo, o ínﬁmo e o mínimo.
4

1.3 Exercícios resolvidos
1. Considere a função f, real de variável real, definida por f(x) =
√
x2 − 4x + 3
log(x + 2)
e seja A o
seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |x − 1| < 3}.
(a) Apresentando todos os cálculos, escreva A e B na forma de intervalo ou união de
intervalos.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B, e a fronteira de A∩B.
Resolução
(a) O domínio da função f, real de variável real, é definido por
A = x ∈ R : x2
− 4x + 3 ≥ 0 ∧ log(x + 2) = 0 ∧ x + 2 > 0 .
Para escrevermos o conjunto A na forma de intervalo ou união de intervalos temos
que escrever cada uma das condições presentes na definição do conjunto A na forma
de intervalo(s) de números reais e, após isso, intersectar os conjuntos obtidos.
Quanto à primeira desigualdade, começamos por notar que o gráfico da função qua-
drática g(x) = x2
− 4x + 3 é uma parábola com a concavidade voltada para cima
(porque o coeficiente de x2
é positivo), e com dois zeros que podemos obter resol-
vendo a equação g(x) = 0. Logo, aplicando a fórmula resolvente, obtemos
x2
− 4x + 3 = 0 ⇔ x =
4 ±
√
16 − 4 × 3
2
=
4 ±
√
4
2
=
4 ± 2
2
⇔ x = 3 ∨ x = 1.
Assim, a desigualdade x2
−4x+3 ≥ 0 é satisfeita sempre que x ∈]−∞, 1]∪[3, +∞[.
Quanto à segunda condição, basta notar que
log(x + 2) = 0 ∧ x + 2 > 0 ⇔ x + 2 = 1 ∧ x > −2 ⇔ x = −1 ∧ x > −2.
Logo, esta condição é satisfeita para todo o x pertencente a ] − 2, −1[∪] − 1, +∞[.
Intersectando os subconjuntos de R acima obtidos, concluímos que
A =] − 2, −1[∪] − 1, 1] ∪ [3, +∞[.
Para escrevermos o conjunto B na forma de intervalo ou união de intervalos temos
de resolver a desigualdade |x − 1| < 3. Para isso, notamos que
|x − 1| < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4.
Logo, B =] − 2, 4[.
5

(b) O conjunto dos pontos interiores de B é int(B) =] − 2, 4[= B.
Por definição, o derivado de B é o conjunto dos pontos de acumulação de B. Assim,
B = [−2, 4].
Calculando a intersecção dos conjuntos A e B, obtemos
A ∩ B =] − 2, −1[∪] − 1, 1] ∪ [3, 4[.
Donde, fr(A ∩ B) = {−2, −1, 1, 3, 4}.
arcsin(2x − 2)
|x − 1| ex
e designe
por D o seu domínio. Considere o subconjunto de R:
A = {x ∈ R : x = (−1)n
e−n
∧ n ∈ N}.
(a) Determine, justificando, o derivado e o conjunto dos minorantes de A.
(b) Determine, justificando, a aderência de D e a fronteira de D ∩ (R Q).
Resolução
(a) O conjunto A é constituído pelos termos da sucessão un = (−1)n
e−n
, n ∈ N. Esta
sucessão é convergente para o ponto x = 0, por ser o produto de um infinitésimo por
uma sucessão limitada lim
n→+∞
1
en
= 0 e − 1 ≤ (−1)n
≤ 1, ∀n ∈ N . O conjunto
A é constituído apenas por pontos isolados tendo, no entanto, x = 0 como ponto
de acumulação, uma vez que, pela definição de limite de uma sucessão, qualquer
vizinhança de centro em 0 conterá, a partir de certa ordem, todos os termos da
sucessão un. Portanto, A = {0}.
Para obter o conjunto dos minorantes de A comecemos por notar que a subsuces-
são dos termos de ordem par, u2n = e−2n
, n ∈ N, é monótona decrescente, e que
0 < u2n ≤ 1
e2 , ∀n ∈ N. Por outro lado, a subsucessão dos termos de ordem ím-
par, u2n−1 = −e1−2n
, n ∈ N, é monótona crescente e satisfaz as desigualdades
−1
e
≤ u2n−1 < 0, ∀n ∈ N. Sendo assim, como a união dos conjuntos dos termos
destas duas subsucessões é o conjunto dos termos da sucessão un, então todos os
termos da sucessão un (i.e., todos os elementos de A) são superiores ou iguais ao pri-
meiro termo, u1. Portanto, o conjunto dos minorantes de A é ]−∞, u1] =]−∞, −1
e
].
(b) Comecemos por escrever o domínio D de f, dado por
D = {x ∈ R : −1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 ∧ |x − 1| ex
= 0},
na forma de uma união de intervalos de números reais. Para isso, escrevemos cada
uma das condições presentes na definição do conjunto D na forma de intervalo(s) de
números reais e, após isso, intersectamos os conjuntos obtidos. Quanto ao primeiro
conjunto de desigualdades, basta ver que
−1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2x ≤ 3 ⇔
1
2
≤ x ≤
3
2
,
6

donde −1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 se e só se x ∈ 1
2
, 3
2
.
Quanto à segunda condição, basta notar que
|x − 1| ex
= 0 ⇔ |x − 1| = 0 ∨ ex
= 0.
Como ex
> 0, ∀x ∈ R, e |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1, então x = 1 é solução da
equação |x − 1| ex
= 0. Logo, |x − 1| ex
= 0 se e só se x ∈ R {1}.
Intersectando os dois subconjuntos de R acima obtidos, concluímos que
D =
1
2
, 1 ∪ 1,
3
2
.
Logo, int(D) =]1
2
, 1[∪]1, 3
2
[, fr(D) = {1
2
, 1, 3
2
} e consequentemente, pela definição de
aderência, obtemos D = 1
2
, 3
2
.
Consideremos agora E = D ∩ (R Q) (i.e., E é o conjunto dos números irracionais
que pertencem ao conjunto D).
Comecemos por notar que qualquer elemento de D é ponto fronteiro a E, dado
que qualquer vizinhança centrada num elemento de D contém números racionais e
números irracionais. Logo, D ⊆ fr(E). Por outro lado, visto que qualquer vizinhança
de centro em 1 contém números racionais e números irracionais, obtemos que x = 1
é também um ponto fronteiro a E, donde concluímos que fr(E) = D ∪ {1} = [1
2
, 3
2
].
3. Considere a função f, real de variável real, definida por f(x) =
π
2
+ 3 arcsin(2x − 1).
Designe por A o seu domínio e por B o seu contradomínio. Considere o subconjunto de
R
C = {x ∈ R : x = earctan(n)
∧ n ∈ N}.
(a) Determine A e B.
(b) Determine o interior de B ∩ Q, o conjunto dos minorantes de C e o derivado de
A ∪ C.
Resolução
(a) O domínio da função f, real de variável real, é o conjunto A definido por
A = {x ∈ R : −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1}.
Resolvendo o conjunto de inequações que define A, obtemos
−1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.
Logo, A = [0, 1].
7

Para calcular o contradomínio da função f, notemos que é válido o seguinte conjunto
de desigualdades:
−π
2
≤ arcsin(2x − 1) ≤ π
2
⇔ −3π
2
≤ 3 arcsin(2x − 1) ≤ 3π
2
⇔ π
2
− 3π
2
≤ π
2
+ 3 arcsin(2x − 1) ≤ π
2
+ 3π
2
⇔ −π ≤ π
2
+ 3 arcsin(2x − 1) ≤ 2π.
Logo, B = [−π, 2π].
(b) Dado um qualquer ponto x0 de B, sabe-se que qualquer vizinhança de centro em
x0 conterá números racionais e números irracionais. Logo, não existe qualquer vi-
zinhança de centro em x0 contida em B ∩ Q, isto é, x0 /∈ int(B ∩ Q). Portanto,
int(B ∩ Q) = ∅.
Os elementos do conjunto C são os termos da sucessão un = earctan(n)
, n ∈ N. Uma
vez que ex
e arctan(x) são funções reais de variável real estritamente crescentes, a
sucessão un é monótona crescente. Sendo assim, todos os termos de un são maiores ou
iguais que o primeiro termo u1 = earctan(1)
= e
π
4 . Portanto, o conjunto dos minorantes
de C é ] − ∞, e
π
4 ].
Uma vez que a sucessão un é convergente para e
π
2 lim
n→+∞
earctan(n)
= e
π
2 , obtemos
que e
π
2 é um ponto de acumulação do conjunto C. Logo (A ∪ C) = [0, 1] ∪ {e
π
2 }.
4. Considere os subconjuntos de R
A = {x ∈ R : x = arctan(n) ∧ n ∈ N}, B = x ∈ R :
|x + 1| − 1
(x + 1)2
≤ 0 .
(a) Determine, justificando, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dos
majorantes de A.
(b) Determine, justificando, a fronteira de B e a fronteira de B ∩ Q.
Resolução
(a) Os elementos do conjunto A são os termos da sucessão un = arctan(n), n ∈ N. Uma
vez que a sucessão un é convergente para π
2
, pela definição de limite de uma sucessão
concluímos que π
2
é um ponto de acumulação do conjunto A. Notando ainda que o
conjunto A é constituído apenas por pontos isolados, obtemos que A = {π
2
}.
Sendo arctan(x) uma função real de variável real estritamente crescente, obtemos
que a sucessão un é monótona crescente e, portanto, para todo o número natural
n, verificam-se as desigualdades u1 ≤ un < lim un. Logo, para todo o n ∈ N,
π
4
≤ un < π
2
. Concluímos então que o conjunto dos minorantes de A é o intervalo
] − ∞, π
4
] e o conjunto dos majorantes de A é [π
2
, +∞[.
8

(b) Comecemos por escrever o conjunto B na forma de uma união de intervalos de
números reais. Para isso, temos que resolver a inequação que define o conjunto B.
Em primeiro lugar, observemos que o domínio de definição da função h(x) =
|x + 1| − 1
(x + 1)2
é D = {x ∈ R : (x + 1)2
= 0}.
Da desigualdade (x + 1)2
= 0 obtemos x = −1, donde D = R{−1}.
Notemos agora que o sinal da inequação (≤) que define o conjunto B, é completa-
mente determinado pelo sinal de |x + 1| − 1 visto que (x + 1)2
≥ 0, para todo x ∈ R.
Observemos ainda que
|x + 1| − 1 ≤ 0 ⇔ |x + 1| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0,
e que
|x + 1| − 1 = 0 ⇔ |x + 1| = 1 ⇔ x + 1 = −1 ∨ x + 1 = 1 ⇔ x = −2 ∨ x = 0.
A tabela abaixo apresenta toda a informação acerca do sinal das diferentes expres-
sões:
−2 −1 0
|x + 1| − 1 + 0 − − − 0 +
(x + 1)2
+ + + 0 + + +
|x + 1| − 1
(x + 1)2
+ 0 − − 0 +
Obtemos então B = [−2, 0]{−1} e portanto fr(B) = {−2, −1, 0}. Seja x0 um ponto
qualquer de B. Qualquer vizinhança de centro em x0 conterá números racionais e nú-
meros irracionais. Logo, x0 é ponto fronteiro a B ∩Q. Além disso, também qualquer
vizinhança de centro em −1 conterá números racionais e números irracionais, pelo
que x = −1 é um ponto fronteiro a B∩Q. Portanto, fr(B∩Q) = B∪{−1} = [−2, 0].
arcsin(x2
− 1)
log(x)
e designe
por D o seu domínio. Determine o interior de D e a fronteira de D ∩ Q.
Resolução
O domínio da função f, real de variável real, é o conjunto D definido por
D = x ∈ R : −1 ≤ x2
− 1 ≤ 1 ∧ x > 0 ∧ log(x) = 0 .
Para calcularmos o interior do conjunto D, começamos por escrever D na forma de uma
união de intervalos de números reais. Para isso, escrevemos cada uma das condições
presentes na definição do conjunto D na forma de intervalo(s) de números reais e, poste-
riormente, intersectamos os conjuntos obtidos.
Quanto às primeiras desigualdades, devemos observar que x2
− 1 ≥ −1 ⇔ x2
≥ 0 é uma
condição universal, e que x2
− 1 ≤ 1 ⇔ x2
≤ 2 ⇔ −
√
2 ≤ x ≤
√
2. Obtemos então que o
primeiro conjunto de desigualdades é satisfeito para todo x ∈ [−
√
2,
√
2].
9

Relativamente à segunda condição, basta ver que
x > 0 ∧ log(x) = 0 ⇔ x > 0 ∧ x = 1.
Logo, esta condição é satisfeita para todo o x pertencente a R+
{1}.
Intersectando os subconjuntos de R acima obtidos, podemos então concluir que D =
]0, 1[∪]1,
√
2], e portanto int(D) =]0, 1[∪]1,
√
2[.
Para calcularmos a fronteira de D∩Q devemos começar por observar que todos os pontos
de D são fronteiros a D ∩ Q, uma vez que qualquer vizinhança centrada num ponto de
D conterá números racionais e números irracionais. Logo D ⊆ fr(D ∩ Q). Pelas mesmas
razões, 0 e 1 são pontos fronteiros a D ∩ Q. Portanto, fr(D ∩ Q) = [0,
√
2].
10

2Indução Matemática
1. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que
(a)
n
k=0
(2k + 1) = (n + 1)2
, ∀n ∈ N0;
(b) n! ≤ nn
, ∀n ∈ N;
(c) 42n
− 1 é múltiplo de 5, ∀n ∈ N;
(d)
n
k=1
k
k + 2
−
k − 1
k + 1
=
n
n + 2
, ∀n ∈ N;
(e)
3n
n!
< 42 3
4
n
, ∀n > 3;
(f) n3
+ 5n é divisível por 3, ∀n ∈ N.
2. Considere a proposição p(n) : sin(2nπ) = 1
(a) Mostre que p(j) verdadeira =⇒ p(j + 1) verdadeira.
(b) Mostre que p(n) não é verdadeira para nenhum número natural n.
3. Observando as igualdades
1 −
1
2
=
1
2
1 −
1
2
1 −
1
3
=
1
3
1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
=
1
4
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
induza o resultado geral e prove-o, usando o princípio de indução matemática.
11

1. Prove, usando o princípio de indução matemática, que para x0 ∈ [1, +∞[ se tem
(1 + x0)n
≥ 1 + nx0,
para todo o número natural n.
(a)
n
k=1
4
(k + 1)(k + 2)
=
2n
n + 2
, ∀n ∈ N;
(b)
n−1
k=1
k2
<
n3
3
, ∀n ∈ N {1};
(c) 43n
− 4n
é múltiplo de 5, ∀n ∈ N.
3. Dada a sucessão (un)n∈N deﬁnida por



u1 = 1
u2 = 2
un+1 =
un + un−1
2
, n ≥ 2
prove, por indução matemática, que
un+1 − un = (−1)n−1 1
2n−1
, ∀n ∈ N.
12

n
k=1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
, ∀n ∈ N.
Resolução:
Consideremos a condição p(n) :
n
k=1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
. Pretendemos mostrar que p(n) é
válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a
1
k=1
(k + 1) = 2 =
1(1 + 3)
2
,
pelo que p(1) é verdadeira.
ii) Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-
deira e pretendemos provar que p(n + 1) também é verdadeira, onde
p(n) :
n
k=1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
e p(n + 1) :
n+1
k=1
(k + 1) =
(n + 1)(n + 4)
2
.
Como
(n + 1)(n + 4)
2
=
n2
+ 5n + 4
2
, pretendemos então provar que
n+1
k=1
(k+1) =
n2
+ 5n + 4
2
.
Consideremos então o primeiro membro da tese. Desdobrando o somatório, obtemos
n+1
k=1
(k + 1) =
n
k=1
(k + 1) +
n+1
k=n+1
(k + 1).
Pela hipótese de indução sabemos que
n
k=1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
. Logo,
n+1
k=1
(k + 1) =
n
k=1
(k + 1) +
n+1
k=n+1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
+ n + 2 =
n(n + 3) + 2(n + 2)
2
=
n2
+ 5n + 4
2
. Assim,
n+1
k=1
(k + 1) =
n2
+ 5n + 4
2
.
Portanto, por i) e ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que
n
k=1
(k + 1) =
n(n + 3)
2
, ∀n ∈ N.
13

n
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n
, ∀n ∈ N.
Resolução:
Consideremos a condição p(n) :
n
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n
. Pretendemos mostrar que p(n)
é válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a
1
k=1
1
2
k
=
1
2
1
=
1
2
= 1 −
1
2
1
,
p(n) :
n
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n
e p(n + 1) :
n+1
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n+1
.
Considerando o primeiro membro da tese e desdobrando o somatório, obtemos
n+1
k=1
1
2
k
=
n
k=1
1
2
k
+
n+1
k=n+1
1
2
k
.
Usando a hipótese de indução, sabemos que
n
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n
, pelo que
n+1
k=1
1
2
k
=
n
k=1
1
2
k
+
n+1
k=n+1
1
2
k
= 1−
1
2
n
+
1
2
n+1
= 1−2
1
2
1
2
n
+
1
2
n+1
=
1 − 2
1
2
n+1
+
1
2
n+1
= 1 −
1
2
n+1
. Assim,
n+1
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n+1
.
n
k=1
1
2
k
= 1 −
1
2
n
, ∀n ∈ N.
14

3. Prove, pelo princípio de indução matemática, que 10n+1
+ 3 × 10n
+ 5 é múltiplo de 9,
∀n ∈ N.
Resolução:
Consideremos a condição p(n) : 10n+1
+3×10n
+5 é múltiplo de 9. Pretendemos mostrar
que p(n) é válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a p(1) : 101+1
+3×101
+5 = 135 é múltiplo de 9. Logo,
p(1) é verdadeira.
p(n) : 10n+1
+3×10n
+5 é múltiplo de 9 e p(n+1) : 10n+2
+3×10n+1
+5 é múltiplo de 9.
Considerando o primeiro membro da tese, comecemos por notar que
10n+2
+ 3 × 10n+1
+ 5 = 10 (10n+1
+ 3 × 10n
) + 5 = 10 (10n+1
+ 3 × 10n
+ 5 − 5) + 5 =
10 (10n+1
+ 3 × 10n
+ 5) − 10 × 5 + 5 = 10 (10n+1
+ 3 × 10n
+ 5) − 9 × 5.
Usando a hipótese de indução, ∃k ∈ N : 10n+1
+ 3 × 10n
+ 5 = 9 × k. Logo,
10n+2
+3×10n+1
+5 = 10 (10n+1
+3×10n
+5)−9×5 = 10×9×k−9×5 = 9 (10×k−5),
pelo que 10n+2
+ 3 × 10n+1
+ 5 é múltiplo de 9.
10n+1
+ 3 × 10n
+ 5 é múltiplo de 9, ∀n ∈ N.
4. Mostre, pelo princípio de indução matemática, que 3n
> 2n+1
, ∀n ∈ N {1}.
Resolução:
Consideremos a condição p(n) : 3n
> 2n+1
. Pretendemos mostrar que p(n) é válida para
todo o número natural n, maior que um.
i) Para n = 2 a proposição reduz-se a
32
= 9 > 8 = 22+1
,
ii)Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-
p(n) : 3n
> 2n+1
e p(n + 1) : 3n+1
> 2n+2
.
Considerando o primeiro membro da tese, como 3n+1
= 3 × 3n
, aplicando a hipótese de
indução obtemos 3n+1
= 3 × 3n
> 3 × 2n+1
. Como 3 > 2, as desigualdades anteriores
implicam que 3n+1
> 2 × 2n+1
= 2n+2
. Logo, 3n+1
> 2n+2
.
3n
> 2n+1
, ∀n ∈ N {1}.
15

3Sucessões de números reais
1. Considere a sucessão definida por recorrência



u1 =
√
2
un+1 =
√
2un , ∀ n ∈ N.
(a) Prove, por indução, que 0 < un < 2 , ∀ n ∈ N.
(b) Prove que a sucessão é monótona crescente.
2. Considere a sucessão de termo geral un =
(−1)3n
√
n
. Indique, justificando, quais das se-
guintes sucessões são subsucessões de un:
(a) 1√
2n
;
(b) 1√
n
;
(c) − 1√
n
;
(d) 1√
2n+1
.
3. Mostre, usando a definição, que
(a) lim
n→+∞
2n
= +∞;
(b) lim
n→+∞
en
+ 2
en
= 1;
(c) lim
n→+∞
1
n2
= 0;
(d) lim
n→+∞
1
n2 + n + 3
= 0.
4. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un → 0, vn → +∞ e que:
(a) lim
n→+∞
unvn = 2 ;
17

(b) lim
n→+∞
unvn = 0 ;
(c) lim
n→+∞
unvn não existe.
5. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim
n→+∞
n
√
n2 + n
;
(b) lim
n→+∞
(−1)n+1 n − 2
n3 + 2n2 − 2
;
(c) lim
n→+∞
sin(
√
n)
√
n
;
(d) lim
n→+∞
sin 1
n
1
n
;
(e) lim
n→+∞
1 + n−2 n
;
(f) lim
n→+∞
nn−2
(n + π)n
(n2
+ 1);
(g) lim
n→+∞
√
n2 + 5 + 3
√
n
3
√
2n3 + n2 + n
2
+
n2
+ 1
n
√
n
;
(h) lim
n→+∞
2n
sin(n2
+ 2n)
22n+1 + 2n
;
(i) lim
n→+∞
nn2
(1 + n2)
n2
2
;
(j) lim
n→+∞
22n+1 n + 2
4n + 1
n
;
(k) lim
n→+∞
(
√
2n + 1 −
√
2n) cos n3
+ 1 ;
(l) lim
n→+∞
n
k=1
n
n2 + k
;
(m) lim
n→+∞
n
√
2n + 3n+1;
(n) lim
n→+∞
sin(n2
);
(o) lim
n→+∞
n
k=1
(sin n)2
5n3 + k
;
(p) lim
n→+∞
n
n 1
23nn!
.
6. Considere a sucessão
un =
1
n
+
1
n + 1
+ · · · +
1
2n
.
18

(a) Prove que a sucessão é limitada.
(b) Prove que a sucessão é monótona.
(c) Prove que a sucessão é convergente.
7. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-
gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:
(a) ]0, 1];
(b) {x ∈ R : x = n
n+1
, n ∈ N}.
8. Calcule os sublimites das seguintes sucessões e indique em cada caso os respectivos limite
superior e limite inferior:
(a) (−1)n n
n + 1
;
(b) (−1)n
n + n;
(c)
cos(nπ) + cos(2nπ)
n
;
(d)
n
√
n2n sin
nπ
2
.
9. Considere a sucessão de números reais deﬁnida, por recorrência,



u1 = 1
un+1 = 2 +
√
un , ∀ n ∈ N.
(a) Mostre que a sucessão é monótona.
(b) Mostre que un ≤ 4 , ∀ n ∈ N.
(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.
10. Prove, usando a deﬁnição, que a sucessão an = 1
n
é uma sucessão de Cauchy.
19

1. Considere a sucessão de termo geral un =
3
n + 1
.
(a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.
(b) Averigúe se a sucessão é monótona e limitada.
2. Verifique se as seguintes sucessões são limitadas:
(a) vn =
5n2
+ 8
5n2 + 1
;
(b) wn =



arccot(n) se n par
− arctan(n) se n ímpar.
3. Verifique se as seguintes sucessões são monótonas:
(a) un = cos 1
n
+ 5;
(b) zn =



1
n
se n par
(−2)n
se n ímpar.
4. As sucessões un e vn verificam as seguintes condições:
i) ∀ n ∈ N 0 < un < vn;
ii) ∀ n ∈ N vn é decrescente.
Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(a) vn é convergente;
(b) un é convergente;
(c) un é decrescente.
5. Mostre, usando a definição, que
(a) lim
n→+∞
log(n) = +∞;
(b) lim
n→+∞
1
2n
= 0;
(c) lim
n→+∞
n +
√
n
n +
√
n + 1
= 1.
6. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un → +∞ e vn → −∞, que verifiquem
(a) lim
n→+∞
(un + vn) = 0 ;
20

(b) lim
n→+∞
(un + vn) = +∞ ;
(c) lim
n→+∞
(un + vn) não existe.
7. Considere as sucessões de números reais deﬁnidas por



u1 = 3
5
un+1 = un−3
6
, ∀ n ∈ N
e vn = 5un + 3 .
(a) Mostre que vn é uma progressão geométrica.
(b) Deduza a expressão analítica de vn e un.
(c) Calcule o limite de un.
8. Considere a sucessão de termo geral un = sin n
π
2
. Encontre sucessões vn estritamente
crescentes tais que wn = un ◦ vn seja subsucessão de un, e que veriﬁquem
(a) wn = 1 , ∀ n ∈ N;
(b) wn = 0 , ∀ n ∈ N.
9. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
n→+∞
n tan
1
n
;
(b) lim
n→+∞
cos2
(n) sin
1
n
;
(c) lim
n→+∞
n2
+ 3
n2 + 1
n2
;
(d) lim
n→+∞
1
5n + 3. 7n
− 1
n
;
(e) lim
n→+∞
√
5n2 + 1 −
√
5n2 − 1 + n
√
n ;
(f) lim
n→+∞
(n + 1)
n2
+
(n + 1)2
n3
+ · · · +
(n + 1)n
nn+1
;
(g) lim
n→+∞
1
3
√
n3 + 4
+
1
3
√
n3 + 5
+ · · · +
1
3
√
n3 + 2n
;
(h) lim
n→+∞
n10
− 1
n10
n5
;
(i) lim
n→+∞
2n
− en+1
en − 2n+1
.
10. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-
gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:
21

(a) [0, 1[;
(b) Q.
11. Calcule os sublimites das seguintes sucessões, e indique, em cada caso, o limite superior
e o limite inferior:
(a)
√
2n + 1 − (−1)n
√
2n + 3;
(b) (−1)n sin2
(n)
2n
1
n
.
12. Considere a sucessão de números reais positivos deﬁnida, por recorrência, por



u1 = 5
un+1 =
5un − 4
un
, ∀ n ∈ N.
(a) Prove por indução que 4 < un , ∀ n ∈ N.
(b) Prove que a sucessão é convergente.
13. Sendo a ∈ R, com 0 < a < 1, considere a sucessão deﬁnida por recorrência do seguinte
modo



u1 = 3
un+1 = un + 3 an
, ∀ n ∈ N.
(a) Prove, por indução, que un = 3
n
k=1
ak−1
, ∀ n ∈ N.
(b) Mostre que a sucessão e monótona.
(c) Calcule o seu limite.
14. Prove que a sucessão xn = 1 + 1
2
+ 1
3
+ · · · + 1
n
não é uma sucessão de Cauchy.
22

1. Prove, usando a definição, que lim
1
√
n + 2
= 0.
Resolução:
Queremos provar que
∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒
1
√
n + 2
− 0 < ε.
Como
1
√
n + 2
é sempre positivo, a propriedade anterior reduz-se a
∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒
1
√
n + 2
< ε.
Seja ε > 0 fixo arbitrariamente.
Atendendo a que
1
√
n + 2
<
1
√
n
, ∀n ∈ N, para satisfazer a definição, basta tomar p como
o menor número inteiro maior ou igual que
1
ε2
. De facto,
n > p ≥
1
ε2
⇒ n >
1
ε2
⇒
1
n
< ε2
⇒
1
√
n
< ε.
Logo,
n > p ⇒
1
√
n + 2
<
1
√
n
< ε.
Provámos então que
∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒
1
√
n + 2
< ε.
2. Determine, justificando, o limite das sucessões:
(a) xn = sin(n)
n2
j=1
j
n5
;
(b) yn =
n
j=0
sin(
√
n)
j + 2n3
.
Resolução:
(a) Começamos por calcular o lim
n2
j=1
j
n5
.
23

A sucessão
n2
j=1
j
n5
pode ser reescrita na forma
n2
j=1
j
n5
=
1
n5
+
2
n5
+ · · · +
n2
n5
n2 parcelas
,
pelo que,
n2 1
n5
≤
n2
j=1
j
n5
≤ n2 n2
n5
, ∀ n ∈ N.
Tendo em conta que
lim
n2
n5
= lim
1
n3
= 0 ,
lim
n4
n5
= lim
1
n
= 0 ,
podemos concluir, pelo teorema das sucessões enquadradas, que
lim
n2
j=1
j
n5
= 0 .
Uma vez que −1 ≤ sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ N, podemos concluir que
lim sin(n)
n2
j=1
j
n5
= 0 ,
por ser o produto de um inﬁnitésimo por uma sucessão limitada.
(b) A resolução desta alínea é análoga à anterior, uma vez que yn pode ser reescrita na
forma
yn = sin(
√
n)
n
j=0
1
j + 2n3
= sin(
√
n)






1
√
0 + 2n3
+ · · · +
1
√
n + 2n3
n+1 parcelas






,
atendendo a que sin(
√
n) não depende do índice do somatório. Assim, vamos pri-
meiro calcular lim
n
j=0
1
j + 2n3
. Comecemos por observar que
(n + 1)
1
√
n + 2n3
≤
n
j=0
1
j + 2n3
≤ (n + 1)
1
√
2n3
, ∀ n ∈ N.
24

Dividindo o numerador e o denominador de ambas as fracções pela potência de maior
grau, obtemos
lim
n + 1
√
n + 2n3
= lim
1√
n
+ 1
n3/2
1
n2 + 2
= 0
e
lim
n + 1
√
2n3
= lim
1√
n
+ 1
n3/2
√
2
= 0.
Logo, pelo teorema das sucessões enquadradas, concluímos que
lim
n
j=0
1
j + 2n3
= 0.
Por outro lado temos
−1 ≤ sin(
√
n) ≤ 1, ∀ n ∈ N
o que nos permite concluir que,
lim sin(
√
n)
n
j=0
1
j + 2n3
= 0,
por se tratar do produto de um inﬁnitésimo por uma sucessão limitada.
3. Calcule, justiﬁcando, os limites das seguintes sucessões:
(a)
n
n
√
n!
;
(b)
1
5n
5n − 1
n + 1
n
;
(c)
4
√
n + 1
n
√
n + 3
sin(
√
n + 1);
(d) sin 1
n
cos(
√
n + 1).
Resolução:
(a) Comecemos por notar que
lim
n
n
√
n!
= lim n nn
n!
.
25

Seja un =
nn
n!
> 0 , ∀ n ∈ N. Como
lim
un+1
un
= lim
(n+1)(n+1)
(n+1)!
nn
n!
= lim
(n + 1)(n+1)
n!
(n + 1)! nn
= lim
(n + 1)n
(n + 1) n!
(n + 1) n! nn
= lim
(n + 1)n
nn
= lim 1 +
1
n
n
= e,
e atendendo a que
lim
un+1
un
= e ⇒ lim n
√
un = e,
concluímos que lim n
n√
n!
= e.
(b) Comecemos por notar que
1
5n
5n − 1
n + 1
n
=
5n − 1
5n + 5
n
e que
5n − 1
5n + 5
= 1 +
−6
5n + 5
.
Logo,
lim
1
5n
5n − 1
n + 1
n
= lim
5n − 1
5n + 5
n
= lim 1 +
−6
5n + 5
5n+5
n
5n+5
.
Assim, como lim 1 +
−6
5n + 5
5n+5
= e−6
e lim
n
5n + 5
=
1
5
, obtemos
lim
1
5n
5n − 1
n + 1
n
= e−6
1
5
= e−6
5 .
(c) Dividindo o numerador e o denominador da fracção pela potência de maior grau
obtemos, sucessivamente,
lim
4
√
n + 1
n
√
n + 3
= lim
4√
n
n3/2 + 1
n3/2
√
n3
n3/2 + 3
n3/2
= lim
4 n
n6 + 1
n3/2
1 + 3
n3/2
= lim
4 1
n5 + 1
n3/2
1 + 3
n3/2
=
4
√
0 + 0
1 + 0
= 0.
26

Uma vez −1 ≤ sin(
√
n + 1) ≤ 1 , ∀ n ∈ N, temos que
lim
4
√
n + 1
n
√
n + 3
sin(
√
n + 1) = 0,
por se tratar do produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
(d) Tendo em conta que
lim sin
1
n
= sin(0) = 0
e que
−1 ≤ cos(
√
n + 1) ≤ 1, ∀ n ∈ N,
podemos concluir que
lim sin
1
n
cos(
√
n + 1) = 0,
por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
4. Considere a sucessão de números reais definida por recorrência,



x1 =
√
3
xn+1 =
√
3 xn.
(a) Mostre, por indução matemática, que
√
3 ≤ xn < 3, ∀n ∈ N.
(b) Mostre que a sucessão é crescente.
(c) Verifique que a sucessão é convergente e determine o seu limite.
Resolução:
(a) Queremos provar, pelo princípio de indução matemática, que a propriedade√
3 ≤ xn < 3 é verificada, para todo o número natural n.
(i) Para n = 1, a propriedade reduz-se a
√
3 ≤ x1 =
√
3 < 3
pelo que, para n = 1, obtemos uma proposição verdadeira.
(ii) Queremos agora provar que se a propriedade é válida para um certo número
natural n, então também é válida para o número natural seguinte, i.e, queremos
provar que
√
3 ≤ xn < 3 ⇒
√
3 ≤ xn+1 < 3.
Por hipótese,
√
3 ≤ xn < 3. Logo, obtemos sucessivamente
√
3 ≤ xn < 3
⇒ 3
√
3 ≤ 3 xn < 9
⇒ 3
√
3 ≤
√
3 xn < 3
⇒
√
3 ≤ 3
√
3 ≤ xn+1 < 3,
27

pelo que
√
3 ≤ xn+1 < 3.
Por (i) e (ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que
√
3 ≤ xn < 3,
∀n ∈ N.
(b) Queremos provar que xn+1 − xn > 0, ∀n ∈ N. Basta ver que
xn+1 − xn =
√
3xn − xn
=
√
3
√
xn −
√
xn
√
xn
=
√
xn(
√
3 −
√
xn).
Como, pela alínea (a),
√
xn > 0 e
√
xn <
√
3, então
√
xn(
√
3 −
√
xn) > 0. Logo,
xn+1 −xn > 0, ∀n ∈ N, pelo que concluímos que a sucessão é estritamente crescente.
(c) Pela alínea (a), sabemos que a sucessão é limitada e, pela alínea (b), sabemos que a
sucessão é monótona. Então, podemos concluir que a sucessão é convergente. Seja
lim xn = a. Então, lim xn+1 = a, uma vez que (xn+1)n∈N é uma subsucessão de
(xn)n∈N, e qualquer subsucessão de uma sucessão convergente, é convergente para o
mesmo limite. Temos então
lim xn+1 = lim
√
3 xn
lim xn+1 =
√
3 lim xn
⇔ a =
√
3 a
⇒ a2
= 3 a
⇔ a = 0 ∨ a = 3.
Podemos então concluir que lim xn = 3, uma vez que, como
√
3 ≤ xn < 3, ∀n ∈ N,
então
√
3 ≤ lim xn ≤ 3.
5. Seja a ∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais deﬁnida, por
recorrência, 


x1 = 0, x2 = a
xn+2 = xn+1 + x2
n.
(a) Mostre que a sucessão é crescente.
(b) Mostre que xn > 0, ∀n ∈ N {1}.
(c) Mostre que se existir b ∈ R tal que lim xn = b, então b = 0.
(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule lim xn.
Resolução:
(a) Como xn+2 − xn+1 = x2
n ≥ 0 , ∀n ∈ N, temos
xn+2 − xn+1 ≥ 0 , ∀n ∈ N
28

isto é,
xn+1 − xn ≥ 0 , ∀n ∈ N {1} .
Como a > 0, temos ainda que x2 − x1 = a − 0 ≥ 0. Podemos então concluir que
xn+1 − xn ≥ 0 , ∀n ∈ N .
(b) Vamos mostrar, pelo princípio de indução matemática, que
xn > 0, ∀n ∈ N {1},
o que é equivalente a
xn+1 > 0, ∀n ∈ N.
(i) Para n = 1, a propriedade reduz-se a x2 = a > 0 pelo que, para n = 1, obtemos
uma proposição verdadeira.
provar que xn+1 > 0 ⇒ xn+2 > 0.
Por hipótese de indução, xn+1 > 0 e, como x2
n ≥ 0, ∀n ∈ N, obtemos xn+2 =
xn+1 + x2
n ≥ 0.
Por (i) e (ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que xn+1 > 0 , ∀n ∈
N.
(c) Suponhamos que existe b ∈ R, tal que lim xn = b. Assim, como (xn+1)n∈N e (xn+2)n∈N
são subsucessões de (xn)n∈N, e qualquer subsucessão de uma sucessão convergente é
convergente para o mesmo limite, temos que lim xn+1 = lim xn+2 = b .
Uma vez que xn+2 = xn+1 + x2
n obtemos
lim xn+2 = lim xn+1 + (lim xn)2
⇔ b = b + b2
⇔ b = 0.
Portanto, se lim xn = b e b ∈ R, então lim xn = 0.
(d) Pela alínea (a), a sucessão é monótona crescente. Vejamos agora que a sucessão
não é limitada. De facto, se a sucessão fosse limitada, pelo teorema da sucessão
monótona e pela alínea (c), teríamos que lim xn = 0. Mas, xn ≥ x2 , ∀ n ≥ 2, isto
é, xn ≥ a > 0 , ∀ n ≥ 2, pelo que lim xn ≥ a > 0, o que contradiz a alínea (c) (isto
é, lim xn = 0 é uma contradição com o facto de termos uma sucessão monótona
crescente cujo segundo termo é estritamente positivo). Podemos então concluir que
xn não é limitada. Mas, por ser monótona crescente, xn é limitada inferiormente
(x1 ≤ xn , ∀ n ∈ N). Podemos assim concluir que a sucessão não é limitada por
não ser limitada superiormente, isto é, o conjunto dos termos da sucessão não tem
majorantes.
Seja L > 0. Se L não é majorante do conjunto dos termos da sucessão, então
∃ m0 ∈ N : xm0 > L .
Uma vez que xn é crescente, n > m0 ⇒ xn ≥ xm0 > L.
Podemos então concluir que
∀L > 0 ∃ m0 ∈ N : n > m0 ⇒ xn > L.
Logo, xn é um inﬁnitamente grande positivo, ou seja, lim xn = +∞.
29

4Limites, Continuidade e
Cálculo Diferencial
1. Prove, usando a definição, que
(a) lim
x→1
3x + 2 = 5;
(b) lim
x→+∞
2x
x + 1
= 2.
2. Justifique convenientemente a seguinte afirmação: " lim
x→+∞
sin(x)".
3. Seja g a função definida, em R, por
g(x) =



x + 3, se x > −1
−x + 2, se x < −1.
(a) Esboce o gráfico de g.
(b) Mostre que não existe lim
x→−1
g(x).
4. Considere a função f real de variável real
f(x) =



2x + 3, se x < 1
x + 4, se x > 1.
Calcule lim
x → 1
x = 1
f(x) e lim
x→1
f(x).
5. Seja f a função definida, em R, por
f(x) =



x + 2, se x > 1
2 − 3x, se x ≤ 1.
31

(a) Mostre que não existe lim
x→1
f(x).
(b) Defina, em R, uma função g tal que lim
x→1
(f + g)(x) = 4.
6. Para cada número real m, a expressão seguinte define uma função real de variável real:
h(x) =



x2
− m + 7, se x > 0
5, se x = 0
|x + 3| + m, se x < 0.
(a) Determine m de modo que exista lim
x→0
h(x).
(b) Calcule m de modo que lim
x→−5
h(x) = h(0). Neste caso, a função é injectiva? Justifi-
que.
7. Seja f a função real de variável real definida por
f(x) =



x2
e−x
, se x ≥ 1
sin(x − 1)
x2 − 1
, se x < 1.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade.
(b) Determine os zeros da função dada.
(c) Calcule lim
x→−∞
f(x).
8. Considere a função g, real de variável real,
g(x) =



x + 1, se x > 2
1
2
x, se x ≤ 2.
(a) Calcule g(0) e g(3).
(b) Mostre que ∀x ∈ [0, 3], g(x) =
5
2
.
Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justifique.
(c) Averigúe se a restrição de g ao intervalo [0, 2] é necessariamente limitada.
9. Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b] tais que f(a) = g(b) e f(b) = g(a). Mostre
que f − g tem pelo menos um zero pertencente ao intervalo [a, b].
10. Considere a função real de variável real definida por
f(x) =



ex
− 1, se x ≥ 0
cos(x) log(x + 1), se x < 0.
32

(a) Determine o domínio de f e estude-a quanto à continuidade.
(b) Mostre que existe a ∈ −π
4
, 1 tal que f(a) = 0.
(c) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 1]. Indique os
seus valores.
g(x) =



3x
+ 2x
2 − ex
, se x ≥ 0
arctan(x), se x < 0.
(b) Calcule lim
x→−∞
g(x) e lim
x→+∞
g(x).
(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no
intervalo [−1, 1]?
f(x) =



−
1
x
cos
π
2
− x , se x < 1
ex
− log(x2
), se x ≥ 1.
(b) A função f é diferenciável em x = 1? Justifique.
(c) Calcule lim
x→−∞
f(x).
(d) Verifique se é ou não possível prolongar f por continuidade ao ponto x = 0.
13. Considere a função g, real de variável real, tal que
g(x) =



e−bx+b
, se x < 1
(x − 2)2
, se x ≥ 1.
Determine o número real b de modo a que a função g seja diferenciável em x = 1.
14. Seja A = [0, 2π] e considere a função
g : A → R
x → 1 + | sin(x)|.
(a) Mostre que g é contínua no intervalo A, mas que não tem derivada no ponto x = π.
(b) Seja an uma sucessão monótona de termos de A. Averigúe se an é necessariamente
convergente para um ponto de A.
33

15. Dada a função f(x) =
π
3
−2 arccos
3x
2
, mostre que a recta de equação y −3x+ 2π
3
= 0
é tangente ao gráfico da função f. Determine o ponto de tangência.
16. Considere a função real de variável real definida por f(x) = cos(3x).
(a) Calcule a terceira derivada de f.
(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que f(n)
(x) = 3n
cos
nπ
2
+ 3x , ∀x ∈
R, ∀n ∈ N.
17. Dadas as funções f e g definidas por f(x) = 2 cot(3x) e g(x) =
π
2
+arcsin(1−x), determine
a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
18. Dadas as funções
f : [−2, 0] → [0, π]
x → arccos(x + 1)
e
g : −
1
5
, +∞ → R
x → log2(5x + 1),
calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.
19. Considere a função real de variável real
f(x) =



x|x|, se x > −2
(x + 2)2
− 4, se x ≤ −2.
(a) Determine o domínio de f.
(b) Estude f quanto à continuidade.
(c) Determine a função derivada f .
(d) Determine a função segunda derivada f .
20. Considere a função f real de variável real definida por
f(x) =



e|x−1|
, se x > 0
arctan(x), se x ≤ 0.
(a) Estude a função f quanto à continuidade.
(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f .
(c) Determine o sinal da função segunda derivada f .
(Nota: pode usar, sem demonstrar, que lim
x→0
arctan(x)
x
= 1.)
34

1. Prove, usando a definição, que
(a) lim
x→0+
1
x
= +∞;
(b) lim
x→+∞
log1
2
x = −∞.
2. Seja f a função real de variável real definida por
f(x) =



−2x, se x < −1
x2
+ 1, se − 1 ≤ x < 2
3x − 2, se x > 2.
Investigue se existe
(a) lim
x→−1
f(x);
(b) lim
x→2
f(x).
3. Seja h a função definida, em R, por
h(x) =



|x + 3|
x + 3
, se x = −3
2, se x = −3.
(a) Determine, se existir, lim
x→−3
h(x).
(b) Esboce o gráfico da função h e determine o seu contradomínio.
(c) Diga, justificando, o valor lógico da proposição ∀x, y ∈ R h(x) = h(y) ⇒ x = y.
f(x) =



sin(x2
− 4)
x − 2
, se x > 2
x − a, se x ≤ 2.
(a) Determine, caso exista, o valor de a que torna a função contínua no ponto x = 2.
(b) Considerando a = 2, calcule os zeros da função.
(c) Calcule lim
x→+∞
f(x).
5. Considere, em R, as funções f(x) =
1
x
e g(x) =
x2
− 9
x3 − 27
.
(a) Determine o domínio de f e de g.
35

(b) Mostre que não há nenhuma extensão de f que seja contínua em R.
(c) Indique um prolongamento de g a R que seja contínuo.
6. Seja f uma função real de variável real, contínua em [a, b]. Sabendo que f(a) ≤ a e
f(b) ≥ b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo [a, b] (Nota: c é um
ponto fixo de f, se f(c) = c).
g(x) =



2
π
arcsin |x − 2|, se x ≤ 3
e−(x−3)2
, se x > 3.
(b) Calcule lim
x→2
g(x)
x − 2
. (Nota: pode usar, sem demonstrar, que lim
x→0
arcsin(x)
x
= 1.)
(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no
intervalo
5
2
, 4 ?
h(x) =



2x3
− 5x + m, se x ≥ −1
(x − 1) log(e + (x + 1)2
)
x2 + x − 2
, se x < −1.
(a) Determine m de modo a que a função seja contínua em x = −1.
Considere, nas próximas alíneas, o valor de m obtido na alínea (a).
(b) Indique o conjunto dos pontos onde h é contínua, justificando detalhadamente.
(c) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a proposição
∃x ∈] − 1, 0[: h(x) = 1.
9. Seja g a função real de variável real definida por
g(x) =



x2
+ 2x + 2, se x ≤ −2
−1 +
ex+1
(x − 1)
(x2 − 1)5x
, se x > −2.
(b) Calcule lim
x→+∞
g(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Justifique que a restrição da função ao intervalo [−4, −2] atinge um mínimo nesse
intervalo.
10. Calcule, usando regras de derivação, as derivadas das seguintes funções:
36

(a) esin(x)
;
(b) arctan(x2
);
(c) arcsin(x2
);
(d) log(cos(x));
(e) sin(x)
5
;
(f) |x + 1|;
(g) (log(x) + 1)3;
(h) tan(
√
x);
(i) tan2
(x4
) + cot(x);
(j) arctan
1 − cos(x)
1 + cos(x)
;
(k)
sin(x) + cos(x)
sin(x) − cos(x)
;
(l) log(log(x) + 2);
(m) log
ex
1 + ex
.
11. Dada a função real de variável real definida por y(x) = e2x
sin(5x), verifique que y (x) −
4 y (x) + 29 y(x) = 0.
12. Considere a função real de variável real g(x) = xe−x
.
(a) Determine A = {x ∈ R : g (x) = 0}.
(b) Demonstre, pelo princípio de indução matemática, que g(n)
(x) = (−1)n
(x−n)e−x
, ∀x ∈
R, ∀n ∈ N.
13. Considere, em R, a função f definida por f(x) =
mx + 1
2x + m
. Determine o número real m de
forma a que a recta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa x = 1, faça um ângulo
de 135o
com o semi-eixo positivo das abcissas.
14. Considere, em R, as funções f(x) =
1
2
arcsin(x − 2) e g(x) =
1
2
x+2
.
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f e de g.
(b) Calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.
(c) Determine a derivada de g o f, no ponto de abcissa 2.
15. Estude a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções, no ponto x = 0:
(a) f(x) =



cos π
2
− x , se x ∈ −
π
2
, 0
x log π
2
x + e , se 0,
π
2
;
37

(b) g(x) =



x
1 + e
1
x
, se x = 0
0, se x = 0.
16. Considere a função real de variável real f : [−3, 4] → R definida por
f(x) =



√
2 − x, se − 3 ≤ x < 2
3x − 6
x
, se 2 ≤ x ≤ 4.
(a) Prove que a função admite máximo e mínimo.
(b) Calcule a função derivada f e a função segunda derivada f .
(c) Seja dn uma sucessão monótona de termos de Df . Averigúe se dn é necessariamente
convergente para um ponto de Df .
17. Considere a função real de variável real definida pela expressão
g(x) =



sin(x) + cos(x)
1 − cos(x)
, se x = 0
1, se x = 0.
(a) Determine o domínio de g e estude-a quanto à continuidade.
(b) Calcule os zeros de g. Justifique a existência desses zeros usando o teorema de
Bolzano.
(c) Estude a função g quanto à diferenciabilidade.
h(x) =



|x2
− 9|, se x ≥ 0
log(x2
+ e4
), se x < 0.
(a) Determine o domínio de h e estude a função quanto à continuidade.
(b) Estude a função h quanto à diferenciabilidade.
38

1. Prove, usando a definição, que lim
x→1
4 x + 2 = 6.
Resolução:
Queremos provar que ∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ |(4 x + 2) − 6| < δ, isto é, que
∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ.
Seja δ > 0 fixo arbitrariamente.
Para verificar a definição, basta tomar ε = δ
4
. De facto, considerando este valor para ε,
obtemos |x − 1| < ε ⇒ 4|x − 1| < 4 ε = 4
δ
4
= δ.
Assim, concluímos que ∀δ > 0 ∃ ε = δ
4
> 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ.
2. Considere a função f real de variável real, definida por
f(x) =



log(1 − x2
), se − 1 < x < 0
−x2
, se x ≥ 0
arctan(−x) , se x ≤ −1.
(a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade de f.
(c) Estude a diferenciabilidade de f nos pontos x = −1 e x = 0.
Sugestão: pode usar, sem demonstrar, que lim
y→0
log(1 + y)
y
= 1.
(d) Determine os zeros da função.
(e) Calcule lim
x→−∞
f(x).
(f) Averigúe se, no intervalo [2, 3], a função f é limitada.
Resolução:
Df = {x ∈ R : (1 − x2
> 0 ∧ −1 < x < 0) ∨ x ≥ 0 ∨ x ≤ −1}.
Como 1 − x2
> 0 ⇔ x2
< 1 ⇔ −1 < x < 1, então 1 − x2
> 0 ∧ −1 < x < 0 é
equivalente a −1 < x < 0. Logo, Df = R.
(b) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, a função
é contínua. Nomeadamente, f é contínua em ] − 1, 0[ por ser a composição de
duas funções contínuas no seu domínio (função quadrática e função logarítmica),
é contínua em ]0, +∞[ por ser uma função quadrática e, finalmente, é contínua
39

em ] − ∞, −1[ por ser também a composição de duas funções contínuas (função
trigonométrica inversa e função linear). Falta estudar a continuidade da função nos
pontos x = 0 e x = −1.
Vamos então estudar a continuidade da função no ponto x = 0, começando por
calcular os seus limites relativos. Assim, temos
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
−x2
= 0 e lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
log(1 − x2
) = 0.
Logo, como lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
f(x) = 0 então lim
x → 0
x = 0
f(x) = 0. Além disso, aten-
dendo a que f(0) = 0 então lim
x→0
f(x) = 0. Consequentemente, f é contínua em
x = 0.
Estudemos agora a continuidade da função no ponto x = −1, pelo mesmo processo:
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
log(1 − x2
) = −∞ e lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
arctan(−x) =
π
4
.
Assim, como lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) então não existe lim
x → −1
x = −1
f(x). Consequente-
mente, não existe lim
x→−1
f(x), pelo que f não é contínua em x = −1.
Concluímos assim que f é contínua em R {−1}.
(c) Como a função não é contínua em x = −1 então não é diferenciável neste ponto.
Assim, precisamos apenas de estudar a diferenciabilidade da função no ponto x = 0.
Calculando as derivadas laterais, obtemos
f (0+
) = lim
x→0+
f(x) − f(0)
x − 0
= lim
x→0+
−x2
− 0
x
= lim
x→0+
−x = 0
e
f (0−
) = lim
x→0−
f(x) − f(0)
x − 0
= lim
x→0−
log(1 − x2
) − 0
x
= lim
x→0−
log(1 + (−x2
))
−x2
(−x) = 0.
Como f (0+
) = f (0−
) = 0 então existe e é ﬁnita f (0), pelo que f é diferenciável em
x = 0.
(d) Para determinar os zeros da função, necessitamos de analisar separadamente os três
ramos.
Assim, no intervalo ] − 1, 0[ temos f(x) = 0 ⇔ log(1 − x2
) = 0 ⇔ 1 − x2
= 1 ⇔ x2
=
0 ⇔ x = 0. Como 0 /∈] − 1, 0[, então f não tem nenhum zero neste intervalo.
Relativamente ao intervalo [0, +∞[, temos f(x) = 0 ⇔ −x2
= 0 ⇔ x = 0. Como
0 ∈ [0, +∞[, então x = 0 é um zero da função.
Por último, no intervalo ] − ∞, −1], de f(x) = 0 ⇔ arctan(−x) = 0 ⇔ −x = 0 ⇔
x = 0 concluímos novamente que a função não tem nenhum zero neste intervalo,
uma vez que x = 0 não pertence ao intervalo ] − ∞, −1].
Sendo assim, o único zero da função é x = 0.
40

(e) Tem-se que lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
arctan(−x) =
π
2
.
(f) Como f é contínua em R {−1}, então f é contínua no intervalo I = [2, 3]. Pelo
teorema de Weierstrass, como I é um intervalo fechado e limitado ele é transformado,
por esta função contínua, num intervalo fechado e limitado. Logo, f(I) é um intervalo
fechado e limitado. Assim, o contradomínio - f(I) - é limitado pelo que f é, neste
intervalo, limitada.
3. Considere a função
g : [0, 2] → [−π
2
, π
2
]
y → arcsin(y − 1).
Calcule a derivada de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa.
Resolução:
Consideremos I = [−π
2
, π
2
], e a função
f : I → [0, 2]
x → sin(x) + 1.
Como f é uma função estritamente monótona e contínua em I, f é invertível (em I),
sendo
g : [0, 2] → I
y → arcsin(y − 1).
a sua função inversa.
Pelo teorema da derivada da função inversa, sabemos então que sendo f diferenciável no
ponto x = g(y) e f (x) = 0 (x ∈] − π
2
, π
2
[) , então g é diferenciável em y = f(x) e
g (y) =
1
f (g(y))
=
1
cos(g(y))
=
1
cos(arcsin(y − 1))
.
Precisamos agora de simpliﬁcar a expressão cos(arcsin(y−1)). Como x = arcsin(y−1) ⇔
sin(x) = y − 1, basta-nos encontrar o valor de cos(x), a partir do valor de sin(x). Pela
fórmula fundamental da trigonometria, e atendendo a que x ∈ I, obtemos cos(x) =
1 − sin2
(x) = 1 − (y − 1)2. Concluímos assim que
g (y) =
1
1 − (y − 1)2
.
f(x) =



x2
− 1, se x < 1
arcsin(x − 1), se x ≥ 1.
41

(b) Calcule, se existir, lim
x→1
f(x).
(c) A função é injectiva? Justifique.
(d) Mostre que ∃c ∈]0, 3
2
[ tal que f(c) =
π
12
.
(e) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 3
2
].
(f) Determine a função derivada f .
Resolução:
(a) Comecemos por notar que Df = {x ∈ R : x < 1 ∨ (−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1)}. Como
−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 então −1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. Assim,
Df =] − ∞, 2].
(b) Comecemos por calcular os limites relativos. Temos lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2
− 1 = 0 e
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
arcsin(x − 1) = arcsin(0) = 0. Como lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = 0
então lim
x → 1
x = 1
f(x) = 0. Além disso, atendendo a que f(1) = 0, concluímos que
lim
x→1
f(x) = 0.
(c) Para a função ser injectiva, tem de ser verdadeira a proposição
∀x, y ∈ Df , f(x) = f(y) ⇒ x = y.
Atendendo a que f(−1) = f(1) = 0 então verifica-se a negação da proposição ante-
rior, isto é,
∃x, y ∈ Df : f(x) = f(y) ∧ x = y,
pelo que f não é injectiva.
(d) Vimos, na alínea (b), que existe lim
x→1
f(x) pelo que f é contínua no ponto x = 1.
Além disso, no interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função,
podemos afirmar que f também é contínua. De facto, em ]−∞, 1[ a função é contínua
por se tratar de uma função polinomial e, em ]1, 2[ a função é contínua por se tratar
da composição de duas funções contínuas (uma função trigonométrica inversa, que é
contínua no seu domínio, e uma função linear). Ainda, f é contínua em x = 2, uma
vez que lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
arcsin(x − 1) = arcsin(1) =
π
2
= f(2). Concluímos assim
que f é contínua em ]−∞, 2] pelo que, em particular, f é contínua em [0, 3
2
]. Como,
por outro lado, f(0) = −1 e f 3
2
= arcsin 1
2
= π
6
então, pelo teorema de Bolzano,
toda a função contínua não passa de um valor para outro sem passar por todos os
valores intermédios, i.e., considerando k = π
12
, como f(0) = −1 < π
12
< π
6
= f 3
2
então ∃c ∈]0, 3
2
[: f(c) = k = π
12
.
Observação: Para estarmos nas condições do teorema de Bolzano, apenas precisamos
de provar que f é contínua em [0, 3
2
]. Por isso, uma resolução alternativa seria provar
42

que f é contínua nos intervalos ]0, 1[ e ]1, 3
2
[, no ponto x = 1 (com justificações
análogas às anteriores) e, ainda, que lim
x→0+
f(x) = f(0) e lim
x→ 3
2
−
f(x) = f
3
2
.
(e) Vimos, na alínea anterior, que f é contínua no intervalo I = [0, 3
2
]. Pelo corolário do
teorema de Weierstrass, como I é um intervalo limitado e fechado, então a função
atinge neste intervalo um máximo e um mínimo.
(f) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos
calcular f utilizando as regras de derivação. Assim, obtemos
f (x) =



2 x, se x < 1
1
1 − (x − 1)2
, se 1 < x < 2.
Vamos agora estudar a diferenciabilidade de f no ponto x = 1, por definição. Cal-
culando as derivadas laterais, obtemos
f (1+
) = lim
x→1+
f(x) − f(1)
x − 1
= lim
x→1+
arcsin(x − 1) − 0
x − 1
= lim
x→1+
arcsin(x − 1)
x − 1
= 1
e
f (1−
) = lim
x→1−
f(x) − f(1)
x − 1
= lim
x→1−
(x2
− 1) − 0
x − 1
= lim
x→1−
(x − 1)(x + 1)
x − 1
= lim
x→1−
x+1 = 2.
Como f (1+
) = f (1−
) então não existe f (1). Notemos ainda que não definimos
derivada no ponto x = 2 porque este não é um ponto interior a Df .
Podemos então concluir que
f (x) =



2 x, se x < 1
1
1 − (x − 1)2
, se 1 < x < 2.
5. Considere as funções f e g definidas por f(x) = tan(2x) e g(x) = π + arctan(1 − x).
(a) Determine uma equação da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1.
(b) Determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
Resolução:
(a) Uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 é
y − g(1) = g (1)(x − 1).
Como g (x) =
−1
1 + (1 − x)2
, então g é diferenciável em R, e g (1) = −1. Por outro
lado, g(1) = π. Logo, obtemos a equação da recta tangente
y − π = −x + 1.
43

(b) Vimos, na alínea (a), que a função g é diferenciável em R e, por outro lado, sabemos
que a função f é diferenciável em Df = {x ∈ R : x = π
4
+ kπ
2
, k ∈ Z}, e que
f (x) =
2
cos2(2x)
. Assim, sendo g diferenciável no ponto 1 e f diferenciável no
ponto g(1), pelo teorema da derivada da função composta, f ◦ g é diferenciável em
1 e (f ◦ g) (1) = f (g(1)) · g (1). Atendendo aos cálculos efectuados anteriormente,
obtemos então (f ◦ g) (1) = f (π) · (−1) = 2 · (−1) = −2.
44

5
Teoremas fundamentais
(Rolle, Lagrange e Cauchy).
Indeterminações.
1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = x4
− x2
− 1.
(a) Mostre que f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [−2, 2].
(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico da função é horizontal.
2. Considere a função g : [−1, 3] → R, definida por g(x) = |x − 1|.
(a) Mostre que g é contínua no seu domínio e que g(−1) = g(3).
(b) Verifique que g (x) não se anula para qualquer valor de x.
(c) Explique por que motivo não existe contradição com o teorema de Rolle.
3. Determine o número exacto de zeros da função real de variável real, definida por h(x) =
x4
− 2x3
+ 1.
4. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−2, 2], por f(x) =
x3
4
+ 1.
(a) Mostre que esta função verifica as condições do teorema de Lagrange.
(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico de f é paralela ao
segmento de extremos A (−2, f(−2)) e B (2, f(2)).
5. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−1, 8], por f(x) = x
2
3 .
(a) Mostre que não existe c no intervalo ] − 1, 8[ tal que f (c) =
f(8) − f(−1)
8 − (−1)
.
(b) A alínea anterior contradiz o teorema de Lagrange? Justifique.
6. Considere a função real de variável real, definida por g(x) = 1 + x log(x). Aplicando
o teorema de Lagrange à função g, mostre que o seguinte conjunto de desigualdades é
satisfeito
1 + log(x) < log(4x) < 1 + log(2x), ∀x ≥ 1.
Sugestão: considere intervalos da forma [x , 2x], com x ≥ 1.
45

7. (a) Seja f uma função real de variável real, diferenciável num intervalo I. Mostre,
utilizando o teorema de Lagrange que, se existir M > 0 tal que |f (x)| ≥ M, ∀x ∈ I,
então |f(x) − f(y)| ≥ M |x − y| , ∀x, y ∈ I.
(b) Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que | tan(x) − tan(y)| ≥
|x − y|, ∀x, y ∈ −
π
2
,
π
2
.
8. Seja f a função real de variável real definida por f(u) = log(u).
(a) Mostre que o teorema do valor médio de Lagrange pode ser aplicado à função f, em
qualquer intervalo da forma [1, x], para x > 1, e determine o valor médio para o caso
em que x = e.
(b) Prove, utilizando o referido teorema que, ∀x > 1, x − 1 < log (xx
) < x2
− x.
9. Considere f, uma função contínua e diferenciável em [0, +∞[ tal que f(0) = 0 e
0 < f (x) ≤ 1.
(a) Justifique que f só se anula num ponto.
Sugestão: Considere o intervalo [0, b], b > 0, e aplique o teorema de Rolle.
(b) Prove que ∀x ≥ 0, f(x) ≤ x.
10. Verifique que não é possível aplicar a regra de Cauchy no cálculo dos limites seguintes, e
calcule-os por um outro processo.
(a) lim
x→+∞
2x − sin(x)
3x + sin(x)
;
(b) lim
x→0+
x2
2 + sin
1
x
.
(a) lim
x→0
x3
− x
log(x + e) − 1
;
(b) lim
x→0+
x + log (sin(x))
log(x)
;
(c) lim
x→+∞
log (x2
+ 1)
1 + log(x)
;
(d) lim
x→0+
cot(x) −
1
x
;
(e) lim
x→0+
(tan(x) log(x));
(f) lim
x→1+
(x − 1)tan(x−1)
;
(g) lim
x→0+
(ex
+ 2x)
1
x .
46

1. Considere a equação x5
− 20x + 1 = 0.
(a) Determine quantas soluções tem esta equação e localize-as em R.
(b) Mostre que existe uma única solução no intervalo ]0, 2[.
2. Seja h : R → R uma função diferenciável e a, b e c três números reais distintos tais que
h(a) = h(b) = h(c). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique.
(a) h tem, pelo menos, dois zeros;
(b) h tem, no máximo, dois zeros;
(c) h tem exactamente dois zeros.
3. Mostre que x = 0 é a única solução da equação ex
= 1 + x.
4. Seja f uma função de classe C1
em R, tal que 1 ≤ f (x) ≤ 4 , ∀x ∈]2, 5[ . Mostre que
3 ≤ f(5) − f(2) ≤ 12.
5. Sejam f e g funções de classe C1
em R, tais que f (x) = g (x) , ∀x ∈ R. Sabendo que
g(x) = x3
− 4x + 6 e que f(1) = −5, determine f.
6. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange, que se 0 < x < y então
√
y −
√
x <
y − x
2
√
x
.
Conclua que se 0 < x < y então
√
xy <
1
2
(x + y).
7. Prove, aplicando o teorema de Lagrange, que:
(a) arcsin(x) > x , ∀x ∈ ]0, 1[.
(b) arctan(2x) >
2x
1 + 4x2
, ∀x ∈ R+
.
8. Seja f uma função diferenciável em [0, +∞[ tal que f(0) = 3 e f (x) = 0, ∀x ≥ 0.
(a) Calcule, justificando, f(5).
Sugestão: Aplique o teorema de Lagrange ao intervalo [0, 5].
(b) Mostre que f é necessariamente uma função constante.
(c) Considere a função g(x) = ex2−1
. Existe algum ponto onde a função g tem uma
tangente paralela ao gráfico de f?
(a) lim
x→0
3x2
− sin2
(x)
arctan (x2)
;
(b) lim
x→0
sin2
(x2
)
(1 − cos(x))2 ;
47

(c) lim
x→+∞
log x
x+1
sin 1
x
;
(d) lim
x→ π
2
arctan
π
2
− x tan(x) ;
(e) lim
x→0
1
x2
−
cos(3x)
x2
;
(f) lim
x→0
1
sin(x)
−
1
x
;
(g) lim
x→0+
(tan(x))
1
log(x) ;
(h) lim
x→+∞
1 +
1
x
ex
;
(i) lim
x→1
(1 + log(x))
1
x−1 .
48

1. Seja g uma função três vezes diferenciável em R e a, b, c três números reais tais que
a < b < c. Prove que se g tem extremos locais em cada um dos pontos a, b e c, a equação
g (x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. Indique um intervalo que contenha essa raiz.
Resolução:
Se a função g é três vezes diferenciável em R, sabemos que g, g e g são diferenciáveis (e
consequentemente contínuas) em R.
Por outro lado, se g tem extremos locais em cada um dos pontos a, b e c, e sendo g
diferenciável nestes pontos, então g (a) = g (b) = g (c) = 0.
Como a função g (x) é contínua no intervalo [a, b], diferenciável em ]a, b[ e g (a) = g (b) =
0, estamos nas condições do teorema de Rolle, pelo que
∃c1 ∈]a, b[: g (c1) = 0.
De igual forma, como a função g (x) é contínua no intervalo [b, c], diferenciável em ]b, c[ e
g (b) = g (c) = 0, estamos novamente nas condições do teorema de Rolle, pelo que
∃c2 ∈]b, c[: g (c2) = 0.
Considerando agora o intervalo [c1, c2], verifica-se que g (x) é contínua neste intervalo,
diferenciável em ]c1, c2[ e, ainda, g (c1) = g (c2) = 0. Assim, pelo teorema de Rolle,
∃c ∈ ]c1, c2[ : g (c) = 0,
o que significa que g (x) = 0 tem, pelo menos, uma raiz real, pertencente ao intervalo
]c1, c2[.
2. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = sin(x2
− 1) + 2x2
.
(a) Prove que f tem, no máximo, dois zeros.
(b) Prove que f tem exactamente dois zeros.
Resolução:
(a) A função f é diferenciável em R, visto ser a soma de duas funções diferenciáveis em R
(uma função quadrática, e a composta da função seno com uma função quadrática).
Calculando os zeros da sua função derivada, obtém-se
f (x) = 0 ⇔ 2x (cos (x2
− 1) + 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ cos (x2
− 1) = −2.
49

Como a condição cos (x2
− 1) = −2 é impossível em R, então x = 0 é o único zero
da função derivada. Logo, pelo corolário do teorema de Rolle, como “entre dois zeros
(distintos) de uma função diferenciável num intervalo há, pelo menos, um zero da
sua derivada”, concluímos que a função f terá, no máximo, dois zeros (se existissem
três zeros distintos de f, então teriam de existir, pelo menos, dois zeros distintos de
f , o que é uma contradição).
(b) Consideremos os intervalos [−1, 0] e [0, 1]. Como f é contínua em R então, em
particular, f é contínua nestes intervalos. Além disso, f(−1) = f(1) = 2 > 0 e
f(0) = sin(−1) < 0. Logo, pelo teorema de Bolzano, podemos concluir que existe,
pelo menos, um zero da função nestes dois intervalos, i.e.,
∃c1 ∈ ]−1, 0[ : f (c1) = 0
e
∃c2 ∈ ]0, 1[ : f (c2) = 0.
Atendendo a que já tínhamos concluído que a função f tem, no máximo, dois zeros,
podemos agora concluir que f tem, exactamente, dois zeros.
3. Prove, usando o teorema de Lagrange, que é válida a desigualdade
arctan
1
x
<
π
4
−
x − 1
1 + x2
, ∀x > 1.
Resolução:
Seja g a função definida por g(x) = arctan
1
x
, num intervalo do tipo [1, x], com x > 1.
A função g é contínua neste intervalo, por ser a composta entre duas funções contínuas
(a função arctan(x), contínua em R, e a função
1
x
, contínua em R {0}).
A sua função derivada, g (x) = −
1
x2 + 1
, é finita no intervalo ]1, x[, pelo que g é diferen-
ciável em ]1, x[.
Logo, verificam-se as condições do teorema de Lagrange, pelo que se pode concluir que
∃ c ∈]1, x[ : −
1
c2 + 1
=
arctan 1
x
− π
4
x − 1
.
Mas, se 1 < c < x, então 2 < c2
+ 1 < x2
+ 1, pelo que
1
x2 + 1
<
1
c2 + 1
<
1
2
e,
consequentemente, −
1
2
< −
1
c2 + 1
< −
1
x2 + 1
.
Pode pois concluir-se que
arctan 1
x
− π
4
x − 1
< −
1
x2 + 1
, ∀x > 1, de onde se obtém a desi-
gualdade pretendida.
50

4. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h (x) = cos(x) esin2(x)
. Recorrendo
ao teorema de Lagrange, mostre que ∀x > 0 , h(x) ≤ e x.
Resolução:
A função derivada h é finita em R, pelo que h é uma função contínua em R. Em
particular, h é contínua num intervalo do tipo [0, x], x > 0, e diferenciável em ]0, x[,
x > 0, pelo que podemos aplicar o teorema de Lagrange, e obter:
∃ c ∈]0, x[ : h (c) =
h(x) − h(0)
x
.
Como h (c) = cos(c) esin2(c)
e h(0) = 0, obtemos cos(c) esin2(c)
=
h(x)
x
.
Visto que sin2
(c) ≤ 1 e cos(c) ≤ 1 então cos(c)esin2(c)
≤ e. Obtemos então,
h(x)
x
≤ e, e
uma vez que x > 0, concluímos que h(x) ≤ ex.
Pode pois concluir-se que h(x) ≤ ex , ∀x > 0.
5. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta:
lim
x→0+
1 +
1
x
1
log(x)
.
Resolução:
Ao calcular lim
x→0+
1 +
1
x
1
log(x)
obtém-se uma indeterminação do tipo ∞0
.
Atendendo a que 1 +
1
x
> 0 , ∀x ∈ R+
, pode transformar-se esta indeterminação numa
de outro tipo através da seguinte manipulação algébrica:
lim
x→0+
1 +
1
x
1
log(x)
= lim
x→0+
e
log 1 +
1
x
1
log(x)
= lim
x→0+
e
1
log(x)
log 1 +
1
x
= e
lim
x→0+
1
log(x)
log 1 +
1
x = e
lim
x→0+
log 1 + 1
x
log(x) = e
− lim
x→0+
log 1 + 1
x
− log(x) .
(5.1)
Ao calcular este novo limite obtém-se uma indeterminação do tipo
∞
∞
.
Considerando as funções f(x) = log 1 +
1
x
e g(x) = − log(x) , são verificadas as
condições de aplicação da regra de Cauchy, pois:
51

• f e g são diferenciáveis num intervalo do tipo ]0, a[, a > 0, uma vez que as respectivas
funções derivadas f (x) = −
1
x(x + 1)
e g (x) = −
1
x
tomam valores finitos neste
intervalo;
• g (x) = 0 , ∀x ∈]0, a[, a > 0;
• lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
g(x) = +∞.
Como lim
x→0+
f (x)
g (x)
= lim
x→0+
1
x + 1
= 1, verifica-se que este limite existe, pelo que lim
x→0+
f(x)
g(x)
também existe e tem igual valor. Assim, lim
x→0+
f(x)
g(x)
= 1, concluindo-se, a partir de (5.1),
que lim
x→0+
1 +
1
x
1
log(x)
= e−1
.
6. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta:
lim
x→ π
4
log(tan(x))
cot(2x)
.
Resolução:
Ao calcular lim
x→ π
4
log(tan(x))
cot(2x)
, obtém-se uma indeterminação do tipo
0
0
.
Considerando as funções f(x) = log(tan(x)) e g(x) = cot(2x), são verificadas as condições
de aplicação da regra de Cauchy, pois:
• f e g são diferenciáveis num intervalo do tipo
π
4
− ε,
π
4
+ ε
π
4
, ε <
π
4
, uma vez
que as respectivas funções derivadas f (x) =
1
sin(x) cos(x)
e g (x) = −
2
sin2
(2x)
tomam valores finitos neste intervalo;
• g (x) = 0 , ∀x ∈
π
4
− ε,
π
4
+ ε
π
4
, ε <
π
4
;
• lim
x→ π
4
f(x) = lim
x→ π
4
g(x) = 0.
Assim, estão verificadas as condições de aplicação da regra de Cauchy. Como lim
x→ π
4
f (x)
g (x)
=
lim
x→ π
4
−
sin2
(2x)
2 sin(x) cos(x)
= − lim
x→π
4
sin2
(2x)
sin(2x)
= − lim
x→ π
4
sin(2x) = −1, verifica-se que este li-
mite existe, pelo que também existe e é igual lim
x→ π
4
f(x)
g(x)
. Logo, lim
x→ π
4
log(tan(x))
cot(2x)
= −1.
52

6
Teorema de Taylor,
Fórmula de Taylor e
Aplicações
1. (a) Determine a fórmula de Taylor de ordem 4, em torno do ponto x = 1, da função defi-
nida por f(x) = log(x), indicando em que intervalo esse desenvolvimento representa
a função.
(b) Usando a alínea anterior, prove que
log(x) ≤ (x − 1) 1 −
x − 1
2
+
(x − 1)2
3
, ∀x ∈ R+
.
2. Considere a função real de variável real definida por g(x) = ex
.
(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 6, da função g.
(b) Utilizando a fórmula de MacLaurin de ordem n da função g, determine um valor
aproximado de e com quatro casas decimais exactas.
3. Considere a função real de variável real definida por f(x) = log(cos(x)).
(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da função f.
(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que log (cos(x)) < −
x2
2
, ∀x ∈ 0,
π
2
.
4. Seja h a função real de variável real definida por h(x) =
1
1 − x
.
(a) Calcule h (x), h (x), h (x) e h(4)
(x) e obtenha uma expressão para h(n)
(x).
(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que a expressão de h(n)
(x), obtida na
alínea anterior, é válida para todo o número natural.
(c) Determine a fórmula de MacLaurin de ordem n para a função h.
5. Calcule, recorrendo à fórmula da Taylor, os seguintes limites:
(a) lim
x→ π
2
x − π
2
+ cos(x)
x − π
2
2 ;
53

(b) lim
x→0
xe−x
− x + x2
x3
.
6. Seja g : R → R a função definida por g(x) = x3
(x − 2). Determine, caso existam, os
extremos locais e os pontos de inflexão de g.
7. Seja g ∈ C2
(R) tal que g (x) > 0, ∀x ∈ R. Considere ainda a função h(x) = g (x − x2
) .
Mostre que h tem um extremo local, e classifique-o. Trata-se de um extremo absoluto?
Justifique.
54

1. Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 6, das funções f(x) = sin(x) e
g(x) = cos(x).
2. Considere a função real de variável real definida por h(x) = x − e−x
sin(x).
(a) Escreva a fórmula de MacLaurin de ordem 3, da função h.
(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que h(x) ≤ x2
, ∀x ∈ 0,
π
2
.
3. Seja ϕ a função real de variável real definida por ϕ(x) = x + e1−3x
.
(a) Prove, pelo princípio de indução matemática, que ϕ(n)
(x) = (−1)n
3n
e1−3x
, ∀x ∈ R,
∀n ∈ N {1}.
(b) Determine a fórmula de Taylor de ordem n da função ϕ, em torno do ponto x =
1
3
.
4. Seja h a função real de variável real, definida por h(x) =
1
2x + 1
.
(a) Prove, pelo princípio de indução matemática, que h(n)
(x) = (−1)n
2n
n! (2x + 1)−(n+1)
,
∀n ∈ N.
(b) Determine a fórmula de MacLaurin de ordem n, da função h.
5. Calcule, recorrendo à fórmula da Taylor, os seguintes limites:
(a) lim
x→1
log(x) − x + 1
(x − 1)2
;
(b) lim
x→0
x − sin(x)
x2
.
6. Seja g a função real de variável real, definida por g(x) = x arctan(x).
(a) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da função g.
(b) Justifique que x arctan(x) ≤ x2
, ∀x ∈ R.
(c) Mostre que g tem um extremo local para x = 0 e classifique-o.
7. Seja ϕ uma função real de variável real, tal que ϕ(−1) = 1 e ϕ (x) = (x + 2) log (x + 2).
(a) Determine a fórmula de Taylor de ordem 4 da função ϕ, em torno do ponto x = −1.
(b) Recorrendo aos cálculos efectuados na alínea anterior, averigúe se existem extremos
locais e pontos de inflexão de ϕ.
8. Seja f uma função de classe C∞
, definida em R. Suponha que
f(x) = 2 + 3(x − 1)4
+
1
2
(x − 1)6
−
7
2
(x − 1)8
+
f(9)
(c)
9!
(x − 1)9
,
sendo 1 < c < x ou x < c < 1.
55

(a) Determine f(k)
(1), para 1 ≤ k ≤ 7.
(b) Veriﬁque se 2 é um extremo relativo de f.
(c) Prove que se f(9)
(x) é uma função positiva em R, então
f(x) < 2 + 3(x − 1)4
+
1
2
(x − 1)6
−
7
2
(x − 1)8
, ∀x < 1.
56

1. Seja ψ a função real de variável real definida por ψ(x) =
1
3
log(3x + 2).
(a) Prove, por indução matemática, que
ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
, ∀n ∈ N.
(b) Determine a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem n, de ψ.
Resolução:
(a) A função ψ tem como domínio o intervalo −
2
3
, +∞ .
Queremos provar, pelo princípio de indução matemática, que a propriedade
ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
, ∀n ∈ N
é verificada, para todo o número natural n.
(i) Para n = 1, a propriedade reduz-se a ψ(1)
(x) = (−1)2
30
0! (3x + 2)−1
=
1
3x + 2
.
Assim, para n = 1, obtemos uma proposição verdadeira, uma vez que a expressão
encontrada corresponde à primeira derivada da função ψ.
provar que se a derivada de ordem n de ψ for dada por
ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
,
então a derivada de ordem n + 1 será definida por
ψ(n+1)
(x) = (−1)n+2
3n
n! (3x + 2)−n−1
.
Por hipótese, ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
. Logo, derivando ambos
os membros da igualdade, obtemos
ψ(n+1)
(x) = ψ(n)
= (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (−n) (3x + 2)−n−1
3
= (−1)n+2
3n
n! (3x + 2)−n−1
.
Por (i) e (ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que
ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
, ∀n ∈ N.
(b) A alínea anterior permite concluir que ψ é uma função de classe C∞
no respectivo
domínio, pelo que se pode escrever a sua fórmula de MacLaurin, qualquer que seja
a ordem pretendida e, em particular, a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem
n. Assim, pode afirmar-se que existe c ∈]0, x[ ou c ∈]x, 0[ , tal que
57

ψ(x) = ψ(0) + x ψ (0) +
x2
2!
ψ (0) + · · · +
xn
n!
ψ(n)
(c).
Calculando o valor das sucessivas derivadas da função ψ no ponto x = 0 , obtém-se
ψ(x) =
1
3
log(3x + 2) ⇒ ψ(0) =
1
3
log(2)
ψ (x) =
1
3x + 2
⇒ ψ (0) =
1
2
ψ (x) = −
3
(3x + 2)2
⇒ ψ (0) = −
3
4
...
ψ(n)
(x) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3x + 2)−n
⇒ ψ(n)
(c) = (−1)n+1
3n−1
(n − 1)! (3c + 2)−n
.
Logo, podemos concluir que existe c ∈]0, x[ ou c ∈]x, 0[ , tal que
ψ(x) =
1
3
log(2) +
1
2
x −
3
8
x2
+ · · · +
1
n
(−1)n+1
3n−1
(3c + 2)−n
xn
.
2. Seja g a função real de variável real deﬁnida por g(x) =
1
3
√
2x − 1
.
(a) Determine a fórmula de Taylor em torno do ponto x = 1, com resto de ordem 3,
para a função g.
(b) Utilize a alínea anterior para mostrar que
g(x) > 1 −
2
3
(x − 1) +
8
9
(x − 1)2
, para
1
2
< x < 1.
Resolução:
(a) O domínio da função g é R 1
2
. Neste conjunto, a função g(x) =
1
3
√
2x − 1
=
(2x − 1)−1
3 é de classe C∞
, pelo que se pode escrever a sua fórmula de Taylor,
qualquer que seja a ordem pretendida, em torno de um qualquer ponto do domínio.
Em particular, pode escrever-se a sua fórmula de Taylor, com resto de ordem 3, em
torno do ponto x = 1. Assim, pode aﬁrmar-se que existe c ∈]1, x[ ou c ∈]x, 1[ , tal
que
g(x) = g(1) + (x − 1) g (1) +
(x − 1)2
2!
g (1) +
(x − 1)3
3!
g (c).
Calculando o valor das sucessivas derivadas da função g no ponto x = 1, obtém-se
g(x) = (2x − 1)−1
3 ⇒ g(1) = 1
g (x) = −
2
3
(2x − 1)−4
3 ⇒ g (1) = −
2
3
g (x) =
16
9
(2x − 1)−7
3 ⇒ g (1) =
16
9
g (x) = −
224
27
(2x − 1)−10
3 ⇒ g (c) = −
224
27
(2c − 1)−10
3 ,
58

podendo então concluir-se que existe c ∈]1, x[ ou c ∈]x, 1[, tal que
g(x) = 1 −
2
3
(x − 1) +
8
9
(x − 1)2
−
112
81
(2c − 1)−10
3 (x − 1)3
.
(b) Da alínea anterior sabemos que
g(x) = 1 −
2
3
(x − 1) +
8
9
(x − 1)2
−
112
81
(2c − 1)−10
3 (x − 1)3
,
com c ∈]1, x[ ou c ∈]x, 1[ , sendo o termo −
112
81
(2c − 1)−10
3 (x − 1)3
o resto de
Lagrange.
Como queremos provar a desigualdade para valores
1
2
< x < 1, então estamos
apenas a considerar o caso x < c < 1. Logo, tem-se
1
2
< c < 1, e consequentemente
0 < 2c − 1 < 1, pelo que (2c − 1)− 10
3 > 0. Por outro lado, como x < 1, então
(x − 1)3
< 0 e, portanto, o resto de Lagrange é positivo. Pode assim concluir-se que
g(x) > 1 −
2
3
(x − 1) +
8
9
(x − 1)2
,
para
1
2
< x < 1.
3. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h (x) = cos(x) esin2(x)
. Determine
os extremos relativos de h. Justiﬁque.
Resolução:
A função h é de classe C∞
em R, uma vez que a sua primeira derivada também o é. Sendo
h, em particular, uma função diferenciável, os extremos relativos de h, a existirem, são
zeros da sua derivada. Para os determinarmos vamos resolver a equação h (x) = 0, em
ordem a x:
h (x) = 0 ⇔ cos(x) = 0 ∨ esin2(x)
= 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ , k ∈ Z.
Calculando a segunda derivada de h, obtemos h (x) = esin2(x)
(− sin(x) + cos(x) sin(2x)),
pelo que h
π
2
+ 2kπ = −e e h −
π
2
+ 2kπ = e. Como a primeira derivada que
não se anula nos pontos
π
2
+ kπ , k ∈ Z, é de ordem par, podemos concluir que existirão,
nestes pontos, extremos relativos. Como h
π
2
+ 2kπ < 0, então a função h admite
máximos relativos para x =
π
2
+ 2kπ, k ∈ Z e, como h −
π
2
+ 2kπ > 0, a função h
admite mínimos relativos para x = −
π
2
+ 2kπ, k ∈ Z.
4. Seja f :]0, +∞[→ R uma função com segunda derivada contínua em R+
, tal que f (1) = 0
e f (1) = −2. Seja ϕ a função real de variável real deﬁnida por ϕ(x) = f(ex
).
59

(a) Calcule ϕ (0) e ϕ (0).
(b) Pode concluir-se que ϕ tem um extremo local no ponto x = 0? Em caso afirmativo,
classifique-o.
(c) Usando a fórmula de MacLaurin para a função ϕ, calcule lim
x→0
ϕ(x) − ϕ(0)
x2
.
Resolução:
(a) A função ϕ é uma função diferenciável em R+
, por ser a composta de uma função
diferenciável em R+
(a função f), com uma função diferenciável em R (a função
exponencial). Podemos assim aplicar a ϕ a regra da derivação da função composta,
obtendo-se ϕ (x) = f (ex
) ex
, pelo que ϕ (0) = f (1) = 0.
De modo análogo se justificava que também a função ϕ é diferenciável em R+
,
sendo a sua função derivada definida por ϕ (x) = f (ex
) (ex
)2
+ f (ex
) ex
, pelo que
ϕ (0) = f (1) + f (1) = −2.
(b) Atendendo a que f é uma função com segunda derivada contínua em R+
, a função ϕ,
sendo a composta da função f com a função exponencial, também é uma função de
classe C2
em R+
. Na alínea anterior constatamos que ϕ (0) = 0 e que ϕ (0) = −2.
Logo, como a primeira derivada de ϕ que não se anula em x = 0 é de ordem par,
pode concluir-se que ϕ(0) é um máximo local (ϕ (0) < 0), tendo em atenção um
dos teoremas estudados, que aplica o teorema de Taylor à determinação de extremos
locais de uma função.
(c) Vimos na alínea anterior que ϕ ∈ C2
(R+
), pelo que se pode escrever a sua fórmula
de MacLaurin de ordem 2. Assim, pode afirmar-se que existe c ∈]0, x[ ou c ∈]x, 0[,
tal que
ϕ(x) = ϕ(0) + x ϕ (0) +
x2
2
ϕ (c)
= ϕ(0) +
x2
2
f (ec
) e2c
+ ec
f (ec
) .
Substituindo ϕ(x) por esta expressão no limite dado, obtém-se
lim
x→0
ϕ(x) − ϕ(0)
x2
= lim
x→0
ϕ(0) + x2
2
(f (ec
) e2c
+ ec
f (ec
)) − ϕ(0)
x2
= lim
x→0
1
2
f (ec
) e2c
+ ec
f (ec
) = −1,
atendendo a que, se x tende para zero, e 0 < c < x ou x < c < 0, também c tende
para zero.
5. Usando a fórmula de Taylor, calcule o seguinte limite:
lim
x→π
log(| cos(x)|) + (x−π)2
2
(x − π)2
.
60

Resolução:
Seja I uma vizinhança de π, com 0 < <
π
2
. Como cos(x) < 0, para qualquer x
pertencente a I, então | cos(x)| = − cos(x).
A função g(x) = log (− cos(x)) é de classe C∞
em I, pelo que se pode escrever a sua
fórmula de Taylor, qualquer que seja a ordem pretendida, em torno do ponto x = π.
Assim, em particular para a ordem 2, pode aﬁrmar-se que existe c ∈]π, x[ ou c ∈]x, π[
(com x ∈ I), tal que
g(x) = g(π) + (x − π) g (π) +
(x − π)2
2!
g (c).
Calculando o valor das sucessivas derivadas da função g no ponto x = π, obtém-se
g(x) = log (− cos(x)) ⇒ g(π) = 0
g (x) = − tan(x) ⇒ g (π) = 0
g (x) = −
1
cos2(x)
⇒ g (c) = −
1
cos2(c)
.
Podemos então concluir que existe c ∈]π, x[ ou c ∈]x, π[ tal que
g(x) = −
(x − π)2
2
1
cos2(c)
.
Substituindo no limite dado, obtemos
lim
x→π
log(| cos(x)|) + (x−π)2
2
(x − π)2
= lim
x→π
− (x−π)2
2
1
cos2(c)
+ (x−π)2
2
(x − π)2
= lim
x→π
−
1
2 cos2(c)
+
1
2
= 0,
pois se x tende para π, e c ∈]π, x[ ou c ∈]x, π[, também c tende para π.
61

7Estudo de funções
1. Considere a função real de variável real
f(x) =



x|x|, se x > −2
(x + 2)2
− 4, se x ≤ −2.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f.
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(c) Esboce o gráfico de f e determine o seu contradomínio.
f(x) =



e|x−1|
, se x > 0
arctan(x), se x ≤ 0.
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(c) Esboce o gráfico de f e determine o seu contradomínio.
f(x) =



x2
+ x, se x < 0
log(−2x2
+ x + 1), se x ≥ 0.
(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f .
(c) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f.
(d) Determine a função segunda derivada f .
(e) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(f) Esboce o gráfico de f.
63

f(x) =



1
x2 + x
, se x < 1
arctan 1
x
, se x ≥ 1.
(b) Estude a continuidade da função.
(d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f.
(e) Determine a função segunda derivada f .
(f) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(g) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
2. Considere a função real de variável real f definida por
f(x) =



|1 − x2
|, se x ≤ 0
sin(x − 1), se x > 0.
(b) Estude a função f quanto à continuidade.
(c) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f .
(e) Determine a função f e estude as concavidades de f.
(f) Esboce o gráfico de f.
3. Considere a função real de variável real f, definida por
f(x) =



x log(x), se x > 0
ex
− 1
e
, se x ≤ 0.
64

f(x) =



log(1 − x2
), se − 1 < x < 0
−x2
, se x ≥ 0
arctan(−x) , se x ≤ −1.
(a) Determine a função derivada f .
(b) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f.
(c) Determine a função segunda derivada f .
(d) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(e) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
Resolução:
Relativamente a esta função, já vimos, no exercício 2 dos Exercícios Resolvidos de Limites,
Continuidade e Cálculo Diferencial, que:
• Df = R;
• lim
x→−1+
f(x) = −∞ e lim
x→−1−
f(x) =
π
4
;
• f é contínua em R {−1};
• f não é diferenciável em x = −1 e é diferenciável em x = 0, sendo f (0) = 0;
• f(0) = 0;
• lim
x→−∞
f(x) =
π
2
.
(a) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos
f (x) =



−2x
1 − x2
se − 1 < x < 0
−2x se x > 0
−1
1 + x2
, se x < −1.
Atendendo ao estudo da diferenciabilidade nos pontos x = 0 e x = −1 já efectuado,
concluímos então que
f (x) =



−2x
1 − x2
se − 1 < x < 0
−2x se x ≥ 0
−1
1 + x2
, se x < −1.
65

(b) Para determinar os intervalos de monotonia da função, vamos recorrer a um quadro
de sinais para a função (primeira) derivada. Para isso necessitamos de calcular os
zeros da primeira derivada, que facilmente se vê ser, neste caso, apenas x = 0.
Assim, toda a informação sobre o sinal da primeira derivada encontra-se resumida
no quadro seguinte:
−1 0
f − + 0 −
f
Podemos então concluir que f é estritamente crescente em ] − 1, 0[, e que é estrita-
mente decrescente em ] − ∞, −1[ e em ]0, +∞[. Como numa vizinhança de x = 0
todas as imagens da função são menores ou iguais que f(0) = 0, então 0 é um máximo
relativo para a função. Como em x = −1 a função não é contínua, para averiguar
se f(−1) é um extremo relativo é necessário ver detalhadamente como se comporta
a função numa vizinhança deste ponto. Atendendo à monotonia da função numa
vizinhança de x = −1, e aos limites lim
x→−1+
f(x) = −∞ e lim
x→−1−
f(x) =
π
4
= f(−1),
concluímos então que não existe extremo em x = −1.
(c) No interior do intervalo onde está deﬁnido cada um dos ramos da função, podemos
f (x) =



−
2 + 2x2
(1 − x2)2
se − 1 < x < 0
−2 se x > 0
2x
(1 + x2)2 , se x < −1.
Precisamos ainda de calcular a segunda derivada de f no ponto x = 0, por deﬁnição.
Assim, temos
f (0+
) = lim
x→0+
f (x) − f (0)
x − 0
= lim
x→0+
−2x − 0
x − 0
= lim
x→0+
−2 = −2
e
f (0−
) = lim
x→0−
f (x) − f (0)
x − 0
= lim
x→0−
−2x
1−x2 − 0
x − 0
= lim
x→0−
−2
1 − x2
= −2.
Logo, como f (0+
) = f (0−
) = −2, temos f (0) = −2, pelo que
f (x) =



−
2 + 2x2
(1 − x2)2
se − 1 < x < 0
−2 se x ≥ 0
2x
(1 + x2)2 , se x < −1.
66

(d) Para determinar os sentidos de concavidade da função, vamos recorrer a um quadro
de sinais para a função segunda derivada. Atendendo a que f não tem zeros, toda
a informação sobre o sinal da segunda derivada encontra-se resumida no quadro
seguinte:
−1 0
f − − − −
f ∩ ∩ ∩
Podemos então concluir que f tem a concavidade voltada para baixo em ] − ∞, −1[
e em ] − 1, +∞[, não havendo por isso pontos de inflexão.
(e) Atendendo a que lim
x→−1+
f(x) = −∞, lim
x→−1−
f(x) =
π
4
, lim
x→−∞
f(x) =
π
2
e lim
x→+∞
f(x) =
−∞, então CDf =] − ∞, 0] ∪ [π
4
, π
2
[.
Segue-se o gráfico da função:
f(x) =



x2
− 1, se x < 1
arcsin(x − 1), se x ≥ 1.
(b) Determine a função segunda derivada f .
(c) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
(d) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
Resolução:
Relativamente a esta função, já vimos, no exercício 4 dos Exercícios Resolvidos de Limites,
Continuidade e Cálculo Diferencial, que:
• Df =] − ∞, 2];
67

• f é contínua em ] − ∞, 2];
• f (x) =



2 x, se x < 1
1
1 − (x − 1)2
, se 1 < x < 2.
(a) Para determinar os intervalos de monotonia da função, vamos novamente recorrer a
um quadro de sinais para a função (primeira) derivada. O único zero da primeira
derivada é x = 0, e a informação sobre o sinal da primeira derivada encontra-se
resumida no quadro seguinte:
0 1 2
f − 0 + +
f
Podemos então concluir que f é estritamente crescente em ]0, 1[ e em ]1, 2], e que é
estritamente decrescente em ] − ∞, 0[. Como numa vizinhança de x = 0 todas as
imagens da função são maiores ou iguais que f(0) = −1, então −1 é um mínimo
relativo para a função. Por outro lado, por um argumento semelhante, f(2) =
arcsin(1) = π
2
é um máximo relativo para a função. No ponto x = 1, como a função
é contínua (apesar de não ser diferenciável), não existe nenhum extremo relativo.
(b) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos
calcular f utilizando as regras de derivação. Logo, obtemos
f (x) =



2, se x < 1
x − 1
(1 − (x − 1)2)
3
2
, se 1 < x < 2.
(c) A função f não tem zeros e toda a informação sobre o sinal da segunda derivada
encontra-se resumida no quadro seguinte:
1 2
f + +
f ∪ ∪
Podemos então concluir que f tem a concavidade voltada para cima em ] − ∞, 1[ e
em ]1, 2], não havendo por isso pontos de inflexão.
(d) Atendendo a que lim
x→−∞
f(x) = +∞, então CDf = [−1, +∞[.
Podemos ainda verificar que a função tem dois zeros: os pontos x = −1 e x = 1.
68

f(x) =



|x2
− 4|, se x ≤ 0
log(x − 2), se x > 0.
Resolução:
Df = {x ∈ R : x ≤ 0 ∨ (x − 2 > 0 ∧ x > 0} =] − ∞, 0]∪]2, +∞[.
(b) No interior do intervalo onde está deﬁnido cada um dos ramos da função, a função
é contínua. Nomeadamente, f é contínua em ] − ∞, 0[ por ser a composição de duas
funções contínuas no seu domínio (função quadrática e função módulo), e é contínua
em ]2, +∞[ por ser também a composição de duas funções contínuas no seu domínio
(função logarítmica e função linear). Falta estudar a continuidade da função no
ponto x = 0. Uma vez que
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
|x2
− 4| = 4 = f(0),
então f é contínua em x = 0.
Concluímos assim que f é contínua em ] − ∞, 0]∪]2, +∞[.
69

(c) Uma vez que
|x2
− 4| =



x2
− 4, se x2
− 4 ≥ 0
−x2
+ 4, se x2
− 4 < 0
=



x2
− 4, se x ≥ 2 ∨ x ≤ −2
−x2
+ 4, se − 2 < x < 2,
então
f(x) =



x2
− 4, se x ≤ −2
−x2
+ 4, se − 2 < x ≤ 0
log(x − 2), se x > 2.
No interior do intervalo onde está deﬁnido cada um dos ramos da função, podemos
f (x) =



2x, se x < −2
−2x, se − 2 < x < 0
1
x−2
, se x > 2.
Como só deﬁnimos derivada em pontos interiores ao domínio da função, resta-nos
estudar o ponto x = −2.
Calculando as derivadas laterais, obtemos
f (−2+
) = lim
x→−2+
f(x) − f(−2)
x − (−2)
= lim
x→−2+
−x2
+ 4 − 0
x + 2
= lim
x→−2+
−
(x − 2)(x + 2)
x + 2
= − lim
x→−2+
(x − 2) = 4
e
f (−2−
) = lim
x→−2−
f(x) − f(−2)
x − (−2)
= lim
x→−2−
x2
− 4 − 0
x + 2
= lim
x→−2−
(x − 2)(x + 2)
x + 2
= lim
x→−2−
(x − 2) = −4.
Como f (−2+
) = f (−2−
) então não existe f (−2) pelo que
f (x) =



2x, se x < −2
−2x, se − 2 < x < 0
1
x−2
, se x > 2.
(d) A (primeira) derivada da função não tem zeros, pelo que facilmente se obtém o
quadro resumo abaixo:
−2 0 2
f − + +
f
70

Podemos então concluir que f é estritamente crescente em ]−2, 0[ e em ]2, +∞[, e que
é estritamente decrescente em ] − ∞, −2[. Como numa vizinhança de x = −2 todas
as imagens da função são maiores ou iguais que f(−2) = 0, então 0 é um mínimo
relativo para a função. Por outro lado, por um argumento semelhante, f(0) = 4 é
um máximo relativo para a função.
(e) Como no interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função
podemos calcular f utilizando as regras de derivação, obtemos
f (x) =



2, se x < −2
−2, se − 2 < x < 0
−1
(x−2)2 , se x > 2.
(f) A segunda derivada da função também não tem zeros, pelo que obtemos o quadro
resumo abaixo:
−2 0 2
f + − −
f ∪ ∩ ∩
Concluímos, então, que f tem a concavidade voltada para cima em ] − ∞, −2[ e
que tem a concavidade voltada para baixo em ] − 2, 0[ e em ]2, +∞[. No ponto
x = −2, apesar de termos mudança de sentido de concavidade à direita e à esquerda
do ponto, não temos nenhum ponto de inflexão porque a função não é diferenciável
neste ponto.
(g) Atendendo a que lim
x→−∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = +∞, e lim
x→2+
f(x) = −∞, então
CDf = R.
Podemos ainda verificar que a função tem dois zeros: os pontos x = −2 e x = 3.
71

8Primitivação
1. Determine as primitivas das funções deﬁnidas pelas seguintes expressões analíticas:
(a) ex
+
1
x
;
(b) 4x
+ 3x5
+ 2;
(c) sin(x) cos(x);
(d)
1
x2 + 1
+
4
3
√
x2
;
(e) 6x(x2
+ 1);
(f) 64x
+ e5x
;
(g) cos(cos(x)) sin2
(cos(x)) sin(x);
(h) ex2+2 sin(x)
(x + cos(x));
(i) cos(2x) cos(x);
(j)
sin(x)
cos2(x)
;
(k)
log(arcsin(x))
arcsin(x)
√
1 − x2
;
(l)
(1 + 2 arctan(x))3
1 + x2
;
(m)
1
cos2(x) 1 + tan(x)
;
(n)
arctan(x)
1 + x2
;
(o)
1 + log(x8)
x
;
(p)
1
√
x
+ x3
2
;
73

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