O documento discute derivadas parciais de funções de várias variáveis. Apresenta a definição formal de derivada parcial e exemplos de cálculo. Também aborda a interpretação geométrica das derivadas parciais e como elas podem ser usadas para calcular inclinações de retas tangentes. Por fim, introduz conceitos de máximos e mínimos de funções de várias variáveis.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE CIENCIAS DA EDUCAÇÃO
LICENCIATURA INTEGRADA EM MATEMÁTICA E FÍSICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Junivon da Silva Vale
SAMTARÉM –PA
2022
CÁLCULO II

2. DERIVADAS PARCIAIS E FUNÇÃO DIFERENCIAVEIS
DERIVADAS PARCIAIS
As derivadas parciais são derivadas para funções
de duas variáveis. Para isso, vamos derivar uma
variável por vez, porém utilizando as mesma
condições básicas de derivação para uma variável.
Dado o paraboloide 𝑧 = 16 − 𝑥2
− 𝑦2
e o plano 𝑦 = 2 cuja
visualização no primeiro octante é obtida por meio da figura ao lado,
vamos denotar por 𝐶 a curva resultante da intercessão dessas
superfícies, isso é,
𝐶: 12 − 𝑥2
, 𝑦 = 2
Dado um ponto 𝑃 dessa curva por exemplo 𝑃 1,2,11 , como vamos
calcular a inclinação da reta tangente a curva 𝐶 em 𝑃 ?
Exemplo 1:

3. DERIVADAS PARCIAIS - Definição
SEJA 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ2
→ ℝ
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Uma função de duas variáveis e 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐴. Fixado
𝑦 = 𝑦0, podemos considerar a função 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦0). A
derivada de 𝑔 no ponto 𝑥 = 𝑥0 , denominada derivada
parcial de 𝑓 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥0, 𝑦0 , denotada por
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
𝑥0, 𝑦0 , é dada por
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 −𝑔(𝑥0)
𝑥−𝑥0
ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥, 𝑦0 −𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑥−𝑥0
(1)
Se o limite existir
Analogicamente, definimos a derivada parcial de 𝑓 em
relação a 𝑦 no ponto 𝑥0, 𝑦0 por
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
𝑦→𝑦0
𝑓 𝑥0, 𝑦 −𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑦−𝑦0
(2)
Se o limote existir
Observamos que, fazendo 𝑥 − 𝑥0 = ∆𝑥 e 𝑦 − 𝑦0 = ∆𝑦
(1) e (2) podem ser reescritas respectivamente, por
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0+∆𝑥,𝑦0 −𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥
(3)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥0,𝑦0+∆𝑦 −𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
(4)

4. DERIVADAS PARCIAIS - Exemplo
Considerando o exemplo 1, temos que, no plano 𝑦 = 2, a curva 𝐶
resultante da interseção entre
𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 𝑥2
− 𝑦2
e 𝑔 𝑥 = 12−𝑥2
= 𝑓(𝑥, 2).
Portanto, estamos diante de uma função em 𝑥, e a inclinação da reta
tangente à curva 𝐶 no ponto (1, 2) é dada por 𝑔(1) ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1 , 2 .
Temos
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1 , 2 = lim
𝑥→1
𝑓 𝑥, 2 − 𝑓(1 , 2)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
12−𝑥2−11
𝑥−1
= lim
𝑥→1
1−𝑥2
𝑥−1
= lim
𝑥→1
−(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
−(𝑥 + 1)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
1 , 2 = −2

5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS
PRCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
No exemplo 1 que levantava a questão do cálculo da inclinação da reta
tangente a curva 𝐶 em um plano 𝑃, vamos agora, obter a interpretação
geométrica das derivadas parciais.
Vamos supor que
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ2
→ ℝ
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Admite derivadas parciais em (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐴.
Para 𝑦 = 𝑦0 temos que 𝑓(𝑥, 𝑦0) é uma função de uma variável cuja
gráfico é uma curva 𝐶1, resultante da intersecção da superfície 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑦 = 𝑦0 figura 1
A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva 𝐶2 no ponto
𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) é dado por
𝑡𝑔 𝛼 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 ,
Onde 𝛼 pode ser visualizado na figura 2
De maneira análoga, temos que a inclinação da reta
tangente à curva 𝐶2, resultante da intersecção de
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o ponto 𝑥 = 𝑥0, é
𝑡𝑔 𝛽 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0
Figura 1 Figura 2

6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PRCIAIS DE
UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS - Exemplo
Seja 𝑧 = 6 − 𝑥2
− 𝑦2
. Encontrar a inclinação da reta tangente à
curva 𝐶2, resultante da intersecção de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com 𝑥 = 2, no
ponto (2, 1, 1).
Solução: No plano 𝑥 = 2, a equação da curva 𝐶2 é dada por
𝑔 𝑦 = 𝑓 2, 𝑦 = 2 − 𝑦2
,
e sua inclinação no ponto (2, 1, 1) é
𝑡𝑔 𝛽 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2 , 1 .
Como
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −2𝑦 e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2,1 = −2, temos
𝑡𝑔 𝛽 = −2

7. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PRCIAIS DE
UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS - Exemplo
Seja 𝑧 = 2𝑥2
+ 5𝑦2
𝑥 − 12𝑥. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
𝐶1, resultante da intersecção de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com 𝑦 = 1, no ponto (2, 1, −6).
Solução: No plano 𝑦 = 1ª equação da curva 𝐶1 é dada por
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 1 = 2𝑥3
− 7𝑥,
e sua inclinação no ponto (2, 1, −6) é
𝑡𝑔 𝛼 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 , 1 .
Temos
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥 + 5𝑦2
− 12
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2 , 1 = 4 . 2 + 5 . 12
− 12 = 1
Portanto, 𝑡𝑔 𝛼 = 1

8. REGRA DA CADEIA
No estudo de fusões de uma variável usamos a regra
da cadeia para calcular a derivada de uma função
composta. Vamos usar a regra da cadeia para o caso de
fusões de várias variáveis.
SEJA 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ2
→ ℝ
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Uma função de duas variáveis e seja 𝑔1 e 𝑔2 função de uma
mesma variável:
𝑔1: ℝ → ℝ e 𝑔2: ℝ → ℝ
𝑡 → 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑡 → 𝑦 = 𝑦(𝑡)
Podemos considerar uma função 𝑔 de ℝ em ℝ2
que associe a
cada valor de 𝑡 o vetor 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 . Isso é
𝑔: ℝ → ℝ2
𝑡 → 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 .
Podemos também considerar a função composta
𝑓𝑜𝑔: ℝ → ℝ
𝑡 → 𝑧 = 𝑧(𝑡)
Onde 𝑧 𝑡 = 𝑓𝑜𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 .
Como na figura.
Por exemplo, para
𝑧 = 2𝑥𝑦 + 𝑥2
+ 𝑦2
𝑥 = 𝑡2
𝑦 = 𝑡 + 1
Temos que
𝑓𝑜𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ou
𝑧 𝑡 = 2𝑡2
𝑡 + 1 + (𝑡2
)2
+ 𝑡 + 1 2
= 𝑡4
+ 2𝑡3
+ 2𝑡 + 1.

9. MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Consideremos os seguintes enunciados:
• Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com
volume v e com a menor área de superfície possível?
• A temperatura 𝑇 em qualquer ponto (𝑥, 𝑦) do plano é dada por
(𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦) . Como vamos determinar a temperatura máxima num
disco fechado de raio 𝑟 centrado na origem? E a temperatura
mínima?
Para resolver essas e outras questões, vamos pesquisar máximos
e/ou mínimos de funções de duas ou mais variáveis.
O máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis
pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu
interior. Inicialmente, vamos analisar exemplos em que
os máximos e mínimos encontram-se no interior de
uma região. Posteriormente, mostraremos as técnicas
para determinar máximos e mínimos na fronteira de um
conjunto e também sobre uma curva. Diversos
exemplos são dados para ilustrar a aplicação de
conceitos e proposições para a resolução de problemas
práticos. Alguns exemplos serão dados para
visualizarmos o caso de funções com mais de duas
variáveis.

10. DEFINIÇÃO 1
Seja 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função de duas variáveis. Dizemos que (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷(𝑓) é ponto
de máximo absoluto ou global de 𝑓 se: ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) ⟹ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Neste caso, dizemos que 𝑓 𝑥0, 𝑦0 valor máximo de 𝑓.
EXEMPLO
A figura a seguir, mostra o gráfico da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
.
O ponto (0,0) é um ponto de máximo absoluto ou global de 𝑓, pois,
para todo
∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) ⟹ 4 − 𝑥2
− 𝑦2
≤ 𝑓(0,0) ou
4 − 𝑥2
− 𝑦2
≤ 4, ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
O valor máximo de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
é 𝑓 0,0 = 4

11. DEFINIÇÃO 2
Seja 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função de duas variáveis. Dizemos que (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷(𝑓) é ponto
de mínimo absoluto ou global de 𝑓 se: ∀(𝑥, 𝑦)) ∈ 𝐷(𝑓) ⟹ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Neste caso, dizemos que 𝑓 𝑥0, 𝑦0 valor mínimo de 𝑓.
EXEMPLO
A figura a seguir, mostra o gráfico da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
.
O ponto (0,0) é um ponto de mínimo absoluto ou global de 𝑓, pois,
para todo
∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) ⟹ 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
≥ 𝑓(0,0) ou
1 + 𝑥2
+ 𝑦2
≥ 1 ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
O valor mínimo de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
é 𝑓 0,0 = 1.

12. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Seja função 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 definida num conjunto aberto. Um ponto (𝑥0, 𝑦0) desse
conjunto é um ponto crítico de 𝑓 se as derivadas parciais
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0
são iguais a zero ou se 𝑓 não é diferenciável em 𝑥0, 𝑦0 .
Geometricamente, podemos pensar nos pontos críticos de uma função 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦
como os pontos em que seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é
horizontal.
Nota: Os extremantes (pontos extremos, ou seja, ponto de máximo ou de mínimo)
de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 estão entre os seus pontos críticos. No entanto, um ponto crítico nem
sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um ponto extremante é
chamado um ponto de sela.

13. EXEMPLO
Verifique que o ponto (0,0) é ponto crítico da função
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2𝑦3
𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Solução: O ponto 0.0 é ponto crítico da função dada, pois
𝑓 𝑥, 𝑦 não é diferenciável (as derivadas de 1𝑎
ordem não
são contínuas no ponto analisado). A figura a seguir mostra
que essa função não admite plano tangente na origem.

14. CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA A EXISTÊNCIA DE
PONTOS EXTREMANTES – Teorema da Definição 1
Seja função 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 uma função diferenciável num conjunto aberto. Se um ponto
𝑥0, 𝑦0 desse conjunto é um ponto extremante local (ponto de máximo ou de
mínimo local), então
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0, 𝑦0 = 0 e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 = 0
isto é 𝑥0, 𝑦0 é um ponto crítico de 𝑓.

15. CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA UM PONTO CRÍTICO
SER EXTREMANTE LOCAL

16. APLICAÇÃO
A maximização e a minimização de funções de várias variáveis são
problemas que aparecem em vários contextos práticos, como, por exemplo:
• Problemas geométricos.
• Problemas físicos
• Problemas econômicos, etc.
A seguir são apresentadas aplicações enfatizando problemas econômicos.
Revisão conceitual: LUCRO = RECEITA− DESPESA =VENDA − CUSTO

17. EXEMPLO
Uma indústria produz dois produtos denotados por 𝐴 e 𝐵. O lucro da
indústria pela venda de 𝑥 unidades do produto 𝐴 e 𝑦 unidades do
produto 𝐵 é dado por:
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a
produção que maximiza o lucro. Determine, também, esse lucro
Solução: Diante do problema apresentado, temos que:
Inicialmente, determinemos os pontos críticos dessa função
Temos:
Resolvendo o sistema:
60 − 3𝑥 − 𝑦 = 0
100 − 3𝑦 − 𝑥 = 0
obtemos a
solução 𝑥 = 10 e 𝑦 = 30
Agora, resta nos verificar se esse ponto encontrado é um
ponto de máximo.
Temos:
Assim, o ponto (10, 30) é um ponto de máximo e representa
a produção que maximiza o lucro da indústria.
Para determinar o lucro máximo, basta calcularmos:
Unidades monetárias (u.m)

18. DERIVADA DIRECIONAL E CAMPO GRADIENTE
Dado uma região 𝐷 no espaço, podemos associar a cada ponto de 𝐷 uma
grandeza escalar ou também uma grandeza vetorial. No mundo físico, fazemos
isso frequentemente. Por exemplo, dado um corpo sólido 𝑇, podemos associar a
cada um de seus pontos a sua temperatura. Dizemos que um campo escalar está
definido em 𝑇.
No caso de um fluido em movimento, a cada partícula corresponde um vetor
velocidade 𝑣. Nesse exemplo, vemos que um campo vetorial está definido em 𝐷.
Veremos a seguir que um campo escalar é definido por uma função escalar, e um
campo vetorial, por uma função vetorial
CAMPOS ESCALARES E VETORIAIS

19. DEFINIÇÃO 1
Seja 𝐷 uma região no espaço tridimensional e seja 𝑓 uma função escalar definida em 𝐷. Então a cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷, 𝑓 associa
uma única grandeza escalar 𝑓 𝑃 . A região 𝐷, juntamente com os valores de 𝑓 em cada um de seus pontos, é chamada campo
escalar. Dizemos também que 𝑓 define um campo escalar sobre 𝐷.
EXEMPLO
Seja 𝐷 um sólido esférico de raio 𝑟 cuja temperatura em cada um de seus
pontos é proporcional à distância do ponto até o centro da esfera. Usando
um sistema de coordenadas cartesianas adequado, descrever a função
escalar 𝑇 que define o campo de temperatura em 𝐷.
Solução: Traçamos um sistema de coordenadas cartesianas cuja
origem coincide com o centro da esfera como mostra a figura.
A distância de um ponto qualquer 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) do sólido esférico até o
centro é dada por 𝑑 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2.
Como a temperatura em 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) é proporcional à distância 𝑃 de até o
centro, a função que define o campo 𝑑 da temperatura é dada por
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, onde 𝑘 é uma constante.

20. DEFINIÇÃO 2
Seja 𝐷 uma região no espaço e seja 𝑓 uma função vetorial definida em 𝐷. Então a cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷, 𝑓
associasse um único vetor 𝑓(𝑃). A região 𝐷 juntamente com os correspondentes vetores, 𝑓(𝑃), constitui
um campo vetorial. Dizemos também que 𝑓 define um campo vetorial sobre 𝐷.
EXEMPLO
seja 𝐷 a atmosfera terrestre. A cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷 associamos o vetor 𝑣(𝑃) que representa a velocidade
do vento em 𝑃. Então 𝑣 define um campo vetorial em 𝐷, chamado campo de velocidade.

21. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM CAMPO VETORIAL
Podemos representar graficamente um campo vetorial 𝑓 definido em uma região 𝐷.
Para isso tomamos alguns pontos 𝑃 ∈ 𝐷 e desenhamos o vetor 𝑓(𝑃). como uma seta com orientação 𝑃
(transladada paralelamente da origem para 𝑃). Podemos visualizar o campo vetorial, imaginando a seta
apropriada emanando de cada ponto da região 𝐷.
EXEMPLO
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖
𝑓 define um campo vetorial em ℝ2
. A todos os pontos do eixo 𝑦, 𝑓 associa o vetor nulo. Aos pontos que
estão sobre a reta 𝑥 = 1, 𝑓 associa o vetor 𝑖. De forma geral 𝑓 associa a todos os pontos que estão sobre
uma reta vertical 𝑥 = 𝑎, do vetor 𝑎𝑖.

22. DERIVADA DIRECIONAL DE UM CAMPO ESCALAR
Consideremos um campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Escolhemos um ponto 𝑃 no espaço e uma direção
em 𝑃, dada por um vetor unitário 𝑏. Seja 𝐶 uma semirreta cuja origem é 𝑃 e possui a direção
de 𝑏 e seja 𝑄 um ponto sobre 𝐶 cuja distância de 𝑃 é 𝑠. Se existir o limite
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑃 = lim
𝑥→0
𝑓 𝑄 − 𝑓(𝑃)
𝑠
é chamado derivada direcional de 𝑓 em 𝑃, na direção de 𝑏

23. GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR
Seja 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) um campo escalar definido em um certo domínio. Se existe as
derivadas parciais de 1𝑎
ordem de 𝑓 nesse domínio, elas formam as componentes
do vetor gradiente de 𝑓.
O gradiente da função escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), denotado por𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) ou ∇𝑓 é um
vetor definido como
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘
Onde ∇ representa o operador diferencial
∇=
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘

24. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO GRADIENTE
Consideremos uma função escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) e suponhamos que, para cada constante 𝑘, em um
intervalo 𝐼, a equação 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 representa uma superfície no espaço.
Fazendo 𝑘 tomar todos os valores, obtemos uma família de superfícies, que são as superfícies de
nível da função 𝑓.
Proposição: Seja f uma função escalar tal que, por um ponto 𝑃 do espaço, passa uma superfície
de nível 𝑆 de 𝑓. Se ∇𝑓 ≠ 0 em 𝑃, então ∇𝑓 e normal a 𝑆 em 𝑃.

25. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva
Marília. Cálculo B. Pearson Educación, 2007.