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![tal que as equa¸oes do sistema s˜o satisfeitas quando substitu´
c˜ a ımos
x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn .
Ao conjunto de todas as solu¸oes do sistema chama-se conjunto solu¸ao ou solu¸ao geral do
c˜ c˜ c˜
sistema.
Exemplo 6 O sistema linear de duas equa¸oes e duas inc´gnitas
c˜ o
x + 2y = 1
2x + y = 0
pode ser escrito do seguinte modo:
1 2 x 1
= .
2 1 y 0
−1/3
A solu¸ao (geral) do sistema acima ´ x = −1/3 e y = 2/3 (verifique!), isto ´, X =
c˜ e e .
2/3
Observa¸˜o 5 De modo a facilitar a resolu¸ao de um sistema linear, este pode ser sempre
ca c˜
substitu´ por outro que tenha o mesmo conjunto solu¸ao. Esse outro ´ obtido depois
ıdo c˜ e
de aplicar sucessivamente opera¸oes sobre as equa¸oes do sistema inicial que n˜o alterem a
c˜ c˜ a
solu¸ao do mesmo. As opera¸oes s˜o:
c˜ c˜ a
- Trocar a posi¸ao de duas equa¸oes do sistema;
c˜ c˜
- Multiplicar uma equa¸ao por um escalar diferente de zero;
c˜
- Somar a uma equa¸ao um m´ ltiplo escalar de outra equa¸ao.
c˜ u c˜
Estas s˜o as chamadas opera¸oes elementares. Quando aplicamos opera¸oes elementares
a c˜ c˜
as equa¸oes de um sistema linear, s´ os coeficientes e os termos independentes do sistema
` c˜ o
s˜o alterados. Assim, podemos aplicar as opera¸oes a matriz
a c˜ `
a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2
[A | B] = . . . . . ,
. . . ···
. .
. . .
. .
am1 am2 · · · amn | bm
a qual se d´ o nome de matriz aumentada do sistema.
` a
Defini¸˜o 11 As opera¸oes elementares que podem ser aplicadas as linhas de uma matriz
ca c˜ `
s˜o as seguintes:
a
(i) Trocar a posi¸ao de duas linhas da matriz;
c˜
(ii) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(iii) Somar a uma linha da matriz um m´ ltiplo escalar de outra linha.
u
7](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-7-320.jpg)
![Teorema 2 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D s˜o tais que a matriz aumentada
a
[C | D] ´ obtida de [A | B] atrav´s de uma opera¸ao elementar, ent˜o os dois sistemas tˆm
e e c˜ a e
o mesmo conjunto solu¸ao, isto ´, s˜o equivalentes.
c˜ e a
Observa¸˜o 6 O m´todo que iremos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplica¸ao
ca e c˜
de opera¸oes elementares as linhas da matriz aumentada do sistema de modo a obter uma
c˜ `
matriz em escada de linhas em rela¸ao a qual o sistema associado seja de f´cil resolu¸ao.
c˜ ` a c˜
Defini¸˜o 12 Uma matriz A = (aij )m×n diz-se em escada de linhas se:
ca
(i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) est˜o por baixo das linhas
a
n˜o nulas;
a
(ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento n˜o nulo de cada linha e por
a
baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas s˜o nulas. Esse
a
primeiro elemento n˜o nulo de cada linha tem o nome de pivot.
a
Defini¸˜o 13 Seja A uma matriz em escada de linhas. Ao no de pivots de A matriz, isto
ca
o
´, ao n de linhas n˜o nulas de A, d´-se o nome de caracter´
e a a ıstica de A, car A. Se A fˆr a
o
matriz em escada de linhas obtida de C atrav´s de opera¸oes elementares ent˜o diz-se que a
e c˜ a
caracter´ıstica de C ´ car A, tendo-se car C = car A. Temos que carA =carA T .
e
Exemplo 7 As seguintes matrizes est˜o em escada de linhas:
a
2 −1 2 1/2 0 √0
0 0 −3 1 0 2
4 −1 0 1 3 0
A= , B= , C= 0 0 0 0 0 −5 .
0 0 0 0 −5 1
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Pivot de A: 4. Pivots de B: 1, −5. Pivots de C: 2, −3, −5.
car A = 1, car B = 2 e car C = 3.
Defini¸˜o 14 O m´todo de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar opera¸oes
ca e c˜
elementares as linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz
`
fique em escada de linhas, chama-se m´todo de elimina¸˜o de Gauss1 .
e ca
1
Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855
8](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-8-320.jpg)
![para qualquer z ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por:
e c˜ e
S = {(3z + 1, −2z + 1, z) : z ∈ R} .
Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´
c˜ ıvel e indeterminado.
Se a = −2, o sistema n˜o tem solu¸˜o e diz-se imposs´
a ca ıvel.
Se a = −2 e a = 2, o sistema tem a solu¸˜o unica:
ca ´
x (a + 5)/(a + 2)
X = y = a/(a + 2)
z 1/(a + 2)
e diz-se poss´
ıvel e determinado.
Observa¸˜o 7 Seja [A | B] a matriz aumentada associada a um sistema linear com n
ca
inc´gnitas.
o
(i) Se car A = car [A | B] = n ent˜o o sistema ´ poss´
a e ıvel e determinado (tem uma
unica solu¸ao).
´ c˜
(ii) Se car A = car [A | B] < n ent˜o o sistema ´ poss´
a e ıvel e indeterminado (tem um
no infinito de solu¸oes).
c˜
(iii) Se car A < car [A | B] ent˜o o sistema ´ imposs´
a e ıvel (n˜o tem solu¸ao).
a c˜
(iv) Podemos escolher como inc´gnitas livres (podem tomar valores arbitr´rios) do
o a
sistema aquelas que correspondem as colunas, que n˜o contenham pivots, da matriz em
` a
escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes elementares.
e c˜
(v) As inc´gnitas n˜o livres do sistema s˜o aquelas que correspondem as colunas,
o a a `
que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes
e c˜
elementares.
(vi) car A = no de linhas n˜o nulas da matriz em escada de linhas obtida de A = no de
a
o
pivots = n de inc´gnitas n˜o livres.
o a
Teorema 3 Sejam A uma matriz do tipo m × n e B uma matriz do tipo m × 1. Se o sistema
linear AX = B tem duas solu¸oes distintas X0 e X1 (X0 = X1 ), ent˜o ter´ infinitas solu¸oes.
c˜ a a c˜
Dem. Basta verificar que Xλ = (1 − λ) X0 + λX1 ´ solu¸ao do sistema AX = B, para
e c˜
qualquer λ ∈ R.
11](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-11-320.jpg)
![Teorema 14 Sejam A e B duas matrizes do tipo n × n. Se AB ´ invert´
e ıvel, ent˜o A e B
a
s˜o invert´
a ıveis.
Dem. Considere o sistema (AB) X = 0. Se B n˜o fosse invert´
a ıvel, ent˜o pelo teorema
a
13 existiria X = 0 tal que BX = 0. Logo, X = 0 seria solu¸ao n˜o trivial de ABX = 0, o
c˜ a
que contraria o teorema 13 uma vez que por hip´tese AB ´ invert´
o e ıvel. Assim, B ´ invert´
e ıvel.
−1
Finalmente, A ´ invert´ por ser o produto de duas matrizes invert´
e ıvel ıveis: A = (AB) B .
Observa¸˜o 11 (Como inverter matrizes do tipo n × n). Seja A uma matriz do tipo
ca
n × n e consideremos a equa¸ao AX = B. Se A fˆr invert´
c˜ o ıvel temos
AX = B ⇔ X = A−1 B,
isto ´,
e
AX = IB ⇔ IX = A−1 B.
Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A | I] na
matriz [I | A−1 ], por meio de opera¸oes elementares aplicadas as linhas de [A | I]. Este
c˜ `
m´todo tem o nome de m´todo de elimina¸˜o de Gauss-Jordan2 e consistir´ na conti-
e e ca a
nua¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior | ∗],
c˜ e c˜
efectuando-se as elimina¸oes de baixo para cima de modo a obter-se [I | A−1 ].
c˜
1 1 1
Exemplo 15 (i) Seja A = 2 1 4 . Tem-se
2 3 5
1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0
[A | I] = 2 1 4 | 0 1 0 −→ 0 −1 2 | −2 1 0 −→
−2L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3
2 3 5 | 0 0 1 −2L1 +L3 −→L3 0 1 3 | −2 0 1
1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0
−→ 0 −1 2 | −2 1 0 1 −→ 0 −1 2 | −2 1 0 −→
L3 −→L3 −2L3 +L2 −→L2
0 0 5 | −4 1 1 5 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 −L3 +L1 −→L1
1 1 0 | 9/5 −1/5 −1/5
−→ 0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5 −→
L2 +L1 −→L1
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5
−→ 0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5 −→
−L2 −→L2
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5
−→ 0 1 0 | 2/5 −3/5 2/5 .
0 0 1 | −4/5 1/5 1/5
2
Wilhelm Jordan 1842 – 1899
18](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-18-320.jpg)
![
1 2 3
(ii) Seja A = 1 1 2 . Tem-se
0 1 1
1 2 3 | 1 0 0 1 2 3 | 1 0 0
[A | I] = 1 1 2 | 0 1 0 −→ 0 −1 −1 | −1 1 0 −→
−L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3
0 1 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 0 1
1 2 3 | 1 0 0
−→ 0 −1 −1 | −1 1 0 .
0 0 0 | −1 1 1
Logo, A ´ singular e como tal n˜o ´ invert´
e a e ıvel.
2 Determinante
Defini¸˜o 19 Dados os n´ meros naturais 1, 2, ..., n chama-se permuta¸˜o desses n n´ meros
ca u ca u
a qualquer lista em em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitr´ria.
a
Defini¸˜o 20 Seja (i1 i2 ...in ) uma permuta¸ao dos n´ meros naturais 1, 2, ..., n. Diz-se que
ca c˜ u
um par (ij ik ) ´ uma invers˜o quando (j − k) (ij − ik ) < 0 (isto ´, quando ij e ik aparecerem
e a e
na permuta¸ao por ordem decrescente).
c˜
ca c˜ ımpar) quando o no m´ximo de in-
Defini¸˜o 21 Uma permuta¸ao (i1 i2 ...in ) diz-se par (´ a
vers˜es inclu´
o ıdas fˆr par (´
o ımpar).
Exemplo 16 A permuta¸ao (21453) ´ ´
c˜ e ımpar pois contem as invers˜es (21), (43) e (53).
o
Defini¸˜o 22 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se determinante3 de A, e escreve-se |A| ou
ca
det A, o n´ mero que se obtem do seguinte modo:
u
(i) Formam-se todos os produtos poss´ıveis de n factores em que intervenha um elemento
de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A.
3
O Determinante de uma matriz foi pela primeira vez considerado por Talakazu Seki 1642–1708
19](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-19-320.jpg)
![Teorema 17 (F´rmula de Laplace4 .) Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se
o
n
det A = aij (−1)i+j det Aij .
j=1
Observa¸˜o 15 Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se
ca
n
det A = aij (−1)i+j det Aij .
i=1
Exemplo 18
1 0 −2 3
1 −2 3 1 0 −2
2 1 −1 4 3+2 3+4
= (−1)(−1) 2 −1 4 + (−2)(−1) 2 1 −1 =
0 −1 0 −2
1 −2 −3 1 0 −2
1 0 −2 −3
= (−1)(−3) + (−2)4 + 2(−2)3 − (−1)3 − (−2)2(−3) − 4(−2) + 2 [(−2) − (−2)] = −18
Defini¸˜o 24 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja aij = (−1)i+j det Aij onde
ca
Aij ´ o menor-ij da matriz A. Chama-se a aij o cofactor-ij da matriz A e a matriz
e `
cof A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1, a matriz dos cofactores de A.
Teorema 18 Para qualquer matriz A ∈ Matn×n (R), com n > 1, tem-se
A (cof A)T = (det A) I.
Se det A = 0 ent˜o A ´ invert´ e
a e ıvel
1
A−1 = (cof A)T .
det A
a b
Exemplo 19 Seja A = ∈ Mat2×2 (R) tal que det A = 0. Ent˜o A ´ invert´ e
a e ıvel
c d
1 d −b
A−1 = .
ad − bc −c a
(Veja por exemplo o exo 10 da ficha 2.) Note que ad − bc = det A.
(ii) Podemos usar o teorema 18 para calcular n˜o s´ a inversa de uma matriz (n˜o
a o a
singular) mas tamb´m entradas concretas dessa inversa. Seja
e
1 0 0
A = 4 5 6 .
7 8 9
A entrada (2, 3) da matriz A−1 ´ dada por
e
1 1 1 1 0
(A−1 )23 = (cof A)T = (−1)3+2 det A32 = − det = 2.
det A 23 det A −3 4 6
4
Pierre-Simon Laplace 1749–1827
22](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-22-320.jpg)
![Considere a seguinte matriz cujas colunas s˜o os vectores de S:
a
1 0 1 1
0 1 1 1 .
1 a b 1
Tem-se
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 1 1 1 −→ 0 1 1 1 −→ 0 1 1 1 .
−L1 +L3 →L3 −aL2 +L3 →L3
1 a b 1 0 a b−1 0 0 0 b − a − 1 −a
Logo, Sa,b n˜o gera R3 se e s´ se b − a − 1 = 0 e −a = 0, isto ´, se e s´ se a = 0 e b = 1.
a o e o
Teorema 34 (i) Seja A ∈ Matm×n (R). As colunas de A geram Rm se e s´ se car A = m.
o
(ii) Seja A ∈ Matm×n (R). As colunas de A s˜o linearmente independentes se e s´ se
a o
car A = n.
(iii) Seja A ∈ Matn×n (R). A matriz A ´ invert´
e ıvel se e s´ se as colunas de A (ou as
o
n
linhas de A) formarem uma base de R . No caso de A ser invert´ tem-se
ıvel
C(A) = L(A) = Rn .
Observa¸˜o 29 Seja A ∈ Matm×n (R) e considere o sistema de equa¸oes lineares Au = b.
ca c˜
(i) O sistema Au = b ´ imposs´
e ıvel (n˜o tem solu¸ao) se e s´ se b ∈ C(A), isto ´, se e s´
a c˜ o / e o
se car A < car [A | b].
(ii) O sistema Au = b ´ poss´
e ıvel e indeterminado (tem um no infinito de solu¸oes) se
c˜
e s´ se b ∈ C(A) e as colunas de A forem linearmente dependentes, isto ´, se e s´ se car A =
o e o
car [A | b] < n, isto ´, se e s´ se car A = car [A | b] e nul A = 0.
e o
(iii) O sistema Au = b ´ poss´
e ıvel e determinado (tem uma unica solu¸ao) se e s´
´ c˜ o
se b ∈ C(A) e as colunas de A forem linearmente independentes, isto ´, se e s´ se car A =
e o
car [A | b] = n, isto ´, se e s´ se car A = car [A | b] e nul A = 0.
e o
Observa¸˜o 30 Seja A ∈ Matm×n (R) e considere o sistema de equa¸oes lineares Au = b.
ca c˜
(i) Existˆncia de solu¸˜o: Se m ≤ n ent˜o o sistema Au = b tem pelo menos uma
e ca a
m
solu¸ao u para cada b ∈ R se e s´ se car A = m.
c˜ o
(ii) Unicidade de solu¸˜o: Se m ≥ n ent˜o o sistema Au = b tem no m´ximo uma
ca a a
m
solu¸ao u para cada b ∈ R se e s´ se car A = n, isto ´, se e s´ se nul A = 0.
c˜ o e o
(iii) Existˆncia e unicidade de solu¸˜o: Se m = n ent˜o o sistema Au = b tem
e ca a
m
solu¸ao unica u para cada b ∈ R se e s´ se A fˆr invert´
c˜ ´ o o ıvel.
38](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-38-320.jpg)
![Teorema 40 Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ sim´trica, isto ´, tal que A = AT . Ent˜o A
e e e a
´ diagonaliz´vel.
e a
Exemplo 34 (i) Uma matriz com valores pr´prios distintos.
o
1 5 −1
A = 0 −2 1
−4 0 3
O polin´mio caracter´
o ıstico ´ dado por
e
1−λ 5 −1
det(A − λI) = 0 −2 − λ 1 =
−4 0 3−λ
= (1 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) − 20 + 4 (2 + λ) =
= (1 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) + 4λ − 12 =
= (3 − λ) [(λ − 1) (λ + 2) − 4] =
= (3 − λ) λ2 + λ − 6 =
= (3 − λ) (λ − 2) (λ + 3) .
Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores
o a
pr´prios de A s˜o
o a
λ1 = 3, λ2 = 2 e λ3 = −3.
Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ s˜o os vectores n˜o nulos u ∈ R 3
o o a a
para os quais
(A − λI) u = 0,
isto ´, s˜o os vectores n˜o nulos de Nuc (A − λI).
e a a
Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3. Tem-se
o o
−2 5 −1
Nuc (A − λ1 I) = Nuc 0 −5 1 = L ({(0, 1, 5)}) .
−4 0 0
Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ1 ´ dado por
c o e
Eλ1 = Nuc (A − λ1 I) = L ({(0, 1, 5)}) .
Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3 s˜o
o o a
u = (0, s, 5s) , com s ∈ R {0} .
Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 2. Tem-se
o o
−1 5 −1
Nuc (A − λ2 I) = Nuc 0 −4 1 = L ({(1, 1, 4)}) .
−4 0 1
42](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-42-320.jpg)
![Logo, a matriz A ´ diagonaliz´vel, isto ´, existe uma matriz
e a e invert´ S diagonalizante tal
ıvel
−1
que a matriz SAS ´ diagonal, tendo-se
e
λ1 0 0 1 0 0
−1 0 λ1 0 = 0
D = SAS = 1 0 ,
0 0 λ2 0 0 7
com
−1 −1 1
S −1 = 1 0 2 .
0 1 3
Note que cada coluna de S −1 ´ formada pelo vector pr´prio associado ao valor pr´prio
e o o
respectivo e na posi¸ao respectiva.
c˜
(iii) Uma matriz com valores pr´prios repetidos e n˜o diagonaliz´vel.
o a a
7 5 −1
A = 0 −2 1
20 0 3
O polin´mio caracter´
o ıstico ´ dado por
e
7−λ 5 −1
det(A − λI) = 0 −2 − λ 1 =
20 0 3−λ
= (7 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) + 100 − 20 (2 + λ) =
= (3 − λ) [(7 − λ) (−2 − λ) + 20] =
= (3 − λ) λ2 − 5λ + 6 =
= (3 − λ) (λ − 3) (λ − 2) .
Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores
o a
pr´prios de A s˜o
o a
λ1 = 3 e λ2 = 2.
Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ s˜o os vectores n˜o nulos u ∈ R 3
o o a a
para os quais
(A − λI) u = 0,
isto ´, s˜o os vectores n˜o nulos de Nuc (A − λI).
e a a
Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3. Tem-se
o o
4 5 −1
Nuc (A − λ1 I) = Nuc 0 −5 1 = L ({(0, 1, 5)}) .
20 0 0
Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ1 ´ dado por
c o e
Eλ1 = Nuc (A − λ1 I) = L ({(0, 1, 5)}) .
Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3 s˜o
o o a
u = (0, s, 5s) , com s ∈ R {0} .
45](https://image.slidesharecdn.com/apontamentosaulastericasal-101016072631-phpapp02/85/Apontamentos-aulas-teoricas-al-45-320.jpg)
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1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo matrizes, sistemas de equações lineares, determinantes, espaços vetoriais e transformações lineares. 2) São definidas operações com matrizes como soma, produto por escalar, transposta e produto. 3) O documento fornece exemplos e propriedades dessas operações com matrizes.
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- 1. Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a c˜ ´ Sec¸ao de Algebra e An´lise a ´ Apontamentos das Aulas Te´ricas de Algebra Linear o 1o Semestre 2007/2008 LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/˜ ppinto/ Conte´ do u 1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e c˜ C´lculo a Matricial 2 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 A matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Determinante 19 3 Espa¸os Lineares (Vectoriais) c 23 3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e linhas de c u c uma matriz 26 3.2 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Bases e dimens˜o de Espa¸os Lineares . . . . . . . . . . . . . . . a c . . . . . . 33 3.4 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Valores Pr´prios, Vectores Pr´prios e diagonaliza¸˜o de Matrizes o o ca 40 5 Produtos Internos 47 6 Transforma¸oes Lineares c˜ 59 6.1 Matriz mudan¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c . . . . 61 6.2 Representa¸ao matricial de uma transforma¸ao linear . . . . . . . . . c˜ c˜ . . . . 62 6.3 Transforma¸oes injectivas, sobrejectiva e bijectivas – equa¸oes lineares c˜ c˜ . . . . 66 6.4 Valores e vectores pr´prios de transforma¸oes lineares . . . . . . . . . o c˜ . . . . 70 7 Algumas Aplica¸oes c˜ 71 7.1 Formas quadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 71 7.2 M´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.3 Equa¸oes diferenciais ordin´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a 71 1
- 2. 1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e C´lculo Matricial c˜ a 1.1 Matrizes Defini¸˜o 1 Uma matriz A, do tipo m ca × n (m por n), ´ uma tabela de mn n´ meros e u dispostos em m linhas e n colunas: a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n A= . . . . .. . . ··· . . am1 am2 · · · amn A linha i de A ´: e ai1 ai2 · · · ain , para cada i = 1, ..., m. A coluna j de A ´: e a1j a2j . . . amj para cada j = 1, ..., n. Usa-se tamb´m a nota¸ao A = (aij )m×n na qual aij ´ a entrada (i, j) e c˜ e da matriz A. Se m = n, diz-se que A ´ uma matriz quadrada do tipo n × n e as entradas a11 , a22 , ..., e ann formam a chamada diagonal principal de A. Exemplo 1 As matrizes 4 1 −1 1 2 3 4 3 A= , B= , C= 0 0 7 eD= −2 2 2 0 −2 0 2 1 s˜o dos seguintes tipos: A ´ 2 × 2, B ´ 2 × 4, C ´ 1 × 3, A ´ 4 × 1. Tem-se, por exemplo, a e e e e a21 = −2, b13 = 3, c12 = 0 e d41 = 1. Observa¸˜o 1 Uma matriz (real) A do tipo m × n ´ uma aplica¸ao: ca e c˜ A : {1, ..., m} × {1, ..., n} −→ R (i, j) −→ aij Nota¸˜o 1 O conjunto de todas as matrizes reais do tipo m×n ´ denotado por Matm×n (R). ca e 2
- 3. Defini¸˜o 2 Duasmatrizes s˜o iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas corres- ca a pondentes forem iguais, isto ´, A = (aij )m×n e B = (bij )p×q s˜o iguais se m = p, n = q e e a aij = bij , para i = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Defini¸˜o 3 A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = (aij )m×n e B = (bij )m×n ´ a ca e matriz A + B = (aij + bij )m×n . Exemplo 2 Sejam −1 √ 1 4 −1 0 −3 2 A= ,B= , C = −1/2 e D = −2 3 . −3 2 6 4 −1 −5 2 1 1 1 Tem-se A + B = e n˜o ´ poss´ somar C com D. a e ıvel 1 1 1 Defini¸˜o 4 O produto de um escalar (n´ mero) α por uma matriz A = (aij )m×n ´ a ca u e matriz: αA = (αaij )m×n . Nota¸˜o 2 A matriz (−1)A ser´ denotada por −A. ca a 1 4 −1 Exemplo 3 Seja A = . Tem-se, por exemplo, −3 2 6 −2 −8 2 −2A = . 6 −4 −12 Defini¸˜o 5 O produto AB de duas matrizes A e B s´ pode ser efectuado se o n´ mero ca o u de colunas da 1a matriz, A, fˆr igual ao n´ mero de linhas da 2a matriz, B. Nesse caso, o o u produto AB de A = (aij )m×p por B = (bij )p×n ´ definido por: e p AB = aik bkj , k=1 m×n isto ´, e p p a11 a12 ··· a1p a1k bk1 ··· a1k bkn . . b11 · · · b1j · · · b1n . . ··· . . k=1 k=1 b21 · · · b2j · · · b2n ··· p aik bkj ··· ai1 ai2 ··· aip . . . = . . ··· . ··· . . . . . k=1 . . ··· . . p p bp1 · · · bpj · · · bpn amk bk1 ··· amk bkn am1 am2 ··· amp k=1 k=1 3
- 4. Exemplo 4 SejamA, B, C e D as matrizes do exemplo 2. N˜o ´ poss´ efectuar, por a e ıvel exemplo, AB. No entanto, tem-se: √ 2 − 3 √ −5 AC = e CD = 1 − √ 3/2 . 14 −4 2 3 Observa¸˜o 2 O produto de matrizes n˜o ´ comutativo. Por exemplo, para ca a e 0 1 0 −1 1 0 −1 0 A= eB= tem-se AB = e BA = . 1 0 1 0 0 −1 0 1 Logo AB = BA. Defini¸˜o 6 A transposta de uma matriz A = (aij )m×n ´ a matriz ca e AT = (aji )n×m que se obtem trocando as linhas com as colunas de A. Exemplo 5 Sejam A e C as matrizes do exemplo 2. Tem-se 1 −3 1 AT = 4 2 e C T = −1 − 2 . −1 6 2 Teorema 1 Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, α e β escalares. S˜o v´lidas a a as seguintes propriedades para as opera¸oes matriciais. c˜ (a) (Comutatividade da soma) A + B = B + A. (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C. (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma unica matriz 0 do tipo m×n tal que A+0 = A, ´ para toda a matriz A do tipo m × n. A ` matriz 0, cujas entradas s˜o todas iguais a zero, a chama-se matriz nula. (d) (Sim´trico) Para cada matriz A existe uma unica matriz B tal que A + B = 0. Esta e ´ matriz B denota-se por −A. (e) (Associatividade do produto por escalares) α (βA) = (αβ) A. (f ) (Distributividade) (α + β) A = αA + βA. 4
- 5. (g) (Distributividade) α(A + B) = αA + αB. (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C. (i) (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD. (j) α (AB) = (αA) B = A (αB). T (k) AT = A. (l) (A + B)T = AT + B T . (m) (αA)T = αAT . (n) (AB)T = B T AT . (o) (A1 A2 ...An )T = AT ...AT AT , com A1 , A2 , ..., An matrizes de tipos apropriados. n 2 1 ` (p) A matriz, do tipo n × n, 1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 I= . . .. . . . . . 0 0 ··· 1 chama-se matriz identidade (de ordem n) e ´ tal que e AI = A e IB = B, para todas as matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )n×m . Defini¸˜o 7 (i) A diferen¸a entre duas matrizes A e B do mesmo tipo ´ definida por ca c e A − B = A + (−B), ou seja, ´ a soma de A com o sim´trico de B. e e (ii) Sejam A uma matriz do tipo n × n e p ∈ N. A potˆncia p de A ´ definida por e e Ap = A...A e para p = 0 define-se A0 = I. p vezes ` (iii) A matriz do tipo n × n a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 . . .. . . , . . . 0 0 · · · ann cujas entradas fora da diagonal principal s˜o nulas, chama-se matriz diagonal. a 5
- 6. Observa¸˜o 3 Tem-se:1A = A, 0A = 0, A + A = 2A, A + . . . + A = nA. ca n vezes Defini¸˜o 8 (i) Seja A = (aij )n×n uma matriz do tipo n × n. Diz-se que A ´ sim´trica se ca e e A = A , isto ´, se aij = aji , para i, j = 1, ..., n. Diz-se que A ´ anti-sim´trica se A = −AT , T e e e isto ´, se aij = −aji , para i, j = 1, ..., n. e 1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares c˜ Defini¸˜o 9 Uma equa¸˜o linear com n inc´gnitas x1 , x2 , ..., xn ´ uma equa¸ao da forma ca ca o e c˜ a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, em que a1 , a2 , ..., an e b s˜o constantes (reais ou complexos). a Defini¸˜o 10 Um sistema de m equa¸oes lineares com n inc´gnitas ´ um conjunto de ca c˜ o e equa¸oes da forma c˜ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (∗) ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm em que aij e bk s˜o constantes (reais ou complexos), para i, k = 1, ..., m e j = 1, ..., n. a Observa¸˜o 4 Usando o produto de matrizes definido na sec¸ao anterior, o sistema linear ca c˜ acima pode ser escrito como uma equa¸ao matricial c˜ AX = B, em que a11 a12 ··· a1n x1 b1 a21 a22 ··· a2n x2 b2 A= . . . . . . , X= . . e B= . . . . .··· . . . am1 am2 · · · amn xn bm A matriz A ´ a matriz dos coeficientes do sistema, X ´ a matriz coluna das inc´gnitas e e o e B ´ a matriz coluna dos termos independentes. Uma solu¸ao do sistema linear (∗) ´ uma e c˜ e matriz s1 s2 S= . . . sn 6
- 7. tal que asequa¸oes do sistema s˜o satisfeitas quando substitu´ c˜ a ımos x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn . Ao conjunto de todas as solu¸oes do sistema chama-se conjunto solu¸ao ou solu¸ao geral do c˜ c˜ c˜ sistema. Exemplo 6 O sistema linear de duas equa¸oes e duas inc´gnitas c˜ o x + 2y = 1 2x + y = 0 pode ser escrito do seguinte modo: 1 2 x 1 = . 2 1 y 0 −1/3 A solu¸ao (geral) do sistema acima ´ x = −1/3 e y = 2/3 (verifique!), isto ´, X = c˜ e e . 2/3 Observa¸˜o 5 De modo a facilitar a resolu¸ao de um sistema linear, este pode ser sempre ca c˜ substitu´ por outro que tenha o mesmo conjunto solu¸ao. Esse outro ´ obtido depois ıdo c˜ e de aplicar sucessivamente opera¸oes sobre as equa¸oes do sistema inicial que n˜o alterem a c˜ c˜ a solu¸ao do mesmo. As opera¸oes s˜o: c˜ c˜ a - Trocar a posi¸ao de duas equa¸oes do sistema; c˜ c˜ - Multiplicar uma equa¸ao por um escalar diferente de zero; c˜ - Somar a uma equa¸ao um m´ ltiplo escalar de outra equa¸ao. c˜ u c˜ Estas s˜o as chamadas opera¸oes elementares. Quando aplicamos opera¸oes elementares a c˜ c˜ as equa¸oes de um sistema linear, s´ os coeficientes e os termos independentes do sistema ` c˜ o s˜o alterados. Assim, podemos aplicar as opera¸oes a matriz a c˜ ` a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 [A | B] = . . . . . , . . . ··· . . . . . . . am1 am2 · · · amn | bm a qual se d´ o nome de matriz aumentada do sistema. ` a Defini¸˜o 11 As opera¸oes elementares que podem ser aplicadas as linhas de uma matriz ca c˜ ` s˜o as seguintes: a (i) Trocar a posi¸ao de duas linhas da matriz; c˜ (ii) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; (iii) Somar a uma linha da matriz um m´ ltiplo escalar de outra linha. u 7
- 8. Teorema 2 Sedois sistemas lineares AX = B e CX = D s˜o tais que a matriz aumentada a [C | D] ´ obtida de [A | B] atrav´s de uma opera¸ao elementar, ent˜o os dois sistemas tˆm e e c˜ a e o mesmo conjunto solu¸ao, isto ´, s˜o equivalentes. c˜ e a Observa¸˜o 6 O m´todo que iremos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplica¸ao ca e c˜ de opera¸oes elementares as linhas da matriz aumentada do sistema de modo a obter uma c˜ ` matriz em escada de linhas em rela¸ao a qual o sistema associado seja de f´cil resolu¸ao. c˜ ` a c˜ Defini¸˜o 12 Uma matriz A = (aij )m×n diz-se em escada de linhas se: ca (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) est˜o por baixo das linhas a n˜o nulas; a (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento n˜o nulo de cada linha e por a baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas s˜o nulas. Esse a primeiro elemento n˜o nulo de cada linha tem o nome de pivot. a Defini¸˜o 13 Seja A uma matriz em escada de linhas. Ao no de pivots de A matriz, isto ca o ´, ao n de linhas n˜o nulas de A, d´-se o nome de caracter´ e a a ıstica de A, car A. Se A fˆr a o matriz em escada de linhas obtida de C atrav´s de opera¸oes elementares ent˜o diz-se que a e c˜ a caracter´ıstica de C ´ car A, tendo-se car C = car A. Temos que carA =carA T . e Exemplo 7 As seguintes matrizes est˜o em escada de linhas: a 2 −1 2 1/2 0 √0 0 0 −3 1 0 2 4 −1 0 1 3 0 A= , B= , C= 0 0 0 0 0 −5 . 0 0 0 0 −5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pivot de A: 4. Pivots de B: 1, −5. Pivots de C: 2, −3, −5. car A = 1, car B = 2 e car C = 3. Defini¸˜o 14 O m´todo de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar opera¸oes ca e c˜ elementares as linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz ` fique em escada de linhas, chama-se m´todo de elimina¸˜o de Gauss1 . e ca 1 Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855 8
- 9. Exemplo 8 Osistema linear x+z =3 x + 2y + 2z = 6 3y + 3z = 6 na forma matricial ´ e 1 0 1 x 3 1 2 2 y = 6 . 0 3 3 z 6 Consideremos ent˜o a matriz aumentada e a o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: e c˜ 1 0 1 | 3 1 0 1 | 3 1 0 1 | 3 1 2 2 | 6 −→ 0 2 1 | 3 3 −→ 0 2 1 | 3 . −L1 +L2 →L2 − 2 L2 +L3 →L3 3 3 0 3 3 | 6 0 3 3 | 6 0 0 2 | 2 Logo, x+z =3 x=2 2y + z = 3 ⇔ y=1 3 3 2 z=2 z = 1. Neste exemplo o sistema tem solu¸˜o unica e diz-se poss´ ca ´ ıvel e determinado. Exemplo 9 O sistema linear 3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 x + 3y − z + 5w = −7 ´ equivalente a e x 0 0 3 −9 6 5 15 −10 40 y = −45 . z 1 3 −1 5 −7 w Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: a e c˜ 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7 5 15 −10 40 | −45 −→ 1 3 −2 8 | −9 −→ L1 ↔L3 −L1 +L2 →L2 1 3 −1 5 | −7 1 L →L2 0 0 3 −9 | 6 5 2 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 −→ 0 0 −1 3 | −2 −→ 0 0 −1 3 | −2 . 3L2 +L3 →L3 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 9
- 10. Logo, x + 3y − z + 5w = −7 x = −3y − 2w − 5 ⇔ −z + 3w = −2 z = 3w + 2. As inc´gnitas y e w s˜o livres e as inc´gnitas x e z s˜o n˜o livres. A solu¸ao geral do sistema o a o a a c˜ ´: e x −3y − 2w − 5 y y X= = z , 3w + 2 w w para quaisquer y, w ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por: e c˜ e S = {(−3y − 2w − 5, y, 3w + 2, w) : y, w ∈ R} . Neste exemplo o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´ c˜ ıvel e indeterminado. Exemplo 10 Seja a ∈ R. O sistema linear x + 2y + z = 3 x+y−z =2 x + y + (a2 − 5) z = a ´ equivalente a e 1 2 1 x 3 1 1 −1 y = 2 . 1 1 a2 − 5 z a Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: a e c˜ 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 −1 2 −→ 0 −1 −2 −1 −→ 0 −1 −2 −1 . −L1 +L2 →L2 −L2 +L3 →L3 1 1 a2 − 5 a −L1 +L3 →L3 0 −1 a2 − 6 a − 3 0 0 a2 − 4 a − 2 Se a = 2, ent˜o o sistema ´ poss´ e indeterminado: a e ıvel x + 2y + z = 3 x = 3z + 1 ⇔ −y − 2z = −1 y = −2z + 1, a inc´gnita z ´ livre, as inc´gnitas x e y s˜o n˜o livres e a solu¸ao geral do sistema ´ o e o a a c˜ e x 3z + 1 X = y = −2z + 1 , z z 10
- 11. para qualquer z∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por: e c˜ e S = {(3z + 1, −2z + 1, z) : z ∈ R} . Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´ c˜ ıvel e indeterminado. Se a = −2, o sistema n˜o tem solu¸˜o e diz-se imposs´ a ca ıvel. Se a = −2 e a = 2, o sistema tem a solu¸˜o unica: ca ´ x (a + 5)/(a + 2) X = y = a/(a + 2) z 1/(a + 2) e diz-se poss´ ıvel e determinado. Observa¸˜o 7 Seja [A | B] a matriz aumentada associada a um sistema linear com n ca inc´gnitas. o (i) Se car A = car [A | B] = n ent˜o o sistema ´ poss´ a e ıvel e determinado (tem uma unica solu¸ao). ´ c˜ (ii) Se car A = car [A | B] < n ent˜o o sistema ´ poss´ a e ıvel e indeterminado (tem um no infinito de solu¸oes). c˜ (iii) Se car A < car [A | B] ent˜o o sistema ´ imposs´ a e ıvel (n˜o tem solu¸ao). a c˜ (iv) Podemos escolher como inc´gnitas livres (podem tomar valores arbitr´rios) do o a sistema aquelas que correspondem as colunas, que n˜o contenham pivots, da matriz em ` a escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes elementares. e c˜ (v) As inc´gnitas n˜o livres do sistema s˜o aquelas que correspondem as colunas, o a a ` que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes e c˜ elementares. (vi) car A = no de linhas n˜o nulas da matriz em escada de linhas obtida de A = no de a o pivots = n de inc´gnitas n˜o livres. o a Teorema 3 Sejam A uma matriz do tipo m × n e B uma matriz do tipo m × 1. Se o sistema linear AX = B tem duas solu¸oes distintas X0 e X1 (X0 = X1 ), ent˜o ter´ infinitas solu¸oes. c˜ a a c˜ Dem. Basta verificar que Xλ = (1 − λ) X0 + λX1 ´ solu¸ao do sistema AX = B, para e c˜ qualquer λ ∈ R. 11
- 12. Defini¸˜o 15 Umsistema linear da forma ca a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0 ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0 tem o nome de sistema linear homog´neo. Este sistema poder ser escrito na forma e AX = 0. Todo o sistema linear homog´neo admite e pelo menos a solu¸˜o trivial: ca x1 0 x2 0 X = . = . . .. . . xn 0 Assim, todo o sistema linear homog´neo tem solu¸ao. Al´m disso, ou tem apenas a solu¸ao e c˜ e c˜ trivial ou tem infinitas solu¸oes. c˜ Teorema 4 Se A = (aij )m×n ´ tal que m < n, ent˜o o sistema linear homog´neo AX = 0 e a e tem infinitas solu¸oes. c˜ Dem. Como o sistema tem menos equa¸oes do que inc´gnitas (m < n), o no de linhas c˜ o n˜o nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema tamb´m a e ´ tal que r < n. Assim, r pivots e n − r inc´gnitas livres as quais podem assumir qualquer e o valor real. Logo, o sistema linear homog´neo AX = 0 tem infinitas solu¸oes. e c˜ Teorema 5 Sejam A = (aij )m×n e α, β ∈ R. (i) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o X + Y tamb´m o ´. a c˜ a e e (ii) Se X ´ solu¸ao do sistema AX = 0, ent˜o αX tamb´m o ´. e c˜ a e e (iii) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o αX + βY tamb´m o ´. a c˜ a e e Teorema 6 Seja A uma matriz do tipo m × n e B = 0 uma matriz do tipo m × 1. Qualquer solu¸ao X do sistema AX = B escreve-se na forma X = X0 + Y onde X0 ´ uma solu¸ao c˜ e c˜ particular do sistema AX = B e Y ´ uma solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0. Assim: e c˜ e solu¸ao geral de c˜ solu¸ao particular de c˜ solu¸ao geral de c˜ = + . AX = B AX = B AX = 0 Dem. Sendo X0 uma solu¸ao particular do sistema AX = B, basta escrever c˜ X = X0 + (X − X0 ) e mostrar que X − X0 ´ solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0. e c˜ e 12
- 13. 1.3 Matrizes Elementares Defini¸˜o 16 Uma matriz elementar do tipo n × n ´ uma matriz obtida da matriz iden- ca e tidade I atrav´s de uma unica opera¸ao elementar. e ´ c˜ (i) A matriz Pij , chamada matriz de permuta¸˜o, ´ a matriz elementar obtida por ca e troca da linha i com a linha j da matriz I. Tem-se: 1 0 ··· ··· 0 0 ... ... . . . . . . .. 1 . 0 1 ←i 1 Pij = .. . . 1 1 0 ←j .. . . . 1 . . .. .. . . . . 0 0 ··· ··· 0 1 (ii) A matriz Ei (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I atrav´s do produto do escalar e e α = 0 pela linha i da matriz I. Tem-se: 1 0 ··· ··· 0 . 0 ... ... . . . . ... . 1 Ei (α) = α ←i . .. . 1 . . . . .. .. .. . . 0 0 ··· ··· 0 1 (iii) A matriz Eij (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com e um m´ ltiplo α da linha i. Tem-se: u 1 0 ··· ··· 0 0 ... ... . . . . . . .. 1 . ←i Eij (α) = .. . . .. . . . ←j α 1 . . .. .. . . . . 0 0 ··· ··· 0 1 13
- 14. Exemplo 11 Asmatrizes elementares do tipo 2 × 2 s˜o: a 0 1 α 0 1 0 P12 = P21 = , E1 (α) = , E2 (α) = , 1 0 0 1 0 α com α = 0, 1 0 1 α E12 (α) = e E21 (α) = . α 1 0 1 Teorema 7 Sejam E uma matriz elementar do tipo m × m e A uma matriz qualquer do tipo m × n. Ent˜o, EA ´ a matriz obtida de A atrav´s da mesma opera¸ao elementar que a e e c˜ originou E. Isto ´, aplicar uma opera¸ao elementar a uma matriz corresponde a multiplicar e c˜ essa matriz a esquerda por uma matriz elementar. ` Exemplo 12 Consideremos a matriz aumentada do exemplo 9: 0 0 3 −9 | 6 5 15 −10 40 | −45 . 1 3 −1 5 | −7 A opera¸ao elementar: c˜ 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7 5 15 −10 40 | −45 −→ 5 15 −10 40 | −45 , L1 ↔L3 1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao (` ` c˜ a esquerda): 0 0 1 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7 0 1 0 5 15 −10 40 | −45 = 5 15 −10 40 | −45 . 1 0 0 1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6 A opera¸ao elementar: c˜ 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 5 15 −10 40 | −45 −→ 1 3 −2 8 | −9 , 1 L →L2 0 0 3 −9 | 6 5 2 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao (` esquerda): ` c˜ a 1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 0 1/5 0 5 15 −10 40 | −45 = 1 3 −2 8 | −9 . 0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 14
- 15. A opera¸ao elementar: c˜ 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 1 3 −2 8 | −9 −→ 0 0 −1 3 | −2 , −L1 +L2 →L2 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao ` c˜ (` esquerda): a 1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 −1 1 0 1 3 −2 8 | −9 = 0 0 −1 3 | −2 . 0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 Finalmente, a opera¸ao elementar: c˜ 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 0 0 −1 3 | −2 −→ 0 0 −1 3 | −2 , 3L2 +L3 →L3 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 corresponde a seguinte multiplica¸ao ` c˜ (` esquerda): a 1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 0 1 0 0 0 −1 3 | −2 = 0 0 −1 3 | −2 . 0 3 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 Tem-se ent˜o: a 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7 1 E23 (3) E12 (−1) E2 P13 5 15 −10 40 | −45 = 0 0 −1 3 | −2 . 5 1 3 −1 5 | −7 0 0 0 0 | 0 1.4 A matriz inversa Defini¸˜o 17 Uma matriz A (do tipo n × n) diz-se invert´ se existir uma matriz B (do ca ıvel tipo n × n) tal que AB = BA = I. ` A matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A−1 . Observa¸˜o 8 Obviamente que resulta da defini¸ao de matriz inversa o seguinte facto: ca c˜ −1 −1 sendo A a matriz inversa de A, ent˜o A ´ invert´ e a sua inversa ´ a pr´pria matriz a e ıvel e o −1 −1 A, isto ´, (A ) = A. e Exemplo 13 As seguintes matrizes s˜o a inversa uma da outra: a −2 1 −1/2 1/6 A= e B= . 0 3 0 1/3 15
- 16. Teorema 8 Ainversa de uma matriz ´ unica. e´ Dem. Sejam B e C as inversas de A. Ent˜o, a B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C. Teorema 9 (i) Se A = (aij )n×n e B = (bij )n×n s˜o duas matrizes invert´ a ıveis, ent˜o AB ´ a e invert´ e ıvel (AB)−1 = B −1 A−1 . ıvel, ent˜o AT ´ invert´ e (ii) Se A = (aij )n×n ´ invert´ e a e ıvel −1 T AT = A−1 . Defini¸˜o 18 Uma matriz A = (aij )n×n diz-se n˜o singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao ca a o e c˜ de Gauss esta fˆr transformada numa matriz triangular superior (matriz cujas entradas o por baixo da diagonal principal s˜o todas nulas) cujas entradas da diagonal principal sejam a todas n˜o nulas. Uma matriz A = (aij )n×n diz-se singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao a o e c˜ de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A. Teorema 10 Uma matriz A = (aij )n×n ´ invert´ se e s´ se ´ n˜o singular. e ıvel o e a Teorema 11 Toda a matriz elementar ´ invert´ e ıvel e a respectiva inversa ´ tamb´m uma e e matriz elementar. Tem-se: (i) (Pij )−1 = Pij . (ii) (Ei (α))−1 = Ei (1/α), para α = 0. (iii) (Eij (α))−1 = Eij (−α). Teorema 12 (Factoriza¸˜o triangular). Seja A uma matriz n˜o singular do tipo n × n. ca a Ent˜o ou A admite a factoriza¸ao unica A = LDU ou existe uma matriz de permuta¸ao P a c˜ ´ c˜ tal que P A admite a factoriza¸ao unica P A = LDU , onde L e U s˜o respectivamente uma c˜ ´ a matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior com as entradas das diagonais principais todas iguais a 1, e D ´ uma matriz diagonal com as entradas da diagonal principal e todas n˜o nulas. a 16
- 17. Observa¸˜o 9 Asentradas da diagonal principal da matriz D do teorema 12 s˜o os pivots ca a que resultam da aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss a matriz A. c˜ e c˜ ` 1 1 1 Exemplo 14 Seja A = 2 1 4 . Tem-se: 2 3 5 1 1 1 1 0 0 1 1 1 E23 (1)E13 (−2)E12 (−2)A = 0 −1 2 = 0 −1 0 0 1 −2 . 0 0 5 0 0 5 0 0 1 Logo, 1 0 0 1 1 1 A = (E12 (−2))−1 (E13 (−2))−1 (E23 (1))−1 0 −1 0 0 1 −2 . 0 0 5 0 0 1 Isto ´, e 1 0 0 1 1 1 A = E12 (2)E13 (2)E23 (−1) 0 −1 0 0 1 −2 , 0 0 5 0 0 1 ou ainda, A = LDU , com 1 0 0 L = E12 (2)E13 (2)E23 (−1) = 2 1 0 , 2 −1 1 1 0 0 1 1 1 D = 0 −1 0 e U = 0 1 −2 . 0 0 5 0 0 1 Observa¸˜o 10 Uma matriz A ´ invert´ ca e ıvel se e s´ se fˆr igual ao produto de matrizes o o elementares. Teorema 13 Seja A uma matriz do tipo n × n. (i) O sistema associado a AX = B tem solu¸ao unica se e s´ se A fˆr invert´ c˜ ´ o o ıvel. Neste −1 caso a solu¸ao ´ X = A B. c˜ e (ii) O sistema homog´neo AX = 0 tem solu¸ao n˜o trivial se e s´ se A fˆr singular (n˜o e c˜ a o o a invert´ ıvel). 17
- 18. Teorema 14 SejamA e B duas matrizes do tipo n × n. Se AB ´ invert´ e ıvel, ent˜o A e B a s˜o invert´ a ıveis. Dem. Considere o sistema (AB) X = 0. Se B n˜o fosse invert´ a ıvel, ent˜o pelo teorema a 13 existiria X = 0 tal que BX = 0. Logo, X = 0 seria solu¸ao n˜o trivial de ABX = 0, o c˜ a que contraria o teorema 13 uma vez que por hip´tese AB ´ invert´ o e ıvel. Assim, B ´ invert´ e ıvel. −1 Finalmente, A ´ invert´ por ser o produto de duas matrizes invert´ e ıvel ıveis: A = (AB) B . Observa¸˜o 11 (Como inverter matrizes do tipo n × n). Seja A uma matriz do tipo ca n × n e consideremos a equa¸ao AX = B. Se A fˆr invert´ c˜ o ıvel temos AX = B ⇔ X = A−1 B, isto ´, e AX = IB ⇔ IX = A−1 B. Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A | I] na matriz [I | A−1 ], por meio de opera¸oes elementares aplicadas as linhas de [A | I]. Este c˜ ` m´todo tem o nome de m´todo de elimina¸˜o de Gauss-Jordan2 e consistir´ na conti- e e ca a nua¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior | ∗], c˜ e c˜ efectuando-se as elimina¸oes de baixo para cima de modo a obter-se [I | A−1 ]. c˜ 1 1 1 Exemplo 15 (i) Seja A = 2 1 4 . Tem-se 2 3 5 1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0 [A | I] = 2 1 4 | 0 1 0 −→ 0 −1 2 | −2 1 0 −→ −2L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3 2 3 5 | 0 0 1 −2L1 +L3 −→L3 0 1 3 | −2 0 1 1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0 −→ 0 −1 2 | −2 1 0 1 −→ 0 −1 2 | −2 1 0 −→ L3 −→L3 −2L3 +L2 −→L2 0 0 5 | −4 1 1 5 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 −L3 +L1 −→L1 1 1 0 | 9/5 −1/5 −1/5 −→ 0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5 −→ L2 +L1 −→L1 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5 −→ 0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5 −→ −L2 −→L2 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5 −→ 0 1 0 | 2/5 −3/5 2/5 . 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 2 Wilhelm Jordan 1842 – 1899 18
- 19. 1 2 3 (ii) Seja A = 1 1 2 . Tem-se 0 1 1 1 2 3 | 1 0 0 1 2 3 | 1 0 0 [A | I] = 1 1 2 | 0 1 0 −→ 0 −1 −1 | −1 1 0 −→ −L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3 0 1 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 0 1 1 2 3 | 1 0 0 −→ 0 −1 −1 | −1 1 0 . 0 0 0 | −1 1 1 Logo, A ´ singular e como tal n˜o ´ invert´ e a e ıvel. 2 Determinante Defini¸˜o 19 Dados os n´ meros naturais 1, 2, ..., n chama-se permuta¸˜o desses n n´ meros ca u ca u a qualquer lista em em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitr´ria. a Defini¸˜o 20 Seja (i1 i2 ...in ) uma permuta¸ao dos n´ meros naturais 1, 2, ..., n. Diz-se que ca c˜ u um par (ij ik ) ´ uma invers˜o quando (j − k) (ij − ik ) < 0 (isto ´, quando ij e ik aparecerem e a e na permuta¸ao por ordem decrescente). c˜ ca c˜ ımpar) quando o no m´ximo de in- Defini¸˜o 21 Uma permuta¸ao (i1 i2 ...in ) diz-se par (´ a vers˜es inclu´ o ıdas fˆr par (´ o ımpar). Exemplo 16 A permuta¸ao (21453) ´ ´ c˜ e ımpar pois contem as invers˜es (21), (43) e (53). o Defini¸˜o 22 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se determinante3 de A, e escreve-se |A| ou ca det A, o n´ mero que se obtem do seguinte modo: u (i) Formam-se todos os produtos poss´ıveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A. 3 O Determinante de uma matriz foi pela primeira vez considerado por Talakazu Seki 1642–1708 19
- 20. (ii) Afecta-se cadaproduto do sinal + ou do sinal − conforme as permuta¸oes (dos c˜ n´ meros naturais 1, 2, ..., n) que figuram nos ´ u ındices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou n˜o. a (iii) Somam-se as parcelas obtidas. Em resumo: |A| = (−1)σ a1j1 a2j2 ...anjn , (j1 j2 ...jn ) permuta¸ao de 1,2,...,n c˜ em que 0 se (j1 j2 ...jn ) ´ par e σ= 1 se (j1 j2 ...jn ) ´ ´ e ımpar. Observa¸˜o 12 Podemos ainda escrever de modo equivalente: ca |A| = (−1)σ ai1 1 ai2 2 ...ain n , (i1 i2 ...in ) permuta¸ao de 1,2,...,n c˜ em que 0 se (i1 i2 ...in ) ´ par e σ= 1 se (i1 i2 ...in ) ´ ´ e ımpar. Teorema 15 Seja A ∈ Mat2×2 (R). Ent˜o a a11 a12 |A| = = a11 a22 − a12 a21 . a21 a22 (ii) Seja A ∈ Mat3×3 (R). Ent˜o a a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 . a31 a32 a33 Observa¸˜o 13 Se A ∈ Matn×n (R) ent˜o |A| tem n! parcelas, pelo que p.ex. se aplicarmos ca a a defini¸ao de determinante a uma matriz 4 × 4, teremos 4! = 24 parcelas. c˜ 20
- 21. Exemplo 17 (i) 1 −1 = 1(−2) − (−1)2 = 0. 2 −2 (ii) 1 2 1 3 −1 2 = 1(−1)(−3) + 3 + 8 − 1(−1)2 − 6(−3) − 2 = 32. 2 1 −3 Teorema 16 Sejam A, B ∈ Matn×n (R). Seja λ ∈ R. (i) det (AB) = det A det B. (ii) Se A fˆr uma matriz triangular superior ou triangular inferior ent˜o det A = produto o a dos elementos da diagonal principal de A. (iii) Se A tiver uma linha nula ent˜o det A = 0. a (iv) Se B fˆr obtida de A multiplicando uma linha de A por um n´ mero real λ ent˜o o u a det B = λ det A. (v) Se B fˆr obtida de A somando a uma linha de A um m´ ltiplo real λ de uma outra o u linha de A ent˜o det B = det A. a (vi) Se duas linhas de A forem iguais ent˜o det A = 0. a (vii) Se B fˆr obtida de A trocando duas linhas de A ent˜o det B = − det A. o a (viii) det AT = det A. 1 (ix) Se A fˆr invert´ det (A−1 ) = o ıvel . det A (x) det (λA) = λn det A. (xi) det (AB) = 0 ⇒ det A = 0 ou det B = 0. (xii) det (AB) = det (BA). (xiii) det(A) = 0 se e s´ se A invert´ o ıvel. Observa¸˜o 14 Em geral, det(A + B) = det(A) + det(B). ca Defini¸˜o 23 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja Aij a matriz do tipo (n − ca 1) × (n − 1) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A. Chama-se a Aij o menor-ij da matriz A. 21
- 22. Teorema 17 (F´rmulade Laplace4 .) Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se o n det A = aij (−1)i+j det Aij . j=1 Observa¸˜o 15 Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se ca n det A = aij (−1)i+j det Aij . i=1 Exemplo 18 1 0 −2 3 1 −2 3 1 0 −2 2 1 −1 4 3+2 3+4 = (−1)(−1) 2 −1 4 + (−2)(−1) 2 1 −1 = 0 −1 0 −2 1 −2 −3 1 0 −2 1 0 −2 −3 = (−1)(−3) + (−2)4 + 2(−2)3 − (−1)3 − (−2)2(−3) − 4(−2) + 2 [(−2) − (−2)] = −18 Defini¸˜o 24 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja aij = (−1)i+j det Aij onde ca Aij ´ o menor-ij da matriz A. Chama-se a aij o cofactor-ij da matriz A e a matriz e ` cof A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1, a matriz dos cofactores de A. Teorema 18 Para qualquer matriz A ∈ Matn×n (R), com n > 1, tem-se A (cof A)T = (det A) I. Se det A = 0 ent˜o A ´ invert´ e a e ıvel 1 A−1 = (cof A)T . det A a b Exemplo 19 Seja A = ∈ Mat2×2 (R) tal que det A = 0. Ent˜o A ´ invert´ e a e ıvel c d 1 d −b A−1 = . ad − bc −c a (Veja por exemplo o exo 10 da ficha 2.) Note que ad − bc = det A. (ii) Podemos usar o teorema 18 para calcular n˜o s´ a inversa de uma matriz (n˜o a o a singular) mas tamb´m entradas concretas dessa inversa. Seja e 1 0 0 A = 4 5 6 . 7 8 9 A entrada (2, 3) da matriz A−1 ´ dada por e 1 1 1 1 0 (A−1 )23 = (cof A)T = (−1)3+2 det A32 = − det = 2. det A 23 det A −3 4 6 4 Pierre-Simon Laplace 1749–1827 22
- 23. Teorema 19 (Regrade Cramer5 .) Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ n˜o singular. Ent˜o e a a a unica solu¸ao do sistema de equa¸oes lineares AX = B ´ dada por ´ c˜ c˜ e 1 X = A−1 B = (cof A)T B. det A T T Isto ´, sendo X = e x1 . . . x n eB= b1 . . . bn tem-se n 1 det Bj xj = akj bk = , det A k=1 det A onde Bj ´ a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos e termos independentes. Exemplo 20 O sistema de equa¸oes lineares c˜ 2x + y = 8 −x + 2y + 4z = 7 −x + z = 1 pode ser resolvido usando a regra de Cramer: 8 1 0 2 8 0 2 1 8 7 2 4 −1 7 4 −1 2 7 1 0 1 −1 1 1 −1 0 1 x= = 13, y= = −18 e z= = 14. 2 1 0 2 1 0 2 1 0 −1 2 4 −1 2 4 −1 2 4 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 3 Espa¸os Lineares (Vectoriais) c No final do s´culo XIX e no come¸o do s´culo XX tornou-se claro – gra¸as a Grassmann 6 , e c e c 7 8 Peano e a Weyl – que o desenvolvimento axiom´tico da geometria Euclideana podia ser feito a apelando a estruturas matem´ticas — Espa¸os Vectoriais e Euclidianos — que desempanham a c um papel determinante noutras areas da matem´tica e de outras ciˆncias. O estudo das ´ a e estruturas matem´ticas independente quer dos contextos que lhes deram origem quer dos a contextos em que aplicam constitui uma das ideias mais ricas da matem´tica do s´culo XX a e a a ´ e ´ indissoci´vel da matem´tica Emmy Noether9 . A Algebra linear ´ basicamente o estuda e e dessas estruturas. 5 Gabriel Cramer 1704–1752 6 Hermann Grassmann 1809–1877 7 Giuseppe Peano 1858–1932 8 Hermanm Weyl 1885–1955 9 Emmy Noether 1882–1935 23
- 24. Defini¸˜o 25 Umconjunto n˜o vazio V ´ um espa¸o linear (real) se existirem duas ca a e c opera¸oes associadas a V , uma soma de elementos de V e um produto de escalares (n´ meros c˜ u reais) por elementos de V , com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma). Para quaisquer u, v ∈ V tem-se u + v ∈ V . (b) (Fecho do produto por escalares). Para quaisquer α ∈ R e u ∈ V tem-se αu ∈ V . (c) (Comutatividade da soma). Para quaisquer u, v ∈ V , u + v = v + u. (d) (Associatividade da soma). Para quaisquer u, v, w ∈ V , u + (v + w) = (u + v) + w. (e) (Elemento neutro da soma). Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u ∈ V , u + 0 = u. (f ) (Sim´trico). Para cada (qualquer) u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. A v e chama-se o sim´trico de u e denota-se por −u. e (g) (Associatividade do produto por escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V , α (βu) = (αβ) u. (h) (Distributividade em rela¸ao a soma de vectores). Para quaisquer α ∈ R e u, v ∈ V , c˜ ` α (u + v) = αu + αv. (i) (Distributividade em rela¸ao a soma de escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V , c˜ ` (α + β) u = αu + βu. (j) Para qualquer u ∈ V , 1u = u. Observa¸˜o 16 Aos elementos de V chamaremos vectores. ca Exemplo 21 Exemplos de espa¸os lineares: c (i) Rn , com as opera¸oes usuais: c˜ (u1 , u2 , ..., un ) + (v1 , v2 , ..., vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ), α(u1 , u2 , ..., un ) = (αu1 , αu2 , ..., αun ). (ii) Matm×n (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n), com as opera¸oes c˜ (usuais): A + B e αA. (iii) O conjunto de todas as fun¸oes reais de vari´vel real definidas num conjunto n˜o c˜ a a vazio S ⊆ R, com as opera¸oes usuais: c˜ (f + g)(x) = f (x) + g(x), 24
- 25. (αf )(x) =αf (x). (iv) O conjunto P de todos os polin´mios reais, com as opera¸oes usuais. o c˜ (v) O conjunto Pn de todos os polin´mios reais de grau menor ou igual a n, com as o opera¸oes usuais. c˜ Observa¸˜o 17 Um mesmo conjunto pode servir para formar espa¸os lineares diferentes: ca c (i) O conjunto dos n´ meros reais R, com a soma definida por u u v = u + v + 1, e o produto por escalares definido por α · u = αu + α − 1, ´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ −1.) e c e (ii) O conjunto dos n´ meros reais maiores do que zero, com a soma definida por u u v = uv, e o produto por escalares definido por α · u = uα , ´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ 1.) e c e Observa¸˜o 18 Altera¸oes nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em ca c˜ conjuntos que n˜o s˜o espa¸os lineares. a a c (i) O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´ um espa¸o c˜ a e c linear. Por exemplo, os sim´tricos n˜o est˜o no conjunto. e a a (ii) O conjunto V = {a0 + a1 t + ... + an tn : a0 , a1 , ..., an ∈ R e an = 0}, com as opera¸oes c˜ usuais, n˜o ´ um espa¸o linear. Por exemplo: a e c tn , −tn + t ∈ V , mas tn + (−tn + t) = t ∈ V . / (iii) O conjunto U = {f : R −→ R tais que f (1) = 2}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´ c˜ a e um espa¸o linear. Por exemplo, se f1 , f2 ∈ U , c (f1 + f2 ) (1) = f1 (1) + f2 (1) = 2 + 2 = 4 = 2. Logo, f1 + f2 ∈ U . / 25
- 26. 3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e li- c u c nhas de uma matriz Defini¸˜o 26 Seja V um espa¸o linear. Diz-se que S ´ um subespa¸o de V se S ´ um ca c e c e subconjunto de V e se S, com as opera¸oes de V , fˆr um espa¸o linear. c˜ o c Observa¸˜o 19 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S ⊂ V ´ um subespa¸o ca e c do espa¸o linear V , n˜o ser´ necess´rio verificar as 10 propriedades da defini¸ao 25, como se c a a a c˜ pode ver no seguinte teorema. Teorema 20 Um subconjunto n˜o vazio S de um espa¸o linear V ´ um subespa¸o de V se a c e c e s´ se: o (i) Para quaisquer u, v ∈ S tem-se u + v ∈ S. (ii) Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S tem-se αu ∈ S. Exemplo 22 Exemplos de subespa¸os: c (i) Os unicos subespa¸os do espa¸o linear R, com as opera¸oes usuais, s˜o {0} e R. ´ c c c˜ a (ii) Os subespa¸os do espa¸o linear R3 , com as opera¸oes usuais, s˜o: {(0, 0, 0)}, R3 , c c c˜ a todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem. (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n × n) ´ um e subespa¸o do espa¸o linear Matn×n (R), com as opera¸oes usuais. c c c˜ (iv) O conjunto de todas as fun¸oes reais definidas e cont´ c˜ ınuas em I ⊂ R (I ´ um e intervalo) ´ um subespa¸o do espa¸o linear de todas as fun¸oes f : I −→ R, com as opera¸oes e c c c˜ c˜ usuais. (v) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u} c˜ ´ um subespa¸o do espa¸o linear Rm , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de e c c c˜ a espa¸o das colunas de A. c (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto Nuc(A) = {u ∈ Rn : Au = 0} ´ um subespa¸o do espa¸o linear Rn , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de e c c c˜ a espa¸o nulo ou n´cleo de A. c u 26
- 27. Observa¸˜o 20 (i)Se A ´ invert´ ent˜o Nuc(A) = {0}. ca e ıvel a (ii) Se Nuc(A) = {0} ent˜o A ´ invert´ a e ıvel. (iii) Poderemos obter subespa¸os de um espa¸o linear atrav´s de combina¸oes lineares c c e c˜ de vectores desse espa¸o. c Defini¸˜o 27 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . Diz-se que um vector ca a c u ´ combina¸˜o linear finita dos elementos de S, se existir um no finito de elementos de e ca S, u1 , ..., uk , e de escalares λ1 , ..., λk tais que k u = λ1 u1 + ... + λk uk = λ i ui . i=1 Ao cojunto de todas as combina¸oes lineares finitas de elementos de S chama-se expans˜o c˜ a linear de S e designa-se por L(S). Se S ´ o conjunto vazio ∅, escreve-se L(∅) = {0}. e Teorema 21 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . A expans˜o linear a c a L(S) de S ´ o menor subespa¸o de V que cont´m S. Deste modo, a L(S) tamb´m se chama e c e e o subespa¸o gerado por S, e diz-se que S gera L(S). c Observa¸˜o 21 Seja S e T dois subconjuntos n˜o vazios de um espa¸o linear V , com S ⊂ T . ca a c Se L(S) = V ent˜o L(T ) = V . a Exemplo 23 (i) O espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vec- c e tores: {(1, 0), (0, 1)}, {(1, 2), (−1, 11)} e {(23, 8), (6, 14)}. (ii) O subespa¸o {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} do espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos c c e seguintes conjuntos de vectores: {(1, 2)}, {(−2, −4)} e {(77, 154)}. (iii) O espa¸o linear Pn de todos os polin´mios de grau menor ou igual a n, ´ gerado c o e por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: 2 n 2 n t t2 tn {1, t, t , ..., t }, {1, 1 + t, (1 + t) , ..., (1 + t) } e {1, , , ..., }. 1! 2! n! (iv) O espa¸o linear P de todos os polin´mios, ´ gerado pelo conjunto infinito de vectores: c o e {1, t, t2 , ...}. 27
- 28. (v) O espa¸olinear V de todas as fun¸oes f : R → R diferenci´veis tais que f (x) = af (x) c c˜ a ax ´ gerado pela fun¸ao f1 (x) = e , i.e. V = L({f1 }). e c˜ (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O espa¸o das colunas de A, c C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u} , c˜ ´ o subespa¸o (do e c espa¸o linear Rm ) gerado pelas colunas de A, uma vez que: c b1 a11 a12 · · · a1n u1 a11 a12 a1n b2 a21 a22 · · · a2n u2 a21 a22 a2n . = . . . . . ··· . . = u1 . + u2 . + ... + un . . . . . . . . . . . . . .. bm am1 am2 · · · amn un am1 am2 amn (vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. Ao subespa¸o linear de Rn gerado pelas c linhas de A d´-se o nome de espa¸o das linhas de A e designa-se por L(A). a c (viii) Sejam 1 −3 1 −1 2 0 0 0 2 0 A= , B = 0 0 7 , C = 2 −4 e D= . 0 0 0 0 −1 0 0 0 −2 4 Tem-se C(A) = {(0, 0)}, Nuc(A) = R3 e L(A) = {(0, 0, 0)}. C(B) = L ({(1, 0, 0) , (1, 7, 0)}) , Nuc(B) = L ({(3, 1, 0)}) e L(B) = L ({(1, −3, 1) , (0, 0, 7)}) . C(C) = L ({(−1, 2, −2)}) , Nuc(C) = L ({(2, 1)}) e L(C) = L ({(−1, 2)}) . C(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) , Nuc(D) = {(0, 0)} e L(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) . (ix) Seja U = {A ∈ Mat3×2 (R) : a12 = a21 = a32 = 0 e a11 + 2a31 = 0}. Tem-se, para A ∈ U, a11 a12 −2a31 0 −2 0 0 0 A= a21 a22 = 0 a22 = a31 0 0 + a22 0 1 , a31 a32 a31 0 1 0 0 0 com a31 , a22 ∈ R. Logo, −2 0 0 0 U = L 0 0 , 0 1 . 1 0 0 0 (x) Seja U = {p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 ∈ P2 : p(1) = p(0)}. Tem-se, para p(t) ∈ U , p(1) = p(0) ⇐⇒ a0 + a1 + a2 = a0 ⇐⇒ a1 + a2 = 0 ⇐⇒ a1 = −a2 . Logo, p(t) = a0 − a2 t + a2 t2 = a0 1 + a2 −t + t2 , com a0 , a2 ∈ R. Assim, U =L 1, −t + t2 . 28
- 29. Teorema 22 SeU e V s˜o subespa¸os do espa¸o linear W , ent˜o: a c c a (i) O conjunto U ∩ V ´ um subespa¸o linear de W . e c e c ´ (ii) O conjunto U + V = {u + v : u ∈ U e v ∈ V } ´ um subespa¸o de W . E o menor subespa¸o de W que cont´m U ∪ V . O conjunto U ∪ V em geral n˜o ´ um subespa¸o. Tem-se c e a e c U + V = L(U ∪ V ). Exemplo 24 (i) Em R3 , considere os subespa¸os: c U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 0} e V = L ({(1, 1, −1), (1, 2, 1)}) . Seja v ∈ V , ent˜o a v = α(1, 1, −1) + β(1, 2, 1) = (α + β, α + 2β, −α + β), com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em U ´ preciso que: e e (α + β) + (α + 2β) − 2 (−α + β) = 0. A ultima equa¸ao ´ equivalente a 4α + β = 0 ⇐⇒ β = −4α. Logo, ´ c˜ e U ∩ V = {(−3α, −7α, −5α) : α ∈ R} = {α(−3, −7, −5) : α ∈ R} = L ({(3, 7, 5)}) . (ii) Em R3 , considere os subespa¸os: c U = L ({(1, −1, 1), (1, 2, 2)}) e V = L ({(2, 1, 1), (−1, 1, 3)}) . Seja v ∈ U , ent˜o a v = α(1, −1, 1) + β(1, 2, 2) = (α + β, −α + 2β, α + 2β), com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em V ´ preciso que: e e (α + β, −α + 2β, α + 2β) = λ(2, 1, 1) + µ(−1, 1, 3) = = (2λ − µ, λ + µ, λ + 3µ) , com λ, µ ∈ R. Deste modo, α + β = 2λ − µ −α + 2β = λ + µ α + 2β = λ + 3µ. Considerando a matriz aumentada tem-se 1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ −1 2 | λ + µ −→ 0 3 | 3λ −→ 0 3 | 3λ L1 +L2 →L2 − 1 L2 +L3 →L3 1 2 | λ + 3µ −L1 +L3 →L3 0 1 | −λ + 4µ 3 0 0 | −2λ + 4µ 29
- 30. Logo, α + β = 2λ − µ α=µ β=λ ⇐⇒ β = 2µ 0 = −2λ + 4µ. λ = 2µ. Assim, α(1, −1, 1) + β(1, 2, 2) = µ(1, −1, 1) + 2µ(1, 2, 2) = (3µ, 3µ, 5µ) = µ(3, 3, 5). Logo, U ∩ V = {(3µ, 3µ, 5µ) : µ ∈ R} ={µ(3, 3, 5) : µ ∈ R} = L ({(3, 3, 5)}) . Observa¸˜o 22 Neste exemplo (ii), os subespa¸os U e V poderiam ter sido apresentados ca c inicialmente na forma: U = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x + y − 3z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − 7y + 3z = 0}, uma vez que U = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x + y − 3z = 0} = L ({(1, −4, 0), (0, 3, 1)}) = L ({(1, −1, 1), (1, 2, 2)}) e V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x−7y+3z = 0} = L ({(7, 2, 0), (−3, 0, 2)}) = L ({(2, 1, 1), (−1, 1, 3)}) . (iii) Sejam W = Matn×n (R), U o subespa¸o (de W ) das matrizes triangulares superiores, c V o subespa¸o (de W ) das matrizes triangulares inferiores. Ent˜o c a U +V =W e U ∩ V = subespa¸o das matrizes diagonais. c (iv) Sejam W = R2 , U = L({(1, 0)}) e V = L({(0, 1)}). O conjunto U ∪ V = {(x, y) ∈ R2 : x = 0 ∨ y = 0} n˜o ´ um espa¸o linear: a e c (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈ U ∪ V / ∈U ∈V Teorema 23 Se U e V subespa¸os do espa¸o linear W , ent˜o U ∪ V ´ subespa¸o de W se c c a e c e s´ se U ⊂ V ou V ⊂ U . o Teorema 24 Sejam W1 e W2 subespa¸os de um espa¸o linear V tais que c c W1 ∩ W2 = {0}. Se V = W1 + W2 ent˜o todo o vector v ∈ V pode ser escrito de modo unico na forma a ´ v = w 1 + w2 com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 . Neste caso escreve-se V = W1 ⊕ W2 e diz-se que V ´ a soma e directa dos espa¸os W1 e W2 . c 30
- 31. Teorema 25 Oespa¸o das linhas L(A) e o n´ cleo Nuc(A) de uma matriz A ∈ Matm×n (R) c u mantˆm-se invariantes por aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss. Isto ´, sendo A a e c˜ e c˜ e matriz em escada que se obtem de A por aplica¸ao desse m´todo, tem-se c˜ e L(A) = L(A ) e Nuc(A) = Nuc(A ). Observa¸˜o 23 Seja A ∈ Matm×n (R). Se A fˆr a matriz em escada que se obtem de A por ca o aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss, tem-se c˜ e c˜ C(A) = C(A ). Teorema 26 Seja A ∈ Matm×n (R). Tem-se C(A) = L(AT ) e L(A) ∩ Nuc(A) = {0}. 3.2 Independencia linear Defini¸˜o 28 Seja V um espa¸o linear. Seja S = {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ V . Diz-se que o con- ca c junto S ´ linearmente dependente se e s´ se algum dos vectores de S se escrever como e o combina¸ao linear dos restantes, isto ´, se e s´ se existir algum i ∈ {1, 2, ..., k} e escalares c˜ e o λ1 , λ2 , ..., λi−1 , λi+1 , ..., λk ∈ R tais que vi = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λi−1 vi−1 + λi+1 vi+1 + ... + λk vk . Defini¸˜o 29 Seja V um espa¸o linear. Seja S = {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ V . Diz-se que o conjunto ca c S ´ linearmente independente se e s´ se nenhum dos vectores de S se puder escrever e o como combina¸ao linear dos restantes, isto ´, se e s´ a unica solu¸ao do sistema homog´neo c˜ e o ´ c˜ e λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λk vk = 0 fˆr a solu¸ao trivial, ou seja, λ1 = λ2 = ... = λk = 0. o c˜ Se V = Rn , sendo A a matriz cujas colunas s˜ os vectores de S, enta˜o S ´ linearmente a a e independente se e s´ se Nuc(A) = {0} se e s´ se car(A) = k. o o Teorema 27 Seja A uma matriz em escada de linhas. (i) As colunas de A que contˆm pivots s˜o linearmente independentes. e a (ii) As linhas n˜o nulas de A s˜o linearmente independentes. a a (iii) O no de linhas independentes e o no de colunas independentes (de A ) s˜o ambos a iguais a caracter´ ` ıstica de A . 31
- 32. Observa¸˜o 24 (i)Assim, atendendo ao teorema anterior, a independˆncia linear de S = ca e {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ V (espa¸o linear) pode ser decidida aplicando o m´todo de elimina¸ao a c e c˜ ` matriz A cujas colunas s˜o os vectores de S, de modo a coloc´-la em escada de linhas. Sendo a a A essa matriz em escada, tem-se pelo teorema ?? Nuc(A) = Nuc(A ) (*). Uma vez que as colunas de A que contˆm pivots s˜o linearmente independentes ent˜o, devido e a a a (*), as colunas de A nas posi¸oes correspondentes tamb´m ser˜o linearmente independentes. c˜ e a (ii) Em R, quaisquer dois vectores s˜o linearmente dependentes. a (iii) Em R2 , dois vectores s˜o linearmente independentes se n˜o forem colineares. a a (iv) Em R3 , trˆs vectores s˜o linearmente independentes se n˜o forem coplanares. e a a (v) Qualquer conjunto que contenha o vector nulo (elemento neutro) ´ linearmente de- e pendente. Em particular, o conjunto {0}, formado apenas pelo vector nulo, ´ linearmente e dependente. (vi) O conjunto vazio ∅ ´ linearmente independente. e Teorema 28 Sejam S1 e S2 dois subconjuntos finitos de um espa¸o linear, tais que S1 ⊂ S2 . c (i) Se S1 ´ linearmente dependente ent˜o S2 tamb´m ´ linearmente dependente. e a e e (ii) Se S2 ´ linearmente independente ent˜o S1 tamb´m ´ linearmente independente. e a e e Observa¸˜o 25 Sejam S1 e S2 dois subconjuntos finitos de um espa¸o linear, tais que ca c S1 ⊂ S 2 . (i) Se S2 fˆr linearmente dependente ent˜o S1 tanto pode ser linearmente dependente o a como linearmente independente. (ii) Se S1 fˆr linearmente independente ent˜o S2 tanto pode ser linearmente dependente o a como linearmente independente. Exemplo 25 Seja S = {(1, 0, 2), (2, 0, 4), (0, 1, 2)}. Tem-se 1 2 0 1 2 0 1 2 0 A= 0 0 1 −→ 0 0 1 −→ 0 0 1 =A. −2L1 +L3 →L3 −2L2 +L3 →L3 2 4 2 0 0 2 0 0 0 32
- 33. Logo, como apenasexistem dois pivots e portanto uma vari´vel livre, as trˆs colunas de A a e s˜o linearmente dependentes, isto ´, o conjunto S ´ linearmente dependente. O subconjunto a e e de S: {(1, 0, 2), (2, 0, 4)} tamb´m ´ linearmente dependente. No entanto, uma vez que a 1a e 3a colunas de A s˜o e e a independentes pois correspondem as colunas da matriz em escada A que contˆm os pivots, ` e o subconjunto de S: {(1, 0, 2), (0, 1, 2)} ´ linearmente independente. e 3.3 Bases e dimens˜o de Espa¸os Lineares a c Defini¸˜o 30 Chama-se base de um espa¸o linear V a qualquer subconjunto S de V que ca c verifique as duas condi¸oes: c˜ (i) S gera V , isto ´, L(S) = V . e (ii) S ´ linearmente independente. e Teorema 29 Qualquer espa¸o linear V = {0} tem pelo menos uma base. c Dem.: Demonstra¸ao n˜o trivial!! c˜ a Observa¸˜o 26 Qualquer espa¸o linear V = {0} tem um no infinito de bases. Por exemplo, ca c se S = {u1 , ..., uk } fˆr uma base de V ent˜o para cada α = 0 o conjunto {αu1 , ..., αuk } ´ o a e tamb´m uma base de V . e Teorema 30 Todas as bases de um espa¸o linear V = {0} tˆm o mesmo no de vectores. c e Defini¸˜o 31 Chama-se dimens˜o de um espa¸o linear V = {0} ao no de vectores de uma ca a c base qualquer de V , e escreve-se dim V . Se V = {0} ent˜o dim V = 0 uma vez que o conjunto a vazio ∅ ´ base de {0}. Um espa¸o linear ter´ dimens˜o finita se uma sua base tiver um n o e c a a finito de vectores. 33
- 34. Exemplo 26 (i)O conjunto {1} ´ uma base de R, chamada base can´nica ou natural de e o R. Logo, dim R = 1. (ii) O conjunto {(1, 0), (0, 1)} ´ uma base de R2 , chamada base can´nica ou natural de e o 2 R . Logo, dim R2 = 2. (iii) O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´ uma base de R3 , chamada base can´nica e o ou natural de R3 . Logo, dim R3 = 3. (iv) O conjunto 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ´ uma base de Mat2×3 (R), chamada base can´nica ou natural de Mat2×3 (R). Logo, e o dim Mat2×3 (R) = 6. (v) Tem-se dim Rn = n e dim Matm×n (R) = mn. (vi) O conjunto {1, t, t2 , ..., tn } ´ uma base de Pn (espa¸o linear de todos os polin´mios e c o reais de grau menor ou igual a n), chamada base can´nica ou natural de Pn . Logo, o dim Pn = n + 1. (vii) O conjunto {1, t, t2 , ...} ´ uma base de P (espa¸o linear de todos os polin´mios e c o reais), chamada base can´nica ou natural de P . Logo, o dim P = ∞. Exemplo 27 O conjunto dos n´ meros complexos E = C ´ um espa¸o linear tanto sobre os u e c reais como sobre os pr´prios complexos, i.e. tanto considerando R como os escalares ou C o como escalares. Assim, dimC (E) = 1 e {1} ´ uma base; dimR (E) = 1 e {1, i} ´ uma base. e e Defini¸˜o 32 Chama-se nulidade a dimens˜o do n´ cleo ou espa¸o nulo de uma matriz A ca ` a u c e escreve-se nul A. Teorema 31 Seja A ∈ Matm×n (R). (i) Tem-se dim C(A) = dim L(A) = car A. (ii) Tem-se car A + nul A = n. 34
- 35. Teorema 32 SejamW1 e W2 dois subespa¸os de dimens˜o finita de um espa¸o linear V . c a c Ent˜o, a dim (W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2 ) . Teorema 33 Sejam V um espa¸o linear de dimens˜o finita e W um subespa¸o de V . c a c (i) Seja S = {u1 , ..., uk } ⊂ V . Se S ´ linearmente independente ent˜o S ser´ um subcon- e a a junto de uma base de V e ter-se-´ dim V ≥ k. a (ii) Se dim V = n, ent˜o quaisquer m vectores de V , com m > n, s˜o linearmente a a dependentes. (iii) Se dim V = n, ent˜o nenhum conjunto com m vectores de V , em que m < n, pode a gerar V . (iv) O subespa¸o W tem dimens˜o finita e dim W ≤ dim V . c a (v) Se dim W = dim V , ent˜o W = V . a (vi) Se dim V = n, ent˜o quaisquer n vectores de V linearmente independentes cons- a tituem uma base de V . (vii) Se dim V = n, ent˜o quaisquer n vectores geradores de V constituem uma base de a V. Observa¸˜o 27 O no de elementos de uma base de um espa¸o linear ´ igual ao no m´ ca c e ınimo de vectores possam constituir um conjunto gerador desse espa¸o e ´ tamb´m igual ao n o m´ximo c e e a de vectores que possam constituir um conjunto linearmente independente nesse espa¸o. c Exemplo 28 Seja A ∈ Matm×n (R). Como L(A) e Nuc(A) s˜o subespa¸os de Rn ent˜o a c a L(A) + Nuc(A) = L (L(A) ∪ Nuc(A)) ´ tamb´m um subepa¸o de Rn . Por outro lado, atendendo a que e e c L(A) ∩ Nuc(A) = {0} (teorema 26), tem-se dim (L(A) ∩ Nuc(A)) = 0. Assim, dim (L(A) + Nuc(A)) = dim L(A) + dim Nuc(A) − dim (L(A) ∩ Nuc(A)) = = car A + nul A − 0 = = n. Logo, pelo teorema 33 (v), tem-se Rn = L(A) ⊕ Nuc(A). 35
- 36. Exemplo 29 (i)Os seguintes conjuntos s˜o todos os subespa¸os de R: a c {0} e R. (ii) Os seguintes conjuntos s˜o todos os subespa¸os de R2 : a c {(0, 0)} , todas as rectas que contˆm a origem e R2 . e (iii) Os seguintes conjuntos s˜o todos os subespa¸os de R3 : a c {(0, 0, 0)} , todas as rectas que contˆm a origem, todos os planos que contˆm a origem e R 3 . e e Observa¸˜o 28 O m´todo de elimina¸ao de Gauss permite determinar a dimens˜o e uma ca e c˜ a base quer para o espa¸o das linhas L(A) quer para o espa¸o das colunas C(A) de uma matriz c c A. Seja A a matriz em escada que se obtem de A por aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao c˜ e c˜ de Gauss. Ent˜o, a (i) Uma base para L(A) ser´ formada pelas linhas n˜o nulas de A . a a (ii) Uma base para C(A) ser´ formada pelas colunas de A que correspondem as posi¸oes a ` c˜ das colunas de A que contˆm os pivots. e Exemplo 30 Seja 2 1 1 1 A= 4 2 3 3 . −6 −3 1 1 Tem-se 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 A= 4 2 3 3 −→ 0 0 1 1 −→ 0 0 1 1 =A. −2L1 +L2 →L2 −4L2 +L3 →L3 −6 −3 1 1 3L1 +L3 →L3 0 0 4 4 0 0 0 0 Logo, {(2, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1)} ´ uma base de L(A) e {(2, 4, −6), (1, 3, 1)} ´ uma base de C(A). e e Assim, dim L(A) = 2 = dim C(A) e L(A) = L ({(2, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1)}) , C(A) = L ({(2, 4, −6), (1, 3, 1)}) . Por outro lado, x 0 y 0 Nuc(A ) = (x, y, z, w) ∈ R4 : A z = = 0 w 0 = {(x, −2x, −w, w) : x, w ∈ R} = = L{(1, −2, 0, 0), (0, 0, −1, 1)}. 36
- 37. Como o conjunto{(1, −2, 0, 0), (0, 0, −1, 1)} ´ linearmente independente e gera Nuc(A ) ent˜o e a ´ uma base de Nuc(A ). Finalmente, uma vez que Nuc(A) = Nuc(A ), o conjunto e {(1, −2, 0, 0), (0, 0, −1, 1)} ´ uma base de Nuc(A) e portanto dim Nuc(A) = 2, com e Nuc(A) = L{(1, −2, 0, 0), (0, 0, −1, 1)}. Exemplo 31 Seja S = {1, 2, −1), (2, 1, 1), (−1, −2, 1), (0, 1, 0)} ⊂ R3 . Determinemos uma base para L(S). Considere a seguinte matriz cujas colunas s˜o os vectores de S: a 1 2 −1 0 2 1 −2 1 . −1 1 1 0 Tem-se 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 2 1 −2 1 −→ 0 −3 0 1 −→ 0 −3 0 1 . −2L1 +L2 →L2 L2 +L3 →L3 −1 1 1 0 L1 +L3 →L3 0 3 0 0 0 0 0 1 Logo, S = {1, 2, −1), (2, 1, 1), (0, 1, 0)} ´ uma base de L(S). Como dim R3 = 3, ent˜o tem-se e a 3 3 mesmo: L(S) = R e S ´ uma base de R . e Resolu¸˜o alternativa: Considere a seguinte matriz cujas linhas s˜o os vectores de S: ca a 1 2 −1 2 1 1 −1 −2 1 . 0 1 0 Tem-se 1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 2 1 1 0 −3 3 −→ 0 −3 3 0 −3 3 −1 −2 1 −2L1−→→L2 −→ . +L2 0 0 0 L3 ↔L4 0 1 0 1 L +L3 →L3 0 0 1 3 2 L1 +L3 →L3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Logo, S = {1, 2, −1), (0, −3, 3), (0, 0, 1)} ´ uma base de L(S). Como dim R3 = 3, ent˜o e a 3 3 tem-se mesmo: L(S) = R e S ´ uma base de R . e Exemplo 32 Seja Sa,b = {1, 0, 1), (0, 1, a), (1, 1, b), (1, 1, 1)} ⊂ R3 . Determinemos os valores dos parˆmetros a e b para os quais Sa,b n˜o gere R3 . a a 37
- 38. Considere a seguintematriz cujas colunas s˜o os vectores de S: a 1 0 1 1 0 1 1 1 . 1 a b 1 Tem-se 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 −→ 0 1 1 1 −→ 0 1 1 1 . −L1 +L3 →L3 −aL2 +L3 →L3 1 a b 1 0 a b−1 0 0 0 b − a − 1 −a Logo, Sa,b n˜o gera R3 se e s´ se b − a − 1 = 0 e −a = 0, isto ´, se e s´ se a = 0 e b = 1. a o e o Teorema 34 (i) Seja A ∈ Matm×n (R). As colunas de A geram Rm se e s´ se car A = m. o (ii) Seja A ∈ Matm×n (R). As colunas de A s˜o linearmente independentes se e s´ se a o car A = n. (iii) Seja A ∈ Matn×n (R). A matriz A ´ invert´ e ıvel se e s´ se as colunas de A (ou as o n linhas de A) formarem uma base de R . No caso de A ser invert´ tem-se ıvel C(A) = L(A) = Rn . Observa¸˜o 29 Seja A ∈ Matm×n (R) e considere o sistema de equa¸oes lineares Au = b. ca c˜ (i) O sistema Au = b ´ imposs´ e ıvel (n˜o tem solu¸ao) se e s´ se b ∈ C(A), isto ´, se e s´ a c˜ o / e o se car A < car [A | b]. (ii) O sistema Au = b ´ poss´ e ıvel e indeterminado (tem um no infinito de solu¸oes) se c˜ e s´ se b ∈ C(A) e as colunas de A forem linearmente dependentes, isto ´, se e s´ se car A = o e o car [A | b] < n, isto ´, se e s´ se car A = car [A | b] e nul A = 0. e o (iii) O sistema Au = b ´ poss´ e ıvel e determinado (tem uma unica solu¸ao) se e s´ ´ c˜ o se b ∈ C(A) e as colunas de A forem linearmente independentes, isto ´, se e s´ se car A = e o car [A | b] = n, isto ´, se e s´ se car A = car [A | b] e nul A = 0. e o Observa¸˜o 30 Seja A ∈ Matm×n (R) e considere o sistema de equa¸oes lineares Au = b. ca c˜ (i) Existˆncia de solu¸˜o: Se m ≤ n ent˜o o sistema Au = b tem pelo menos uma e ca a m solu¸ao u para cada b ∈ R se e s´ se car A = m. c˜ o (ii) Unicidade de solu¸˜o: Se m ≥ n ent˜o o sistema Au = b tem no m´ximo uma ca a a m solu¸ao u para cada b ∈ R se e s´ se car A = n, isto ´, se e s´ se nul A = 0. c˜ o e o (iii) Existˆncia e unicidade de solu¸˜o: Se m = n ent˜o o sistema Au = b tem e ca a m solu¸ao unica u para cada b ∈ R se e s´ se A fˆr invert´ c˜ ´ o o ıvel. 38
- 39. Teorema 35 SejaA ∈ Matn×n (R). As seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes. c˜ a (i) A ´ n˜o singular. e a (ii) A ´ invert´ e ıvel. (iii) Nuc(A) = {0}. (iv) nul A = 0. (v) Au = 0 tem apenas a solu¸ao trivial u = 0. c˜ (vi) Au = b tem solu¸ao unica u para cada b ∈ Rn . c˜ ´ (vii) A caracter´ ıstica de A ´ m´xima, isto ´, car A = n. e a e (viii) As colunas de A geram Rn . (ix) As colunas de A s˜o independentes. a (x) As linhas de A geram Rn . (xi) As linhas de A s˜o independentes. a (xii) A menos de permuta¸oes de linhas, a matriz A admite uma unica factoriza¸ao c˜ ´ c˜ triangular LDU . 3.4 Coordenadas de um vector numa base Defini¸˜o 33 Seja S = {v1 , v2 , ..., vk } uma base ordenada de um espa¸o linear V e seja u ca c um vector de V . Chamam-se coordenadas do vector u na base ordenada S aos escalares λ1 , λ2 , ..., λk da combina¸ao linear: c˜ u = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λk vk . Designamos por uS as coordenadas de u na base S, i.e. uS = (λ1 , · · · , λk ). Teorema 36 Seja V um espa¸o linear. c (i) Um conjunto S de vectores n˜o nulos de V ´ uma base de V se e s´ se todo o vector a e o de V puder ser escrito de modo unico como combina¸ao linear dos vectores de S. ´ c˜ (ii) Se dim V = n, ent˜o dados u, w ∈ V e S = {v1 , v2 , . . . , vn } uma base ordenada de a V , tem-se u = w se e s´ se as coordenadas de u e de w na base S forem iguais. o Exemplo 33 i) Sejam S1 = {e1 , e2 } e S2 = {v1 , v2 } duas bases de R2 , onde e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1). Seja ainda u = (11, 3). Ent˜o uS1 = (11, 3) enquanto uS2 = (7, 4). a ii) Seja F o subespa¸o de R3 gerado pelos vectores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, 0, 1). Claro que c B = {v1 , v2 } ´ uma base de F , uma vez que os vectores v1 , v2 s˜o linearmente independentes. e a 39
- 40. Sendo u =(3, 1, 3) ∈ F , ent˜o as coordenadas uB de u na base B s˜o uB = (1, 2), uma vez a a que λ1 = 1, λ2 = 2 ´ a unica solu¸ao de u = λ1 v1 + λ2 v2 . e ´ c˜ iii) Considerando a mesma base B de ii), sabendo que as coordenadas de um vector u na base B s˜o uB = (2, 1), ent˜o o vector u = 2v1 + 1v2 = (3, 2, 3). a a 4 Valores Pr´prios, Vectores Pr´prios e diagonaliza¸˜o o o ca de Matrizes Defini¸˜o 34 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se a ca det(A − λI), o polin´mio caracter´ o ıstico da matriz A. O polin´mio p(λ) = det(A − λI) tem grau n, o o n coeficiente do termo de grau n ´ (−1) e o termo constante ´ p(0) = det A. e e Defini¸˜o 35 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se valor pr´prio de A a qualquer escalar λ ca o tal que A − λI seja singular, isto ´, tal que det(A − λI) = 0. Chama-se vector pr´prio de e o A, associado ao valor pr´prio λ de A, a qualquer vector n˜o nulo v que verifique o a (A − λI)v = 0. Observa¸˜o 31 Seja A ∈ Matn×n (R). O escalar 0 ´ valor pr´prio de A se e s´ se A fˆr ca e o o o singular. Isto ´, a matriz A ´ invert´ se e s´ se 0 n˜o fˆr valor pr´prio de A. e e ıvel o a o o Defini¸˜o 36 Sejam A, B ∈ Matn×n (R). As matrizes A e B dizem-se semelhantes se ca existir uma matriz S invert´ tal que ıvel B = SAS −1 Teorema 37 Sejam A, B ∈ Matn×n (R). Se A e B forem semelhantes ent˜o A e B tˆm o a e mesmo polin´mio caracter´ o ıstico. Em particular, se A e B forem semelhantes ent˜o A e B a tˆm os mesmos valores pr´prios. e o Dem. Tem-se det(B − λI) = det(SAS −1 − λI) = = det(SAS −1 − λSS −1 ) = = det(S(A − λI)S −1 ) = = det S det(A − λI) det S −1 = 1 = det S det(A − λI) = det S = det(A − λI). 40
- 41. Teorema 38 SejaA ∈ Matn×n . Se A tiver valores pr´prios distintos λ1 , ..., λk e se u1 , ..., uk o forem os vectores pr´prios associados a cada um destes valores pr´prios, ent˜o os vectores o o a u1 , ..., uk s˜o linearmente independentes. a Defini¸˜o 37 Seja A ∈ Matn×n (R). Se existir uma matriz S invert´ tal que ca ıvel D = SAS −1 , com D matriz diagonal, ent˜o diz-se que A ´ uma matriz diagonaliz´vel e que S (matriz a e a de mudan¸a de base, ver sec¸ao 6.1) ´ a matriz diagonalizante. c c˜ e Teorema 39 Seja A ∈ Matn×n (R). A matriz A ´ diagonaliz´vel se e s´ se existir uma base e a o n de R constitu´ por vectores pr´prios de A. Neste caso, as entradas da diagonal principal ıda o dessa matriz diagonal ser˜o os valores pr´prios associados aos vectores pr´prios da base de a o o Rn pela ordem da mesma. O mesmo se aplica em Cn . Em particular, se A tiver n valores pr´prios distintos λ1 , ..., λn ent˜o a matriz A ´ diago- o a e naliz´vel e a matriz diagonal ´: a e λ1 0 ... 0 .. .. . 0 . . . . . . . .. .. 0 0 ... 0 λn Observa¸˜o 32 Seja A a matriz n × n. ca (1) Seja p(λ) o polin´mio caracter´ o ıstico de A. Para cada raiz λ1 de p(λ), a sua multipli- cidade enquanto raiz do polin´mio chama-se mutliplicidade alg´brica de λ1 e denota-se por o e ma (λ1 ). Mais precisamente, λ0 tem tem multiplicidade alg´brica m quando e p(λ) = (λ − λ1 )m q(λ) e q(λ1 ) = 0. ` (2) A dimens˜o de Nuc(A − λ1 I) chama-se multiplicidade geom´trica e designa-se por a e mg (λ1 ). (3) A matriz A ∈ Matn×n ´ diagonaliz´vel se e s´ se e a o dimNuc(A − λI) = dim(V ). λ valores proprios Ou seja, existe uma base de V na qual a representa¸ao matricial de T ´ uma matriz diagonal c˜ e sse dim Eλ1 + · · · + dim Eλk = n, onde λ1 , · · · , λk (k ≤ n) s˜o os valores pr´prios de T . a o 41
- 42. Teorema 40 SejaA ∈ Matn×n (R) tal que A ´ sim´trica, isto ´, tal que A = AT . Ent˜o A e e e a ´ diagonaliz´vel. e a Exemplo 34 (i) Uma matriz com valores pr´prios distintos. o 1 5 −1 A = 0 −2 1 −4 0 3 O polin´mio caracter´ o ıstico ´ dado por e 1−λ 5 −1 det(A − λI) = 0 −2 − λ 1 = −4 0 3−λ = (1 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) − 20 + 4 (2 + λ) = = (1 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) + 4λ − 12 = = (3 − λ) [(λ − 1) (λ + 2) − 4] = = (3 − λ) λ2 + λ − 6 = = (3 − λ) (λ − 2) (λ + 3) . Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores o a pr´prios de A s˜o o a λ1 = 3, λ2 = 2 e λ3 = −3. Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ s˜o os vectores n˜o nulos u ∈ R 3 o o a a para os quais (A − λI) u = 0, isto ´, s˜o os vectores n˜o nulos de Nuc (A − λI). e a a Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3. Tem-se o o −2 5 −1 Nuc (A − λ1 I) = Nuc 0 −5 1 = L ({(0, 1, 5)}) . −4 0 0 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ1 ´ dado por c o e Eλ1 = Nuc (A − λ1 I) = L ({(0, 1, 5)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3 s˜o o o a u = (0, s, 5s) , com s ∈ R {0} . Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 2. Tem-se o o −1 5 −1 Nuc (A − λ2 I) = Nuc 0 −4 1 = L ({(1, 1, 4)}) . −4 0 1 42
- 43. Logo, o subespa¸opr´prio Eλ2 ´ dado por c o e Eλ2 = Nuc (A − λ2 I) = L ({(1, 1, 4)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 2 s˜o o o a u = (s, s, 4s) , com s ∈ R {0} . Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ3 = −3. Tem-se o o 4 5 −1 Nuc (A − λ3 I) = Nuc 0 1 1 = L ({(3, −2, 2)}) . −4 0 6 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ3 ´ dado por c o e Eλ3 = Nuc (A − λ3 I) = L ({(3, −2, 2)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ3 = −3 s˜o o o a u = (3s, −2s, 2s) , com s ∈ R {0} . Atendendo a que os valores pr´prios de A s˜o distintos, pelo teorema 38, os vectores o a pr´prios de A associados a esses valores pr´prios s˜o linearmente independentes. Como o o a 3 3 dim R = 3, ent˜o 3 vectores em R linearmente independentes formar˜o desde logo uma a a 3 base de R . Logo, o conjunto S = {(0, 1, 5) , (1, 1, 4) , (3, −2, 2)} ´ uma base de R3 . Deste modo, temos uma base de R3 formada s´ por vectores pr´prios de e o o A. Logo, a matriz A ´ diagonaliz´vel, isto ´, existe uma matriz invert´ S diagonalizante e a e ıvel tal que a matriz SAS −1 ´ diagonal, tendo-se e λ1 0 0 3 0 0 D = SAS −1 = 0 λ2 0 = 0 2 0 , 0 0 λ3 0 0 −3 com 0 1 3 S −1 = 1 1 −2 . 5 4 2 Note que cada coluna de S −1 ´ formada pelo vector pr´prio associado ao valor pr´prio e o o respectivo e na posi¸ao respectiva. c˜ (ii) Uma matriz com valores pr´prios repetidos mas diagonaliz´vel. o a 2 1 1 A= 2 3 2 3 3 4 43
- 44. O polin´mio caracter´ o ıstico ´ dado por e 2−λ 1 1 det(A − λI) = 2 3−λ 2 = 3 3 4−λ = (2 − λ) (3 − λ) (4 − λ) + 6 + 6 − 3 (3 − λ) − 6 (2 − λ) − 2 (4 − λ) = = −λ3 + 9λ2 − 15λ + 7 = = − (λ − 1) (λ − 1) (λ − 7) . Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores o a pr´prios de A s˜o o a λ1 = 1 e λ2 = 7. Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ s˜o os vectores n˜o nulos u ∈ R 3 o o a a para os quais (A − λI) u = 0, isto ´, s˜o os vectores n˜o nulos de Nuc (A − λI). e a a Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 1. Tem-se o o 1 1 1 Nuc (A − λ1 I) = Nuc 2 2 2 = L ({(−1, 1, 0) , (−1, 0, 1)}) . 3 3 3 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ1 ´ dado por c o e Eλ1 = Nuc (A − λ1 I) = L ({(−1, 1, 0) , (−1, 0, 1)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 1 s˜o o o a u = (−s − t, s, t) , com s, t ∈ R, n˜o simultˆneamente nulos. a a Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 7. Tem-se o o −5 1 1 Nuc (A − λ2 I) = Nuc 2 −4 2 = L ({(1, 2, 3)}) . 3 3 −3 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ2 ´ dado por c o e Eλ2 = Nuc (A − λ2 I) = L ({(1, 2, 3)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 7 s˜o o o a u = (s, 2s, 3s) , com s ∈ R {0} . Atendendo a que dim Eλ1 + dim Eλ2 = 3, podemos ter a seguinte base de R3 formada s´ por vectores pr´prios de A o o S = {(−1, 1, 0) , (−1, 0, 1) , (1, 2, 3)} . 44
- 45. Logo, a matrizA ´ diagonaliz´vel, isto ´, existe uma matriz e a e invert´ S diagonalizante tal ıvel −1 que a matriz SAS ´ diagonal, tendo-se e λ1 0 0 1 0 0 −1 0 λ1 0 = 0 D = SAS = 1 0 , 0 0 λ2 0 0 7 com −1 −1 1 S −1 = 1 0 2 . 0 1 3 Note que cada coluna de S −1 ´ formada pelo vector pr´prio associado ao valor pr´prio e o o respectivo e na posi¸ao respectiva. c˜ (iii) Uma matriz com valores pr´prios repetidos e n˜o diagonaliz´vel. o a a 7 5 −1 A = 0 −2 1 20 0 3 O polin´mio caracter´ o ıstico ´ dado por e 7−λ 5 −1 det(A − λI) = 0 −2 − λ 1 = 20 0 3−λ = (7 − λ) (−2 − λ) (3 − λ) + 100 − 20 (2 + λ) = = (3 − λ) [(7 − λ) (−2 − λ) + 20] = = (3 − λ) λ2 − 5λ + 6 = = (3 − λ) (λ − 3) (λ − 2) . Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores o a pr´prios de A s˜o o a λ1 = 3 e λ2 = 2. Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ s˜o os vectores n˜o nulos u ∈ R 3 o o a a para os quais (A − λI) u = 0, isto ´, s˜o os vectores n˜o nulos de Nuc (A − λI). e a a Determinemos os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3. Tem-se o o 4 5 −1 Nuc (A − λ1 I) = Nuc 0 −5 1 = L ({(0, 1, 5)}) . 20 0 0 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ1 ´ dado por c o e Eλ1 = Nuc (A − λ1 I) = L ({(0, 1, 5)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ1 = 3 s˜o o o a u = (0, s, 5s) , com s ∈ R {0} . 45
- 46. Determinemos os vectorespr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 2. Tem-se o o 5 5 −1 Nuc (A − λ2 I) = Nuc 0 −4 1 = L ({(1, −5, −20)}) . 20 0 1 Logo, o subespa¸o pr´prio Eλ2 ´ dado por c o e Eλ2 = Nuc (A − λ2 I) = L ({(1, −5, −20)}) . Os vectores pr´prios de A associados ao valor pr´prio λ2 = 2 s˜o o o a u = (s, −5s, −20s) , com s ∈ R {0} . Atendendo a que dim Eλ1 + dim Eλ2 = 2 < 3, n˜o ´ poss´ ter uma base de R3 formada s´ por vectores pr´prios de A. Logo, a matriz a e ıvel o o A n˜o ´ diagonaliz´vel, isto ´, n˜o existe uma matriz invert´ S diagonalizante tal que a a e a e a ıvel −1 matriz SAS seja diagonal. (iv) Uma matriz com apenas um valor pr´prio real. o 1 0 0 A = 0 0 −1 0 1 0 O polin´mio caracter´ o ıstico ´ dado por e 1−λ 0 0 det(A − λI) = 0 −λ −1 = 0 1 −λ = λ2 (1 − λ) + (1 − λ) = = (1 − λ) λ2 + 1 . Os valores pr´prios de A s˜o os valores de λ para os quais det(A − λI) = 0. Logo, os valores o a pr´prios de A s˜o o a λ1 = 1, λ2 = i e λ3 = −i. Logo, a matriz A n˜o ´ diagonaliz´vel numa matriz de entradas reais, isto ´, n˜o existe a e a e a −1 uma matriz invert´ S diagonalizante tal que a matriz SAS seja diagonal com entradas ıvel reais. No entanto e atendendo a que os trˆs valores pr´prios s˜o distintos, a matriz A ´ e o a e diagonaliz´vel numa matriz de entradas complexas: a 1 0 0 0 i 0 0 0 −i 46
- 47. 5 Produtos Internos Defini¸˜o 38 Sejam V um espa¸o linear real e 0 o vector nulo de V . Chama-se produto ca c interno em V a aplica¸ao ` c˜ , :V ×V →R (u, v) → u, v que verifique as trˆs condi¸oes seguintes. e c˜ (i) Simetria: para todos os u, v ∈ V u, v = v, u . (ii) Linearidade: para todo o v ∈ V (fixo) a aplica¸ao c˜ V →R u → u, v ´ linear. e (iii) Positividade: para todo o u ∈ V tal que u = 0, u, u > 0. Observa¸˜o 33 Se V ´ uma espac co linear complexo, ent˜o , : V × V → C ´ um produto ca e a e interno se, os axiomas de defini¸ao anterior forem satisfeitos, com excep¸ao ao simetria que c˜ c˜ ´ substituido por: e u, v = v, u . onde v, u denota o complexo conjugado de v, u . Defini¸˜o 39 Chama-se espa¸o euclidiano a um espa¸o linear com um produto interno. ca c c Observa¸˜o 34 Seja V um espa¸o euclidiano real. Seja S = {w1 , w2 , ..., wn } uma base de ca c V . Sejam u, v ∈ V . Sejam α1 , α2 , ..., αn e β 1 , β 2 , ..., β n as coordenadas de u e de v na base S respectivamente, isto ´, e n n u = α1 w1 + α2 w2 + ... + αn wn = α i wi e v = β 1 w1 + β 2 w2 + ... + β n wn = β i wi . i=1 i=1 47
- 48. Logo, n n n n u, v = α i wi , β i wi = αi β j w i , w j = i=1 i=1 i=1 j=1 w 1 , w1 w 1 , w2 ... w 1 , wn β1 w 2 , w1 w 2 , w2 ... w 2 , wn β2 = α1 α 2 . . . αn . . . . . . . . . . . . . w n , w1 w n , w2 ... w n , wn βn Isto ´, existe uma matriz e sim´trica e definida positiva (todos os seus valores pr´prios s˜o e o a positivos): w 1 , w1 w 1 , w2 ... w 1 , wn β1 w 2 , w1 w 2 , w2 ... w 2 , wn β2 A= . . . . . . tal que u, v = α 1 α 2 . . . αn A . . . . . . . w n , w1 w n , w2 ... w n , wn βn Teorema 41 Seja V um espa¸o linear real com dim V = n. Seja {w1 , w2 , ..., wn } uma base c de V . Ent˜o, uma aplica¸ao a c˜ , :V ×V →R ´ um produto interno (em V ) se e s´ se e o β1 β2 u, v = α 1 α 2 . . . αn A . . , . βn com u = α1 w1 + α2 w2 + ... + αn wn , v = β 1 w1 + β 2 w2 + ... + β n wn e A ´ uma matriz sim´trica cujos valores pr´prios e e o s˜o todos positivos. Se a aplica¸ao , fˆr a c˜ o um produto interno tem-se w 1 , w1 w 1 , w2 ... w 1 , wn w 2 , w1 w 2 , w2 ... w 2 , wn A= . . . . . . . . . . w n , w1 w n , w2 ... w n , wn Observa¸˜o 35 No caso complexo, tamb´m podemos encontrar uma matriz A com entradas ca e complexas tal que β1 β 2 u, v = α1 α2 . . . αn A . . . βn 48
- 49. t com os valorespr´prios de A todos positivos e A = A , onde A ´ a matriz que se obt´m de o e e A passando todas as entardas de A ao complexo conjugado. Uma matriz A que satisfa¸a c t A = A diz-se hermitiana. Exemplo 35 (i) Seja , : R2 × R2 → R a aplica¸ao definida por: c˜ (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = α1 β 1 + α2 β 2 , com (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) ∈ R2 . Esta aplica¸ao ´ um produto interno em R2 a que se d´ o nome c˜ e a 2 de produto interno usual em R , uma vez que β1 (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = α1 β 1 + α2 β 2 = α1 α2 A β2 com 1 0 A= . 0 1 A matriz A ´ sim´trica e o unico valor pr´prio de A ´ 1 > 0. e e ´ o e (ii) Seja , : R2 × R2 → R a aplica¸ao definida por: c˜ (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = −2α1 β 1 + 3α2 β 2 , com (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) ∈ R2 . Esta aplica¸ao n˜o ´ um produto interno em R2 , uma vez que c˜ a e β1 (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = −2α1 β 1 + 3α2 β 2 = α1 α2 A β2 com −2 0 A= . 0 3 A matriz A ´ sim´trica, no entanto, os valores pr´prios de A: −2 e 3 n˜o s˜o ambos positivos. e e o a a Exemplo 36 R2 com um produto interno n˜o usual. Seja , a : R 2 × R2 → R a aplica¸ao definida por: c˜ (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = 2α1 β 1 + α1 β 2 + α2 β 1 + α2 β 2 , com (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) ∈ R2 . ´ a E f´cil ver que esta aplica¸ao ´ sim´trica e linear em rela¸ao a (α 1 , α2 ) (fixando (β 1 , β 2 )). c˜ e e c˜ Vejamos por exemplo que a condi¸ao c˜ (α1 , α2 ) , (α1 , α2 ) > 0, para todo o (α1 , α2 ) = (0, 0), ´ satisfeita. e Atendendo a que (α1 , α2 ) , (α1 , α2 ) = 2α2 + 2α1 α2 + α2 = α2 + (α1 + α2 )2 , 1 2 1 49
- 50. tem-se (α1 , α2) , (α1 , α2 ) = 0 ⇔ (α1 = 0 e α1 + α2 = 0) ⇔ (α1 = 0 e α2 = 0) ⇔ (α1 , α2 ) = (0, 0). Em alternativa, podemos escrever β1 (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = 2α1 β 1 + α1 β 2 + α2 β 1 + α2 β 2 = α1 α2 A β2 com 2 1 A= . 1 1 √ √ 3+ 5 3− 5 A matriz A ´ sim´trica e os valores pr´prios de A: e e o 2 e 2 s˜o ambos positivos. a Defini¸˜o 40 Sejam V um espa¸o euclidiano e 0 o vector nulo de V . Sejam u, v ∈ V . ca c (i) Chama-se norma de u a: u = u, u . (ii) Chama-se projec¸˜o ortogonal de v sobre u = 0 a: ca v, u proju v = u. u 2 (iii) Diz-se que u e v s˜o ortogonais se u, v = 0. a (iv) Chama-se ˆngulo entre dois vectores n˜o nulos u e v a: a a u, v θ = arccos . u v π Observa¸˜o 36 O angulo θ entre dois vectores n˜o nulos u e v ´ ca ˆ a e 2 se e s´ se u e v s˜o o a ortogonais. Teorema 42 Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Seja V um espa¸o euclidiano. Ent˜o, c a para todos os u, v ∈ V , | u, v | ≤ u v 50
- 51. Observa¸˜o 37 (i)Teorema de Pit´goras. Sejam u, v ∈ R2 . Tem-se u e v ortogonais se ca a e s´ se o u−v 2 = u 2+ v 2. Dem. 2 u−v = u − v, u − v = u, u − v, u − u, v + v, v = = u 2 − 2 u, v + v 2 = u 2 + v 2 se e s´ se o u, v = 0, isto ´, se e s´ se u e v forem ortogonais. e o (ii) Em R2 com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz ´ dada por e |α1 β 1 + α2 β 2 | ≤ α 2 + α2 1 2 β2 + β2, 1 2 uma vez que (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = α1 β 1 + α2 β 2 , com (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) ∈ R2 . (iii) Em Rn com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz ´ dada por e n n n αi β i ≤ α2 i β2, i i=1 i=1 i=1 uma vez que (α1 , ..., αn ) , (β 1 , ..., β n ) = α1 β 1 + ... + αn β n , com (α1 , ..., αn ) , (β 1 , ..., β n ) ∈ Rn . Teorema 43 Sejam V um espa¸o euclidiano e 0 o vector nulo de V . Sejam u.v ∈ V e λ ∈ R. c A norma satisfaz as seguintes propriedades. (i) Positividade: u > 0 se u = 0. (ii) Homogeneidade: λu = |λ| u (iii) Desigualdade triangular: u + v ≤ u + v Observa¸˜o 38 Pode definir-se norma num espa¸o linear V , sem estar associada a qualquer ca c produto interno, como sendo uma aplica¸ao de V em R que satisfaz as propriedades do c˜ teorema anterior. A um espa¸o linear com uma norma chama-se espa¸o normado. c c 51
- 52. Observa¸˜o 39 SejaV um espa¸o euclidiano. Sejam u, v ∈ V . Tem-se ca c 1 2 2 2 u, v = u+v − u − v . 2 Observa¸˜o 40 Seja V um espa¸o linear real normado. Sejam u, v ∈ V . Ent˜o, a norma ca c a pode ser obtida de um produto interno na forma u = u, u se e s´ se o 2 2 2 2 u−v + u+v =2 u +2 v . Esta ultima equa¸ao ´ conhecida por lei do paralelogramo. ´ c˜ e Exemplo 37 Uma norma que n˜o ´ obtida a partir de um produto interno. Seja a e 2 : R → R a aplica¸ao definida por c˜ (α1 , α2 ) = |α1 | + |α2 | , ´ a com (α1 , α2 ) ∈ R2 . E f´cil verificar que esta aplica¸ao satisfaz as trˆs condi¸oes do teorema c˜ e c˜ 43. Logo, ´ uma norma. No entanto, ´ tamb´m f´cil verificar que esta norma n˜o satisfaz e e e a a a lei do paralelogramo. Logo, esta norma n˜o poder´ ser obtida a partir de um produto a a interno. Defini¸˜o 41 Sejam V um espa¸o euclidiano e S ⊂ V . Diz-se que S ´ ortogonal se para ca c e todos os u, v ∈ S com u = v, u, v = 0. Diz-se que S ´ ortonormado se fˆr ortogonal e para todo o u ∈ S, e o u = 1. Teorema 44 Sejam V um espa¸o euclidiano e S ⊂ V . Seja 0 o vector nulo de V . Se S ´ c e ortogonal e 0 ∈ S ent˜o S ´ linearmente independente. Em particular, se n = dim V ent˜o / a e a qualquer conjunto S ortogonal de n vectores n˜o nulos ´ uma base de V . a e 52
- 53. Teorema 45 SejaV um espa¸o euclidiano com dim V = n. Seja S = {u1 , ..., un } uma base c ortogonal de V . Ent˜o, as coordenadas de um vector v ∈ V em rela¸ao a base S s˜o dadas a c˜ ` a por: v, uj αj = , u j , uj com j = 1, ..., n. Se S fˆr ortonormada ent˜o as coordenadas de um vector v ∈ V em rela¸ao o a c˜ a base S s˜o dadas por: ` a αj = v, uj , com j = 1, ..., n. Teorema 46 Seja V um espa¸o euclidiano real com dim V = n. Seja S = {w1 , ..., wn } uma c base ortonormada de V . Ent˜o, para todos os u, v ∈ V , a n n u, v = u, wi v, wi (f´rmula de Parseval) e tem-se o u = u, wi 2 . i=1 i=1 Observa¸˜o 41 Seja V um espa¸o euclidiano real com dim V = n. Seja S = {w1 , ..., wn } ca c uma base ortonormada de V . Sejam u, v ∈ V , com u = α1 w1 + α2 w2 + ... + αn wn , v = β 1 w1 + β 2 w2 + ... + β n wn . Ent˜o, atendendo ao teorema 45, a f´rmula de Parseval ´ dada por: a o e n n u, v = αi β i = α1 β 1 + α2 β 2 + ... + αn β n e tem-se u = α2 . i i=1 i=1 Nota¸˜o 3 Sejam V um espa¸o euclidiano e 0 o vector nulo de V . Para qualquer v ∈ V , ca c 1 v com v = 0, o vector v v ser´ denotado por v . a Teorema 47 M´todo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt10 . Seja V um espa¸o e ca c euclidiano. Considere o conjunto linearmente independente: {v1 , v2 , ..., vk } ⊂ V . 10 Jorgen Pedersen Gram 1850–1916. Erhard Schmidt 1876–1959 53
- 54. Sejam u1 = v 1 , u2 = v2 − proju1 v2 , ... uk = vk − proju1 vk − ... − projuk−1 vk . Ent˜o: a (i) L({u1 , u2 , ..., uk }) = L({v1 , v2 , ..., vk }) (ii) O conjunto {u1 , u2 , ..., uk } ´ uma base ortogonal de L({v1 , v2 , ..., vk }). e u1 u2 uk (iii) O conjunto , , ..., ´ uma base ortonormada de L({v1 , v2 , ..., vk }). e u1 u2 uk Exemplo 38 Considere-se R4 com o produto interno usual. Seja U = L({(1, 1, −1, −1), (1, 2, 3, 4), (2, 1, −6, −7), (1, 3, 7, 9)}). Determinemos a dimens˜o a de U e uma base ortonormada para U . Tem-se 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 3 0 1 −1 2 0 1 −1 2 −→ −→ . −1 3 −6 7 0 4 −4 8 0 0 0 0 −1 4 −7 9 0 5 −5 10 0 0 0 0 Logo, o conjunto {v1 , v2 }, com v1 = (1, 1, −1, −1) e v2 = (1, 2, 3, 4), ´ uma base de U e como e tal dim U = 2. Sejam u1 = v1 e u2 = v2 − proju1 v2 . Logo, o conjunto {u1 , u2 }, com u1 = (1, 1, −1, −1) e 1+2−3−4 u2 = (1, 2, 3, 4) − (1, 1, −1, −1) = (2, 3, 2, 3), 4 ´ uma base ortogonal de U . Uma base ortonormada para U : e √ √ √ √ u1 u2 1 1 1 1 26 3 26 26 3 26 , = , ,− ,− , , , , u1 u2 2 2 2 2 13 26 13 26 Teorema 48 Qualquer espa¸o euclidiano de dimens˜o finita tem uma base ortonormada. c a 54
- 55. Teorema 49 Seja{v1 , v2 , ..., vn } uma base de Rn . Ent˜o, existe um unico produto interno a ´ n em R para o qual esta base ´ ortonormada. e Exemplo 39 Considere em R2 a base S = {v1 , v2 }, com v1 = (1, 0) e v2 = (1, 1). Vejamos que existe um e um s´ produto interno para o qual a base S ´ ortonormada. o e 2 2 Seja Bc = {(1, 0), (0, 1)} a base can´nica de R . Tem-se o −1 −1 1 1 1 −1 SBc →S = SS→Bc 2 2 = = . 0 1 0 1 Sejam u, v ∈ R2 . Tem-se u = (α1 , α2 ) e v = (β 1 , β 2 ) , 2 onde α1 , α2 e β 1 , β 2 s˜o as coordenadas na base Bc de u e v respectivamente. Seja S = SBc →S . a 2 2 2 Logo, a aplica¸ao , : R × R definida por c˜ v 1 , v1 v 1 , v2 1 0 u, v = (Su)T A (Sv) , com A = = , v 2 , v1 v 2 , v2 0 1 ´ um produto interno e ´ o unico para o qual a base S ´ ortonormada. Tem-se ent˜o e e ´ e a (α1 , α2 ) , (β 1 , β 2 ) = α1 β 1 − α1 β 2 − α2 β 1 + 2α2 β 2 . ´ a E f´cil verificar que para este produto interno a base S ´ ortonormada: e (1, 0) , (1, 1) = 0 e (1, 0) , (1, 0) = (1, 1) , (1, 1) = 1. Teorema 50 Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ sim´trica, isto ´, tal que A = AT . Ent˜o A ´ e e e a e diagonaliz´vel relativamente a uma base ortonormada vp formada s´ por vectores pr´prios a o o de A. Seja S a matriz cujas colunas s˜o os vectores da base vp e D a matriz diagonal onde a se coloca na entrada i da diagonal o valor pr´prio λi que corresponde a coluna i de S. Ent˜o o ` a temos D = S T AS, e portanto S ´ ortogonal S −1 = S T . e Defini¸˜o 42 Sejam V um espa¸o euclidiano e S um subespa¸o de V . Diz-se que um ca c c elemento de V ´ ortogonal a S se fˆr ortogonal a todos os elementos de S. Ao conjunto e o de todos os elementos ortogonais a S chama-se complemento ortogonal de S e designa-se por S ⊥ . Teorema 51 Qualquer que seja o subespa¸o S de um espa¸o euclidiano V , tamb´m S ⊥ ´ c c e e um subespa¸o de V . c 55
- 56. Exemplo 40 (i)Se S ⊂ R3 ´ um plano que passa pela origem, ent˜o S ⊥ ´ uma recta que e a e passa pela origem e ´ perpendicular ao plano. e (ii) Se S ⊂ R3 ´ uma recta que passa pela origem, ent˜o S ⊥ ´ um plano que passa pela e a e origem e ´ perpendicular a recta. e ` (iii) Seja A ∈ Matm×n (R). Ent˜o, a Nuc(A) = (L(A))⊥ . Teorema 52 Se S ´ um subespa¸o de dimens˜o finita de um espa¸o euclidiano V , ent˜o V e c a c a ⊥ ⊥ ´ a soma directa de S e S , isto ´, V = S ⊕ S . Logo, cada elemento v ∈ V pode ser escrito e e de modo unico como soma de um elemento de S com um elemento de S ⊥ : ´ v = vS + vS ⊥ , com vS ∈ S e vS ⊥ ∈ S ⊥ . ` A aplica¸ao PS : V → S definida por PS (v) = vS chama-se projec¸˜o ortogonal de V c˜ ca sobre S e a aplica¸ao PS ⊥ : V → S ⊥ definida por PS ⊥ (v) = vS ⊥ chama-se projec¸˜o ` c˜ ca ⊥ ortogonal de V sobre S . Tem-se I = P S + PS ⊥ . Se {v1 , v2 , ..., vn } ´ uma base ortonormada de S, ent˜o e a n PS (v) = v, vi vi , i=1 para todo o v ∈ V . Se {u1 , u2 , ..., uk } ´ uma base ortonormada de S ⊥ , ent˜o e a k PS ⊥ (v) = v, uj uj , j=1 para todo o v ∈ V . As aplica¸oes PS e PS ⊥ s˜o transforma¸oes lineares de V em V que satisfazem as propri- c˜ a c˜ edades: (i) PS (V ) = S, PS ⊥ (V ) = S ⊥ ; (ii) (PS )2 = PS , (PS ⊥ )2 = PS ⊥ ; (iii) PS (u) , v = u, PS (v) , PS ⊥ (u) , v = u, PS ⊥ (v) , para todos os u, v ∈ V ; 2 2 (iv) u = PS (u) + PS ⊥ (u) 2 , para todo o u ∈ V (Teorema de Pit´goras); a 56
- 57. Observa¸˜o 42 SejaS ´ um subespa¸o de dimens˜o finita de um espa¸o euclidiano V . Seja ca e c a c v ∈V. (i) dim S + dim S ⊥ = dim V ⊥ (ii) S ⊥ =S (iii) Se {v1 , v2 , ..., vn } ´ uma base de S ent˜o v ∈ S ⊥ se e s´ se e a o v, v1 = v, v2 = ... = v, vn = 0. Teorema 53 Seja S ´ um subespa¸o de dimens˜o finita de um espa¸o euclidiano V . Seja e c a c v ∈ V . Ent˜o, existe um elemento de S mais pr´ximo de v do que qualquer dos outros a o pontos de S. Este elemento ´ a projec¸˜o ortogonal PS (v) de v sobre S e tem-se e ca v − PS (v) ≤ v − u , para todo o u ∈ S, e a igualdade verifica-se se e s´ se u = PS (v). o Defini¸˜o 43 Seja V um espa¸o euclidiano. Seja S ´ um subespa¸o de V com dim S = k. ca c e c Seja q ∈ V . Chama-se ao conjunto {q} + S um k-plano. A distˆncia d de um ponto p ∈ V a um k-plano P = {q} + S ´ dada por: a e d (p, P) = PS ⊥ (p − q) . Observa¸˜o 43 A distˆncia entre dois k-planos paralelos P1 = {a} + S e P2 = {b} + S ´ ca a e dada por: d (P1 , P2 ) = PS ⊥ (a − b) . Exemplo 41 Considere-se R3 com o produto interno usual. (i) Seja P o plano (em R3 ) que passa pelos pontos: (1, 2, 1), (1, 0, −1) e (1, 1, 1). Tem-se P = {(1, 2, 1)} + L ({(0, −2, −2), (0, −1, 0)}) Equa¸˜o vectorial de P: ca (x, y, z) = (1, 2, 1) + α(0, −2, −2) + β(0, −1, 0), com α, β ∈ R. 57
- 58. Equa¸oes param´tricas deP: c˜ e x=1 y = 2 + 2β − 2α − β z = 1 − 2α com α, β ∈ R. Equa¸˜o cartesiana de P: ca x = 1. Em alternativa, podemos determinar uma equa¸˜o cartesiana de P do seguinte modo. ca Atendendo a que P = {(1, 2, 1)} + L ({(0, −2, −2), (0, −1, 0)}) , seja S = L ({(0, −2, −2), ((0, −1, 0)}) . Logo, S⊥ = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z), (0, −2, −2) = 0 e (x, y, z), (0, −1, 0) = 0 = 0 −2 −2 = Nuc = L ({(1, 0, 0)}) 0 −1 0 e assim, a equa¸ao cartesiana do plano P que passa pelo ponto (1, 2, 1) ´ dada por: c˜ e ( (x − 1, y − 2, z − 1), (1, 0, 0) = 0) ⇔ ou seja por x = 1. (ii) Determinemos a equa¸˜o cartesiana da recta que passa pelos pontos (1, 1, 0) e ca (1, 2, 1). Tem-se r = {(1, 1, 0)} + L ({(0, 1, 1)}) , uma vez que (0, 1, 1) = (1, 2, 1) − (1, 1, 0). Seja S = L ({(0, 1, 1)}) . Logo, S ⊥ = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z), (0, 1, 1) = 0 = Nuc 0 1 1 = L ({(1, 0, 0), (0, 1, −1)}) e assim, a equa¸ao cartesiana da recta r ´ dada por: c˜ e ( (x − 1, y − 1, z), (1, 0, 0) = 0 e (x − 1, y − 1, z), (0, 1, −1) = 0) ⇔ ⇔ (1 (x − 1) = 0 e 1 (y − 1) − 1z = 0) , ou seja por x=1 y − z = 1. 58
- 59. 6 Transforma¸oes Lineares c˜ Defini¸˜o 44 Sejam U e V espa¸os lineares. Diz-se que ca c T :U →V ´ uma transforma¸˜o linear se e s´ se verificar as duas condi¸oes: e ca o c˜ (i) T (u + v) = T (u) + T (v), para todos os u, v ∈ U . (ii) T (λu) = λT (u), para todos os u ∈ U e λ ∈ R. Observa¸˜o 44 Sejam U e V espa¸os lineares. Sejam 0 o vector nulo de U e 0 o vector ca c nulo de V . (i) Se T : U → V fˆr uma transforma¸ao linear ent˜o T (U ) ´ um subespa¸o de V e o c˜ a e c al´m disso tem-se T (0) = 0 . Logo, se T n˜o verificar T (0) = 0 ent˜o T n˜o ser´ uma e a a a a transforma¸ao linear. c˜ (ii) T : U → V ´ uma transforma¸ao linear se e s´ se e c˜ o T (λu + µv) = λT (u) + µT (v), para todos os λ, µ ∈ R e u, v ∈ U . (iii) Seja T : U → V uma transforma¸ao linear e seja {v1 , v2 , . . . , vn } uma base de U . c˜ Seja u ∈ U . Logo, existem λ1 , λ2 , ..., λn ∈ R tais que u = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn . Tem-se ent˜o a T (u) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + ... + λn T (vn ). Exemplo 42 Consideremos a base can´nica {(1, 0) , (0, 1)} de R2 . Seja T : R2 → R uma o transforma¸ao linear tal que T (1, 0) = 1 e T (0, 1) = 1. c˜ Para qualquer (x, y) ∈ R2 tem-se (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Ent˜o, a T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x + y. Logo, T : R2 → R ´ a transforma¸ao linear definida explicitamente por e c˜ T (x, y) = x + y. 59
- 60. Teorema 54 SejamU e V espa¸os lineares e seja {v1 , v2 , . . . , vn } uma base de U . Sejam c T1 , T2 : U → V duas transforma¸oes lineares. c˜ Se T1 (vi ) = T2 (vi ) para todo o i = 1, . . . , n, ent˜o T1 (u) = T2 (u), a para todo o u ∈ U , isto ´, T1 = T2 . e Exemplo 43 Sejam U e V espa¸os lineares e seja 0 o vector nulo de V . c (i) Seja O : U → V definida por O(u) = 0, para todo o u ∈ U . O ´ uma transforma¸ao linear e chama-se transforma¸˜o nula. e c˜ ca (ii) Seja λ ∈ R. Seja Tλ : U → U definida por Tλ (u) = λu, para todo o u ∈ U . Tλ ´ uma transforma¸ao linear. Se λ = 1 ent˜o chama-se a T1 a e c˜ a transforma¸˜o identidade e denota-se por I. Tem-se I(u) = u, para todo o u ∈ U . ca (iii) Seja tr : Matn×n (R) → R definida por n tr(A) = a11 + a22 + ... + ann = aii , i=1 para todo o A = (aij )n×n ∈ Matn×n (R). tr (tra¸o) ´ uma transforma¸ao linear. c e c˜ (iv) Seja A ∈ Matm×n (R). Seja T : Rn → R m definida por T (u) = Au, para todo o u ∈ Rn . T ´ uma transforma¸ao linear. e c˜ (v) Seja E o espa¸o das fun¸oes diferenci´veis. Ent˜o T : E → E definida por c c˜ a a T (f ) = f ´ uma transforma¸ao linear. e c˜ 60
- 61. 6.1 Matriz mudan¸a de base c Nesta sec¸ao vamos dar uma fam´ importante de ”Representa¸ao matricial”. c˜ ılia c˜ Teorema 55 Seja V um espa¸o linear de dimens˜o n. Sejam S1 = {v1 , v2 , . . . , vn } e S2 = c a {w1 , w2 , . . . , wn } duas bases ordenadas de V . Seja SS1 →S2 a matriz cujas colunas s˜o as a coordenadas dos vectores de S1 em rela¸ao a base S2 . Isto ´, c˜ ` e n SS1 →S2 = (sij )n×n com vj = sij wi para todo o j = 1, ..., n. i=1 A matriz SS1 →S2 ´ n˜o singular e chama-se matriz de mudan¸a de base (da base S1 para e a c S2 ). Assim, se tivermos n u= λi v i , i=1 isto ´, se (λ1 , ..., λn ) forem as coordenadas do vector u na base S1 ent˜o as coordenadas e a (µ1 , ..., µn ) de u na base S2 s˜o dadas por a µ1 λ1 . . . = SS1 →S2 . . . . µn λn Dem. Tem-se n n n n n n u= µi wi = λj v j = λj sij wi = sij λj wi . i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 Atendendo ao teorema 36 (i), as coordenadas de um vector u numa base s˜o unicas. Logo, a ´ n µi = sij λj , j=1 para todo o i = 1, ..., n. Isto ´, e µ1 λ1 . . . . = SS1 →S2 . . . µn λn Observa¸˜o 45 Tem-se ca SS2 →S1 = (SS1 →S2 )−1 . Exemplo 44 Seja Bc = {(1, 0), (0, 1)} a base can´nica de R2 . Seja B = {(1, 2), (2, 1)} uma o outra base ordenada de R2 . Sejam (2, 3) as coordenadas de um vector u na base can´nica Bc o e determinemos as coordenadas de u na base B usando a matriz de mudan¸a de base SBc →B . c Tem-se −1/3 2/3 SBc →B = , 2/3 −1/3 61
- 62. uma vez que 1 2 2 1 (1, 0) = − (1, 2) + (2, 1) e (0, 1) = (1, 2) − (2, 1). 3 3 3 3 Logo, as coordenadas de u na base B s˜o dadas por a 2 −1/3 2/3 2 4/3 SBc →B = = . 3 2/3 −1/3 3 1/3 Logo, 4/3 e 1/3 s˜o as coordenadas de (2, 3) na base ordenada B, isto ´ a e 4 1 (2, 3) = (1, 2) + (2, 1). 3 3 6.2 Representa¸˜o matricial de uma transforma¸˜o linear ca ca Teorema 56 Sejam U e V espa¸os lineares de dimens˜es finitas tais que dim U = n e c o dim V = m. Sejam S1 = {u1 , u2 , . . . , un } e S2 = {v1 , v2 , . . . , vm } duas bases ordenadas de U e V respectivamente. Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Considere-se a c˜ matriz A = (aij )m×n ∈ Matm×n (R) cuja coluna j, para cada j = 1, ..., n, ´ formada pelas e coordenadas de T (uj ) na base S2 . Isto ´, e m T (uj ) = aij vi . i=1 Chama-se a esta matriz A a representa¸˜o matricial de T em rela¸ao as bases S 1 e S2 e ca c˜ ` escreve-se A = M (T ; S1 ; S2 ). Al´m disso, sendo α1 , α2 , ..., αn as e coordenadas de um vector v ∈ U na base ordenada S1 ent˜o as coordenadas β 1 , β 2 , ..., β m a de T (v) ∈ V na base ordenada S2 s˜o dadas por a β1 α1 β α2 2 . = M (T ; S1 ; S2 ) . . . . . . βm αn Observa¸˜o 46 (a) Seja V um espa¸o linear de dimens˜o finita, com dim V = n. Sejam ca c a S1 = {u1 , u2 , . . . , un } e S2 = {v1 , v2 , . . . , vn } duas bases ordenadas de V . A representa¸ao c˜ matricial da transforma¸ao identidade I : V → V em rela¸ao as bases S1 e S2 ´ igual a c˜ c˜ ` e ` matriz de mudan¸a da base S1 para S2 . Isto ´, c e M (I; S1 ; S2 ) = SS1 →S2 . (b) Quando a base de partida e chegada coincidem S2 = S1 , denota-se M (T ; S1 ; S2 ) som- plesmente por M (T ; S1 ). n m Teorema 57 Sejam Bc = {e1 , e2 , . . . , en } e Bc = {e1 , e2 , . . . , em } as bases can´nicas (or- o denadas) de R e R respectivamente. Seja T : Rn → Rm uma transforma¸ao linear. n m c˜ 62
- 63. n m Considere-se a matriz A = (aij )m×n = M (T ; Bc ; Bc ) ∈ Matm×n (R) cuja coluna j, para cada m j = 1, ..., n, ´ formada pelas coordenadas de T (ej ) na base Bc . Isto ´, e e 1 0 m 0 . a1j . . aij ei = a1j . + ... + amj . = . . T (ej ) = . . . 0 i=1 amj 0 1 Ent˜o, tem-se, para todo o u ∈ Rn , a T (u) = Au. Dem. Seja u ∈ Rn . Ent˜o, existem λ1 , λ2 , ..., λn ∈ R tais que a n u = λ1 e1 + λ2 e2 + ... + λn en = λj e j . j=1 Uma vez que, para todo o j = 1, ..., n, m T (ej ) = aij ei , i=1 tem-se n n n m m n T (u) = T λj e j = λj T (ej ) = λj aij ei = aij λj ei = T ´ linear e j=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 n n a11 · · · a1n λ1 = a1j λj , ..., amj λj = ··· . = Au. . . j=1 j=1 am1 · · · amn λn Exemplo 45 (i) Seja T : R4 → R3 definida por T (x, y, z, w) = (3x + y − 2z, 0, x + 4z). T 4 3 ´ uma transforma¸ao linear e a matriz M (T ; Bc ; Bc ) que representa T em rela¸ao as bases e c˜ c˜ ` 4 3 4 3 can´nicas (ordenadas) Bc e Bc de R e R respectivamente, ´ dada por o e 3 1 −2 0 4 3 M (T ; Bc ; Bc ) = 0 0 0 0 , 1 0 4 0 uma vez que T (1, 0, 0, 0) = (3, 0, 1), T (0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 0, 1, 0) = (−2, 0, 4) e T (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0). Tem-se ent˜o: a x 4 3 y T (x, y, z, w) = M (T ; Bc ; Bc ) z . w (ii) Sejam S1 = {1, t, t2 } e S2 = {1, t, t2 , t3 } as bases can´nicas (ordenadas) de P2 e P3 o respectivamente. Seja D : P2 → P3 tal que D(1) = 0, D(t) = 1 e D(t2 ) = 2t. D ´ uma e 63
- 64. transforma¸ao linear ea matriz M (D; S1 ; S2 ) que representa D em rela¸ao as bases can´nicas c˜ c˜ ` o S1 e S2 , ´ dada por e 0 1 0 0 0 2 M (D; S1 ; S2 ) = 0 0 0 . 0 0 0 (iii) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (1 − y, 2x) n˜o ´ uma transforma¸ao linear. a e c˜ (iv) T : R2 → R definida por T (x, y) = xy n˜o ´ uma transforma¸ao linear. a e c˜ Teorema 58 Seja V um espa¸o linear de dimens˜o finita. Seja T : V → V uma trans- c a forma¸ao linear. Sejam S1 e S2 duas bases ordenadas de V . Seja M (T ; S1 ; S1 ) a matriz que c˜ representa T em rela¸ao a base S1 . c˜ ` Ent˜o, a matriz M (T ; S2 ; S2 ) que representa T em rela¸ao a base S2 , ´ dada por a c˜ ` e M (T ; S2 ; S2 ) = SS1 →S2 M (T ; S1 ; S1 ) (SS1 →S2 )−1 , onde SS1 →S2 ´ a matriz de mudan¸a da base S1 para S2 . e c Al´m disso, e SS1 →S2 M (T ; S1 ; S1 ) = M (T ; S1 ; S2 ) e M (T ; S2 ; S2 )SS1 →S2 = M (T ; S1 ; S2 ). Isto ´, o diagrama seguinte ´ comutativo. e e M (T ;S1 ;S1 ) (V, S1 ) −→ (V, S1 ) T SS1 →S2 ↓ I I ↓ SS1 →S2 T (V, S2 ) −→ (V, S2 ) M (T ;S2 ;S2 ) Teorema 59 (Caso geral.) Sejam U e V dois espa¸os lineares de dimens˜es finitas. Seja c o T : U → V uma transforma¸ao linear. Sejam S1 e S1 duas bases ordenadas de U . Sejam S2 c˜ e S2 duas bases ordenadas de V . Seja M (T ; S1 ; S2 ) a matriz que representa T em rela¸ao as c˜ ` bases S1 e S2 . Ent˜o, a matriz M (T ; S1 ; S2 ) que representa T em rela¸ao as bases S1 e S2 , ´ dada por a c˜ ` e −1 M (T ; S1 ; S2 ) = SS2 →S2 M (T ; S1 ; S2 ) SS1 →S1 , onde SS2 →S2 e SS1 →S1 s˜o as matrizes de mudan¸a das bases S2 para S2 e de S1 para S1 a c respectivamente. Al´m disso, e SS2 →S2 M (T ; S1 ; S2 ) = M (T ; S1 ; S2 ) e M (T ; S1 ; S2 )SS1 →S1 = M (T ; S1 ; S2 ). 64
- 65. Isto ´, odiagrama seguinte ´ comutativo. e e M (T ;S1 ;S2 ) (U, S1 ) −→ (V, S2 ) T SS1 →S1 ↓ I I ↓ SS2 →S2 T (U, S1 ) −→ (V, S2 ) M (T ;S1 ;S2 ) Exemplo 46 Seja T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (y, x). T ´ uma transforma¸ao e c˜ 2 2 2 linear. A matriz M (T ; Bc ; Bc ) que representa T em rela¸ao a base can´nica (ordenada) Bc c˜ ` o 2 de R , ´ dada por e 2 2 0 1 M (T ; Bc ; Bc ) = . 1 0 Seja S = {(1, 1), (−1, 1)} uma base ordenada de R2 . A matriz M (T ; S; S) que representa T em rela¸ao a base ordenada S de R2 , ´ dada por c˜ ` e 1 0 M (T ; S; S) = , 0 −1 uma vez que T (1, 1) = (1, 1) = 1(1, 1)+0(−1, 1) e T (−1, 1) = (1, −1) = 0(1, 1)+(−1)(−1, 1). Vamos agora verificar que se tem 2 2 −1 M (T ; S; S) = SBc →S M (T ; Bc ; Bc ) SBc →S 2 2 . 1 1 1 1 Uma vez que (0, 1) = 2 (1, 1) + 2 (−1, 1) e (1, 0) = 2 (1, 1) − 2 (−1, 1), tem-se ent˜o a 1/2 1/2 SBc →S = 2 . 1/2 −1/2 Logo, −1 2 2 −1 1/2 1/2 0 1 1/2 1/2 SBc →S M (T ; Bc ; Bc ) SBc →S 2 2 = = 1/2 −1/2 1 0 1/2 −1/2 1/2 1/2 1 1 = = −1/2 1/2 1 −1 1 0 = = 0 −1 = M (T ; S; S). Isto ´, e 2 2 −1 M (T ; S; S) = SBc →S M (T ; Bc ; Bc ) SBc →S 2 2 . Al´m disso, e 2 2 2 SBc →S M (T ; Bc ; Bc ) = M (T ; Bc ; S) 2 e 2 M (T ; S; S)SBc →S = M (T ; Bc ; S). 2 65
- 66. Defini¸˜o 45 SejamU e V espa¸os lineares e S, T : U → V transforma¸oes lineares. Seja ca c c˜ λ ∈ R. Sejam S + T, λT : U → V definidas por (S + T ) (u) = S(u) + T (u) e (λT )(u) = λT (u), para todo o u ∈ U . S + T e λT s˜o transforma¸oes lineares. a c˜ Defini¸˜o 46 Sejam U e V espa¸os lineares. Chama-se a L(U, V ) o conjunto de todas as ca c transforma coes lineares de U em V . ¸˜ Teorema 60 Sejam U e V espa¸os lineares. O conjunto L(U, V ), com as opera¸oes da c c˜ defini¸ao 29, ´ um espa¸o linear. c˜ e c Exemplo 47 Seja S = {T1 , T2 , T3 , T4 } com T1 , T2 , T3 , T4 ∈ L(R2 , R2 ) definidas por T1 (x, y) = (x, 0), T2 (x, y) = (y, 0), T3 (x, y) = (0, x) e T4 (x, y) = (0, y), para todo o (x, y) ∈ R2 . O conjunto S ´ uma base de L(R2 , R2 ). Logo, dim L(R2 , R2 ) = 4. e 6.3 Transforma¸oes injectivas, sobrejectiva e bijectivas – equa¸oes c˜ c˜ lineares Defini¸˜o 47 Sejam U, V e W espa¸os lineares e, T : U → V e S : V → W transforma¸oes ca c c˜ lineares. Seja S ◦ T (ou ST ): U → W definida por (S ◦ T ) (u) = S (T (u)) , para todo o u ∈ U . S ◦ T ´ uma transforma¸ao linear. Chama-se a S ◦ T (ou ST ) a e c˜ composi¸˜o de S com T . ca Observa¸˜o 47 Em geral, tem-se S ◦ T = T ◦ S. ca Teorema 61 Sejam U, V e W espa¸os lineares de dimens˜es finitas. Sejam S1 , S2 e S3 bases c o de U, V e W respectivamente. Sejam T ∈ L(U, V ) e S ∈ L(V, W ). Ent˜o, tem-se a M (S ◦ T ; S1 ; S3 ) = M (S; S2 ; S3 )M (T ; S1 ; S2 ). 66
- 67. Teorema 62 (i)Sejam T : U → V, S : V → W e R : W → X. Ent˜o, tem-se a R ◦ (S ◦ T ) = (R ◦ S) ◦ T . (ii) Sejam R, S : U → V e T : V → W . Seja λ ∈ R. Ent˜o, tem-se a T ◦ (R + S) = T ◦ R + T ◦ S e T ◦ (λR) = λ (T ◦ R) . Se o contradom´ ınio de Q estiver contido em U ent˜o a (R + S) ◦ Q = R ◦ Q + S ◦ Q e (λR) ◦ Q = λ (R ◦ Q) . Defini¸˜o 48 Define-se ca T 0 = I e T k = T ◦ T k−1 , para todo o k = 1, 2, .... Observa¸˜o 48 Tem-se T m+n = T m ◦ T n para todos os m, n ∈ N. ca Defini¸˜o 49 (i) T : U → V diz-se injectiva se e s´ se ca o T (u) = T (w) ⇒ u = w, para todos os u, w ∈ U , isto ´, se e s´ se e o u = w ⇒ T (u) = T (w), para todos os u, w ∈ U . (ii) T : U → V diz-se sobrejectiva se e s´ se o T (U ) = V . (iii) T : U → V diz-se bijectiva se e s´ se fˆr injectiva e sobrejectiva. o o Defini¸˜o 50 Sejam U e V espa¸os lineares. Diz-se que U e V s˜o isomorfos se e s´ se ca c a o existir um isomorfismo entre U e V , isto ´, se e s´ se existir uma transforma¸ao linear e o c˜ bijectiva T : U → V . Teorema 63 Sejam U e V dois espa¸os lineares de dimens˜es finitas. U e V s˜o isomorfos c o a se e s´ se dim U = dim V . o Observa¸˜o 49 No teorema ?? tem-se dim L(U, V ) = mn. ca 67
- 68. Teorema 64 SejamU e V espa¸os lineares de dimens˜es finitas tais que dim U = dim V . c o Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o, T ´ injectiva se e s´ se T ´ sobrejectiva. c˜ a e o e Defini¸˜o 51 Sejam U e V espa¸os lineares e T : U → V uma transforma¸ao linear. Seja ca c c˜ 0 o vector nulo de V . (i) Chama-se contradom´ ınio ou imagem de T ao conjunto T (U ) = {T (u) : u ∈ U } , que tamb´m se denota por I(T ). e (ii) Chama-se n´cleo ou espa¸o nulo de T ao conjunto u c Nuc(T ) = {u ∈ U : T (u) = 0} . Teorema 65 Sejam U e V espa¸os lineares e T : U → V uma transforma¸ao linear. Ent˜o, c c˜ a os conjuntos Nuc(T ) e I(T ) s˜o subespa¸os de U e V respectivamente. a c Exemplo 48 Sejam U e V espa¸os lineares. Sejam 0 e 0 os vectores nulos de U e V c respectivamente. (i) Considere a transforma¸ao nula O : U → V definida por c˜ O(u) = 0 , para todo o u ∈ U . Tem-se Nuc(O) = U e I(O) = {0 } . (ii) Considere a transforma¸ao identidade I : U → U definida por c˜ I(u) = u, para todo o u ∈ U . Tem-se Nuc(I) = {0} e I(I) = U . Exemplo 49 Seja A ∈ Matm×n (R). Seja T : Rn → R m definida por T (u) = Au, para todo o u ∈ Rn . Tem-se Nuc(T ) = Nuc(A) e I(T ) = C(A). 68
- 69. Defini¸˜o 52 SejamU e V espa¸os lineares e T : U → V uma transforma¸ao linear. ca c c˜ (i) Chama-se caracter´ ıstica de T a dimens˜o de I(T ), isto ´, ` a e car T = dim I(T ). (ii) Chama-se nulidade de T a dimens˜o de Nuc(T ), isto ´, ` a e nul T = dim Nuc(T ). Teorema 66 Sejam U um espa¸o linear de dimens˜o finita e T uma transforma¸ao linear c a c˜ definida em U . Ent˜o, o subespa¸o I(T ) tem dimens˜o finita e a c a dim Nuc(T ) + dim I(T ) = dim U . Teorema 67 Sejam T : Rn → Rm uma transforma¸ao linear. Sejam Bc e Bc as bases c˜ n m can´nicas (ordenadas) de Rn e Rm respectivamente. Seja A = M (T ; Bc ; Bc ) ∈ Matm×n (R) o n m n m a matriz que representa T em rela¸ao as bases Bc e Bc . Tem-se ent˜o: c˜ ` a (i) dim Nuc(T ) = nul A; (ii) dim I(T ) = car A; (iii) T ´ injectiva se e s´ se nul A = 0, isto ´, se e s´ se car A = n; e o e o (iv) T ´ sobrejectiva se e s´ se car A = m. e o Defini¸˜o 53 Diz-se que T : U → V ´ invert´ se existir S : T (U ) → U tal que ca e ıvel S ◦ T = IU e T ◦ S = IT (U ) , onde IU e IT (U ) s˜o as fun¸oes identidade em U e T (U ) respectivamente. Chama-se a S a a c˜ inversa de T e escreve-se S = T −1 . Teorema 68 Sejam U e V espa¸os lineares de dimens˜es finitas. Seja T : U → V uma c o transforma¸ao linear. Seja 0 o vector nulo de U . As seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes. c˜ c˜ a (i) T ´ injectiva. e (ii) T ´ invert´ e a inversa T −1 : T (U ) → U ´ linear. e ıvel e (iii) Nuc(T ) = {0}. (iv) dim U = dim T (U ). (v) T transforma vectores linearmente independentes de U em vectores linearmente in- dependentes de V . (vi) T transforma bases de U em bases de T (U ). 69
- 70. Teorema 69 SejamU e V dois espa¸os lineares de dimens˜es finitas. Seja T : U → V uma c o transforma¸ao linear. Sejam S1 e S2 duas bases ordenadas de U e V respectivamente. Seja c˜ A = M (T ; S1 ; S2 ) a matriz que representa T em rela¸ao as bases S1 e S2 . c˜ ` Se V = T (U ) ent˜o T ´ invert´ se e s´ se A fˆr uma matriz quadrada n˜o singular. a e ıvel o o a Tem-se ent˜o a A−1 = M (T −1 ; S2 ; S1 ), isto ´, A−1 ser´ a matriz que representa T −1 em rela¸ao as bases S2 e S1 . e a c˜ ` Teorema 70 Sejam U e V espa¸os lineares. Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. c c˜ Seja b ∈ V . Ent˜o: a (i) Existˆncia de solu¸˜o: o sistema T (u) = b tem pelo menos uma solu¸ao u se e s´ e ca c˜ o se b ∈ T (U ); (ii) Unicidade de solu¸˜o: o sistema T (u) = b tem no m´ximo uma solu¸ao u se e s´ ca a c˜ o se T fˆr injectiva; o (iii) Existˆncia e unicidade de solu¸˜o: o sistema T (u) = b tem solu¸ao unica u se e ca c˜ ´ e s´ se b ∈ T (U ) e T fˆr injectiva. o o Teorema 71 Sejam U e V espa¸os lineares. Seja T : U → V uma transforma¸ao linear. Seja c c˜ b ∈ V . A solu cao geral do sistema de equa¸oes lineares T (u) = b obt´m-se somando a uma ¸˜ c˜ e solu¸ao particular desse sistema a solu¸a o geral do sistema de equa¸oes lineares homog´neo c˜ c˜ c˜ e T (u) = 0. 6.4 Valores e vectores pr´prios de transforma¸oes lineares o c˜ Defini¸˜o 54 Seja U espa¸o lineare e T : U → V uma transforma¸ao linear. Diz-se que um ca c c˜ escalar λ ´ um valor pr´prio de T se existir um vector n˜o nulo u ∈ U tal que e o a T (u) = λu. Aos vectores n˜o nulos u que satisfazem a equa¸ao anterior chamam-se vectores pr´prios a c˜ o associados ao valor pr´prio λ. Dado um valor pr´prio λ de T , o conjunto o o Eλ = {u ∈ U : T (u) = λu} ´ um subespa¸o linear de U . Chama-se a Eλ o subespa¸o pr´prio de T associado ao valor e c c o pr´prio λ. o 70
- 71. Teorema 72 SejamV um espa¸o linear e 0 o vector nulo de V . Seja T : V → V uma c transforma¸ao linear. c˜ (i) Um escalar λ ´ um valor pr´prio de T se e s´ se Nuc(T − λI) = {0}. Sendo λ um e o o valor pr´prio de T , o subespa¸o pr´prio de T , associado ao valor pr´prio λ, ´ dado por o c o o e Eλ = Nuc(T − λI). (ii) Se o espa¸o linear V tiver dimensa˜ finita e se A = M (T ; B, B) fˆr uma matriz que c o o representa T em rela¸ao a uma base B de V , ent˜o um escalar λ ´ um valor pr´prio de T se c˜ a e o e s´ se esse escalar λ fˆr solu¸ao da equa¸ao o o c˜ c˜ det(A − λI) = 0, i.e. λ fˆr valor pr´prio de A. o o Observa¸˜o 50 Se A = M (T ; B, B) representa uma transforma¸ao linear T : V → V num ca c˜ base B1 , ent˜o T diz-se diagonaliz´vel se A o fˆr. Neste caso, sendo Bvp constutu´ por a a o ıda vectores pr´prios de T , ent˜o: o a M (T ; Bvp , Bvp ) = SAS −1 onde S = SB→Bvp , e portanto M (T ; Bvp , Bvp ) ´ a matriz diagonal cujas entradas da diagonal e s˜o os valores pr´prios de A (iguais aos de T ). a o 7 Algumas Aplica¸oes c˜ 7.1 Formas quadr´ticas a a completar... 7.2 M´ ınimos quadrados a completar.... 7.3 Equa¸oes diferenciais ordin´rias c˜ a a completar.... Nota Final. Agradecimentos ao Prof. Nuno Martins (ver http://www.math.ist.utl.pt/~ nmartins) por ter cedido os suas notas de algebra linear, das quais resultaram estas como corol´rio. ´ a 71