Teoria e exemplos práticos

1. numerosnamente 1
Valores Próprios e Vetores Próprios
Considere a matriz “A” de uma transformação linear de 𝑅 𝑛
𝑅 𝑛
e sendo 𝑋 um vetor de 𝑅 𝑛
e 𝑌
a sua imagem, temos:
𝑌 = 𝐴𝑋
Os vetores de 𝑌 são colineares aaos vetores de 𝑋 e são vetores próprios.
Considere  o valor prórpio, que se obtem resolvendo a equação |𝐴 − I| = 0 (equação
característica), para cada valor próprio temos um vetor próprio correspondente. Oa valores
próprios podem ser reais ou imaginários.
Exemplo 1:
Considere a matriz 𝐴 = (
2 −2 3
10 −4 5
5 −4 6
). Prove que 1 e 2 são valores próprios de 𝐴.
- det[(
2 −2 3
10 −4 5
5 −4 6
) − (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)]  det (
2 −  −2 3
10 −4 −  5
5 −4 6 − 
) = 0
 [
2 −  −2 3
10 −4 −  5
5 −4 6 − 
2 −  −2
10 −4 − 
5 −4
]
 ((2 − ). (−4 − ). (6 − ) + (−2). (5). (5) + (3). (10). (−4)) − ((5). (−4 − ). (3) +
(−4). (5). (2 − ) + (6 − ). (10). (−2)) = 0  −3
+ 42
− 5 + 2 = 0
Pelo enunciado sabe-se que uma raiz desta equação é 1, assim pela regra de ruffini, tem-se:
-1 4 -5 2
1 -1 3 -2
-1 3 -2 0
2
+ 3 − 2 = 0  pela fórmula resolvente: =
−3±√9−8
−2
 = 2  = 1
O que se prova que = 1 e = 2 são os valores próprios da matriz 𝐴
Exemplo 2:
Considere a matriz 𝐴 = (
3 4
5 2
). Determine os valores próprios e os vetores proprios desta
transformação linear de 𝑅2
𝑅2
.
- det [(
3 4
5 2
) −  (
1 0
0 1
)] = 0  det [(
3 −  4
5 2 − 
)] = 0 
 ((3 − ). (2 − )) − ((5). (4)) = 0  2
− 5 − 14 = 0  =
5±√25+56
2


2. numerosnamente 2
 = −2  = 7
Vetores próprios:
Para = −2:
|𝐴 − I|. 𝑋 = 0 , com 𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
)
[𝐴 − I] [(
3 − (−2) 4
5 2 − (−2)
)]  [(
5 4
5 4
)]
(
5 4
5 4
) . (
𝑥1
𝑥2
) = 0  {
5𝑥1 + 4𝑥2 = 0
5𝑥1 + 4𝑥2 = 0
 𝑥1 = −
4
5
𝑥2 , por exemplo se 𝑥2 = 1  𝑥1 = −
4
5
𝑉1⃗⃗⃗⃗⃗ = (−
4
5
, 1)
Para = 7:
|𝐴 − I|. 𝑋 = 0 , com 𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
)
[𝐴 − I] [(
3 − (7) 4
5 2 − (7)
)]  [(
−4 4
5 −5
)]
(
−4 4
5 −5
) . (
𝑥1
𝑥2
) = 0  {
−4𝑥1 + 4𝑥2 = 0
5𝑥1 − 5𝑥2 = 0
 𝑥1 = 𝑥2 , por exemplo se 𝑥2 = 1  𝑥1 = 1
𝑉1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1)
Exemplo 3:
Determine os valores próprios e os vetores próprios da transformação de 𝑅3
 𝑅3
, definida pela
matriz 𝐴 = (
2 −2 1
2 −8 −2
1 2 2
)
- det[(
2 −2 1
2 −8 −2
1 2 2
) −  (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)]  det (
2 −  −2 1
2 −8 −  −2
1 2 2 − 
) = 0 
(
2 −  −2 1 2 −  −2
2 −8 −  −2 2 −8 − 
1 2 2 −  1 2
) 
 ((2 − ). (−8 − ). (2 − ) + (−2). (−2). (1) − (1). (2). (2)) − ((1). (−8 − ). (1) +
(2). (−2). (2 − ) + ((2 − ). (2). (−2)) = 0  3
+ 42
− 21 = 0 
 (2
+ 4 − 21) = 0  = 0  2
+ 4 − 21 = 0  = 0  = 3  = −7
Vetores próprios
Para = 0
|𝐴 − I|. 𝑋 = 0

3. numerosnamente 3
(
2 −2 1
2 −8 −2
1 2 2
) . (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
0
0
0
)  {
2𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 − 8𝑥2 − 2𝑥3 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 0
 resolvendo o sistema, tem-se:
{
6𝑥1 − 12𝑥2 = 0
3𝑥1 − 6𝑥2 = 0
 𝑥1 = 2𝑥2. Por exemplo 𝑥2 = 1 𝑥1 = 2 𝑥3 = −3
𝑉1⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,1, −3)
Para = 3
|𝐴 − I|. 𝑋 = 0
|𝐴 − I|. 𝑋 = 0
(
−1 −2 1
2 −11 −2
1 2 −1
) . (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
0
0
0
)  {
−𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 − 11𝑥2 − 2𝑥3 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 0
 resolvendo o sistema, tem-se:
−15𝑥2 = 0  𝑥2 = 0 , 𝑥1 = 𝑥3. Por exemplo 𝑥3 = 1  𝑥1 = 1
𝑉2⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1)
Para = −7
(
9 −2 1
2 −1 −2
1 2 9
) . (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
0
0
0
)  {
9𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 − 1𝑥2 − 2𝑥3 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 9𝑥3 = 0
 resolvendo o sistema, tem-se:
{
10𝑥1 + 10𝑥3 = 0
5𝑥1 + 5𝑥3 = 0
 𝑥1 = −𝑥3. Por exemplo se 𝑥3 = 1𝑥1 = −1  𝑥2 = −4
𝑉3⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1, −4,1)