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MATEMÁTICA
 FINANCEIRA
   AUTOR: Prof Edgar Abreu
www.acasadoconcurseiro.com.br
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA EDITAL
              JANEIRO 2012


  1. Porcentagem;
  2. Juros simples e compostos: capitalização e descontos.
  3. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes,
     proporcionais, real e aparente.
  4. Rendas uniformes e variáveis.
  5. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos.
  6. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de
     financiamento, empréstimo e investimento.
  7. Avaliação de alternativas de investimento.
  8. Taxas de retorno


                        A CASA DO CONCURSEIRO
Estude com o curso que mais aprovou primeiro colocado no ultimo concurso do
Banco do Brasil.

Aprovamos o primeiro colocado nas seguintes cidades:
Irecê – Vitória da Conquista; Jundiaí – São Paulo; Jequié – BA; Anápolis – GO ;
Sete Lagoas – MS; Pouso Alegre – MG; Lins – SP; Paraíso do Tocantins – TO
Rio de Janeiro – RJ; Cabo Frio – RJ; Pelotas – RS; Novo Hamburgo – RS;
Santo Amaro – SP; Varginha – BA; Bonito – MS; Juiz de Fora – MG (PNE);

Disparado o curso que mais aprova em todo o país. Mais de 52% dos nossos
alunos fora, aprovados nos últimos concursos do Banco do Brasil.

      A CASA DO CONCURSEIRO, UM ANO BRINCANDO DE APROVAR
                     PRIMEIROS COLOCADOS!
Sumário
MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................. 01
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 10
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 11

MÓDULO 2. TAXAS ............................................................................................ 13
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 27
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 30


MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ... 39
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 62
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 75

MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES ................................................................... 103
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 115
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 119


MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC .......................... 128
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 133
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 136


MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO ......................................................... 142
      QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 147
      RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 152
MATEMÁTICA FINANCEIRA                         Prof. Edgar Abreu
                                 edgarabreu@edgarabreu.com.br


     MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA

                        1.1 TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS


Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.

 Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser
  aplicado numa operação financeira.

 Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.

 Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso
  do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.

      o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique
        simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.

 Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.

      o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando
        em capitalização simples ou em capitalização composta).

 Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.

 Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital
  inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que
  equivale a uma única capitalização.

 Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes
  a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.

 Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito
  quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou
  valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de
  desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão.

      o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR
        DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples
        ou em capitalização composta).

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                                    1.2 TAXA UNITÁRIA


DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100,
encontramos a taxa unitária

A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática
financeira.

Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma
fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.


COMO FAZER                                    1.2.1 AGORA É A SUA VEZ:

       10
10%         0,10                             15%
      100
        20                                     20%
20%         0, 20
       100
       5                                       4,5%
5%         0, 05
     100                                       254%
        38
38%         0,38
       100                                      0%
        1,5
1,5%         0, 015                          63%
       100
         230                                  24,5%
230%          2,3
         100
                                                6%


                                1.3 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO


Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual
novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas
podemos fazer a afirmação abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor
inicial.

Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.



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                           120
Fator de Capitalização =        1, 2
                           100

O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para
obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo
utilizar.

Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu
fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00.


CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se
que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

   o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45
   o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO:
Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2.

Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará
a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00


COMO FAZER:

                                       130
Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% =       1,3
                                       100
                                       115
Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% =       1,15
                                       100
                                     103
Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% =      1, 03
                                     100
                                          300
Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% =       3
                                         100
1.3.1 AGORA É A SUA VEZ:

   Acréscimo                    Calculo                   Fator
     15%
     20%


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     4,5%
     254%
      0%
     63%
    24,5%
      6%



                            1.4 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO


Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual
novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas
podemos fazer a afirmação abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial.

Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

                                 80
Fator de Descapitalização =          0,8
                                100

O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para
obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo
utilizar.

Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu
fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.

CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto
expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

   o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65
   o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

ENTENDENDO O RESULTADO:
Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor
desse produto por 0,80.



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Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará
a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00


COMO FAZER:

                                       70
Desconto de 30% = 100%  30% = 70% =       0, 7
                                     100
                                       85
Desconto de 15% = 100%  15% = 85% =       0,85
                                     100
                                    97
Desconto de 3% = 100%  3% = 97% =       0,97
                                   100
                                       50
Desconto de 50% = 100%  50% = 50% =       0,5
                                     100
1.4.1 AGORA É A SUA VEZ:

                 Desconto                   Calculo                   Fator
                   15%
                   20%
                   4,5%
                  254%
                    0%
                   63%
                  24,5%
                    6%



                         1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO


Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso
acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse
tipo.

O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo
que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.



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Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem
definidos:

Exemplo 1.5.1:
Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos
mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20%
no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas
tarifas aumentadas em:
a) 50%
b) 30%
c) 150%
d) 56%
e) 20%

Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso
marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).

Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de
manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Após receber um acréscimo de 30%:
10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00

Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:
13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.
Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%,
e não de 50% como parecia inicialmente.



          COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3:
   o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3
   o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56
Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2),
logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%


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                                       COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor,
em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos
afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:
a) 10% maior
b) 10 % menor
c) Acréscimo superior a 5%
d) Desconto de 84%
e) Desconto de 16%

Resolução:
Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2
Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4
Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5

Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)
Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:
1 – 0,84 = 0,16
Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial.
(Alternativa E)

Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da
prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou
aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado
com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20%
do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é:

a)   8% maior
b)   10% maior
c)   12% maior
d)   10% menor
e)   Exatamente igual

Resolução:
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8

Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1
Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)




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                                    AGORA É SUA VEZ



QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de
unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D
teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela
empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%.
Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003,
(A) 24 %.
(B) 28 %.
(C) 30 %.
(D) 32 %.
(E) 60 %.




QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas
tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20%
suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo
superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas
de Lúcia teve um crescimento de:
(A) 35%.
(B) 45%.
(C) 50%.
(D) 60%.
(E) 65%.




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Resolução questão 1.5.1

Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente
dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%):

                                 2003                            2004

     Produto D                    0,8           Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96

     Produto G                    0,2           Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28

     TOTAL:                        1                     0,96 + 0,28 = 1,24


Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um
aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A

Resolução questão 1.5.2

Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para
cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o
mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada
vendedora.

                                 Maio                            Junho

     Ana                           1              Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2

     Lúcia                         1        Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em
                                                     junho = 1,2 * 1,25 = 1,5


Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),
houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C




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                              QUESTÕES FCC MÓDULO 1
1. (TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado de
ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do
segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00.
A quantia que Denis investiu foi:
(A) R$ 3 200,00
(B) R$ 3 600,00
(C) R$ 4 000,00
(D) R$ 4 200,00
(E) R$ 4 500,00




2. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização
mensal, corresponde a uma taxa efetiva de

(A) 9% ao trimestre.
(B) [(1,03)² - 1] ao bimestre.
(C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano.
(D)            ao semestre.

(E)             .




3. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de
R$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro
de 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é

(A) R$ 78,00
(B) R$ 80,00
(C) R$ 84,00
(D) R$ 86,00
(E) R$ 90,00




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                 RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 1
Questão 1

Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2
Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85

O detalhe é que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e não do montante total. Ou
seja: o fator de 0,85 será aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final do
período, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17
Logo, ao final do período, Denis possuía 1,17 do valor investido inicialmente, que são R$
5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de “C”, e
estabelecer a seguinte relação:
1,17 de C é igual a 5.265. Matematicamente:
1,17C = 5.265
Calculando o capital inicial:
C = 5.265/1,17
C = 4.500

RESPOSTA: Alternativa E




Questão 2

Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano com
capitalização mensal, e 1 ano possui 12 meses:
36% / 12 = 3% ao mês
Com essa informação, podemos analisar as alternativas:

a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juros
compostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o cálculo seria 1,03³ = 1,092727, então a taxa
seria de 9,2727%

b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator
100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses,
elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtraímos 1 do resultado, que é o mesmo
1 adicionado anteriormente para o caçulo da potência. Matematicamente, teríamos:
1,03² - 1, que é exatamente o sugerido pela alternativa.

c) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma
taxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03)
à potência 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:

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[(0,36/12)+1]¹² - 1

d) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma
taxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado
(1,03) à potência 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:
[(0,36/12)+1]^6 – 1

e) Esse cálculo seria correto caso estivéssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano para
uma taxa mensal. Como 36% é uma taxa nominal, esse não é o cálculo correto.


RESPOSTA: Alternativa B


Questão 3

O problema informa que há um lucro de 40% sobre o preço de venda, e que descontado esse
lucro, o valor do produto é de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocínio inverso do que fizemos até
o momento, pois se antes pensávamos em um fator de aumento e aplicávamos sobre um valor
para descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decréscimo sobre um certo valor X,
sabendo que o resultado será R$ 48,00. Organizando matematicamente:
Para descontar os 40%, o fator será:
100% - 40% = 60%, ou em valor unitário, 0,60.
Esse fator deverá ser aplicado sobre o preço com o lucro para termos o resultado 48. Assim:
0,60X = 48
X = 48/0,60
X = 80

RESPOSTA: Alternativa B




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                                MÓDULO 2. TAXAS

                                2.1 TAXA PROPORCIONAL

Calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo
a taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês?
Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa
taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses.
Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre?
Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa
bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos
que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3
bimestres.
                            15%
Assim a taxa procurada é de       5% ao bimestre.
                             3

                                       COMO FAZER
                      TAXA                               TAXA PROPORCIONAL

               25% a.m (ao mês)                            300% a.a (ao ano)

            15% a.tri (ao trimestre)                               5% a.m

           60% a. sem (ao semestre)                  40% ao. Quad. (quadrimestre)

           25% a.bim (ao bimestre)                              150% (ao ano)


                                   AGORA É A SUA VEZ
          QUESTÕES                     TAXA                      TAXA PROPORCIONAL

             2.1.1                     50% a.bim
                                                                            ___________a.ano
             2.1.2                     6% a.mês
                                                                            _________a.quad.
             2.1.3                     12% a.ano
                                                                            _________ a.Trim.
             2.1.4                   20% a. quadri
                                                                            __________a.Trim

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                 GABARITO
   QUESTÃO           RESPOSTA

      2.1.1               300%
      2.1.2               24%
      2.1.3                3%
      2.1.4               15%



                                   2.2 TAXA EQUIVALENTE

Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas
equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula.

Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma
forma simplificada e mais direta.

Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês?

1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:
1 + 0,10 = 1,10

2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui
dois meses.
(1,10)2 = 1,21

3º passo: Identificar a taxa correspondente.
1,21 = 21%


Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?

1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:
1 + 0,20 = 1,20

2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui
três bimestres.
(1,20)3 = 1,728

3º passo: Identificar a taxa correspondente.
1,728 = 72,8%




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                                        COMO FAZER

                                    10% a.m equivale a:

                     Ao Bimestre        (1,1)2 = 1,21 = 21%

                     Ao Trimestre       (1,1)3 = 1,331 = 33,10%



                                    20% a.bim equivale a:

                     Ao Quadrimestre       (1,2)2 = 1,44 = 44%

                     Ao Semestre           (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

                                    AGORA É A SUA VEZ

                    QUESTÃO 2.2.1                            QUESTÃO 2.2.2

                21% a.sem. equivale a:                   30% a.mês. equivale a:

          Ao Ano                                   Ao Bimestre

          Ao Trimestre                             Ao
                                                   Trimestre




                                         GABARITO
                    QUESTÃO                     RESPOSTA

                      2.2.1                  46,41% ao ano e 10% ao
                                                    trimestre

                      2.2.2           69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre




                              2.3 TAXA BRUTA X TAXA LIQUIDA

Essas taxas são muito especuladas em aplicações financeiras. A grande diferença entre as duas é
que na taxa bruta estão inclusos tributações e encargos, e a líquida está livre desses
descontos. Por este motivo, muitas vezes necessitamos da taxa líquida para podermos comparar
aplicações financeiras distintas.
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Exemplo 2.3.1:
Supondo uma aplicação em um fundo de investimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90%
em um mês. Qual foi o seu ganho líquido se considerarmos que lhe foi cobrado 20% sobre o
ganho a título de imposto de renda?

Taxa Bruta: 0,90%
Imposto de renda: 20%
Taxa Liquida: Taxa Bruta - Imposto
OBS: Muito cuidado: descontar o imposto não é subtrair.

Calculando a taxa liquida:
0,90 x 0,80 (fator de descapitalização, ver tópico 1.4) = 0,72%

Logo a taxa liquida do investidor foi de 0,72%

                                        COMO FAZER
       CALCULAR A TAXA LIQUIDA                            CALCULAR A TAXA LIQUIDA
TAXA BRUTA          2%                           TAXA BRUTA            5%
IMPOSTO            30%                           IMPOSTO              20%
TAXA LIQUIDA       2% x 0,70 = 1,4%              TAXA LIQUIDA         5% x 0,80 = 4%



                                     AGORA É A SUA VEZ

              QUESTÃO 2.3.1                                      QUESTÃO 2.3.2
TAXA BRUTA         10%                           TAXA BRUTA           15%
IMPOSTO            25%                           IMPOSTO             20%
TAXA LIQUIDA                                     TAXA LIQUIDA


              QUESTÃO 2.3.3                                       QUESTÃO 2.3.4
TAXA BRUTA          20%                          TAXA BRUTA           8%
IMPOSTO            15%                           IMPOSTO             30%
TAXA LIQUIDA                                     TAXA LIQUIDA




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                             QUESTÃO           RESPOSTA

                                2.3.1               7,5%
                                2.3.2               12%
                                2.3.3               17%
                                2.3.4               5,6%




                             2.4 TAXA REAL X TAXA APARENTE


Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do
que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação,
transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais?

O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente.

Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a
verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real.


Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de
20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação
acumulada foi de 10%?

O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para
descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para
isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher.

Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula.
Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa
real.

1º Passo: Identificar os dados:
Taxa aparente (rentabilidade observada): 20%
Inflação: 10%


2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa
divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor:




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                 (1  taxa aparente) (1  0, 2) 1, 2
                                                    1, 0909 
                    (1  inflação)    (1  0,10) 1,1

                 1, 0909  1(representa 100%)  0, 0909  9, 09%

                                        COMO FAZER
Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi
de 20%?

1º Passo: Identificar os dados:
Taxa aparente (rentabilidade observada): 80%
Inflação: 20%

2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção:

                     (1  taxa aparente) (1  0,8) 1,8
                                                          1,5 
                        (1  inflação)    (1  0, 20) 1, 2

                     1,5  1(representa100%)  0,5  50%

                                     AGORA É A SUA VEZ:


QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi
de 20%?




QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%.
Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?




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Resolução questão 2.4.1

Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de
desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as
taxas:
Rendimento de 50% = 1,5
Inflação de 20% = 1,2

Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25.
Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos
uma taxa real de 25%.



Resolução questão 2.4.2

Fator para aumento de 40%: 1,4
Fator para inflação de 60%: 1,6

Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875
Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve
rendimento negativo de 12,5%.




                           2.5 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA


                                        TAXA NOMINAL

Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de
uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira,
comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa
realmente cobrada.

Exemplos de taxas nominais:

    24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)
    3% ao mês/bimestrais;
    1,5% ao dia/semestral;




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                                        TAXA EFETIVA

Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização.

Exemplos de taxas efetivas:

    24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)
    3% ao mês/mensal;
    1,5% ao dia/diária


Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa
efetiva possui a capitalização igual ao prazo.



Exemplos de taxas efetivas:

    24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)
    3% ao mês
    1,5% ao dia


                              TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa
proporcional (ver tópico 2.1).

Exemplo 2.5.1




                                                                  30%




OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser
abreviadas da seguinte maneira:
2% ao mês/mês = 2% ao mês
15% ao ano/ano = 15% ao ano

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Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de
juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual.




Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês.



       Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos
fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é
composta.




Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao
mês com capitalização bimestral?
1º passo: Identificar a taxa Nominal:
20% a.m / a.bim

2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO,
mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA
PROPORCIONAL.
20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim

      OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim.

3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso
ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.

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40 % a. bim = (1,4)² = 1,96

4º Passo: identificar a taxa de juros:
1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre

                                        COMO FAZER

Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre
com capitalização semestral?

10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional)
20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente)

OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres.

Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao
semestre com capitalização bimestral?

180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional)
30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente)

OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres.

                                    AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com
capitalização semestral?




QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao
trimestre com capitalização mensal?




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QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês
com capitalização bimestral?




Resolução questão 2.5.1

Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse
primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas
de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6.
0,05 x 6 = 0,3
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para
uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de
juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
ano possui 2 semestres:
1,30² = 1,69

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa
efetiva ao ano é de 69%.



Resolução questão 2.5.2

Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse
primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas
de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3.
2,4 / 3 = 0,8
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma
taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de
juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
trimestre possui 3 meses:
1,80³ = 5,832

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 5,832 = 4,832. Logo, a taxa
efetiva ao trimestre é de 483,20%.



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Resolução questão 2.5.3

Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse
primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas
de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2.
0,2 x 2 = 0,4
Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para
uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo
de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1
semestre possui 3 bimestres:
1,40³ = 2,744

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 2,744 = 1,744. Logo, a taxa
efetiva ao semestre é de 174,4%.




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                        QUESTÕES DE NIVELAMENTO
Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11
1,053 = 1,157
1,055 = 1,276
1,057 = 1,407
1,103 = 1,331
1,105 = 1,610
1,109 = 2,358
1,203 = 1,728
1,204 = 2,073
1,205 = 2,488
1,302 = 1,690
1,303 = 2,197
1,304 = 2,856
1,305 = 3,712

1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de:
(A) 15%
(B) 60%
(C) 69%
(D) 79,53%
(E) 169%

2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de:
(A) 15%
(B) 60%
(C) 69%
(D) 79,53%
(E) 169%

3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de:
(A) 15%
(B) 60%
(C) 69%
(D) 79,53%
(E) 169%

4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:
(A) 15%
(B) 60%
(C) 69%
(D) 79,53%
(E) 169%



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5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado:
(A) 3,92%
(B) 5%
(C) 5,23%
(D) 7%
(E) 47,10

6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado:
(A) 3,92%
(B) 5%
(C) 5,23%
(D) 7%
(E) 47,10

7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a
(A) 20% ao quadrimestre
(B) 20% ao trimestre
(C) 15% ao trimestre
(D) 15% ao quadrimestre
(E) 25% ao trimestre

8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa
(A) Igual a 20% ao trimestre
(B) Um pouco inferior a 20% ao trimestre
(C) Igual a 30% ao trimestre
(D) Igual a 30% ao quadrimestre
(E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre

9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal
    é aproximadamente de:
(A) 120%
(B) 155,40%
(C) 185,6%
(D) 213,8%
(E) 285,6%

10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com
    capitalização ao ano é aproximadamente de:
(A) 5%
(B) 15%
(C) 19%
(D) 20%
(E) 22%




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                               QUESTÕES FCC MÓDULO 2

    1. (BB 2006 – MED) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005
       foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que
       apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma
       taxa de juros nominal igual a

    (A) 4%
    (B) 4,5%
    (C) 5%
    (D) 5,5%
    (E) 6%




    2. (BB 2006 – MED) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de
       prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde
       a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo
       da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%.
       O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de

    (A) 14,4%
    (B) 15,2%
    (C) 18,4%
    (D) 19%
    (E) 20%




    3. (BB-DF 2006 – MED) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi
       igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com
       capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando:

    (A) i = 4 ⋅ [(1,12 )1/3 − 1]
    (B) i = 12 ⋅ [(1,12)1/4 − 1]
    (C) i = 12 ⋅ [(1,12)1/3 − 1]
    (D) i = (1,04 )12 − 1
    (E) i = 12 ⋅ [(0,04) ÷ 3]




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    4. (BB-DF 2006 – MED) Um financiamento foi contratado, em uma determinada
       data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda
       corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O
       custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-
       se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de

    (A) 16%
    (B) 20%
    (C) 24%
    (D) 28%
    (E) 30%


   5. (MPU 2007 - SUP) A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco
   Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa
   bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a
   quarta casa decimal

     (A) 51,2196%
     (B) 101,2196%
     (C) 151,5456%
     (D) 201,2196%
     (E) 251,5456%



   6. (MPU 2007 – SUP) A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de
   juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são,
   respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal

   (A) 42,5760% e 39,2400%
   (B) 31,1458% e 33,2118%
   (C) 36,0000% e 26,2477%
   (D) 39,2400% e 42,5760%
   (E) 33,2118% e 31,1458%



   7. (MPU 2007 – SUP) Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos,
   tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes.
   Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é

   (A) 12,0000000%

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   (B) 12,1626149%
   (C) 12,2616639%
   (D) 12,3966612%
   (E) 12,6162419%



   8. (MPU 2007 – SUP) A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo
   mensal de 6,5%, é de

   (A) 20,794963%
   (B) 19,500000%
   (C) 2,166667%
   (D) 2,121347%
   (E) 1,166667%



   9. (DNOCS 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$
   25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros
   de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no
   vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:


   (A)
   (B)
   (C)

   (D)
   (E)



   10. (COPERGÁS - 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a
   juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa
   aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A
   soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a

   (A) R$ 1.600,00.
   (B) R$ 1.538,23.
   (C) R$ 1.339,18.
   (D) R$ 1.219,59.
   (E) R$ 1.200,00.


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                 RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO

Questão 1

30% a.sem. = ? ao ano
2 semestres em 1 ano
Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano

RESPOSTA: Alternativa B


Questão 2

30% a.sem = ? ao ano
2 semestres em 1 ano
Taxa equivalente: 100% + 30%  100/100 + 30/100  1 + 0,3  1,3
Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de
períodos. Assim:
1,3² = 1,69
Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo:
100% = 100/100 = 1. Assim:
1 – 1,69 = 0,69

0,69 = 69% ao ano

RESPOSTA: Alternativa C


Questão 3

5% a.m. = ? ao ano
12 meses em 1 ano
Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano

RESPOSTA: Alternativa B


Questão 4

5% a.m. = ? ao ano
12 meses em 1 ano
Taxa equivalente:
Calculando o fator: 100% + 5%  100/100 + 5/100  1 + 0,05  1,05
Como são 12 períodos:
1,05¹² =

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Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela
propriedade das potências:
1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos
os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados:
1,407 x 1,276 = 1,7953
Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos:
1 ,7953 – 1 = 0,7953
= 79,53% ao ano

RESPOSTA: Alternativa D


Questão 5

15,7% a.a. = ? ao quadrimestre
3 quadrimestres em 1 ano
Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre

RESPOSTA: Alternativa C


Questão 6

15,7% a.a. = ? ao quadrimestre
3 quadrimestres em 1 ano
Taxa equivalente: 100% + 15,7%  100/100 + 15,7/100  1 + 0,157  1,157

Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período
maior para um período menor. Ou seja:
1,157¹/³ = ?
Trabalhando a potência, temos que:
1,157 = (1+i)³
Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157.
Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá
como resposta 1,157).
Valor encontrado: 1,05³ = 1,157
Se
1,157 = (1+i)³3 e
1,157 = 1,05³,
i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5%

RESPOSTA: Alternativa B


Questão 7

107,3% ao ano = ? ao trimestre

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4 trimestre em 1 ano
Taxa equivalente: 100% + 107,3  100/100 + 107,3/100  1 + 1,073  2,073


Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073
        = 2,073
Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%.

Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral:
107,3% ao ano = ? ao quadrimestre
3 quadrimestres em 1 ano
Taxa equivalente: 2,073¹/³
Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073
Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073

RESPOSTA: Alternativa B


Questão 8

180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre
Taxa equivalente
Fator: 2,8
Localizar na tabela 2,8
O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856:
    = 2,856

2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6%

Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos
menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a
180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres)

RESPOSTA: Alternativa E


Questão 9

Taxa nominal x taxa efetiva
30% ao trimestre / capitalização mensal
Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização
3 meses em 1 trimestre
30% / 3 = 10% ao mês
Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano
12 meses em 1 ano
1,1¹² =


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A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz
que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os
expoentes, podemos chegar ao valor:


1,331 x 2,358 = 3,138
3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8%
Taxa ao ano: 213,8%

RESPOSTA: Alternativa D


Questão 10

53,65% ao semestre / ano
2 semestres em 1 ano
53,65% x 2 = 107,30% ao ano
Taxa efetiva ao trimestre:

       (4 trimestres em 1 ano)
Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073

1,20 – 1 = 0,20
Ou seja, 20% ao trimestre

RESPOSTA: Alternativa D




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                 RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 2
Questão 1

Coletando os dados do problema, temos:
Inflação = 10%, ou seja: 0,10
Taxa real de juros = -0,5%, ou seja: -0,05
Taxa de juros nominal (taxa aparente): ?

Utilizando a fórmula:
1 + taxa aparente = 1+ taxa real
1 + inflação

1 + taxa aparente = 1- 0,05
1 + 0,1

1 + taxa aparente = 0,95 x 1,1
1 + taxa aparente = 1,045
Taxa aparente = 1,045 – 1
Taxa aparente = 0,045, ou seja: 4,5%


RESPOSTA: Alternativa B


Questão 2

Coletando os dados:
Taxa aparente: 44%, ou 0,44
Taxa de inflação: 25%, ou 0,25
Taxa real: ?

Utilizando a fórmula:
1 + taxa aparente = 1+ taxa real
1 + inflação

1 + 0,44 = 1+ taxa real
1 + 0,25

1,44/1,25 = 1 + taxa real

1,152 = 1 + taxa real

1,152 – 1 = taxa real

Taxa real = 0,152, ou 15,2%

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RESPOSTA: Alternativa B


Questão 3

Foi informada a taxa efetiva de 12% ao trimestre. Como foi pedida a taxa nominal ao ano com
capitalização mensal:

Primeiro passo: converter a taxa de 12% ao trimestre para uma taxa equivalente mensal (juros
compostos). Para isso, transformamos 12% em fator unitário: 100% + 12% = 100/100 + 12/100
= 1 + 0,12 = 1,12.

Como 1 trimestre = 3 meses, e estamos partindo de uma taxa em um período maior para um
período menor, aplicando a fórmula “Fator elevado à razão entre a quantidade de períodos que
queremos calcular e a quantidade de períodos que temos”, o cálculo a ser feito é: 1,12 1/3, pois 1 é
o período que queremos (1 mês), e 3 é o período que temos (3 meses, ou 1 trimestre).

Após realizar esse cálculo, encontraríamos um fator, que deveria ser subtraído de 1 para
encontrarmos a taxa ao mês. Além disso, para calcular a taxa nominal ao ano (taxa proporcional –
juros simples), multiplicaríamos essa taxa por 12. Matematicamente, faríamos:

(1,121/3 – 1) x 12 = taxa nominal ao ano com capitalização mensal.

Organizando essa expressão conforme as alternativas, teríamos:

i = 12 . [(1,12)1/3 - 1]


RESPOSTA: Alternativa C



Questão 4

Coletando os dados:
Taxa aparente: 44%, ou 0,44
Taxa real: 12,5%, ou 0,125
Taxa de inflação = ?

Utilizando a fórmula:
1 + taxa aparente = 1+ taxa real
1 + inflação

1 + 0,44 = 1+ 0,125
1 + inflação

1,44 = 1,125 * 1+inflação

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1+inflação = 1,44/1,125
1+inflação = 1,28
Inflação = 1,28 – 1
Inflação = 0,28, ou 28%

RESPOSTA: ALTERNATIVA D


Questão 5

Coletando os dados:
Taxa nominal, pois foi dada em um período diferente da capitalização: 36% ao ano / bimestral.
Primeiro passo: converter para taxa efetiva ao bimestre, utilizando o conceito de taxas
proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 6 bimestres:
36% / 6 = 6% ao bimestre.
Segundo passo: converter a taxa de 6% ao bimestre para uma taxa bianual. Como 2 anos
possuem 12 bimestres:
Fator para um aumento de 6% = 1+0,06 = 1,06
Aplicando a potência: 1,06¹² = 2,012196
Subtraindo o 1 que foi adicionado à taxa de 6% para cálculo: 2,012196 – 1 = 1,012196, ou seja:
101,2196%.

RESPOSTA: ALTERNATIVA B


Questão 6

Coletando os dados:
Taxa nominal 1: 36% ao ano / semestral
Taxa nominal 2: 36% ao ano / mensal

Calculando a taxa efetiva para a primeira taxa:
Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais
(juros simples). Como 1 ano possui 2 semestres:
36% / 2 = 18% ao semestre
Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes
(juros compostos). Fator para 18% = 1+0,18=1,18. Como 1 ano possui 2 semestres:
1,18² = 1,3924. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo:
1,3924 – 1 = 0,3924, ou 39,24% ao ano

Nesse ponto, já poderíamos marcar a resposta certa, mas segue o cálculo da taxa efetiva para a
segunda taxa:
Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros
simples). Como 1 ano possui 12 meses:
36% / 12 = 3% ao mês
Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes
(juros compostos). Fator para 3% = 1+0,03=1,03. Como 1 ano possui 12 meses:
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1,03¹² = 1,42576. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo:
1,42576 – 1 = 0,42576, ou 42,576% ao mês.


RESPOSTA: ALTERNATIVA D




Questão 7

Se os juros mensais são 2%, e 1 semestre possui 6 meses, precisamos elevar o fator de aumento
para 2% à potência 6.
Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02
1,02^6 = 1,126162419
Subtraindo os 100% somados anteriormente à taxa de 2% para cálculo:
1,126162419 – 1 = 0,126162419. Logo, a taxa de juros semestral é 12,6162419%

RESPOSTA: Alternativa E


Questão 8

Resolução 1: como calcular
Para converter a taxa de 6,5% ao mês para uma taxa equivalente (juros compostos) trimestral,
primeiro temos que transformar 6,5% em fator unitário:
100% + 6,5% = 100/100 + 6,5/100 = 1 + 0,065 = 1,065
Como 1 trimestre possui 3 meses, devemos elevar esse fator a 3:
1,065³ = 1,207949625
Subtraindo 1 desse fator (que é o 1 somado no início do cálculo):
1,207949625 – 1 = 0,207949625. Logo, a taxa de juros trimestral é 20,7949625, sendo mais
próxima da taxa informada na alternativa A (a diferença se dá por conta de arredondamentos).

Resolução 2: como ganhar tempo
O problema pede a taxa equivalente (juros compostos). Como os juros compostos são um pouco
maiores que os juros simples, podemos calcular a taxa proporcional (juros simples), e com o
raciocínio de que os juros compostos são um pouco maiores, chegamos à alternativa correta.
6,5% x 3 = 19,5%
Apenas a alternativa A traz uma taxa maior que 19,5%, sendo a única alternativa que satisfaz ao
raciocínio exposto.

RESPOSTA: Alternativa A


Questão 9

Para esse problema, precisamos saber como transformar a taxa de 24% ao ano com capitalização
mensal em uma taxa para 18 meses.

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Primeiro passo: como o problema informou uma taxa nominal, precisamos convertê-la para taxa
efetiva. 1 ano = 12 meses. Assim: 24% / 12 = 2% ao mês.
Segundo passo: transformar a taxa de 2% em fator unitário. 100% + 2% = 100/100 + 2/100 =
1+0,02 = 1,02.
Terceiro passo: como queremos a taxa de juros para toda a operação (18 meses), precisamos
elevar o fator 1,02 à 18, e depois subtrair 1 do fator encontrado, que é o 1 somado no início do
cálculo. Matematicamente:

[(1,02^18) – 1]

RESPOSTA: Alternativa A


Questão 10

Coletando os dados:
Capital (C) = 15.000
Prazo (t) = 6 meses
Taxa (i) = 12% a.a.

Taxa 2 (i) = 1% a.m.
Prato 2 (t) = 2 meses

Precisamos “somar” as duas taxas.
Primeira taxa (juros simples = taxas proporcionais): 12% / 2 (pois 6 meses = meio ano) = 6%
Fator: 100% + 6% = 1,06

Segunda taxa (juros compostos = taxas equivalentes): 100% + 1% = 1,01
Fator para 2 meses: 1,01² = 1,0201

Trabalhando com a taxa para acréscimos sucessivos:
1,06 x 1,0201= 1,081306

Taxa de juros total: 1,081306 – 1 = 0,081306.

Calculando esses juros sobre 15.000:
15.000 x 0,081306 = 1.219,59

RESPOSTA: Alternativa D




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MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E
                    DESCONTOS

              3.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao
capital.
Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra
composta e depois compararmos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:
Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do
Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por
José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°?
Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês.

      Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital)
                                 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS                 JUROS COBRADO                               SALDO DEVEDOR
 1º           10% de R$ 100,00 = R$ 10,00             R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
 2º           10% de R$ 100,00 = R$ 10,00             R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00
 3º           10% de R$ 100,00 = R$ 10,00             R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

 4º           10% de R$ 100,10 = R$ 10,00             R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00
 5º           10% de R$ 100,00 = R$ 10,00             R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00


 Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do
                                 período anterior)
                              CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS                 JUROS COBRADO                               SALDO DEVEDOR
 1º           10% de R$ 100,00 = R$ 10,00             R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
 2º           10% de R$ 110,00 = R$ 11,00             R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00
 3º           10% de R$ 121,00 = R$ 12,10             R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

 4º           10% de R$ 133,10 = R$ 13,31             R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41
 5º           10% de R$ 146,41 = R$ 14,64             R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

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Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros
simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

                                GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1




         Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples.


                                    3.2 JUROS SIMPLES


FÓRMULAS:

                     CALCULO DOS JUROS             CALCULO DO MONTANTE

                        J  C i t                 M  C  (1  i  t )
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:
J = Juros
M = Montante
C = Capital (Valor Presente)
i = Taxa de juros;
t = Prazo.

A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de
utilizar fórmula matemática.




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                                   APLICANDO A FÓRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução

Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3
meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:
C = 100.000,00
t = 3 meses
i = 2% ao mês
OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem
problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J=Cxixt
J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3
J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00

                     RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de
taxa de juros proporcional.

Resolução:
Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1)
Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

                        PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade,
necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão.

Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do
que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém
caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder
as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples,
proporcional, e sim equivalentes.




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Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3
meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?

Dados:
C = 100.000,00
t = 3 meses
i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar
o prazo em ano. Assim teremos:
C = 100.000,00
                 3
t = 3 meses =
                12
i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a fórmula
J=Cxixt
                        3
J = 100.000 x 0,12 x
                       12
J = 3.000,00

                               ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos
resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que
o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros
mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste
caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:
C = 100.000,00
t = 6 meses
M = 118.000,00
J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Aplicando a fórmula teremos:

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18.000  100.000  6  i
      18.000     18.000
i                      0, 03
    100.000  6 600.000
i  3% ao mês
Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital:
                          118.000
juros acumulado =                  1,18
                          100.000
Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 – 1 = 0,18 = 18%
18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa
proporcional e assim encontrar 3 % ao mês.

                                   ESTÁ FALTANDO DADOS?

Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do
tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.
Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos
um valor para o dado que está faltando.

Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações.
Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual
a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos
um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual
a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.

Dados:
C = 100,00
t = 8 meses
M = 200,00 (o dobro)
J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Substituindo na fórmula teremos


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100  100  8  i
     100     100
i                0,125
    100  8 800
i  12,5% ao mês

                                       COMO RESOLVER

Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil,
para que no fim de cinco anos esse duplique de valor?

Dados:
C = 2.000,00
t = 5 anos
M = 4.00,00 (o dobro)
J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)
i = ?? a.a
Substituindo na fórmula teremos

2.000  2.000  5  i
     2.000     2.000
i                   0, 2
    2.000  5 10.000
i  20% ao ano

Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao
mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação?

Dados:
C = 5.000,00
i = 2 % ao mês
t = 1,5 anos = 18 meses
J = ???

Substituindo na fórmula teremos


J  5.000 18  0, 02
J  1.800,00



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                                     AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove
meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre?




QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente
40 % ao fim de três anos.




Resolução questão 3.2.1

Coletando os dados do problema, temos:
Capital (C) = 5.700
Tempo (t) = 9 meses
Juros simples (i) = 24% ao semestre

Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses,
precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples:
1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal.
24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04.
A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema.

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples
Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos:
J = 5.700 x 0,04 x 9
J = 2.052,00

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Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas

Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9
meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor
aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital:
5.700 x 0,36 = 2.052

Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo
caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas.



Resolução questão 3.2.2

O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a
taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela
quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim:
40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111...
Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11%


                                  3.3 JUROS COMPOSTOS


FÓRMULAS:


                     CALCULO DOS JUROS             CALCULO DO MONTANTE

                         J  M C                     M  C  (1  i)t


OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:
J = Juros
M = Montante
C = Capital (Valor Presente)
i = Taxa de juros;
t = Prazo.




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                     RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o
prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo.

Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em
provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que
poderiam facilitarem estes cálculos.

Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso
público.

   1. Questões que necessitam da utilização de tabela.
   2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria
      questão.
   3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de
      valores.


Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos.

                    JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA

Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em
concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros
compostos Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:
C = 100.000,00
t = 8 meses
i = 10% ao mês


M  C  (1  i )t
M  100.000  (1  0,10)8
M  100.000  (1,10)8

O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A
solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.
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Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.


                     (1+i)t                             TAXA
                                            5%        10%       15%      20%
                                   1       1,050     1,100     1,150    1,200
                                   2       1,103     1,210     1,323    1,440
                                   3       1,158     1,331     1,521    1,728
                          PRAZO
                                   4       1,216     1,464     1,749    2,074
                                   5       1,276     1,611     2,011    2,488
                                   6       1,340     1,772     2,313    2,986
                                   7       1,407     1,949     2,660    3,583
                                   8       1,477     2,144     3,059    4,300
                                   9       1,551     2,358     3,518    5,160
                                   10      1,629     2,594     4,046    6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144
Substituindo na nossa fórmula temos:
M  100.000  (1,10)8
M  100.000  2,144
M  214.400, 00

O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00

                 JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no
próprio texto da questão, conforme abaixo.

Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144

Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o
exemplo anterior.

                          JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO

 A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade
do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação.
Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar
contas muito complexas, conforme abaixo.


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Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2
meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:
C = 100.000,00
t = 2 meses
i = 10% ao mês


M  C  (1  i )t
M  100.000  (1  0,10) 2
M  100.000  (1,10) 2
M  100.000 1, 21
M  121.000, 00

Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00



                                     COMO RESOLVER

Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma
taxa de juros compostos de 20 % ao ano?

Dados do problema:
C = 2.000,00
t = 2 anos
i = 10% ao ano
M = ???


M  C  (1  i )t
M  2.000  (1  0, 20) 2
M  2.000  (1, 20) 2
M  2.000 1, 44
M  2.880, 00

Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma
taxa de juros compostos de 10 % ao semestre?

Dados:
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C = 5.000,00
t = 1 ano ou 2 semestres
i = 10% ao ano


M  C  (1  i )t
M  5.000  (1  0,10) 2
M  5.000  (1,10) 2
M  5.000 1, 21
M  6.050, 00

Como a questão quer saber qual os juros, temos:
J  M C
J  6.050  5.000
J  1.050, 00

Assim, os juros serão de R$ 1.050,00
Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2
meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de
juros mensais que este fundo remunerou ao investidor?

Dados:

C = 10.000,00
t = 2 meses
M = 11.025,00
i = ??? ao mês


M  C  (1  i )t
11.025  10.000  (1  i) 2
               11.025
(1  i ) 2 
               10.000




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                 11.025
  (1  i ) 2 
                 10.000
          105
(1  i ) 
          100
i  1, 05  1  0, 05
i  5% ao mês


                                   AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a
uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral?




QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma
taxa de juros compostos de 20 % ao mês?




Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses
em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros
mensal que este fundo remunerou o investidor?




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Resolução questão 3.3.1

Coletando os dados, temos:
Montante (M) = ?
Capital (C) = 10.000
Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres)
Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral
Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o
período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa
para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples):
20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres).
Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas,
devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano.
Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo:

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos
Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos:
M = 10.000 (1+0,1)²
M = 10.000 (1,01)²
M = 10.000 x 1,21
M = 12.100

Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes
Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que
possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas
equivalentes (juros compostos):
Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência.
100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10.
Como queremos calcular a taxa para 2 semestres:
1,10² = 1,21.
Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de
10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque:
M=CxF
M = 10.000 x 1,21
M = 12.100




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Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é
que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso,
usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando
calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não
precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo.



Resolução questão 3.3.2.

Coletando os dados do problema:
Juros (j) = ?
Capital (C) = 20.000
Tempo (t) = 2 meses
Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos.
Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores:
J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1
J = 20.000 x [(1,20)²] – 1
J = 20.000 x (1,44 – 1)
J = 20.000 x 0,44
J = 8.800

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes.
Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas.
Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros
bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1
(100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período
é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta
em [(1+0,20)²] – 1. Assim:
1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44.
Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital
por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos
quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos
decorar fórmulas, e sim entender o processo.
20.000 x 0,44 = 8.800.



Resolução questão 3.3.3

Coletando os dados:

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Capital (C) = 100
Tempo (t) = 2 meses
Montante (M) = 144

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos
Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos:
144 = 100 (1+i)²
144/100 = (1+i)²
1,44 = (1+i)²
     = 1+i

1,2 = 1+i
1,2 – 1 = i
i = 0,2, ou 20% ao mês.

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes
Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de
uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da
fórmula de juros compostos.
F = 144/100
F = 1,44
De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44
– 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas
equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período
menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a
forma de calcular esse tipo de taxa é:



     (essa fração pode ser transformada em uma raiz)




1,2.
Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao
mês.



                                      3.4 DESCONTO SIMPLES


Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros,
conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro.
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Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas
das nossas variáveis.

O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em
desconto simples.

O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em
desconto simples.



                     DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto
comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na
prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam
exigir os dois tipos de descontos.



                              DESCONTO COMERCIAL SIMPLES


   Mais comum e mais utilizado
   Também conhecido como desconto bancário
   Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”
   O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)


FÓRMULAS:

               CALCULO DO VALOR DO                    CALCULO DO VALOR ATUAL
                    DESCONTO
                   Dc  N  id  t                       A  N  (1  id  t )
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual

Onde:
DC = Desconto Comercial
A = Valor Atual ou Valor Liquido
N = Valor Nominal ou Valor de Face
id = Taxa de desconto;
t = Prazo.


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Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto
comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida
com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as
duas fórmulas:
Dc = N x i x t  J = C x i x t

Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o
valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao
capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante).

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no
regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois
adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o
fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t
(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a
fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o
valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para
subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t).

Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto
comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data
de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:
N = 10.000,00
t = 3 meses
id = 5% ao mês
Dc  N  id  t
Dc  10.000  0, 05  3
J  1.500,00

Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos.
A  10.000  1.500
A  8.500,00

                              DESCONTO RACIONAL SIMPLES


 Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso público

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   Também conhecido como desconto verdadeiro
   Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”
   O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)
   Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o
    valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.

FÓRMULAS:

                CALCULO DO VALOR DO                  CALCULO DO VALOR ATUAL
                     DESCONTO
                     Dr  A  id  t                                  N
                                                           A
                                                                 (1  id  t )
OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual

Onde:
Dr = Desconto Racional
A = Valor Atual ou Valor Liquido
N = Valor Nominal ou Valor de Face
id = Taxa de desconto;
t = Prazo.

Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racional
é calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula de
juros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual,
Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas:

Dr = A x i x t  J = C x i x t

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no
regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois
adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o
fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t
(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a
fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenas
substituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas:

M = C (1+i x t) N = A (1+i x t)
Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então:
          N
A
     (1  id  t )
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Exemplo 3.4.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional
comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data
de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:
N = 10.000,00
t = 3 meses
id = 5% ao mês

Como o valor do desconto depende do valor Atual que não foi fornecido pelo exercício, temos que
calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto.
           N
A
      (1  id  t )
       10.000
A
    (1  0, 05  3)
       10.000
A
    (1  0, 05  3)
A  8.695, 65
Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual.
Dr  10.000  8.695, 65
Dr  1.304,35

                                 3.5 DESCONTO COMPOSTO


Similar ao desconto simples, porém iremos trocar a multiplicação da taxa pelo prazo pela
potenciação.

Também temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre estas
duas maneiras de cobrança de desconto é a mesma dos descontos simples comercial e racional.

                             DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

   Pouco utilizado no Brasil
   Seu calculo é semelhante ao calculo de juros compostos
   Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”
   O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)


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  • 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA AUTOR: Prof Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br
  • 2. CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA EDITAL JANEIRO 2012 1. Porcentagem; 2. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 3. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 4. Rendas uniformes e variáveis. 5. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. 6. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. 7. Avaliação de alternativas de investimento. 8. Taxas de retorno A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiro colocado no ultimo concurso do Banco do Brasil. Aprovamos o primeiro colocado nas seguintes cidades: Irecê – Vitória da Conquista; Jundiaí – São Paulo; Jequié – BA; Anápolis – GO ; Sete Lagoas – MS; Pouso Alegre – MG; Lins – SP; Paraíso do Tocantins – TO Rio de Janeiro – RJ; Cabo Frio – RJ; Pelotas – RS; Novo Hamburgo – RS; Santo Amaro – SP; Varginha – BA; Bonito – MS; Juiz de Fora – MG (PNE); Disparado o curso que mais aprova em todo o país. Mais de 52% dos nossos alunos fora, aprovados nos últimos concursos do Banco do Brasil. A CASA DO CONCURSEIRO, UM ANO BRINCANDO DE APROVAR PRIMEIROS COLOCADOS!
  • 3. Sumário MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................. 01 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 10 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 11 MÓDULO 2. TAXAS ............................................................................................ 13 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 27 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 30 MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ... 39 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 62 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 75 MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES ................................................................... 103 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 115 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 119 MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC .......................... 128 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 133 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 136 MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO ......................................................... 142 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 147 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 152
  • 4. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.  Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser aplicado numa operação financeira.  Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.  Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros. o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.  Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros. o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta).  Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.  Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização.  Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.  Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão. o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta). www.acasadoconcurseiro.com.br Página 1
  • 5. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 1.2 TAXA UNITÁRIA DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER 1.2.1 AGORA É A SUA VEZ: 10 10%   0,10 15% 100 20 20% 20%   0, 20 100 5 4,5% 5%   0, 05 100 254% 38 38%   0,38 100 0% 1,5 1,5%   0, 015 63% 100 230 24,5% 230%   2,3 100 6% 1.3 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 2
  • 6. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 120 Fator de Capitalização =  1, 2 100 O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2 ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2. Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER: 130 Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% =  1,3 100 115 Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% =  1,15 100 103 Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% =  1, 03 100 300 Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 3 100 1.3.1 AGORA É A SUA VEZ: Acréscimo Calculo Fator 15% 20% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 3
  • 7. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% 1.4 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 80 Fator de Descapitalização =  0,8 100 O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR: o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8 ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 4
  • 8. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER: 70 Desconto de 30% = 100%  30% = 70% =  0, 7 100 85 Desconto de 15% = 100%  15% = 85% =  0,85 100 97 Desconto de 3% = 100%  3% = 97% =  0,97 100 50 Desconto de 50% = 100%  50% = 50% =  0,5 100 1.4.1 AGORA É A SUA VEZ: Desconto Calculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% 1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse tipo. O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 5
  • 9. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem definidos: Exemplo 1.5.1: Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em: a) 50% b) 30% c) 150% d) 56% e) 20% Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”). Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos: Após receber um acréscimo de 30%: 10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00 Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009: 13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60 Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano. Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%, e não de 50% como parecia inicialmente. COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA: Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3: o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3 o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2 1,3 x 1,2 = 1,56 Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2), logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 6
  • 10. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br COMO FAZER Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: a) 10% maior b) 10 % menor c) Acréscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resolução: Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 – 0,84 = 0,16 Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E) Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual Resolução: Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E) www.acasadoconcurseiro.com.br Página 7
  • 11. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br AGORA É SUA VEZ QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003, (A) 24 %. (B) 28 %. (C) 30 %. (D) 32 %. (E) 60 %. QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de: (A) 35%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 60%. (E) 65%. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 8
  • 12. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Resolução questão 1.5.1 Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%): 2003 2004 Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96 Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28 TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24 Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A Resolução questão 1.5.2 Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada vendedora. Maio Junho Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2 Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em junho = 1,2 * 1,25 = 1,5 Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5), houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C www.acasadoconcurseiro.com.br Página 9
  • 13. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES FCC MÓDULO 1 1. (TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado de ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que Denis investiu foi: (A) R$ 3 200,00 (B) R$ 3 600,00 (C) R$ 4 000,00 (D) R$ 4 200,00 (E) R$ 4 500,00 2. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva de (A) 9% ao trimestre. (B) [(1,03)² - 1] ao bimestre. (C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano. (D) ao semestre. (E) . 3. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de R$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro de 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é (A) R$ 78,00 (B) R$ 80,00 (C) R$ 84,00 (D) R$ 86,00 (E) R$ 90,00 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 10
  • 14. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 1 Questão 1 Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2 Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85 O detalhe é que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e não do montante total. Ou seja: o fator de 0,85 será aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final do período, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17 Logo, ao final do período, Denis possuía 1,17 do valor investido inicialmente, que são R$ 5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de “C”, e estabelecer a seguinte relação: 1,17 de C é igual a 5.265. Matematicamente: 1,17C = 5.265 Calculando o capital inicial: C = 5.265/1,17 C = 4.500 RESPOSTA: Alternativa E Questão 2 Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano com capitalização mensal, e 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Com essa informação, podemos analisar as alternativas: a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juros compostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o cálculo seria 1,03³ = 1,092727, então a taxa seria de 9,2727% b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator 100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses, elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtraímos 1 do resultado, que é o mesmo 1 adicionado anteriormente para o caçulo da potência. Matematicamente, teríamos: 1,03² - 1, que é exatamente o sugerido pela alternativa. c) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 11
  • 15. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br [(0,36/12)+1]¹² - 1 d) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para uma taxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03) à potência 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos: [(0,36/12)+1]^6 – 1 e) Esse cálculo seria correto caso estivéssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano para uma taxa mensal. Como 36% é uma taxa nominal, esse não é o cálculo correto. RESPOSTA: Alternativa B Questão 3 O problema informa que há um lucro de 40% sobre o preço de venda, e que descontado esse lucro, o valor do produto é de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocínio inverso do que fizemos até o momento, pois se antes pensávamos em um fator de aumento e aplicávamos sobre um valor para descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decréscimo sobre um certo valor X, sabendo que o resultado será R$ 48,00. Organizando matematicamente: Para descontar os 40%, o fator será: 100% - 40% = 60%, ou em valor unitário, 0,60. Esse fator deverá ser aplicado sobre o preço com o lucro para termos o resultado 48. Assim: 0,60X = 48 X = 48/0,60 X = 80 RESPOSTA: Alternativa B www.acasadoconcurseiro.com.br Página 12
  • 16. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br MÓDULO 2. TAXAS 2.1 TAXA PROPORCIONAL Calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros: Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês? Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses. Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano. Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre? Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3 bimestres. 15% Assim a taxa procurada é de  5% ao bimestre. 3 COMO FAZER TAXA TAXA PROPORCIONAL 25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano) 15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m 60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre) 25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano) AGORA É A SUA VEZ QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL 2.1.1 50% a.bim ___________a.ano 2.1.2 6% a.mês _________a.quad. 2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim. 2.1.4 20% a. quadri __________a.Trim www.acasadoconcurseiro.com.br Página 13
  • 17. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.1.1 300% 2.1.2 24% 2.1.3 3% 2.1.4 15% 2.2 TAXA EQUIVALENTE Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula. Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta. Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,10 = 1,10 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses. (1,10)2 = 1,21 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,21 = 21% Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,20 = 1,20 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui três bimestres. (1,20)3 = 1,728 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,728 = 72,8% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 14
  • 18. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br COMO FAZER 10% a.m equivale a: Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21% Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10% 20% a.bim equivale a: Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44% Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.2.1 QUESTÃO 2.2.2 21% a.sem. equivale a: 30% a.mês. equivale a: Ao Ano Ao Bimestre Ao Trimestre Ao Trimestre GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao trimestre 2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre 2.3 TAXA BRUTA X TAXA LIQUIDA Essas taxas são muito especuladas em aplicações financeiras. A grande diferença entre as duas é que na taxa bruta estão inclusos tributações e encargos, e a líquida está livre desses descontos. Por este motivo, muitas vezes necessitamos da taxa líquida para podermos comparar aplicações financeiras distintas. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 15
  • 19. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Exemplo 2.3.1: Supondo uma aplicação em um fundo de investimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90% em um mês. Qual foi o seu ganho líquido se considerarmos que lhe foi cobrado 20% sobre o ganho a título de imposto de renda? Taxa Bruta: 0,90% Imposto de renda: 20% Taxa Liquida: Taxa Bruta - Imposto OBS: Muito cuidado: descontar o imposto não é subtrair. Calculando a taxa liquida: 0,90 x 0,80 (fator de descapitalização, ver tópico 1.4) = 0,72% Logo a taxa liquida do investidor foi de 0,72% COMO FAZER CALCULAR A TAXA LIQUIDA CALCULAR A TAXA LIQUIDA TAXA BRUTA 2% TAXA BRUTA 5% IMPOSTO 30% IMPOSTO 20% TAXA LIQUIDA 2% x 0,70 = 1,4% TAXA LIQUIDA 5% x 0,80 = 4% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.3.1 QUESTÃO 2.3.2 TAXA BRUTA 10% TAXA BRUTA 15% IMPOSTO 25% IMPOSTO 20% TAXA LIQUIDA TAXA LIQUIDA QUESTÃO 2.3.3 QUESTÃO 2.3.4 TAXA BRUTA 20% TAXA BRUTA 8% IMPOSTO 15% IMPOSTO 30% TAXA LIQUIDA TAXA LIQUIDA www.acasadoconcurseiro.com.br Página 16
  • 20. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.3.1 7,5% 2.3.2 12% 2.3.3 17% 2.3.4 5,6% 2.4 TAXA REAL X TAXA APARENTE Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação, transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais? O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente. Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real. Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de 20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 10%? O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher. Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula. Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa real. 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 20% Inflação: 10% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 17
  • 21. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br (1  taxa aparente) (1  0, 2) 1, 2    1, 0909  (1  inflação) (1  0,10) 1,1 1, 0909  1(representa 100%)  0, 0909  9, 09% COMO FAZER Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 20%? 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 80% Inflação: 20% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção: (1  taxa aparente) (1  0,8) 1,8    1,5  (1  inflação) (1  0, 20) 1, 2 1,5  1(representa100%)  0,5  50% AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi de 20%? QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%? www.acasadoconcurseiro.com.br Página 18
  • 22. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Resolução questão 2.4.1 Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as taxas: Rendimento de 50% = 1,5 Inflação de 20% = 1,2 Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25. Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos uma taxa real de 25%. Resolução questão 2.4.2 Fator para aumento de 40%: 1,4 Fator para inflação de 60%: 1,6 Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875 Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve rendimento negativo de 12,5%. 2.5 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA TAXA NOMINAL Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira, comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa realmente cobrada. Exemplos de taxas nominais:  24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)  3% ao mês/bimestrais;  1,5% ao dia/semestral; www.acasadoconcurseiro.com.br Página 19
  • 23. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br TAXA EFETIVA Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização. Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)  3% ao mês/mensal;  1,5% ao dia/diária Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa efetiva possui a capitalização igual ao prazo. Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)  3% ao mês  1,5% ao dia TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa proporcional (ver tópico 2.1). Exemplo 2.5.1 30% OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser abreviadas da seguinte maneira: 2% ao mês/mês = 2% ao mês 15% ao ano/ano = 15% ao ano www.acasadoconcurseiro.com.br Página 20
  • 24. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual. Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês. Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é composta. Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral? 1º passo: Identificar a taxa Nominal: 20% a.m / a.bim 2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO, mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA PROPORCIONAL. 20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim. 3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 21
  • 25. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 40 % a. bim = (1,4)² = 1,96 4º Passo: identificar a taxa de juros: 1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre COMO FAZER Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre com capitalização semestral? 10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional) 20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres. Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao semestre com capitalização bimestral? 180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional) 30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres. AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com capitalização semestral? QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao trimestre com capitalização mensal? www.acasadoconcurseiro.com.br Página 22
  • 26. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral? Resolução questão 2.5.1 Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6. 0,05 x 6 = 0,3 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 ano possui 2 semestres: 1,30² = 1,69 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa efetiva ao ano é de 69%. Resolução questão 2.5.2 Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3. 2,4 / 3 = 0,8 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 trimestre possui 3 meses: 1,80³ = 5,832 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 5,832 = 4,832. Logo, a taxa efetiva ao trimestre é de 483,20%. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 23
  • 27. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Resolução questão 2.5.3 Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2. 0,2 x 2 = 0,4 Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1 semestre possui 3 bimestres: 1,40³ = 2,744 Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 2,744 = 1,744. Logo, a taxa efetiva ao semestre é de 174,4%. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 24
  • 28. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES DE NIVELAMENTO Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11 1,053 = 1,157 1,055 = 1,276 1,057 = 1,407 1,103 = 1,331 1,105 = 1,610 1,109 = 2,358 1,203 = 1,728 1,204 = 2,073 1,205 = 2,488 1,302 = 1,690 1,303 = 2,197 1,304 = 2,856 1,305 = 3,712 1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169% 2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169% 3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169% 4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 25
  • 29. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado: (A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10 6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado: (A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10 7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a (A) 20% ao quadrimestre (B) 20% ao trimestre (C) 15% ao trimestre (D) 15% ao quadrimestre (E) 25% ao trimestre 8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa (A) Igual a 20% ao trimestre (B) Um pouco inferior a 20% ao trimestre (C) Igual a 30% ao trimestre (D) Igual a 30% ao quadrimestre (E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre 9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal é aproximadamente de: (A) 120% (B) 155,40% (C) 185,6% (D) 213,8% (E) 285,6% 10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com capitalização ao ano é aproximadamente de: (A) 5% (B) 15% (C) 19% (D) 20% (E) 22% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 26
  • 30. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES FCC MÓDULO 2 1. (BB 2006 – MED) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005 foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a (A) 4% (B) 4,5% (C) 5% (D) 5,5% (E) 6% 2. (BB 2006 – MED) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de (A) 14,4% (B) 15,2% (C) 18,4% (D) 19% (E) 20% 3. (BB-DF 2006 – MED) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: (A) i = 4 ⋅ [(1,12 )1/3 − 1] (B) i = 12 ⋅ [(1,12)1/4 − 1] (C) i = 12 ⋅ [(1,12)1/3 − 1] (D) i = (1,04 )12 − 1 (E) i = 12 ⋅ [(0,04) ÷ 3] www.acasadoconcurseiro.com.br Página 27
  • 31. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 4. (BB-DF 2006 – MED) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem- se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de (A) 16% (B) 20% (C) 24% (D) 28% (E) 30% 5. (MPU 2007 - SUP) A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% 6. (MPU 2007 – SUP) A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% 7. (MPU 2007 – SUP) Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12,0000000% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 28
  • 32. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br (B) 12,1626149% (C) 12,2616639% (D) 12,3966612% (E) 12,6162419% 8. (MPU 2007 – SUP) A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% 9. (DNOCS 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) 10. (COPERGÁS - 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.538,23. (C) R$ 1.339,18. (D) R$ 1.219,59. (E) R$ 1.200,00. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 29
  • 33. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO Questão 1 30% a.sem. = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B Questão 2 30% a.sem = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 30%  100/100 + 30/100  1 + 0,3  1,3 Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de períodos. Assim: 1,3² = 1,69 Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo: 100% = 100/100 = 1. Assim: 1 – 1,69 = 0,69 0,69 = 69% ao ano RESPOSTA: Alternativa C Questão 3 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B Questão 4 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa equivalente: Calculando o fator: 100% + 5%  100/100 + 5/100  1 + 0,05  1,05 Como são 12 períodos: 1,05¹² = www.acasadoconcurseiro.com.br Página 30
  • 34. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela propriedade das potências: 1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados: 1,407 x 1,276 = 1,7953 Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos: 1 ,7953 – 1 = 0,7953 = 79,53% ao ano RESPOSTA: Alternativa D Questão 5 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre RESPOSTA: Alternativa C Questão 6 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 15,7%  100/100 + 15,7/100  1 + 0,157  1,157 Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Ou seja: 1,157¹/³ = ? Trabalhando a potência, temos que: 1,157 = (1+i)³ Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157. Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá como resposta 1,157). Valor encontrado: 1,05³ = 1,157 Se 1,157 = (1+i)³3 e 1,157 = 1,05³, i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5% RESPOSTA: Alternativa B Questão 7 107,3% ao ano = ? ao trimestre www.acasadoconcurseiro.com.br Página 31
  • 35. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 4 trimestre em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 107,3  100/100 + 107,3/100  1 + 1,073  2,073 Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073 = 2,073 Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%. Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral: 107,3% ao ano = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 2,073¹/³ Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073 Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073 RESPOSTA: Alternativa B Questão 8 180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre Taxa equivalente Fator: 2,8 Localizar na tabela 2,8 O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856: = 2,856 2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6% Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a 180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres) RESPOSTA: Alternativa E Questão 9 Taxa nominal x taxa efetiva 30% ao trimestre / capitalização mensal Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização 3 meses em 1 trimestre 30% / 3 = 10% ao mês Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano 12 meses em 1 ano 1,1¹² = www.acasadoconcurseiro.com.br Página 32
  • 36. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes, podemos chegar ao valor: 1,331 x 2,358 = 3,138 3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8% Taxa ao ano: 213,8% RESPOSTA: Alternativa D Questão 10 53,65% ao semestre / ano 2 semestres em 1 ano 53,65% x 2 = 107,30% ao ano Taxa efetiva ao trimestre: (4 trimestres em 1 ano) Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073 1,20 – 1 = 0,20 Ou seja, 20% ao trimestre RESPOSTA: Alternativa D www.acasadoconcurseiro.com.br Página 33
  • 37. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 2 Questão 1 Coletando os dados do problema, temos: Inflação = 10%, ou seja: 0,10 Taxa real de juros = -0,5%, ou seja: -0,05 Taxa de juros nominal (taxa aparente): ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + taxa aparente = 1- 0,05 1 + 0,1 1 + taxa aparente = 0,95 x 1,1 1 + taxa aparente = 1,045 Taxa aparente = 1,045 – 1 Taxa aparente = 0,045, ou seja: 4,5% RESPOSTA: Alternativa B Questão 2 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa de inflação: 25%, ou 0,25 Taxa real: ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ taxa real 1 + 0,25 1,44/1,25 = 1 + taxa real 1,152 = 1 + taxa real 1,152 – 1 = taxa real Taxa real = 0,152, ou 15,2% www.acasadoconcurseiro.com.br Página 34
  • 38. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESPOSTA: Alternativa B Questão 3 Foi informada a taxa efetiva de 12% ao trimestre. Como foi pedida a taxa nominal ao ano com capitalização mensal: Primeiro passo: converter a taxa de 12% ao trimestre para uma taxa equivalente mensal (juros compostos). Para isso, transformamos 12% em fator unitário: 100% + 12% = 100/100 + 12/100 = 1 + 0,12 = 1,12. Como 1 trimestre = 3 meses, e estamos partindo de uma taxa em um período maior para um período menor, aplicando a fórmula “Fator elevado à razão entre a quantidade de períodos que queremos calcular e a quantidade de períodos que temos”, o cálculo a ser feito é: 1,12 1/3, pois 1 é o período que queremos (1 mês), e 3 é o período que temos (3 meses, ou 1 trimestre). Após realizar esse cálculo, encontraríamos um fator, que deveria ser subtraído de 1 para encontrarmos a taxa ao mês. Além disso, para calcular a taxa nominal ao ano (taxa proporcional – juros simples), multiplicaríamos essa taxa por 12. Matematicamente, faríamos: (1,121/3 – 1) x 12 = taxa nominal ao ano com capitalização mensal. Organizando essa expressão conforme as alternativas, teríamos: i = 12 . [(1,12)1/3 - 1] RESPOSTA: Alternativa C Questão 4 Coletando os dados: Taxa aparente: 44%, ou 0,44 Taxa real: 12,5%, ou 0,125 Taxa de inflação = ? Utilizando a fórmula: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação 1 + 0,44 = 1+ 0,125 1 + inflação 1,44 = 1,125 * 1+inflação www.acasadoconcurseiro.com.br Página 35
  • 39. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 1+inflação = 1,44/1,125 1+inflação = 1,28 Inflação = 1,28 – 1 Inflação = 0,28, ou 28% RESPOSTA: ALTERNATIVA D Questão 5 Coletando os dados: Taxa nominal, pois foi dada em um período diferente da capitalização: 36% ao ano / bimestral. Primeiro passo: converter para taxa efetiva ao bimestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 6 bimestres: 36% / 6 = 6% ao bimestre. Segundo passo: converter a taxa de 6% ao bimestre para uma taxa bianual. Como 2 anos possuem 12 bimestres: Fator para um aumento de 6% = 1+0,06 = 1,06 Aplicando a potência: 1,06¹² = 2,012196 Subtraindo o 1 que foi adicionado à taxa de 6% para cálculo: 2,012196 – 1 = 1,012196, ou seja: 101,2196%. RESPOSTA: ALTERNATIVA B Questão 6 Coletando os dados: Taxa nominal 1: 36% ao ano / semestral Taxa nominal 2: 36% ao ano / mensal Calculando a taxa efetiva para a primeira taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 2 semestres: 36% / 2 = 18% ao semestre Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 18% = 1+0,18=1,18. Como 1 ano possui 2 semestres: 1,18² = 1,3924. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,3924 – 1 = 0,3924, ou 39,24% ao ano Nesse ponto, já poderíamos marcar a resposta certa, mas segue o cálculo da taxa efetiva para a segunda taxa: Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 12 meses: 36% / 12 = 3% ao mês Segundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Fator para 3% = 1+0,03=1,03. Como 1 ano possui 12 meses: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 36
  • 40. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 1,03¹² = 1,42576. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo: 1,42576 – 1 = 0,42576, ou 42,576% ao mês. RESPOSTA: ALTERNATIVA D Questão 7 Se os juros mensais são 2%, e 1 semestre possui 6 meses, precisamos elevar o fator de aumento para 2% à potência 6. Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 1,02^6 = 1,126162419 Subtraindo os 100% somados anteriormente à taxa de 2% para cálculo: 1,126162419 – 1 = 0,126162419. Logo, a taxa de juros semestral é 12,6162419% RESPOSTA: Alternativa E Questão 8 Resolução 1: como calcular Para converter a taxa de 6,5% ao mês para uma taxa equivalente (juros compostos) trimestral, primeiro temos que transformar 6,5% em fator unitário: 100% + 6,5% = 100/100 + 6,5/100 = 1 + 0,065 = 1,065 Como 1 trimestre possui 3 meses, devemos elevar esse fator a 3: 1,065³ = 1,207949625 Subtraindo 1 desse fator (que é o 1 somado no início do cálculo): 1,207949625 – 1 = 0,207949625. Logo, a taxa de juros trimestral é 20,7949625, sendo mais próxima da taxa informada na alternativa A (a diferença se dá por conta de arredondamentos). Resolução 2: como ganhar tempo O problema pede a taxa equivalente (juros compostos). Como os juros compostos são um pouco maiores que os juros simples, podemos calcular a taxa proporcional (juros simples), e com o raciocínio de que os juros compostos são um pouco maiores, chegamos à alternativa correta. 6,5% x 3 = 19,5% Apenas a alternativa A traz uma taxa maior que 19,5%, sendo a única alternativa que satisfaz ao raciocínio exposto. RESPOSTA: Alternativa A Questão 9 Para esse problema, precisamos saber como transformar a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal em uma taxa para 18 meses. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 37
  • 41. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Primeiro passo: como o problema informou uma taxa nominal, precisamos convertê-la para taxa efetiva. 1 ano = 12 meses. Assim: 24% / 12 = 2% ao mês. Segundo passo: transformar a taxa de 2% em fator unitário. 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1+0,02 = 1,02. Terceiro passo: como queremos a taxa de juros para toda a operação (18 meses), precisamos elevar o fator 1,02 à 18, e depois subtrair 1 do fator encontrado, que é o 1 somado no início do cálculo. Matematicamente: [(1,02^18) – 1] RESPOSTA: Alternativa A Questão 10 Coletando os dados: Capital (C) = 15.000 Prazo (t) = 6 meses Taxa (i) = 12% a.a. Taxa 2 (i) = 1% a.m. Prato 2 (t) = 2 meses Precisamos “somar” as duas taxas. Primeira taxa (juros simples = taxas proporcionais): 12% / 2 (pois 6 meses = meio ano) = 6% Fator: 100% + 6% = 1,06 Segunda taxa (juros compostos = taxas equivalentes): 100% + 1% = 1,01 Fator para 2 meses: 1,01² = 1,0201 Trabalhando com a taxa para acréscimos sucessivos: 1,06 x 1,0201= 1,081306 Taxa de juros total: 1,081306 – 1 = 0,081306. Calculando esses juros sobre 15.000: 15.000 x 0,081306 = 1.219,59 RESPOSTA: Alternativa D www.acasadoconcurseiro.com.br Página 38
  • 42. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS 3.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao capital. Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra composta e depois compararmos. Vamos analisar o exemplo abaixo: Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°? Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês. Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00 3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00 4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00 5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00 Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do período anterior) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00 3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10 4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41 5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 39
  • 43. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos. GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1 Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples. 3.2 JUROS SIMPLES FÓRMULAS: CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J  C i t M  C  (1  i  t ) OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros; t = Prazo. A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de utilizar fórmula matemática. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 40
  • 44. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br APLICANDO A FÓRMULA Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 3 meses i = 2% ao mês OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses. J=Cxixt J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3 J = 6.000,00 Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00 RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS: Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de taxa de juros proporcional. Resolução: Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1) Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00 PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade, necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão. Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples, proporcional, e sim equivalentes. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 41
  • 45. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3 meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros? Dados: C = 100.000,00 t = 3 meses i = 12% ao ano Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar o prazo em ano. Assim teremos: C = 100.000,00 3 t = 3 meses = 12 i = 12% ao ano Agora sim podemos aplicar a fórmula J=Cxixt 3 J = 100.000 x 0,12 x 12 J = 3.000,00 ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto. Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco. Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim: Dados: C = 100.000,00 t = 6 meses M = 118.000,00 J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Aplicando a fórmula teremos: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 42
  • 46. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 18.000  100.000  6  i 18.000 18.000 i   0, 03 100.000  6 600.000 i  3% ao mês Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples. Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital: 118.000 juros acumulado =  1,18 100.000 Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos: 1,18 – 1 = 0,18 = 18% 18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa proporcional e assim encontrar 3 % ao mês. ESTÁ FALTANDO DADOS? Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc. Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos um valor para o dado que está faltando. Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações. Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu? Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor. Dados: C = 100,00 t = 8 meses M = 200,00 (o dobro) J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) Substituindo na fórmula teremos www.acasadoconcurseiro.com.br Página 43
  • 47. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 100  100  8  i 100 100 i   0,125 100  8 800 i  12,5% ao mês COMO RESOLVER Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos esse duplique de valor? Dados: C = 2.000,00 t = 5 anos M = 4.00,00 (o dobro) J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital) i = ?? a.a Substituindo na fórmula teremos 2.000  2.000  5  i 2.000 2.000 i   0, 2 2.000  5 10.000 i  20% ao ano Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação? Dados: C = 5.000,00 i = 2 % ao mês t = 1,5 anos = 18 meses J = ??? Substituindo na fórmula teremos J  5.000 18  0, 02 J  1.800,00 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 44
  • 48. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre? QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente 40 % ao fim de três anos. Resolução questão 3.2.1 Coletando os dados do problema, temos: Capital (C) = 5.700 Tempo (t) = 9 meses Juros simples (i) = 24% ao semestre Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses, precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples: 1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal. 24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04. A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema. Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos: J = 5.700 x 0,04 x 9 J = 2.052,00 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 45
  • 49. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9 meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital: 5.700 x 0,36 = 2.052 Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas. Resolução questão 3.2.2 O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim: 40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111... Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11% 3.3 JUROS COMPOSTOS FÓRMULAS: CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J  M C M  C  (1  i)t OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros Onde: J = Juros M = Montante C = Capital (Valor Presente) i = Taxa de juros; t = Prazo. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 46
  • 50. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo. Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que poderiam facilitarem estes cálculos. Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso público. 1. Questões que necessitam da utilização de tabela. 2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria questão. 3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de valores. Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos. JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros compostos Vamos ver um exemplo. Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 8 meses i = 10% ao mês M  C  (1  i )t M  100.000  (1  0,10)8 M  100.000  (1,10)8 O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 47
  • 51. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8. (1+i)t TAXA 5% 10% 15% 20% 1 1,050 1,100 1,150 1,200 2 1,103 1,210 1,323 1,440 3 1,158 1,331 1,521 1,728 PRAZO 4 1,216 1,464 1,749 2,074 5 1,276 1,611 2,011 2,488 6 1,340 1,772 2,313 2,986 7 1,407 1,949 2,660 3,583 8 1,477 2,144 3,059 4,300 9 1,551 2,358 3,518 5,160 10 1,629 2,594 4,046 6,192 Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144 Substituindo na nossa fórmula temos: M  100.000  (1,10)8 M  100.000  2,144 M  214.400, 00 O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00 JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no próprio texto da questão, conforme abaixo. Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144 Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o exemplo anterior. JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação. Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar contas muito complexas, conforme abaixo. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 48
  • 52. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2 meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Dados do problema: C = 100.000,00 t = 2 meses i = 10% ao mês M  C  (1  i )t M  100.000  (1  0,10) 2 M  100.000  (1,10) 2 M  100.000 1, 21 M  121.000, 00 Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00 COMO RESOLVER Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano? Dados do problema: C = 2.000,00 t = 2 anos i = 10% ao ano M = ??? M  C  (1  i )t M  2.000  (1  0, 20) 2 M  2.000  (1, 20) 2 M  2.000 1, 44 M  2.880, 00 Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma taxa de juros compostos de 10 % ao semestre? Dados: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 49
  • 53. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br C = 5.000,00 t = 1 ano ou 2 semestres i = 10% ao ano M  C  (1  i )t M  5.000  (1  0,10) 2 M  5.000  (1,10) 2 M  5.000 1, 21 M  6.050, 00 Como a questão quer saber qual os juros, temos: J  M C J  6.050  5.000 J  1.050, 00 Assim, os juros serão de R$ 1.050,00 Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de juros mensais que este fundo remunerou ao investidor? Dados: C = 10.000,00 t = 2 meses M = 11.025,00 i = ??? ao mês M  C  (1  i )t 11.025  10.000  (1  i) 2 11.025 (1  i ) 2  10.000 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 50
  • 54. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 11.025 (1  i ) 2  10.000 105 (1  i )  100 i  1, 05  1  0, 05 i  5% ao mês AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral? QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20 % ao mês? Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros mensal que este fundo remunerou o investidor? www.acasadoconcurseiro.com.br Página 51
  • 55. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Resolução questão 3.3.1 Coletando os dados, temos: Montante (M) = ? Capital (C) = 10.000 Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres) Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples): 20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres). Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas, devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano. Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo: Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos: M = 10.000 (1+0,1)² M = 10.000 (1,01)² M = 10.000 x 1,21 M = 12.100 Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos): Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência. 100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10. Como queremos calcular a taxa para 2 semestres: 1,10² = 1,21. Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de 10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque: M=CxF M = 10.000 x 1,21 M = 12.100 www.acasadoconcurseiro.com.br Página 52
  • 56. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso, usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo. Resolução questão 3.3.2. Coletando os dados do problema: Juros (j) = ? Capital (C) = 20.000 Tempo (t) = 2 meses Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20 Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos. Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores: J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1 J = 20.000 x [(1,20)²] – 1 J = 20.000 x (1,44 – 1) J = 20.000 x 0,44 J = 8.800 Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes. Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas. Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1 (100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta em [(1+0,20)²] – 1. Assim: 1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44. Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos decorar fórmulas, e sim entender o processo. 20.000 x 0,44 = 8.800. Resolução questão 3.3.3 Coletando os dados: www.acasadoconcurseiro.com.br Página 53
  • 57. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Capital (C) = 100 Tempo (t) = 2 meses Montante (M) = 144 Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos: 144 = 100 (1+i)² 144/100 = (1+i)² 1,44 = (1+i)² = 1+i 1,2 = 1+i 1,2 – 1 = i i = 0,2, ou 20% ao mês. Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da fórmula de juros compostos. F = 144/100 F = 1,44 De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44 – 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a forma de calcular esse tipo de taxa é: (essa fração pode ser transformada em uma raiz) 1,2. Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao mês. 3.4 DESCONTO SIMPLES Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros, conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 54
  • 58. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas das nossas variáveis. O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em desconto simples. O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em desconto simples. DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam exigir os dois tipos de descontos. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES  Mais comum e mais utilizado  Também conhecido como desconto bancário  Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”  O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro) FÓRMULAS: CALCULO DO VALOR DO CALCULO DO VALOR ATUAL DESCONTO Dc  N  id  t A  N  (1  id  t ) OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: DC = Desconto Comercial A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. www.acasadoconcurseiro.com.br Página 55
  • 59. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as duas fórmulas: Dc = N x i x t  J = C x i x t Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante). Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t (lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t). Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 3 meses id = 5% ao mês Dc  N  id  t Dc  10.000  0, 05  3 J  1.500,00 Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos. A  10.000  1.500 A  8.500,00 DESCONTO RACIONAL SIMPLES  Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso público www.acasadoconcurseiro.com.br Página 56
  • 60. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br  Também conhecido como desconto verdadeiro  Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”  O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)  Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título. FÓRMULAS: CALCULO DO VALOR DO CALCULO DO VALOR ATUAL DESCONTO Dr  A  id  t N A (1  id  t ) OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual Onde: Dr = Desconto Racional A = Valor Atual ou Valor Liquido N = Valor Nominal ou Valor de Face id = Taxa de desconto; t = Prazo. Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racional é calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula de juros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual, Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas: Dr = A x i x t  J = C x i x t Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t (lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenas substituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas: M = C (1+i x t) N = A (1+i x t) Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então: N A (1  id  t ) www.acasadoconcurseiro.com.br Página 57
  • 61. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Exemplo 3.4.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m Dados: N = 10.000,00 t = 3 meses id = 5% ao mês Como o valor do desconto depende do valor Atual que não foi fornecido pelo exercício, temos que calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto. N A (1  id  t ) 10.000 A (1  0, 05  3) 10.000 A (1  0, 05  3) A  8.695, 65 Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual. Dr  10.000  8.695, 65 Dr  1.304,35 3.5 DESCONTO COMPOSTO Similar ao desconto simples, porém iremos trocar a multiplicação da taxa pelo prazo pela potenciação. Também temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre estas duas maneiras de cobrança de desconto é a mesma dos descontos simples comercial e racional. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO  Pouco utilizado no Brasil  Seu calculo é semelhante ao calculo de juros compostos  Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”  O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro) www.acasadoconcurseiro.com.br Página 58