Integrais triplos Volume Cilndricas Esfericas Applets Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com

1. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Integrais Triplos
An´alise Matem´atica II – C´alculo II
Sandra Gaspar Martins
2o Semestre 2013/14
Vers˜ao de 19 de Maio de 2014
sandra.martins@adm.isel.pt
1/40

2. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Revis˜oes de R3
2/40

3. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Paraboloide
x2
+ y2
= z
3/40

4. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Superf´ıcie C´onica - Cone
x2
+ y2
= z2
4/40

5. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Superf´ıcie cil´ındrica - Cilindro
x2
+ y2
= R2
, R ∈ R
5/40

6. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Hiperboloide de 1 folha
x2
+ y2
= z2
+ A, A ∈ R+
6/40

7. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Hiperboloide de 2 folhas
x2
+ y2
= z2
− A, A ∈ R+
7/40

8. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Esfera
x2
+ y2
+ z2
= R2
8/40

9. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Resumo
x2 + y2 = z paraboloide
x2 + y2 = z2 cone
x2 + y2 = R2 cilindro
x2 + y2 = z2 + A hiperboloide de 1 folha
x2 + y2 = z2 − A hiperboloide de 2 folhas
x2 + y2 + z2 = R2 esfera
9/40

10. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Descentradas
Todas estas superf´ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜ao
terem o centro na origem:
(x − a)2
+ (y − b)2
= z
(x − a)2
+ (y − b)2
= z2
(x − a)2
+ (y − b)2
= R2
(x − a)2
+ (y − b)2
= z2
+ A
(x − a)2
+ (y − b)2
= z2
− A
(x − a)2
+ (y − b)2
+ (z − c)2
= R2
10/40

11. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
El´ıpticas
Todas estas superf´ıcies podem ser el´ıpticas em vez de circulares:
x
c
2
+
y
d
2
= z
x
c
2
+
y
d
2
= z2
x
c
2
+
y
d
2
= R2
x
c
2
+
y
d
2
= z2
+ A
x
c
2
+
y
d
2
= z2
− A
x
c
2
+
y
d
2
+
z
e
2
= R2
11/40

12. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Outro eixo
Todas estas superf´ıcies se podem desenvolver ao longo de outro
eixo, por exemplo o eixo dos xx’s:
z2 + y2 = x paraboloide
z2 + y2 = x2 cone
z2 + y2 = R2 cilindro
z2 + y2 = x2 + A hiperboloide de 1 folha
z2 + y2 = x2 − A hiperboloide de 2 folhas
12/40

13. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Resumo generalizadas
y − a
c
2
+
z − b
d
2
= x
y − a
c
2
+
z − b
d
2
= x2
y − a
c
2
+
z − b
d
2
= R2
y − a
c
2
+
z − b
d
2
= x2
+ A
y − a
c
2
+
z − b
d
2
= x2
− A
y − a
c
2
+
z − b
d
2
+
x − e
f
2
= R2
13/40

14. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Planos
Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C, D ∈ R
14/40

15. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Cilindro parab´olico
z = x2
15/40

16. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Cilindro hiperb´olico
x2
− y2
= R2
16/40

17. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Paraboloide hiperb´olico
x2
− y2
= z
17/40

18. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
outras...
z = sin(x)
y =
√
x
y = x
z = −x
...
18/40

19. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Integrais Triplos
19/40

20. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Integral triplo de Riemann
R
f (x, y, z) dx dy dz =
lim
n,m,p→+∞
n
i=1
m
j=1
p
k=1
f (xi , yj , zk)∆xi ∆yj ∆zk
20/40

21. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Volume
Seja V uma regi˜ao limitada de R3 ent˜ao
volume de V =
V
1 dV
21/40

22. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios I
Indique R f (x, y, z) dV usando a proje¸c˜ao nos planos xOy,
yOz e xOz.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 4
2 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ − x2 + y2, z ≥ −3
3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0
4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 16, −3 ≤ z ≤ 5
5 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Calcule no caso de f (x, y, z) = x e f (x, y, z) = 1.
6 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 9, x ≤ 0
7 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 5, x ≤ 0, y ≤ 0
22/40

23. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios II
8 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2, z ≥ 0
9 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 2 − z ≥ x2 + y2
10 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − x2, −1 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0
11 R =
(x, y, z) ∈ R3 : y ≥ 2x, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 5, y ≤ 4
12 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ − x2 + y2, y ≤ 0
13 R =
... ∈ R3
: (x − 1)2
+ (z + 3)2
≤ y, (x − 1)2
+ (z + 3)2
≤ (y − 3)2
23/40

24. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas cil´ındricas
Teorema (Coordenadas cil´ındricas R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e cil´ındricas (ρ, θ, z)



x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
z = z
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
J = ρ
Para cada ponto P:
(ρ, θ) ´e a representa¸c˜ao em coordenadas polares da
projec¸c˜ao de P no plano-xy.
z ´e a cota do ponto P.
24/40

25. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 9
2 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 3, y ≥ 0
3 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0, y ≥ 0
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 0
5 R =
(x, y, z) ∈ R3 : −z ≥ x2 + y2, z ≥ −4, x ≤ 0
6 * R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, −z ≤ x2 + y2, z ≤ 1
7 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 2 − z ≥ x2 + y2
25/40

26. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios II
8 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − x2 − y2, x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0
9 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 2 − x2 + y2
10 * R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, x2 + y2 ≥ z2, z ≥ 0
11 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0
26/40

27. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas cil´ındricas
generalizadas
Teorema (Coordenadas cil´ındricas generalizadas
R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e cil´ındricas generalizadas (ρ, θ, z)



x−a
c = ρ cos(θ)
y−b
d = ρ sin(θ)
z = z
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
J = cdρ
Para cada ponto P:
(ρ, θ) ´e a representa¸c˜ao em coordenadas polares
generalizadas da projec¸c˜ao de P no plano-xy.
z ´e a cota do ponto P.
27/40

28. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios A I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z2, y ≤ 4
2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ z2 + y2, x ≤ 5
3 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z2 + y2 ≤ 9, 1 ≤ x ≤ 5, y ≤ 0
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : −y ≥ x2 + z2, y ≥ −1, x ≤ 0
5 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1, −z ≤ x2 + z2, y ≤ 0
6 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ z2 + y2, 2 − x ≥ z2 + y2
7 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 − z2 − y2, z2 + y2 ≤ x2, x ≥ 0
28/40

29. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios A II
8 R =
(x, y, z) ∈ R3 : y ≥
√
x2 + z2, y ≤ 2 −
√
x2 + z2
9 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, z2 + y2 ≥ x2, x ≥ 0
10 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, z2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0
29/40

30. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios B I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas.
1 R =
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x − 1)2 + (y + 3)2, z ≤ 9
2 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x − 1)2 + y2, z ≤ 3
3 R = (x, y, z) ∈ R3 :
(x + 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 ≤ 4, z ≥ 1, y ≥ 2
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : (x − 4)2 + y2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 4
5 R =
(x, y, z) ∈ R3
: −z ≥ (x − 2)2
+ (y + 1)2
, z ≥ −4, x ≤ 2
6 * R = (x, y, z) ∈ R3
:
(z − 1)2
+ (y + 3)2
≤ 1, −x ≤ (z − 1)2
+ (y + 3)2
, z ≤ 1
7 R = (x, y, z) ∈ R3
: z ≥ (x + 3)2 + (y − 1)2, 2 − z ≥ (x + 3)2
+ (y − 1)2
8 R = (x, y, z) ∈ R3
: z ≤ 1 − (x + 2)2 − (y − 3)2, (x + 2)2
+ (y − 3)2
≤ z2
, z ≥ 0
30/40

31. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios B II
9 R =
(x, y, z) ∈ R3
: z ≥ (x + 5)2 + y2, z ≤ 2 − (x + 5)2 + y2
10 * R =
(x, y, z) ∈ R3
: (x − 2)2
+ y2
+ z2
≤ 2, (x − 2)2
+ y2
≥ z2
, z ≥ 0
11 R =
(x, y, z) ∈ R3
: (x − 1)2
+ y2
+ z2
≤ 9, (x − 1)2
+ y2
≤ 1, z ≥ 0
31/40

32. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios C I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x
3
2
+ y
5
2
, z ≤ 4
2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y
4
2
+ z
3
2
, x ≤ 5
3 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x
2
2
+ y
8
2
≤ 1, −z ≤ x
2
2
+ y
8
2
, z ≤ 0
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 − z
3
2
− y
5
2
, z
3
2
+ y
5
2
≤ x2
5 R =
(x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z
5
2
, y ≤ 2 − x2 + z
5
2
32/40

33. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios D I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x−2
3
2
+ y−3
5
2
, z ≤ 4
2 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ − y−1
4
2
+ z+3
3
2
, x ≥ −5
3 R =
(x, y, z) ∈ R3
: x−1
2
2
+ y
8
2
≤ 1, −z ≤ x−1
2
2
+ y
8
2
, z ≤ 0
4 R =
(x, y, z) ∈ R3
: x ≤ 1 − z+2
3
2
− y
5
2
, z+2
3
2
+ y
5
2
≤ x2
5 R =
(x, y, z) ∈ R3
: y ≥ x2 + z−2
5
2
, y ≤ 2 − x2 + z−2
5
2
33/40

34. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas esf´ericas
Teorema (Coordenadas esf´ericas R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e esf´ericas (ρ, θ, ϕ)



x = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y = ρ sin(θ) sin(ϕ)
z = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = ρ2sinϕ
Para cada ponto P:
ρ ´e a distˆancia de P `a origem.
θ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do x e o raio que ´e
formado entre a projec¸c˜ao de P no plano-xy e a origem.
ϕ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do z e o raio entre a
origem e P.
34/40

35. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
1
1
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/coords/
shilmay23fin.html
35/40

36. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios A I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas esf´ericas.
1 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4
2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≤ 0
3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 16, y ≥ 0
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 0
5 R = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0
6 R =
(x, y, z) ∈ R3
: 4 ≤ x2
+ y2
+ z2
≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0
7 * R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 < z2, z ≥ 0
8 * R =
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 > z2, z ≤ 0
36/40

37. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas esf´ericas
generalizadas
Teorema (Coordenadas esf´ericas generalizadas R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e esf´ericas generalizadas (ρ, θ, ϕ)



x−a
d = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y−b
e = ρ sin(θ) sin(ϕ)
z−c
f = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = def ρ2 sin(ϕ)
37/40

38. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Exerc´ıcios B I
Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas esf´ericas.
1 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x−1
2
2
+ y+3
2
2
+ z−1
3
2
≤ 4
2 R =
(x, y, z) ∈ R3 : x−2
3
2
+ y+1
5
2
+ z2 ≤ 9, y ≤ −1
3 R =
(x, y, z) ∈ R3
: x−1
2
2
+ y−3
8
2
+ z
2
2
≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 1
4 R =
(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y+2
2
2
+ z2 ≤ 9, x ≤ 0
5 R =
(x, y, z) ∈ R3
: x−1
2
2
+ y2
+ z−5
2
2
≤ 1, x−1
2
2
+ y2
< z−5
2
2
, z ≥ 5
6 R = (x, y, z) ∈ R3
: x2
+ y2
+ z−1
2
2
≤ 4, x2
+ y2
> z−1
2
2
, z ≤ 1
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39. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Confirme os seus resultados usando os applets:
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/
(v´arios applets: coordenadas esf´ericas, superf´ıcies em 3D, etc.)
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=
bf8679a50a63113b582ed22679363a4
(calcula o valor de um integral triplo)
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40. AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Autora:
Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:
Nuno David Lopes
e
Cristina Janu´ario
40/40