O documento apresenta os conceitos de sequência, progressão aritmética e suas fórmulas. Explica que uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo após o primeiro tem um valor constante adicionado. Fornece exemplos e as fórmulas para calcular termos individuais e a soma total de uma progressão aritmética finita.
O documento explica o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é obtido pela soma de um valor constante ao termo anterior. A fórmula para calcular qualquer termo é apresentada como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. A fórmula para calcular a soma dos termos é dada por Sn = (a1 + an)n/2. Exemplos ilustram o uso das fórmulas.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior mais uma constante chamada de razão. Explica como determinar os termos de uma progressão aritmética usando a fórmula geral ou a lei de recorrência e fornece exemplos de exercícios resolvidos.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
1. O documento descreve os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos desenvolvida por Georg Cantor, incluindo conjuntos, elementos, relações de pertinência e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
2. A teoria de conjuntos é apresentada por meio de suas noções primitivas, formas de representação de conjuntos e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
3. Exemplos ilustram os principais conceitos como subconjuntos, conjunto das partes, cardinalidade e resolução de problemas envolvendo
Um conjunto é uma coleção de elementos onde a ordem e quantidade dos elementos não importa. Conjuntos podem ser representados por listas de elementos ou graficamente. Exemplos de conjuntos importantes incluem os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Este documento resume conceitos básicos sobre equações do 1o grau, incluindo: (1) expressões algébricas e literais, (2) conjunto universo e conjunto solução de uma equação, e (3) verificação se um número é raiz de uma equação. O documento também discute equações equivalentes e os princípios de equivalência.
O documento explica o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é obtido pela soma de um valor constante ao termo anterior. A fórmula para calcular qualquer termo é apresentada como an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão. A fórmula para calcular a soma dos termos é dada por Sn = (a1 + an)n/2. Exemplos ilustram o uso das fórmulas.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior mais uma constante chamada de razão. Explica como determinar os termos de uma progressão aritmética usando a fórmula geral ou a lei de recorrência e fornece exemplos de exercícios resolvidos.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
1. O documento descreve os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos desenvolvida por Georg Cantor, incluindo conjuntos, elementos, relações de pertinência e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
2. A teoria de conjuntos é apresentada por meio de suas noções primitivas, formas de representação de conjuntos e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
3. Exemplos ilustram os principais conceitos como subconjuntos, conjunto das partes, cardinalidade e resolução de problemas envolvendo
Um conjunto é uma coleção de elementos onde a ordem e quantidade dos elementos não importa. Conjuntos podem ser representados por listas de elementos ou graficamente. Exemplos de conjuntos importantes incluem os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Este documento resume conceitos básicos sobre equações do 1o grau, incluindo: (1) expressões algébricas e literais, (2) conjunto universo e conjunto solução de uma equação, e (3) verificação se um número é raiz de uma equação. O documento também discute equações equivalentes e os princípios de equivalência.
O documento descreve o conceito de sequência e progressão aritmética (P.A). Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em ordem definida. Uma P.A. é uma sequência numérica onde cada termo, após o primeiro, é igual à soma do anterior com uma razão constante. O documento fornece fórmulas para calcular termos gerais, soma de termos e determinar termos equidistantes de uma P.A.
O documento define o que é uma progressão aritmética (P.A.), apresenta as fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e exemplos de resolução de exercícios utilizando essas fórmulas. A P.A. é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. As fórmulas principais são: termo geral (an)= a1 + (n-1)r, soma dos termos (Sn)= (a1 + an)n/2.
Este documento discute conjuntos numéricos, incluindo sua representação em extensão, compreensão e diagramas de Venn. Aprendemos que um conjunto é uma coleção bem definida de elementos, geralmente designado por uma letra maiúscula. Conjuntos podem ser finitos ou infinitos, singulares ou vazios.
1) O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas representações, incluindo os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação são explicadas, assim como a resolução de expressões numéricas e problemas envolvendo números desconhecidos.
3) São apresentadas definições importantes como divisão exata e aproximada, assim como propriedades da divisão de números naturais.
Este documento apresenta 20 questões sobre progressão aritmética. As questões abordam conceitos como: termo geral, razão, soma dos termos, interpolação de termos e identificação de PAs a partir de dados fornecidos. Há também questões sobre números naturais e divisibilidade. O gabarito traz respostas detalhadas para as questões do Grupo 1, utilizando fórmulas e raciocínios matemáticos.
Este documento apresenta um caderno de atividades de matemática para o segundo semestre. Ele contém informações sobre conjuntos numéricos, expressões numéricas e algébricas, e introduz os principais conceitos necessários para o estudo da disciplina.
O documento descreve conceitos matemáticos básicos para contadores, incluindo:
1) Representações dos conjuntos de números reais, racionais e inteiros;
2) Expressões algébricas e literais;
3) Funções do primeiro grau, incluindo gráficos crescentes e decrescentes.
O documento apresenta a fórmula para o cálculo do termo geral de uma progressão aritmética, definindo seus componentes. Explica como calcular termos específicos e a soma dos termos de uma PA, usando a fórmula (A1 + An) * (n/2).
O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
1) O documento apresenta exemplos e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas, incluindo a definição de termos, razão e soma.
2) São resolvidos seis exercícios que envolvem o cálculo de termos, razões e somas de PAs e PGs.
3) As soluções utilizam fórmulas como a do termo geral, soma de termos e equações do segundo grau para determinar valores pedidos nos exercícios.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, relações de pertinência e inclusão, e operações básicas com conjuntos como união e interseção; (2) Apresenta os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais e como surgem da necessidade de realizar operações matemáticas; (3) Explica as representações de números racionais como exatos e periódicos.
Este documento apresenta a primeira aula de uma disciplina de Matemática para Negócios. A aula aborda a Teoria dos Conjuntos, definindo conceitos básicos como união, interseção e diagramas de Venn, e exemplificando com conjuntos numéricos. O documento também traz exercícios sobre aplicação desses conceitos.
1) O documento fornece uma introdução sobre notação matemática, incluindo símbolos, números, conjuntos numéricos e outros conceitos matemáticos básicos.
2) É fornecida uma lista de palavras-chave com definições sobre notação científica, matemática, ciência, entre outros termos.
3) Vários símbolos matemáticos são explicados, como o alfabeto grego, algarismos, conjuntos numéricos e tipos de números.
Este documento fornece informações sobre como preparar-se para a prova final de matemática do 2o ciclo. Aborda tópicos como números primos e compostos, frações, álgebra, geometria e estatística. Inclui exemplos detalhados para cada conceito.
O documento descreve a infância do matemático alemão Carl Friedrich Gauss e seu talento precoce para matemática. Aos sete anos, Gauss resolveu instantaneamente um problema de soma de números inteiros dado pelo seu professor, impressionando-o com sua habilidade. Seu professor passou seu ensino para um assistente mais jovem que se tornou amigo de Gauss. Ele foi reconhecido como um dos maiores gênios da história da matemática.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
1) A aula abordou o Princípio da Inclusão-Exclusão e o Princípio da Casa de Pombos para contar elementos em conjuntos.
2) Exemplos ilustraram como aplicar os princípios para determinar o tamanho da interseção e união de conjuntos.
3) O documento forneceu a formula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão para n conjuntos e explicou a lógica por trás da fórmula.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos:
1) O conjunto dos números naturais, representado por {0, 1, 2, 3, ...}, que inclui subconjuntos como os números naturais não nulos.
2) O conjunto dos números inteiros, representado por {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, formado pelos números naturais e seus opostos.
3) Subconjuntos dos números inteiros como os números inteiros não nulos, não positivos e não negativos.
Vino dulce procedente de vendimia tardía de uva sobre madura, que pone de manifiesto el dulzor y el perfume natural que es capaz de obtener por si sola la variedad Monastrell.
Sweet wine from the late harvest of over mature grapes that reveal the sweetness and the natural perfume that comes from the Monastrell variety.
http://www.bodegaslapurisima.com
La migración generalmente ocurre por motivos socioeconómicos, cuando grupos de personas se mueven de manera temporal o permanente a otros países en busca de mejores oportunidades laborales y condiciones de vida. En Europa después de la Segunda Guerra Mundial, la tendencia migratoria aumentó debido a la necesidad de mano de obra para la reconstrucción, la descolonización de las potencias europeas y el colapso de la Unión Soviética, lo que generó desempleo y emigración desde los países exsoviéticos.
O documento descreve o conceito de sequência e progressão aritmética (P.A). Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em ordem definida. Uma P.A. é uma sequência numérica onde cada termo, após o primeiro, é igual à soma do anterior com uma razão constante. O documento fornece fórmulas para calcular termos gerais, soma de termos e determinar termos equidistantes de uma P.A.
O documento define o que é uma progressão aritmética (P.A.), apresenta as fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e exemplos de resolução de exercícios utilizando essas fórmulas. A P.A. é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. As fórmulas principais são: termo geral (an)= a1 + (n-1)r, soma dos termos (Sn)= (a1 + an)n/2.
Este documento discute conjuntos numéricos, incluindo sua representação em extensão, compreensão e diagramas de Venn. Aprendemos que um conjunto é uma coleção bem definida de elementos, geralmente designado por uma letra maiúscula. Conjuntos podem ser finitos ou infinitos, singulares ou vazios.
1) O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas representações, incluindo os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação são explicadas, assim como a resolução de expressões numéricas e problemas envolvendo números desconhecidos.
3) São apresentadas definições importantes como divisão exata e aproximada, assim como propriedades da divisão de números naturais.
Este documento apresenta 20 questões sobre progressão aritmética. As questões abordam conceitos como: termo geral, razão, soma dos termos, interpolação de termos e identificação de PAs a partir de dados fornecidos. Há também questões sobre números naturais e divisibilidade. O gabarito traz respostas detalhadas para as questões do Grupo 1, utilizando fórmulas e raciocínios matemáticos.
Este documento apresenta um caderno de atividades de matemática para o segundo semestre. Ele contém informações sobre conjuntos numéricos, expressões numéricas e algébricas, e introduz os principais conceitos necessários para o estudo da disciplina.
O documento descreve conceitos matemáticos básicos para contadores, incluindo:
1) Representações dos conjuntos de números reais, racionais e inteiros;
2) Expressões algébricas e literais;
3) Funções do primeiro grau, incluindo gráficos crescentes e decrescentes.
O documento apresenta a fórmula para o cálculo do termo geral de uma progressão aritmética, definindo seus componentes. Explica como calcular termos específicos e a soma dos termos de uma PA, usando a fórmula (A1 + An) * (n/2).
O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
1) O documento apresenta exemplos e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas, incluindo a definição de termos, razão e soma.
2) São resolvidos seis exercícios que envolvem o cálculo de termos, razões e somas de PAs e PGs.
3) As soluções utilizam fórmulas como a do termo geral, soma de termos e equações do segundo grau para determinar valores pedidos nos exercícios.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, relações de pertinência e inclusão, e operações básicas com conjuntos como união e interseção; (2) Apresenta os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais e como surgem da necessidade de realizar operações matemáticas; (3) Explica as representações de números racionais como exatos e periódicos.
Este documento apresenta a primeira aula de uma disciplina de Matemática para Negócios. A aula aborda a Teoria dos Conjuntos, definindo conceitos básicos como união, interseção e diagramas de Venn, e exemplificando com conjuntos numéricos. O documento também traz exercícios sobre aplicação desses conceitos.
1) O documento fornece uma introdução sobre notação matemática, incluindo símbolos, números, conjuntos numéricos e outros conceitos matemáticos básicos.
2) É fornecida uma lista de palavras-chave com definições sobre notação científica, matemática, ciência, entre outros termos.
3) Vários símbolos matemáticos são explicados, como o alfabeto grego, algarismos, conjuntos numéricos e tipos de números.
Este documento fornece informações sobre como preparar-se para a prova final de matemática do 2o ciclo. Aborda tópicos como números primos e compostos, frações, álgebra, geometria e estatística. Inclui exemplos detalhados para cada conceito.
O documento descreve a infância do matemático alemão Carl Friedrich Gauss e seu talento precoce para matemática. Aos sete anos, Gauss resolveu instantaneamente um problema de soma de números inteiros dado pelo seu professor, impressionando-o com sua habilidade. Seu professor passou seu ensino para um assistente mais jovem que se tornou amigo de Gauss. Ele foi reconhecido como um dos maiores gênios da história da matemática.
Este documento discute relações matemáticas. Apresenta três categorias de modelos matemáticos usados para representar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. Também define relações binárias e n-árias, e discute propriedades como reflexividade, simetria e transitividade.
1) A aula abordou o Princípio da Inclusão-Exclusão e o Princípio da Casa de Pombos para contar elementos em conjuntos.
2) Exemplos ilustraram como aplicar os princípios para determinar o tamanho da interseção e união de conjuntos.
3) O documento forneceu a formula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão para n conjuntos e explicou a lógica por trás da fórmula.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos:
1) O conjunto dos números naturais, representado por {0, 1, 2, 3, ...}, que inclui subconjuntos como os números naturais não nulos.
2) O conjunto dos números inteiros, representado por {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, formado pelos números naturais e seus opostos.
3) Subconjuntos dos números inteiros como os números inteiros não nulos, não positivos e não negativos.
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http://www.bodegaslapurisima.com
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El documento certifica que Angie Lorena Castiblanco asistió a un curso de capacitación de 160 horas como brigadista escolar en áreas como primeros auxilios, contraincendios, búsqueda y rescate, y prevención comunitaria, homologado como servicio social estudiantil en Bogotá en enero de 2009.
Dokumen tersebut menjelaskan arti dari bunyi beep yang muncul pada saat komputer dinyalakan untuk AMI BIOS, Award-BIOS, dan Phoenix-BIOS. Bunyi beep yang berbeda menandakan adanya masalah pada komponen seperti memory, motherboard, processor, video card, atau BIOS itu sendiri.
El Colegio Técnico Menorah otorgó una Mención de Honor a Juan Sebastian Bernal Murrillo por su esfuerzo y destacado desempeño como Asistente Administrativo, según lo certificado por la Rectora María Inés Cuadros Cordero el 7 de febrero de 2012.
O documento descreve os principais biomas do Brasil, incluindo a Floresta Amazônica, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e Pantanal. Fornece detalhes sobre a cobertura de cada bioma, sua flora e fauna características, e o número de unidades de conservação.
Plan de gestión institución pedronel durangopregega
Este documento presenta el plan de gestión de uso de las TIC de la Institución Educativa Rural Pedronel Durango para el año 2012. Incluye un diagnóstico de la situación actual de las TIC en la institución, su visión y misión con respecto al uso de las TIC, y objetivos y estrategias para implementar las TIC en los procesos educativos. El plan busca incorporar las TIC como herramientas pedagógicas para mejorar la formación de maestros y adaptar los procesos educativos a los cambios de la soc
Este documento presenta información biográfica sobre Zoe Jesús Sánchez Valdez, una estudiante de 20 años de edad nacida en Tuxtepec, México. Detalla sus antecedentes educativos, sus intereses en informática, diseño y efectos audiovisuales, y cómo se describe a sí misma como una persona tranquila y distraída con promedio regular en la escuela.
1) O documento apresenta os conceitos e fórmulas de progressão aritmética, incluindo a definição, a fórmula do termo geral e a fórmula da soma dos termos.
2) Dois exemplos ilustram como usar as fórmulas para calcular termos desconhecidos ou a soma dos termos.
3) É enfatizada a importância de anotar cuidadosamente os dados fornecidos na questão antes de substituir nas fórmulas.
http://www.centroapoio.com/ca.php/servico/nome/matematica-progressao-aritimetica
Na Vídeo Aula sobre Progressão Aritmética com o professor Gian da Silva, você analisará sobre:
- Conjunto dos números reais.
- O que é uma sequência numérica?
- Como determinar uma sequência finita ou infinita?
- Como determinar os termos de uma sequência?
- O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma P.A.?
Junto com o professor exercitará seus conhecimentos com a realização de exercícios passo a passo.
Se você ainda ficar com dúvidas ou quiser se aprofundar no assunto, após assistir o vídeo poderá enviar suas questões para que sejam esclarecidas através de outra vídeo aula produzida especialmente para você !
Se você necessitar de explicações sobre algum tópico dentre os inúmeros exercícios presentes em apostilas para concursos, livros didáticos ou exercícios apresentados a você, poderemos lhe ajudar.
Envie suas questões e tenha acesso, nesse espaço, a uma vídeo aula similar a essa, específica para suas dúvidas de Matemática. Acesse o menu vídeo aulas e veja os passos para concluir seus pedidos.
Bibliografia
FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007.
BACCARO, Nelson. Matemática; 2º grau. Editora Ática,1995.
O documento apresenta noções sobre progressões aritméticas, definindo-as como sequências de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. Propriedades como a média aritmética entre termos consecutivos e a soma de termos equidistantes dos extremos também são apresentadas.
1) O documento apresenta um exemplo de como determinar em qual dia da semana cairá uma data utilizando o conceito de sequência.
2) É introduzido o conceito de sequência como uma lista ordenada de objetos e são apresentadas definições, representações e observações sobre sequências numéricas.
3) A sequência de Fibonacci é explicada como um exemplo onde cada termo é a soma dos dois anteriores, sendo apresentados os doze primeiros termos.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências numéricas onde cada termo subsequente é igual ao anterior mais uma constante chamada de razão. Explica como determinar os termos de uma progressão aritmética usando a fórmula geral ou a lei de recorrência e apresenta exemplos de exercícios resolvidos.
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números onde a diferença entre cada termo e o anterior é constante. Esta diferença é chamada de razão da PA. As PAs podem ser crescentes, decrescentes ou constantes. A fórmula para calcular qualquer termo de uma PA é an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão.
1. O documento apresenta um plano de aula sobre progressão aritmética para alunos do 1o ano do ensino médio.
2. O plano detalha os objetivos, conteúdos, material e desenvolvimento da aula, incluindo exemplos e exercícios sobre progressão aritmética.
3. O plano fornece definições, propriedades e classificações de progressões aritméticas, além de dicas para resolver problemas envolvendo esse tópico.
1) O documento descreve as propriedades e fórmulas de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.).
2) Uma P.A. é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante. Uma P.G. é uma sequência onde cada termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante.
3) São fornecidas fórmulas para calcular o termo geral, a razão e a soma dos termos de P.A.s e P.G.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais são definidas pelo seu contradomínio; 2) Uma sequência real associa números naturais a números reais; 3) Progressões aritméticas são sequências onde cada termo subsequente é obtido somando uma razão fixa ao anterior.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
O documento discute diferentes tipos de funções e sequências, incluindo: 1) Funções reais, vetoriais e matriciais; 2) Sequências reais finitas e infinitas; 3) Progressões aritméticas finitas e suas propriedades como razão, termo geral e termos eqüidistantes.
O documento descreve o conceito de sequência e suas propriedades. Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem definida. Pode ser finita ou infinita. Progressões aritméticas (P.A.) são sequências em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é constante. O termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
1. O documento discute o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica na qual a diferença entre cada termo e o anterior é constante.
2. Apresenta a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo e da razão.
3. Fornece exemplos e propriedades das progressões aritméticas, incluindo como representar graficamente a relação entre os termos.
O documento define e explica o conceito de progressão aritmética (PA), onde a diferença entre os termos consecutivos é constante. Apresenta a notação para PA e propriedades como o termo geral e a soma dos termos de uma PA finita. Explica como calcular o termo geral, interpolar termos e a soma total de uma PA.
O documento apresenta exemplos resolvidos de progressões aritméticas, incluindo cálculos do termo geral, interpolação de termos, resolução de sistemas de equações para encontrar os termos de uma PA, e cálculos envolvendo a soma dos termos de uma PA.
01. O documento apresenta definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas, incluindo fórmulas para calcular termos gerais e somas.
02. São fornecidos exemplos e exercícios de fixação sobre progressões aritméticas e geométricas.
03. As questões abordam cálculos envolvendo termos, razões e somas de progressões aritméticas e geométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre progressões aritméticas, incluindo sua definição, representação, fórmulas para o termo geral e soma dos termos. Exemplos ilustram como calcular termos, razões e quantidades de termos em diferentes PAs.
1) O documento descreve uma linha de metrô em construção que cresceu 0,5km por mês desde janeiro do ano passado.
2) É apresentada a sequência dos comprimentos mensais da linha em quilômetros como uma progressão aritmética.
3) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante.
Semelhante a Progressões aritmáticas e sequências por heloelaine (20)
3. Exemplos:Exemplos:
• Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ...,Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ...,
dezembro)dezembro)
• As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)
•Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...)Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7, ...)
•As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z)As letras do alfabeto: (a,b,c,e,...,n,...,x,y,z)
•Os dias da semana: (domingo, segunda...,Os dias da semana: (domingo, segunda...,
sábado)sábado)
•As quatro estações do ano: (primavera,As quatro estações do ano: (primavera,
verão, outono, inverno)verão, outono, inverno)
4. Lei de formação
É toda sentença matemática que expressa
valor de an em relação a n.
•
Representação usual :
• Seqüência finita:( a1, a 2,...,a n) .
Primeiro termo
Segundo termo
Último termo
• Seqüência infinita: (a1, a 2,...,a
n,...)
5. Exemplo:
Expresse os 3 primeiros termos da
sequência an= 4n+1
n = 1 a1= 4.1 +1 = 4 + 1 = 5
n= 2 a2 = 4.2 + 1 = 8 + 1 = 9
n= 3 a3 = 4.3 + 1 = 12 + 1 = 13
A sequência é ( 5,9,13,17)
n = 4 a4 = 4.4 + 1 = 16 + 1=17
6. DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
PROGRESSÃO
É uma seqüência lógica de informações que
possuem um critério específico e uma ordem
estabelecida para o surgimento de seus
valores. Uma progressão pode ser
crescente ou decrescente
ARITMÉTICA
Indica uma relação numérica que será
orientada sobre forma de soma. A aritmética
consiste em realizar operações utilizando o
sistema de contagem na forma de adição.
7. PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA
É uma seqüência numérica orientada sobre
forma de soma onde, cada termo a partir do
segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua
seqüência, sendo este valor o mesmo para todos
os elementos e chamado de razão.
8. Observe o exemplo:Observe o exemplo:
{ }24,21,18,15,12,9,6,3
Iremos chamar o primeiro elemento desta seqüência de a1
Iremos chamar de an o último termo de uma seqüência numérica
A quantidade de números que compõe uma seqüência numérica será representada
pela letra n
A ordem de crescimento entre os elementos, a partir do segundo termo, sempre será
a mesma e por isto é denominada de razão sendo representada pela letra r
Então, neste caso,
a1 é 3
Neste caso,
an é 24
Podemos observar
que a seqüência
acima possui 8
números,
ou seja, n = 8
Observe que a cada
novo número nesta
seqüência sempre
é somado o valor 3
o que nos mostra
que a nossa razão
(ordem de
crescimento)será o
número 3
9. Fórmula do termo geral de uma P.A.Fórmula do termo geral de uma P.A.
( ) rnaan ⋅−+= 11
Último termo de uma P.A. ou termo procurado
Primeiro termo da P.A.
Número de elementos da P.A.
Razão da P.A.
10. ExemploExemplo11::
( ) rnaan ⋅−+= 11
Determine o 35º elemento de uma P.A. que possui 70 números
onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8
O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir
destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula
do termo geral de uma P.A.
O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partir
destas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula
do termo geral de uma P.A.
DADOS:
a1= 7
n = 51
r = 4
an = ?
Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,
ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 35º elemento.
Agora basta substituir os valores
fornecidos na questão. Lembre-se
que a resolução desta fórmula
segue os princípios de resolução
de uma equação de 1º grau.
( )
207
2007
4507
41517
=
+=
⋅+=
⋅−+=
n
n
n
n
a
a
a
a
11. ExemploExemplo22::
( ) rnaan ⋅−+= 11
Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 números
onde o último termo é 570 e a razão é 4
Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para
substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.
Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para
substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.
DADOS:
an= 570
n = 120
r = 4
a1 = ?
Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar,
ou seja, o primeiro termo desta P.A.
( )
476570
4119570
41120570
1
1
1
+=
⋅+=
⋅−+=
a
a
a
Neste momento iremos lembrar
do princípio de resolução de
uma equação onde a letra deve
ficar isolada em um dos lados
da equação. Neste caso, o
número +476 irá para o 1º
membro (antes do sinal de igual) mas,
para tanto, é necessário mudar o
sinal de positivo para negativo.
570 – 476 =a1
94 = a1
12. IMPORTANTE:IMPORTANTE:
Existem algumas questões que procuram
identificar a soma de todos os termos de
uma P.A. Neste tipo de questão, iremos
levar em conta que esta P.A. representa
um conjunto finito de elementos, ou seja,
podemos definir o primeiro e o último
termo desta seqüência.
13. Fórmula da soma dos termos de uma P.A.Fórmula da soma dos termos de uma P.A.
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
Soma de todos os elementos de uma P.A. finita
Primeiro termo da P.A.
Último termo da uma P.A.
Número de elementos
Da P.A.
14. ExemploExemplo33::
Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. onde
o primeiro elemento é 8 e o último 102
Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.
Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,
logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma
P.A. finita
Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão.
Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos,
logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma
P.A. finita
DADOS:
a1= 8
an = 102
n = 50
Sn = ?
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
( )
2750
2
5500
2
50110
2
501028
=
=
⋅
=
⋅+
=
n
n
n
n
S
S
S
S
Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,
ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.
15. ExemploExemplo44::
( ) rnaan ⋅−+= 11
( )
2
1 naa
S n
n
⋅+
=
( )
116
1115
3375
31385
=
+=
⋅+=
⋅−+=
n
n
n
n
a
a
a
a
Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. onde
a razão é 3 e o primeiro elemento 5.
Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer
saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do
nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último
termo desta P.A.?
Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer
saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do
nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último
termo desta P.A.?
DADOS:
a1= 5
n = 38
r = 3
an = ?
Sn = ?
Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar ao
resultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral de
uma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremos
a fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita.
( )
2299
2
4598
2
38121
2
381165
=
=
⋅
=
⋅+
=
n
n
n
n
S
S
S
S
O valor de an será substituído
na fórmula da soma.