O documento apresenta os conceitos de sequência, progressão aritmética e suas fórmulas. Explica que uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo após o primeiro tem um valor constante adicionado. Fornece exemplos e as fórmulas para calcular termos individuais e a soma total de uma progressão aritmética finita.

1. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA
PROFESSORA: Heloisa Elaine

2. 1.Sequências1.Sequências
É toda sentença matemática que expressaÉ toda sentença matemática que expressa
valor de avalor de ann em relação a n.em relação a n.

3. Exemplos:Exemplos:
• Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ...,Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ...,
dezembro)dezembro)
• As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)
•Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...)Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...)
•As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z)As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z)
•Os dias da semana: (domingo, segunda...,Os dias da semana: (domingo, segunda...,
sábado)sábado)
•As quatro estações do ano: (primavera,As quatro estações do ano: (primavera,
verão, outono, inverno)verão, outono, inverno)

4. Lei de formação
É toda sentença matemática que expressa
valor de an em relação a n.
•
Representação usual :
• Seqüência finita:( a1, a 2,...,a n) .
Primeiro termo
Segundo termo
Último termo
• Seqüência infinita: (a1, a 2,...,a
n,...)

5. Exemplo:
Expresse os 3 primeiros termos da
sequência an= 4n+1
n = 1  a1= 4.1 +1 = 4 + 1 = 5
n= 2  a2 = 4.2 + 1 = 8 + 1 = 9
n= 3  a3 = 4.3 + 1 = 12 + 1 = 13
A sequência é ( 5,9,13,17)
n = 4  a4 = 4.4 + 1 = 16 + 1=17

6. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
PROGRESSÃO
É uma seqüência lógica de informações que
possuem um critério específico e uma ordem
estabelecida para o surgimento de seus
valores. Uma progressão pode ser
crescente ou decrescente
ARITMÉTICA
Indica uma relação numérica que será
orientada sobre forma de soma. A aritmética
consiste em realizar operações utilizando o
sistema de contagem na forma de adição.

7. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA
É uma seqüência numérica orientada sobre
forma de soma onde, cada termo a partir do
segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua
seqüência, sendo este valor o mesmo para todos
os elementos e chamado de razão.

8. Observe o exemplo:Observe o exemplo:
{ }24,21,18,15,12,9,6,3
Iremos chamar o primeiro elemento desta seqüência de a1
Iremos chamar de an o último termo de uma seqüência numérica
A quantidade de números que compõe uma seqüência numérica será representada
pela letra n
A ordem de crescimento entre os elementos, a partir do segundo termo, sempre será
a mesma e por isto é denominada de razão sendo representada pela letra r
Então, neste caso,
a1 é 3
Neste caso,
an é 24
Podemos observar
que a seqüência
acima possui 8
números,
ou seja, n = 8
Observe que a cada
novo número nesta
seqüência sempre
é somado o valor 3
o que nos mostra
que a nossa razão
(ordem de
crescimento)será o
número 3

9. Fórmula do termo geral de uma P.A.Fórmula do termo geral de uma P.A.
( ) rnaan ⋅−+= 11
Último termo de uma P.A. ou termo procurado
Primeiro termo da P.A.
Número de elementos da P.A.
Razão da P.A.

10. ExemploExemplo11::
( ) rnaan ⋅−+= 11
Determine o 35º elemento de uma P.A. que possui 70 números
onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8
O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir
destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula
do termo geral de uma P.A.
O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir
destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula
do termo geral de uma P.A.
DADOS:
a1= 7
n = 51
r = 4
an = ?
Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,
ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 35º elemento.
Agora basta substituir os valores
fornecidos na questão. Lembre-se
que a resolução desta fórmula
segue os princípios de resolução
de uma equação de 1º grau.
( )
207
2007
4507
41517
=
+=
⋅+=
⋅−+=
n
n
n
n
a
a
a
a

11. ExemploExemplo22::
( ) rnaan ⋅−+= 11
Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 números
onde o último termo é 570 e a razão é 4
Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para
substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.
Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para
substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.
DADOS:
an= 570
n = 120
r = 4
a1 = ?
Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar,
ou seja, o primeiro termo desta P.A.
( )
476570
4119570
41120570
1
1
1
+=
⋅+=
⋅−+=
a
a
a
Neste momento iremos lembrar
do princípio de resolução de
uma equação onde a letra deve
ficar isolada em um dos lados
da equação. Neste caso, o
número +476 irá para o 1º
membro (antes do sinal de igual) mas,
para tanto, é necessário mudar o
sinal de positivo para negativo.
570 – 476 =a1
94 = a1

12. IMPORTANTE:IMPORTANTE:
Existem algumas questões que procuram
identificar a soma de todos os termos de
uma P.A. Neste tipo de questão, iremos
levar em conta que esta P.A. representa
um conjunto finito de elementos, ou seja,
podemos definir o primeiro e o último
termo desta seqüência.

13. Fórmula da soma dos termos de uma P.A.Fórmula da soma dos termos de uma P.A.
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
Soma de todos os elementos de uma P.A. finita
Primeiro termo da P.A.
Último termo da uma P.A.
Número de elementos
Da P.A.

14. ExemploExemplo33::
Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. onde
o primeiro elemento é 8 e o último 102
Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.
Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,
logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma
P.A. finita
Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.
Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,
logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma
P.A. finita
DADOS:
a1= 8
an = 102
n = 50
Sn = ?
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
( )
2750
2
5500
2
50110
2
501028
=
=
⋅
=
⋅+
=
n
n
n
n
S
S
S
S
Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,
ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.

15. ExemploExemplo44::
( ) rnaan ⋅−+= 11
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
( )
116
1115
3375
31385
=
+=
⋅+=
⋅−+=
n
n
n
n
a
a
a
a
Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. onde
a razão é 3 e o primeiro elemento 5.
Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer
saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do
nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último
termo desta P.A.?
Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer
saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do
nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último
termo desta P.A.?
DADOS:
a1= 5
n = 38
r = 3
an = ?
Sn = ?
Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar ao
resultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral de
uma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremos
a fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita.
( )
2299
2
4598
2
38121
2
381165
=
=
⋅
=
⋅+
=
n
n
n
n
S
S
S
S
O valor de an será substituído
na fórmula da soma.