O documento discute diagramas de Bode, que analisam a resposta em frequência de sistemas lineares através de gráficos de magnitude e fase. Os diagramas de Bode permitem decompor sistemas complexos em fatores de primeira e segunda ordem, cujas respostas em frequência podem ser somadas para determinar a resposta total. O documento explica como construir e interpretar diagramas de Bode para diferentes tipos de termos nas funções de transferência.
O documento discute correção do fator de potência em instalações industriais, definindo fator de potência, potência ativa e reativa. Explica que capacitores podem ser usados para corrigir fator de potência baixo, gerando economia na conta de energia.
Este documento define os principais termos relacionados a consignações em instalações elétricas, incluindo consignação, zona protegida, responsável de consignação, trabalhos em tensão e fora de tensão.
Rishil M is seeking a challenging IT support position. He has over 7 years of experience in desktop support, technical support, and computer hardware engineering. He is proficient in Windows, Microsoft server software, networking, Active Directory administration, and troubleshooting hardware and software issues. He has an MCSE and CCNA certification and is currently employed as a Desktop Support Engineer at Arabian Shield Insurance in Riyadh, Saudi Arabia.
Lição 8 - Confiar no Senhor em todo o TempoÉder Tomé
Este documento resume a história do rei Ezequias de Judá, que priorizou fazer o que agradava ao Senhor, restaurando o serviço no Templo de acordo com a Palavra de Deus. Apesar dos grandes desafios e da invasão do exército assírio, Ezequias manteve sua fé no Senhor, orando e pedindo socorro divino. Em resposta, Deus interveio milagrosamente, salvando Judá.
1. O documento apresenta resoluções de problemas do livro Resistência dos Materiais R.C. Hibbeler 7a edição, cobrindo os capítulos de 1 a 7.
2. Os problemas estão organizados por tópicos como tensão, deformação, propriedades mecânicas dos materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento transversal.
3. Para cada problema, a resposta é destacada em negrito e amarelo, contendo os cálculos e resultados de forma objetiva e de acordo com o Sistema Internacional de
This document discusses the inverse Laplace transform and how to calculate it using MATLAB. It defines the Laplace transform as an operator that takes a function of time, f(t), and transforms it into a function of complex frequency, F(s). It describes how to calculate the Laplace transform of a function in MATLAB by first defining the variables t and s as symbolic, then defining the function f(t) and using the laplace command. As an example, it calculates the Laplace transform of the function f(t) = -1.25 + 3.5te^-2t + 1.25e^-2t, getting the result F(s) = (s-5)/(s(s+2)^2).
Sana Khan is seeking a professionally satisfying and challenging career where her knowledge in computer hardware, networking, and systems administration can be utilized. She has over two years of experience planning, implementing, administering, and troubleshooting multiple operating systems. As a Network Administrator, her responsibilities included administrating servers, managing user accounts, installing and maintaining network components, monitoring systems, and troubleshooting various issues. She has technical skills in Windows, networking, hardware, and certifications in networking and fiber optics.
This document provides information about Bharat Electronics Limited (BEL), an Indian public sector undertaking. It discusses BEL's establishment, manufacturing units, product ranges including radar systems and communications equipment. Specific details are given about the Ghaziabad unit, its departments under rotation program like testing equipment automation and magnetics lab. An introduction to radar technology is provided along with the basic radar system and equation. The document focuses on BEL's SRE radar project, describing the radar electronic cabinet and briefly outlining the radar subsystem and its applications.
O documento discute correção do fator de potência em instalações industriais, definindo fator de potência, potência ativa e reativa. Explica que capacitores podem ser usados para corrigir fator de potência baixo, gerando economia na conta de energia.
Este documento define os principais termos relacionados a consignações em instalações elétricas, incluindo consignação, zona protegida, responsável de consignação, trabalhos em tensão e fora de tensão.
Rishil M is seeking a challenging IT support position. He has over 7 years of experience in desktop support, technical support, and computer hardware engineering. He is proficient in Windows, Microsoft server software, networking, Active Directory administration, and troubleshooting hardware and software issues. He has an MCSE and CCNA certification and is currently employed as a Desktop Support Engineer at Arabian Shield Insurance in Riyadh, Saudi Arabia.
Lição 8 - Confiar no Senhor em todo o TempoÉder Tomé
Este documento resume a história do rei Ezequias de Judá, que priorizou fazer o que agradava ao Senhor, restaurando o serviço no Templo de acordo com a Palavra de Deus. Apesar dos grandes desafios e da invasão do exército assírio, Ezequias manteve sua fé no Senhor, orando e pedindo socorro divino. Em resposta, Deus interveio milagrosamente, salvando Judá.
1. O documento apresenta resoluções de problemas do livro Resistência dos Materiais R.C. Hibbeler 7a edição, cobrindo os capítulos de 1 a 7.
2. Os problemas estão organizados por tópicos como tensão, deformação, propriedades mecânicas dos materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento transversal.
3. Para cada problema, a resposta é destacada em negrito e amarelo, contendo os cálculos e resultados de forma objetiva e de acordo com o Sistema Internacional de
This document discusses the inverse Laplace transform and how to calculate it using MATLAB. It defines the Laplace transform as an operator that takes a function of time, f(t), and transforms it into a function of complex frequency, F(s). It describes how to calculate the Laplace transform of a function in MATLAB by first defining the variables t and s as symbolic, then defining the function f(t) and using the laplace command. As an example, it calculates the Laplace transform of the function f(t) = -1.25 + 3.5te^-2t + 1.25e^-2t, getting the result F(s) = (s-5)/(s(s+2)^2).
Sana Khan is seeking a professionally satisfying and challenging career where her knowledge in computer hardware, networking, and systems administration can be utilized. She has over two years of experience planning, implementing, administering, and troubleshooting multiple operating systems. As a Network Administrator, her responsibilities included administrating servers, managing user accounts, installing and maintaining network components, monitoring systems, and troubleshooting various issues. She has technical skills in Windows, networking, hardware, and certifications in networking and fiber optics.
This document provides information about Bharat Electronics Limited (BEL), an Indian public sector undertaking. It discusses BEL's establishment, manufacturing units, product ranges including radar systems and communications equipment. Specific details are given about the Ghaziabad unit, its departments under rotation program like testing equipment automation and magnetics lab. An introduction to radar technology is provided along with the basic radar system and equation. The document focuses on BEL's SRE radar project, describing the radar electronic cabinet and briefly outlining the radar subsystem and its applications.
Após a morte de Salomão em 931 a.C., seu filho Roboão subiu ao trono (1 Rs 11.43). Ele foi o principal responsável pela divisão do reino em duas partes: o reino do Norte (Israel) e o reino do Sul (Judá). A fatídica história de insensatez desse rei nos mostrará as consequências de uma má decisão. Essa história nos ensina a dependermos cada vez mais de Deus em momentos que tomamos decisões importantes na vida.
O autoritarismo do rei Salomão culminou no descontentamento das dez tribos do Norte, em contrapartida, as tribos de Judá e Benjamim, que ficavam ao sul de Israel, participavam ativamente do governo e faziam parte de sua corte. Quando Salomão morreu em 931 a.C., seu filho Roboão foi questionado pelos líderes de Israel, sob o comando de Jeroboão, sobre o aperto vivido por eles. O povo pediu para que Roboão diminuísse sua carga de trabalho (1 Rs 12.4), mas, ao contrário, seguindo o conselho dos jovens (v.10) e não dos anciãos (v.6), Roboão tornou o fardo ainda mais pesado para os trabalhadores (v.11). As dez tribos do norte, sob a liderança de Jeroboão, se rebelaram contra essa decisão e formaram um novo reino, o reino do Norte (1 Rs 12.16-20).
A lição descreve a instauração da monarquia em Israel, cobrindo os reinados dos primeiros três reis Saul, Davi e Salomão. Também aborda a divisão do reino após a morte de Salomão e as mensagens trazidas pelos profetas durante esse período, apesar da desobediência do povo.
1) A terra será renovada para ser purificada dos efeitos da Queda.
2) O fogo vai purificar os céus e a Terra.
3) A Nova Jerusalém será um lugar santo de comunhão com Deus, e só aqueles com o nome no Livro da Vida poderão entrar.
`
1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
O documento discute o dimensionamento de condutores elétricos de acordo com a norma NBR 5410:2004, abordando os seis critérios para dimensionamento, incluindo a capacidade de condução de corrente, queda de tensão, seção mínima, sobrecarga, curto-circuito e choques elétricos. Também apresenta tabelas com fatores de correção para cálculo da corrente de projeto corrigida.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre leis dos cossenos e senos e decomposição de vetores em componentes.
2) Inclui exercícios sobre determinação de forças resultantes, ângulos e intensidades utilizando as leis dos cossenos e senos.
3) Também aborda exercícios sobre equilíbrio de sistemas de forças coplanares e determinação de vetores de força e posição.
1. Hulda foi uma profetisa escolhida por Deus para trazer uma mensagem de arrependimento em um tempo de apostasia. 2. Ela também profetizou sobre um tempo de avivamento sob o reinado do rei Josias. 3. Deus usou Hulda para prever o juízo sobre Judá devido à idolatria, mas também misericórdia para Josias.
Este relatório analisa circuitos RL e RC simulados no LTspice. Para o circuito RL a 1 kHz, a corrente e tensão no indutor estão adiantadas em relação à tensão no resistor. Para o circuito RC a 1 kHz, a tensão no capacitor está atrasada em relação à tensão no resistor. Ambos os circuitos são simulados também na frequência de corte, onde a impedância forma um ângulo de 45 graus.
O documento discute a análise da complexidade de algoritmos e apresenta as principais funções utilizadas para comparar o desempenho de algoritmos, como funções logarítmicas, lineares, quadráticas e exponenciais. Também explica os limites assintóticos superior, inferior e restrito usados para classificar o tempo de execução de algoritmos no melhor, pior e casos médios.
Este documento discute o projeto e funcionamento de filtros passa-baixas analógicos utilizando as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Ele explica que esses filtros permitem a passagem de frequências baixas e rejeitam frequências altas, e que suas respostas de frequência podem ser modeladas matematicamente usando funções de aproximação. O documento também descreve os métodos de projeto para cada aproximação, incluindo como determinar a ordem do filtro com base nos parâmetros de projeto.
1) O documento discute operações de transferência de massa em processos contínuos e descontínuos, comparando processos co-correntes e contracorrentes.
2) É apresentada a equação geral que representa a linha de operação em processos co-correntes e contracorrentes.
3) O número de estágios necessários em uma cascata de contracorrente pode ser estimado analiticamente quando a relação de equilíbrio e a linha de operação são lineares.
O documento descreve um projeto de controlador por avanço de fase discreto para melhorar a resposta de uma planta. O controlador foi projetado para tornar a resposta da planta em malha fechada duas vezes mais rápida com um overshoot de 10%. O período de amostragem escolhido foi de 0,013 segundos para atingir a frequência de zero dB desejada de 16 rad/s. O controlador por avanço de fase discreto foi projetado usando ferramentas do Matlab e Simulink para validar a resposta da planta em malha fechada
Este documento descreve um experimento realizado em um circuito RL. O objetivo era estudar o comportamento desse circuito ao aplicar uma onda quadrada e observar a tensão nos indutores. Foram realizadas medições com indutores individuais e em combinações série e paralelo. As formas de onda observadas no osciloscópio confirmaram as equações teóricas para a indutância equivalente nesses arranjos.
O documento descreve o plano de ensino de uma disciplina de Hidráulica e Hidrologia Aplicada sobre Canais. O plano inclui carga horária, desenvolvimento da disciplina, ementa, objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, avaliação e bibliografia.
1. O documento discute escoamento interno de fluidos viscosos e incompressíveis em condutos como tubos e dutos. Apresenta os componentes básicos desses sistemas e conceitos como perdas de carga.
2. São descritos tipos de perdas de carga como distribuídas e localizadas, e fornecidas expressões e gráficos para cálculo dessas perdas.
3. Exemplos resolvidos ilustram solução de problemas de escoamento em condutos.
1) O documento discute critérios ótimos para equalização de canais de comunicação, comparando critérios como solução de Wiener, critério de Bayes e máxima verossimilhança.
2) A solução de Wiener leva a equalizadores lineares, enquanto critérios como o de Bayes são não-lineares e dividem o espaço de estados de forma ótima.
3) Equalização pode ser vista como um problema de classificação, com equalizadores lineares fazendo projeções lineares dos sinais, diferente de soluções não-line
O documento discute diferentes formas de representar números e introduz o conceito de logaritmo. Logaritmos são usados para tornar números muito grandes ou pequenos mais fáceis de serem percebidos, associando-os a números menores através da representação do expoente da base 10. Exemplos como a escala Richter e o pH são citados como aplicações dos logaritmos.
Este documento analisa a influência de quatro modelos de transformadores de potencial capacitivos (TPC) de 230 kV no desempenho de um aplicativo chamado ADDEP, que está sendo desenvolvido para auxiliar na análise de distúrbios e avaliação do desempenho da proteção na Companhia Hidro Elétrica do São Francisco (CHESF). Os resultados mostram que os diferentes modelos de TPC apresentam respostas em frequência distintas, podendo comprometer funções do ADDEP como estimativa de fasores e detecção de falhas. Cont
1. O documento descreve os fundamentos básicos de amplificadores, incluindo ganhos de corrente, tensão e potência, defasagem, capacitores de acoplamento, amplificadores em cascata, impedância de entrada e saída e curva de resposta em frequência.
2. É explicado que ganhos de corrente mantêm a fase, enquanto ganhos de tensão defasam em 180 graus, e como esses parâmetros se relacionam ao ganho de potência.
3. Também são descritos parâmetros importantes como frequências de corte
1. O documento descreve os fundamentos básicos de amplificadores, incluindo ganhos de corrente, tensão e potência, defasagem, capacitores de acoplamento, amplificadores em cascata, impedância de entrada e saída e curva de resposta em frequência.
2. É explicado que ganhos de corrente mantêm a fase, enquanto ganhos de tensão defasam em 180 graus, e como esses parâmetros se relacionam ao ganho de potência.
3. Também são descritos parâmetros importantes como frequências de corte
Exercicio 7 transformada de fourier no tempo continuo iiAlessandro Beda
1) O documento descreve um modelo matemático para a ventilação mecânica, representando os pulmões e vias aéreas por um balão e tubo conectados.
2) A equação descreve como as oscilações periódicas de pressão na entrada geram variações no volume pulmonar de acordo com parâmetros respiratórios.
3) A resolução fornece respostas analíticas para diferentes entradas no sistema, ilustrando como a frequência respiratória afeta a amplitude da saída.
2º Relatório - Física da Radiação.
1. Configuração e ajuste de parâmetros; O multicanal; Calibração em energia do sistema;
2. Estudo do espetro das fontes: 137Cs e 60Co;
3. Estudo da atenuação de gamas na matéria
IST - 4º Ano - 1º Semestre - Engenharia Biomédica.
Após a morte de Salomão em 931 a.C., seu filho Roboão subiu ao trono (1 Rs 11.43). Ele foi o principal responsável pela divisão do reino em duas partes: o reino do Norte (Israel) e o reino do Sul (Judá). A fatídica história de insensatez desse rei nos mostrará as consequências de uma má decisão. Essa história nos ensina a dependermos cada vez mais de Deus em momentos que tomamos decisões importantes na vida.
O autoritarismo do rei Salomão culminou no descontentamento das dez tribos do Norte, em contrapartida, as tribos de Judá e Benjamim, que ficavam ao sul de Israel, participavam ativamente do governo e faziam parte de sua corte. Quando Salomão morreu em 931 a.C., seu filho Roboão foi questionado pelos líderes de Israel, sob o comando de Jeroboão, sobre o aperto vivido por eles. O povo pediu para que Roboão diminuísse sua carga de trabalho (1 Rs 12.4), mas, ao contrário, seguindo o conselho dos jovens (v.10) e não dos anciãos (v.6), Roboão tornou o fardo ainda mais pesado para os trabalhadores (v.11). As dez tribos do norte, sob a liderança de Jeroboão, se rebelaram contra essa decisão e formaram um novo reino, o reino do Norte (1 Rs 12.16-20).
A lição descreve a instauração da monarquia em Israel, cobrindo os reinados dos primeiros três reis Saul, Davi e Salomão. Também aborda a divisão do reino após a morte de Salomão e as mensagens trazidas pelos profetas durante esse período, apesar da desobediência do povo.
1) A terra será renovada para ser purificada dos efeitos da Queda.
2) O fogo vai purificar os céus e a Terra.
3) A Nova Jerusalém será um lugar santo de comunhão com Deus, e só aqueles com o nome no Livro da Vida poderão entrar.
`
1) O documento discute o que é resistência dos materiais e como analisar as forças internas em um corpo sob cargas externas.
2) É apresentada a metodologia de determinar cargas externas, cargas internas, deformações e condições de resistência de um material.
3) Diferentes tipos de cargas externas são explicados, incluindo cargas concentradas, distribuídas linearmente e por área.
O documento discute o dimensionamento de condutores elétricos de acordo com a norma NBR 5410:2004, abordando os seis critérios para dimensionamento, incluindo a capacidade de condução de corrente, queda de tensão, seção mínima, sobrecarga, curto-circuito e choques elétricos. Também apresenta tabelas com fatores de correção para cálculo da corrente de projeto corrigida.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre leis dos cossenos e senos e decomposição de vetores em componentes.
2) Inclui exercícios sobre determinação de forças resultantes, ângulos e intensidades utilizando as leis dos cossenos e senos.
3) Também aborda exercícios sobre equilíbrio de sistemas de forças coplanares e determinação de vetores de força e posição.
1. Hulda foi uma profetisa escolhida por Deus para trazer uma mensagem de arrependimento em um tempo de apostasia. 2. Ela também profetizou sobre um tempo de avivamento sob o reinado do rei Josias. 3. Deus usou Hulda para prever o juízo sobre Judá devido à idolatria, mas também misericórdia para Josias.
Este relatório analisa circuitos RL e RC simulados no LTspice. Para o circuito RL a 1 kHz, a corrente e tensão no indutor estão adiantadas em relação à tensão no resistor. Para o circuito RC a 1 kHz, a tensão no capacitor está atrasada em relação à tensão no resistor. Ambos os circuitos são simulados também na frequência de corte, onde a impedância forma um ângulo de 45 graus.
O documento discute a análise da complexidade de algoritmos e apresenta as principais funções utilizadas para comparar o desempenho de algoritmos, como funções logarítmicas, lineares, quadráticas e exponenciais. Também explica os limites assintóticos superior, inferior e restrito usados para classificar o tempo de execução de algoritmos no melhor, pior e casos médios.
Este documento discute o projeto e funcionamento de filtros passa-baixas analógicos utilizando as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Ele explica que esses filtros permitem a passagem de frequências baixas e rejeitam frequências altas, e que suas respostas de frequência podem ser modeladas matematicamente usando funções de aproximação. O documento também descreve os métodos de projeto para cada aproximação, incluindo como determinar a ordem do filtro com base nos parâmetros de projeto.
1) O documento discute operações de transferência de massa em processos contínuos e descontínuos, comparando processos co-correntes e contracorrentes.
2) É apresentada a equação geral que representa a linha de operação em processos co-correntes e contracorrentes.
3) O número de estágios necessários em uma cascata de contracorrente pode ser estimado analiticamente quando a relação de equilíbrio e a linha de operação são lineares.
O documento descreve um projeto de controlador por avanço de fase discreto para melhorar a resposta de uma planta. O controlador foi projetado para tornar a resposta da planta em malha fechada duas vezes mais rápida com um overshoot de 10%. O período de amostragem escolhido foi de 0,013 segundos para atingir a frequência de zero dB desejada de 16 rad/s. O controlador por avanço de fase discreto foi projetado usando ferramentas do Matlab e Simulink para validar a resposta da planta em malha fechada
Este documento descreve um experimento realizado em um circuito RL. O objetivo era estudar o comportamento desse circuito ao aplicar uma onda quadrada e observar a tensão nos indutores. Foram realizadas medições com indutores individuais e em combinações série e paralelo. As formas de onda observadas no osciloscópio confirmaram as equações teóricas para a indutância equivalente nesses arranjos.
O documento descreve o plano de ensino de uma disciplina de Hidráulica e Hidrologia Aplicada sobre Canais. O plano inclui carga horária, desenvolvimento da disciplina, ementa, objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, avaliação e bibliografia.
1. O documento discute escoamento interno de fluidos viscosos e incompressíveis em condutos como tubos e dutos. Apresenta os componentes básicos desses sistemas e conceitos como perdas de carga.
2. São descritos tipos de perdas de carga como distribuídas e localizadas, e fornecidas expressões e gráficos para cálculo dessas perdas.
3. Exemplos resolvidos ilustram solução de problemas de escoamento em condutos.
1) O documento discute critérios ótimos para equalização de canais de comunicação, comparando critérios como solução de Wiener, critério de Bayes e máxima verossimilhança.
2) A solução de Wiener leva a equalizadores lineares, enquanto critérios como o de Bayes são não-lineares e dividem o espaço de estados de forma ótima.
3) Equalização pode ser vista como um problema de classificação, com equalizadores lineares fazendo projeções lineares dos sinais, diferente de soluções não-line
O documento discute diferentes formas de representar números e introduz o conceito de logaritmo. Logaritmos são usados para tornar números muito grandes ou pequenos mais fáceis de serem percebidos, associando-os a números menores através da representação do expoente da base 10. Exemplos como a escala Richter e o pH são citados como aplicações dos logaritmos.
Este documento analisa a influência de quatro modelos de transformadores de potencial capacitivos (TPC) de 230 kV no desempenho de um aplicativo chamado ADDEP, que está sendo desenvolvido para auxiliar na análise de distúrbios e avaliação do desempenho da proteção na Companhia Hidro Elétrica do São Francisco (CHESF). Os resultados mostram que os diferentes modelos de TPC apresentam respostas em frequência distintas, podendo comprometer funções do ADDEP como estimativa de fasores e detecção de falhas. Cont
1. O documento descreve os fundamentos básicos de amplificadores, incluindo ganhos de corrente, tensão e potência, defasagem, capacitores de acoplamento, amplificadores em cascata, impedância de entrada e saída e curva de resposta em frequência.
2. É explicado que ganhos de corrente mantêm a fase, enquanto ganhos de tensão defasam em 180 graus, e como esses parâmetros se relacionam ao ganho de potência.
3. Também são descritos parâmetros importantes como frequências de corte
1. O documento descreve os fundamentos básicos de amplificadores, incluindo ganhos de corrente, tensão e potência, defasagem, capacitores de acoplamento, amplificadores em cascata, impedância de entrada e saída e curva de resposta em frequência.
2. É explicado que ganhos de corrente mantêm a fase, enquanto ganhos de tensão defasam em 180 graus, e como esses parâmetros se relacionam ao ganho de potência.
3. Também são descritos parâmetros importantes como frequências de corte
Exercicio 7 transformada de fourier no tempo continuo iiAlessandro Beda
1) O documento descreve um modelo matemático para a ventilação mecânica, representando os pulmões e vias aéreas por um balão e tubo conectados.
2) A equação descreve como as oscilações periódicas de pressão na entrada geram variações no volume pulmonar de acordo com parâmetros respiratórios.
3) A resolução fornece respostas analíticas para diferentes entradas no sistema, ilustrando como a frequência respiratória afeta a amplitude da saída.
2º Relatório - Física da Radiação.
1. Configuração e ajuste de parâmetros; O multicanal; Calibração em energia do sistema;
2. Estudo do espetro das fontes: 137Cs e 60Co;
3. Estudo da atenuação de gamas na matéria
IST - 4º Ano - 1º Semestre - Engenharia Biomédica.
1) O documento apresenta um teste com questões sobre ondas mecânicas, propagação do som, eletrostática, eletromagnetismo e óptica.
2) As questões envolvem conceitos como velocidade de propagação de ondas, campo elétrico, fluxo magnético, índice de refração e difração.
3) São pedidas resoluções de cálculos com apresentação de todas as etapas.
Este relatório descreve um experimento sobre indutores e circuitos RL. Os estudantes mediram a indutância de um indutor de 100mH em vários circuitos RL variando a frequência. Eles obtiveram valores de indutância entre 82-189mH, com erro médio de 32%. A constante de tempo τ e o tempo de meia vida t1/2 foram calculados e comparados com os valores medidos no osciloscópio.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman. Fornece exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman.
Este documento apresenta um capítulo sobre vibrações mecânicas lineares e análise em frequência. O capítulo introduz conceitos básicos de vibrações mecânicas lineares usando equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. É apresentado um modelo matemático para sistemas com um grau de liberdade e discutidas suas soluções para diferentes casos de forças excitadoras. Também são introduzidos conceitos como graus de liberdade, parâmetros cinemáticos, amortecimento e resposta em frequência.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
1. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Aula 10 – Resposta em Freqüência de Sistemas Lineares
Diagramas de Bode
Introdução
Diagramas de Bode
Escala Logarítmica de Amplitude
Escala Logarítmica de Freqüência
Análise dos Termos das Funções de Transferência
Composição do Diagrama de Bode
Sistemas Lineares de Fase Não Mínima
Problemas Propostos
Introdução
O uso de diagramas de Bode na análise da resposta em freqüência de sistemas lineares foi
desenvolvido por H.W. Bode e introduzido em 1940 no estudo das características em freqüência de
amplificadores eletrônicos. A técnica desenvolvida por Bode foi, posteriormente, largamente
disseminada para análise e projeto de sistemas de controle. Em linhas gerais, diagramas de Bode
possibilitam uma aproximação efetiva da resposta em freqüência de sistemas complexos pela
combinação da resposta de fatores de primeira e segunda ordem.
Embora atualmente os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento de projetos de sistemas
de controle tenham a sua disposição poderosas ferramentas computacionais que diminuem
sobremaneira a necessidade do traçado manual dos gráficos de módulo e fase que compõe os diagramas
de Bode, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua facilidade, rapidez e quantidade de informações
que se pode obter de um dado sistema sob análise de forma bastante simplificada.
Diagramas de Bode
O método proposto por Bode, é constituído por dois gráficos. O primeiro gráfico, relacionado
a magnitude da função de transferência )j(G ω é traçado em função da freqüência em escala log-log.
O segundo gráfico, relacionado a fase de G(jω), também é traçado em função da freqüência, porém em
escala linear-log. Esta estratégia permite-nos traçar diagramas de resposta em freqüência sistemas de
ordem elevada, adicionando-se separadamente os gráficos relativos a cada um termos de primeira e
segunda ordem que compõe G(jω). Como exemplo, consideremos a seguinte função de transferência:
( ) ( )
( )ps
zs
sG1
+
+
= (10.1)
Admitindo s=jω, pode-se rescrever (10.1) na seguinte forma
11111 sen)j(Gjcos)j(G)j(G φω+φω=ω (10.2)
com a magnitude dada por
22
22
1
p
z
)j(G
ω+
ω+
=ω (10.3)
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2. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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e com a fase dada por
p
tanarc
z
tanarc1
ω
−
ω
=φ (10.4)
No caso geral de uma função de transferência com “n” pólos e “m” zeros, o módulo será
calculado
de acordo com (10.4), isto é
)p(
)z(
K)j(G n
1j
22
j
m
1i
22
i
∏
∏
=
=
ω+
ω+
=ω (10.5)
sendo a fase, dada pela diferença das somatórias das contribuições de fase cada um dos “m” zeros e “n”
pólos da G(jω), ou seja
( ) ∑∑ ==
ω
−
ω
=ωφ
n
1i i
m
1i i p
tanarc
z
tanarc)j(G (10.6)
Pela análise da equação (10.5) é direto concluir-se a seguinte relação
( ) ( )∑∑ ==
ω+−ω++=ω
n
1j
22
i10
m
1i
22
i101010 plogzlogKlog)j(Glog (10.7)
justificando-se a idéia de representar o gráfico de magnitude de G(jω) em escala log-log. Através das
equações (10.7) e (10.6) pode-se então concluir que a resposta em freqüência completa de uma função
de transferência genérica G(jω) pode ser obtida através da somatória da resposta em freqüência de cada
dos fatores que a compõe.
Escala Logarítmica de Amplitude
Os gráficos de magnitude nos diagramas de Bode são freqüentemente apresentados utilizando
no eixo das ordenadas a escala em decibel. O “bel”, unidade estabelecida por pesquisadores dos
Laboratórios Bell em homenagem a Alexander Graham Bell, é definido como logaritmo na base 10 do
quociente de dois níveis de potência. Como na prática esta unidade era muito grande, definiu-se por
conveniência o decibel,
10
1
bel como sendo a unidade padrão para expressar o logaritmo da razão entre
dois níveis de potência. Uma vez que elementos dissipativos possuem relação quadrática entre a
amplitude das variáveis aplicadas a eles e a potência por eles dissipadas, a magnitude da resposta em
freqüência da função de transferência G(jω) é definida pela razão entre as amplitudes da variável
senoidal de saída Y(jω) e de entrada do sistema U(jω), i.e.
decibeis
)j(U
)j(Y
log20)j(Glog20 1010
ω
ω
=ω (10.8)
Por definição o “bel” é uma unidade adimensional e a sua utilização conforme (10.8), embora
bastante usual, não é estritamente correta pois |G(jω)| pode ser expressa unidades físicas.
Escala Logarítmica de Freqüência
Em diagramas de Bode o eixo das abcissas, que representa a freqüência em radianos por
segundo, é apresentado em escala logarítmica. Duas unidades logarítmicas que estabelecem a razão
entre freqüências são comumente utilizadas: a oitava é definida como sendo a razão de freqüência de
2:1, e a década como a razão de freqüência de 10:1. Dadas duas freqüências ω1 e ω2, a razão destas
freqüências 21 /W ωω= pode ser expressa logaritmicamente em unidades de oitavas
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3. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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oitavaslogW
2
1
2
ω
ω
= (10.9)
ou em unidades de décadas, i.e.,
décadaslogW
2
1
10
ω
ω
= (10.10)
Os termos acima e abaixo são muito empregados para expressar valores positivos e negativos
de W respectivamente. Por exemplo, a freqüência de 100 rad/s é dita estar duas oitavas (um fator de 22
)
acima da freqüência de 25 rad/s, enquanto esta mesma a freqüência de 100 rad/s pode ser dita também
estar 3 décadas (um fator de 10-3
) abaixo da freqüência de 100.000 rad/s.
Análise dos Termos das Funções de Transferência
Consideremos aqui, uma função de transferência genérica G(s), apresentada a seguir:
mn
bsbsbs
asasas
K)s(G
m1m
1n
1
n
m1m
1m
1
m
≥
++++
++++
=
−
−
−
−
L
L
(10.11)
Para construção do diagrama de Bode, é mais conveniente rescrever (10.11) na forma fatorada e,
adicionalmente, substituir s por jω, ou seja
)1j()1j)(1j(
)1j()1j)(1j(
K)j(G
n22221
m11211
o
+ωτ+ωτ+ωτ
+ωτ+ωτ+ωτ
=ω
L
L
(10.12)
Observa-se que em (10.12), no caso de não existirem pólos ou zeros na origem, Ko representa
diretamente o ganho DC da função de transferência. Uma vez que a metodologia estabelecida para o
traçado do diagrama de Bode baseia-se na respostas em freqüência de cada um dos termos que compõe
(10.12), interessa-nos analisar o comportamento em freqüência das três classes de termos dadas a
seguir:
1.
(10.13)
( )γ
ωjKo
2.
(10.14)
( 1
1j ±
+ωτ )
3.
1
r
2
r
1
j
2
j
±
+
ω
ω
ξ+
ω
ω
(10.15)
A primeira classe, descrita por (10.13), generaliza a existência de múltiplos zeros ou pólos na
origem. De acordo com a equação (10.7) pode-se escrever a seguinte relação para esta classe:
( ) ωγ+=ω γ
jlog20Klog20jKlog20 10o10o10 (10.16)
É fácil observar a partir de (10.16), que a curva de magnitude para a primeira classe de termos
considerada é uma reta com declividade de 20γ dB/década cujo valor na freqüência de 1.0 rad/s
depende somente do valor da constante Ko. A Figura 10.1 mostra três diferentes casos em que γ=-1,1,2
considerando para todos eles Ko=1.0.
O gráfico de fase para esta primeira classe de termos é tal que isto é, independente
da freqüência tem-se no gráfico de fase um linha paralela ao eixo das abcissas em -90
o
90xγ=φ
o
para γ=-1, -180o
para γ=-2, 90o
para γ=1 e assim por diante.
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Fig. 10.1: Curvas de magnitude para a classe de termos descritas por (10.13).
Para segunda classe de termos apresentada em (10.14), considera-se o comportamento
assintótico em freqüências muito baixas e muito elevadas, ou seja os dois casos apresentados a seguir:
a)
(10.17)
11j,1 ≅+ωτ<<ωτ
b)
(10.18)
ωτ≅+ωτ>>ωτ j1j,1
Definindo-se τ=ω /
G
1 como o ponto de quebra, observa-se que abaixo deste ponto a curva de
magnitude é aproximadamente constante (=1), enquanto acima deste ponto a curva de magnitude
comporta-se como aquelas descritas para a primeira classe de sistemas K . O exemplo
apresentado na figura (10.2),
γ
ω)j(o
1s10)s( += ilustra como as duas assíntotas cruzam o ponto de quebra.
Fig. 10.2: Curvas de magnitude assintótica e real considerando 1s10)s(G += .
A curva de fase também é facilmente determinada utilizando a mesma idéia de análise de
comportamento de termo em questão em baixas e altas freqüências. Para o traçado da curva assintótica
de fase considera-se os três casos apresentados a seguir:
a) ;
(10.19)
o
01tanarc,1 =<<ωτ
b) ;
(10.20)
o
90tanarc,1 =ωτ>>ωτ
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c) .
(10.21)
o
451)(tanarc,1 =+ωτ=ωτ
A Figura 10.3 mostra a curva assintótica e real do comportamento da fase G em
função da freqüência. Observe que no traçado assintótico da curva de fase em
1s10)s( +=
1≅ωτ é tangente a curva
real.
Fig. 10.3: Curva de fase assintótica e real em função da freqüência, considerando .1s10)s(G +=
i. Mostrar que para classe de termos (10.14), no ponto de interseção das assíntotas de baixa
e alta freqüências, as assíntotas diferem da curva real de magnitude em 3.0 dB, para o
caso de zeros de (10.12), e em –3.0 dB para o caso de pólos.
ii. Mostrar para classe de termos (10.14), que a curva assintótica tem fase de 45o
para
1=ωτ
5
, e que as curvas real e assintótica diferem de +11o
e –11o
para e2.0=ωτ
=ωτ respectivamente.
iii. Verificar que para esta classe de termos, freqüências uma década abaixo do ponto de
quebra praticamente não exercem influência nas curvas de magnitude e fase.
A terceira classe de termos representa as parcelas da função de transferência compostas por
raízes complexas. Para análise destes termos, algumas informações serão obtidas da família de curvas
apresentadas na Figura 10.4, obtidas a partir da seguinte função de transferência de segunda ordem:
2
rr
2
2
r
s2s
)s(G
ω+ξω+
ω
= (10.22)
que pode ser convenientemente rescrita na forma
( ) ( ) 1/s2/s
1
)s(G
r
2
r +ωξ+ω
= (10.23)
O procedimento empregado para a análise desta classe de termos é muito similar aquele
utilizado para análise da classe anterior. Neste caso o ponto de quebra será em ω . O gráfico
assintótico de magnitude mudará de inclinação por um fator de 2, no caso de (10.23) por se tratar de
termos de segunda ordem no denominador da função de transferência a inclinação da curva será
alterada em –40 dB/década. O gráfico assintótico de fase, ainda para o caso de (10.23), será alterado
em –180
rω=
o
. Ocorre no entanto que a curva real difere mais ou menos da assintótica em função do
coeficiente de amortecimento ξ.
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6. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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Fig. 10.4: Família de curvas de magnitude e fase de (10.23) variando o coeficiente de amortecimento
i. Verifique que em (10.23), na freqüência rω=ω ,
ξ
=ω
2
1
)j(G .
ii. Determinar a faixa de valores de coeficiente de amortecimento em que um sinal de
entrada do tipo tsenA)t(u r1 ω= , aplicado a (10.23), resultará em um sinal de saída em
regime permanente do tipo )tsen(A r2)t(y φ+ω= com .1A/A 12 ≥
iii. Com base na Figura (10.4), obtenha as curvas de magnitude e fase admitindo apenas o
efeito do termo de segunda ordem no numerador da função de transferência, isto é
( ) ( ) 1/s2/s)s(G r
2
r +ωξ+ω= . Para este caso, explique o procedimento para obtenção
do traçado das curvas assintóticas de magnitude e fase.
Composição do Diagrama de Bode
Quando se trata de uma função de transferência com vários pólos e zeros, como aquela
generalizada em (10.12), o traçado das curvas de magnitude e de fase que compõe o diagrama de Bode
é realizado pela combinação das curvas de magnitude e fase de cada um dos termos que a compõe.
Desta forma, a declividade das assíntotas da curva de magnitude da função de transferência é dada pela
somatória das declividades das assíntotas para cada um dos termos individuais. Portanto na composição
da curva assintótica de magnitude as declividades mudam nas freqüências em que existem pontos de
quebra: +20 dB/década se o ponto de quebra for relativo a um termo de primeira ordem do numerador,
-20 dB/década se for relativo a um termo de primeira ordem no denominador e, ± dB/década se o
ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador
respectivamente. Para baixas freqüências, as assíntotas são determinadas pelo valor de γ dos termos
determinando-se K
40
γ
ωoK o na freqüência ω=1.0 rad/s. Desta forma, o traçado completo da curva de
magnitude do diagrama de Bode é realizado começando-se pelo traçado das assíntotas em baixas
freqüências, alterando-se as declividades seqüencialmente a cada ponto de quebra de forma a cobrir
toda a faixa de freqüências de interesse.
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7. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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A composição do diagrama de Bode de fase é feita adicionando-se as curvas individuais de
fase. Uma forma rápida bastante utilizada para o traçado da curva assintótica de fase consiste em cada
um dos termos de primeira ordem no numerador adicionar-se +90o
na freqüência em que existem ponto
de quebra e, da mesma forma, adicionar-se –90o
se o termos de primeira ordem estiverem no
denominador. Se o ponto de quebra relacionar-se com fatores de segunda ordem, descrito
anteriormente como sendo a terceira classe de termos, os incrementos de fase serão de se o
ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador
respectivamente.
o
180±
Uma vez obtidas as curvas assintóticas de magnitude e fase, refina-se o traçado das mesmas
empregando as regras de transição apresentadas anteriormente.
Traçar o diagrama de Bode de módulo e fase das seguintes funções de transferência:
1.
[ ])50s)(10s(s
)5.0s(2000
)s(G
++
+
= Caso de zeros e pólos reais
2.
( )4s4.0ss
10
)s(G 2
++
= Caso de pólos reais e complexos
3.
( )
[ ]1)2/s(02.0)4/s(s
1s01.0s01.0
)s(G 22
2
++
++
= Caso de zeros e pólos reais e complexos
Construção de Diagramas de Bode
O procedimento empregado para construção do diagrama de bode pode ser resumido em oito
passos descritos a seguir.
Passo 1: Considera-se a seguinte função de transferência a qual deseja-se obter o Diagrama de Bode:
mn
bsbsbs
asasas
K)s(G
m1m
1n
1
n
m1m
1m
1
m
≥
++++
++++
=
−
−
−
−
L
L
(10.24)
A função de transferência (10.24) deve ser manipulada de forma a aparecer as três classes de
termos possíveis encontrados na composição de (10.24), i.e.
( )
( )
( )∏∏
∏∏
==
==γ
+
ω
ω
ξ+
ω
ω
+ωτ
+
ω
ω
ξ+
ω
ω
+ωτ
ω=ω
2/p
1k k
k
2
k
p
1k
k
2/z
1i i
i
2
i
z
1i
i
o
cR
cR
1
j
2
j
1j
1
j
2
j
1j
jK)j(G (10.25)
ou seja, “γ” zeros ou pólos na origem que representam a primeira classe termos previamente
apresentadas, “zR” zeros ou “pR” pólos reais representando a segunda classe de termos e “zc/2” pares de
zeros ou “pc/2” pares de pólos complexos conjugados que representam a terceira e última classe de
termos.
Passo 2: Determinar o valor de γ para classe de termos ( )γ
ωjoK . Traçar a assíntota de baixa
freqüência a partir do ponto Ko determinado na freqüência ω=1 rad/s. A assíntota terá declividade de
20γ dB/década.
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Passo 3: Estender a assíntota de baixa freqüência até o primeiro ponto de quebra. Neste ponto, alterar a
declividade da curva assintótica de dB/década ou20± 40± dB/década dependendo se o ponto de quebra
está associado a um termo de primeira ou segunda ordem no numerador ou denominador da função de
transferência. Este procedimento deve ser repetido em toda faixa de freqüências até que seja alcançado
o último ponto de quebra.
Passo 4: Com base na curva assintótica de magnitude incrementa-la nos pontos de quebra associados a
termos de primeira de 3.0 dB se for um termo do numerador e –3 dB se for do denomimador. Se o
ponto de quebra for associado a termos de segunda ordem, representar os vales ou picos empregando a
relação ξ=ω 2)j(G ou ξ=ω 2/1)j(G no ponto de quebra.
Passo 5: Traçar a curva assintótica de fase para baixas freqüências, isto é, .o
90xγ=φ
Passo 6: Da mesma forma que na curva de magnitude, estender a assíntota de baixa freqüência até o
primeiro ponto de quebra, alterando a fase em ou . Se o ponto de quebra estiver
relacionado a termos de primeira ordem no numerador a curva assintótica de fase será alterada em +90
o
90± o
180±
o
se estiver relacionado ao denominador a curva assintótica de fase será alterada em –90o
. Para termos de
segunda ordem a alteração da curva assintótica de fase sofrerá uma alteração de ± .o
180
Passo 7: Traçar nas curvas assintóticas de fase individuais as transições para os termos de primeira e de
segunda ordem.
Passo 8: Adicionar graficamente cada uma das curvas individuais, começando pela assíntota de baixa
freqüência e finalizando pela assíntota de alta freqüência. Quanto mais distantes estiverem os pontos de
quebra sucessivos mais próximas as curvas de magnitude e fase assintóticas serão das curvas reais.
A Tabela 10.1 mostra as curvas assintóticas de magnitude e fase associadas a cada uma das
classes de termos básicos que compõe as funções de transferência.
Termo Magnitude 20 log |G(jω)| em decibeis Fase G(jω) em graus
90o
-90o
-45o
45o
40
-40
-20
20
1. Ganho
G(jω)=K
ω ω
90o
-90o
-45o
45o
40
-40
-20
20
2. Zero
G(jω)= (1+jω/ω1)
0.1ω1 10ω1 0.1ω1 10ω1ω1 ω1
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Termo Magnitude 20 log |G(jω)| em decibeis Fase G(jω) em graus
-45o
-90o
90o
45o
40
-40
-20
20
3. Pólo
G(jω)= (1+jω/ω1)-1
0.1ω1 10ω1 0.1ω1 10ω1ω1 ω1
4. Zero na origem
G(jω)= jω
5. Pólo na Origem
G(jω)= (1/jω)
6. Zeros Complexos
0.1<ξ<1, G(jω)=
1
j
2
j
n
2
n
+
ω
ω
ξ+
ω
ω
7. Pólos Complexos
0.1<ξ<1, G(jω)=
1
n
2
n
1
j
2
j
−
+
ω
ω
ξ+
ω
ω
20
-20
-40
40
ω
1 100.1 100
45o
-45o
-90o
90o
ω
1 100.1 100
100
45o
-45o
-90o
90o
ω
1 100.1 100
20
-20
-40
40
ω
1 100.1
20
-20
-40
40
ω/ωn
1 100.1
90o
-90o
-180o
180o
ω/ωn
1 100.1 100
100
90o
-90o
-180o
180o
ω/ωn
1 100.1
20
-20
-40
40
ω/ωn
1 100.1
Tab. 10.1- Curvas assintóticas dos termos básicos de uma função de transferência.
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10. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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Sistemas Lineares de Fase Não Mínima
A definição de sistemas lineares de fase não mínima está associada diretamente com o
posicionamento dos pólos e zeros finitos da função de transferência do sistema em questão. Funções de
transferência que apresentam todos os seus pólos e zeros localizados no semiplano esquerdo do plano s
são denominadas funções de transferência de fase mínima. Em contrapartida, se na função de
transferência em questão existir pelo menos um pólo ou zero no semiplano direito do plano s, o sistema
será denominado de fase não mínima. De forma a justificar tal denominação, considera-se dois sistemas
lineares de primeira ordem descritos pelas funções de transferência (10.26) e (10.27), apresentadas a
seguir:
10s
1s
)s(G1
+
+
= (10.26)
10s
1s
)s(G2
+
−
= (10.27)
A Figura 10.5 apresenta os diagramas de pólos e zeros das funções de transferência (10.26) e
(10.27).
(a)
Plano s
σ
jω
-10 -1
θ2 θ1
*
1θ
(b)
Plano s
σ
jω
1-10
θ2
Fig. 10.5: (a) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência (10.3).
(b) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência (10.4).
Pela análise das Figuras 10.5 (a) e (b) pode-se constatar que |G1(jω)|=|G2(jω)| independente do
valor da freqüência ω. Desta forma, os diagramas de Bode de magnitude destes dois sistemas serão
idênticos. No entanto, o mesmo não ocorrerá com o diagrama de Bode de fase destes sistemas. Tal fato
explica-se mediante a análise das equações de fase de cada um destes sistemas, ou seja:
ω
ω=ω
10
tanarc-tanarc)j(Gfase 1 (10.28)
ω
ω=ω
10
tanarc-tanarc-180)j(Gfase o
2 (10.29)
Na equação (10.28), para valores de freqüência muito pequenos, a fase de G1(jω) é
aproximadamente zero, ocorrendo o mesmo para valores muito elevados de freqüência. Para a função
de transferência (10.27) a fase G2(jω) para valores de freqüência pequenos é praticamente 180o
. O
diagrama de Bode de magnitude e fase de cada um destes sistemas é apresentado nas Figuras 10.6 e
10.7.
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11. ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
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Frequency (rad/sec)
Phase(deg)Magnitude(dB)
-20
-15
-10
-5
0
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
30
60
Fig. 10.6: Diagrama de Bode do sistema descrito pela função de transferência (10.26).
Frequency (rad/sec)
Phase(deg)Magnitude(dB)
-20
-15
-10
-5
0
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
45
90
135
180
Fig. 10.7: Diagrama de Bode do sistema descrito pela função de transferência (10.27).
1. Identificar e analisar as diferenças existentes nas respostas temporais dos sistemas
representados pela funções de transferência dadas por (10.26) e por (10.27), quando o sinal
de entrada é do tipo degrau.
2. Quais são as características existentes em sistemas de fase não mínima na resposta em
freqüência e na resposta temporal?
3. Por que os sistemas de fase não mínima com pólos no semi-plano direito apresentam
respostas temporais instáveis?
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Problemas Propostos
4. Relacionar as respostas temporais de cinco diferentes processos excitados com um sinal de
entrada do tipo degrau de amplitude unitária, com suas respetivas respostas em freqüência
representadas pelos seus diagramas de Bode.
(1) (A)
(2)
(3)
(B)
(C)
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(4) (D)
(5) (E)
5. Considerando o diagrama de Bode apresentado na Figura 10.8 determinar:
i. A função de transferência do processo:
ii. O sinal de saída do processo considerando como sinal entrada r(t) = 10 sen 40t;
iii. O sinal de saída do processo considerando como sinal entrada r(t) = 10 sen 20000t;
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);Magnitude(dB)
Bode Diagrams
-100
-50
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
0
50
100
150
200
Fig. 10.8: Diagrama de Bode do processo a ser identificado.
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3. Baseado no diagrama de Bode apresentado na Figura 10.9, identifique a função de
transferência do sistema. Determinada a função de transferência do sistema determine os erros em
regime permanente quando o mesmo é sujeito a um sinal de entrada do tipo degrau unitário e
rampa unitária.
2
Fig. 10.9: Diagrama de Bode do processo a ser identificado.
4. O diagrama de Bode apresentado na Figura 10.10 é de um sistema de 2º ordem. A função de
transferência deste sistema é definido pela equação abaixo.
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sG
ω+ξω+
ω⋅
=
Determinar: O valor da freqüência natural nω ,. o fator de amortecimento ξ e o ganho K. O que
acontece com este sistema se for imposto que 0=ξ .
Fig. 10.10: Diagrama de Bode do processo a ser identificado.