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Aula 17

Integrais de¯nidas e o
Teorema Fundamental do C¶lculo
                        a

17.1       A integral de¯nida
Seja y = f (x) uma fun»~o cont¶
                      ca      ³nua em um intervalo fechado [a; b].
      Subdividamos o intervalo [a; b] atrav¶s de n + 1 pontos x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn ,
                                           e
tais que
                       a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b
O conjunto de pontos } = fx0 = a; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bg constitui uma subdivis~o  a
ou parti»~o do intervalo [a; b].
        ca
      Tomemos ainda pontos c1 ; c2 ; c3 ; : : : ; cn¡1 ; cn em [a; b], tais que
                                    c1 2 [x0 ; x1 ] = [a; x1 ];
                                    c2 2 [x1 ; x2 ];
                                        .
                                        .
                                        .
                                    ci 2 [xi¡1 ; xi ];
                                        .
                                        .
                                        .
                                    cn 2 [xn¡1 ; xn ]:
Sejam
                                      ¢x1 = x1 ¡ x0
                                      ¢x2 = x2 ¡ x1
                                          .
                                          .
                                          .
                                      ¢xi = xi ¡ xi¡1
                                          .
                                          .
                                          .
                                      ¢xn = xn ¡ xn¡1

                                               146
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                                               147


      E formemos a soma
                                                                                   P
                                                                                   n
      S = f (c1 )¢x1 + f(c2 )¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f (cn )¢xn =                                  f(ci )¢xi .
                                                                                   i=1

      Esta ¶ uma soma integral de f , no intervalo [a; b], correspondente µ parti»~o }, e
           e                                                              a      ca
µ escolha de pontos intermedi¶rios c1 ; : : : ; cn .
a                            a
                                                                          Pn
      Note que, quando f (x) > 0 em [a; b], a soma integral de f , S =       f (ci )¢xi , ¶
                                                                                          e
                                                                                                           i=1
a soma das ¶reas de n ret^ngulos, sendo o i-¶simo ret^ngulo, para 1 · i · n, de base
            a               a                  e     a
¢xi e altura f(ci ). Isto ¶ ilustrado na ¯gura 17.1.
                          e

                 y



                                                                        y = f(x)




                                                                                                f(cn)

                                                                             .....
                                                          f(c3 )
                                            f(c2 )
                              f(c1 )

                                                                                                                 x
                     a = x0    c1      x1    c2      x2    c3      x3                      xn-1 c n     xn = b
                              ∆ x1          ∆ x2          ∆ x3                                 ∆ xn



                                                      Figura 17.1.

      Seja ¢ o maior dos n¶meros ¢x1 , ¢x2 , : : : , ¢xn . Escrevemos
                          u

                          ¢ = maxf¢x1 ; ¢x2 ; : : : ; ¢xn g = max ¢xi

Tal ¢ ¶ tamb¶m chamado de norma da parti»~o }.
      e     e                           ca
       ¶
       E poss¶ demonstrar que, quando consideramos uma sucess~o de subdivis~es
               ³vel                                                   a             o
a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, do intervalo [a; b], fazendo com que ¢ = max ¢xi torne-
se mais e mais pr¶ximo de zero (e o n¶mero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez
                    o                    u
maior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~es, v~o tornando-se cada
                                                              o     a
vez mais pr¶ximas deRum n¶mero R °, chamado integral de¯nida de f , no intervalo
             o              u      real
                       b             b
[a; b] e denotado por a f , ou por a f (x) dx.
        Em outras palavras, quando formamos uma seqÄ^ncia de parti»~es }1 , }2 , : : : ,
                                                          ue             co
}k , : : : , do intervalo [a; b], de normas respetivamente iguais a ¢1 , ¢2 , : : : , ¢k , : : : ,
associando a cada parti»~o um conjunto de pontos intermedi¶rios (os ci 's), e forman-
                            ca                                    a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                         148


do ent~o uma seqÄ^ncia de somas integrais S1 ; S2 ; : : : ; Sk ; : : : , sendo lim ¢k = 0,
      a         ue
                      Rb                                                      k!+1
teremos lim Sk = ° = a f, para algum n¶mero real °.
                                         u
         k!+1

De modo mais simpli¯cado, a integral de¯nida de f, de a at¶ b (ou no intervalo [a; b])
                                                          e
¶ o n¶mero real
e    u
                    Z b                              X n
                °=      f (x) dx = lim S = lim           f (ci )¢xi
                              a                     ¢!0        max ¢xi !0
                                                                            i=1


Observa»~o 17.1 Se f(x) > 0 no intervalo [a; b], quando max ¢xi ! 0, o n¶mero k,
         ca                                                             u
de sub-intervalos tende a 1.
     Os ret^ngulos ilustrados na ¯gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e nu-
           a
merosos µ medida em que max ¢xi torna-se mais e mais pr¶ximo de 0.
        a                                                   o
                           Pn
     Neste caso,    lim      i=1 f (ci )¢xi de¯nir¶ a ¶rea compreendida entre a curva
                                                  a a
                         max ¢xi !0
y = f (x), o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b.
      Sumarizando,
Se f (x) > 0 em [a; b], temos
              Z     b
                        f(x) dx = (¶rea sob o gr¶¯co de f , de x = a at¶ x = b)
                                   a            a                      e
                a

                                                                           Rb
Observa»~o 17.2 Por outro lado, se f (x) < 0 para todo x 2 [a; b], teremos a f(x) dx
          ca
= ¡A, sendo A a ¶rea (positiva) da regi~o plana compreendida entre o eixo x, o gr¶¯co
                    a                  a                                         a
de f , e as retas x = a e x = b.
      Note que, neste caso, feita uma subdivis~o a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, e
                                                      a
escolhidos os pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, teremos
                                                  X
                                                  n
                                                        f (ci )¢xi < 0
                                                  i=1

pois f (ci ) < 0 para cada i, e ¢xi > 0 para cada i.

Observa»~o 17.3 Se o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b], ¶ como o gr¶¯co esbo»ado
        ca                a                               e             a        c
na ¯gura 17.2, ent~o, sendo A1 , A2 , A3 e A4 as ¶reas (positivas) indicadas na ¯gura,
                  a                              a
teremos                  Z                b
                                              f (x) dx = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4
                                      a

Observa»~o 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ cont¶
       ca                                     e     ³nua em [a; b], o limite
        Pn               Rb
  lim     i=1 f(ci )¢xi = a f n~o depende das sucessivas subdivis~es a = x0 < x1 <
                               a                                 o
max ¢xi !0
¢ ¢ ¢ < xn = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ]
para cada i.
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                   149


                                         y


                                                                    y = f(x)
                                    A1                        A3
                                                                                 b   x
                            a
                                                  A2
                                                                            A4




                                             Rb
                      Figura 17.2.           a
                                                  f = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 .


Observa»~o 17.5 Se, para uma P c~o g, de¯nida em [a; b], n~o necessariamente
         ca                    fun»a                                a
cont¶
    ³nua, existir o limite lim   i=1 g(ci )¢xi (xi 's e ci 's tal como antes), dizemos
                                 n
                         max ¢xi !0
que g ¶ integr¶vel em [a; b], e de¯nimos, tal como antes,
      e       a
                         Z      b                              X
                                                               n
                                    g(x) dx =           lim              g(ci )¢xi
                            a                     max ¢xi !0
                                                                   i=1


                                           R1
Exemplo 17.1 Sendo f(x) = x2 , calcular 0 f (x) dx, ou seja, determinar a ¶rea com-
                                                                          a
preendida entre a par¶bola y = x2 e o eixo x, no intervalo 0 · x · 1.
                     a

Para calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0; 1] em n
sub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x = 1=n, ou seja, tomaremos
     x0 = 0, x1 = 1=n, x2 = 2=n, : : : , xn¡1 = (n ¡ 1)=n e xn = n=n = 1.
     Neste caso, ¢x1 = ¢x2 = ¢ ¢ ¢ = ¢xn = 1=n.
     Tomaremos ainda ci = xi = i=n, para i = 1; 2; : : : ; n.
     Teremos a soma integral
                      X
                      n                           X
                                                  n
                                                                    1
                 S=         f (ci )¢xi =                f (i=n) ¢
                      i=1                         i=1
                                                                    n
                                               X µ i ¶2 1 X i 2
                                                n           n
                                             =         ¢ =
                                               i=1
                                                   n    n  i=1
                                                               n3
                                               1 X 2 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2
                                                 n
                                             = 3    i =
                                              n i=1          n3

Pode ser demonstrado que 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), fato que usaremos
                                                6
aqui.
     Assim, como ¢x ! 0 se e somente se n ! 1, temos
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                                        150


                    Z       1                     Z   1                                    X
                                                                                           n
                                f (x) dx =                x2 dx =               lim              f (ci )¢xi
                        0                         0                          max ¢xi !0
                                                                                           i=1
                                                                  2      2             2
                                      1 + 2 + ¢¢¢n
                                          = lim
                                            n3    n!1
                                      n(n + 1)(2n + 1)  2  1
                              = lim                    = =
                                 n!1        6n 3        6  3
A ¶rea procurada ¶ igual a 1=3 (de unidade de ¶rea).
  a              e                            a

Proposi»~o 17.1 Se f ¶ cont¶
       ca               e   ³nua no intervalo [a; b], sendo m e M os valores m¶ximo
                                                                              a
   ³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a; b], ent~o
e m¶                                                    a
                                                          Z       b
                                  m(b ¡ a) ·                          f(x) dx · M (b ¡ a)
                                                              a


                                     y

                                 M
                                          A"                                                     B"




                                 m        A'                                                     B'

                                          A                                                   B
                                              a                                              b        x

                                                                              Rb
                            Figura 17.3. m(b ¡ a) ·                            a
                                                                                    f · M (b ¡ a).
      Abaixo, faremos uma demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Antes por¶m, daremos
                                    ca             ca                 e
uma interpreta»~o geom¶trica dessa proposi»~o, no caso em que f > 0 em [a; b]. Da
                ca     e                  ca
                           a                               ³nimo e m¶ximo de f (x)
¯gura 17.3, em que m e M s~o, respectivamente, os valores m¶        a
para x 2 [a; b], temos
¶rea ABB 0 A0 · (¶rea sob o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b]) · ¶rea ABB 00 A00 .
a                a            a                                  a
      Da¶
        ³,                                                Z       b
                                  m(b ¡ a) ·                          f (x) dx · M(b ¡ a)
                                                              a

Demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Tomando-se uma subdivis~o qualquer de [a; b],
         ca            ca                               a
                                         a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b
e tomando-se pontos ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, temos
                             X n                 Xn
                                  f(ci )¢xi ·         M¢xi
                                          i=1                                 i=1
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                  151


pois f (ci ) · M , e ¢xi > 0, para cada i. Da¶
                                             ³,
                  X
                  n                         X
                                            n                   X
                                                                n
                        f(ci )¢xi ·               M¢xi = M            ¢xi = M (b ¡ a)
                  i=1                       i=1                 i=1

pois
                        X
                        n
                               ¢xi = ¢x1 + ¢x2 + ¢ ¢ ¢ + ¢xn = b ¡ a
                         i=1
Logo,
                                                X
                                                n
                                  lim                 f (ci )¢xi · M (b ¡ a)
                               max ¢xi !0
                                                i=1
e portanto                             Z    b
                                                f(x) dx · M (b ¡ a)
                                        a
                                       Rb
Analogamente, deduzimos que             a
                                          f (x) dx       ¸ m(b ¡ a).

        Assumiremos sem demonstra»~o as seguintes propriedades.
                                 ca

Proposi»~o 17.2 Se f e g s~o cont¶
         ca                   a      ³nuas em [a; b], ent~o, sendo k uma constante e
                                                         a
a < c < b,
      Rb                     Rb            Rb
   1. a (f (x) + g(x)) dx = a f (x) dx + a g(x) dx
      Rb                  Rb
   2. a k ¢ f(x) dx = k ¢ a f (x) dx
      Rc           Rb            Rb
   3. a f (x) dx + c f (x) dx = a f(x) dx
                                                  Rb            Rb
   4. se f (x) · g(x), para todo x 2 [a; b], ent~o a f (x) dx · a g(x) dx
                                                a

Observa»~o 17.6 Sendo f cont¶
          ca                     ³nua em [a; b], s~o adotadas as seguintes conven»~es
                                                  a                              co
(de¯ni»~es).
       co
      Ra
  (i) a f (x) dx = 0
      Ra             Rb
  (ii) b f (x) dx = ¡ a f (x) dx
      Adotadas essas conven»~es, a proposi»~o 17.2, acima enunciada, continua ver-
                              co             ca
dadeira qualquer que seja a ordem dos limites de integra»~o a, b e c, podendo ainda dois
                                                        ca
deles (ou os tr^s) coincidirem.
               e


Teorema 17.1 (Teorema do valor m¶dio para integrais) Se f ¶ cont¶
                                          e               e     ³nua no in-
tervalo [a; b], existe c 2 [a; b] tal que
                                   Z    b
                                            f (x) dx = f (c) ¢ (b ¡ a)
                                    a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                   152


      Adiante faremos a demonstra»~o deste teorema. Uma interpreta»~o geom¶trica
                                   ca                                 ca          e
do teorema do valor m¶dio para integrais, no caso em que f (x) > 0 em [a; b], ¶ feita na
                     e                                                        e
¯gura 17.4.


                                 y




                                     A'                            B'


                                                     f(c)


                                     A                             B
                                         a       c                b     x

                                                            Rb
Figura 17.4. Teorema do valor m¶dio para integrais:
                               e                            a
                                                                 f = (¶rea sob o gr¶¯co de f)
                                                                      a            a
              0 0
= (¶rea ABB A ) = f (c)(b ¡ a).
   a

      Para demonstrarmos o teorema do valor m¶dio para integrais, usaremos o Teorema
                                             e
do valor intermedi¶rio.
                  a

                                 y


                       f(b)



                         y
                             0

                       f(a)



                                     a       x                    b     x
                                             0



Figura 17.5. Para cada y0 , tal que f (a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .


Teorema 17.2 (Teorema do valor intermedi¶rio) Seja f uma fun»~o cont¶
                                                a                     ca       ³nua no
intervalo [a; b]. Para cada y0 , tal que f(a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .
     Ilustramos geometricamente o teorema do valor intermedi¶rio na ¯gura 17.5.
                                                            a
     Como conseqÄ^ncia do teorema do valor intermedi¶rio, temos o teorema do anu-
                   ue                               a
lamento, j¶ explorado na aula 7, µ p¶gina 66:
          a                      a a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                153


(Teorema do anulamento) Sendo a < b, e f cont¶        ³nua em [a; b], se f(a) < 0 e
f (b) > 0 (ou se f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~o a fun»~o f possui uma raiz no intervalo
                                          a       ca
[a; b].
Demonstra»~o. Como f(a) < 0 < f(b), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe
            ca                                                     a
x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = 0.
Demonstra»~o do teorema 17.1. Sendo f cont¶
           ca                                 ³nua no intervalo [a; b], pelo teorema de
Weierstrass, p¶gina 69, aula 8, existem m; M 2 R tais que m = minff(x) j x 2 [a; b]g
              a
e M = maxff (x) j x 2 [a; b]g. Al¶m disso, existem pontos x1 ; x2 2 [a; b] tais que
                                      e
f (x1 ) = m e f(x2 ) = M .
       Pela proposi»~o 17.1,
                   ca
                                            Z       b
                          m(b ¡ a) ·                    f (x) dx · M(b ¡ a)
                                                a

Da¶
  ³,                                                Z
                                   1                        b
                               m·                               f (x) dx · M
                                  b¡a                   a
             1
                Rb
Sendo ® = b¡a a f(x) dx, como f(x1 ) = m · ® · M = f (x2 ), pelo teorema do valor
intermedi¶rio, existe c 2 [a; b] (c entre x1 e x2 ) tal que f(c) = ®. Logo,
         a
                                              Z b
                                          1
                                  f(c) =           f (x) dx
                                         b¡a a
e portanto                     Z     b
                                         f(x) dx = f(c)(b ¡ a)
                                 a




17.2         O teorema fundamental do c¶lculo
                                       a
Teorema 17.3 (Teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o) Seja
                                               a                    a                  f
               ³nua no intervalo [a; b]. Para cada x 2 [a; b], seja
uma fun»~o cont¶
       ca
                                         Z x
                                '(x) =       f(t) dt
                                                            a

Ent~o
   a
                               '0 (x) = f (x);                   8x 2 [a; b]


       Uma das conseqÄ^ncias imediatas do teorema fundamental do c¶lculo ¶ que
                     ue                                           a      e
Toda fun»~o cont¶
          ca      ³nua f, em um intervalo [a; b], possuiRuma primitiva (ou anti-derivada)
                                                          x
em [a; b], sendo ela a fun»~o ', de¯nida por '(x) = a f(t) dt, para cada x 2 [a; b].
                          ca
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                                        154


Demonstra»~o do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o.
         ca                             a                    a
      Para x em [a; b], e ¢x 60, com x + ¢x em [a; b], temos
                             =
                                                           Z     x+¢x         Z   x
                  ¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) =             f(t) dt ¡     f (t) dt
                                               a                 a
                       Z x+¢x            Z a           Z x+¢x
                     =        f (t) dt +     f(t) dt =         f(t) dt
                            a                          x                  x

(Veja ¯guras 17.6a e 17.6b.)

(a)                                                        (b)

      y                                                           y
                                    y = f(x)                                               y = f(x)




              ϕ (x)
                                                                                      ∆ϕ

          a             x                      b   x                  a           x        x +∆x      b   x


Figura 17.6. (a) Interpreta»~o geom¶trica de '(x), x 2 [a; b]. (b) Interpreta»~o ge-
                           ca      e                                         ca
om¶trica de ¢', para ¢x > 0.
   e

      Pelo teorema do valor m¶dio para integrais, existe w entre x e x + ¢x tal que
                             e
                       Z x+¢x
                              f (t) dt = f (w) ¢ [(x + ¢x) ¡ x]
                                x

Assim sendo,
                                ¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f (w)¢x
o que implica
                ¢'
                    = f (w); para algum w entre x e x + ¢x
                ¢x
Temos w ! x quando ¢x ! 0. Como f ¶ cont¶
                                    e    ³nua,
                                     ¢'
                      '0 (x) = lim      = lim f (w) = lim f (w) = f(x)
                                ¢x!0 ¢x  ¢x!0         w!x




      Como conseqÄ^ncia do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos a
                  ue                                   a                    a
sua segunda vers~o, tamb¶m chamada f¶rmula de Newton-Leibniz. Ele estabelece uma
                a       e               o
conex~o surpreendente entre as integrais inde¯nidas e as integrais de¯nidas.
      a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                                           155


Teorema 17.4 (Teorema fundamental do c¶lculo, segunda vers~o) Sendo f
                                         a                a
               ³nua no intervalo [a; b],
uma fun»~o cont¶
       ca
                Z                                                   Z       b
          se            f(x) dx = F (x) + C               ent~o
                                                             a                  f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
                                                                        a

       Demonstra»R o. Pelo teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos que
                 c~
                  a                                a                    a
                    x
a fun»~o '(x) = a f (t) dt, a · x · b, ¶ uma primitiva de f (x) no intervalo [a; b], ou
      ca                                e
seja, '0 (x) = f(x).
           R
       Se f(x) dx = F (x) + C, temos tamb¶m F 0 (x) = f(x). Logo, pela proposi»~o
                                           e                                        ca
15.1 existe uma constante k tal que

                              '(x) = F (x) + k;              para todo x em [a; b]
                Ra
Agora, '(a) =       a
                        f(t) dt = 0. Logo, F (a) + k = 0, de onde ent~o k = ¡F (a).
                                                                     a
     Assim sendo,                Z    x
                                          f (t) dt = '(x) = F (x) ¡ F (a)
                                  a
Quando x = b, temos                       Z    b
                                                   f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
                                           a



     E costume denotar [F (x)]b = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
     ¶
              R               a         a   Rb
Ou seja, sendo f (x) dx = F (x) + C, temos a f (x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
                                                              a


Exemplo 17.2 Calcular a ¶rea compreendida entre a curva y = sen x e o eixo x, para
                        a
0 · x · ¼.

Solu»~o.
     ca
Como sen x ¸ 0 quando 0 · x · ¼,                                y
                                                                                                     y = sen x
temos que a ¶rea procurada ¶ dada pela
            a
            R¼             e
integral A = 0 sen x dx.
        R
Temos sen x dx = ¡ cos x + C.

                                                                                2 unidades de área

                                                            0                                              π     x

                    R¼
      Logo, A =         0
                            sen x dx = [¡ cos x]¼ = (¡ cos ¼)¡(¡ cos 0) = 1+1 = 2 (unidades
                                                0
de ¶rea).
   a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                 156


17.2.1     Integra»~o de¯nida, com mudan»a de vari¶vel
                  ca                    c         a

Veremos agora que, quando fazemos mudan»a de vari¶vel (integra»~o por substitui»~o),
                                           c         a            ca                ca
no caso de uma integral de¯nida, podemos ¯nalizar os c¶lculos com a nova vari¶vel
                                                           a                         a
introduzida, sem necessidade de retornar µ vari¶vel original. Para tal, ao realizarmos a
                                         a     a
mudan»a de vari¶vel, trocamos adequadamente os limites de integra»~o.
       c        a                                                    ca
       Suponhamos que y = f (x) de¯ne uma fun»~o cont¶
                                              ca      ³nua em um intervalo I, com
a; b 2 I, e que x = '(t) ¶ uma fun»~o de t deriv¶vel em um certo intervalo J ½ R,
                         e        ca            a
satisfazendo

  1. f ('(t)) 2 I quando t 2 J.

  2. '(®) = a, '(¯) = b, para certos ®; ¯ 2 J;

  3. '0 (t) ¶ cont¶
            e     ³nua em J;
                                                            R
     Sendo F (x) uma primitiva de f (x) em I, temos             f(x) dx = F (x) + C, e como
vimos, tomando x = '(t), teremos dx = '0 (t) dt, e
     R
        f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C.
     Ent~o, Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
        a                                a


             Z    b
                      f(x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a) = F ('(¯)) ¡ F ('(®))
                                      a
              a
                                             Z ¯
                                         ¯
                              = F ('(t))j® =     f ('(t)) ¢ '0 (t) dt
                                               ®

                              R1     p
Exemplo 17.3 Calcular          ¡1
                                    x 1 + x2 dx.

                                            R p              p
     Fazendo u = 1 + x2 , calculamos         x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 + C.
                                                           3

     Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
                                  a
     R1 p                 p      ¯1     p           p
      ¡1
         x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 ¯¡1 = 38 ¡
                        3                           3
                                                     8
                                                         = 0.
    Por outro lado, poder¶ ³amos ter trocado os limites de integra»~o, ao realizar a
                                                                  ca
mudan»a de vari¶vel. O resultado seria:
     c         a
     para x = ¡1, u = 2; e para x = 1, u = 2 (!). Ent~o
                                                     a
     R1 p              R2p
      ¡1
         x 1 + x2 dx = 2 u ¢ 1 du = 0.
                                2


Exemplo 17.4 Calcular a ¶rea delimitada pela circunfer^ncia de equa»~o x2 + y 2 = a2 .
                        a                             e            ca
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                             157


    calcular a ¶rea A desse c¶
Parap          a             ³rculo, basta calcular a ¶rea sob o semi-c¶
                                                      a                ³rculo
y = a2 ¡ x2 , acima do eixo x, entre os pontos x = ¡a e x = a, ou seja, calcular
                                      Z ap
                               A=2 =         a2 ¡ x2 dx
                                                 ¡a


     Faremos a substitui»~o x = a sen t, ¡¼=2 · t · ¼=2.
                        ca
     Para t = ¡¼=2, x = ¡a; para t = ¼=2, x = a.
    Teremos ent~o dx = a cos t dt, a2 ¡ x2 = a2 cos2 t e, como cos t ¸ 0 no intervalo
            p a
[¡¼=2; ¼=2], a2 ¡ x2 = a cos t.
           Ra p              R ¼=2
    Logo, ¡a a2 ¡ x2 dx = ¡¼=2 a2 cos2 t dt.
      Temos cos2 t + sen2 t = 1 e cos2 t ¡ sen2 t = cos 2t, logo
cos2 t = 1 (1 + cos 2t).
         2

     Assim,
      Z ap                Z     ¼=2
            a 2 ¡ x2 dx =                 a2 cos2 t dt
         ¡a                  ¡¼=2
                                Z
                           a2         ¼=2
                         =                   (1 + cos 2t) dt
                           2      ¡¼=2
                              ·           ¸¼=2
                           a2      1
                         =     t + sen 2t
                           2       2       ¡¼=2
                            2
                              ·           ¸       ·           ¸
                           a ¼ 1               a2   ¼ 1          ¼a2
                         =        + sen ¼ ¡        ¡ + sen(¡¼) =
                           2 2 2                2   2 2           2
             a        ³rculo ¶ A = ¼a2 .
E portanto a ¶rea do c¶      e


17.2.2        Integra»~o de¯nida, por partes
                     ca

Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o fun»~es deriv¶veis no intervalo [a; b], com as
                                           a    co  a
derivadas u0 (x) e v 0 (x) cont¶
                               ³nuas em [a; b].
     Temos (u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = uv 0 + vu0 , e ent~o
                                                          a
     Rb                  Rb                   Rb
      a
        [u(x)v(x)]0 dx = a u(x)v0 (x) dx + a v(x)u0 (x) dx.
                                              Rb
     Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a [u(x)v(x)]0 dx = u(x)v(x)jb . Portanto
                                      a                               a
     Rb                                 Rb
      a
         u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x)jb ¡ a v(x)u0 (x) dx.
                                   a

     Em nota»~o abreviada,
            ca
                              Z       b                       Z   b
                                          u dv =   uvjb
                                                      a   ¡           v du
                                  a                           a
¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo                                    158


17.3            Problemas
Calcule as integrais de¯nidas listadas abaixo.

        R1   dx
   1.    ¡1 1+x2
                 .     Resposta. ¼=2.
        R p2=2
   2.               p dx .     Resposta. ¼=4.
         0           1¡x2
        R ¼=3
   3.    0
                tg x dx. Resposta. ln 2.
        Rx
   4.    1
             dt
              t
                .   Resposta. ln x.
        Rx
   5.    0
             sen t dt. Resposta. 1 ¡ cos x.
        R ¼=2
   6.    0
                sen x cos2 x dx. Resposta. 1=3.
        R ¼=2                                                               1¡tg2   x
   7.  0
                   Resposta. 2p5 . Sugest~o. Use a identidade cos x =
                   dx
                 3+2 cos x
                           .   ¼
                                         a                                  1+tg2
                                                                                    2
                                                                                    x   , fa»a
                                                                                            c
                                                                                    2
      u=        tg 2 , e 2
                   = arc tg u.
                   x       x

      R4                   p
   8. 1 px dx . Resposta. 3 2=2.
         2+4x
        R1
   9.         dx
         ¡1 (1+x2 )2
                     .    Resposta.    ¼
                                       4
                                           + 1 . Sugest~o. Fa»a x = tg u.
                                             2
                                                       a     c
        R5 p
 10.     1
            x¡1
             x
                     dx. Resposta. 4 ¡ 2 arc tg 2.
        R ¼=2       cos x dx
 11.     0
                           Resposta. ln 4 .
                6¡5 sen x+sen2 x
                                 .      3
                          Rtp
 12. Calcule a integral 0 a2 ¡ x2 dx (0 · t · a), sem usar antiderivadas, interpre-
                                                       p
     tando-a como ¶rea sob a curva (semi-c¶
                    a                       ³rculo) y = a2 ¡ x2 , e acima do eixo x,
     no intervalo [0; t] (¯gura 17.7).

                                                       y



                                                           a

                                                                      x
                                                       0       t


                                                 Figura 17.7.
                    p           2
        Resposta. 2 a2 ¡ t2 + a2 arc sen a . Sugest~o. Subdivida a ¶rea a ser calculada
                  t                      t
                                                   a               a
        em duas regi~es, como sugere a ¯gura.
                    o

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  • 1. Aula 17 Integrais de¯nidas e o Teorema Fundamental do C¶lculo a 17.1 A integral de¯nida Seja y = f (x) uma fun»~o cont¶ ca ³nua em um intervalo fechado [a; b]. Subdividamos o intervalo [a; b] atrav¶s de n + 1 pontos x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn , e tais que a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b O conjunto de pontos } = fx0 = a; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bg constitui uma subdivis~o a ou parti»~o do intervalo [a; b]. ca Tomemos ainda pontos c1 ; c2 ; c3 ; : : : ; cn¡1 ; cn em [a; b], tais que c1 2 [x0 ; x1 ] = [a; x1 ]; c2 2 [x1 ; x2 ]; . . . ci 2 [xi¡1 ; xi ]; . . . cn 2 [xn¡1 ; xn ]: Sejam ¢x1 = x1 ¡ x0 ¢x2 = x2 ¡ x1 . . . ¢xi = xi ¡ xi¡1 . . . ¢xn = xn ¡ xn¡1 146
  • 2. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 147 E formemos a soma P n S = f (c1 )¢x1 + f(c2 )¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f (cn )¢xn = f(ci )¢xi . i=1 Esta ¶ uma soma integral de f , no intervalo [a; b], correspondente µ parti»~o }, e e a ca µ escolha de pontos intermedi¶rios c1 ; : : : ; cn . a a Pn Note que, quando f (x) > 0 em [a; b], a soma integral de f , S = f (ci )¢xi , ¶ e i=1 a soma das ¶reas de n ret^ngulos, sendo o i-¶simo ret^ngulo, para 1 · i · n, de base a a e a ¢xi e altura f(ci ). Isto ¶ ilustrado na ¯gura 17.1. e y y = f(x) f(cn) ..... f(c3 ) f(c2 ) f(c1 ) x a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3 xn-1 c n xn = b ∆ x1 ∆ x2 ∆ x3 ∆ xn Figura 17.1. Seja ¢ o maior dos n¶meros ¢x1 , ¢x2 , : : : , ¢xn . Escrevemos u ¢ = maxf¢x1 ; ¢x2 ; : : : ; ¢xn g = max ¢xi Tal ¢ ¶ tamb¶m chamado de norma da parti»~o }. e e ca ¶ E poss¶ demonstrar que, quando consideramos uma sucess~o de subdivis~es ³vel a o a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, do intervalo [a; b], fazendo com que ¢ = max ¢xi torne- se mais e mais pr¶ximo de zero (e o n¶mero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez o u maior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~es, v~o tornando-se cada o a vez mais pr¶ximas deRum n¶mero R °, chamado integral de¯nida de f , no intervalo o u real b b [a; b] e denotado por a f , ou por a f (x) dx. Em outras palavras, quando formamos uma seqÄ^ncia de parti»~es }1 , }2 , : : : , ue co }k , : : : , do intervalo [a; b], de normas respetivamente iguais a ¢1 , ¢2 , : : : , ¢k , : : : , associando a cada parti»~o um conjunto de pontos intermedi¶rios (os ci 's), e forman- ca a
  • 3. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 148 do ent~o uma seqÄ^ncia de somas integrais S1 ; S2 ; : : : ; Sk ; : : : , sendo lim ¢k = 0, a ue Rb k!+1 teremos lim Sk = ° = a f, para algum n¶mero real °. u k!+1 De modo mais simpli¯cado, a integral de¯nida de f, de a at¶ b (ou no intervalo [a; b]) e ¶ o n¶mero real e u Z b X n °= f (x) dx = lim S = lim f (ci )¢xi a ¢!0 max ¢xi !0 i=1 Observa»~o 17.1 Se f(x) > 0 no intervalo [a; b], quando max ¢xi ! 0, o n¶mero k, ca u de sub-intervalos tende a 1. Os ret^ngulos ilustrados na ¯gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e nu- a merosos µ medida em que max ¢xi torna-se mais e mais pr¶ximo de 0. a o Pn Neste caso, lim i=1 f (ci )¢xi de¯nir¶ a ¶rea compreendida entre a curva a a max ¢xi !0 y = f (x), o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b. Sumarizando, Se f (x) > 0 em [a; b], temos Z b f(x) dx = (¶rea sob o gr¶¯co de f , de x = a at¶ x = b) a a e a Rb Observa»~o 17.2 Por outro lado, se f (x) < 0 para todo x 2 [a; b], teremos a f(x) dx ca = ¡A, sendo A a ¶rea (positiva) da regi~o plana compreendida entre o eixo x, o gr¶¯co a a a de f , e as retas x = a e x = b. Note que, neste caso, feita uma subdivis~o a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, e a escolhidos os pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, teremos X n f (ci )¢xi < 0 i=1 pois f (ci ) < 0 para cada i, e ¢xi > 0 para cada i. Observa»~o 17.3 Se o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b], ¶ como o gr¶¯co esbo»ado ca a e a c na ¯gura 17.2, ent~o, sendo A1 , A2 , A3 e A4 as ¶reas (positivas) indicadas na ¯gura, a a teremos Z b f (x) dx = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 a Observa»~o 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ cont¶ ca e ³nua em [a; b], o limite Pn Rb lim i=1 f(ci )¢xi = a f n~o depende das sucessivas subdivis~es a = x0 < x1 < a o max ¢xi !0 ¢ ¢ ¢ < xn = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ] para cada i.
  • 4. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 149 y y = f(x) A1 A3 b x a A2 A4 Rb Figura 17.2. a f = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 . Observa»~o 17.5 Se, para uma P c~o g, de¯nida em [a; b], n~o necessariamente ca fun»a a cont¶ ³nua, existir o limite lim i=1 g(ci )¢xi (xi 's e ci 's tal como antes), dizemos n max ¢xi !0 que g ¶ integr¶vel em [a; b], e de¯nimos, tal como antes, e a Z b X n g(x) dx = lim g(ci )¢xi a max ¢xi !0 i=1 R1 Exemplo 17.1 Sendo f(x) = x2 , calcular 0 f (x) dx, ou seja, determinar a ¶rea com- a preendida entre a par¶bola y = x2 e o eixo x, no intervalo 0 · x · 1. a Para calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0; 1] em n sub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x = 1=n, ou seja, tomaremos x0 = 0, x1 = 1=n, x2 = 2=n, : : : , xn¡1 = (n ¡ 1)=n e xn = n=n = 1. Neste caso, ¢x1 = ¢x2 = ¢ ¢ ¢ = ¢xn = 1=n. Tomaremos ainda ci = xi = i=n, para i = 1; 2; : : : ; n. Teremos a soma integral X n X n 1 S= f (ci )¢xi = f (i=n) ¢ i=1 i=1 n X µ i ¶2 1 X i 2 n n = ¢ = i=1 n n i=1 n3 1 X 2 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 n = 3 i = n i=1 n3 Pode ser demonstrado que 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), fato que usaremos 6 aqui. Assim, como ¢x ! 0 se e somente se n ! 1, temos
  • 5. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 150 Z 1 Z 1 X n f (x) dx = x2 dx = lim f (ci )¢xi 0 0 max ¢xi !0 i=1 2 2 2 1 + 2 + ¢¢¢n = lim n3 n!1 n(n + 1)(2n + 1) 2 1 = lim = = n!1 6n 3 6 3 A ¶rea procurada ¶ igual a 1=3 (de unidade de ¶rea). a e a Proposi»~o 17.1 Se f ¶ cont¶ ca e ³nua no intervalo [a; b], sendo m e M os valores m¶ximo a ³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a; b], ent~o e m¶ a Z b m(b ¡ a) · f(x) dx · M (b ¡ a) a y M A" B" m A' B' A B a b x Rb Figura 17.3. m(b ¡ a) · a f · M (b ¡ a). Abaixo, faremos uma demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Antes por¶m, daremos ca ca e uma interpreta»~o geom¶trica dessa proposi»~o, no caso em que f > 0 em [a; b]. Da ca e ca a ³nimo e m¶ximo de f (x) ¯gura 17.3, em que m e M s~o, respectivamente, os valores m¶ a para x 2 [a; b], temos ¶rea ABB 0 A0 · (¶rea sob o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b]) · ¶rea ABB 00 A00 . a a a a Da¶ ³, Z b m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a) a Demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Tomando-se uma subdivis~o qualquer de [a; b], ca ca a a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b e tomando-se pontos ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, temos X n Xn f(ci )¢xi · M¢xi i=1 i=1
  • 6. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 151 pois f (ci ) · M , e ¢xi > 0, para cada i. Da¶ ³, X n X n X n f(ci )¢xi · M¢xi = M ¢xi = M (b ¡ a) i=1 i=1 i=1 pois X n ¢xi = ¢x1 + ¢x2 + ¢ ¢ ¢ + ¢xn = b ¡ a i=1 Logo, X n lim f (ci )¢xi · M (b ¡ a) max ¢xi !0 i=1 e portanto Z b f(x) dx · M (b ¡ a) a Rb Analogamente, deduzimos que a f (x) dx ¸ m(b ¡ a). Assumiremos sem demonstra»~o as seguintes propriedades. ca Proposi»~o 17.2 Se f e g s~o cont¶ ca a ³nuas em [a; b], ent~o, sendo k uma constante e a a < c < b, Rb Rb Rb 1. a (f (x) + g(x)) dx = a f (x) dx + a g(x) dx Rb Rb 2. a k ¢ f(x) dx = k ¢ a f (x) dx Rc Rb Rb 3. a f (x) dx + c f (x) dx = a f(x) dx Rb Rb 4. se f (x) · g(x), para todo x 2 [a; b], ent~o a f (x) dx · a g(x) dx a Observa»~o 17.6 Sendo f cont¶ ca ³nua em [a; b], s~o adotadas as seguintes conven»~es a co (de¯ni»~es). co Ra (i) a f (x) dx = 0 Ra Rb (ii) b f (x) dx = ¡ a f (x) dx Adotadas essas conven»~es, a proposi»~o 17.2, acima enunciada, continua ver- co ca dadeira qualquer que seja a ordem dos limites de integra»~o a, b e c, podendo ainda dois ca deles (ou os tr^s) coincidirem. e Teorema 17.1 (Teorema do valor m¶dio para integrais) Se f ¶ cont¶ e e ³nua no in- tervalo [a; b], existe c 2 [a; b] tal que Z b f (x) dx = f (c) ¢ (b ¡ a) a
  • 7. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 152 Adiante faremos a demonstra»~o deste teorema. Uma interpreta»~o geom¶trica ca ca e do teorema do valor m¶dio para integrais, no caso em que f (x) > 0 em [a; b], ¶ feita na e e ¯gura 17.4. y A' B' f(c) A B a c b x Rb Figura 17.4. Teorema do valor m¶dio para integrais: e a f = (¶rea sob o gr¶¯co de f) a a 0 0 = (¶rea ABB A ) = f (c)(b ¡ a). a Para demonstrarmos o teorema do valor m¶dio para integrais, usaremos o Teorema e do valor intermedi¶rio. a y f(b) y 0 f(a) a x b x 0 Figura 17.5. Para cada y0 , tal que f (a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = y0 . Teorema 17.2 (Teorema do valor intermedi¶rio) Seja f uma fun»~o cont¶ a ca ³nua no intervalo [a; b]. Para cada y0 , tal que f(a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = y0 . Ilustramos geometricamente o teorema do valor intermedi¶rio na ¯gura 17.5. a Como conseqÄ^ncia do teorema do valor intermedi¶rio, temos o teorema do anu- ue a lamento, j¶ explorado na aula 7, µ p¶gina 66: a a a
  • 8. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 153 (Teorema do anulamento) Sendo a < b, e f cont¶ ³nua em [a; b], se f(a) < 0 e f (b) > 0 (ou se f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~o a fun»~o f possui uma raiz no intervalo a ca [a; b]. Demonstra»~o. Como f(a) < 0 < f(b), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe ca a x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = 0. Demonstra»~o do teorema 17.1. Sendo f cont¶ ca ³nua no intervalo [a; b], pelo teorema de Weierstrass, p¶gina 69, aula 8, existem m; M 2 R tais que m = minff(x) j x 2 [a; b]g a e M = maxff (x) j x 2 [a; b]g. Al¶m disso, existem pontos x1 ; x2 2 [a; b] tais que e f (x1 ) = m e f(x2 ) = M . Pela proposi»~o 17.1, ca Z b m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a) a Da¶ ³, Z 1 b m· f (x) dx · M b¡a a 1 Rb Sendo ® = b¡a a f(x) dx, como f(x1 ) = m · ® · M = f (x2 ), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe c 2 [a; b] (c entre x1 e x2 ) tal que f(c) = ®. Logo, a Z b 1 f(c) = f (x) dx b¡a a e portanto Z b f(x) dx = f(c)(b ¡ a) a 17.2 O teorema fundamental do c¶lculo a Teorema 17.3 (Teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o) Seja a a f ³nua no intervalo [a; b]. Para cada x 2 [a; b], seja uma fun»~o cont¶ ca Z x '(x) = f(t) dt a Ent~o a '0 (x) = f (x); 8x 2 [a; b] Uma das conseqÄ^ncias imediatas do teorema fundamental do c¶lculo ¶ que ue a e Toda fun»~o cont¶ ca ³nua f, em um intervalo [a; b], possuiRuma primitiva (ou anti-derivada) x em [a; b], sendo ela a fun»~o ', de¯nida por '(x) = a f(t) dt, para cada x 2 [a; b]. ca
  • 9. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 154 Demonstra»~o do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o. ca a a Para x em [a; b], e ¢x 60, com x + ¢x em [a; b], temos = Z x+¢x Z x ¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f(t) dt ¡ f (t) dt a a Z x+¢x Z a Z x+¢x = f (t) dt + f(t) dt = f(t) dt a x x (Veja ¯guras 17.6a e 17.6b.) (a) (b) y y y = f(x) y = f(x) ϕ (x) ∆ϕ a x b x a x x +∆x b x Figura 17.6. (a) Interpreta»~o geom¶trica de '(x), x 2 [a; b]. (b) Interpreta»~o ge- ca e ca om¶trica de ¢', para ¢x > 0. e Pelo teorema do valor m¶dio para integrais, existe w entre x e x + ¢x tal que e Z x+¢x f (t) dt = f (w) ¢ [(x + ¢x) ¡ x] x Assim sendo, ¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f (w)¢x o que implica ¢' = f (w); para algum w entre x e x + ¢x ¢x Temos w ! x quando ¢x ! 0. Como f ¶ cont¶ e ³nua, ¢' '0 (x) = lim = lim f (w) = lim f (w) = f(x) ¢x!0 ¢x ¢x!0 w!x Como conseqÄ^ncia do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos a ue a a sua segunda vers~o, tamb¶m chamada f¶rmula de Newton-Leibniz. Ele estabelece uma a e o conex~o surpreendente entre as integrais inde¯nidas e as integrais de¯nidas. a
  • 10. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 155 Teorema 17.4 (Teorema fundamental do c¶lculo, segunda vers~o) Sendo f a a ³nua no intervalo [a; b], uma fun»~o cont¶ ca Z Z b se f(x) dx = F (x) + C ent~o a f (x) dx = F (b) ¡ F (a) a Demonstra»R o. Pelo teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos que c~ a a a x a fun»~o '(x) = a f (t) dt, a · x · b, ¶ uma primitiva de f (x) no intervalo [a; b], ou ca e seja, '0 (x) = f(x). R Se f(x) dx = F (x) + C, temos tamb¶m F 0 (x) = f(x). Logo, pela proposi»~o e ca 15.1 existe uma constante k tal que '(x) = F (x) + k; para todo x em [a; b] Ra Agora, '(a) = a f(t) dt = 0. Logo, F (a) + k = 0, de onde ent~o k = ¡F (a). a Assim sendo, Z x f (t) dt = '(x) = F (x) ¡ F (a) a Quando x = b, temos Z b f (x) dx = F (b) ¡ F (a) a E costume denotar [F (x)]b = F (x)jb = F (b) ¡ F (a). ¶ R a a Rb Ou seja, sendo f (x) dx = F (x) + C, temos a f (x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a). a Exemplo 17.2 Calcular a ¶rea compreendida entre a curva y = sen x e o eixo x, para a 0 · x · ¼. Solu»~o. ca Como sen x ¸ 0 quando 0 · x · ¼, y y = sen x temos que a ¶rea procurada ¶ dada pela a R¼ e integral A = 0 sen x dx. R Temos sen x dx = ¡ cos x + C. 2 unidades de área 0 π x R¼ Logo, A = 0 sen x dx = [¡ cos x]¼ = (¡ cos ¼)¡(¡ cos 0) = 1+1 = 2 (unidades 0 de ¶rea). a
  • 11. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 156 17.2.1 Integra»~o de¯nida, com mudan»a de vari¶vel ca c a Veremos agora que, quando fazemos mudan»a de vari¶vel (integra»~o por substitui»~o), c a ca ca no caso de uma integral de¯nida, podemos ¯nalizar os c¶lculos com a nova vari¶vel a a introduzida, sem necessidade de retornar µ vari¶vel original. Para tal, ao realizarmos a a a mudan»a de vari¶vel, trocamos adequadamente os limites de integra»~o. c a ca Suponhamos que y = f (x) de¯ne uma fun»~o cont¶ ca ³nua em um intervalo I, com a; b 2 I, e que x = '(t) ¶ uma fun»~o de t deriv¶vel em um certo intervalo J ½ R, e ca a satisfazendo 1. f ('(t)) 2 I quando t 2 J. 2. '(®) = a, '(¯) = b, para certos ®; ¯ 2 J; 3. '0 (t) ¶ cont¶ e ³nua em J; R Sendo F (x) uma primitiva de f (x) em I, temos f(x) dx = F (x) + C, e como vimos, tomando x = '(t), teremos dx = '0 (t) dt, e R f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C. Ent~o, Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a a Z b f(x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a) = F ('(¯)) ¡ F ('(®)) a a Z ¯ ¯ = F ('(t))j® = f ('(t)) ¢ '0 (t) dt ® R1 p Exemplo 17.3 Calcular ¡1 x 1 + x2 dx. R p p Fazendo u = 1 + x2 , calculamos x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 + C. 3 Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a R1 p p ¯1 p p ¡1 x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 ¯¡1 = 38 ¡ 3 3 8 = 0. Por outro lado, poder¶ ³amos ter trocado os limites de integra»~o, ao realizar a ca mudan»a de vari¶vel. O resultado seria: c a para x = ¡1, u = 2; e para x = 1, u = 2 (!). Ent~o a R1 p R2p ¡1 x 1 + x2 dx = 2 u ¢ 1 du = 0. 2 Exemplo 17.4 Calcular a ¶rea delimitada pela circunfer^ncia de equa»~o x2 + y 2 = a2 . a e ca
  • 12. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 157 calcular a ¶rea A desse c¶ Parap a ³rculo, basta calcular a ¶rea sob o semi-c¶ a ³rculo y = a2 ¡ x2 , acima do eixo x, entre os pontos x = ¡a e x = a, ou seja, calcular Z ap A=2 = a2 ¡ x2 dx ¡a Faremos a substitui»~o x = a sen t, ¡¼=2 · t · ¼=2. ca Para t = ¡¼=2, x = ¡a; para t = ¼=2, x = a. Teremos ent~o dx = a cos t dt, a2 ¡ x2 = a2 cos2 t e, como cos t ¸ 0 no intervalo p a [¡¼=2; ¼=2], a2 ¡ x2 = a cos t. Ra p R ¼=2 Logo, ¡a a2 ¡ x2 dx = ¡¼=2 a2 cos2 t dt. Temos cos2 t + sen2 t = 1 e cos2 t ¡ sen2 t = cos 2t, logo cos2 t = 1 (1 + cos 2t). 2 Assim, Z ap Z ¼=2 a 2 ¡ x2 dx = a2 cos2 t dt ¡a ¡¼=2 Z a2 ¼=2 = (1 + cos 2t) dt 2 ¡¼=2 · ¸¼=2 a2 1 = t + sen 2t 2 2 ¡¼=2 2 · ¸ · ¸ a ¼ 1 a2 ¼ 1 ¼a2 = + sen ¼ ¡ ¡ + sen(¡¼) = 2 2 2 2 2 2 2 a ³rculo ¶ A = ¼a2 . E portanto a ¶rea do c¶ e 17.2.2 Integra»~o de¯nida, por partes ca Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o fun»~es deriv¶veis no intervalo [a; b], com as a co a derivadas u0 (x) e v 0 (x) cont¶ ³nuas em [a; b]. Temos (u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = uv 0 + vu0 , e ent~o a Rb Rb Rb a [u(x)v(x)]0 dx = a u(x)v0 (x) dx + a v(x)u0 (x) dx. Rb Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a [u(x)v(x)]0 dx = u(x)v(x)jb . Portanto a a Rb Rb a u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x)jb ¡ a v(x)u0 (x) dx. a Em nota»~o abreviada, ca Z b Z b u dv = uvjb a ¡ v du a a
  • 13. ¶ Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 158 17.3 Problemas Calcule as integrais de¯nidas listadas abaixo. R1 dx 1. ¡1 1+x2 . Resposta. ¼=2. R p2=2 2. p dx . Resposta. ¼=4. 0 1¡x2 R ¼=3 3. 0 tg x dx. Resposta. ln 2. Rx 4. 1 dt t . Resposta. ln x. Rx 5. 0 sen t dt. Resposta. 1 ¡ cos x. R ¼=2 6. 0 sen x cos2 x dx. Resposta. 1=3. R ¼=2 1¡tg2 x 7. 0 Resposta. 2p5 . Sugest~o. Use a identidade cos x = dx 3+2 cos x . ¼ a 1+tg2 2 x , fa»a c 2 u= tg 2 , e 2 = arc tg u. x x R4 p 8. 1 px dx . Resposta. 3 2=2. 2+4x R1 9. dx ¡1 (1+x2 )2 . Resposta. ¼ 4 + 1 . Sugest~o. Fa»a x = tg u. 2 a c R5 p 10. 1 x¡1 x dx. Resposta. 4 ¡ 2 arc tg 2. R ¼=2 cos x dx 11. 0 Resposta. ln 4 . 6¡5 sen x+sen2 x . 3 Rtp 12. Calcule a integral 0 a2 ¡ x2 dx (0 · t · a), sem usar antiderivadas, interpre- p tando-a como ¶rea sob a curva (semi-c¶ a ³rculo) y = a2 ¡ x2 , e acima do eixo x, no intervalo [0; t] (¯gura 17.7). y a x 0 t Figura 17.7. p 2 Resposta. 2 a2 ¡ t2 + a2 arc sen a . Sugest~o. Subdivida a ¶rea a ser calculada t t a a em duas regi~es, como sugere a ¯gura. o